图的基本概念
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13
补图
定义14.9 设G=<V,E>为n阶无向简单图，以V为顶 点集，以所有使G成为完全图Kn的添加边组成的集 合为边集的图，称为G的补图，记作 G .
14
14.2 通路与回路
定义14.11 给定图G=<V,E>（无向或有向的），G中顶点与
边的交替序列 = v0e1v1e2…elvl，vi1, vi 是 ei 的端点.
图中， ==1，它是 1-连通图 和 1边-连通图
21
例： v2 e8 e1 e6 v3 e
2
v1
e7
v6 e9 v7
e3
e5
e4 点割集：{v3,v5},{v2},{v6}；割点： v2 ，v6
v4
v5
边割集：{e3,e4},{e4,e5},{e1,e2,e3},{e1,e2,e4},{e9}；
N D (v) N D (v) {v}
9. 标定图与非标定图 10. 基图
6
多重图与简单图
定义14.3 (1) 无向图中的平行边及重数 (2) 有向图中的平行边及重数（注意方向性） (3) 多重图 (4) 简单图（既无环，也无平行边） 在定义14.3中定义的简单图是极其重要的概念
7
顶点的度数
vi 到vj 的短程线与距离 类似于无向图中，只需注意距离表示法的不同 (无向图中d(vi,vj)，有向图中d<vi,vj>) 及 d<vi,vj>无对 称性
23
有向图的连通性及分类
定义14.22 D=<V,E>为有向图 D弱连通(连通)——基图为无向连通图 D单向连通——vi,vjV，vivj 或 vjvi D强连通——vi,vjV，vivj
(2) n (n1)阶有向完全图——每对顶点之间均有两条方向相反 的有向边的有向简单图. 简单性质： m n(n 1), 2(n 1), n 1 (3) n (n1) 阶竞赛图——基图为Kn的有向简单图. 简单性质：边数 m n(n 1) , n 1
桥： e9 1-连通图，不是2-连通图；
1边-连通图，不是2边-连通图。
有向图的连通性
定义14.20 D=<V,E>为有向图 vi vj（vi 可达 vj）——vi 到vj 有通路 vi vj（vi 与vj 相互可达） 性质 具有自反性(vi vi)、传递性 具有自反性、对称性、传递性
推论 在一个n 阶图G中，若存在 vi 到自身的简单回路，则一 定存在长度小于或等于n 的初级回路.
16
14.3 图的连通性
无向图的连通性
(1) 顶点之间的连通关系：G=<V,E>为无向图
① 若 vi 与 vj 之间有通路，则 vivj
② 是V上的等价关系 R={<u,v>| u,v V且uv} (2) G的连通性与连通分支 ① 若u,vV，uv，则称G连通 ② {V1,V2,…,Vk}，称G[V1], G[V2], …,G[Vk]为连通 分支，其个数 p(G)=k (k1)； k=1，G连通
2
12
子图
定义14.8 G=<V,E>, G=<V,E>（同为有向/无向） (1) VV, EE—G为G的子图，G为G的母图, GG (2) 若VV或EE，称G为G的真子图 (3) 若GG且V=V，则称G为G的生成子图 (4) VV且V ，G中端点都在V中的边，共同组 成的子图称为V的导出子图，记作G[V] (5) EE且E ，G中与E关联的顶点，共同组成 的子图称为E的导出子图，记作G[E]
15
通路与回路的长度
定理14.5 在n 阶图G中，若从顶点vi 到vj（vivj）存在通路，
则从vi 到 vj 存在长度小于或等于n1 的通路.
推论 在 n 阶图G中，若从顶点vi 到 vj（vivj）存在通路，则 从vi 到vj 存在长度小于或等于n1的初级通路（路径）. 定理14.6 在一个n 阶图G中，若存在 vi 到自身的回路，则一 定存在vi 到自身长度小于或等于 n 的回路.
第四部分 图论
主要内容
图的基本概念 欧拉图、哈密顿图与平面图 树
1
第十四章 图的基本概念
主要内容
图 通路与回路 图的连通性 图的矩阵表示 图的运算 多重集合——元素可以重复出现的集合 无序积——A&B={{x,y } | xAy B}
预备知识
ຫໍສະໝຸດ Baidu
2
14.1 图
26
二部图
定义14.23 设 G=<V,E>为一个无向图，若能将 V分成 V1和 V2(V1V2=V，V1V2=)，使得 G 中的每条边的两个端点 都是一个属于V1，另一个属于V2，则称 G 为二部图 ( 或称 二分图、偶图等 )，称V1和V2为互补顶点子集，常将二部 图G记为<V1,V2,E>.
定义14.1 无向图G = <V,E>, 其中 (1) V 为顶点集，元素称为顶点 (2) E为VV 的多重集，其元素称为无向边，简称边
实例
设 V = {v1, v2, …,v5}, E = {(v1,v1), (v1,v2), (v2,v3), (v2,v3), (v2,v5), (v1,v5), (v4,v5)} 则 G = <V,E>为一无向图
20
点连通度与边连通度
定义14.18 G为连通非完全图 点连通度— (G) = min{ |V |V 为点割集 } 规定 (Kn) = n1 若G非连通，(G) = 0 若 (G)k，则称G为 k-连通图 定义14.19 设G为连通图 边连通度——(G) = min{|E|E为边割集} 若G非连通，则(G) = 0 若(G)r，则称G是 r 边-连通图
8
握手定理
定理14.1 设G=<V,E>为任意无向图，V={v1,v2,…,vn}, |E|=m, 则
d (v ) 2m
i 1 i
n
证 G中每条边 (包括环) 均有两个端点，所以在计算G中各顶点 度数之和时，每条边均提供2度，m 条边共提供 2m 度. 定理14.2 设D=<V,E>为任意有向图，V={v1,v2,…,vn}, |E|=m, 则
3
有向图
定义14.2 有向图D=<V,E>, 只需注意E是VV 的 多重子集 图2表示的是一个有向图，试写出它的V 和 E
4
相关概念
1. 图 ① 可用G泛指图（无向的或有向的） ② V(G), E(G), |V(G)| , |E(G)| ③ n阶图 2. n 阶零图和平凡图 3. 空图—— 4. 用 ek 表示无向边或有向边 5. 顶点与边的关联关系 ① 关联、关联次数 ②环 ③ 孤立点 6. 顶点之间的相邻关系
d (vi ) 2m, 且
i 1
n
d ( v ) d i (vi ) m i 1 i 1
n
n
本定理的证明类似于定理14.1
9
握手定理推论
推论 任何图 (无向或有向) 中，奇度顶点的个数是偶数. 证 设G=<V,E>为任意图，令 V1={v | vV d(v)为奇数} V2={v | vV d(v)为偶数} 则V1V2=V, V1V2=，由握手定理可知
17
短程线与距离
(3) 短程线与距离 ① u与v之间的短程线：uv，u与v之间长度 最短的通路 ② u与v之间的距离：d(u,v)——短程线的长度 ③ d(u,v)的性质： d(u,v)0, u≁v时d(u,v)= d(u,v)=d(v,u) d(u,v)+d(v,w)d(u,w)
18
无向图的连通度
19
点割集与割点
例3 {v1,v4}，{v6}是点 割集，v6是割点. {v2,v5} 是点割集吗？ {e1,e2}，{e1,e3,e5,e6}， {e8}等是边割集，e8是 桥，{e7,e9,e5,e6} 是边割 集吗？ 几点说明： Kn中无点割集，Nn中既无点割集，也无边割集，其中Nn为 n 阶零图. 若G 连通，E为边割集，则 p(GE)=2，V为点割集，则 p(GV)2
易知，强连通单向连通弱连通
判别法 定理14.8 D强连通当且仅当D中存在经过每个顶点至少一次 的回路 定理14.9 D单向连通当且仅当D中存在经过每个顶点至少一 次的通路
24
判断下列有向图的连通性：
D2 D1 D3 D4 D1：弱连通图；D2：单向连通图；
D3：强连通图；D4：非连通图；
2、D=<V,E>为有向图，V={a,b,c,d,e,f}, E={<a,b>,<b,c>,<a,d>,<d,e>,<f,e>}D的连通 性如何？ D为弱连通图。
定义14.4 (1) 设G=<V,E>为无向图, vV, v作为边端点的 次数， 称为v的度数d(v), 简称度 (2) 设D=<V,E>为有向图, vV, d+(v)——v的出度 d(v)——v的入度 d(v)=d+(v)+d(v)——v的度或度数 (3) (G)=max{d(v)}, (G)=min{d(v)} (4) +(D), +(D), (D), (D), (D), (D) (5) 奇度顶点、偶度顶点与悬挂顶点
1. 删除顶点及删除边 Gv ——从G中将v及关联的边去掉 GV——从G中删除V中所有的顶点 Ge ——将e从G中去掉 GE——删除E中所有边 2. 点割集与边割集 点割集与割点 书p283 定义14.15 G=<V,E>, VV V为点割集——p(GV)>p(G)且有极小性 v为割点——{v}为点割集 定义14.16 G=<V,E>, EE E是边割集——p(GE)>p(G)且有极小性 e是割边（桥）——{e}为边割集
43+2(n4)210
解得 n8
（2）设G有x个悬挂顶点. 由握手定理, 2m=22= ∑d(vi)=2+3+4+5+6+x=20+x 解得 x=2
11
n 阶完全图与竞赛图
定义14.6
(1) n (n1) 阶无向完全图——每个顶点与其余顶点均相邻的 无向简单图，记作 Kn.
n(n 1) , n 1 简单性质：边数 m 2
v的后继元集 D (v) {u | u V ( D) v, u E ( D) u v} v的先驱元集 D (v) {u | u V ( D) u, v E ( D) u v}
v的邻域 v的闭邻域
N D (v) D (v) D (v )
连通子图
[定义]设Ｇ＝＜Ｖ，Ｅ＞为一简单有向图，且Ｇ’是Ｇ 的子图。对于某一性质而言，若没有其他包含Ｇ’ 的子图具有这种性质，则称子图Ｇ’是相对于该性 质的极大子图。
具有强连通性质的极大子图Ｇ’称为强连通子图；
具有单向连通性质的极大子图Ｇ’称为单向连通子 具有弱连通性质的极大子图Ｇ’称为弱连通子图。
5
相关概念
7. 邻域与关联集 ① vV(G) (G为无向图) v的邻域 N (v) {u | u V (G) (u, v) E (G) u v}
v的闭邻域 N (v) N (v) {v} v 的关联集 I (v) {e | e E(G) e与v关联}
② vV(D) (D为有向图)
(1) 通路与回路： 为通路；若 v0=vl， 为回路，l 为回路长度. (2) 简单通路与回路：所有边各异， 为简单通路，又若v0=vl，
为简单回路
(3) 初级通路(路径)与初级回路(圈)： 中所有顶点各异，则称
为初级通路(路径)，又若除v0=vl，所有的顶点各不相同且所
有的边各异，则称 为初级回路(圈) (4) 复杂通路与回路：有边重复出现
2m d (v) d (v) d (v)
由于2m,
vV2
d (v) 均为偶数，所以 d (v) 为偶数，但因为V1中
vV1
vV
vV1
vV2
顶点度数为奇数，所以|V1|必为偶数.
10
握手定理应用
例2 （1）已知图G有10条边, 4个3度顶点, 其余顶点的度数 均小于等于2, 问G至少有多少个顶点? （2）已知无向图G有11条边, 2,3,4,5,6度顶点各一个, 其 余顶点均为悬挂顶点，求G中悬挂顶点个数? 解 （1）设G有n个顶点. 由握手定理,
补图
定义14.9 设G=<V,E>为n阶无向简单图，以V为顶 点集，以所有使G成为完全图Kn的添加边组成的集 合为边集的图，称为G的补图，记作 G .
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14.2 通路与回路
定义14.11 给定图G=<V,E>（无向或有向的），G中顶点与
边的交替序列 = v0e1v1e2…elvl，vi1, vi 是 ei 的端点.
图中， ==1，它是 1-连通图 和 1边-连通图
21
例： v2 e8 e1 e6 v3 e
2
v1
e7
v6 e9 v7
e3
e5
e4 点割集：{v3,v5},{v2},{v6}；割点： v2 ，v6
v4
v5
边割集：{e3,e4},{e4,e5},{e1,e2,e3},{e1,e2,e4},{e9}；
N D (v) N D (v) {v}
9. 标定图与非标定图 10. 基图
6
多重图与简单图
定义14.3 (1) 无向图中的平行边及重数 (2) 有向图中的平行边及重数（注意方向性） (3) 多重图 (4) 简单图（既无环，也无平行边） 在定义14.3中定义的简单图是极其重要的概念
7
顶点的度数
vi 到vj 的短程线与距离 类似于无向图中，只需注意距离表示法的不同 (无向图中d(vi,vj)，有向图中d<vi,vj>) 及 d<vi,vj>无对 称性
23
有向图的连通性及分类
定义14.22 D=<V,E>为有向图 D弱连通(连通)——基图为无向连通图 D单向连通——vi,vjV，vivj 或 vjvi D强连通——vi,vjV，vivj
(2) n (n1)阶有向完全图——每对顶点之间均有两条方向相反 的有向边的有向简单图. 简单性质： m n(n 1), 2(n 1), n 1 (3) n (n1) 阶竞赛图——基图为Kn的有向简单图. 简单性质：边数 m n(n 1) , n 1
桥： e9 1-连通图，不是2-连通图；
1边-连通图，不是2边-连通图。
有向图的连通性
定义14.20 D=<V,E>为有向图 vi vj（vi 可达 vj）——vi 到vj 有通路 vi vj（vi 与vj 相互可达） 性质 具有自反性(vi vi)、传递性 具有自反性、对称性、传递性
推论 在一个n 阶图G中，若存在 vi 到自身的简单回路，则一 定存在长度小于或等于n 的初级回路.
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14.3 图的连通性
无向图的连通性
(1) 顶点之间的连通关系：G=<V,E>为无向图
① 若 vi 与 vj 之间有通路，则 vivj
② 是V上的等价关系 R={<u,v>| u,v V且uv} (2) G的连通性与连通分支 ① 若u,vV，uv，则称G连通 ② {V1,V2,…,Vk}，称G[V1], G[V2], …,G[Vk]为连通 分支，其个数 p(G)=k (k1)； k=1，G连通
2
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子图
定义14.8 G=<V,E>, G=<V,E>（同为有向/无向） (1) VV, EE—G为G的子图，G为G的母图, GG (2) 若VV或EE，称G为G的真子图 (3) 若GG且V=V，则称G为G的生成子图 (4) VV且V ，G中端点都在V中的边，共同组 成的子图称为V的导出子图，记作G[V] (5) EE且E ，G中与E关联的顶点，共同组成 的子图称为E的导出子图，记作G[E]
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通路与回路的长度
定理14.5 在n 阶图G中，若从顶点vi 到vj（vivj）存在通路，
则从vi 到 vj 存在长度小于或等于n1 的通路.
推论 在 n 阶图G中，若从顶点vi 到 vj（vivj）存在通路，则 从vi 到vj 存在长度小于或等于n1的初级通路（路径）. 定理14.6 在一个n 阶图G中，若存在 vi 到自身的回路，则一 定存在vi 到自身长度小于或等于 n 的回路.
第四部分 图论
主要内容
图的基本概念 欧拉图、哈密顿图与平面图 树
1
第十四章 图的基本概念
主要内容
图 通路与回路 图的连通性 图的矩阵表示 图的运算 多重集合——元素可以重复出现的集合 无序积——A&B={{x,y } | xAy B}
预备知识
ຫໍສະໝຸດ Baidu
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14.1 图
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二部图
定义14.23 设 G=<V,E>为一个无向图，若能将 V分成 V1和 V2(V1V2=V，V1V2=)，使得 G 中的每条边的两个端点 都是一个属于V1，另一个属于V2，则称 G 为二部图 ( 或称 二分图、偶图等 )，称V1和V2为互补顶点子集，常将二部 图G记为<V1,V2,E>.
定义14.1 无向图G = <V,E>, 其中 (1) V 为顶点集，元素称为顶点 (2) E为VV 的多重集，其元素称为无向边，简称边
实例
设 V = {v1, v2, …,v5}, E = {(v1,v1), (v1,v2), (v2,v3), (v2,v3), (v2,v5), (v1,v5), (v4,v5)} 则 G = <V,E>为一无向图
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点连通度与边连通度
定义14.18 G为连通非完全图 点连通度— (G) = min{ |V |V 为点割集 } 规定 (Kn) = n1 若G非连通，(G) = 0 若 (G)k，则称G为 k-连通图 定义14.19 设G为连通图 边连通度——(G) = min{|E|E为边割集} 若G非连通，则(G) = 0 若(G)r，则称G是 r 边-连通图
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握手定理
定理14.1 设G=<V,E>为任意无向图，V={v1,v2,…,vn}, |E|=m, 则
d (v ) 2m
i 1 i
n
证 G中每条边 (包括环) 均有两个端点，所以在计算G中各顶点 度数之和时，每条边均提供2度，m 条边共提供 2m 度. 定理14.2 设D=<V,E>为任意有向图，V={v1,v2,…,vn}, |E|=m, 则
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有向图
定义14.2 有向图D=<V,E>, 只需注意E是VV 的 多重子集 图2表示的是一个有向图，试写出它的V 和 E
4
相关概念
1. 图 ① 可用G泛指图（无向的或有向的） ② V(G), E(G), |V(G)| , |E(G)| ③ n阶图 2. n 阶零图和平凡图 3. 空图—— 4. 用 ek 表示无向边或有向边 5. 顶点与边的关联关系 ① 关联、关联次数 ②环 ③ 孤立点 6. 顶点之间的相邻关系
d (vi ) 2m, 且
i 1
n
d ( v ) d i (vi ) m i 1 i 1
n
n
本定理的证明类似于定理14.1
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握手定理推论
推论 任何图 (无向或有向) 中，奇度顶点的个数是偶数. 证 设G=<V,E>为任意图，令 V1={v | vV d(v)为奇数} V2={v | vV d(v)为偶数} 则V1V2=V, V1V2=，由握手定理可知
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短程线与距离
(3) 短程线与距离 ① u与v之间的短程线：uv，u与v之间长度 最短的通路 ② u与v之间的距离：d(u,v)——短程线的长度 ③ d(u,v)的性质： d(u,v)0, u≁v时d(u,v)= d(u,v)=d(v,u) d(u,v)+d(v,w)d(u,w)
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无向图的连通度
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点割集与割点
例3 {v1,v4}，{v6}是点 割集，v6是割点. {v2,v5} 是点割集吗？ {e1,e2}，{e1,e3,e5,e6}， {e8}等是边割集，e8是 桥，{e7,e9,e5,e6} 是边割 集吗？ 几点说明： Kn中无点割集，Nn中既无点割集，也无边割集，其中Nn为 n 阶零图. 若G 连通，E为边割集，则 p(GE)=2，V为点割集，则 p(GV)2
易知，强连通单向连通弱连通
判别法 定理14.8 D强连通当且仅当D中存在经过每个顶点至少一次 的回路 定理14.9 D单向连通当且仅当D中存在经过每个顶点至少一 次的通路
24
判断下列有向图的连通性：
D2 D1 D3 D4 D1：弱连通图；D2：单向连通图；
D3：强连通图；D4：非连通图；
2、D=<V,E>为有向图，V={a,b,c,d,e,f}, E={<a,b>,<b,c>,<a,d>,<d,e>,<f,e>}D的连通 性如何？ D为弱连通图。
定义14.4 (1) 设G=<V,E>为无向图, vV, v作为边端点的 次数， 称为v的度数d(v), 简称度 (2) 设D=<V,E>为有向图, vV, d+(v)——v的出度 d(v)——v的入度 d(v)=d+(v)+d(v)——v的度或度数 (3) (G)=max{d(v)}, (G)=min{d(v)} (4) +(D), +(D), (D), (D), (D), (D) (5) 奇度顶点、偶度顶点与悬挂顶点
1. 删除顶点及删除边 Gv ——从G中将v及关联的边去掉 GV——从G中删除V中所有的顶点 Ge ——将e从G中去掉 GE——删除E中所有边 2. 点割集与边割集 点割集与割点 书p283 定义14.15 G=<V,E>, VV V为点割集——p(GV)>p(G)且有极小性 v为割点——{v}为点割集 定义14.16 G=<V,E>, EE E是边割集——p(GE)>p(G)且有极小性 e是割边（桥）——{e}为边割集
43+2(n4)210
解得 n8
（2）设G有x个悬挂顶点. 由握手定理, 2m=22= ∑d(vi)=2+3+4+5+6+x=20+x 解得 x=2
11
n 阶完全图与竞赛图
定义14.6
(1) n (n1) 阶无向完全图——每个顶点与其余顶点均相邻的 无向简单图，记作 Kn.
n(n 1) , n 1 简单性质：边数 m 2
v的后继元集 D (v) {u | u V ( D) v, u E ( D) u v} v的先驱元集 D (v) {u | u V ( D) u, v E ( D) u v}
v的邻域 v的闭邻域
N D (v) D (v) D (v )
连通子图
[定义]设Ｇ＝＜Ｖ，Ｅ＞为一简单有向图，且Ｇ’是Ｇ 的子图。对于某一性质而言，若没有其他包含Ｇ’ 的子图具有这种性质，则称子图Ｇ’是相对于该性 质的极大子图。
具有强连通性质的极大子图Ｇ’称为强连通子图；
具有单向连通性质的极大子图Ｇ’称为单向连通子 具有弱连通性质的极大子图Ｇ’称为弱连通子图。
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相关概念
7. 邻域与关联集 ① vV(G) (G为无向图) v的邻域 N (v) {u | u V (G) (u, v) E (G) u v}
v的闭邻域 N (v) N (v) {v} v 的关联集 I (v) {e | e E(G) e与v关联}
② vV(D) (D为有向图)
(1) 通路与回路： 为通路；若 v0=vl， 为回路，l 为回路长度. (2) 简单通路与回路：所有边各异， 为简单通路，又若v0=vl，
为简单回路
(3) 初级通路(路径)与初级回路(圈)： 中所有顶点各异，则称
为初级通路(路径)，又若除v0=vl，所有的顶点各不相同且所
有的边各异，则称 为初级回路(圈) (4) 复杂通路与回路：有边重复出现
2m d (v) d (v) d (v)
由于2m,
vV2
d (v) 均为偶数，所以 d (v) 为偶数，但因为V1中
vV1
vV
vV1
vV2
顶点度数为奇数，所以|V1|必为偶数.
10
握手定理应用
例2 （1）已知图G有10条边, 4个3度顶点, 其余顶点的度数 均小于等于2, 问G至少有多少个顶点? （2）已知无向图G有11条边, 2,3,4,5,6度顶点各一个, 其 余顶点均为悬挂顶点，求G中悬挂顶点个数? 解 （1）设G有n个顶点. 由握手定理,