5 图论
图论第5、6章
第5章 对集
算法用生长“以u为根的M交错树”的 方法 ，来系统地搜索M可扩路. 树中除 u外都是M饱和的，直到碰到第一个 M 不饱和的顶点时，即得一M可扩路.当树 不能再生长下去时，即有N(S)=T.
本算法是个‘好’算法： 从一个M到 下一个，至多进行X次搜索运算；M 至多扩大X次.
例：
5.5 最优分派问题
第5章 对集
构作一个具有二分类(X, Y)的偶图G，其中 X＝{X1, X2, …, Xn}，Y＝{Y1, Y2, …, Yn}， 并且Xi与Yj相连当且仅当工人Xi胜任工作Yj. 于是问题转化为确定G是否有完美对集的问 题.
下面给出的算法称为匈牙利算法，对任意 一个具有二分类(X, Y)的偶图G，它寻找G 的一个饱和X中所有顶点对集，或找到X的 一个子集S，使|N(S)| ＜ |S| .
第5章 对集
若G有正常的k边着色，则称G是k边可着色的. 每个无环图都是ε边可着色的； 若G是k边可着色的，则一定是k＋1边可着色的. 使G为k边可着色的最小整数k称为G的边色数， 记为χ’(G) . 若G的边色数为k，也称G是k边色的. 下图的边色数是多少？
第5章 对集
显然，在任何正常边着色中，和任一顶 点关联的边必须分配以不同的颜色，因 此
第5章 对集
定理5.2(Hall 1935) 设G是具有二分类(X,Y) 的偶图，则G包含饱和X的每个顶点的对集当 且仅当
|NG(S)|≥|S| 对所有S ⊆ X成立.
❖Hall定理是图论中最有用的定理之一，它 在数学及其他许多学科中都有应用.
Hall定理的证明
第5章 对集
必要性 假设G包含对集M，它饱和X的每个顶 点，并设S是X的子集. 由于S的顶点在M下和 N(S)中相异顶点配对，显然有|N(S)| ≥ |S| .
图论第5章
例如：
上图是3-正则图，且可以1-因子分解，但不存在Hamilton圈。
定理9 若3-正则图有割边，则不可1-因子分解。 证明 若3-正则图G可1-因子分解，因去掉G的不含割边的1-因子 后，图中每个点均为2度，从而每条边均在回路中，特别地割边 也在回路中，矛盾。 注：没有割边的3-正则图可能也没有1-因子分解，如彼得森图。
因与 S 中的顶点关联的边必与 N(S) 中的顶点关联，所以 我们可以推出E1 E2。 因此
k N S E2 E1 k S
由此可知
N S S
再根据Hall定理，可知G有一个饱和X的每个顶点的匹配M，
由于|X| = |Y|，所以M是完美匹配。
图G的一个覆盖: 指V(G)的一个子集 K，使得G的每条边都至 少有一个端点在 K 中。 G的最小覆盖: G中点数最少的覆盖。 例
|M|≤|M*|≤|
~ |≤|K|。 K
~ 由于|M|＝|K |，所以 |M| = |M*|, | K | = |K|。
定理4（Kǒnig, 1931） 在偶图中，最大匹配的边数等于最小 覆盖的顶点数。 证明 设G 是具有二分类（X, Y）的偶图，M*是G的最大 匹配，用U 表示 X 中的 M* 非饱和顶点的集，用 Z 表示 由 M*交错路连接到 U 中顶点的所有顶点的集。
所以，G有完美匹配。
例 彼得森图满足推论的条件（即没有割边的 3-正则图），故它有完美匹配.
注: 有割边的3正则图不一定就没有完美匹配 。
有完美匹配
没有完美匹配
§5.4 因子分解
图G的因子: G的一个至少有一条边的生成子图； G的因子分解: 将G分解为若干个边不重的因子之并。 n-因子：指n度正则的因子。 例：1-因子的边集构成一个完美匹配。 2-因子的连通分支为一个圈。
图论 (5)
定理10.2.3
任意一个无向连通图G至少存在一棵生成子树。
证明1.若G是无回路的，则G本身就是一棵生成子树； 2.若G至少存在一个回路，在此回路中删去其中任 意一条边得G1，此时不会影响图G的连通性；若G1仍然有 回路，再在任意一个回路中删去其中任意一条边得G2， 此时不会影响图G1的连通性。重复上述步骤，直至得到 一个连通图T，且T是无回路的，但T与G有同样的结点集， 所以，T是G的生成子树。■
2013-7-10 数学学院 49--6
证明3)4)
①、首先证明G中无回路。用第一数学归纳法证明，对n作归纳。 当n＝1时，m＝n-1＝0，显然无回路；假设当n＝k-1时，命题成立， 即图无回路；当n＝k时，因G是连通的，故G中每一个结点的度数均 大于等于1。可以证明至少有一个结点v0 ，使得deg(v0)＝1，因若k 个结点的度数都大于等于2，则有： 2m＝deg(v0)+deg(v1)+deg(v2)+……+deg(vk) 2+2+2+……+2＝2k (其中：v0 ，v1 ，v2 ，……，vk 是G中的所有k个结点)。从而有:mk， 即至少有k条边，但这与m＝n-1发生矛盾。在G中删去v0及其关联的 边得到一个新图G1 ，根据归纳假设知G1 无回路。由于deg(v0)＝1， 所以再将结点v0及其关联的边加回得到原图G，则G也无回路。 ②、其次证明在G中任意二结点vi，vj之间增加一条边(vi，vj)， 得到一条且仅一条基本回路。由于G是连通的，从vi到vj有一条通路 L，再在L中增加一条边(vi ，vj)，就构成了一条回路。若此回路不 是唯一的和基本的，则删去此新边，G中必有回路，得出矛盾。
第五章 图论
图论可应用于多个领域，如信息论，控制论， 运筹学，运输网络，集合论等（如用关系图来 描述一个关系）。
计算机领域，其可应用于人工智能，操作系统， 计算机制图，数据结构）
§1
图论基本概念
1-1 图的实例 问题1、哥尼斯堡桥问题
A C B D C B A D
问题：一个散步者能否从任一块陆地出发，走过七 座桥，且每座桥只走过一次，最后回到出发点？
同理，结点间按别的对应方式，便都不存在一一对应
关系。
所以G1，G2不同构。
两图同构有必要条件：
（1）结点数相同； （2）边数同； （3）次数相同的结点数目相等。
1-5 多重图与带权图
1.5.1 多重图 定义11、一个结点对对应多条边，称为多重边。
包含多重边的图称为多重图，否则，成为简单图。
如：
如：基本通路：p1,p2,p3.
简单通路：p1,p2,p3,p5,p6. p4,p7既不是基本通路，也不是简单通路。
定义3、起始结点和终止结点相同的通路称为回路。 各边全不同的回路称为简单回路，各点全不同 的回路称为基本回路。
例2、上例中，1到1的回路有： c1: (1,1,),c2: (1,2,1),c3: (1,2,3,1), 1 2
例2、设有四个城市c1,c2,c3,c4；其中c1与c2间， c1与c4间，c2与c3间有高速公路直接相连，用图表 示该事实。 解：G=<V,E>，其中：V={c1,c2,c3,c4}， E={l1,l2,l3}={(c1,c2),(c1,c4),(c2,c3)} 例3、有四个程序p1,p2,p3,p4,其间调用关系为p1 p2， p1 p4，p2 p3，用图表示该事实。 解：G=<V,E>,V={p1,p2,p3,p4}， E={l1,l2,l3}={(p1,p2),(p1,p4),(p2,p3)}
【5-图论】3.托兰定理【讲师版】
课程类型数学
“托兰定理”讲义编号：
托兰定理在求极值的图论问题中具有重要作用，本讲主要介绍该定理及其相关方法。
定理：有n个顶点且不含三角形的简单图G中最多有[n2/4]条边。
证明
1
例1 设n≥2。
平面上已给2n个点，每三点不共线。
在这些点之间连n2+1条线段。
证明至少形成n个以已知
点为顶点的三角形。
【解答】
例2 由n个点和这些点之间的l条连线段组成一个空间四边形，其中n=q2+q+1，l≥1/2q(q+1)2+1，q≥2，q∈N。
已知此图中任四点不共面，每点至少有一条连线段，存在一点至少有q+2条连线段。
证明：图中必存在一个空
间四边形（即由四点A，B，C，D和四条连线段AB，BC，CD，DA组成的图形）
2。
【5-图论】3.托兰定理【学生版】
课程类型数学
“托兰定理”讲义编号：
托兰定理在求极值的图论问题中具有重要作用，本讲主要介绍该定理及其相关方法。
定理：有n个顶点且不含三角形的简单图G中最多有[n2/4]条边。
证明
1
例1 设n≥2。
平面上已给2n个点，每三点不共线。
在这些点之间连n2+1条线段。
证明至少形成n个以已知点为顶点的三角形。
例2 由n个点和这些点之间的l条连线段组成一个空间四边形，其中n=q2+q+1，l≥1/2q(q+1)2+1，q≥2，q∈N。
已知此图中任四点不共面，每点至少有一条连线段，存在一点至少有q+2条连线段。
证明：图中必存在一个空间四边形（即由四点A，B，C，D和四条连线段AB，BC，CD，DA组成的图形）
例3一次会议有500人参加，（i）如果每名代表认识的人数为400人，是否一定能选出6个人，每两人互相认识？(ii）如果每人认识的人数大于400人。
证明：一定能找到6个人，每两人互相认识。
托兰图
托兰图T n,r是具有n个顶点的完全r部图且其中各部集的大小最多相差1。
引理在具有n个顶点的r部简单图中，托兰图是唯一边数最多的图。
证明
2。
图论5-8章-习题课
证明：设 G 的对偶为 G*，则 G* 是连通的。必要性： G 为二部图，则 G 中无奇数长度回路，故 G* 中无奇数度顶点，因此 G* 是一个欧拉 图。充分性：G* 是一个欧拉图，则 G* 中无奇数度顶点，故 G 中 无奇数长度回路，因此 G 为一个二部图。
第二十八页，编辑于星期六：八点 分。
《图论》4-8 章 习题课
14. 匈牙利算法求二部图的可增广道：如图，设初始匹配 {(x2, y2), (x3, y3), (x5, y5)}，求其最大匹配。
x1
x2
x3
x4
x5
y1
y2
y3
y4
y5
28
第二十九页，编辑于星期六：八点 分。
《图论》4-8 章 习题课
12
第十三页，编辑于星期六：八点 分。
《图论》4-8 章 习题课
7. 证明：k 色图 G 中至少有 k(k1)/2 条边。
13
第十四页，编辑于星期六：八点 分。
《图论》4-8 章 习题课
7. 证明：k 色图G中至少有 k(k1)/2 条边。 证明：按 G 的一个 k 正常着色方案划分 G 的顶点为 k 个集合 V1,
第四页，编辑于星期六：八点 分。
《图论》4-8 章 习题课
2. 证明：Perterson 图不是平面图。
证二：反证。设其为平面图。由图示，每个面至少有5条边，即 l=5，代 入：
m (n 2)l l2
得： 3m 5(n2) 将 n =10, m =15 代入得 45 40，矛盾。
4
第五页，编辑于星期六：八点 分。
v1
v2
运筹学上机试题5-图论
四、图论1、求下图中从v1到v3最短路。
v 1v 3v 546从节点 1到节点3的最短路 *************************起点 终点 距离 ---- ---- ---- 1 2 1 2 3 6此问题的解为:7 2、最小生成树电信公司要在15个城市之间铺设光缆，这些城市的位置及相互之间的铺设光缆的费用如下图所示。
试求出一个连接在15个城市的铺设方案，使得总费用最小。
v 1v 2v 3v 4v 5v 6v 7v 8v 9v 10v 11v 12v 13v 14v 152241131456422323135134此问题的最小生成树如下：*************************起点终点距离---- ---- ----1 4 11 2 22 5 25 8 15 6 26 3 18 7 28 9 39 12 212 11 411 10 110 13 313 14 114 15 3此问题的解为:283、最短路问题例. 求下图中从v1到各点的最短路，并指出有哪些点是不可达到的。
vv7v8v4从节点 1到节点2的最短路*************************起点终点距离---- ---- ---- 1 2 4此问题的解为:41到3没有路1到4没有路从节点 1到节点5的最短路*************************起点终点距离 ---- ---- ---- 1 5 1此问题的解为:1从节点 1到节点6的最短路*************************起点终点距离 ---- ---- ---- 1 5 1 5 6 6此问题的解为:7从节点 1到节点7的最短路*************************起点终点距离 ---- ---- ---- 1 7 3此问题的解为:3从节点 1到节点8的最短路*************************起点终点距离 ---- ---- ---- 1 5 1 5 6 66 8 3此问题的解为:104、最短路问题有6个村庄，各村庄的距离如下图所示。
5.图论
注意:在无向图中,无向边(a,b)是从顶点a到顶点b的 线段,无方向.在有向图中,有向边<a,b>是有方向的, 且箭头必须从a指向b.也常用e=<vi,vj>表示边.有时 用G泛指无向图或有向图,而D只能表示有向图. 几个概念: 设G=<V,E>为一无向图或有向图, (1)若V,E都是有穷集合,则称G是有限图. (2)若|V|=n,则称G为n阶图.(此处|V|表示V中元素个 数;这里n≥1) (3)若E=,则称G为零图(仅包含孤立结点的图).特别 的,若此时又有|V|=1,则称G为平凡图(只有一个结点 的图).
第三部分 图论
在计算机科学领域,如开关理论,逻辑设 计,形式语言,操作系统,编译程序,数据结 构和信息检索等,都以图论为工具来解决实 际问题和理论问题,图论有着广泛的应用. 图论的内容十分丰富,涉及面也比较广, 本部分所涉及的只是图论中最基本的,但在 实际中经常用到的知识.
第7章 图的基本概念
7.1 无向图和有向图
定义 一个无向图G是一个二元组<V,E>, 即 G=<V,E>,其中
(1)V是一个非空的集合(在图的运算中,有时产生 顶点集合为的结果,因而规定顶点集为的图 是无意义的),称为G的顶点集,V中元素称为顶 点或结点. (2)E是无序积V&V的一个多重子集(元素可重复出 现的集合为多重集),E中元素称为无向边,也简 称边. 在一个图G=<V,E>中,为了表示V和E分别为G的顶 点集和边集,常将V记成V(G),E记成E(G).
在上图中,(2),(3)均为(1)的子图,(3)是生成图,(2) 是顶点集{v1,v2}的导出子图,也是边子集{e4,e5}的 导出子图.(3)是边子集{e1,e3,e4}的导出子图. (5),(6)是(4)的子图,(5)是生成子图,也是边子集 {e1,e2}的导出子图.(6)边子集{e1}的导出子图.
图论第五章
Ch.5. Coloring of Graphs
4
Graph Theory
Clique number
5.1.6
The clique number of a graph G, written ω(G), is the maximum size of a set of pairwise adjacent vertices (clique) in G.
Ch.5. Coloring of Graphs
11
Graph Theory
Proposition 5.1.16. If G is an interval graph, then (G) =ω(G)
Proof: Order the vertices according to the left endpoints of the intervals in an interval representation. Apply greedy coloring, and suppose that x receives k, the maximum color assigned. Since x does not receive a smaller color, the left endpoint a of its interval belongs also to intervals that already have colors 1 through k-1. These intervals all share the point a, so we have a k-clique consisting of x and neighbors of x with colors 1 through k-1. Hence ω(G) ≥ k ≥ (G). Since (G) ≥ ω(G) always, this coloring is optimal.
5经典图论问题
5经典图论问题5.1 一笔画问题一笔画算法即是从起点a开始选择关联边（第一这条边不是往回倒，第二这条边在前面延伸路上没有出现过）向前延伸，如果到达终点b，得到a—b迹，判断路上的的边数是否为图的总边数，是就终止，否则选择迹上某个关联边没有用完的顶点v，用同样方式再搜索v—v的闭迹，添加到a—b迹上，即得到a—v---v—b迹，如果这个迹的边数还没有达到总边数，则再选择迹上某个关联边没有用完的顶点。
逐步扩展即可。
二、弗罗莱（Fleury ）算法任取v 0∈V(G)，令P 0=v 0；设P i =v 0e 1v 1e 2…e i v i 已经行遍，按下面方法从中选取e i+1： （a ）e i+1与v i 相关联；（b ）除非无别的边可供行遍，否则e i+1不应该为G i =G-{e 1,e 2, …, e i }中的桥（所谓桥是一条删除后使连通图不再连通的边）；（c ）当（b ）不能再进行时，算法停止。
5.2 中国邮递员问题（CPP ）规划模型：设ij x 为经过边j i v v 的次数，则得如下模型。
∑∈=Ev v ij ijji x z ϖmin∑∑E∈E∈∈=j i i k v v i v v ki ij V v x x ,E ∈∈≤j i ij v v N x ,15.3 旅行推销员问题（TSP ，货郎担问题）（NPC 问题） 定义：包含图G 的所有定点的路（圈）称为哈密顿路（圈），含有哈密顿圈得图称为哈密顿图。
分析：从一个哈密顿圈出发，算法一：（哈密顿圈的充要条件：一包含所有顶点的连通子图，二每个顶点度数为2） 象求最小生成树一样，从最小权边加边，顶点度数大于3以及形成小回路的边去掉。
算法二：算法三：示例：设旅行推销员的矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛01086100111281101565150规划模型：先将一般加权连通图转化成一个等价的加权完全图，设当从i v 到j v 时，1=ij x ，否则，0=ij x ，则得如下模型。
数学建模知识大全
问题—给定一批数据点（输入变量与输出变量的数据），需确定满足特定要求的曲线或曲面
插值问题—要求所求曲线（面）通过所给所有数据点
数据拟合—不要求曲线（面）通过所有数据点，而是要求它反映对象整体的变化趋势
数据拟合
一元函数拟合
·多项式拟合
·非线性函数拟合
多元函数拟合（回归分析）
MATLAB实现
函数的确定
插值方法
一维插值的定义—已知n个节点，求任意点处的函数值。
分段线性插值
多项式插值
样条插值
y=interp1(x0,y0,x,'method')
二维插值—节点为网格节点
z=interp2(x0,y0,z0,x,y,'method')
·逐步回归分析
逐步回归分析—从一个自变量开始，视自变量作用的显著程度，从大到地依次逐个引入回归方程
当引入的自变量由于后面变量的引入而变得不显著时，要将其剔除掉
引入一个自变量或从回归方程中剔除一个自变量，为逐步回归的一步
对于每一步都要进行值检验，以确保每次引入新的显著性变量前回归方程中只包含对作用显著的变量
图的匹配问题
人员分派问题：n个工作人员去做件n份工作，每人适合做其中一件或几件，问能否每人都有一份适合的工作？如果不能，最多几人可以有适合的工作？(匈牙利算法)
遍历性问题
中国邮递员问题—邮递员发送邮件时，要从邮局出发，经过他投递范围内的每条街道至少一次，然后返回邮局，但邮递员希望选择一条行程最短的路线
时间序列建模的基本步骤
1 数据的预处理：数据的剔取及提取趋势项
2 取n=1，拟合ARMA(2n,2n-1)（即ARMA(2,1)）模型
图论第5章 独立集与匹配
独立集
设G=<V,E>是简单图无向图, SV, S, 若S 中任何两个顶点都不相邻,则称这个顶点集合S 为图G的独立集。 若S是图G的独立集，但是任意增加一个顶点 就破坏它的独立性,则称这个独立集S为极大独 立集。 独立集S称为最大独立集,如果不存在独立集S’, 使 S’> S ,其中S为集合S的数。 G的最大独立集S的基数称为G的独立数,记作 (G)。
他指出在一个的棋盘具有处在配置下的64个格子在所给某个位置的皇后控制着同行同列以及包含这个格子的两条斜线上的所有格子这种皇后的最少个数为个格子在所给某个位置的皇后控制着同行同列以及包含这个格子的两条斜线上的所有格子这种皇后的最少个数为5左图显示了一种放置方法
第五章 独立集与匹配
独立集、支配集、覆盖集、匹配
点覆盖
设G=<V,E>, V*V, (1) V*是点覆盖(点覆盖集）——eE，vV*，使e 与v关联； (2) V*是极小点覆盖——V*的任何真子集都不是点覆 盖集； (3) 最小点覆盖——顶点数最少的点覆盖集； (4) 点覆盖数——(G)——最小点覆盖的元素个数。
图中，点覆盖数依次为3，4，7。
证明: 设S1是G的最大独立集, S2是G的最小点覆 盖,由前面的定理知V(G)-S1是点覆盖,V(G)-S2是 独立集。因而 V(G)- (G)= V(G) -S1 (G) V(G)- (G)= V(G) –S2 (G) 所以 (G)+(G)=V(G)。
边覆盖
{y2,x1} {y3,x3}
{x4}
{y2,y3} {y2,y3} {y2,y3}
y2饱和 y3饱和
{x4,x1} {y2} {x4,x1, x 3} {y2, y3}Βιβλιοθήκη 注意：不是每个支配集都是独立集；
图论 第5章
u
例： v v1v2…vm u, 其中u为非饱和点
T
由于M*是最大匹配，从上节定理1可知：u为Z中唯一的M* 非饱和点 (否则将含 M * 可扩路) 。且任意一对配对点v和w, 若 v∈S, 则必w∈T, 反之亦然. 因此 | T |= |S |-1 而且 T N(S ) 。 下证N(S ) T （2.2）
19
(3) 定理5（Kǒnig，哥尼，1931） 偶图中，最大匹配的边 数等于最小覆盖的顶点数。 证明 设G 是具有二分类（X, Y）的偶图，M*是G的最大 匹配，用U 表示 X 中的 M* 非饱和顶点的集，用 Z 表示 由 M* 交错路连接到 U 中顶点的所有顶点的集。置 S = Z∩X , T = Z∩Y。
若图G中的点均为 M 饱和点，则称M为G的完美匹配。 若G中没有另外的匹配M’，使得|M|<|M’|, 则称M为G
的最大匹配（含边数最多的匹配）。
2
例1 设图G 为: G的匹配有： M1 = {v1v8}
v1
v8
v7
v6
v2
v3
v4
v5
M2 = {v1v3，v8v4，v7v5} M3 = {v1v2，v8v3，v7v4，v6v5} 等等 对 M2，点v1是饱和点，点v2是非饱和点。
2 1 3
12
由（2.2）式和（2.3）式推出
|N(S )| = | T |= |S |-1< |S | 这与假定（2.1）式矛盾。 所以M*饱和X的所有顶点. 推论 若G是k正则偶图（k>0），则G有完美匹配。 证明 设G是具有二分类（X, Y）的k正则偶图 (k>0)。首先有 |X| = |Y| (习题1的9). 任取X的一个子集S ，令 E1={e | e∈E,并且 e 与 S 中的顶点关联}
【5-图论】5.欧拉问题【讲师版】
课程类型数学“欧拉问题”讲义编号：本讲将介绍欧拉问题，即一笔画问题。
定义设图G是一个图，，，，是图G的某些顶点。
如果图G含有边，，，，则由顶点和边交错构成的序列，，，，，，，叫做图G的一条长为k的通路，记作，如果一条通路中所有的边都不同，则称它是一条迹。
如果通路中所有的顶点都不同，则称它是一条道路。
一条u，v-通路或u，v-迹的第一个顶点是u，最后一个顶点是v；他们称为通路或迹的端点。
一条u，v-道路是一条道路，其中u和v的度为1（是该道路的端点），其他顶点是内顶点。
始点和终点相重合的通路叫做闭通路，如果一条闭通路除始点和终点相重合外其他顶点都不相同，则称它为圈。
长为n的道路和圈分别记作和。
边各不同的闭通路叫做回路。
包含图中所有边的迹称为欧拉迹，包含图中所有边的回路称为欧拉回路，具有欧拉回路的图称为欧拉图。
如果一个顶点的度是奇（偶）数，则称它是奇（偶）的。
图G中的一条极大道路P是G中一条不含于更长道路的道路。
对于有穷图，没有道路可以无限扩展，故必存在极大（不可扩展的）道路。
例1（哥尼斯堡（Konigsberg）桥问题）哥尼斯堡城坐落于普鲁士的普莱格尔河畔。
城区包括Kneiphopf 岛和河的两岸区域。
这四个地区通过下图所示的7 座桥连接。
市民们想知道如果他们从家出发，经过每一座桥恰好一次，是否又能返回家。
这个问题被简化为遍历右侧的阁。
图中的黑点表示陆地，曲线表示桥。
1【解答】由右侧的模型易知这样的遍历是不存在的。
每当我们到达并离开一块陆地时，要通过两座连接到这个地区的桥。
我们也可以把出发的第一座桥和返回地区的最后一座桥作为一对。
这样所需的遍历要求每块陆地与偶数座桥相连。
这个必要条件在哥尼斯堡问题中是不存在的。
引理1.如果图G中的每一个点的度至少是2，则G含有一个圈。
证明2.在所有顶点均为偶点的图中，每一条不可扩展的迹均是闭合的。
证明定理1.图G是欧拉图当且仅当它最多有一个非平凡的分量并且其顶点的度都是偶数。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
两个图同构的必要条件:
（1）结点数目相同； （2）边数相同； （3）度数相同的结点数相同。
38
例：
39
例：
40
【示例】 下图中，G1G2，其中
f：V1→V2，f（vi）= ui（i=1，2，…，6）。
G3 G4， 其中
f：V1→V2，f（v1）= u3，f（v2）= u1，f（v3）= u2
全二部图，并记为Km,n，其中m=|V1|，
n=|V2|。
21
(a)
(b)
(c)
上图中的三个图均是二部图，其中图（b）是 完全二部图K3，3，图（c）是K2，4。
22
a
b
c
a
c
e
1
2
1
3
5
6
3 2 4 (d) 6
d
e (a)
f
b
d (b)
f
5 (c)
4
有些图虽然表面上不是上面的样式，但经过改 画就能成为上面的样式，仍可判定它是一个二部图， 如上图中（a）可改画成图（b），图（c）可改画 成图（d）。
33
【例】 证明: 在n（n≥2）个人的团体中，必有两
个人有相同个数的朋友。
解：以顶点代表人，二人如果是朋友，则在代表
他们的顶点间连上一条边，这样可得简单无向图G，
每个人的朋友数即图中代表它的顶点的度数，于是
问题转化为：
n阶简单无向图G中必有两个顶点的度数相同。
34
用反证法： 设G中各顶点的度数均不相同，则度数序列为
设有两个图G1=(V1, E1)，G2=(V2, E2)， 如果存在着双射：V1→V2，使得 (u,v)∈E1当且仅当 ( (u), (v))∈E2 且边的重数相同，则称图G1与G2同构， 记作 G1 G2。
定义5.1.5
37
直观理解:
G1 G2是指其中一个图仅经过下列两种变换
可以变为另一个图: (a) 挪动结点的位置； (b) 伸缩边的长短。
44
【练2】 (1) 画出K3的所有不同构的非空子图。
(2) 画出所有不同构的(5,3)简单无向图。 (1) 7个：
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
45
(2) 4个：
46
作业： P82: 1
47
5.1.3 通路与回路
右图是中国铁路交 通图的一部分，旅客乘 火车旅行，相当于从一 个结点出发，沿着一些 边连续移动到另一个结 点，这就引出了通路的 概念。
N5
15
(e)完全无向图
定义
设G = (V, E)是n阶简单无向图, 若G中 任意结点都与其余n - 1个结点邻接, 则 称G为n阶完全无向图(complete graph), 记为Kn.
16
【定理】在n阶无向完全图Kn中，共有n(n-1)/2条边。
17
(f) 子图 定义 设G = (V, E)和G’ = (V’, E’)是图，若 V’ V 且 E’ E 则称G’是G的子图。
邻接，而G’中d与两个度数为1的结点e、f邻接，矛盾。 寻找一种简单而有效的方法来判断图的同构，是图论中 一个重要而未解决的问题。
42
在图的集合上定义二元关系R： 对于图G1、G2，G1RG2当且仅当G1和G2同构， 称R为图的同构关系。 容易证明，图的同构关系是等价关系。
43
【练1】是否存在一个无向图G，其度数序列分别为 (1) 5, 4, 4, 3, 3, 2, 2. (2) 4, 4, 3, 3, 2, 2, 2, 2.
30
例 是否存在一个无向图G，其度数序列分别为 (1) 7, 5, 4, 2, 2, 1. (2) 4, 4, 3, 3, 2, 2.
31
【例】 求解下列各题:
(1) 图G的度数列为2，2，3，5，6，则边数m为
多少?
解：由握手定理： 2m=∑deg(v)=2+2+3+5+6=18，知m=9。
32
既无环又无多重边的图称为简单图(simple graph)。
11
无向多 重图
有向多 重图
12
无向简 单图
有向简 单图
13
(d)图的拓扑不变性质。 需要注意的是，我们讨
论的图不但与结点位置无关，而且与边的形状和长
短也无关。
有n个结点m条边的图称为(n, m)图。 n个结点的
图称为n阶图。
14
若 V 但E = 的图称为零图(discrete graph), n阶零图可记为Nn.
2
数学大师欧拉对七桥问题给出否定回答，并给
出严格的证明(Euler图)。
1736年，欧拉对七桥问题的抽象和论证思想，
开创了图论的研究，这一年可以看成是图论的元年。
3
二、Hamilton环球旅行游戏
1895年，Hamilton设计一个“环球旅行”游戏：
在一个正12面体的20个顶点上各标志一个城市，
如果从一城市出发，沿正12面体的棱行走，每个城 市恰好经过一次，再回到出发点，则算旅行成功。
4
对于该游戏的抽象得到图论中一个很重要的概念： Hamilton图。
5
5.1.2 图的定义
一、图的概念
定义5.1.1
图G(graph)主要由2部分组成:
(1)结点集合V, 其中的元素称为结点或
顶点(vertex 或node). (2)边集合E, 其中的元素称为边(edge). 通常将图G记为G = (V, E).
w表示狼，s表示羊，h表示草。
集合{f，w，s，h}中能安全在一起的子集有：
{f，w，s，h}，{f，w，s}，{f，s，h}，
{f，w，h}，{f，w}，{f，s}，{f，h}，
{w，h}，{f}，{w}，{s}，{h}。
53
用顶点表示渡河过程中的状态，状态是二元组： 第一元素是集合{f，w，s，h}在渡河过程中留在原 岸的子集，第二元素是在彼岸的子集。
23
（h）权重图（赋权图）
定义
设G = (V, E)是任意图，若G的每一条边 上都赋予一个非负实数，则称G是权重 图（边赋权图）。
24
7 2 5 2 5 5 v1 v3 1 v7 3 3 1 7
v4
v2
v6
v2 7
v4
1
v1
2 2
5 3
6
v3 v6
4
5 (a )
v5
1 (b)
v5
在权重图中，每条边上所赋的非负实数称为这条
18
子图示例:
19
（g）二部图
无向图G=〈V，E〉的顶点集V能分成 定义5.1.3 两个子集V 和V ，满足 1 2 （1）V=V1∪V2，V1∩V2=Φ ； （2）任给e=（u，v）∈E，均有 u∈V1，v∈V2。 则称G为二部图。
20
定义5.1.4
设G = (V, E)是二部图，如果V1中每个顶 点都与V2中所有顶点邻接，则称G为完
49
v3
e5
e4
v4
v3
e6 v1
e5 e2
e3
e1
v1e7 v1e1v2e3v3
v2
e2 v3e3v2e2v2e3v3e4v1
e1
通路的长度： 一条路中所包含的边数。对于权重图， 通路的长度为通路中各边的权重之和。
50
路的简记：
v3e3v2e2v2e3v3e4v1
1) 结点序列
第5章 图论
本章讨论图的基本概念及有关术语，研究图 的最基本的性质。
1
5.1 图的基本概念
5.5.1 图的起源 一、哥尼斯堡七桥问题 18世纪的东普鲁士有个哥尼斯堡城，在横贯全城 的普雷格尔河两岸和两个岛之间架设了7座桥，它们 把河的两岸和两个岛连接起来。从河岸或小岛出发， 七座桥每座桥恰好通过一次，再回到原地，是否可 能？
(2) 图G有12条边，度数为3的顶点有6个，余者
度数均小于3，问G至少有几个顶点？ 解：由握手定理∑deg(v)=2m=24，度数为3的顶点 有6个占去18度，还有6度由其余顶点占有;
而由题意，其余顶点的度数可为0，1，2; 当均为2时所用顶点数最少，所以应有3个顶点 占有此6度，即G中至少有9个顶点。
有向图
d
d
e
8
(c)与关联相关的概念：
若从结点u到结点v有边l，则称边l与结点u和v相关联
(incident) ， 并称u和v是邻接顶点。
无向图
u u
有向图
l
v u
l
l
v
v
有向图
9
无向图的两条边邻接：它们有公共端点。
e1 e2
e4 e3 e5
10
相关概念：
关联相同两个结点的边称为环。
关联的起点相同与终点也相同的边称为多重边 或平行边，有多重边的图称为多重图。
边上的权，它可以理解为该边上的流量或通过该边
的时间，还可以理解为该边的长度。
25
二、结点的度数 设G = (V, E)是无向图，v V， v所关联 的边数称为v的度数，记作deg(v) 。 设G = (V, E)是有向图，v V，以v为起 点的边数称v的出度，记作deg＋(v)；以v 为终点的边数称v的入度，记作deg－(v)。 称deg＋(v)+ deg－(v)为v的度数，记作
北京 沈阳
兰州 成都
天津 西安 郑州 上海 厦门 台北 广州
武汉 长沙 重庆
昆明
高雄
48
一、通路
定义5.1.7
在任意一个图G = (V, E) 中，称结点与
边交替出现的序列L：
L : v0e1v1e2v2 ...vi 1ei vi ...envn