第一章图的基本概念节
第一章 图的基本概念(5)——极图理论简介
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
如果 m(G) m(Tl ,n )
则有 m(H ) m(G)
G与H有相同度序列，由定理4：G H
又由 m(G) m(Tl ,n ) ，且由定理3，有：
H Tl ,n 所以有： G Tl ,n
13
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
4部图
4
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
定义2 如果在一个l 部图G中，任意部Vi中的每个顶点， 和G中其它各部中的每个顶点均邻接，称G为完全l 部 图。记作：
G Kn1,n2 , ,nl , (ni Vi ,1 i l)
例如：
显然：
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
几个有趣的相关结果：
设m (n, H)表示n阶单图中不含子图H的最多边数，则：
1, m(n,
K3 )
n2
4
2, m(n, Kl 1 )
(l
1)(n 2 2l
r2)
Cr2
其中，n r(modl), 0 r l
3,
m(n, Cn
)
1
(n
1)(n 2
由此可以推出： G= G1V G2 因为 G= G1V G2和H= G2V H1有相同度序列，于是 得到G1和H1有相同度序列，所以：
GH
定理5（Turán）若G是简单图，并且不包含 Kl+1,则：
m(G) m(Tl,n )
仅当 G Tl ,n 时，有 m(G) m(Tl ,n )
第一章(图论的基本概念)
第二节 图的顶点度和图的同构(4)
图序列:简单图的度序列. (d1, d 2 , , d p )(d1 d 2 d p ) 定理4 非负整数序列 是图序列当 p 且仅当 d i 是偶数,并且对一切整数k, 1 k p 1, 有
i 1
第二节 图的顶点度和图的同构(1)
定义1 设G是任意图,x为G的任意结点,与结点x关联的 边数(一条环计算两次)称为x的度数.记作deg(x)或d(x). 定义2 设G为无向图,对于G的每个结点x,若d(x)=K,则 称G为K正则的无向图.设G为有向图,对于G的每个结点 x,若d+(x)=d-(x), 则称G为平衡有向图.在有向图G中, 若 (G) (G) (G) (G) K , 则称G为K正则有向图. 定理1(握手定理，图论基本定理)每个图中,结点度数的 总和等于边数的二倍,即 deg(x) 2 E .
•
A
N
S
B
欧拉的结论 • 欧拉指出:一个线图中存在通过每边一次仅一次 回到出发点的路线的充要条件是: • 1)图是连通的,即任意两点可由图中的一些边连 接起来; • 2)与图中每一顶点相连的边必须是偶数. • 由此得出结论:七桥问题无解. 欧拉由七桥问题所引发的研究论文是图论的开 篇之作,因此称欧拉为图论之父.
xV
定理2 每个图中,度数为奇数的结点必定是偶数个.
第二节 图的顶点度和图的同构(2)
• 定理3 在任何有向图中,所有结点入度之和等于所有结 点出度之和. • 证明 因为每条有向边必对应一个入度和出度,若一个结 点具有一个入度或出度,则必关联一条有向边,因此,有向 图中各结点的入度之和等于边数,各结点出度之和也等 于边数. • 定义 度序列,若V(G)={v1,v2,…,vp},称非负整数序列 (d(v1),d(v2),…,d(vp))为图G的度序列.
(图论)图的基本概念--第一章
证明 设G＝<V，E>为任意一图，令
V1＝{v|v∈V∧d(v)为奇数} V2＝{v|v∈V∧d(v)为偶数} 则V1∪V2＝V，V1∩V2＝ ，由握手定理可知
2m d (v) d (v) d (v)
vV
vV1
vV2
由于2m和 d (v) ，所以 d (v) 为偶数，
举例
NG(v1) ＝ {v2，v5} NG(v1) ＝ {v1，v2，v5} IG(v1) ＝ {e1，e2，e3}
Г+D(d ) ＝ {c} Г-D(d ) ＝ {a，c} ND(d ) ＝ {a，c} ND(d ) ＝ {a，c，d}
简单图与多重图
定义1.3 在无向图中，关联一对顶点的无向边如果多于1条，则 称这些边为平行边，平行边的条数称为重数。 在有向图中，关联一对顶点的有向边如果多于1条，并且这些 边的始点和终点相同(也就是它们的方向相同)，则称这些边 为平行边。 含平行边的图称为多重图。 既不含平行边也不含环的图称为简单图。
无向图和有向图
定义1 一个无向图是一个有序的二元组<V，E>,记作G，其中 （1）V≠称为顶点集，其元素称为顶点或结点。 （2）E称为边集，它是无序积V&V的多重子集，其元素称为无向 边，简称边。
定义2 一个有向图是一个有序的二元组<V，E>，记作D，其中 （1）V≠称为顶点集，其元素称为顶点或结点。 （2）E为边集，它是笛卡儿积V×V的多重子集，其元素称为有向 边，简称边。
vV2
vV1
但因V1中顶点度数为奇数， 所以|V1|必为偶数。
问题研究
问题：在一个部门的25个人中间，由于意见不同，是否可能每 个人恰好与其他5个人意见一致？
图论第一章课后习题解答
bi 个 (i = 1,2,…,s)，则有 列。 定理 7
bi = n。故非整数组(b ,b ,…, b )是 n 的一个划分，称为 G 的频序
1 2 s
s
i 1
一个 n 阶图 G 和它的补图 G 有相同的频序列。
§1.2 子图与图的运算
且 H 中边的重数不超过 G 中对应边的 定义 1 如果 V H V G ，E H E G ， 重数，则称 H 是 G 的子图，记为 H G 。有时又称 G 是 H 的母图。 当 H G ，但 H G 时，则记为 H G ，且称 H 为 G 的真子图。G 的生成子图是 指满足 V(H) = V(G)的子图 H。 假设 V 是 V 的一个非空子集。以 V 为顶点集，以两端点均在 V 中的边的全体为边集 所组成的子图，称为 G 的由 V 导出的子图，记为 G[ V ]；简称为 G 的导出子图，导出子图 G[V\ V ]记为 G V ； 它是 G 中删除 V 中的顶点以及与这些顶点相关联的边所得到的子图。 若 V = {v}, 则把 G-{v}简记为 G–v。 假设 E 是 E 的非空子集。以 E 为边集，以 E 中边的端点全体为顶点集所组成的子图 称为 G 的由 E 导出的子图，记为 G E ；简称为 G 的边导出子图，边集为 E \ E 的 G 的 导出子图简记为 G E 。若 E e ，则用 G–e 来代替 G-{e}。 定理 8 简单图 G 中所有不同的生成子图（包括 G 和空图）的个数是 2m 个。 定义 2 设 G1，G2 是 G 的子图。若 G1 和 G2 无公共顶点，则称它们是不相交的；若 G1 和 G2 无公共边，则称它们是边不重的。G1 和 G2 的并图 G1∪G2 是指 G 的一个子图，其顶点 集为 V(G1)∪V(G2)，其边集为 E(G1)∪E(G2)；如果 G1 和 G2 是不相交的，有时就记其并图为 G1+G2。类似地可定义 G1 和 G2 的交图 G1∩G2，但此时 G1 和 G2 至少要有一个公共顶点。
图论-图的基本概念
证明：按每个顶点的度来计数边，每条边恰数了两次。 推论 1.1.1 任何图中，奇度顶点的个数总是偶数（包括 0）。 4. 子图
子图(subgraph)：如果 V (H ) ⊆ V (G) 且 E(H ) ⊆ E(G) ，则称图 H 是 G 的子图，记为 H ⊆G。
生成子图(spanning subgraph): 若 H 是 G 的子图且V (H ) = V (G) ，则称 H 是 G 的生成子图。
这便定义出一个图。
2. 图的图示
通常，图的顶点可用平面上的一个点来表示，边可用平面上的线段来表示（直的或曲的）。 这样画出的平面图形称为图的图示。
例如，例 1.1.1 中图的一个图示为
v1
v2
e1
e6 e5
e2
e4
v5
e7
v3
e3 v4
注：（1）由于表示顶点的平面点的位置的任意性，同一个图可以画出形状迥异的很多图示。
图论讲义第1章-图的概念
图论与网络流理论（Graph Theory and Network Flow Theory）高随祥中科院研究生院专业基础课学时/学分：60/3本课程适合基础数学、应用数学、计算数学、运筹学与控制论、概率论与数理统计各专业的硕士学位研究生作为专业基础课，也可供物理学、化学、天文学、地学、生物科学、计算机科学与技术、计算机软件、管理科学与工程以及通信、信号等学科专业的硕士研究生选修。
主要讲授图论与网络流理论的基本概念、方法和定理，介绍该领域重要的问题以及典型的算法，展示图论与网络流模型及方法的广泛应用。
为学习者将来从事有关方面的理论研究打下基础，也为进行应用性研究提供一种有力的工具。
内容提要第一章 图的基本概念图的基本概念；二部图及其性质；图的同构；关联矩阵与邻接矩阵。
路、圈与连通图；最短路问题。
树及其基本性质；生成树；最小生成树。
第二章 图的连通性割点、割边和块；边连通与点连通；连通度；Whitney定理；可靠通信网络的设计。
第三章 匹配问题匹配与最大匹配；完美匹配；二部图的最大匹配；指派问题与最大权匹配。
第四章 欧拉图与哈密尔顿图欧拉图；中国邮递员问题；哈密尔顿图；旅行商问题。
第五章 支配集、独立集、覆盖集与团支配集、点独立集、点覆盖集、边覆盖集与团的概念及其求法。
第六章图的着色问题点着色；边着色；平面图；四色猜想；色多项式；色数的应用。
第七章网络流理论有向图；网络与网络流的基本概念；最大流最小割定理；求最大流的标号算法；最小费用流问题；最小费用最大流；网络流理论的应用。
主要参考书[1] J.A. Bondy and U.S. Murty, Graph theory with applications, 1976, 有中译本（吴望名等译）。
[2] B.Bollobas, Modern graph theory (现代图论)，科学出版社，2001。
[3] 蒋长浩，图论与网络流，中国林业出版社，2001。
图论
例：有甲、乙、丙、丁、戊五个球队，各队之间比赛 有甲、 戊五个球队， 情况如表： 情况如表： 甲
乙 胜 × 负
丙 负 胜 × 负
丁 胜
戊 胜
甲 乙 丙 丁 戊
× 负 胜 负 负
胜 × 胜 负 ×
点：球队； 球队； 连线：两个球队之间比赛过，如甲胜乙， 连线：两个球队之间比赛过，如甲胜乙，用 v1 v2表示。 表示。
三 、一些特殊图类
1.平凡图 1.平凡图 2.零图 2.零图 3. 连通图 给定图G=（V，E），任何两点间至少有一条链，则 称G是连通图，否则为不连通图。 若G是不连通的，它的每个连通部分称为G的连通分 图。 节点数n=1,边数m=0的图。
边数m=0的图。
4.树 4.树 无圈连通图。 5. 完备图 无向图的完备图：任何两点之间有一条边； 有向图的完备图：任何两点u与v之间有两条有向 边（u，v）及（v，u）。 基本图：把有向图的每条边除去方向得到的无 向图。 6.二分图 6.二分图 若V(G)=X ∪ Y,X ∩ Y= Ф，X 、Y中的任两顶 点不相邻，则G称为二分图，记为（S,X,Y）。
无向图： 无向图：由点及边构成 ，边[vi，vj]
有向图：由点及弧构成， 有向图：由点及弧构成，弧（ vi，vj）
中点集V的顶点个数 图G中点集 的顶点个数，记为 (G) ，边数记为 中点集 的顶点个数，记为p q(G),简记 ，q。 简记p， 。 简记
ppt2 完全图、偶图与补图 度序列
证明 ： 设G是k-正则图，若k为奇数，则由推论1知 正则图G的点数必为偶数
例4 Δ与δ是简单图G的最大度与最小度，求证： 2m
n
11
H G 1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
证明：由握手定理有：
n d (v) 2m n vV (G)
1 (d2 1, d3 1, , dd11 1, dd12 , , dn )
是图序列。
15
H G 1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
例5 (6, 5, 4, 3, 2, 2, 2) 是否为图序列？如果是， 作出对应的一个简单图。
解： 1 (4, 3, 2,1,1,1)
定理: 一个满足d2=dn-1的图序列 (d1, d2 ,
, dn )
是唯一图序列的充分必要条件是下列条件之一满足：
(1), d1 dn, dn 1, n 1, n 2
(2), d1 dn 2, n 5 (3), d1 d2 dn 1
(4), d1 d2 dn 2, d1 n 1,n 2
图1
图2
图1与图2均是偶图，图2是K2,3
4
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
偶图是一种常见数学模型。
例1 学校有6位教师将开设6门课程。六位教师的代号是 xi（i=1,2,3,4,5,6)，六门课程代号是yi （i=1,2,3,4,5,6)。已知， 教师x1能够胜任课程y2和y3；教师x2能够胜任课程y4和y5； 教师x3能够胜任课程y2；教师x4能够胜任课程y6和y3； 教师x5能够胜任课程y1和y6；教师x6能够胜任课程y5和y6。 请画出老师和课程之间的状态图。
1图的基本概念
(或若边<vi,vj>∈E,当且仅当 边<f(vi),f(vj)>∈E’),则称G与
G’同构,记作G≌G’. (同构a图 要保持b 边的“1 关联”4关系)
例如:右边所示的两个图: c
d
3
2
G=<V,E> G’=<V’,E’>
构造映射f:VaV1’ b 2 c 3 d 4
a 1 b 2 c 3 d 4
degi(a)=2 degi(b)=2 degi(c)=1 degi(d)=1
dego(a)=2 dego(b)=3 dego(c)=1 dego(d)=0
定理8-1.3 G=<V,E>是有向图, 则G的所有结点的出度之和
等于入度之和.
证明: 因为图中每条边对应一个出度和一个入度. 所以所
有结点的出度之和与所有结点的入度之和都等于有向边
如果可能,请试画出它的图. 哪些可能不是简单图?
a) (1,2,3,4,5)
b) (2,2,2,2,2)
c) (1,2,3,2,4)
2.已知无向简单图G中,有10条边,4个3度结点,其余结点的
度均小于或等于2,问G中至少有多少个结点?为什么?
1. a) (1,2,3,4,5) b) (2,2,2,2,2) c) (1,2,3,2,4)
足够的。例如“目”的图形就是满足条件的例子。
七. 有向图结点的出度和入度:(in degree out degree)
G=<V,E>是有向图,v∈V v的出度: 从结点v射出的边数.
记作deg+(v) 或 dego(v)
a
b
c d
v的入度: 射入结点v的边数. 记作deg-(v) 或 degi(v)
图学基础教程习题集答案
图学基础教程习题集答案第一章：图学基本概念1. 图的定义是什么？答案：图是由顶点（或称为节点）和边组成的数学结构，其中边是顶点之间的连接。
2. 什么是有向图？答案：有向图是一种图，其中的边具有方向性，从一个顶点指向另一个顶点。
第二章：图的表示方法1. 邻接矩阵的优缺点是什么？优点：易于实现，可以快速判断任意两个顶点之间是否存在边。
缺点：空间复杂度高，对于稀疏图来说效率较低。
2. 邻接表的优缺点是什么？优点：空间效率高，对于稀疏图特别适用。
缺点：需要额外的时间来检查两个顶点之间是否存在边。
第三章：图的遍历1. 深度优先搜索（DFS）的基本思想是什么？答案：从图中的一个顶点开始，沿着边尽可能深地搜索，直到无法继续，然后回溯到上一个顶点，继续搜索其他路径。
2. 广度优先搜索（BFS）的基本思想是什么？答案：从图中的一个顶点开始，逐层遍历所有可达的顶点，直到所有顶点都被访问过。
第四章：最小生成树1. 最小生成树问题的定义是什么？答案：在无向图中，最小生成树是一棵连接所有顶点的树，且边的总权重最小。
2. Kruskal算法的基本步骤是什么？答案：Kruskal算法通过按权重递增的顺序选择边，确保选择的边不会形成环，直到所有顶点都被连接。
第五章：最短路径问题1. Dijkstra算法的工作原理是什么？答案：Dijkstra算法通过维护一个优先队列，不断地选择距离起点最近的顶点，并更新其邻接顶点的距离。
2. Bellman-Ford算法与Dijkstra算法的主要区别是什么？答案：Bellman-Ford算法可以处理带有负权重边的图，而Dijkstra算法不能。
第六章：图的着色1. 图的着色问题的定义是什么？答案：图的着色问题是指给图中的每个顶点分配一种颜色，使得相邻的顶点颜色不同。
2. 贪心算法在图的着色问题中的应用是什么？答案：贪心算法在图的着色问题中，从顶点集合中选择一个顶点，为其分配一种颜色，然后移动到下一个顶点，并为其分配一种与相邻顶点不同的颜色。
图论
《图论》程序设计目录第一章图的基本概念 2一、图的的定义 2二、图的存储结构 3 第二章图的遍历 5一、深度优先搜索 6二、广度优先搜索8 例、子图划分12 第二章图的生成树14 一、基本概念14 排列方案15 二、图的最小生成树(prim算法) 16 例、机器蛇18 第三章、最短路问题20一、计算单源最短路问题（Dijkstra算法）20二、任意两点间的最短路（floyd算法）23三、最短路径的应用25 例、颜色集28 例计算DAG中的最长路30 例、计算带权有向图的中心31 第四章应用举例32 例、位图32 【例题】士兵排队34 简化图36如果数据元素集合D 中的各元素之间存在任意的前后件关系R ，则此数据结构G=（D ，R ）称为图。
奥林匹克信息学联赛的许多试题，需要用图来描述数据元素间的联系，需要用图的经典算法来解题用结点代表城市，每条边代表连接两个城市间的公路，边长的权表示公路长度。
这种公路网的表现形式就是属于图的数据结构。
第一章 图的基本概念一、图的的定义如果数据元素集合D 中的各元素之间存在任意的前后件关系R ，则此数据结构G=（D ，R ）称为图。
如果将数据元素抽象为结点，元素之间的前后件关系用边表示，则图亦可以表示为G=（V ，E ），其中V 是结点的有穷（非空）集合，E 为边的集合。
如果元素a 是元素b 的前件，这种前后件关系对应的边用(a ，b)表示，即(a ，b)∈E 。
1、无向图和有向图⑴无向图：在图G=（V ，E ）中，如果对于任意的a ，b∈V，当(a ，b)∈E 时，必有（b ，a ）∈E（即关系R 对称），对称此图为无向图。
在一无向图中用不带箭头的边连接两个有关联的结点。
在具有n 个结点的无向图中，边的最大数目为n*(n+1)/2。
而边数达到最大值的图称为无向完全图。
在无向图中一个结点相连的边数称为该结点的度，无向完全图中，每一个顶点的度为n-1。
⑵有向图：如果对于任意的a ，b∈V，当(a ，b)∈E 时 ，(b ，a)∈E 未必成立，则称此图为有向图。
第一章 图案概述
第四节
图案的基本概念 图案的起源 图案的风格和种类 图案的基本特征与原理
第一节 图案的基本概念
图案，顾名思义即图形的设计方案。按照我们通常所 理解的，图案的概念有着广义与狭义之分，广义的概念诸如 我们日常所使用的器物、所穿着的衣物上面带有图形的图样 都称之为图案，这些图案与我们生活息息相关，而狭义上图 案的概念则是指具有装饰意味的花纹和图形。《辞海》艺术 分册对“图案”条目给出的解释是：“广义指对某种器物的 造型结构、色彩、纹饰进行工艺处理而事先设计的施工方案， 制成图样，通称图案。有的器物（如某些木器家具等）除了 造型结构，别无装饰纹样，亦属图案范畴（或称立体图案）。 狭义则指器物上的装饰纹样和色彩而言。”图案教育家陈之 佛先生在1928年曾将图案的概念总结为：图案是构想图，它 不仅是平面的、立体的、创造性的计划，也是设计实现的阶 段。
第四节 图案的基本特征与原理
实用性与艺术性、装饰性和寓意性、系统性 和多样性、工艺性。
图案在其纹样变化形式上，分为具象图案与 抽象图案。具象图案是指具有较为完整的客观对象 特征的图案，比如花草树木等自然物象。自然物象 可以说是艺术创作灵感的重要来源，从某个角度来 说，图案纹样的造型是将自然物象处理成造型形象， 通过不同的组织形式与变化手段把现实生活中的各 种物象的形象加以设计成适应于艺术需要的图案。 具象图案，是运用自然物象的形态特征进行艺术再 创造，将自然物象艺术化的处理成艺术形象，但绝 不是对于自然物象的再现，而是力图使现实中的自 然形象变得更加美观，更加典型。
图案的概念虽然有着广义与狭义之说，但在实际生活 之中，并不会刻意去区分哪些东西用广义概念的图案，哪些 东西用狭义概念的图案，在实际的应用之中，图案更多的是 通过其形态颜色的变化，使生活中的物质产品变得装饰感更 强，更加具有美感。
图论第一章 图的基本概念
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
图论及其应用
1
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
第一章 图的基本概念
本次课主要内容
图的概念与图论模型
(一)、图论课程简介
(二)、图的定义与图论模型 (三)、图的同构 (四)、完全图、偶图与补图 (五)、顶点的度与图的度序列
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
(四)、完全图、偶图与补图
1、每两个不同的顶点之间都有一条边相连的简单图称为 完全图 .
在同构意义下，n个顶点的完全图只有一个，记为 Kn
K2
K3
K5
容易求出： m(Kn )
1 2
n(n
1)
20
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
定理：若n阶图G是自补图( G G ),则有：
n 0,1(mod 4)
证明：n阶图G是自补图，则有：
22
H G 1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
m(G)
m(G)
m(Kn )
1 2
n(n
1)
所以：
m(G) 1 n(n 1) 4
由于n是正整数，所以：n 0,1(mod 4)
推论2 正则图的阶数和度数不同时为奇数 。
什么是图的基本概念和特征
什么是图的基本概念和特征图是一种数学结构，用于表示多个对象之间的关系。
图由节点（vertex）和边（edge）组成，节点表示对象，边表示节点之间的关系。
图的基本概念和特征包括节点的度、路径、连通性、连通分量等。
1. 节点的度：节点的度是指与该节点相连的边的数量。
对于有向图来说，节点的度分为入度和出度，分别表示指向该节点的边的数量和由该节点指出的边的数量。
节点的度可以用来描述节点的重要性和连接的紧密程度。
2. 路径：路径是指由边连接的一系列节点的序列。
路径的长度是指路径中包含的边的数量。
最短路径是指连接两个节点之间具有最少边数的路径。
路径可以用来描述节点之间的关系和节点之间的可达性。
3. 连通性：图的连通性表示图中任意两个节点之间是否存在路径。
如果图中任意两个节点之间都存在路径，那么图被称为连通图；如果存在某些节点之间不存在路径，那么图被称为非连通图。
连通性可以用来描述图的整体连接情况。
4. 连通分量：连通分量是指图中的最大连通子图。
一个连通分量包含一组相互可达的节点，并且在该连通分量内部的任意两个节点之间都存在路径，而与该连通分量外的节点之间不存在路径。
图可以由多个连通分量组成。
图有以下几种常见的特征：1. 有向图和无向图：根据边的有向性，图可以分为有向图和无向图。
在无向图中，边没有方向，表示节点之间的双向关系；而在有向图中，边有方向，表示节点之间的单向关系。
2. 权重：图的边可以带有权重，用来表示节点之间的距离、成本等。
带权重的图被称为带权图，而不带权重的图被称为无权图。
3. 稀疏图和稠密图：如果图中的边数接近节点数的平方，那么图被称为稠密图；如果图中的边数相对较少，那么图被称为稀疏图。
稠密图和稀疏图在算法设计和空间复杂度上有不同的考虑。
4. 循环和非循环图：如果图中存在一个节点可以通过一系列边回到自身，那么图被称为循环图；如果图中不存在这样的节点，那么图被称为非循环图（也称为无环图）。
5. 连通图和非连通图：根据连通性，图可以分为连通图和非连通图。
电子科技大学《图论及其应用》复习总结--第一章图的基本概念
电⼦科技⼤学《图论及其应⽤》复习总结--第⼀章图的基本概念⼀、重要概念图、简单图、图的同构、度序列与图序列、偶图、补图与⾃补图、两个图的联图、两个图的积图1.1 图⼀个图G定义为⼀个有序对(V, E)，记为G = (V, E)，其中（1）V是⼀个有限⾮空集合，称为顶点集或边集，其元素称为顶点或点；（2）E是由V中的点组成的⽆序点对构成的集合，称为边集，其元素称为边，且同⼀点对在E中可出现多次。
注：图G的顶点数（或阶数）和边数可分别⽤符号n(G) 和m(G)表⽰。
连接两个相同顶点的边的条数，叫做边的重数。
重数⼤于1的边称为重边。
端点重合为⼀点的边称为环。
1.2 简单图⽆环⽆重边的图称为简单图。
（除此之外全部都是复合图）注： 1.顶点集和边集都有限的图称为有限图。
只有⼀个顶点⽽⽆边的图称为平凡图。
其他所有的图都称为⾮平凡图。
边集为空的图称为空图。
2.n阶图：顶点数为n的图，称为n阶图。
3.(n, m) 图：顶点数为n的图，边数为m的图称为(n, m) 图1.3 邻接与关联：顶点u与v相邻接：顶点u与v间有边相连接(u adj v)；其中u与v称为该边的两个端点。
注：1.规定⼀个顶点与⾃⾝是邻接的。
2.顶点u与边e相关联：顶点u是边e的端点。
3.边e1与边e2相邻接：边e1与边e2有公共端点。
1.4 图的同构设有两个图G1=(V1,E1)和G2=(V2,E2),若在其顶点集合间存在双射，使得边之间存在如下关系：u1,v1∈V1,u2,v2∈ V2 ，设u1↔u2，v1↔v2,; u1v1∈E1 当且仅当u2v2∈E2,且u1v1与u2v2的重数相同。
称G1与G2同构，记为：G1≌G2注：1、图同构的两个必要条件： (1) 顶点数相同；(2) 边数相同。
2、⾃⼰空间的理解：通过空间的旋转折叠可以进⾏形态转换1.5 完全图、偶图1、在图论中，完全图是⼀个简单图，且任意⼀个顶点都与其它每个顶点有且只有⼀条边相连接。
图论 第1章 图的基本概念
G
G[{e1 , e4 , e5 , e6 }]
G − {e5 , e7 }
G + {e8 }
图G1，G2的关系
设 G1 ⊆ G, G2 ⊆ G. 若 V (G1 ) V (G2 ) = φ x-disjoint） 若 E (G1 ) E (G2 ) = φ ,则称G1和G2是边不交的 （edge-disjoint） G1和G2的并, G1 G2 其中 V (G1 G2 ) = V (G1 ) V (G2 )
连通性
设 u, v 是图G的两个顶点，若G中存在一条 (u, v)
≡ v表示顶点 u 和v是连通的。 如果图G中每对不同的顶点 u , v都有一条 (u , v)
以 u
道路，则称顶点 u和 v是连通的(connected)。
道路，则称图G是连通的。
连通图
连通图
图G的每个连通子图称为G的连通分支，简
证明：G中含奇数个 1 (n − 1) 度点。 2 | Vo | 为 证明 V (G ) = Vo Ve 由推论1.3.2知， 偶数。因为 n ≡ 1(mod 4) ，所以n为奇数个。 因此，| Ve | 为奇数个。 n ≡ 1(mod 4) ， 1 2 ( n − 1) 为偶数。 1 1 d ( x ) = n − 1 − d ( x ) ≠ (n − 1) 设 x ∈Ve。若 d ( x) ≠ 2 (n − 1)，则 且 2 为偶数。由 G ≅ G c ，存在y，使得 d ( y) = d ( x) 为偶数。即 y ∈Ve 且 d ( y) ≠ 1 (n − 1) 。Ve 中度不为 2 1 (n − 1) 的点是成对的出现的。 2
G
G[{v1 , v2 , v3 }]
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v1
3 5
v2
4 2
v3 5 3 1 邮局 v0
4 2
1
v4
v5
6
v6
18
• 问题分析： （1）如果道路正好是一个Euler图，则容易求 解，用Fleury算法求出一个Euler回路即可； （2）如果不是Euler图，则加上如干重复边， 使之变成Euler图，然后求Euler回路。
现在问题的关键：如何加重复边！ 中国邮路问题是Euler回路的近似求解。
4
(3) B=A2。
a11 a12 … a21 a22 … …… an1 an2 … a1n a2n ann a11 a12 … a21 a22 … …… an1 an2 … a1n a2n ann
B=A2=
×
＝(bij)n×n bij表示vi两步到达vj的路径数目
5
(4) 有向图中：C=AAT。
11Βιβλιοθήκη • 另一方面，即使两个图具有相同的阶和相同 的变数，也不能确保它们同构。
• 定理：图G和H是同构图，则它们对应的顶点 有相同的度。 • 从以上定理可知，若两图同构，则它们具有相 同的度序列。 • 实际上，即便具有相同的度序列，也只是两个 图同构的必要条件，而非充分条件。
12
举例：判断下面两图是否同构。
C= (cij)=
a11 a12 … a21 a22 … …… an1 an2 …
a1n a2n
ann
×
a11 a21 … a12 a22 … …… a1n a2n …
an1 an2
ann
cij=∑αik αjk cij表示以vi,vj为始点的终点数目。
vi
vj
vk
6
(5) 有向图中：D=ATA。
9
• 判别定理：图G1 ，G2同构的充要条件是：存 在置换矩阵P，使得：A1＝PA2P。 其中A1，A2分别是G1 ，G2的邻接矩阵。 如何判断两图同构是图论中一个困难问题， 下面我们来探讨一些判断同构的一些策略。
10
• 根据同构的定义可知，如果两个图G和H是同 构的，则从G的顶点集到H的顶点集必须存在 一个一一对应，这意味着G的顶点和H的顶点 必能够完全匹配，所以G和H有相同的阶，因 此讨论两个图是否相同，我们先考虑他们的阶 是否相同。 • 同理，根据定义，边也存在一一对应，因此， 若两个图同构，则必有相同的边数。 • 因此，若两个图的阶或边数不同，则它们一定 不同构。
14
2
a e5 e4 3 e7 d k1
b
k2
k3 c k6
k4 k7
k5
e
课堂练习答案
解：同构。 对应关系 顶点对应：1－a；2－b；3－e；4－d；5－c； 边对应： e1－k1；e2－k2；e3－k3；e4－k4； E5－k5；e6－k6；e7－k7；
15
§5 中国邮路问题
16
§5 中国邮路问题
a11 a21 … a12 a22 … …… a1n a2n … an1 an2
ann
D= (cij)=
×
a11 a12 … a21 a22 … …… an1 an2 …
a1n a2n
ann
dij=∑αki αkj dij表示以vi,vj为终点的始点数目。
vi
vk
vj
7
•图的同构
• 定义：若两个图顶点数相同且相对应，对应顶 点之间的边也相对应，则称两个图同构。 G1＝(V1,E1)， G2＝(V2,E2)，G1<－>G2 若u1,v1∈V1， u2,v2∈V2，u1 <－>u2， v1 <－>v2，则(u1,v1) ∈E1<－> (u2,v2) ∈E2。
P＝
A＝
PA ＝
a11 a12 a31 a32 a21 a22
a13 a33 a23
a11 a13 (PA)P ＝ a31 a33 a21 a23
a12 a32 a22
P就是一个置换矩阵
2
• 邻接矩阵中图的性质：
v1 v3 0 1 1 0
无向图的邻接 矩阵是对称的！
1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0
§4 图的矩阵表示法
• 定义：对于图G=(V,E)，构造一个矩阵 A = ( aij ) n×n 其中n＝|V|；
aij =
1 0
(vi,vj)∈E； 否则；
称A是图G的邻接矩阵。
1
• 置换矩阵：相当于将单位矩阵中相应的行与 行，或者列与列互换的矩阵。
1 0 0 0 0 1 0 1 0 a11 a12 a21 a22 a31 a32 a13 a23 a33
A＝
v2
v4
(1)A=(αij)n×n中，第i行或第i列中非0元素 的个数等于顶点vi的度。(无向图)
3
v1
v3 A＝ v4 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0
v2
竖入横出
(2) A=(αij)n×n中，第i列中非0元素的个数等于 顶点vi的入度，第i行中非0元素的个数等于顶点 vi的出度。(有向图)
v1 v3 v4 va
v2
vb
vc
vd
8
v1
v1<->va
v2<->vb
va
v2
v3
v4
图G1
1 A1＝ 0 1 1 1 2 1 0 1 1 3 1 1 0 1 4 1 1 1 0
v3<->vc
v4<->vd
vb
vc
图G2
vd
a A2＝ 0 1 1 1
b 1 0 1 1
c 1 1 0 1
d 1 1 1 0
e 1 e1
2 e2 3 e3 e6 图1 e4 e5 4 e7 5 b k3 d 图2
6
a k2
k1 k5 k6 k4 c
k7
f
• 以上2个图的度序列均为（4,3,3,2,1,1），事实 上它们并不同构。为什么？
13
课堂练习
1、判断下面两图是否同构，若同构写出对 应关系，若不同构则写出理由。
1
e1 e2 e3 4 e6 5 图1 图2
中国邮路问题(Chinese postman problem)，
是我国数学家管梅谷于1960年首次提出的。 • 问题描述： 设邮递员从邮局出发，遍历他所管辖的每 一条街道，将信件送到后返回邮局，求所走 的路径最短。
17
• 中国邮路问题的图论模型为： 设G=(V,E)是连通图，而且对于所有的 e∈E都赋以权c(e)≥0，求从点v0∈V出发， 通过所有边至少一次最后返回v0的回路C， c ( e) 使得 达到最小。
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E*是重复边 集合
• 定理：设E* E是使W(E*)= c(e) 达到最小 的重复边集合，当且仅当对于Ga图的任一回 路 C，恒有W( C∩E*)≤W(E( ) -E*) C
eE*
v1 3 v3 4