天津大学 结构力学6

(3)建立位移法方程 结点1：
结点1的力矩平衡方程： 结点2：
结点2的力矩平衡方程：
6.3 连续梁和无侧移刚架的计算
(4)由（f）、（h）解得：
将θ1和θ2的已知值回代，得各杆端弯矩：
6.3 连续梁和无侧移刚架的计算
小结 有几个未知结点位移就建立几个平衡方程； 杆件分析、建立各杆件刚度方程是基础； 如果结点上有集中力偶，平衡方程中应该包括外力 偶。
6.4 有侧移刚架的计算
6.4a 位移法基本体系 例题：试做图示刚架的弯矩图。
如果基本体系与原结 构发生相同的结点位移， 则附加约束上的约束反 力一定等于0。
6.4 有侧移刚架的计算
6.4a 位移法基本体系 （1）Z1=1单独作用时，附加约束的反力k11、k21。 ★附加刚臂上的约束力以 顺时针为正★附加链杆上的约束力以 读者规定的方向为正
例 试用位移法分析图示刚架。 （1）基本未知量 Δ1 、 Δ2 、 Δ3 （2）基本体系 计算杆件线性刚度i， 设EI0=1，则
结构力学
Structural mechanics
第6章 位移法
水利工程仿真与安全国家重点实验室
6.1 引言
位移法产生的背景 20世纪初，钢筋混凝土结构逐渐用于工程结构，并出现 了刚架结构。以位移为基本未知量的计算方法逐渐发展 1914 转角位移法
1932 力矩分配法
30-50年代 渐进法 20世纪50年代电子计算机出现，结构力学进入新阶段 结构分析的矩阵法等数值方法获得迅速发展 随后，在非线性分析、非弹性分析、结构抗震分析等方 面都取得了进展
6.5 对称性的利用
奇数跨对称刚架、对称荷载
对称轴上的截面只有弯矩、
轴力和竖向线位移 没有剪力、水平线位移和角位移 ∴半刚架相应位置为滑移支座
6.5 对称性的利用
奇数跨对称刚架，反对称荷载
对称轴截面只有剪力、水平
线位移和角位移
没有弯矩、轴力和竖向线位 移 ∴半刚架相应位置为竖向 链杆支座
6.5 对称性的利用
求内力
6.4 有侧移刚架的计算
小结—力法和位移法的比较
力法 位移法
基本体系
基本方程
去约束
变形协调方程 位移 求未知力Xi
加约束
平衡方程 力 求未知位移Zi
系数和自由项 解方程 求内力
6.5 对称性的利用
对称刚架：
奇数跨
偶数跨 荷载 对称荷载 反对称荷载
一般荷载—先分解，再叠加
上式称为等截面直杆段转角位移方程，反映杆 端力与杆端位移间的关系。其中固端弯矩和剪力与 跨间荷载有关，称为载常数。常用荷载下的载常数 见书中表。
6.2 等截面直杆的转角位移方程
6.2.2 转角位移方程的简化 转角位移方程(6.2)适用于两端均为刚结点的一般 形式，对于下列两种特殊情况，方程形式可以简化。 (1)远端铰接(图6.4a)。简化为：
6.4 有侧移刚架的计算
无侧移刚架—在荷载作用下，结点只有转角而无线 位移 有侧移刚架—在荷载作用下，结点既有转角又有线 位移 判断结点的线位移要考虑： 是否忽略杆件的轴向变形？
为使刚架无线位移要不要附加侧向支撑？
需要多少附加侧向支撑？
独立线位移数=需附加的侧向支撑数
6.4 有侧移刚架的计算
6.2 等截面直杆的转角位移方程
两端没有转角和位移，
只有直接荷载作用杆端弯
矩为MFab、 MFba，剪力为
FFQab、 FFQba，称为荷载
作用下的固端弯矩和固端剪力
根据叠加原理和力与位移的正负号规定，有：
6.2 等截面直杆的转角位移方程
对图6.2b所示受杆端弯矩的简支梁，用单位荷载法易 得：
6.5 对称性的利用
例题：试求图示组合结构的内力。已知横梁的 EA=2EI。吊杆的E1A1=EI/20。
解：（1）取半边结构
6.5 对称性的利用
(2)选择基本结构 (4)求系数和
自由项
(3)建立位移法方程
6.5 对称性的利用
6.5 对称性的利用
6.5 对称性的利用
(5) 作弯矩图
位移法补充例题
对于很多问题，用位移法比力法省事。 力法，9个基本未知量
位移法，1个基本未知量
6.2 等截面直杆的转角位移方程
6.2.1 转角位移方程通式 等截面直杆ab，抗弯刚度EI，跨长l，受直接荷载 作用，称a端为近端，b端为远端 近端弯矩为Mab，剪力为FQab，转角为θa，侧移为Δa 远端弯矩为Mba，剪力为FQba，转角为θb，侧移为Δb 图6.2所示为杆端力/力矩和位移/转角的正方向 注意力和位移 的方向规定
6.4 有侧移刚架的计算
6.4a 位移法基本体系
6.4 有侧移刚架的计算
6.4a 位移法基本体系 具有n个独立结点位移的超静定结构：
6.4 有侧移刚架的计算
6.4a 位移法基本体系 位移法典型方程：
意义—第1个方程表示：在荷载和位移Z1、Z2、Zn共同作用下 ，基本结构的第1个附加约束中产生的反力与原结构相同（=0 ）；其余类推 k11是第一个约束发生单位位移时在自身引起的反力，k12、 k13是第2、3个约束分别发生单位位移时在第1个约束引起的反 力； 由反力互等定理kij=kji（刚度矩阵对称），F1P是荷载在第1 个约束引起的反力（自由项）
6.4 有侧移刚架的计算
6.4a 位移法基本体系 （2）Z2=1单独作用时，附加约束的反力k12、k22。
6.4 有侧移刚架的计算
6.4a 位移法基本体系 （3）荷载单独作用时，附加约束的反力F1P、F2P。
6.4 有侧移刚架的计算
6.4a 位移法基本体系 将三种情况下的附加约束反力叠加，得 位移法方程为
6.3 连续梁和无侧移刚架的计算
作连续梁的弯矩图和剪力图，见图6.5b、c。
6.3 连续梁和无侧移刚架的计算
例6-2 用位移法求图 6.6a所示刚架的杆端 弯矩，作弯矩图。 已知各杆线刚度： 梁为1，柱为1.5。 解：(1)基本未知量为θ1、θ2。 (2)固端弯矩为
6.3 连续梁和无侧移刚架的计算
偶数跨对称刚架、对称荷载
对称轴结点没有竖向和水平线
位移，也没有转角 ∴该结点相当于固定端 对称轴上的杆件只有轴力，没 有弯矩和剪力
6.5 对称性的利用
偶数跨对称刚架 、反对称荷载 半刚架如图6.14b， 对称轴上立柱的线 刚度减为原来的一 半。 原结构对称轴上 立柱的弯矩和剪力 为半刚架相应杆件 的两倍，轴力为0。
6.4 有侧移刚架的计算
6.4a 位移法基本体系 （3）求系数和自由项，解方程
6.4 有侧移刚架的计算
6.4a 位移法基本体系
结点集中力偶不影响MP图，但影响FiP 将系数和自由项代入方程，解得 （4）利用叠加原理，作弯矩图
6.4 有侧移刚架的计算
6.4a 位移法基本体系 例题：试做图示刚架的弯矩图。
6.4 有侧移刚架的计算
（2）位移法方程 由转角位移方程（6.9）可直接写出：
由结点力矩平衡条件可得：
6.4 有侧移刚架的计算
横梁隔离体的受力见图6.10c。 力系对矩心A的力矩平衡条件为 化简后 联立求解（c）、（d）得：
弯矩图见图6.10d。
6.4 有侧移刚架的计算
6.4a 位移法基本体系
位移法方程的物理意义：基本结构在荷载和结点位 移作用下，附加约束反力等于0。 将求得的系数和自由项代入方程，求解得
6.4 有侧移刚架的计算
6.4a 位移法基本体系 将三种情况下的弯矩图叠加
6.4 有侧移刚架的计算
6.4a 位移法基本体系 例题：试做图示刚架的弯矩图。
解（1）选择基本结构 （2）建立位移法方程
6.2 等截面直杆的转角位移方程
将杆的受力变形状况分解为三个部分： 两端只有转角θa和θb， 而无侧移，无直接荷载， 杆端弯矩为M’ab、 M’ba， 剪力为F’Qab、F’Qba 两端只有相对线位移 δ=Δb-Δa而无转角，无 直接荷载，杆端弯矩为 M’’ab、 M’’ba，剪力 为F’’Qab、F’’Qba
例（图6.7a）忽略轴向变形，各杆两端无轴向相对线 位移，∴为限制侧移，只需设3个水平支撑（图6.7b）
无论有侧移或无侧移，用位移法计算有两个基本点： (1)确定基本未知量；(2)利用平衡条件建立基本方程
6.4 有侧移刚架的计算
无侧移刚架，基本未知量只有结点转角，基本方程 就是结点力矩平衡方程； 有侧移刚架，基本未知量包括结点转角和线位移， 必须补充足够的侧力平衡方程 图6.7刚架，有6个未知转角 和3个独立侧向线位移，在6 个结点力矩平衡方程外还要 补充3根横梁隔离体的侧力 平衡方程：
解得
其中
，称为杆的线刚度。杆端剪力为：
6.2 等截面直杆的转角位移方程
图6.2c所示两端固 定梁发生相对侧移 δ=Δb-Δa的情况，等 价于图6.3所示悬臂 梁，在b端受力偶 M’’ab=M’’ba和集中力
同时作用。由材力公式得：
此式同样可用力法导出。
6.2 等截面直杆的转角位移方程
相应的杆端剪力 在上两式中， 称为杆件的侧移角（弦转 角）。将式（c）、（d）和（f）、（g）代入（a ）得：
6.1 引言
位移法普遍适用于各种不同类型的静定或超静定 结构，更适合于编制大型通用分析程序 力法适用于存在多余力的超静定结构，不适用于 没有多余力的静定结构，位移法对静定和超静定 结构同样有效！ 位移法基本方程可直接用转角位移方程建立，操 作简便！
6.1 引言
位移法是“渐进法”和“矩阵位移法”的基础。
解（1）选择基本结构 （2）建立位移法方程
6.4 有侧移刚架的计算
6.4a 位移法基本体系 （3）求系数和自由项
6.4 有侧移刚架的计算
6.4a 位移法基本体系