第一章图的基本概念节

A＝
v2
v4
(1)A=(αij)n×n中，第i行或第i列中非0元素 的个数等于顶点vi的度。(无向图)
3
v1
v3 A＝ v4 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0
v2
竖入横出
(2) A=(αij)n×n中，第i列中非0元素的个数等于 顶点vi的入度，第i行中非0元素的个数等于顶点 vi的出度。(有向图)
中国邮路问题(Chinese postman problem)，
是我国数学家管梅谷于1960年首次提出的。 • 问题描述： 设邮递员从邮局出发，遍历他所管辖的每 一条街道，将信件送到后返回邮局，求所走 的路径最短。
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• 中国邮路问题的图论模型为： 设G=(V,E)是连通图，而且对于所有的 e∈E都赋以权c(e)≥0，求从点v0∈V出发， 通过所有边至少一次最后返回v0的回路C， c ( e) 使得 达到最小。
a11 a21 … a12 a22 … …… a1n a2n … an1 an2
ann
D= (cij)=
×
a11 a12 … a21 a22 … …… an1 an2 …
a1n a2n
ann
dij=∑αki αkj dij表示以vi,vj为终点的始点数目。
vi
vk
vj
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•图的同构
• 定义：若两个图顶点数相同且相对应，对应顶 点之间的边也相对应，则称两个图同构。 G1＝(V1,E1)， G2＝(V2,E2)，G1<－>G2 若u1,v1∈V1， u2,v2∈V2，u1 <－>u2， v1 <－>v2，则(u1,v1) ∈E1<－> (u2,v2) ∈E2。
eC
v1
3 5
v2
4 2
v3 5 3 1 邮局 v0
4 2
1
v4
v5
6
v6
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• 问题分析： （1）如果道路正好是一个Euler图，则容易求 解，用Fleury算法求出一个Euler回路即可； （2）如果不是Euler图，则加上如干重复边， 使之变成Euler图，然后求Euler回路。
现在问题的关键：如何加重复边！ 中国邮路问题是Euler回路的近似求解。
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• 判别定理：图G1 ，G2同构的充要条件是：存 在置换矩阵P，使得：A1＝PA2P。 其中A1，A2分别是G1 ，G2的邻接矩阵。 如何判断两图同构是图论中一个困难问题， 下面我们来探讨一些判断同构的一些策略。
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• 根据同构的定义可知，如果两个图G和H是同 构的，则从G的顶点集到H的顶点集必须存在 一个一一对应，这意味着G的顶点和H的顶点 必能够完全匹配，所以G和H有相同的阶，因 此讨论两个图是否相同，我们先考虑他们的阶 是否相同。 • 同理，根据定义，边也存在一一对应，因此， 若两个图同构，则必有相同的边数。 • 因此，若两个图的阶或边数不同，则它们一定 不同构。
e 1 e1
2 e2 3 e3 e6 图1 e4 e5 4 e7 5 b k3 d 图2
6
a k2
k1 k5 k6 k4 c
k7
f
• 以上2个图的度序列均为（4,3,3,2,1,1），事实 上它们并不同构。为什么？
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课堂练习
1、判断下面两图是否同构，若同构写出对 应关系，若不同构则写出理由。
1
e1 e2 e3 4 e6 5 图1 图2
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E*是重复边 集合
• 定理：设E* E是使W(E*)= c(e) 达到最小 的重复边集合，当且仅当对于Ga图的任一回 路 C，恒有W( C∩E*)≤W(E( ) -E*) C
eE*
v1 3 v3 4
C= (cij)=
a11 a12 … a21 a22 … …… an1 an2 …
a1n a2n
ann
×
a11 a21 … a12 a22 … …… a1n a2n …
an1 an2
ann
cij=∑αik αjk cij表示以vi,vj为始点的终点数目。
vi
vj
vk
6
(5) 有向图中：D=ATA。
§4 图的矩阵表示法
• 定义：对于图G=(V,E)，构造一个矩阵 A = ( aij ) n×n 其中n＝|V|；
aij =
1 0
(vi,vj)∈E； 否则；
称A是图G的邻接矩阵。
1
• 置换矩阵：相当于将单位矩阵中相应的行与 行，或者列与列互换的矩阵。
1 0 0 0 0 1 0 1 0 a11 a12 a21 a22 a31 a32 a13 a23 a33
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• 另一方面，即使两个图具有相同的阶和相同 的变数，也不能确保它们同构。
• 定理：图G和H是同构图，则它们对应的顶点 有相同的度。 • 从以上定理可知，若两图同构，则它们具有相 同的度序列。 • 实际上，即便具有相同的度序列，也只是两个 图同构的必要条件，而非充分条件。
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举例：判断下面两图是否同构。
4
(3) B=A2。
a11 a12 … a21 a22 … …… an1 an2 … a1n a2n ann a11 a12 … a21 a22 … …… an1 an2 … a1n a2n ann
B=A2=
×
＝(bij)n×n bij表示vi两步到达vj的路径数目
5
(4) 有向图中：C=AAT。
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2
a e5 e4 3 e7 d k1
b
k2
k3 c k6
k4 k7
k5
e
课堂练习答案
解：同构。 对应关系 顶点对应：1－a；2－b；3－e；4－d；5－c； 边对应： e1－k1；e2－k2；e3－k3；e4－k4； E5－k5；e6－k6；e7－k7；
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§5 中国邮路问题
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§5 中国邮路问题
v1 v3 v4 va
v2
vb
vc
vd
8
v1
v1<->va
v2<->vb
va
v2
v3
v4
图G1
1 A1＝ 0 1 1 1 2 1 0 1 1 3 1 1 0 1 4 1 1 1 0
v3<->vc
v4<->vd
vb
vc
图G2
vd
a A2＝ 0 1 1 1
b 1 0 1 1
c 1 1 0 1
d 1 1 1 0
P＝
A＝
PA ＝
a11 a12 a31 a32 a21 a22
a13 a33 a23
a11 a13 (PA)P ＝ a31 a33 a21 a23
a12 a32 a22
P就是一个置换矩阵
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• 邻接矩阵中图的性质：
v1 v3 0 1 1 0
无向图的邻接 矩阵是对称的！
1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0