北京市西城区学年高一下学期期末考试数学试题
2023-2024学年北京市朝阳区高一下学期期末考试数学试卷+答案解析
2023-2024学年北京市朝阳区高一下学期期末考试数学试卷一、单选题:本题共10小题,每小题5分,共50分。
在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.若复数z满足,则()A. B. C. D.2.已知向量,,则()A. B. C.3 D.53.如图,八面体的每个面都是正三角形,并且4个顶点A,B,C,D在同一平面内,若四边形ABCD是边长为2的正方形,则这个八面体的表面积为()A.8B.16C.D.4.已知m,n是平面外的两条不同的直线,若,则“”是“”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.在中,,,,则()A. B. C. D.6.李华统计了他爸爸2024年5月的手机通话明细清单,发现他爸爸该月共通话60次,他按每次通话时间长短进行分组每组为左闭右开的区间,画出了如图所示的频率分布直方图.则每次通话时长不低于5分钟且小于15分钟的次数为()A.18B.21C.24D.277.已知向量,不共线,,,若与同向,则实数t的值为()A. B. C.3 D.或38.近年来,我国国民经济运行总体稳定,延续回升向好态势.下图是我国2023年4月到2023年12月规模以上工业增加值同比增长速度以下简称增速统计图.注:规模以上工业指年主营业务收入2000万元及以上的工业企业.下列说法正确的是()A.4月,5月,6月这三个月增速的方差比4月,5月,6月,7月这四个月增速的方差大B.4月,5月,6月这三个月增速的平均数比4月,5月,6月,7月这四个月增速的平均数小C.连续三个月增速的方差最大的是9月,10月,11月这三个月D.连续三个月增速的平均数最大的是9月,10月,11月这三个月9.在梯形ABCD中,,,,,,则与夹角的余弦值为()A. B. C. D.10.已知,,若动点P,Q与点A,M共面,且满足,,则的最大值为()A.0B.C.1D.2二、填空题:本题共6小题,每小题5分,共30分。
2015届北京市西城区(南区)高一第二学期期末试题(含答案)word版
北京市西城区(南区)2012-2013学年下学期高一期末质量检测数学试卷本试卷满分100分,考试时间120分钟。
一、选择题:本大题共12小题,每小题3分,共36分。
1. 与角-70°终边相同的角是A. 70°B. 110°C. 250°D. 290°2. sin43°cos17°+cos43°sin17°的值为 A. 21- B. 21 C. 23 D. 23- 3. 已知向量a =)1,(x ,b =),4(x ,若向量a 和b 方向相同,则实数x 的值是A. -2B. 2C. 0D. 58 4. 函数)3sin(π-=x y 的单调递增区间是 A. )](265,26[Z k k k ∈++-ππππ B. )](2611,265[Z k k k ∈++ππππ C. )](234,23[Z k k k ∈++ππππD. )](23,232[Z k k k ∈++-ππππ 5. 若直线过点(1,1),(2,31+),则此直线的倾斜角的大小为A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°6. 在等差数列}{n a 中,1091=+a a ,则5a 的值为A. 5B. 6C. 8D. 107. 如图所示,M 是△ABC 的边AB 的中点,若b a ==,,则CB =A. b a 2-B. b a -2C. b a 2+D. b a +28. 与直线012=+-y x 关于直线1=x 对称的直线的方程是A. 012=-+y xB. 012=-+y xC. 032=-+y xD. 032=-+y x9. 设n S 为等比数列}{n a 的前n 项和,已知23,233243-=-=a S a S ,则公比q 等于A. 3B. 4C. 5D. 610. 已知直线过点A (1,2),且原点到这条直线的距离为1,则这条直线的方程是A. 0543=+-y x 和1=xB. 0534=+-y x 和1=yC. 0543=+-y x 和1=yD. 0534=+-y x 和1=x11. 设y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤≤+21y x y y x ,则y x z +=3的最大值为A. -8B. 3C. 5D. 712. 点),(y x P 是函数)25,21(sin 23)(⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈=x x x f π图象上的点,已知点Q (2,0),O 为坐标原点,则QP OP ⋅的取值范围为A. ]0,1[-B. ]2,1[-C. ]3,0[D. ]13,1[--二、填空题:本大题共6小题,每小题3分,共18分。
北京市海淀区2023-2024学年高一下学期期末练习(二)数学试题含答案
2023-2024学年度第二学期高一数学学科期末练习(二)(答案在最后)命题人班级姓名本试卷共三道大题,满分50分,考试时间30分钟一、选择题(共9小题,每小题4分,共36分)1.一个平面图形用斜二测画法画出的直观图如图所示,此直观图恰好是一个边长为2的正方形,则原平面图形的周长为()A.8B.C.16D.【答案】C【解析】【分析】根据斜二测画法的过程将直观图还原回原图形,找到直观图中正方形的四个顶点在原图形中对应的点,用直线段连结后得到原四边形,再计算平行四边形的周长即可.【详解】还原直观图为原图形如图所示,O A''=,所以O B''=,还原回原图形后,因为2=''=,2OA O A2=''=OB O B,AB==,所以6⨯+=.所以原图形的周长为2(26)16故选:C.2.下列说法不正确的是()A.平行六面体的侧面和底面均为平行四边形B.直棱柱的侧棱长与高相等C.斜棱柱的侧棱长大于斜棱柱的高D.直四棱柱是长方体【分析】根据几何体的定义和性质依次判断每个选项判断得到直四棱柱不一定是长方体得到答案.【详解】根据平行多面体的定义知:平行六面体的侧面和底面均为平行四边形,A 正确;直棱柱的侧棱长与底面垂直,故与高相等,B 正确;斜棱柱的侧棱与高可构成以侧棱为斜边,高为直角边的直角三角形,斜边大于直角边,C 正确;当直四棱柱的底面不是长方形时不是长方体,D 错误.故选:D.3.下列命题正确的是()A.三点确定一个平面B.梯形确定一个平面C.两条直线确定一个平面D.四边形确定一个平面【答案】B【解析】【分析】依次判断每个选项:当三点共线时不能确定一个平面,梯形上底和下底平行,能确定一个平面,两条直线异面时不能确定一个平面,空间四边形不能确定一个平面,得到答案.【详解】当三点共线时不能确定一个平面,A 错误;梯形上底和下底平行,能确定一个平面,B 正确;两条直线异面时不能确定一个平面,C 错误;空间四边形不能确定一个平面,D 错误.故选:B.4.已知点A ∈直线l ,又A ∈平面α,则()A.//l αB.l A α=IC.l ⊂αD. l A α⋂=或 l α⊂【答案】D【解析】【分析】根据直线与平面的位置关系判断.【详解】点A ∈直线l ,又A ∈平面α,则l 与平面α至少有一个公共点,所以l A α=I 或l ⊂α.故选:D .5.若空间三条直线a ,b ,c 满足a ⊥b ,b c ,则直线a 与c ()A.一定平行B.一定垂直C.一定是异面直线D.一定相交【分析】根据空间中直线的位置关系分析判断.【详解】∵a ⊥b ,b c ,∴a ⊥c .故选:B.6.给定空间中的直线l 与平面α,则“直线l 与平面α垂直”是“直线l 垂直于α平面内无数条直线”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由线面垂直的性质结合两个条件之间的推出关系可得正确的选项.【详解】若直线l 与平面α垂直,由垂直的定义知,直线l 垂直于α平面内无数条直线;但是当直线l 垂直于α平面内无数条直线时,直线l 与平面α不一定垂直.所以“直线l 与平面α垂直”是“直线l 垂直于α平面内无数条直线”的充分不必要条件,故选:A7.已知,αβ是平面,m 、n 是直线,则下列命题正确的是()A .若//,m m n α^,则//n α B.若,m m αβ⊥⊥,则//αβC.若,ααβ⊥⊥m ,则//m βD.若//,//m n αα,则//m n 【答案】B【解析】【分析】根据线面平行、线面垂直的性质依次判断每个选项得到答案.【详解】若//,m m n α^,则//n α或n ⊂α或n 与α相交,A 错误;若,m m αβ⊥⊥,则//αβ,B 正确;若,ααβ⊥⊥m ,则//m β或m β⊂,C 错误;若//,//m n αα,则//m n 或,m n 相交或,m n 异面,D 错误.故选:B.8.如图,三棱台111ABC A B C -中,底面ABC 是边长为6的正三角形,且11113AA A C C C ===,平面11AA C C ⊥平面ABC ,则棱1BB =()A.2B.C.3D.【答案】A【解析】【分析】取11,A C AC 中点分别为,M N ,连接1,,MB MN NB ,过点1B 作BN 的垂线,垂足为P ,从而在直角梯形1MNBB 求解即可.【详解】如图,取11,A C AC 中点分别为,M N ,连接1,,MB MN NB ,过点1B 作BN 的垂线,垂足为P ,因为113AA C C ==,所以MN AC ⊥,且6AC =,所以2MN ==,因为平面11AA C C ⊥平面ABC ,平面11AA C C 平面ABC AC =,,MN AC MN ⊥⊂面11AA C C ,所以MN ⊥平面ABC ,又因为BN ⊂平面ABC ,所以MN BN ⊥,又因为在三棱台111ABC A B C -中,1//MB NB ,所以四边形1MNBB 为直角梯形,因为12NP MB ===,NB ==,所以2PB =,所以在直角三角形1BPB 中,12BB ===,故选:A.9.如图,在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中,P 为线段11AC 的中点,Q 为线段1BC 上的动点,则下列结论正确的是()A.存在点Q ,使得//PQ BDB.存在点Q ,使得PQ ⊥平面11AB C DC.三棱锥Q APD -的体积是定值D.存在点Q ,使得PQ 与AD 所成的角为π6【答案】B【解析】【分析】A 由11//BD B D 、11B D PQ P = 即可判断;B 若Q 为1BC 中点,根据正方体、线面的性质及判定即可判断;C 只需求证1BC 与面APD 是否平行;D 利用空间向量求直线夹角的范围即可判断.【详解】A :正方体中11//BD B D ,而P 为线段11A C 的中点,即为11B D 的中点,所以11B D PQ P = ,故,BD PQ 不可能平行,错;B :若Q 为1BC 中点,则1//PQ A B ,而11A B AB ⊥,故1PQ AB ⊥,又AD ⊥面11ABB A ,1A B ⊂面11ABB A ,则1A B AD ⊥,故PQ AD ⊥,1AB AD A ⋂=,1,AB AD ⊂面11AB C D ,则PQ ⊥面11AB C D ,所以存在Q 使得PQ ⊥平面11AB C D,对;C :由正方体性质知:11//BC AD ,而1AD 面APD A =,故1BC 与面APD不平行,所以Q 在线段1BC 上运动时,到面APD 的距离不一定相等,故三棱锥Q APD -的体积不是定值,错;D :构建如下图示空间直角坐标系D xyz -,则(2,0,0)A ,(1,1,2)P ,(2,2,)Q a a -且02a ≤≤,所以(2,0,0)DA = ,(1,1,2)PQ a a =-- ,若它们夹角为θ,则cos ||θ==令1[1,1]t a =-∈-,则cos θ==,当(0,1]t ∈,则[)11,t ∈+∞,cos (0,]6θ∈;当0=t 则cos 0θ=;当[1,0)t ∈-,则(]1,1t ∞∈--,cos (0,2θ∈;所以πcos 62=不在上述范围内,错.故选:B二、填空题(共2小题,每小题4分,共8分)10.如图,在正方体ABCD﹣A 1B 1C 1D 1中,点P 在面对角线AC 上运动,给出下列四个命题:①D 1P∥平面A 1BC 1;②D 1P⊥BD;③平面PDB 1⊥平面A 1BC 1;④三棱锥A 1﹣BPC 1的体积不变.则其中所有正确的命题的序号是_____.【答案】①③④【解析】【分析】利用线面平行的判定定理与性质定理,面面垂直的判定定理与三棱锥的体积公式对四个选项逐一分析判断即可.【详解】①∵在正方体中,D 1A ∥BC 1,D 1C ∥BA 1,且D 1A∩DC 1=D 1,∴平面D 1AC∥平面A 1BC 1;∵P 在面对角线AC 上运动,∴D 1P∥平面A 1BC 1;∴①正确.②当P 位于AC 的中点时,D 1P⊥BD 不成立,∴②错误;③∵A 1C 1⊥平面BDD 1B 1;∴A 1C 1⊥B 1D,同理A 1B ⊥B 1D ,∴B 1D⊥平面A 1BC 1,∴平面BDD 1B⊥面ACD 1,∴平面PDB 1⊥平面A 1BC 1;∴③正确.④三棱锥A 1-BPC 1的体积等于B-A 1PC 1的体积,△A 1PC 1的面积为定值12A 1C 1•AA 1,B 到平面A 1PC 1的高为BP 为定值,∴三棱锥A 1-BPC 1的体积不变,∴④正确.故答案为①③④.【点睛】本题考查空间直线与平面、平面与平面的位置关系及体积,突出考查面面平行的判定定理与性质定理,考查面面垂直的判定定理,考查几何体的体积运算.11.陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一,也作陀罗,闽南语称作“干乐”,北方叫作“冰尜(gá)”或“打老牛”.传统古陀螺大致是木制或铁制的倒圆锥形.现有一圆锥形陀螺(如图所示),其底面半径为3,将其放倒在一平面上,使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S 滚动,当圆锥在平面内转回原位置时,圆锥本身恰好滚动了3周.①圆锥的母线长为9;②圆锥的表面积为36π;③圆锥的侧面展开图(扇形)的圆心角为60︒;④圆锥的体积为,其中所有正确命题的序号为______________.【答案】①②【解析】【分析】利用圆锥在平面内转回原位置求解以S 为圆心,SA 为半径的圆的面积,再求解圆锥的侧面积,根据圆锥本身恰好滚动了3周列出方程求解结果;利用圆锥的表面积公式进行计算;圆锥的底面圆周长即为圆锥侧面展开图(扇形)的弧长,根据弧长公式求解圆心角;求解圆锥的高,利用圆锥体积公式求解.【详解】解:设圆锥的母线长为l ,以S 为圆心,SA 为半径的圆的面积为2πl ,圆锥的侧面积为π3πrl l =,当圆锥在平面内转回原位置时,圆锥本身恰好滚动了3周,则2π9πl l =,所以圆锥的母线长为9l =,故①正确;圆锥的表面积23π9π336π⨯+⨯=,故②正确;圆锥的底面圆周长为2π36π⨯=,设圆锥侧面展开图(扇形)的圆心角为rad α,则6π9α=,解得2π3α=,即120α=︒,故③错误;圆锥的高h ===,所以圆锥的体积为2211ππ333V r h ==⨯⨯=,故④错误.故答案为:①②.三、解答题12.如图,在正三棱柱111ABC A B C -中,P ,Q 分别为1A B ,1CC 的中点.(1)证明://PQ 平面AB C ;(2)证明:平面1A BQ ⊥平面11AA B B .请在下列证明过程中的横线上填上推理的依据.【解答】(1)证明:取AB 的中点D ,连接PD 、CD ,因为P ,Q 分别为1A B ,1CC 的中点,所以1PD AA ∥且112PD AA =,又三棱柱111ABC A B C -是正三棱柱,所以1CQ AA ∥,112CQ AA =,所以PD CQ ∥且PD CQ =,所以PDCQ 为平行四边形,所以PQ CD ∥,又因为PQ ⊂/平面ABC ,CD ⊂平面ABC ,所以//PQ 平面ABC (①定理).(2)证明:在正三棱柱111ABC A B C -中,D 为AB 的中点,所以CD AB ⊥,又1AA ⊥平面ABC ,CD ⊂平面ABC ,所以1CD AA ⊥,1AA AB A = ,1AA ,AB ⊂平面11ABB A ,所以CD ⊥平面11ABB A (②定理).又CD PQ ∥,所以PQ ⊥平面11ABB A ,又PQ ⊂平面1A BQ ,AA B B(③定理).所以平面1A BQ 平面11【答案】(1)答案见解析(2)答案见解析【解析】【分析】根据题意,由线面平行的判定定理以及线面与面面垂直的判定定理,即可得到结果.【小问1详解】①线面平行的判定定理【小问2详解】②线面垂直的判定定理③面面垂直的判定定理。
北京市西城区2017 - 2018学年度第二学期期末考试高一数学试卷
北京市西城区2017 - 2018学年度第二学期期末考试高一数学试卷北京市西城区2017-2018学年度第二学期期末试卷高一数学2018.7 A卷 [立体几何初步与解析几何初步] 本卷满分:100分一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的。
1.已知点 M(-1,2),N(3,0),则点 M 到点 N 的距离为()。
A) 2 (B) 4 (C) 5 (D) 2√52.直线 x-y-3=0 的倾斜角为()。
A) 45 (B) 60 (C) 120 (D) 1353.直线 y=2x-2 与直线 l 关于 y 轴对称,则直线 l 的方程为()。
A) y=-2x+2 (B) y=-2x-2 (C) y=2x+2 (D) y=1/x-14.已知圆 M: x^2+y^2=1 与圆 N: (x-2)^2+y^2=9,则两圆的位置关系是()。
A) 相交 (B) 相离 (C) 内切 (D) 外切5.设m,n 为两条不重合的直线,α,β 为两个不重合的平面,m,n 既不在α 内,也不在β 内。
则下列结论正确的是()。
A) 若m//α,n//α,则 m//n。
B) 若 m//n,n//α,则m//α。
C) 若 m⊥α,n⊥α,则 m⊥n。
D) 若 m⊥α,m⊥β,则α⊥β。
6.若方程 x^2+y^2-4x+2y+5k=0 表示圆,则实数 k 的取值范围是()。
A) (-∞,1) (B) (-∞,1] (C) [1,+∞) (D) R7.圆柱的侧面展开图是一个边长为 2 的正方形,那么这个圆柱的体积是()。
A) π (B) π/2 (C) 2π (D) π/28.方程 x=1-y^2 表示的图形是()。
A) 两个半圆 (B) 两个圆 (C) 圆 (D) 半圆9.如图,四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是梯形,XXX。
若平面 PAD 平面 PBC∥l,则()。
2023-2024学年北京市海淀区高一下学期7月期末考试数学试题+答案解析
2023-2024学年北京市海淀区高一下学期7月期末考试数学试题一、单选题:本题共10小题,每小题5分,共50分。
在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.若复数z满足,则z的虚部为()A. B.2 C. D.i2.已知向量,则()A.0B.C.D.3.函数的部分图象如图所示,则其解析式为()A. B.C. D.4.若,且,则()A. B. C. D.75.在中,点D满足,若,则()A. B. C.3 D.6.已知,则下列直线中,是函数对称轴的为()A. B. C. D.7.在平面直角坐标系xOy中,点,点,其中若,则()A. B. C. D.8.在中,已知则下列说法正确的是()A.当时,是锐角三角形B.当时,是直角三角形C.当时,是钝角三角形D.当时,是等腰三角形9.已知是非零向量,则“”是“对于任意的,都有成立”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件10.定义域为、的函数的图象的两个端点分别为点是的图象上的任意一点,其中,点N满足向量,点O为坐标原点.若不等式恒成立,则称函数在上为k函数.已知函数在上为k函数,则实数k的取值范围是()A. B. C. D.二、填空题:本题共5小题,每小题5分,共25分。
11.知复数z满足,则__________,__________.12.在中,,P满足,则__________.13.在中,若,则k的一个取值为__________;当时,__________.14.一名学生想测算某风景区山顶上古塔的塔尖距离地面的高度,由于山崖下河流的阻碍,他只能在河岸边制定如下测算方案:他在河岸边设置了共线的三个观测点A,B,如图,相邻两观测点之间的距离为200m,并用测角仪器测得各观测点与塔尖的仰角分别为,,,根据以上数据,该学生得到塔尖距离地面的高度为___________________15.已知函数,给出下列四个结论:①对任意的,函数是周期函数;②存在,使得函数在上单调递减;③存在,使得函数的图象既是轴对称图形,又是中心对称图形;④对任意的,记函数的最大值为,则其中所有正确结论的序号是__________.三、解答题:本题共4小题,共48分。
西城区2023-2024学年第一学期期末高三数学试题答案
20232024学年度第一学期期末试卷 第1页(共6页)北京市西城区2023—2024学年度第一学期期末试卷高三数学答案及评分参考 2024.1一、选择题(共10小题,每小题4分,共40分) ( 1 )C ( 2 )A ( 3 )D ( 4 )D ( 5 )C( 6 )B( 7 )D( 8 )A( 9 )B(10)A二、填空题(共5小题,每小题5分,共25分)(11)12(12)3 (答案不唯一) (13)(4,)+∞ 4(14)2x =−2(15)①②④三、解答题(共6小题,共85分) (16)(共13分)解:(Ⅰ)由题设2πππ2sin cos 2cos 0666a −=,解得a………3分所以2()cos 2cos f x x x x =−2cos21x x =−− ………5分 π2sin (2)16x =−−.………6分 所以()f x 的最小正周期为π.………7分(Ⅱ)因为π02x ≤≤, 所以ππ5π2666x −−≤≤.………9分所以1πsin (2)126x −−≤≤, 即π22sin (2)116x −−−≤≤.20232024学年度第一学期期末试卷 第2页(共6页)当ππ262x −=,即π3x =时,()f x 取得最大值1; 当ππ266x −=−,即0x =时,()f x 取得最小值2−. ………11分由题设2m −≤,且1M ≥.所以m 的最大值是2−;M 的最小值是1.………13分(17)(共13分)解:(Ⅰ)记“这2人都最喜爱使用跑步软件一”为事件A ,则80303(A)2008020P =⨯=. ………4分(Ⅱ)因为抽取的8人中最喜爱跑步软件二的人数为208280⨯=, 所以X 的所有可能取值为0,1,2.………5分3638C 5(0)14C P X ===, 122638C C 15(1)28C P X ===, 212638C C 3(2)28C P X ===. ………8分所以X 的分布列为故X 的数学期望0121428284EX =⨯+⨯+⨯=. ………10分 (Ⅲ)222231s s s .………13分20232024学年度第一学期期末试卷 第3页(共6页)(18)(共14分)解:(Ⅰ)因为PD AD =,E 为PA 中点,所以DE PA ⊥.………1分又因为平面PAB ⊥平面PAD , 平面PAB 平面PAD PA =, 且DE ⊂平面PAB . 所以DE ⊥平面PAB . ………2分 所以DE AB ⊥.………3分因为PD ⊥平面ABCD ,所以PD AB ⊥. 所以AB ⊥平面PAD .………4分(Ⅱ)因为AB ⊥平面PAD ,//AB CD ,所以CD ⊥平面PAD .又PD ⊥平面ABCD ,所以,,DA DC DP 两两相互垂直. ………5分 如图建立空间直角坐标系D x y z −,………6分则(0,0,0)D ,(2,0,0)A ,(2,2,0)B ,(0,2,0)C ,(0,0,2)P ,(1,0,1)E . 所以(2,0,0)CB =,(0,2,2)CP =−,(1,0,1)DE =.设平面PBC 的法向量为(,,)x y z =m ,则0,0.CB CP ⎧=⎪⎨=⎪⎩⋅⋅m m 即20,220.x y z =⎧⎨−+=⎩令1y =,则1z =.于是(0,1,1)=m . ………8分设直线DE 与平面PBC 所成角为α,则 1||sin ,|cos |2||||DE DE DE α=〉=〈=⋅m m m .………10分 所以直线DE 与平面PBC 所成角的大小为30.………11分(Ⅲ)因为(1,0,1)EP =−,所以点E 到平面PBC 的距离为2||||EP d ==⋅m m . ………13分因为CB CP ⊥,所以四面体PEBC 的体积为11123323PBC V S d CB CP d =⋅=⋅⋅⋅⋅=△. ………14分20232024学年度第一学期期末试卷 第4页(共6页)(19)(共15分)解:(Ⅰ)由题设,22222,411,c a a b c ab ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩………3分解得228,2a b ==.………4分 所以椭圆E 的方程为22182x y +=.………5分(Ⅱ)若直线AB 与y 轴重合,则点M 与原点重合,符合题意,此时直线AB 的方程为0x =.………6分若直线AB 与y 轴不重合,设其方程为1y k x =+.由221,48y k x x y =+⎧⎨+=⎩ 得22(41)840k x kx ++−=. ………8分设1122(,),(,)A x y B x y ,则122841kx x k −+=+. ………9分 所以1224241M x x k x k +−==+,21141M M y kx k =+=+.………10分因为M 是CD 的中点, 所以282241D M C k x x x k −=−=−+,222141D M Cy y y k =−=−+. ………11分 因为2248D D x y +=,………12分所以222282(2)4(1)804141k k k −−+−−=++. 整理得340k k +=. ………13分 解得0k =.………14分但此时直线AB 经过点C ,不符合题意,舍去. 综上,直线AB 的方程为0x =.………15分20232024学年度第一学期期末试卷 第5页(共6页)(20)(共15分)解:(Ⅰ)当1a =时,e ()x f x x =, 所以2(1)e ()xx f x x −'=.………1分 所以(1)e f =,(1)0f '=.………3分 所以曲线()y f x =在点(,())11f 处的切线方程为e 0y −=. ………4分 (Ⅱ)()f x 的定义域为(,0)(0,)−∞+∞,且2(1)e ()axax f x x −'=.………6分令()0f x '=,得1x a=. ()f x '与()f x 的情况如下:所以()f x 的单调递增区间为(,)a +∞;单调递减区间为(,0)−∞和1(0,)a.………10分(Ⅲ)当12x x <且120x x ⋅>时,121211()()f x f x x x −<−,证明如下: 令1()()g x f x x=−,则2(1)e 1()ax ax g x x −+'=.设()(1)e 1ax x h ax =−+,则2()e ax x h a x '=.………12分所以当(0),x ∈−∞时,()0x h '<;当()0,x ∈+∞时,()0x h '>. 所以()h x 在(0),−∞上单调递减,在()0,+∞上单调递增. 从而()(0)0h x h >=,即()0g x '>.所以()g x 的单调递增区间为(0),−∞和()0,+∞.………14分当120x x <<时,12()()g x g x <,即121211()()f x f x x x −<−; 当120x x <<时,12()()g x g x <,即121211()()f x f x x x −<−. 综上,当12x x <且120x x ⋅>时,121211()()f x f x x x −<−.………15分20232024学年度第一学期期末试卷 第6页(共6页)(21)(共15分)解:(Ⅰ):(1,2),(2,3),(3,1)A ,或:(1,3),(3,2),(2,1)A .………4分(Ⅱ)因为(,)p q 和(,)q p 不同时出现在A 中,故26C 15m =≤,所以1,2,3,4,5,6每个数至多出现5次.又因为1(1,2,,1)i i x y i m +==−,所以只有1,m x y 对应的数可以出现5次, 故1(4425)132m ⨯⨯+⨯=≤.………9分(Ⅲ)当N 为奇数时,先证明(2)()21T N T N N +=++.因为(,)p q 和(,)q p 不同时出现在A 中,所以21()C (1)2N T N N N =−≤. 当3N =时,构造:(1,2),(2,3),(3,1)A 恰有23C 项,且首项的第1个分量与末项的第2个分量都为1.对奇数N ,如果可以构造一个恰有2C N 项的序列A ,且首项的第1个分量与末项的第2个分量都为1,那么对奇数2N +而言,可按如下方式构造满足条件的序列A ': 首先,对于如下21N +个数对集合:{(1,1),(1,1)}N N ++,{(1,2),(2,1)}N N ++, {(2,1),(1,2)}N N ++,{(2,2),(2,2)}N N ++, ……,{(,1),(1,)}N N N N ++,{(,2),(2,)}N N N N ++,{(1,2),(2,1)}N N N N ++++,每个集合中都至多有一个数对出现在序列A '中,所以(2)()21T N T N N +++≤. 其次,对每个不大于N 的偶数{2,4,,1}i N ∈−,将如下4个数对并为一组:(1,),(,2),(2,1),(1,1)N i i N N i i N ++++++,共得到12N −组,将这12N −组数对以及(1,1),(1,2),(2,1)N N N N ++++按如下方式补充到A 的后面,即:,(1,1),(1,2),(2,2),(2,3),(3,1),,A N N N N N +++++(1,1),(1,2),(2,),(,1),(1,2),(2,1)N N N N N N N N N N N +−−++++++.此时恰有()21T N N ++项,所以(2)()21T N T N N +=++.综上,当N 为奇数时,()(()(2))((2)(4))((5)(3))(3)T N T N T N T N T N T T T =−−+−−−++−+[2(2)1][2(4)1](231)3N N =−++−+++⨯++1(1)2N N =−. ………15分。
高考数学最新真题专题解析—解三角形(全国通用)
高考数学最新真题专题解析—解三角形(全国通用)考向一 正余弦定理及三角形面积公式 【母题来源】2022年高考北京卷【母题题文】 在ABC 中,sin 23C C =.(1)求C ∠; (2)若6b =,且ABC 的面积为3ABC 的周长. 【试题解析】【小问1详解】解:因为()0,C π∈,则sin 0C >32sin cos C C C =,可得3cos C =,因此,6C π=.【小问2详解】解:由三角形的面积公式可得13sin 6322ABCSab C a ===,解得43a =由余弦定理可得22232cos 4836243612c a b ab C =+-=+-⨯=,23c ∴=所以,ABC 的周长为636a b c ++=.【命题意图】本题主要考查正、余弦定理解三角形,以及三角恒等变换在解三角形中的应用,考查学生的数学运算能力,是一道容易题.【命题方向】这类试题在考查题型上主要以解答题的形式出现.试题难度不大,多为低档题,重点考查正余弦定理、三角恒等变形及三角形面积公式等. 【得分要点】(1)一般全部化为角的关系,或全部化为边的关系; (2)应用正、余弦定理时,注意公式变式的应用;(3)注意边或角的限制范围. 考向二 正余弦定理的综合应用【母题来源】2022年高考全国乙卷(文科)【母题题文】 记ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ﹐已知()()sin sin sin sin C A B B C A -=-.(1)若2A B =,求C ; (2)证明:2222a b c =+ 【试题解析】【小问1详解】由2A B =,()()sin sin sin sin C A B B C A -=-可得,()sin sin sin sin C B B C A =-,而π02B <<,所以()sin 0,1B ∈,即有()sin sin 0C C A =->,而0π,0πC C A <<<-<,显然C C A ≠-,所以,πC C A +-=,而2A B =,πA B C ++=,所以5π8C =. 【小问2详解】由()()sin sin sin sin C A B B C A -=-可得,()()sin sin cos cos sin sin sin cos cos sin C A B A B B C A C A -=-,再由正弦定理可得,cos cos cos cos ac B bc A bc A ab C -=-,然后根据余弦定理可知,()()()()22222222222211112222a cb bc a b c a a b c +--+-=+--+-,化简得: 2222a b c =+,故原等式成立.【命题意图】本题考查三角形内角和定理及两角差的正弦公式.【命题方向】这类试题在考查题型多以解答题形式出现,多为中档题,是历年高考的热点.常见的命题角度有:(1)正弦定理及其变形;(2)余弦定理及其变形;(3)三角形面积公式;(4)正余弦定理的综合应用. 【得分要点】(1)一般全部化为角的关系,或全部化为边的关系; (2)应用正、余弦定理时,注意公式变式的应用; (3)注意边或角的限制范围. 真题汇总及解析 一、单选题1.(北京市西城区2021-2022学年高一下学期期末考试数学试题)在ABC 中,若222a b c kab +-=,则实数k 的取值范围是( ) A .()2,2- B .()1,1-C .11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭D .0,1【答案】A 【解析】 【分析】由余弦定理及已知条件可得(1,1)2k ∈-,即可求k 的取值范围. 【详解】由222cos (1,1)22kab a b C c ==∈+--,故()2,2k ∈-. 故选:A2.(2022·江西·赣州市第三中学模拟预测(文))△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知3a =,1c =,()1cos 2A C +=-,则b =( ) A 7B 13C .3D 19【答案】A 【解析】 【分析】先求得B 的余弦值,再根据余弦定理可求得b 的值. 【详解】()1cos cos(π)cos 2A C B B +=-=-=-,∴2222191cos 226a cb b B ac +-+-===,∴27,7b b ==故选:A.3.(2022·河南·模拟预测(文))已知ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,面积为33π3A =,43b c +==a ( ) A .23B .5 C .8 D .22【答案】A 【解析】 【分析】由三角形的面积和A 计算出bc 的值,再根据余弦定理求出2a 的值,即可得到答案 【详解】 由题意可知,1sin 332ABCSbc A ==,得12bc = 43b c +=12bc =由余弦定理可得:22222cos ()22cos =+-=+--a b c bc A b c bc bc A 整理得:212a = ,3a ∴=故选:A4.(2022·甘肃白银·三模(文))ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知22230,43=︒+-=A b c a ABC 的面积为( ) A .12 B 3C .1 D .2【答案】C 【解析】 【分析】根据余弦定理可求得4bc =,再根据三角形的面积公式1sin 2bc A ,即可求出结果. 【详解】因为22230,43=︒+-=A b c a所以2cos 343bc A bc ==,所以4bc =,所以ABC 的面积为1sin 12bc A =.故选:C.5.(2022·四川遂宁·模拟预测(文))在△ABC 中,“222sin sin sin A B C +>”是“△ABC 是锐角三角形”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】由222sin sin sin A B C +>不能得到ABC 是锐角三角形,但ABC 是锐角三角形,则222sin sin sin A B C +>,根据必要不充分条件的定义,即可求解.【详解】由正弦定理可知,222222sin sin sin cos 0A B C a b c C +>⇔+>⇔>,222sin sin sin A B C +>不能得到ABC 是锐角三角形,但ABC 是锐角三角形,则222sin sin sin A B C +>.故“222sin sin sin A B C +>”是“ABC 是锐角三角形”的必要不充分条件, 故选:B .6.(2022·江西·赣州市第三中学模拟预测(理))已知ABC 三边a ,b ,c 及对角A ,B ,C ,周长为5,且满足22(sin sin )sin sin 7sin A B A B B +=+,若1b =,则ABC 的面积S =( ) A 15B .78C 15D 15 【答案】A 【解析】 【分析】由正弦定理化边为角,得出2a b =,结合已知求出,a c ,然后求出等腰三角形底边上的高,由面积公式计算面积. 【详解】因为22(sin sin )sin sin 7sin A B A B B +=+,由正弦定理得22()7a b ab b +=+,所以2a b =(3a b =-舍去),三角形周长为5,1b =,则2a =,2c =,由等腰三角形性质知AC 边上的高为221152()2h =-=所以三角形面积为1151512S =⨯= 故选:A .7.(2022·上海黄浦·模拟预测)已知锐角ABC ,其外接圆半径为2,3C π=,AB 边上的高的取值范围为( ).A .(0,3]B .(0,3)C .(2,3]D .(2,3)【答案】C 【解析】 【分析】设AB 边上的高为h ,根据题意得62A ππ<<,再结合条件得2sin 216h A π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,再分析求值域即可. 【详解】因为ABC 为锐角三角形,3C π=,设AB 边上的高为h ,所以022032A A πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩,解得62A ππ<< 由正弦定理可得,4sin sin sin 3a b cA B π===,所以4sin a A =,4sin b B =,23c =11sin 223S ch ab π==,所以323124sin sin 4sin sin 32h A A A A A c π⎫⎛⎫==-=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭223sin cos 2sin 3sin 21cos 22sin 216A A A A A A π⎛⎫=+=+-=-+ ⎪⎝⎭因为62A ππ<<,所以52666A πππ<-<,所以1sin 2126A π⎛⎫<-≤ ⎪⎝⎭, 所以22sin 2136A π⎛⎫<-+≤ ⎪⎝⎭,所以高的取值范围为(2,3].故选:C.8.(2022·山东师范大学附中模拟预测)魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作,其中第一题是测量海岛的高.一个数学学习兴趣小组研究发现,书中提供的测量方法甚是巧妙,可以回避现代测量器械的应用.现该兴趣小组沿用古法测量一山体高度,如图点E 、H 、G 在水平线AC 上,DE 和FG 是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度,记为h ,EG 为测量标杆问的距离,记为d ,GC 、EH 分别记为,a b ,则该山体的高AB =( )A .hdh a b+- B .hdh a b-- C .hdd a b+- D .hdd a b-- 【答案】A 【解析】 【分析】根据所给数据,利用解直角三角形先求出BM ,即可得解. 【详解】连接FD ,并延长交AB 于M 点,如图,因为在Rt BMD △中tan hBDM b∠=,所以||||||tan BM BM b MD BDM h ==∠;又因为在Rt BMF △中tan hBFM a ∠=,所以||||||tan BM BM a MF BFM h ==∠,所以||||||||BM a BM bMF MD d h h-=-=, 所以||hd BM a b =-,即||hdAB BM h h a b=+=+-, 故选:A . 二、填空题9.(2022·浙江湖州·模拟预测)若一个三角形的三边长分别为a ,b ,c ,设1()2p a b c =++,则该三角形的面积()()()S p p a p b p c ---这就是著名的“秦九韶-海伦公式”若ABC 的三边长分别为5,6,7,则该三角形的面积为_____________. 【答案】66 【解析】 【分析】将三边长分别代入公式即可求解. 【详解】 解:由题意得11()(567)922p a b c =++=⨯++=()()()9(95)(96)(97)66ABCSp p a p b p c ∴---⨯---故答案为:6610.(2022·全国·模拟预测(文))若a ,b ,c 分别是ABC 的三个内角A ,B ,C 的对边,4C π,且32c a =,则B =________.【答案】12π或512π 【解析】 【分析】利用正弦定理求出3A π=或23A π=,即得解. 【详解】32c a =,可得sin s 3in 2A C a c ==4C π,所以33s in in 2A C =c a <,所以C A <,所以3A π=或23A π=, 所以53412B ππππ=--=或23412B ππππ=--=. 故答案为:12π或512π 11.(2022·河南安阳·模拟预测(理))在ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,满足22230,sin()2sin --=+=b c ac A B A ,则tan C =___________. 3【解析】 【分析】由正弦定理角化边,即可得到2c a =,从而得到7b a =,再由余弦定理求出cos C ,最后由同角三角函数的基本关系计算可得; 【详解】解:因为sin()2sin A B A +=,即sin 2sin C A =,由正弦定理可得2c a =, 又22230b c ac --=,即22221220b a a --=,即7b a =,由余弦定理2222cos c a b ab C =+-,即222222227cos 227a b c C ab a+-== 所以221sin 1cos 7C C, 所以21sin 37tan cos 27C C C ===; 312.(2022·湖北·鄂南高中模拟预测)ABC 的内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、,且1,cos sin a b C c A ==-,则ABC 的外接圆半径为__________. 2【解析】 【分析】利用正弦定理可得sin sin cos sin sin B A C C A =-,进而可得34A π=,即得. 【详解】1a =,则cos sin b a C c A =-,由正弦定理,得sin sin cos sin sin B A C C A =-,故()sin sin cos sin sin A C A C C A +=-, 展开化简得:cos sin sin sin A C C A =-,()0,C π∈,sin 0C ≠,故cos sin A A =-,()0,A π∈,即34A π=,∴外接圆直径2R 2sin a A =22. 三、解答题13.(2022·上海·华师大二附中模拟预测)设()2sin cos cos 4f x x x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,[]0,x ∈π. (1)求()f x 的单调递增区间;(2)在锐角ABC 中,A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若02A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭,1a =,求ABC面积的最大值. 【答案】(1)0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和3,4π⎡⎤π⎢⎥⎣⎦23+【解析】 【分析】(1)化简()1sin 22f x x =-,结合0x π≤≤与正弦函数的单调性令022x π≤≤或3222x ππ≤≤,求解即可; (2)结合锐角三角形及02Af ⎛⎫= ⎪⎝⎭可得6A π=,利用余弦定理可得2231b c bc +=,再根据基本不等式求得bc 的范围,进而由三角形面积公式求解.(1)由题意,()111sin 2cos 21sin 22222f x x x x ⎛π⎫⎛⎫=-++=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭, 因为0x π≤≤,所以022x π≤≤, 由正弦函数的单调性可知,当022x π≤≤或3222x ππ≤≤,即04x π≤≤或34x ππ≤≤时,函数1sin 22y x =-递增,所以()f x 的单调递增区间是0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和3,4π⎡⎤π⎢⎥⎣⎦. (2)由题意,1sin 022A f A ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭,所以1sin 2A =,因为锐角ABC ,则0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,故6A π=,由余弦定理,2222cos b c bc A a +-=,故2231b c bc +=, 由基本不等式,222b c bc +≥,故23bc ≤,当b=c 时等号成立 因此,123sin 2ABCSbc A +=,当b c =时,ABC 23+. 14.(2022·湖北·天门市教育科学研究院模拟预测)在ABC 中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,已知()cos2cos 0C A B -+=.(1)求角C 的值; (2)若7,2sin 3sin c A B ==,求ABC 的面积. 【答案】(1)3C π=33【解析】 【分析】(1)由三角形的内角和结合二倍角公式可得出答案.(2)由正弦定理可得32a b =,再由余弦定理代入可求出,a b 的值,最后由三角形的面积公式可求出答案.(1)由()cos2cos 0C A B -+=得: 22cos cos 10C C +-=, 解得:1cos 2C =或cos 1C =-.又因为()0,C π∈,所以1cos 2C =,则3C π=.(2)由正弦定理及已知条件可得,23a b =,即32a b =, 由余弦定理:2222cos c a b ab C =+-, 得:2229317724224b b b b b =+-⨯⨯⨯=,所以2b =,所以332a b ==, 所以11333sin 3222ABCSab C ==⨯⨯15.(2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测(理))已知ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且()()sin sin a A B C c B C +-=+. (1)求角C 的值;(2)若2a +b =6,且ABC 3ABC 的周长.【答案】(1)π3C = (2)6或513+【解析】 【分析】(1)利用正弦定理结合πA B C ++=,代换整理得sin 2sin C C =,再结合倍角公式整理;(2)根据面积公式1sin 2ABCSab C =代入整理得4ab =,结合题意可得22a b =⎧⎨=⎩或14a b =⎧⎨=⎩,分情况讨论处理. (1)∵()()sin sin a A B C c B C +-=+,则()sin sin π2sin sin A C C A -= ∵0π,sin 0A A <<≠∴sin 2sin C C =,即2sin cos sin C C C = ∵0π,sin 0C C <<≠,则1cos 2C =∴π3C =(2)∵△ABC 的面积为3,则1sin 32ab C =,∴4ab = 根据题意得426ab a b =⎧⎨+=⎩,则22a b =⎧⎨=⎩或14a b =⎧⎨=⎩若22a b =⎧⎨=⎩,则△ABC 为等边三角形,ABC 的周长为6; 若14a b =⎧⎨=⎩,则2222cos 13c a b ab C =+-=,即13c =,ABC 的周长为513+ ∴ABC 的周长为6或513+16.(2022·上海虹口·二模)如图,某公园拟划出形如平行四边形ABCD 的区域进行绿化,在此绿化区域中,分别以DCB ∠和DAB ∠为圆心角的两个扇形区域种植花卉,且这两个扇形的圆弧均与BD 相切.(1)若437AD =337AB =37BD =(长度单位:米),求种植花卉区域的面积;(2)若扇形的半径为10米,圆心角为135︒,则BDA ∠多大时,平行四边形绿地ABCD 占地面积最小?【答案】(1)72π (2)22.5︒ 【解析】 【分析】(1)根据余弦定理可得A ∠的大小,再根据正弦定理可得sin ABD ∠,进而求得扇形的半径,从而得到种植花卉区域的面积(2)设BDA θ∠=,根据直角三角形中的关系可得,AD AB 关于θ的表达式,从而()2sin 2451θ+-,从而根据三角函数的最值求解即可(1)由余弦定理,222222169371cos 22422437337AD AB BD A AD AB +-+-====-⋅⨯⨯,故120A =,又由正弦定理有sin120sin BD AD ABD =∠,故23sin sin12037AD ABD BD ∠==,所以扇形的半径23sin 3376337r AB ABD =⋅∠==(2122637223S ππ=⨯⨯⨯=(2)设BDA θ∠=,则18013545ABD θθ∠=--=-,故10sin AD θ=,()10sin 45AB θ=-,故平行四边形绿地ABCD 占地面积()()21101021002sin1352sin sin cos sin sin 452sin cos sin S θθθθθθθθ=⋅⋅⋅⋅==--⋅-()200sin 2cos 212sin 2451θθθ==+-+-,因为()0,45θ∈,故要ABCD 面积最小,则当()sin 2451θ+=,即24590θ+=,22.5θ=时ABCD 面积取得最小值,即22.5BDA ∠=多大时,平行四边形绿地ABCD 占地面积最小。
西城区2023-2024学年第一学期期末高二数学试题及答案
北京市西城区2023—2024学年度第一学期期末试卷高二数学 2024.1本试卷共5页,共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案写在答题卡上,在试卷上作答无效.第一部分(选择题共40分)一、选择题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.直线3410x y -+=不经过( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.抛物线26x y =的焦点到其准线的距离等于( ) A.32B.3C.6D.8 3.在空间直角坐标系O xyz -中,点()4,2,8A -到平面xOz 的距离与其到平面yOz 的距离的比值等于( ) A.14 B.12C.2D.4 4.在312x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中,x 的系数为( ) A.3 B.6 C.9 D.125.在正四面体ABCD 中,棱AB 与底面BCD 所成角的正弦值为( )C.136.已知直线,a b 和平面α,且b α⊂,则“直线a ∥直线b ”是“直线a ∥平面α”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.设,A B 为双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的左、右顶点,M 为双曲线E 上一点,且AMB 为等腰三角形,顶角为120,则双曲线E 的一条渐近线方程是( )A.y x =B.2y x =C.y =D.y =8.在正方体的8个顶点中任选3个,则这3个顶点恰好不在同一个表面正方形中的选法有( )A.12种B.24种C.32种D.36种9.如图,在长方体1111ABCD A B C D -中,13,4,AB BC CC E ===为棱11B C 的中点,P 为四边形11BCC B 内(含边界)的一个动点.且DP BE ⊥,则动点P 的轨迹长度为( )A.5B.C.10.在直角坐标系xOy 内,圆22:(2)(2)1C x y -+-=,若直线:0l x y m ++=绕原点O 顺时针旋转90后与圆C 存在公共点,则实数m 的取值范围是( )A.⎡⎣B.44⎡--⎣C.22⎡--+⎣D.2⎡-+⎣第二部分(非选择题共110分)二、填空题共5小题,每小题5分,共25分.11.过点()2,3A -且与直线30x y ++=平行的直线方程为__________.12.在4(21)x +的展开式中,所有项的系数和等于__________.(用数字作答)13.两个顶点朝下竖直放置的圆锥形容器盛有体积相同的同种液体(示意图如图所示),液体表面圆的半径分别为3,6,则窄口容器与宽口容器的液体高度的比值等于__________.14.若方程22124x y m m+=+-m 的取值范围是__________;若此方程表示的曲线为椭圆,则实数m 的取值范围是__________.15.如图,在正方体1111ABCD A B C D -中,2,AB E =为棱1BB 的中点,F 为棱1CC (含端点)上的一个动点.给出下列四个结论:①存在符合条件的点F ,使得1B F ∥平面1A ED ;①不存在符合条件的点F ,使得BF DE ⊥;①异面直线1A D 与1EC 所成角的余弦值为5; ①三棱锥1F A DE -的体积的取值范围是2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 其中所有正确结论的序号是__________.三、解答题共6小题,共85分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.从6男4女共10名志愿者中,选出3人参加社会实践活动.(1)共有多少种不同的选择方法?(2)若要求选出的3名志愿者中有2男1女,且他们分别从事经济、文化和民生方面的问卷调查工作,求共有多少种不同的选派方法?17.(本小题15分)如图,在直三棱柱111ABC A B C -中,1,3,4BA BC BC AB AA ⊥===.(1)证明:直线1AB ⊥平面1A BC ;(2)求二面角1B CA A --的余弦值.18.(本小题15分)已知C 经过点()1,3A 和()5,1B ,且圆心C 在直线10x y -+=上.(1)求C 的方程;(2)设动直线l 与C 相切于点M ,点()8,0N .若点P 在直线l 上,且PM PN =,求动点P的轨迹方程.19.(本小题15分)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点为),四个顶点构成的四边形面积等于12.设圆22(1)25x y -+=的圆心为,M P 为此圆上一点.(1)求椭圆C 的离心率;(2)记线段MP 与椭圆C 的交点为Q ,求PQ 的取值范围.20.(本小题15分)如图,在四棱锥P ABCD -中,AD ⊥平面,PAB AB ∥,DC E 为棱PB 的中点,平面DCE 与棱PA 相交于点F ,且22PA AB AD CD ====,再从下列两个条件中选择一个作为已知. 条件①:PB BD =;条件①:PA BC ⊥.(1)求证:AB ∥EF ;(2)求点P 到平面DCEF 的距离;(3)已知点M 在棱PC 上,直线BM 与平面DCEF 所成角的正弦值为23,求PM PC的值.设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>左、右焦点分别为12,F F ,过1F 的直线与椭圆C 相交于,A B 两点.已知椭圆C 的离心率为21,2ABF 的周长为8. (1)求椭圆C 的方程;(2)判断x 轴上是否存在一点M ,对于任一条与两坐标轴都不垂直的弦AB ,使得1MF 为AMB 的一条内角平分线?若存在,求点M 的坐标;若不存在,说明理由.北京市西城区2023—2024学年度第一学期期末试卷高二数学参考答案 2024.1一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分1.D2.B3.B4.D5.B6.D7.A8.C9.B 10.A二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分11.10x y ++= 12.81 13.414.()(),24,∞∞−−⋃+;()()2,11,4−⋃ 15.①②④注:第14题第一问3分,第二问2分;第15题全部选对得5分,有两个选对且无错选得3分,有一个选对且无错选得2分,其他得0分.三、解答题:本大题共6小题,共85分.其他正确解答过程,请参照评分标准给分. 16.(本小题10分)解:(1)从6男4女共10名志愿者中,选出3人参加社会实践活动,选择方法数为310C 120=种.(2)从10名志愿者中选2男1女,选择方法数共有2164C C 60=种,故从10名志愿者中选2男1女,且分别从事经济、文化和民生方面的问卷调查工作的选派方法数为213643C C A 360=种.17.(本小题15分)解:(1)在直三棱柱111ABC A B C −中,因为1AA ⊥.平面,ABC BC ⊂平面ABC ,所以1AA BC ⊥.又因为1,BA BC BA AA A ⊥⋂=,所以BC ⊥平面11AA B B ,所以1BC AB ⊥.由14AB AA ==,得四边形11AA B B 为正方形.所以11AB A B ⊥.又因为1BC A B B ⋂=,所以1AB ⊥平面1A BC .(2)因为1BB ⊥平面,ABC BA BC ⊥,所以1,,BA BC BB 两两互相垂直,故以B 为原点,1,,BA BC BB 的方向分别为x 轴、y .轴、z 轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系.则()()()()114,0,0,0,3,0,4,0,4,0,0,4A C A B .所以()()14,3,0,0,0,4AC AA =−=.设平面1A AC 的法向量为(),,m x y z =,则10,0,m AC m AA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即430,40.x y z −+=⎧⎨=⎩ 令3x =,则4,0y z ==.于是()3,4,0m =.由(1)可知:()14,0,4AB =−是平面1A BC 的一个法向量.因为11112cos ,1042||AB mAB m AB m ⋅−===−⨯, 由图可知二面角1B CA A −−的平面角为锐角,所以二面角1B CA A −−的余弦值为10. 18.(本小题15分)解:(1)由题意,设C 的圆心(),1C a a +,半径为r , 则222222(1)(31),(5)(11).a a r a a r ⎧−+−−=⎨−+−−=⎩ 解得:5,5.a r =⎧⎨=⎩所以C 的方程为22(5)(6)25x y −+−=.(2)由平面几何,知PMC 为直角三角形,且PM MC ⊥,所以222||||||PM MC PC +=.由PM PN =,得222||||||PN MC PC +=.设(),P x y ,则2222(8)25(5)(6)x y x y −++=−+−.即36140x y −−=,经检验符合题意.所以动点P 的轨迹方程为36140x y −−=.19.(本小题15分)解:(1)由题意,得222212,c ab a b c ===+,所以3,2a b ==,所以椭圆C 的离心率c e a ==. (2)由题意,得5PQ MP MQ MQ =−=−.设()11,Q x y ,则2211194x y +=.所以MQ ===. 因为[]13,3x ∈−,所以当195x =时,min ||MQ =;当13x =−时,max ||4MQ =.所以PQ 的取值范围为1,5⎡−⎢⎣⎦. 20.(本小题15分)解:选择条件①:(1)因为AB ∥,DC AB ⊄平面,DCEF DC ⊂平面DCEF ,所以AB ∥平面DCEF .又因为AB ⊂平面PAB ,平面PAB ⋂平面DCEF EF =,所以AB ∥EF .(2)因为AD ⊥平面PAB ,所以,AD PA AD AB ⊥⊥.又因为,22PB BD PA AB AD CD ====,所以PAB DAB ≅.因此90PAB DAB ∠∠==,即,,AB AD AP 两两垂直.如图,以A 为原点,,,AB AD AP 的方向分别为x 轴,y 轴,z 轴正方向,建立空间直角坐标系,所以()()()()0,2,0,1,2,0,0,0,2,2,0,0D C P B .由(1),得AB ∥EF ,且E 为棱PB 的中点,所以点F 为棱PA 的中点.()()1,0,1,0,0,1E F ,故()()()0,0,1,0,2,1,1,0,0FP DF CD ==−=−.设平面DCEF 的一个法向量为(),,n x y z =,则20,0,DF n y z CD n x ⎧⋅=−+=⎪⎨⋅=−=⎪⎩ 取1y =,则0,2x z ==,即()0,1,2n =.所以点P 到平面DCEF 的距离255FP n d n ⋅==. (3)设[],0,1PM PCλλ=∈, 则()()1,2,2,2,2PM PC λλλλλ==−=−.所以()2,2,22BM BP PM λλλ=+=−−.设直线BM 与平面DCEF 所成角为θ,所以||sin |cos ,|||||BM n BMn BM n θ⋅=<>== 23=. 化简,得29610λλ−+=,解得13λ=, 即13PM PC =. 选择条件②:(1)与上述解法相同,略.(2)因为AD ⊥平面PAB ,所以,AD PA AD AB ⊥⊥,又因为,PA BC BC ⊥与AD 相交,所以PA ⊥平面ABCD . 所以PA AB ⊥.即,,AB AD AP 两两垂直.以下与上述解法相同,略.21.(本小题15分)解:(1)由题意,得22248,1,2,a c a abc =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩ 解得2,1.a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆C 的方程为22143x y +=. (2)假设x 轴上存在一点()0,0M x 符合题意.由题意,设直线()()()()1122:10,,,,AB y k x k A x y B x y =+≠.联立方程()221,1,43y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩消去y , 得()22223484120k x k x k +++−=. 所以221212228412,3434k k x x x x k k−+=−=++. 由题意,知直线AM 的斜率存在,且为()11101010AM k x y k x x x x +−==−−, 同理,直线BM 的斜率为()22202010BM k x y k x x x x +−==−−. 所以()()12102011AM BM k x k x k k x x x x +++=+−− ()()()()12120120102022k x x x x x x x x x x x x ⎡⎤++−+−⎣⎦=−−. 因为1MF 为AMB 的一条内角平分线,所以0AM BM k k +=.所以()()1212010220k x x x x x x x x ⎡⎤++−+−=⎣⎦.因为上式要对任意非零的实数k 都成立, 所以2220022241288220343434k k k x x k k k−⨯−+⨯−=+++, 解得04x =−.故x 轴上存在一点()4,0M −,对于任一条与两坐标轴都不垂直的弦AB ,使得1MF 为AMB 的一条内角平分线.。
北京市2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题含答案
北京2023—2024学年第二学期期中练习高一数学(答案在最后)2024.04说明:本试卷共4页,共120分.考试时长90分钟.一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.sin120︒的值等于()A.12-B.12C.2D.2【答案】D 【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值得到2,从而可求解.【详解】由题意可得sin1202︒=,故D 正确.故选:D.2.若角α的终边过点()4,3,则πsin 2α⎛⎫+= ⎪⎝⎭()A.45B.45-C.35D.35-【答案】A 【解析】【分析】根据余弦函数定义结合诱导公式计算求解即可.【详解】因为角α的终边过点()4,3,所以4cos 5α==,所以π4sin cos 25αα⎛⎫+== ⎪⎝⎭.故选:A3.已知扇形的弧长为4cm ,圆心角为2rad ,则此扇形的面积是()A.22cmB.24cm C.26cm D.28cm 【答案】B【解析】【分析】由条件结合弧长公式l R α=求出圆的半径,然后结合扇形的面积公式12S lR =可得答案.【详解】因为扇形的圆心角2rad α=,它所对的弧长4cm l =,所以根据弧长公式l R α=可得,圆的半径2R =,所以扇形的面积211424cm 22S lR ==⨯⨯=;故选:B .4.向量a ,b ,c在正方形网格中的位置如图所示,若向量c a b λ=+,则实数λ=()A.2-B.1-C.1D.2【答案】D 【解析】【分析】将3个向量的起点归于原点,根据题设得到它们的坐标,从而可求λ的值.【详解】如图,将,,a b c的起点平移到原点,则()()()1,1,0,1,2,1a b c ==-= ,由c a b λ=+可得()()()2,11,10,1λ=+-,解得2λ=,故选:D.5.下列四个函数中以π为最小正周期且为奇函数的是()A.()cos2f x x =B.()tan2x f x =C.()()tan f x x =- D.()sin f x x=【答案】C 【解析】【分析】根据三角函数的周期性和奇偶性对选项逐一分析,由此确定正确选项.【详解】对于A ,函数()cos2f x x =的最小正周期为π,因为()()()cos 2cos 2f x x x f x -=-==,所以()cos2f x x =为偶函数,A 错误,对于B ,函数()tan 2xf x =的最小正周期为2π,因为()()tan tan 22x x f x f x ⎛⎫-=-=-=- ⎪⎝⎭,所以函数()tan 2x f x =为奇函数,B 错误,对于C ,函数()()tan f x x =-的最小正周期为π,因为()()()tan tan f x x x f x -==--=-,所以函数()()tan f x x =-为奇函数,C 正确,对于D ,函数()sin f x x =的图象如下:所以函数()sin f x x =不是周期函数,且函数()sin f x x =为偶函数,D 错误,6.在ABC 中,4AB =,3AC =,且AB AC AB AC +=- ,则AB BC ⋅= ()A.16B.16- C.20D.20-【答案】B 【解析】【分析】将AB AC AB AC +=- 两边平方,即可得到0AB AC ⋅=,再由数量积的运算律计算可得.【详解】因为AB AC AB AC +=- ,所以()()22AB ACAB AC +=-,即222222AB AB AC AC AB AB AC AC +⋅+=-⋅+uu u r uu u r uuu r uuu r uu u r uu u r uuu r uuu r ,所以0AB AC ⋅= ,即AB AC ⊥ ,所以()220416AB BC AB AC AB AB AC AB ⋅=⋅-=⋅-=-=- .故选:B7.函数cos tan y x x =⋅在区间3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭上的图像为()A.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】分别讨论x 在3,,[,)22ππππ⎛⎫⎪⎝⎭上tan x 的符号,然后切化弦将函数化简,作出图像即可.【详解】因为3,22x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以sin ,,23sin ,.2x x y x x πππ⎧-<<⎪⎪=⎨⎪≤<⎪⎩故选:C.8.已知函数()sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,则“()ππ8k k α=+∈Z ”是“()f x α+是偶函数,且()f x α-是奇函数”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】【分析】首先求出()f x α+、()f x α-的解析式,再根据正弦函数的性质求出使()f x α+是偶函数且()f x α-是奇函数时α的取值,再根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】因为()sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭,则()sin 224f x x ααπ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭,()sin 224f x x ααπ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭,若()f x α-是奇函数,则112π,Z 4k k απ-+=∈,解得11π,Z 82k k απ=-∈,若()f x α+是偶函数,则222π,Z 42k k αππ+=+∈,解得22π,Z 82k k απ=+∈,所以若()f x α+是偶函数且()f x α-是奇函数,则π,Z 82k k απ=+∈,所以由()ππ8k k α=+∈Z 推得出()f x α+是偶函数,且()f x α-是奇函数,故充分性成立;由()f x α+是偶函数,且()f x α-是奇函数推不出()ππ8k k α=+∈Z ,故必要性不成立,所以“()ππ8k k α=+∈Z ”是“()f x α+是偶函数,且()f x α-是奇函数”的充分不必要条件.故选:A9.已知向量,,a b c 共面,且均为单位向量,0a b ⋅= ,则a b c ++ 的最大值是()A.1+ B.C.D.1-【答案】A 【解析】【分析】根据题意,可设出向量,,a b c 的坐标,由于这三个向量都是单位向量,则向量,,a b c的终点都落在以坐标原点为圆心的单位圆上,作出示意图,由向量的性质可知,只有当c 与a b +同向时,a b c ++ 有最大值,求解即可.【详解】因为向量,,a b c 共面,且均为单位向量,0a b ⋅= ,可设()1,0a =,()0,1b = ,(),c x y = ,如图,所以2a b += ,当c 与a b +同向时,此时a b c ++ 有最大值,为21+.故选:A .10.窗花是贴在窗户玻璃上的贴纸,它是中国古老的传统民间艺术之一在2022年虎年新春来临之际,人们设计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花(如图1).已知正方形ABCD 的边长为2,中心为O ,四个半圆的圆心均为正方形ABCD 各边的中点(如图2),若P 为 BC 的中点,则()PO PA PB ⋅+=()A .4B.6C.8D.10【答案】C 【解析】【分析】根据平面向量的线性运算将()PO PA PB ⋅+ 化为OA 、OB 、OP表示,再根据平面向量数量积的运算律可求出结果.【详解】依题意得||||2OA OB ==,||2OP =,3π4AOP =Ð,π4BOP =Ð,所以3π2||||cos 22(242OA OP OA OP ⋅=⋅=⨯-=- ,π2||||cos 22242OB OP OB OP ⋅=⋅=⨯= ,所以()PO PA PB ⋅+= ()OP OA OP OB OP -⋅-+- 22||OA OP OB OP OP =-⋅-⋅+ 222228=-+⨯=.故选:C二、填空题(本大题共5小题,每小题4分,共20分,把答案填在题中横线上)11.写出一个与向量()3,4a =-共线的单位向量_____________.【答案】34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭(答案不唯一)【解析】【分析】先求出a r ,则aa±即为所求.【详解】5a ==所以与向量()3,4a =- 共线的单位向量为34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭或34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭.故答案为:34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭(答案不唯一)12.已知函数()()sin 0,0,2πf x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象如图,则π3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭__________.【解析】【分析】根据图象可得函数()f x 的最大值,最小值,周期,由此可求,A ω,再由5π212f ⎛⎫=⎪⎝⎭求ϕ,由此求得的解析式,然后求得π3f ⎛⎫⎪⎝⎭.【详解】由图可知,函数()f x 的最大值为2,最小值为2-,35ππ3π41234T =+=,当5π12x =时,函数()f x 取最大值2,又()()sin 0,0,2πf x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭所以2A =,32π3π44ω⨯=,所以2ω=,所以()()2sin 2f x x ϕ=+,又5π212f ⎛⎫=⎪⎝⎭,所以5π5π2sin 2126f ϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,由于πππ5π4π,22363ϕϕ-<<<+<,所以5πππ,623ϕϕ+==-,所以()π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,ππ2sin 33f ⎛⎫== ⎪⎝⎭.13.已知函数()()πsin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象过点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭,则ϕ=__________.,若将函数()f x 图象仅向左平移π4个单位长度和仅向右平移π2个单位长度都能得到同一个函数的图象,则ω的最小值为__________.【答案】①.π6##1π6②.83##223【解析】【分析】由条件列方程求ϕ,再利用平移变换分别得到变换后的函数解析式,并根据相位差为2π,Z k k ∈求解;【详解】因为函数()()sin f x x ωϕ=+的图象过点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭,所以1sin 2ϕ=,又π2ϕ<,所以π6ϕ=,函数()πsin 6f x x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭(0ω>)的图象仅向左平移π4个单位长度得到函数ππππsin sin 4646y x x ωωω⎡⎛⎫⎤⎛⎫=++=++ ⎪ ⎢⎥⎝⎭⎦⎝⎭⎣的图象,函数()πsin 6f x x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭(0ω>)的图象仅向右平移π2个单位长度得到ππππsin sin 2626y x x ωωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象,则ππππ2π4626k ωω⎛⎫⎛⎫+--+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(Z k ∈),化简得3π2π4k ω=(Z k ∈),解得83k ω=(Z k ∈),由于0ω>,所以当1k =时,ω取得最小值83,故答案为:π8,63.14.已知边长为2的菱形ABCD 中,π3DAB ∠=,点E 满足3BE EC = ,点F 为线段BD 上一动点,则AF BE ⋅的最大值为______.【答案】3【解析】【分析】建立如图平面直角坐标系,设BF BD λ= ,利用平面向量线性运算与数量积的坐标表示可得AF BE⋅关于λ的表达式,从而得解.【详解】如图,以A为原点建立平面直角坐标系,则(0,0),(2,0),A B C D ,因为3BE EC =,所以(33333,4444BE BC ⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭,由题意,设()01BF BD λλ=≤≤,则(()BF λλ=-=- ,则()()()2,02,AF AB BF λλ=+=+-=-,所以()3333324422AF BE λλ⋅=-+=+,因为01λ≤≤,所以当1λ=时,AF BE ⋅的最大值为3.故答案为:3.15.声音是由物体振动产生的声波.我们听到的每个音都是由纯音合成的,纯音的数学模型是函数sin y A t ω=.音有四要素,音调、响度、音长和音色.它们都与函数sin y A t ω=及其参数有关,比如:响度与振幅有关,振幅越大响度越大,振幅越小响度越小;音调与频率有关,频率低的声音低沉,频率高的声音尖锐.我们平时听到的乐音不只是一个音在响,而是许多音的结合,称为复合音.我们听到的声音对应的函数是111sin sin 2sin 3sin 4234y x x x x =++++⋯..给出下列四个结论:①函数1111sin sin 2sin 3sin 4sin1023410y x x x x x =++++⋯+不具有奇偶性;②函数()111sin sin2sin3sin4234f x x x x x =+++在区间ππ,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增;③若某声音甲对应的函数近似为()11sin sin 2sin 323g x x x x =++,则声音甲的响度一定比纯音()1sin22h x x =的响度小;④若某声音乙对应的函数近似为()1sin sin 22x x x ϕ=+,则声音乙一定比纯音()1sin22h x x =更低沉.其中所有正确结论的序号是__________.【答案】②④【解析】【分析】对①,结合奇偶性的定义判断即可;对②,利用正弦型函数的单调性作出判断;对③,分别判断()(),g x h x 的振幅大小可得;对④,求出周期,可得频率,即可得出结论.【详解】对于①,令()1111sin sin2sin3sin4sin1023410F x x x x x x =++++⋯+,所以()()()()()()1111sin sin 2sin 3sin 4sin 1023410F x x x x x x -=-+-+-+-+⋯+-,所以()1111sin sin2sin3sin4sin1023410F x x x x x x -=-----⋅⋅⋅-,所以()()F x F x -=-,所以()F x 是奇函数,①错误;对于②,由ππ88x -≤≤可得,ππ244x -≤≤,3π3π388x -≤≤,ππ422x -≤≤,所以111sin ,sin2,sin3,234x x x x 都在ππ,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增,所以()111sin sin2sin3sin4234f x x x x x =+++在ππ,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增,所以函数()f x 在区间ππ,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增,②正确;对于③.因为()11sin sin 2sin 323g x x x x =++,所以π223g ⎛⎫= ⎪⎝⎭,所以()max 23g x ≥,即()g x 的振幅比()1sin22h x x =的振幅大,所以声音甲的响度一定比纯音()1sin22h x x =的响度大,所以③错误;对于④,因为()()()()112πsin 2πsin 24πsin sin 222x x x x x x ϕϕ+=+++=+=,所以函数()x ϕ为周期函数,2π为其周期,若存在02πα<<,使()()x x ϕϕα=+恒成立,则必有()()0ϕϕα=,()()110sin 0sin 00sin sin 222ϕϕααα∴=+===+,()sin 1cos 0αα∴+=,因为02πα<<,πα∴=,又()()()11πsin πsin 2πsin sin 222x x x x x ϕ+=+++=-+与()1sin sin 22x x x ϕ=+不恒相等,所以函数()1sin sin22x x x ϕ=+的最小正周期是2π,所以频率1112πf T ==而()h x 的周期为π,频率21πf =,12f f <,所以声音乙一定比纯音()1sin22h x x =更低沉,所以④正确.故答案为:②④.三、解答题(本大题共5小题,共60分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)16.如图,在ABC 中,2BD DC = ,E 是AD 的中点,设AB a = ,AC b = .(1)试用a ,b 表示AD ,BE ;(2)若1a b == ,a 与b 的夹角为60︒,求AD BE ⋅ .【答案】(1)1233AD a b =+ ,5163BE a b =-+ (2)518-【解析】【分析】(1)利用向量加法减法的三角形法则及数乘运算即可求解;(2)根据(1)的结论,利用向量的数量积运算法则即可求解.【小问1详解】因为2BD DC = ,所以23BD BC = ,所以221)212(333333AB AC AB AB AC a b AD AB BD AB BC +-=+=+=+=+= .因为E 是AD 的中点,所以()11211()22323BE BA BD AB BC AB AC AB ⎛⎫=+=-+=-+- ⎪⎝⎭ 51516363AB AC a b =-+=-+ .【小问2详解】因为1a b == ,a 与b 的夹角为60︒,所以11cos ,1122a b a b a b ⋅==⨯⨯= ,由(1)知,1233AD a b =+ ,5163BE a b =-+ ,所以22125154233631899AD BE a b a b a a b b ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-+=--⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭541251892918=--⨯+=-.17.已知函数()π3sin 24f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭(1)求()f x 的最小正周期;(2)求函数()f x 的单调递增区间;(3)若函数()f x 在区间[]0,a 内只有一个零点,直接写出实数a 的取值范围.【答案】(1)()f x 的最小正周期为π,(2)函数()f x 的单调递增区间是3πππ,π88k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z ;(3)a 的取值范围为3π7π,88⎡⎫⎪⎢⎣⎭.【解析】【分析】(1)根据正弦型函数的周期公式求解即可;(2)利用正弦函数的单调区间结论求解;(3)求出()0f x =的解后可得a 的范围.【小问1详解】因为()π3sin 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,所以函数()f x 的最小正周期2ππ2T ==;【小问2详解】由πππ2π22π242k x k -≤+≤+,Z k ∈,可得3ππππ88k x k -≤≤+,Z k ∈,所以函数()f x 的单调递增区间是3πππ,π88k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z ;【小问3详解】由π()3sin(204f x x =+=可得,π2π4x k +=,Z k ∈所以ππ28k x =-,Z k ∈,因为函数()f x 在区间[]0,a 上有且只有一个零点,所以3π7π88a ≤<,所以实数a 的取值范围为3π7π,88⎡⎫⎪⎢⎣⎭.18.已知()()()4,0,0,4,cos ,sin ,(0π)A B C ααα<<.(1)若OA OC += (O 为坐标原点),求OB 与OC 的夹角;(2)若⊥ AC BC ,求sin cos αα-的值.【答案】(1)OB 与OC 的夹角为π6,(2)sin cos 4αα-=【解析】【分析】(1)根据向量模长以及夹角的坐标公式计算即可;(2)由向量垂直得到数量积为0,进而得到1sin cos 4αα+=,通过平方得到2sin cos αα,进而可得()2sin cos αα-,再根据α的范围确定正负,开方得解.【小问1详解】因为()()()4,0,0,4,cos ,sin A B C αα,所以()()()4,0,0,4,cos ,sin OA OB OC αα=== ,所以()4cos ,sin OA OC αα+=+ ,由OA OC += ()224+cos sin 21αα+=,所以1cos 2α=,又0πα<<,,所以π3α=,13,22C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,设OB 与OC 的夹角为β()0πβ≤≤,则cos OB OC OB OC β⋅= 23342==,又0πβ≤≤,故OB 与OC 的夹角为π6,【小问2详解】由⊥ AC BC 得0AC BC ⋅= ,又()cos 4,sin AC αα=- ,()cos ,sin 4BC αα=- ,所以()()cos 4cos sin sin 40αααα-+-=,所以1sin cos 4αα+=,所以152sin cos 016αα-=<,又0πα<<,所以ππ2α<<,所以()21531sin cos 11616αα--=-=,所以sin cos 4αα-=.19.已知函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭,且()f x 图像的相邻两条对称轴之间的距离为π2,再从条件①、条件②、条件③中选择两个作为一组已知条件.(1)确定()f x 的解析式;(2)设函数()π24g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,则是否存在实数m ,使得对于任意1π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,存在2π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,()()12m g x f x =-成立?若存在,求实数m 的取值范围:若不存在,请说明理由.条件①:()f x 的最小值为2-;条件②:()f x 图像的一个对称中心为5π,012⎛⎫ ⎪⎝⎭;条件③:()f x 的图像经过点5π,16⎛⎫- ⎪⎝⎭.注:如果选择多组条件分别解答,按第一个解答计分.【答案】(1)选①②,②③,①③答案都为()2sin(2)6f x x π=+,(2)存在m 满足条件,m 的取值范围为2,0⎤⎦.【解析】【分析】(1)先根据已知求出()f x 的最小正周期,即可求解ω,选条件①②:可得()f x 的最小值为A -,可求A .根据对称中心可求ϕ,即可得解函数解析式;选条件①③:可得()f x 的最小值为A -,可求A .根据函数()f x 的图象过点5π,16⎛⎫⎪⎝⎭,可求ϕ,可得函数解析式;选条件②③:根据对称中心可求ϕ,再根据函数()f x 的图象过点5π,16⎛⎫⎪⎝⎭,可求A 的值,即可得解函数解析式.(2)求出函数()f x ,()g x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域,再结合恒成立、能成立列式求解作答.【小问1详解】由于函数()f x 图像上两相邻对称轴之间的距离为π2,所以()f x 的最小正周期π2π2T =⨯=,所以2π2T ω==,此时()()sin 2f x A x ϕ=+.选条件①②:因为()f x 的最小值为A -,所以2A =.因为()f x 图象的一个对称中心为5π,012⎛⎫⎪⎝⎭,所以5π2π(Z)12k k ϕ⨯+=∈,所以56k ϕπ=π-,()k ∈Z ,因为||2ϕπ<,所以π6ϕ=,此时1k =,所以()2sin(2)6f x x π=+.选条件①③:因为()f x 的最小值为A -,所以2A =.因为函数()f x 的图象过点5π,16⎛⎫-⎪⎝⎭,则5π()16f =-,所以5π2sin()13ϕ+=-,即5π1sin()32ϕ+=-.因为||2ϕπ<,所以7π5π13π636ϕ<+<,所以5π11π36ϕ+=,所以π6ϕ=,所以()2sin(2)6f x x π=+.选条件②③:因为函数()f x 的一个对称中心为5π,012⎛⎫⎪⎝⎭,所以5π2π(Z)12k k ϕ⨯+=∈,所以5ππ(Z)6k k ϕ=-∈.因为||2ϕπ<,所以π6ϕ=,此时1k =.所以π()sin(26f x A x =+.因为函数()f x 的图象过点5π,16⎛⎫-⎪⎝⎭,所以5π(16f =-,所以5ππsin 136A ⎛⎫+=-⎪⎝⎭,11πsin 16A =-,所以2A =,所以()2sin(2)6f x x π=+.综上,不论选哪两个条件,()2sin(2)6f x x π=+.【小问2详解】由(1)知,()2sin(2)6f x x π=+,由20,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得:2ππ7π2,666x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦,2π1sin 2,162x ⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,因此[]2()1,2f x ∈-,由10,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得:1ππ5π2,444x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦,1πsin 2,142x ⎡⎤⎛⎫+∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦,因此1()g x ⎡∈-⎣,从而1()1,g x m m m ⎡-∈---+⎣,由()()12m g x f x =-得:()()21f x g x m =-,假定存在实数m ,使得对1π0,2x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦,2π0,2x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦,()()12m g x f x =-成立,即存在实数m ,使得对1π0,2x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦,2π0,2x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦,()()21f x g x m =-成立,则[]1,1,2m m ⎡---+⊆-⎣,于是得112m m --≥-⎧⎪⎨-+≤⎪⎩,解得20m -≤≤,因此存在实数m ,使得对1π0,2x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦,2π0,2x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦,()()12m g x f x =-成立,所以实数m的取值范围是2,0⎤⎦.20.对于定义在R 上的函数()f x 和正实数T 若对任意x ∈R ,有()()f x T f x T +-=,则()f x 为T -阶梯函数.(1)分别判断下列函数是否为1-阶梯函数(直接写出结论):①()2f x x =;②()1f x x =+.(2)若()sin f x x x =+为T -阶梯函数,求T 的所有可能取值;(3)已知()f x 为T -阶梯函数,满足:()f x 在,2T T ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,且对任意x ∈R ,有()()2f T x f x T x --=-.若函数()()F x f x ax b =--有无穷多个零点,记其中正的零点从小到大依次为123,,,x x x ⋅⋅⋅;若1a =时,证明:存在b ∈R ,使得()F x 在[]0,2023T 上有4046个零点,且213240464045x x x x x x -=-=⋅⋅⋅=-.【答案】(1)①否;②是(2)2πT k =,*k ∈N (3)证明见解析【解析】【分析】(1)利用T -阶梯函数的定义进行检验即可判断;(2)利用T -阶梯函数的定义,结合正弦函数的性质即可得解;(3)根据题意得到()()F x T F x +=,()()F T x F x -=,从而取3344TT b f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,结合零点存在定理可知()F x 在(),1mT m T +⎡⎤⎣⎦上有且仅有两个零点:4T mT +,34T mT +,从而得解.【小问1详解】()2f x x =,则22(1)()(1)211f x f x x x x +-=+-=+≠;()1f x x =+,则(1)()11f x f x x x +-=+-=,故①否;②是.【小问2详解】因为()f x 为T -阶梯函数,所以对任意x ∈R 有:()()()()()sin sin sin sin f x T f x x T x T x x x T x T T +-=+++-+=+-+=⎡⎤⎣⎦.所以对任意x ∈R ,()sin sin x T x +=,因为sin y x =是最小正周期为2π的周期函数,又因为0T >,所以2πT k =,*k ∈N .【小问3详解】因为1a =,所以函数()()F x f x x b =--,则()()()()()()()F x T f x T x T b f x T x T b f x x b F x +=+-+-=+-+-=--=,()()()()()()()2F T x f T x T x b f x T x T x b f x x b F x -=----=+----=--=.取3344TT b f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,则有3330444TT T F f b ⎛⎫⎛⎫=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,30444T T T F F T F ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,由于()f x 在,2T T ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,因此()()F x f x x b =--在,2T T ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,结合()()F T x F x -=,则有()F x 在0,2T ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有唯一零点4T ,在,2T T ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有唯一零点34T .又由于()()F x T F x +=,则对任意k ∈Ζ,有044T T F kT F ⎛⎫⎛⎫+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,33044T T F kT F ⎛⎫⎛⎫+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,因此,对任意m ∈Z ,()F x 在(),1mT m T +⎡⎤⎣⎦上有且仅有两个零点:4T mT +,34T mT +.综上所述,存在3344TT b f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,使得()F x 在[]0,2023T 上有4046个零点,且14T x =,234T x =,354T x =,474T x =,L ,404580894T x =,404680914T x =,其中,2132404640452T x x x x x x -=-=⋅⋅⋅=-=.【点睛】关键点睛:本题解决的关键是充分理解新定义T -阶梯函数,从而在第3小问推得()()F x T F x +=,()()F T x F x -=,由此得解.。
北京市西城区2024届高三下学期4月统一测试数学试卷(含答案解析)
数,其中 a 6, 7,8,9 .写出一个 a 的值,使 D X3 D X2 D X1 .(结论不要求证
明)
19.已知椭圆 G :
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)的一个顶点为
于 A, B,C, D 四点,且这四个点恰为正方形的四个顶点,则 r
.
14.在数列
an
中,
a 1
2,a 2
3 .数列bn 满足 bn an1 an
n N*
.若bn 是公差
为 1 的等差数列,则bn的通项公式为 bn
, an 的最小值为
.
15.如图,正方形 ABCD 和矩形 ABEF 所在的平面互相垂直.点 P 在正方形 ABCD 及其 内部运动,点 Q 在矩形 ABEF 及其内部运动.设 AB 2, AF 1,给出下列四个结论:
a
(1)当 a 1 时,求曲线 y f x 在点 1, f 1 处切线的斜率;
(2)当 a 1时,讨论 f x 的单调性;
(3)若集合x∣f x 1 有且只有一个元素,求 a 的值.
21.对正整数 m 3, n 6 ,设数列 A : a1, a2,, an , ai 0,1i 1, 2,, n . B 是 m 行 n 列的 数阵, bij 表示 B 中第 i 行第 j 列的数, bij 0,1i 1, 2,, m; j 1, 2,, n ,且 B 同时满
环数
6 环 7 环 8 环 9 环 10 环
甲的射出频数 1 1 10 24 24
乙的射出频数 3 2 10 30 15
丙的射出频数 2 4 10 18 26
2023-2024学年北京市西城区高一下学期期末考试数学试卷+答案解析
2023-2024学年北京市西城区高一下学期期末考试数学试卷一、单选题:本题共9小题,每小题5分,共45分。
在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.在复平面内,复数z对应的点的坐标是,则z的共轭复数()A. B. C. D.2.已知,若,则实数()A.8B.C.2D.3.在中,,则()A. B. C. D.4.平面向量在正方形网格中的位置如图所示,若网格中每个小正方形的边长均为1,则()A. B.0 C.1 D.25.已知是不重合的平面,是不重合的直线,下列命题中不正确...的是()A.若,则B.若,则C.若,则D.若,则6.在平面直角坐标系xOy中,已知,则的取值范围是()A. B. C. D.7.如图,已知正六棱锥的侧棱长为6,底面边长为是底面上一个动点,,则点Q所形成区域的面积为()A. B. C. D.8.已知函数和的图象以每秒个单位的速度向左平移,的图象以每秒个单位的速度向右平移,若平移后的两个函数图象重合,则需要的时间至少为()A.1秒B.2秒C.3秒D.4秒9.已知函数,“存在,函数的图象既关于直线对称,又关于点对称”是“”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件二、多选题:本题共1小题,共5分。
在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分。
10.方波是一种非正弦曲线的波形,广泛应用于数字电路、定时器、逻辑控制、开关电源等领域.理想方波的解析式为,而在实际应用中多采用近似方波发射信号.如就是一种近似情况,则()A.函数是最小正周期为的奇函数B.函数关于对称C.函数在区间上单调递增D.函数的最大值不大于2三、填空题:本题共5小题,每小题5分,共25分。
11.复数,则__________.12.已知函数若非零实数,使得对都成立,则满足条件的一组值可以是__________,__________只需写出一组13.有一个木制工艺品,其形状是一个圆柱被挖去一个与其共底面的圆锥.已知圆柱的底面半径为3,高为5,圆锥的高为4,则这个木质工艺品的体积为__________;表面积为__________.14.在中,,则__________,__________.15.如图,在棱长为2的正方体中,点M为AD的中点,点N是侧面上包括边界的动点,点P是线段上的动点,给出下列四个结论:①任意点P,都有;②存在点P,使得平面MPC;③存在无数组点N和点P,使得;④点P到直线的距离最小值是其中所有正确结论的序号是__________.四、解答题:本题共6小题,共72分。
北京市西城区2019-2020学年高一数学下学期期末考试数学试题含解析
〖答 案〗C
〖解 析〗
分析〗
根据正弦函数以及余弦函数在 上的单调性求解即可.
〖详 解〗因为 , ,且 ,
而 在 上有增有减;故 与 大小关系不确定,
在 上单调递减;若 ,则 成立;
故选:C
〖点 睛〗本题主要考查了利用正余弦函数的单调性比较函数值的大小,属于基础题.
9.将函数 的图象向右平移 ( )个单位,得到函数 的图象.在同一坐标系中,这两个函数的部分图象如图所示,则 ()
〖详 解〗解:∵ ,∴ ,
即 ,解得 .
故答案为:1.
〖点 睛〗本题考查了向量垂直求参数,考查了向量数量积的定义,属于基础题.
14.已知正方体 的八个顶点在同一个球面上,若正方体的棱长是2,则球的直径是______;球的表面积是______.
〖答 案〗(1). (2).
〖解 析〗
〖分析〗
首先求出外接球的半径,进一步求出球的表面积.
北京市西城区2019-2020学年高一数学下学期期末考试试题(含解析)
一、选择题
1.下列各角中,与 角终边相同的是()
A. B. C. D.
〖答 案〗D
〖解 析〗
〖分析〗
写出与 终边相同角的集合,取k值得答案.
〖详 解〗与 角终边相同的角的集合为 ,
取 ,可得 .
∴与 角终边相同的是 .
故选:D
〖点 睛〗本小题主要考查终边相同的角,属于基础题.
③ 的值域是 .
其中,正确结论的序号是______.
〖答 案〗②③
〖解 析〗
〖分析〗
判断函数的奇偶性判断①;求出函数的零点判断②;函数的值域判断③.
〖详 解〗函数 ,
①由于 ,所以 是非奇非偶函数,所以①不正确;
北京市2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷含答案
北京市2023-2024学年高一(下)期中数学试卷一、选择题(每题5分,共50分)(答案在最后)1.若复数2i z =-+,则复数z 在复平面内对应的点位于()A .第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B 【解析】【分析】运用复数的几何意义求解即可.【详解】复数2i z =-+,则复数z 在复平面内对应的点(2,1)-位于第二象限.故选:B .2.已知向量(2,1)a = ,(4,)b x = ,且a b∥,则x 的值为()A.-2B.2C.-8D.8【答案】B 【解析】【分析】运用平面向量共线的坐标公式计算即可.【详解】(2,1)a =rQ ,(4,)b x =,且a b∥,240x ∴-=,即2x =.故选:B .3.在三角形ABC 中,角,,A B C 对应的边分别为,,a b c ,若0120A ∠=,2a =,3b =,则B =()A.3πB.56π C.566ππ或 D.6π【答案】D 【解析】【详解】试题分析:由于0120A ∠=为钝角,所以只有一解.由正弦定理得:21sin sin1203sin 2B B =⇒=,选D.考点:解三角形.4.已知圆锥的轴截面是一个边长为2的等边三角形,则该圆锥的体积为()A.B.πC.D.2π【答案】A 【解析】【分析】根据圆锥轴截面的定义结合正三角形的性质,可得圆锥底面半径长和高的大小,由此结合圆锥的体积公式,即可求解.【详解】由题知,如图,PAB 为圆锥的轴截面,边长均为2,则圆锥的高322PO =⨯=底面半径1212r =⨯=,故圆锥体积2211ππ1π333V r PO =⋅=⨯=.故选:A5.已知P 为ABC 所在平面内一点,2BC CP =uu u r uur,则()A.1322AP AB AC =-+uu u r uu u r uuu r B.1233AP AB AC=+C.3122AP AB AC=-uu u r uu u r uuu r D.2133AP AB AC=+uu u r uu u r uuu r【答案】A 【解析】【分析】根据题意作出图形,利用向量线性运算即可得到答案.【详解】由题意作出图形,如图,则11()22AP AC CP AC BC AC AC AB =+=+=+- 1322AB AC =-+,故选:A.6.已知非零向量a ,b,则“a b b -= ”是“20a b -= ”成立的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义,结合向量的模的定义,数量积的性质和运算律判断.【详解】若20a b -= ,则a b b -=,a b b -= ,所以“a b b -= ”是“20a b -=”成立的必要条件,若a b b -= ,则220a a b -⋅=,()20a a b ⋅-= ,当()1,0a = ,11,22b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭时,()20,1a b -= ,()20a a b ⋅-= 成立,但20a b -≠.所以,“a b b -= ”不是“20a b -=”成立的充分条件,所以“a b b -= ”是“20a b -= ”成立的必要不充分条件,故选:B.7.在ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,且2cos a B c =,则ABC 的形状一定是()A.等边三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.直角三角形【答案】B 【解析】【分析】由正弦定理可得2sin cos sin A B C =,再由()C A B π=-+,可得2sin cos sin()sin cos cos sin A B A B A B A B =+=+,从而可得in 0()s A B -=,进而可得结论【详解】解:因为2cos a B c =,所以由正弦定理可得2sin cos sin A B C =,因为A B C π++=,所以()C A B π=-+,所以()()sin sin sin C A B A B π⎡⎤=-+=+⎣⎦,所以2sin cos sin()sin cos cos sin A B A B A B A B =+=+,所以sin cos cos sin 0A B A B -=,所以in 0()s A B -=,因为A B ππ-<-<,所以0A B -=,所以A B =,所以ABC 为等腰三角形,故选:B8.对于非零向量,m n ,定义运算“⨯”:sin m n m n θ⨯=,其中θ为,m n 的夹角.设,,a b c 为非零向量,则下列说法错误..的是A.a b b a⨯=⨯ B.()a b c a c b c+⨯=⨯+⨯C.若0a b ⨯=,则//a bD.()a b a b⨯=-⨯【答案】B 【解析】【详解】由运算定义,sin ,sin a b a b b a b a θθ⨯=⨯=,所以a b b a⨯=⨯正确;()sin ,sin sin a b c a b c a c b c a c b c θαβ+⨯=+⨯+⨯=+ ,所以()a b c a c b c +⨯≠⨯+⨯,故B错误;C 、sin 0a b a b θ⨯== ,则0,θπ=,所以//a b 正确;D 、()()sin ,sin sin a b a b a b a b a b θπθθ⨯=-⨯=--= ,所以()a b a b ⨯=-⨯正确.故选B .点睛:本题考查向量的新定义运算,关键就是理解新定义.本题采取排除法,通过逐个验证,我们可以发现A 、C 、D 都是正确的,所以错误的就是B .9.如图,直三棱柱111ABC A B C -中,1,,AB BC AA AB P ⊥=为棱11A B 的中点,Q 为线段1AC 上的动点.以下结论中正确的是()A.存在点Q ,使BQ AC ∥B.不存在点Q ,使11BQ B C ⊥C.对任意点Q ,都有1BQ AB ⊥D.存在点Q ,使BQ 平面1PCC 【答案】C 【解析】【分析】A 选项,根据异面直线的定义可以判断;B 选项,容易发现1,A Q 重合时符合题意;C 选项,利用线面垂直得到线面垂直;D 选项,先找出平面1PCC 的一条垂线,问题转化为判断这条垂线是否和BQ 垂直的问题.【详解】A 选项,由于BQ ⋂平面ABCB =,B AC ∉,AC ⊂平面ABC ,则,BQ AC 一定异面,A 选项错误;B 选项,根据直三棱柱性质,1BB ⊥平面ABC ,BC ⊂平面ABC ,故1BB BC ⊥,又AB BC ⊥,1AB BB B Ç=,1,AB BB ⊂平面11ABB A ,故BC ⊥平面11ABB A ,又1BA ⊂平面11ABB A ,故1BC BA ⊥,显然11BC B C ∥,即111B C BA ⊥,故1,A Q 重合时,11BQ B C ⊥,B 选项错误;C 选项,直棱柱的侧面11ABB A 必是矩形,而1AA AB =,故矩形11ABB A 成为正方形,则11AB BA ⊥,B 选项已经分析过,BC ⊥平面11ABB A ,由1AB ⊂平面11ABB A ,故1AB BC ⊥,又1BC BA B ⋂=,1,BC BA ⊂平面1BCA ,故1AB ⊥平面1BCA ,又BQ ⊂平面1BCA ,则1BQ AB ⊥必然成立,C 选项正确;D 选项,取AB 中点M ,连接,CM PM ,根据棱柱性质可知,CM 和1C P 平行且相等,故平面1PCC 可扩展成平面1CMPC ,过B 作BN CM ⊥,垂足为N ,根据1BB ⊥平面ABC ,BN ⊂平面ABC ,故1BB BN ⊥,显然11BB CC ∥,故1BN CC ⊥,由BN CM ⊥,1CC CM C = ,1,CC CM ⊂平面1CMPC ,故BN ⊥平面1CMPC ,若BQ 平面1PCC ,则BQ BN ⊥,过Q 作QO //1BB ,交11A C 于O ,连接1B O ,于是1BQOB 共面,又1BQ BB B = ,1,BQ BB ⊂平面1BQOB ,故BN ⊥平面1BQOB ,由于1B O ⊂平面1BQOB ,故1BN B O ⊥,延长OQ 交AC 于J ,易得1B O //BJ ,则BJ BN ⊥,而J 在线段AC 上,这是不可能的,D 选项错误.故选:C10.圭表(如图1)是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器,它包括一根直立的标竿(称为“表”)和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺(称为“圭”).当正午太阳照射在表上时,日影便会投影在圭面上,圭面上日影长度最长的那一天定为冬至,日影长度最短的那一天定为夏至.图2是一个根据北京的地理位置设计的圭表的示意图,已知北京冬至正午太阳高度角(即ABC ∠)为26.5 ,夏至正午太阳高度角(即ADC ∠)为73.5 ,圭面上冬至线与夏至线之间的距离(即DB 的长)为a ,则表高(即AC 的长)为()A.sin532sin 47a ︒︒B.2sin 47sin53a ︒︒C.tan 26.5tan 73.5tan 47a ︒︒︒D.sin 26.5sin 73.5sin 47a ︒︒︒【答案】D 【解析】【分析】先求BAD ∠,在BAD 中利用正弦定理求AD ,在Rt ACD 中即可求AC .【详解】73.526.547BAD ∠=-= ,在BAD 中由正弦定理得:sin sin BD AD BAD ABD=∠∠,即sin 47sin 26.5a AD= ,所以sin 26.5sin 47a AD =,又因为在Rt ACD 中,sin sin 73.5ACADC AD=∠= ,所以sin 26.5sin 73.5sin 73.5sin 47a AC AD =⨯=,故选:D【点睛】本题主要考查了解三角形应用举例,考查了正弦定理,属于中档题.二、填空题(每题5分,共30分)11.已知复数i(1i)z =+,则z =________;||z =________.【答案】①.1i--②.【解析】【分析】运用共轭复数、复数乘法及复数的模的公式计算即可.【详解】因为i(1i)1i z =+=-+,则1i z =--,||z ==.故答案为:1i --.12.已知向量(1,1)a =-r ,(2,1)b =- ,则2a b += ________;向量a 在b上的投影向量的坐标为________.【答案】①.(0,1)-②.63(,)55-【解析】【分析】运用平面向量加法、向量数量积、向量的模、投影向量公式计算即可.【详解】解:(1,1)a =-r,(2,1)b =-,则2(2,2)(2,1)(0,1)a b +=-+-=-;()()12113a b ⋅=⨯-+-⨯=-,||b == 故向量a 在b上的投影向量的坐标为:363,555a b b b b b⋅⎛⎫⨯=-=- ⎪⎝⎭ .故答案为:(0,1)-;63(,55-.13.在正四面体A -BCD 中,二面角A -BC -D 的余弦值是_______.【答案】13【解析】【分析】根据二面角平面角的定义,结合正四面体的性质,找出该角,由余弦定理,可得答案.【详解】如图,取BC 的中点F ,连接AF,DF,则AF BC ⊥,DF BC ⊥,即AFD ∠为二面角A BC D --的平面角,设正四面体D ABC -的棱长为6,在正ABC中,sin 60AF AB ==sin 60DF BD ==由余弦定理2221cos 23FD FA AD AFD FD FA +-∠===⋅⋅.故答案为:13.14.已知点(0,0)O ,(1,2)A ,(,0)(0)B m m >,则cos ,OA OB <>=___________;若B 是以OA 为边的矩形的顶点,则m =___________.【答案】①.②.5【解析】【分析】①根据向量的夹角公式,直接求解即可;②根据已知可得0OA AB ⋅=,求出相应的坐标代入即可求出m 的值.【详解】①因为(0,0)O ,(1,2)A ,(,0)(0)B m m >,所以(1,2)OA = ,(,0)OB m =,所以5cos ,5||||OA OB OA OB OA OB ⋅<>===;②(1,2)AB m =-- ,若B 是以OA 为边的矩形的顶点,则0OA AB ⋅=,即140OA AB m ⋅=--=,所以5m =.故答案为:5;515.若ABC 的面积为2223()4a cb +-,且∠C 为钝角,则∠B =_________;c a 的取值范围是_________.【答案】①.60②.(2,)+∞【解析】【分析】根据题干结合三角形面积公式及余弦定理可得tan B =,可求得3B π∠=;再利用()sin sin C A B =+,将问题转化为求函数()f A 的取值范围问题.【详解】()2221sin 42ABC S a c b ac B ∆=+-=,2222a c b ac +-∴=,即cos B =,sin cos 3B B B π∴=∠=,则21sin cos sin sin 11322sin sin sin 2tan 2A A Ac C a A A A A π⎛⎫⎛⎫-⋅--⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭====⋅+,C ∴∠为钝角,,036B A ππ∠=∴<∠<,)1tan 0,,3tan A A ⎛∴∈∈+∞ ⎝⎭,故()2,ca∈+∞.故答案为3π,()2,∞+.【点睛】此题考查解三角形的综合应用,能够根据题干给出的信息选用合适的余弦定理公式是解题的第一个关键;根据三角形内角A B C π++=的隐含条件,结合诱导公式及正弦定理,将问题转化为求解含A ∠的表达式的最值问题是解题的第二个关键.16.如图矩形ABCD 中,22AB BC ==,E 为边AB 的中点,将ADE V 沿直线DE 翻转成1A DE △.若M 为线段1AC 的中点,则在ADE V 翻转过程中,下列叙述正确的有________(写出所有序号).①BM 是定值;②一定存在某个位置,使1CE DA ⊥;③一定存在某个位置,使1DE A C ⊥;④一定存在某个位置,使1MB A DE 平面∥.【答案】①②④【解析】【分析】运用等角定理及余弦定理可判断①;运用勾股定理证得1A E CE ⊥、DE EC ⊥,结合线面垂直的判定定理及性质可判断②;运用反证法证及线面垂直判定定理证得DE ⊥平面1A EC ,结合线面垂直性质可得1DE A E ⊥得出矛盾可判断③;运用面面平行判定定理证得平面//MBF 平面1A DE ,结合面面平行性质可判断④.【详解】对于①,取CD 中点F ,连接MF ,BF ,如图所示,则1MF DA ∥,BF DE ,11122MF A D ==,FB DE ==由等角定理知,1π4A DE MFB ∠=∠=,所以由余弦定理可得22252cos 4MB MF FB MF FB MFB =+-⋅⋅∠=,所以52MB =是定值,故①正确;对于④,由①知,1MF DA ∥,BF DE ,又FB 、MF ⊄平面1A DE ,1DA 、DE ⊂平面1A DE ,所以//FB 平面1A DE ,//MF 平面1A DE ,又FB MF F = ,FB 、MF ⊂平面MBF ,所以平面//MBF 平面1A DE ,又因为MB ⊂平面MBF ,所以//MB 平面1A DE ,故④正确,对于②,连接EC ,如图所示,当1A C =时,因为11A E =,CE =22211A C A E CE =+,所以1A E CE ⊥,因为矩形ABCD 中,D E C E ==,2DC =,所以222DE CE DC +=,即DE EC ⊥,又因为1A E DE E ⋂=,1A E 、DE ⊂平面1A DE ,所以CE ⊥平面1A DE ,又1A D ⊂平面1A DE ,所以1CE DA ⊥,故②正确;对于③,假设③正确,即在某个位置,使1DE A C ⊥,又因为矩形ABCD 中,D E C E ==2DC =,所以222DE CE DC +=,即DE EC ⊥,又因为1A C EC C ⋂=,1AC 、EC ⊂平面1A EC ,所以DE ⊥平面1A EC ,又1A E ⊂平面1A EC ,所以1DE A E ⊥,这与1π4DEA ∠=矛盾,所以不存在某个位置,使1DE A C ⊥,故③错误.故答案为:①②④.三、解答题(每题14分,共70分)17.如图,在四棱锥P ABCD -中,PD ⊥平面ABCD ,底面ABCD 为正方形,E ,F 分别是AB ,PB 的中点.(1)求证://EF 平面PAD ;(2)求证:EF CD ⊥.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】【分析】(1)由三角形中位线证得EF PA ∥,结合线面平行的判定定理证明即可.(2)由线面垂直性质可得PD CD ⊥,结合线面垂直判定定理可得CD ⊥平面PAD ,再结合线面垂直性质、线线垂直性质证明即可.【小问1详解】因为E ,F 分别是AB ,PB 的中点,所以EF PA ∥,又EF ⊄平面PAD ,PA ⊂平面PAD ,所以//EF 平面PAD ;【小问2详解】因为PD ⊥平面ABCD ,CD ⊂平面ABCD ,所以PD CD ⊥,又因为底面ABCD 为正方形,CD AD ⊥,=PD AD D ⋂,PD 、AD ⊂平面PAD ,所以CD ⊥平面PAD ,又PA ⊂平面PAD ,所以CD PA ⊥,由(1)知,EF PA ∥,所以EF CD ⊥.18.已知2()22cos f x x x =+.(1)求()f x 的最小正周期及单调递减区间;(2)求函数()f x 在区间π[0,]2上的最大值和最小值.【答案】(1)π,π2π[π,π]63k k ++,Z k ∈(2)max ()3f x =,min ()0f x =【解析】【分析】(1)结合二倍角公式及辅助角公式化简函数()f x ,结合sin y t =图象与性质求解即可.(2)先求出π26x +的范围,结合sin y t =图象与性质即可求得最值.【小问1详解】因为2π()22cos 2cos 212sin(216f x x x x x x =+=++=++,所以()f x 的最小正周期2ππ2T ==,令ππ3π2π22π262k x k +≤+≤,Z k ∈,解得π2πππ63k x k +≤≤+,Z k ∈,所以()f x 单调递减区间为π2π[π,π]63k k ++,Z k ∈.【小问2详解】因为π[0,]2x ∈,所以ππ7π2[,]666x +∈,所以由函数图象性质知,当ππ262x +=,即π6x =时,max ()3f x =;当π7π266x +=,即π2x =时,min ()0f x =.19.如图,四边形ABCD 是菱形,DE ⊥平面ABCD ,//AF DE ,3DE AF =.(1)求证:平面//BAF 平面CDE ;(2)求证:平面EAC ⊥平面EBD ;(3)设点M 是线段BD 上一个动点,试确定点M 的位置,使得//AM 平面BEF ,并证明你的结论.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)13BM BD =,证明见解析【解析】【分析】(1)利用线面平行的判定定理得到//AF 平面CDE ,//AB 平面CDE ,再利用面面平行的判定定理,即可证明结果;(2)根据条件得到AC ⊥平面EBD ,再由面面垂直的判定定理,即可证明结果;(3)构造平行四边形,利用线面平行的判定定理,即可证明结果.【小问1详解】因为//AF DE ,AF ⊄面CDE ,DE ⊂面CDE ,所以//AF 平面CDE ,同理,//AB 平面CDE ,又AF AB A ⋂=,,AF AB ⊂面BAF ,所以平面//BAF 平面CDE .【小问2详解】因为四边形ABCD 是菱形,所以AC BD ⊥,DE ⊥ 平面ABCD ,AC ⊂平面ABCD ,AC DE ∴⊥,BD DE D = ,,BD DE ⊂平面EBD ,AC ∴⊥平面EBD ,AC ⊂ 平面EAC ,所以平面EAC ⊥平面EBD .【小问3详解】当13BM BD =时,//AM 平面BEF ,理由如下:作MN ED ∥,则MN 平行且等于13BD ,//AF DE ,3DE AF =,∴AF 平行且等于MN ,∴AMNF 是平行四边形,//AM FN ∴,AM ⊄ 平面BEF ,FN ⊂平面BEF ,//AM ∴平面BEF .20.在ABC ∆中,2sin sin sin A B C =.(Ⅰ)若π3A ∠=,求B ∠的大小;(Ⅱ)若1bc =,求ABC ∆的面积的最大值.【答案】(1)π3B ∠=,(2).【解析】【详解】【分析】试题分析:(Ⅰ)因为2sin sin sin ,A B C =由正弦定理可得2a bc =,再利用余弦定理得所以22222122a b c bc b c bc =+-⨯=+-即b c =,所以为等边三角形.所以π3B ∠=(注:当然也可用化角来处理);(Ⅱ)由已知可得21a bc ==.所以222221cos 22b c a b c A bc +-+-==21122bc -≥=,又sin (0,]2A ∈.所以11sin sin 224ABC S bc A A ∆==≤11sin sin 224ABC S bc A A ∆==≤试题解析:(Ⅰ)方法一:因为2sin sin sin ,A B C =且,所以2a bc =.又因为π3A ∠=,所以22222122a b c bc b c bc =+-⨯=+-.所以2()0b c -=.所以b c =.因为π3A ∠=,所以为等边三角形.所以π3B ∠=.方法二:因为πA BC ++=,所以sin sin()C A B =+.因为2sin sin sin B C A =,π3A ∠=,所以2ππsin sin()sin 33B B +=.所以13sin cos sin )224B B B +=.所以11cos 23sin 24224B B -+⨯=.所以12cos 2122B B -=.所以πsin(2)16B -=.因为(0,π)B ∈,所以ππ112(,π)666B -∈-.所以ππ262B -=,即π3B ∠=.(Ⅱ)因为2sin sin sin ,A B C =1bc =,且,所以21a bc ==.所以222221cos 22b c a b c A bc +-+-==21122bc -≥=(当且仅当时,等号成立).因为(0,π)A ∈,所以π(0,]3A ∈.所以sin (0,]2A ∈.所以11sin sin 224ABC S bc A A ∆==≤.所以当是边长为1的等边三角形时,其面积取得最大值.考点:三角函数的性质与解三角形21.对于数集{}12,,1,n X x x x =- ,其中120n x x x <<<⋅⋅⋅<,2n ≥,定义向量集(){},,,Y a a s t s X t X ==∈∈ ,若对任意1a Y ∈ ,存在2a Y ∈ 使得120a a ⋅= ,则称X 具有性质P .(1)判断{}1,1,2-是否具有性质P ;(2)若2x >,且{}1,1,2,X x =-具有性质P ,求x 的值;(3)若X 具有性质P ,求证:1X ∈且当1n x >时,11x =.【答案】(1)具有性质P(2)4(3)证明见解析【解析】【分析】(1)根据集合新定义判断即可;(2)在Y 中取()1,2a x = ,根据数量积的坐标表示,求出可能的2a ,再根据2x >求出符合条件的值即可;(3)取()111,a x x Y =∈ ,()2,a s t Y =∈ ,由120a a ⋅= ,化简可得0s t +=,所以,s t 异号,而1-是X 中的唯一的负数,所以,s t 中之一为1-,另一个为1,从而得到1X ∈,最后通过反证法得出1n x >时,11x =.【小问1详解】{}1,1,2-具有性质P .因为{}1,1,2X =-,所以()()()()()()()()(){}1,1,1,1,1,2,1,1,1,1,1,2,2,1,2,1,2,2Y =------,若对任意1a Y ∈ ,存在2a Y ∈ 使得120a a ⋅= ,所以X 具有性质P .【小问2详解】因为2x >,且{}1,1,2,X x =-具有性质P ,所以可取()1,2a x = ,又Y 中与()1,2a x = 垂直的元素必有形式()()()1,1,1,2,1,x ---中的一个,当()21,1a =- 时,由120a a ⋅= ,可得202x x -+=Þ=,不符合题意;当()21,2a =- 时,由120a a ⋅= ,可得404x x -+=Þ=,符合题意;当()21,a x =- 时,由120a a ⋅= ,可得200x x x -+=Þ=,不符合题意;所以4x =.【小问3详解】证明:取()111,a x x Y =∈ ,设()2,a s t Y =∈ ,满足120a a ⋅= ,所以()100s t x s t +=⇒+=,所以,s t 异号,因为1-是X 中的唯一的负数,所以,s t 中之一为1-,另一个为1,所以1X ∈,假设1k x =,其中1k n <<,则101n x x <<<,选取()11,n b x x = ,并设()2,b p q = ,满足120b b ⋅= ,所以10n px qx +=,则,p q 异号,从而,p q 之中恰有一个为1-,若1p =-,则1n x qx =,显然矛盾;若1q =-,则1n n x px p x =<<,矛盾,所以当1n x >时,11x =,综上,得证.【点睛】关键点点睛:本题的关键在于理解集合的新定义,并用向量的数量积为零时坐标表示出所求的参数值.。
2024学年北京市西城区外国语学校第二学期高三数学试题期末考试试卷
2024学年北京市西城区外国语学校第二学期高三数学试题期末考试试卷注意事项1.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置. 3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4.作答选择题,必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑;如需改动,请用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.作答非选择题,必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效. 5.如需作图,须用2B 铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.函数()22xf x a x=--的一个零点在区间()1,2内,则实数a 的取值范围是( ) A .()1,3B .()1,2C .()0,3D .()0,22.关于函数11()4sin 4cos 2323f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,有下述三个结论:①函数()f x 的一个周期为2π; ②函数()f x 在423,ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增;③函数()f x 的值域为. 其中所有正确结论的编号是( ) A .①②B .②C .②③D .③3.已知函数2ln(2),1,()1,1,x x f x x x -⎧=⎨-+>⎩若()0f x ax a -+恒成立,则实数a 的取值范围是( )A .1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B .[0,1]C .[1,)+∞D .[0,2]4.已知a ,b ,c 分别是ABC 三个内角A ,B ,C 的对边,cos sin a C A b c +=+,则A =( )A .6π B .4π C .3π D .23π 5.双曲线C :2215x y m-=(0m >),左焦点到渐近线的距离为2,则双曲线C 的渐近线方程为( )A .250x y ±=B .20x =C 20y ±=D 0y ±=6. “tan 2θ=”是“4tan 23θ=-”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件D .既不充分又不必要条件7.已知复数z 满足0z z -=,且9z z ⋅=,则z =( ) A .3 B .3i C .3±D .3i ± 8.抛物线的焦点是双曲线的右焦点,点是曲线的交点,点在抛物线的准线上,是以点为直角顶点的等腰直角三角形,则双曲线的离心率为( ) A .B .C .D .9.已知向量a 与向量()4,6m =平行,()5,1b =-,且14a b ⋅=,则a =( ) A .()4,6B .()4,6--C .213313,1313⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭D .213313,1313⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭10.如图是一个算法流程图,则输出的结果是( )A .3B .4C .5D .611.已知11()x x f x e e x --=-+,则不等式()(32)2f x f x +-≤的解集是( )A .[)1,+∞B .[)0,+∞C .(],0-∞D .(],1-∞12.在等腰直角三角形ABC 中,,222C CA π∠==,D 为AB 的中点,将它沿CD 翻折,使点A 与点B 间的距离为23ABCD 的外接球的表面积为( ).A .5πB 205C .12πD .20π二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
2023-2024学年北京市大兴区高一下学期期末检测数学试题+答案解析
2023-2024学年北京市大兴区高一下学期期末检测数学试题一、单选题:本题共10小题,每小题5分,共50分。
在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.在复平面内,复数z对应的点的坐标为,则复数z的共轭复数()A. B. C. D.2.已知一组数据3,4,4,6,6,7,8,8,则这组数据的分位数是()A.6B.7C.D.83.正方体中,直线和直线所成的角为()A. B. C. D.4.一个人打靶时连续射击两次,事件“两次都没中靶”的相互对立事件是()A.至多有一次中靶B.至少有一次中靶C.两次都中靶D.只有一次中靶5.某比例分配的分层随机抽样中,相关统计数据如下表.则此样本的平均数为()样本量平均数第1层2030第2层3020A.20B.24C.25D.306.已知是空间中两个不同的平面,是空间中两条不同的直线,,则“”是“”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.如图,在测量河对岸的塔高AB时,测量者选取了与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D,并测得,,在点C处测得塔顶A的仰角为,则塔高()A. B. C. D.8.甲,乙,丙三人独立破译同一份密码.已知甲,乙,丙各自独立破译出密码的概率分别为,且他们是否破译出密码互不影响,则至少有2人破译出密码的概率是()A. B. C. D.9.已知平面向量,则下列说法错误的是()A.B.在方向上的投影向量为C.与垂直的单位向量的坐标为或D.若向量与非零向量共线,则10.有下列说法:①用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本,则个体m被抽到的概率是;②数据的方差为0,则所有的都相同;③某运动员连续进行两次飞碟射击练习,事件“两次射击都命中”的概率为;④从3个红球和2个白球中任取两个球,记事件“取出的两球均为红球”,事件“取出的两个球颜色不同”,则事件A与B互斥但不对立.则上述说法中,所有正确说法的个数为()A.1B.2C.3D.4二、填空题:本题共5小题,每小题5分,共25分。
北京市西城区2023-2024学年高三上学期期末考试 数学含答案
北京市西城区2023—2024学年度第一学期期末试卷高三数学(答案在最后)本试卷共6页,150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.第一部分(选择题共40分)一、选择题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.已知集合{}13A x x =-<<,{}24B x x =≥,则A B = ()A.()1,-+∞B.(]1,2-C.(](),21,-∞--+∞D.(](),21,3-∞-- 2.在复平面内,复数2i i-对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.设a ,b ∈R ,且a b >,则()A.11a b< B.tan tan a b> C.32a b-<- D.a a b b>4.已知双曲线C 的一个焦点是()10,2F ,渐近线为y =,则C 的方程是()A.2213y x -= B.2213x y -= C.2213x y -= D.2213y x -=5.已知点()0,0O ,点P 满足1PO =.若点(),4A t ,其中t ∈R ,则PA 的最小值为()A.5B.4C.3D.26.在ABC △中,60B ∠=︒,b =,2a c -=,则ABC △的面积为()A.2B.4 C.32D.347.已知函数()1ln1xf x x+=-,则()A.()f x 在()1,1-上是减函数,且曲线()y f x =存在对称轴B.()f x 在()1,1-上是减函数,且曲线()y f x =存在对称中心C.()f x 在()1,1-上是增函数,且曲线()y f x =存在对称轴D.()f x 在()1,1-上是增函数,且曲线()y f x =存在对称中心8.设a ,b 是非零向量,则“a b <”是“2a b b ⋅< ”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件9.设{}n a 是首项为正数,公比为q 的无穷等比数列,其前n 项和为n S .若存在无穷多个正整数k ,使0k S ≤,则q 的取值范围是()A.(),0-∞ B.(],1-∞- C.[)1,0- D.()0,110.如图,水平地面上有一正六边形地块ABCDEF ,设计师规划在正六边形的顶点处矗立六根与地面垂直的柱子,用以固定一块平板式太阳能电池板111111A B C D E F .若其中三根柱子1AA ,1BB ,1CC 的高度依次为12m ,9m ,10m ,则另外三根柱子的高度之和为()A.47mB.48mC.49mD.50m第二部分(非选择题共110分)二、填空题共5小题,每小题5分,共25分.11.在(4x -的展开式中,2x 的系数为______.(用数字作答)12.设0ω>,函数()sin f x x ω=.若曲线()y f x =关于直线6x π=对称,则ω的一个取值为______.13.已知函数()()222log log 4f x x x =--,则()f x 的定义域是______;()f x 的最小值是______.14.已知抛物线C :28y x =.①则C 的准线方程为______.②设C 的顶点为O ,焦点为F .点P 在C 上,点Q 与点P 关于y 轴对称若OF 平分PFO ∠,则点P 的横坐标为______.15.设a ∈R ,函数()322,,,.x x a f x x a x a ⎧->⎪=⎨-+≤⎪⎩给出下列四个结论:①()f x 在区间()0,+∞上单调递减;②当0a ≥时,()f x 存在最大值;③当0a <时,直线y ax =与曲线()y f x =恰有3个交点;④存在正数a 及点()()11,M x f x (1x a >)和()()22,N x f x (2x a ≤),使1100MN ≤.其中所有正确结论的序号是______.三、解答题共6小题,共85分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.16.(本小题13分)已知函数()22sin cos 2cos f x a x x x =-的一个零点为6π.(Ⅰ)求a 的值及()f x 的最小正周期;(Ⅱ)若()m f x M ≤≤对0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立,求m 的最大值和M 的最小值.17.(本小题13分)生活中人们喜爱用跑步软件记录分享自己的运动轨迹.为了解某地中学生和大学生对跑步软件的使用情况,从该地随机抽取了200名中学生和80名大学生,统计他们最喜爱使用的一款跑步软件,结果如下:跑步软件一跑步软件二跑步软件三跑步软件四中学生80604020大学生30202010假设大学生和中学生对跑步软件的喜爱互不影响.(Ⅰ)从该地区的中学生和大学生中各随机抽取1人,用频率估计概率,试估计这2人都最喜爱使用跑步软件一的概率;(Ⅱ)采用分层抽样的方式先从样本中的大学生中随机抽取8人,再从这8人中随机抽取3人.记X 为这3人中最喜爱使用跑步软件二的人数,求X 的分布列和数学期望;(Ⅲ)记样本中的中学生最喜爱使用这四款跑步软件的频率依次为1x ,2x ,3x ,4x ,其方差为21s ;样本中的大学生最喜爱使用这四款跑步软件的频率依次为1y ,2y ,3y ,4y ,其方差为22s ;1x ,2x ,3x ,4x ,1y ,2y ,3y ,4y 的方差为23s .写出21s ,22s ,23s 的大小关系.(结论不要求证明)18.(本小题14分)如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是菱形,PD ⊥平面ABCD ,平面PAB ⊥平面PAD ,E 为PA 中点,2PD AD ==.(Ⅰ)求证:AB ⊥平面PAD ;(Ⅱ)求直线DE 与平面PBC 所成角的大小;(Ⅲ)求四面体PEBC 的体积.19.(本小题15分)已知椭圆E :22221x y a b+=(0a b >>)的离心率为2,且经过点()2,1C .(Ⅰ)求E 的方程:(Ⅱ)过点()0,1N 的直线交E 于点A ,B (点A ,B 与点C 不重合).设AB 的中点为M ,连接CM 并延长交E 于点D .若M 恰为CD 的中点,求直线AB 的方程.20.(本小题15分)已知函数()e axf x x=,其中0a >.(Ⅰ)当1a =时,求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程;(Ⅱ)求()f x 的单调区间;(Ⅲ)当12x x <且120x x ⋅>时,判断()()12f x f x -与1211x x -的大小,并说明理由.21.(本小题15分)给定正整数3N ≥,已知项数为m 且无重复项的数对序列A :()11,x y ,()22,x y ,…,(),m m x y 满足如下三个性质:①{},1,2,,i i x y N ∈⋅⋅⋅,且i i x y ≠(1,2,,i m =⋅⋅⋅);②1i i x y +=(1,2,,1i m =⋅⋅⋅-);③(),p q 与(),q p 不同时在数对序列A 中.(Ⅰ)当3N =,3m =时,写出所有满足11x =的数对序列A ;(Ⅱ)当6N =时,证明:13m ≤;(Ⅲ)当N 为奇数时,记m 的最大值为()T N ,求()T N .北京市西城区2023—2024学年度第一学期期末试卷高三数学答案及评分参考一、选择题(共10小题,每小题4分,共40分)1.C2.A3.D4.D5.C6.B7.D8.A9.B10.A二、填空题(共5小题,每小题5分,共25分)11.1213.3(答案不唯一)13.()4,+∞14.2x =-215.①②④三、解答题(共6小题,共85分)16.(共13分)解:(Ⅰ)由题设22sincos 2cos 0666a πππ-=,解得a =所以()2cos 2cos f x x x x=-2cos 212sin 216x x x π⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭.所以()f x 的最小正周期为π.(Ⅱ)因为02x π≤≤,所以52666x πππ-≤-≤.所以1sin 2126x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭,即22sin 2116x π⎛⎫-≤--≤ ⎪⎝⎭.当262x ππ-=,即3x π=时,()f x 取得最大值1,当266x ππ-=-,即0x =时,()f x 取得最小值2-.由题设2m ≤-,且1M ≥.所以m 的最大值是2-;M 的最小值是1.17.(共13分)解:(Ⅰ)记“这2人都最喜爱使用跑步软件一”为事件A ,则()803032008020P A =⨯=.(Ⅱ)因为抽取的8人中最喜爱跑步软件二的人数为208280⨯=,所以X 的所有可能取值为0,1,2.()3638C 50C 14P X ===,()122638C C 151C 28P X ===,()212638C C 32C 28P X ===.所以X 的分布列为X012P5141528328故X 的数学期望515330121428284EX =⨯+⨯+⨯=.(Ⅲ)222231s s s <<.18.(共14分)解:(Ⅰ)因为PD AD =,E 为PA 中点,所以DE PA ⊥.又因为平面PAB ⊥平面PAD ,平面PAB 平面PAD PA =,且DE ⊂平面PAB .所以DE ⊥平面PAB .所以DE AB ⊥.因为PD ⊥平面ABCD ,所以PD AB ⊥.所以AB ⊥平面PAD .(Ⅱ)因为AB ⊥平面PAD ,//AB CD ,所以CD ⊥平面PAD .又PD⊥平面ABCD ,所以DA ,DC ,DP 两两相互垂直.如图建立空间直角坐标系D xyz -,则()0,0,0D ,()2,0,0A ,()2,2,0B ,()0,2,0C ,()0,0,2P ,()1,0,1E .所以()2,0,0CB = ,()0,2,2CP =- ,()1,0,1DE =.设平面PBC 的法向量为(),,m x y z = ,则0,0.m CB m CP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即20,220.x y z =⎧⎨-+=⎩令1y =,则1z =.于是()0,1,1m =.设直线DE 与平面PBC 所成角为α,则1sin cos ,2m DE m DE m DE α⋅===⋅ .所以直线DE 与平面PBC 所成角的大小为30°.(Ⅲ)因为()1,0,1EP =-,所以点E 到平面PBC 的距离为22m EP d m⋅==.因为CB CP ⊥,所以四面体PEBC 的体积为11123323PBC V S d CB CP d =⋅=⋅⋅⋅⋅=△.19.(共15分)解:(Ⅰ)由题设,222223,2,411,c a a b c a b ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩解得28a =,22b =.所以椭圆E 的方程为22182x y +=.(Ⅱ)若直线AB 与y 轴重合,则点M 与原点重合,符合题意,此时直线AB 的方程为0x =.若直线AB 与y 轴不重合,设其方程为1y kx =+.由221,48y kx x y =+⎧⎨+=⎩得()2241840k x kx ++-=.设()11,A x y ,()22,B x y ,则122841kx x k -+=+.所以1224241M x x k x k +-==+,21141M M y kx k =+=+.因为M 是CD 的中点,所以282241D M C k x x x k -=-=-+,222141D M C y y y k =-=-+.因为2248D D x y +=,所以222282241804141k k k -⎛⎫⎛⎫-+--= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭.整理得340k k +=.解得0k =.但此时直线AB 经过点C ,不符合题意,舍去.综上,直线AB 的方程为0x =.20.(共15分)解:(Ⅰ)当1a =时,()e x f x x =,所以()()21e xx f x x -='.所以()1e f =,()10f '=.所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为e 0y -=.(Ⅱ)()f x 的定义域为()(),00,-∞+∞ ,且()()21e ax ax f x x -='.令()0f x '=,得1x a=.()f x '与()f x 的情况如下:x (),0-∞10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭1a1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭()f x '--+()f x所以()f x 的单调递增区间为1,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭;单调递减区间为(),0-∞和10,a ⎛⎫⎪⎝⎭.(Ⅲ)当12x x <且120x x ⋅>时,()()121211f x f x x x -<-,证明如下:令()()1g x f x x=-,则()()211ax ax e g x x -+='.设()()1e 1axh x ax =-+,则()2e axh x a x ='.所以当(),0x ∈-∞时,()0h x '<;当()0,x ∈+∞时,()0h x '>.所以()h x 在(),0-∞上单调递减,在()0,+∞上单调递增.从而()()00h x h >=,即()0g x '>.所以()g x 的单调递增区间为(),0-∞和()0,+∞.当120x x <<时,()()12g x g x <,即()()121211f x f x x x -<-;当120x x <<时,()()12g x g x <,即()()121211f x f x x x -<-.综上,当12x x <且120x x ⋅>时,()()121211f x f x x x -<-.21.(共15分)解:(Ⅰ)A :()1,2,()2,3,()3,1,或A :()1,3,()3,2,()2,1.(Ⅱ)因为(),p q 和(),q p 不同时出现在A 中,故2615m C ≤=,所以1,2,3,4,5,6每个数至多出现5次.又因为1i i x y +=(1,2,,1i m =⋅⋅⋅-),所以只有1x ,m y 对应的数可以出现5次,故()14425132m ≤⨯⨯+⨯=.(Ⅲ)当N 为奇数时,先证明()()221T N T N N +=++.因为(),p q 和(),q p 不同时出现在A 中,所以()()21C 12N T N N N ≤=-.当3N =时,构造A :()1,2,()2,3,()3,1恰有23C 项,且首项的第1个分量与末项的第2个分量都为1.对奇数N ,如果可以构造一个恰有2C N 项的序列A ,且首项的第1个分量与末项的第2个分量都为1,那么对奇数2N +而言,可按如下方式构造满足条件的序列A ':首先,对于如下21N +个数对集合:()(){}1,1,1,1N N ++,()(){}1,2,2,1N N ++,()(){}2,1,1,2N N ++,()(){}2,2,2,2N N ++,……,()(){},1,1,N N N N ++,()(){},2,2,N N N N ++,()(){}1,2,2,1N N N N ++++每个集合中都至多有一个数对出现在序列A '中,所以()()221T N T N N +≤++.其次,对每个不大于N 的偶数{}2,4,,1i N ∈⋅⋅⋅-,将如下4个数对并为一组:()1,N i +,(),2i N +,()2,1N i ++,()1,1i N ++,共得到12N -组,将这12N -组数对以及()1,1N +,()1,2N N ++,()2,1N +按如下方式补充到A 的后面,即:A ,()1,1N +,()1,2N +,()2,2N +,()2,3N +,()3,1N +,…,()1,1N N +-,()1,2N N -+,()2,N N +,(),1N N +,()1,2N N ++,()2,1N +.此时恰有()21T N N ++项,所以()()221T N T N N +=++.综上,当N 为奇数时,()()()()()()()()()()()224533T N T N T N T N T N T T T =--+---+⋅⋅⋅+-+。
北京市西城区2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷
北京市西城区2023—2024学年度第二学期期末试卷高二数学 2024.7本试卷共5页,共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案写在答题卡上,在试卷上作答无效。
第一部分(选择题 共40分)一、选择题共10小题,每小题4分,共40分。
在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。
1.在等差数列中,,,则A .8 B .10 C .12 D .142.设函数的导函数为,则为A .奇函数B .偶函数C .既是奇函数又是偶函数D .非奇非偶函数3.袋中有5个形状相同的乒乓球,其中3个黄色2个白色,现从袋中随机取出3个球,则恰好有2个黄色乒乓球的概率是A .B .C .D .4.在等比数列中,若,,则A .4 B .6 C .2 D .±65.投掷2枚均匀的骰子,记其中所得点数为1的骰子的个数为X ,则方差A . B . C . D .6.设等比数列的前n 项和为,若,,则A . B . C . D .7.设函数的导函数为,则A .B .C .D .8.设等比数列的前n 项和为,则“是递增数列”是“是递增数列”的A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件{}n a 13a =35a =10a =()sin f x x =()g x ()g x 1103101535{}n a 11a =44a =23a a =()D X =5181353536{}n a n S 11a =-1053231S S =6a =132-164-132164()ln f x x =()f x '()()()()3232f f f f ''<<-()()()()3322f f f f ''<-<()()()()2332f f f f ''<<-()()()()2323f f f f ''<-<{}n a n S {}n a {}n S9.如果在区间(-1,0)上是单调函数,那么实数a 的取值范围为A . B . C . D .10.在数列中,,若存在常数c (),使得对于任意的正整数m ,n 等式成立,则A .符合条件的数列有无数个B .存在符合条件的递减数列C .存在符合条件的等比数列D .存在正整数N ,当时,第二部分(非选择题 共110分)二、填空题共5小题,每小题5分,共25分。
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北京市西城区2016 - 2017学年度第二学期期末试卷高一数学试卷满分:150分 考试时间:120分钟题号一二三本卷总分171819202122分数一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的.1. 已知数列{}n a 满足13a =,12n n a a +=,那么4a =( )(A )24 (B )18 (C )16 (D )122. 不等式12x≤的解集为( )(A )1[,)2+∞(B )1(,0)[,)2-∞+∞U (C )1(,]2-∞(D )[2,)+∞3. 执行如图所示的程序框图,则输出的i 值为( ) (A )4 (B )5 (C )6 (D )74. 设直线l 经过两点(2,1),(1,3)A B -,则直线l 下方的半平面(含直线l )可以用不等式表示为( )(A )2370x y +-≥ (B )2370x y +-≤ (C )2310x y ++≥(D )2310x y ++≤5. 在区间[1,3]-上随机取一个实数x ,则x 使不等式||2x ≤成立的概率为( )(A )14 (B )13 (C )12 (D )346. 下表是某校120名学生假期阅读时间(单位: 小时)的频率分布表,现用分层抽样的方法从[10,15),[15,20),[20,25),[25,30)四组中抽取20名学生了解其阅读内容,那么从这四组中依次抽取的人数是( )开始S = 0,i =0 S >20i =i +1结束输出i 是否(A )2,5,8,5 (B )2,5,9,4 (C )4,10,4,2 (D )4,10,3,3 7. 在ABC ∆中,若3a =,2c =,1cos 3B =,则ABC ∆的面积为( ) (A )33 (B )233 (C )263 (D )4638. 以下茎叶图记录了甲、乙两个篮球队在3次不同比赛中的得分情况.乙队记录中有一个数字模糊,无法确认,假设这个数字具有随机性,并在图中以m 表示.那么在3次比赛中,乙队平均得分超过甲队平均得分的概率是( )(A )35(B )45(C )710 (D )9109. 若关于x 的不等式221x a x +-≥对于一切(1,)x ∈+∞恒成立,则实数a 的取值范围是( ) (A )(,4]-∞ (B )[4,)+∞ (C )(,6]-∞ (D )[6,)+∞10. 在ABC ∆中,角,,A B C 对边的边长分别为,,a b c ,给出下列四个结论:○1 以111,,a b c为边长的三角形一定存在;○2 以,,a b c 为边长的三角形一定存在;○3 以222,,a b c 为边长的三角形一定存在; ○4 以,,222a b b c c a+++为边长的三角形一定存在. 那么,正确结论的个数为( ) (A )0 (B )1 (C )2 (D )3二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上. 11. 函数2()4f x x -_______.12. 在等差数列{}n a 中,245a a +=,则3a =_______.13. 随机抽取某班6名学生,测量他们的身高(单位:cm ),获得身高数据依次为:162,168,170,171,179,182,那么此班学生平均身高大约为 cm ;样本数据的方差为 .甲队乙队7 83m8 2314. 设x ,y 满足约束条件2,1,10,y x x y y ++⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≥ 则3z x y =+的最大值是_______.15. 有4张卡片,上面分别写有0,1,2,3. 若从这4张卡片中随机取出2张组成一个两位数,则此数为偶数的概率是_______.16. 在数列{}n a 中,312a =,115a =-,且任意连续三项的和均为11,则2017a =_______;设n S 是数列{}n a 的前n 项和,则使得100n S ≤成立的最大整数n =_______.三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分13分)在等差数列{}n a 中,12a =,3516a a +=. (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ)如果2a ,m a ,2m a 成等比数列,求正整数m 的值. 18.(本小题满分13分)北京是我国严重缺水的城市之一.为了倡导“节约用水,从我做起”,小明在他所在学校的2000名同学中,随机调查了40名同学家庭中一年的月均用水量(单位:吨),并将月均用水量分为6组:[2,4),[4,6),[6,8),[8,10),[10,12),[12,14]加以统计,得到如图所示的频率分布直方图.(Ⅰ)给出图中实数a 的值;(Ⅱ)根据样本数据,估计小明所在学校2000名同学家庭中,月均用水量低于8吨的约有多少户; (Ⅲ)在月均用水量大于或等于10吨的样本数据中,小明决定随机抽取2名同学家庭进行访谈,求这2名同学中恰有1人所在家庭的月均用水量属于[10,12)组的概率. 19.(本小题满分13分)在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且2a =,1cos 4C =-.(Ⅰ)如果3b =,求c 的值; (Ⅱ)如果26c =sin B 的值.48610 14 2吨12 a20.(本小题满分13分)已知数列{}n a 的前n 项和24n S n n =-,其中*n ∈N . (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ)设21n a n b =+,求数列{}n b 的前n 项和n T ; (Ⅲ)若对于任意正整数n ,都有12231111n n a a a a a a λ+L +++≤,求实数λ的最小值. 21.(本小题满分14分)已知函数2()(21)f x ax a x b =+++,其中a ,b ∈R . (Ⅰ)当1a =,4b =-时,求函数()f x 的零点;(Ⅱ)如果函数()f x 的图象在直线2y x =+的上方,证明:2b >; (Ⅲ)当2b =时,解关于x 的不等式()0f x <. 22.(本小题满分14分)在无穷数列{}n a 中,1a p =是正整数,且满足1, ,25, .nn n nn a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数当为奇数 (Ⅰ)当39a =时,给出p 的值;(结论不要求证明) (Ⅱ)设7p =,数列{}n a 的前n 项和为n S ,求150S ;(Ⅲ)如果存在*m ∈N ,使得1m a =,求出符合条件的p 的所有值.北京市西城区2016-2017学年度第二学期期末试卷高一数学参考答案及评分标准一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分.1. A2. B3. B4. B5. D6. A7. C8. D9. C10. C二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分. 11. [2,2]-; 12.52; 13. 172,45;14.73; 15. 59; 16. 4,29. 注:一题两空的题目,第一空2分,第二空3分. 三、解答题:本大题共6小题,共80分. 17.(本小题满分13分)(Ⅰ)解:设等差数列{}n a 的公差为d ,则3512616a a a d +=+=, ………………………3分 又因为12a =,解得2d =. ………………………5分 所以1(1)2n a a n d n =+-=. ………………………7分 (Ⅱ)解:因为2a ,m a ,2m a 成等比数列,所以222m m a a a =⋅, ………………………10分 即2(2)44m m =⨯,m *∈N ,解得4m =. ………………………13分 18.(本小题满分13分)(Ⅰ)解:因为各组的频率之和为1,所以月均用水量在区间[10,12)的频率为 1(0.02520.0750.1000.225)20.1-⨯+++⨯=,所以,图中实数0.120.050a =÷=. ………………………3分 (Ⅱ)解:由图可知, 样本数据中月均用水量低于8吨的频率为 (0.0250.0750.225)20.65++⨯=, ………………………5分所以小明所在学校2000名同学家庭中,月均用水量低于8吨的约有0.6520001300⨯=(户). ………………………7分(Ⅲ)解:设“这2名同学中恰有1人所在家庭的月均用水量属于[10,12)组”为事件A ,由图可知, 样本数据中月均用水量在[10,12)的户数为0.0502404⨯⨯=.记这四名同学家庭分别为,,,a b c d ,月均用水量在[12,14]的户数为0.0252402⨯⨯=.记这两名同学家庭分别为,e f , 则选取的同学家庭的所有可能结果为:(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),a b a c a d a e a f b c b d(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),b e b fcd ce cf d e d f e f 共15种, ………………………9分事件A 的可能结果为:(,),(,),(,),(,),a e a f b e b f (,),(,),(,),(,),c e c f d e d f 共8种, ………………………11分 所以8()15P A =. ………………………13分 19.(本小题满分13分)(Ⅰ)解:由余弦定理2222cos c a b ab C =+-, ………………………3分 得2149223()164c =+-⨯⨯⨯-=,解得4c =. ………………………5分 (Ⅱ)解:(方法一)由1cos 4C =-,(0,π)C ∈,得215sin 1cos C C =-=.……7分 由正弦定理sin sin a c A C =,得sin 10sin a C A c ==. ……………………10分 所以236cos 1sin A A =-=. 因为πA B C ++=,所以sin sin()B A C =+sin cos cos sin A C A C =+ ………………………12分1013615()8484=-+⨯104=. ………………………13分(方法二)由1cos 4C =-,(0,π)C ∈,得215sin 1cos C C - …………7分 由余弦定理2222cos c a b ab C =+-,得2124422()4b b =+-⨯⨯⨯-,解得4b =,或5b =-(舍). ………………………10分 由正弦定理sin sin b c B C =,得sin 10sin b C B c ==. ………………………13分 20.(本小题满分13分)(Ⅰ)解:当1n =时,113a S ==-; ………………………1分 当2n ≥时,125n n n a S S n -=-=-, ………………………3分 因为13a =-符合上式,所以25n a n =-*()n ∈N . ………………………4分 (Ⅱ)解:由(Ⅰ),得2521n n b -=+. ………………………5分 所以12n nT b b b =+++L3125(222)n n ---=++++L ………………………6分1(41)24nn =-+. ………………………9分 (Ⅲ)解:122311111111131335(25)(23)n n a a a a a a n n +=-++++⨯⨯--L L +++11646n =---, ………………………11分 当1n =时,12113a a =,(注:此时1046n <-) 由题意,得13λ≥; ………………………12分 当2n ≥时, 因为1046n >-, 所以1223111116n n a a a a a a +<-L +++. 因为对于任意正整数n ,都有12231111n n a a a a a a λ+L +++≤, 所以λ的最小值为13. ………………………13分 21.(本小题满分14分)(Ⅰ)解:由2()340f x x x =+-=,解得4x =-,或1x =.所以函数()f x 有零点4-和1. ………………………3分 (Ⅱ)解:(方法1)因为()f x 的图象在直线2y x =+的上方,所以2(21)2ax a x b x +++>+对x ∈R 恒成立.即2220ax ax b ++->对x ∈R 恒成立. ………………………5分所以当0x =时上式也成立,代入得2b >. ………………………8分(方法2)因为()f x 的图象在直线2y x =+的上方,所以2(21)2ax a x b x +++>+对x ∈R 恒成立.即2220ax ax b ++->对x ∈R 恒成立. ………………………5分 当0a =时,显然2b >. 当0a ≠时,由题意,得0a >,且2(2)4(2)0a a b ∆=--<, ………………………6分 则24(2)40a b a ->>, 所以4(2)0a b ->,即2b >.综上,2b >. ………………………8分 (Ⅲ)解:由题意,得不等式2(21)20ax a x +++<,即(1)(2)0ax x ++<. …………9分当0a =时,不等式化简为20x +<,解得2x <-; ………………………10分 当0a ≠时,解方程(1)(2)0ax x ++=,得根12x =-,21x a=-. 所以,当0a <时,不等式的解为:2x <-,或1x a>-; ………………………11分 当102a <<时,不等式的解为:12x a -<<-; ………………………12分当12a =时,不等式的解集为∅; ………………………13分 当12a >时,不等式的解为:12x a-<<-. ………………………14分综上,当0a <时,不等式的解集为{|2x x <-,或1}x a>-;当0a =时,不等式的解集为{|2}x x <-;当102a <<时,不等式的解集为1{|2}x x a -<<-;当12a =时,不等式的解集为∅;当12a >时,不等式的解集为1{|2}x x a-<<-.22.(本小题满分14分)(Ⅰ)解:36p =,或13. ………………………3分 (Ⅱ)解:由题意,17a =,代入,得212a =,36a =,43a =,58a =,64a =,72a =,81a =,96a =,L 所以数列{}n a 中的项,从第三项起每隔6项重复一次(注:39a a =), ………5分 故15012348345624()S a a a a a a a a a =+++++++++L616=.………………………8分(Ⅲ)解:由数列{}n a 的定义,知*n a ∈N .设t 为数列{}n a 中最小的数,即min{}i t a i =∈N *, 又因为当n a 为偶数时,12nn a a +=, 所以t 必为奇数. ………………………9分 设k a t =,则15k a t +=+,252k t a ++=, 所以52t t +≤,解得5t ≤. 所以{1,3,5}t ∈. ………………………10分如果3k a t ==,那么由数列{}n a 的定义,得18k a +=,24k a +=,32k a +=,41k a +=, 这显然与3t =为{}n a 中最小的数矛盾,所以3t ≠. ………………………12分 如果5k a t ==, 当1k =时,5p =;当2k ≥时,由数列{}n a 的定义,得1k a -能被5整除,…,得1a p =被5整除; 所以当且仅当*15()a p r r ==∈N 时,5t =. ………………………13分 这与题意不符.所以当*15()a r r ≠∈N 时,数列{}n a 中最小的数1t =, 即符合条件的p 值的集合是*{|r r ∈N ,且r 不能被5整除}. …………………14分。