第五章图的基本概念
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vV
[例题] 设图G是有n个结点的无向完全图，则G的边数为
C
A) C)
。 n(n-1)
1 2 n ( n 1)
B) n(n+1) D)
1 2 ( n 1)
三、子图
1。已知图G=<V,E>，如果 V ' V , E ' E 则G’=<V’,E’>称为G的子图。 2。如果 V ' V 或 E ' E，则称G’称为G的真子图。 3。如果 V ' V , E ' E ，则称G’称为G的生成子图。 [例题] 设图 ，若 G V , E , 则称G ’是G的真子图。 G ' V ' , E ' 解：应填
2 图的连通性
一、通路和回路
1。通路、回路e 在G=<V,E>中，如果从结点v0依次经过边和结点 可以到达vn ，则称v0 与vn 间存在通路，或v0 与vn 连通， 记作v0～vn ，如v0＝vn则称为回路。通路经过的边数 称为通路的的长度。 2。简单通路、简单回路 没有重复边的通路称为简单通路，没有重复边 的回路称为简单回路。
二、握手定理
图G中所有结点的度数之和等于边数的二倍。
de g ( v ) 2 | E |
[推论1] 在任何图中，度数为奇数的结点数必为 偶数。 [推论2] 在有向图中，所有入度之和等于所有出 度之和。 例题：已知图G中有1个1度结点，2个2度结点，3个3 度结点，4个4度结点，则G的边数是 。 解：
v1
v4
v5
v1
P (G1 ) 1
v2
P (G ) 1
v3
v2
v4
v5
v3
删除v3后G2
v1
删除v1,v3后G3
v4
v5
v1
v4
v5
v2
P (G 2 ) 2
v3
v2
v3 P (G 3 ) 3
因此，{v1}不是点割集，P(G1)=P(G)， {v3}是点割集，又是割点，P(G2)>P(G)， {v1,v3}不是点割集，因为它不是最小点集。 a b [例题] 给定图G，则图G的点割集 c f 是 。 解：图G的点割集是
4。边的重数 具有相同始点和终点的边称为平行边，平行边的 条数称为边的重数。 5。点的度数 图中与某结点v相关联的边数(自回路算两条边)， 称为该结点的度数，记作deg(v)。其中以v为始点的边 数称为出度deg+(v)，以v为终点的边数成为入度deg-(v) deg( v ) deg ( v ) deg ( v ) 因此，有 图G中结点的最大度数记做Δ(G)， 图G中结点的最小度数记做δ(G)。
v1
例如D：e1
v2
e4
e2
e3
v3
1 M (D ) 1 0
0 1 1
1 0 1
Baidu Nhomakorabea
1 0 1
2。邻接矩阵 对于有向图D=<V,E>，若|V|=n，作n阶方阵A(D) 其中的 a ij 表示从 v i 指向 v j 的边数。 上例中，
1 1 2 2 3 3 4 4 30 , | E | 15
vV
[例题] 设图G=<V,E>，则下列结论成立的是
A) deg( V ) 2 | E | C)
C
。
B) deg( V ) | E | D)
d eg ( v ) 2 | E |
vV
d eg ( v ) | E |
1。强连通图、单侧连通图、弱连通图 在有向图D中， (1) 若任何两个结点间都可以到达，则称为强连通图， (2) 若任何两个结点间，总有一个结点可以到达另一 个结点，则称为单侧连通图， (3) 若不考虑边的方向图是连通的，则称为弱连通图。 2。连通分图 在有向图D中，如果存在一个子图D’ (1) 若D’是具有强连通性的最大子图，则称D’为强 分图
{ f }和 { c , e }
e
d
2。边割集 在无向连通图G=<V,E>中，若删除边集E’，得到 子图G－E’，若E’是满足条件P(G－E’)>P(G)的最小边 集，则称E’是G的一个边割集。 换句话说，边割集是指在G的某连通子图中删除 边集E’后，能使此连通子图变成不连通的最小边集。 若E’中只有一条边则称为割边。 例如，G：
(2) 若D’是具有单侧连通性的最大子图，则称D’为 单侧分图， (3) 若D’是具有弱连通性的最大子图，则称D’为弱 分图。 3。两个定理 [定理6] 一个有向图是强连通的充分必要条件是存在一条 至少经过每个结点一次的回路。 [定理7] 在有向图中，它的每个结点必位于且仅位于一个 强分图中。
3 图的矩阵表示
3。初级通路、初级回路 没有重复结点的通路称为初级通路，没有重复 结点的回路称为初级回路。 [定理]在一个具有n个结点的图中，如果vi与vj连通， 且vi≠vj，则至少存在一条边数不多于n-1的通路。 [推论]在一个具有n个结点的图中，如果vi与vj连通， 且vi≠vj，则存在一条边数不多于n-1的初级通路。 [定理]在一个具有n个结点的图中，如果vi存在一条 回路，则至少存在一条边数不多于n的回路。 [推论]在一个具有n个结点的图中，如果vi存在一条 回路，则至少存在一条边数不多于n的初级回路。
V ' V或 E ' E
，
四、图的同构
如果图G中的结点集V与图G’中的结点集V’具有 一一对应的关系，并且对应的边都具有相同的重数， 则称G与G’同构，记作 G G ' 。 因此，两图同构必须满足下列条件： ⑴结点数相同， ⑵边数相同， ⑶度数相同的结点数相同。 上述条件是两图同构的必要条件，但不是充分条 件，也就是说，两个图即使满足上述条件也不一定同 构。如果把其中一个图中的结点重新排列，边跟着结 点移动，并且可以任意弯曲，能够与另一图完全重合， 那么这两个图是同构的。
1 1 0 0
e2
0 1 1 0 e3
v1 v2 v3 v4
2。相邻矩阵 对于无向图G=<V,E>，若|V|=n，作n阶方阵A(G) 其中的 a ij 表示 v i 与 v j 相关联的边数。 上例中，
1 1 A (G ) 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0
二、连通图
若在无向图G中，任何两个不同的结点都是连通的 则称G是连通图。 无向图中结点的连通关系具有自反性、对称性和 传递性，所以结点的连通关系是等价关系。 若G的子图G’是连通图，则称G’是G的连通子图， 若给连通子图G’增加任一结点，都使G’成为不连通， 则称G’是G的连通分支，记作G(V’)。V’是连通分支G’ 中所有结点的集合。 G中相互连通的结点一定在同一连通分支中。 不同的连通分支之间一定没有相同的结点。 无向图G的连通分支数记作P(G)。
(G ) (G ) (G ) 1
(G ) (G ) (G ) 2
( G ) 1, ( G ) ( G ) 2
(G ) (G ) 2, (G ) 3
(G ) (G ) (G )
五、连通分图
四、连通度
1。点连通度 若G是无向连通图，V’是G的结点数最少的点割集 或G－V’是平凡图(孤点)，则V’中的结点数称为G的点 连通度，记作 (G ) 。 因此， (1) 若G是平凡图，则V’=φ， ( G ) 0 ， (2) 若G是完全图，去掉n-1个结点才能成为平凡 图，所以 ( K n ) n 1， (3) 若G存在割点，则 ( G ) 1 ， (4) 若G是非连通图，则 ( G ) 0 。
6。简单图 不含平行边和环(自回路)的图称为简单图。 在简单图中，任何结点的度数都小于等于n-1。这 是判断一个度数序列能否构成简单图的主要依据。 7。完全图 每一对结点之间都有边相连的无向简单图称为无 向完全图，每一对结点之间都有方向相反的两条边相 连的有向简单图称为有向完全图。 8。补图 由图G中的所有结点和构成完全图需添加的边所 组成的图称为G的补图，记作 G 。
一、无向图的矩阵 1。关联矩阵 对于无向图G=<V,E>，若|V|=m，|E|=n，作m×n 矩阵M(G)，其中的 m ij 表示 v i 与 e j 关联的次数。 (自回路 m ij 2 ，单关联 m ij 1 ，不关联 m ij 0 )
e1 v1
2
v4
例如G： e
v2
e3
v3
2 0 M (G ) 0 0 e1
可以看出，A(G)是对称矩阵。 主对角线上的元素表示各结点的自回路数。
二、有向图的矩阵
1。关联矩阵 对于无环有向图D=<V,E>，若|V|=m，|E|=n，作 m×n矩阵M(D)，其中的 m ij 表示 v i 与 e j 的关联情况。 (若 v i 是 e j的起点 a ij 1 ，若 v i 是 e j的终点 a ij 1 若 v i 与 e j 不关联 a ij 0 )
v1
v4
删除边(v1,v2)后G1
v5
v1
v4
v5
v2
P (G ) 1
v3
v2
v3 P (G1 ) 1
删除(v1,v2),(v2,v3)后G2
v1
删除(v3,v5)后G3
v1
v4
v5
v4
v5
v2
v3
P (G 2 ) 2
v2
v3
P (G 3 ) 2
因此，{(v1,v2)}不是边割集，P(G1)=P(G)， {(v1,v2),(v2,v3)}是边割集，P(G2)>P(G)， {(v3,v5)}是边割集，也是割边， P(G3)>P(G)。
v2
v5
v4
v7 v6
例如G：
v1
v3
G不是连通图，但可以划分为三个连通分支。
G ({ v1 }) 是一个连通分支，G ({ v 2 , v 3 , v 4 , v 5 })
是一个连
通分支，G ({ v 6 , v 7 }) 是一个连通分支。
{{ v1 }, {v 2 , v 3 , v 4 , v 5 }, {v 6 , v 7 }}
称为V的一个划分。
三、点割集、边割集
1。点割集 在无向连通图G=<V,E>中，若删除结点集V’(包括 所有与V’中的结点关联的边)，得到子图G－V’，若V’ 是满足条件P(G－V’)>P(G)的最小点集，则称V’是G的 一个点割集。若V’中只有一个结点则称为割点。 换句话说，点割集是指在G的某连通子图中删除 结点集V’后，能使此连通子图变成不连通的最小点集。 例如G： 删除v1后G1
第五章
图论
图的基本概念
主要内容：
1. 2. 3. 4. 图的基本概念 图的连通性 图的矩阵 最短路径(略)
重点：图的概念、握手定理、图的连通性、 图的矩阵 难点：图的同构、点、边割集、连通度、 可达矩阵
1 图的基本概念
一、有关概念
1。图 由结点的集合V和边的集合E组成的有序对<V,E> 称为图G。 2。有向图、无向图 每条边都是有向边的图称为有向图，每条边都是 无向边的图称为无向图，否则称为混合图。 3。孤立点、平凡图 不与其它结点相关联的结点称为孤立点，只有一 个孤立点的图叫做平凡图。
v1 [例题] e5 e1 设G如图，已知通路 e6 v1 e 5 v 5 e 7 v 2 e 2 v 3 ⑴ v2 v5 e7 ⑵ v 5 e 6 v 2 e 2 v 3 e 3 v 4 e8 v 2 e 7 v 5 e8 e2 e4 v 2 e7 v5 e6 v 2 ⑶ e3 v1e1 v 2 e 2 v 3 e 3 v 4 e8 v 2 e 6 v 5 ⑷ v3 v4 试回答它们各是简单通路、简单回路、初级通路 和初级回路。 解：⑴是简单通路，初级通路，⑵是简单回路，但不 是初级回路，⑶是简单回路，初级回路，⑷是简单通 路，但不是初级通路。
2。边连通度 若G是无向连通图，E’是G的边数最少的边割集， 则E’中的边数称为G的边连通度，记作 (G ) 。 因此， (1) 若G是平凡图，则E’=φ， ( G ) 0 ， (2) 若G存在割边，则 ( G ) 1 ， (3) 若G是非连通图，则 ( G ) 0 。 3。 ( G ), ( G ) 和 ( G )之间的关系 在无向图G中，一定有： ( G ) ( G ) ( G ) 即点连通度不大于边连通度，边连通度不大于结 点的最小度数。 下面给出一些实例：
[例题] 设图G是有n个结点的无向完全图，则G的边数为
C
A) C)
。 n(n-1)
1 2 n ( n 1)
B) n(n+1) D)
1 2 ( n 1)
三、子图
1。已知图G=<V,E>，如果 V ' V , E ' E 则G’=<V’,E’>称为G的子图。 2。如果 V ' V 或 E ' E，则称G’称为G的真子图。 3。如果 V ' V , E ' E ，则称G’称为G的生成子图。 [例题] 设图 ，若 G V , E , 则称G ’是G的真子图。 G ' V ' , E ' 解：应填
2 图的连通性
一、通路和回路
1。通路、回路e 在G=<V,E>中，如果从结点v0依次经过边和结点 可以到达vn ，则称v0 与vn 间存在通路，或v0 与vn 连通， 记作v0～vn ，如v0＝vn则称为回路。通路经过的边数 称为通路的的长度。 2。简单通路、简单回路 没有重复边的通路称为简单通路，没有重复边 的回路称为简单回路。
二、握手定理
图G中所有结点的度数之和等于边数的二倍。
de g ( v ) 2 | E |
[推论1] 在任何图中，度数为奇数的结点数必为 偶数。 [推论2] 在有向图中，所有入度之和等于所有出 度之和。 例题：已知图G中有1个1度结点，2个2度结点，3个3 度结点，4个4度结点，则G的边数是 。 解：
v1
v4
v5
v1
P (G1 ) 1
v2
P (G ) 1
v3
v2
v4
v5
v3
删除v3后G2
v1
删除v1,v3后G3
v4
v5
v1
v4
v5
v2
P (G 2 ) 2
v3
v2
v3 P (G 3 ) 3
因此，{v1}不是点割集，P(G1)=P(G)， {v3}是点割集，又是割点，P(G2)>P(G)， {v1,v3}不是点割集，因为它不是最小点集。 a b [例题] 给定图G，则图G的点割集 c f 是 。 解：图G的点割集是
4。边的重数 具有相同始点和终点的边称为平行边，平行边的 条数称为边的重数。 5。点的度数 图中与某结点v相关联的边数(自回路算两条边)， 称为该结点的度数，记作deg(v)。其中以v为始点的边 数称为出度deg+(v)，以v为终点的边数成为入度deg-(v) deg( v ) deg ( v ) deg ( v ) 因此，有 图G中结点的最大度数记做Δ(G)， 图G中结点的最小度数记做δ(G)。
v1
例如D：e1
v2
e4
e2
e3
v3
1 M (D ) 1 0
0 1 1
1 0 1
Baidu Nhomakorabea
1 0 1
2。邻接矩阵 对于有向图D=<V,E>，若|V|=n，作n阶方阵A(D) 其中的 a ij 表示从 v i 指向 v j 的边数。 上例中，
1 1 2 2 3 3 4 4 30 , | E | 15
vV
[例题] 设图G=<V,E>，则下列结论成立的是
A) deg( V ) 2 | E | C)
C
。
B) deg( V ) | E | D)
d eg ( v ) 2 | E |
vV
d eg ( v ) | E |
1。强连通图、单侧连通图、弱连通图 在有向图D中， (1) 若任何两个结点间都可以到达，则称为强连通图， (2) 若任何两个结点间，总有一个结点可以到达另一 个结点，则称为单侧连通图， (3) 若不考虑边的方向图是连通的，则称为弱连通图。 2。连通分图 在有向图D中，如果存在一个子图D’ (1) 若D’是具有强连通性的最大子图，则称D’为强 分图
{ f }和 { c , e }
e
d
2。边割集 在无向连通图G=<V,E>中，若删除边集E’，得到 子图G－E’，若E’是满足条件P(G－E’)>P(G)的最小边 集，则称E’是G的一个边割集。 换句话说，边割集是指在G的某连通子图中删除 边集E’后，能使此连通子图变成不连通的最小边集。 若E’中只有一条边则称为割边。 例如，G：
(2) 若D’是具有单侧连通性的最大子图，则称D’为 单侧分图， (3) 若D’是具有弱连通性的最大子图，则称D’为弱 分图。 3。两个定理 [定理6] 一个有向图是强连通的充分必要条件是存在一条 至少经过每个结点一次的回路。 [定理7] 在有向图中，它的每个结点必位于且仅位于一个 强分图中。
3 图的矩阵表示
3。初级通路、初级回路 没有重复结点的通路称为初级通路，没有重复 结点的回路称为初级回路。 [定理]在一个具有n个结点的图中，如果vi与vj连通， 且vi≠vj，则至少存在一条边数不多于n-1的通路。 [推论]在一个具有n个结点的图中，如果vi与vj连通， 且vi≠vj，则存在一条边数不多于n-1的初级通路。 [定理]在一个具有n个结点的图中，如果vi存在一条 回路，则至少存在一条边数不多于n的回路。 [推论]在一个具有n个结点的图中，如果vi存在一条 回路，则至少存在一条边数不多于n的初级回路。
V ' V或 E ' E
，
四、图的同构
如果图G中的结点集V与图G’中的结点集V’具有 一一对应的关系，并且对应的边都具有相同的重数， 则称G与G’同构，记作 G G ' 。 因此，两图同构必须满足下列条件： ⑴结点数相同， ⑵边数相同， ⑶度数相同的结点数相同。 上述条件是两图同构的必要条件，但不是充分条 件，也就是说，两个图即使满足上述条件也不一定同 构。如果把其中一个图中的结点重新排列，边跟着结 点移动，并且可以任意弯曲，能够与另一图完全重合， 那么这两个图是同构的。
1 1 0 0
e2
0 1 1 0 e3
v1 v2 v3 v4
2。相邻矩阵 对于无向图G=<V,E>，若|V|=n，作n阶方阵A(G) 其中的 a ij 表示 v i 与 v j 相关联的边数。 上例中，
1 1 A (G ) 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0
二、连通图
若在无向图G中，任何两个不同的结点都是连通的 则称G是连通图。 无向图中结点的连通关系具有自反性、对称性和 传递性，所以结点的连通关系是等价关系。 若G的子图G’是连通图，则称G’是G的连通子图， 若给连通子图G’增加任一结点，都使G’成为不连通， 则称G’是G的连通分支，记作G(V’)。V’是连通分支G’ 中所有结点的集合。 G中相互连通的结点一定在同一连通分支中。 不同的连通分支之间一定没有相同的结点。 无向图G的连通分支数记作P(G)。
(G ) (G ) (G ) 1
(G ) (G ) (G ) 2
( G ) 1, ( G ) ( G ) 2
(G ) (G ) 2, (G ) 3
(G ) (G ) (G )
五、连通分图
四、连通度
1。点连通度 若G是无向连通图，V’是G的结点数最少的点割集 或G－V’是平凡图(孤点)，则V’中的结点数称为G的点 连通度，记作 (G ) 。 因此， (1) 若G是平凡图，则V’=φ， ( G ) 0 ， (2) 若G是完全图，去掉n-1个结点才能成为平凡 图，所以 ( K n ) n 1， (3) 若G存在割点，则 ( G ) 1 ， (4) 若G是非连通图，则 ( G ) 0 。
6。简单图 不含平行边和环(自回路)的图称为简单图。 在简单图中，任何结点的度数都小于等于n-1。这 是判断一个度数序列能否构成简单图的主要依据。 7。完全图 每一对结点之间都有边相连的无向简单图称为无 向完全图，每一对结点之间都有方向相反的两条边相 连的有向简单图称为有向完全图。 8。补图 由图G中的所有结点和构成完全图需添加的边所 组成的图称为G的补图，记作 G 。
一、无向图的矩阵 1。关联矩阵 对于无向图G=<V,E>，若|V|=m，|E|=n，作m×n 矩阵M(G)，其中的 m ij 表示 v i 与 e j 关联的次数。 (自回路 m ij 2 ，单关联 m ij 1 ，不关联 m ij 0 )
e1 v1
2
v4
例如G： e
v2
e3
v3
2 0 M (G ) 0 0 e1
可以看出，A(G)是对称矩阵。 主对角线上的元素表示各结点的自回路数。
二、有向图的矩阵
1。关联矩阵 对于无环有向图D=<V,E>，若|V|=m，|E|=n，作 m×n矩阵M(D)，其中的 m ij 表示 v i 与 e j 的关联情况。 (若 v i 是 e j的起点 a ij 1 ，若 v i 是 e j的终点 a ij 1 若 v i 与 e j 不关联 a ij 0 )
v1
v4
删除边(v1,v2)后G1
v5
v1
v4
v5
v2
P (G ) 1
v3
v2
v3 P (G1 ) 1
删除(v1,v2),(v2,v3)后G2
v1
删除(v3,v5)后G3
v1
v4
v5
v4
v5
v2
v3
P (G 2 ) 2
v2
v3
P (G 3 ) 2
因此，{(v1,v2)}不是边割集，P(G1)=P(G)， {(v1,v2),(v2,v3)}是边割集，P(G2)>P(G)， {(v3,v5)}是边割集，也是割边， P(G3)>P(G)。
v2
v5
v4
v7 v6
例如G：
v1
v3
G不是连通图，但可以划分为三个连通分支。
G ({ v1 }) 是一个连通分支，G ({ v 2 , v 3 , v 4 , v 5 })
是一个连
通分支，G ({ v 6 , v 7 }) 是一个连通分支。
{{ v1 }, {v 2 , v 3 , v 4 , v 5 }, {v 6 , v 7 }}
称为V的一个划分。
三、点割集、边割集
1。点割集 在无向连通图G=<V,E>中，若删除结点集V’(包括 所有与V’中的结点关联的边)，得到子图G－V’，若V’ 是满足条件P(G－V’)>P(G)的最小点集，则称V’是G的 一个点割集。若V’中只有一个结点则称为割点。 换句话说，点割集是指在G的某连通子图中删除 结点集V’后，能使此连通子图变成不连通的最小点集。 例如G： 删除v1后G1
第五章
图论
图的基本概念
主要内容：
1. 2. 3. 4. 图的基本概念 图的连通性 图的矩阵 最短路径(略)
重点：图的概念、握手定理、图的连通性、 图的矩阵 难点：图的同构、点、边割集、连通度、 可达矩阵
1 图的基本概念
一、有关概念
1。图 由结点的集合V和边的集合E组成的有序对<V,E> 称为图G。 2。有向图、无向图 每条边都是有向边的图称为有向图，每条边都是 无向边的图称为无向图，否则称为混合图。 3。孤立点、平凡图 不与其它结点相关联的结点称为孤立点，只有一 个孤立点的图叫做平凡图。
v1 [例题] e5 e1 设G如图，已知通路 e6 v1 e 5 v 5 e 7 v 2 e 2 v 3 ⑴ v2 v5 e7 ⑵ v 5 e 6 v 2 e 2 v 3 e 3 v 4 e8 v 2 e 7 v 5 e8 e2 e4 v 2 e7 v5 e6 v 2 ⑶ e3 v1e1 v 2 e 2 v 3 e 3 v 4 e8 v 2 e 6 v 5 ⑷ v3 v4 试回答它们各是简单通路、简单回路、初级通路 和初级回路。 解：⑴是简单通路，初级通路，⑵是简单回路，但不 是初级回路，⑶是简单回路，初级回路，⑷是简单通 路，但不是初级通路。
2。边连通度 若G是无向连通图，E’是G的边数最少的边割集， 则E’中的边数称为G的边连通度，记作 (G ) 。 因此， (1) 若G是平凡图，则E’=φ， ( G ) 0 ， (2) 若G存在割边，则 ( G ) 1 ， (3) 若G是非连通图，则 ( G ) 0 。 3。 ( G ), ( G ) 和 ( G )之间的关系 在无向图G中，一定有： ( G ) ( G ) ( G ) 即点连通度不大于边连通度，边连通度不大于结 点的最小度数。 下面给出一些实例：