图的基本概念

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图的基本概念与性质

第3章图的基本概念与性质一、概念图——图可以用集合的形式表示，即图可以表示为一个三元组，包含结点集、边集，以及边与结点对集间的映射．如果用结点对来表示边，则图可以表示成一个由结点集与边集组成的二元组．定义3.1.1图G是一个三元组<V（G），E（G），ϕG>，其中V（G）是一个非空的结点集（或称顶点集），E（G）是边集，ϕG是从边集E（G）到结点偶对（无序偶或有序偶）集上的函数．图定义中的结点偶对可以是有序的，也可以是无序的．有向边、端点——若图中的边e所对应的结点偶对是有序的，记为<a，b>，则称e是有向边（简称弧）．a，b分别称为弧的始点与终点，并均称为e的端点．称e是关联于结点a 和b的，结点a和结点b是相、邻的，或称结点a和结点b是邻接的．无向边、端点——若图中的边e所对应的结点偶对是无序的，记为（a，b），则称e是无向边（简称棱）．a，b称为e的端点．称e是关联于结点a和b的，结点a和结点b是相、邻的，或称结点a和结点b是邻接的．有向图——每一条边均为有向边的图称为有向图．无向图——每一条边均为无向边的图称为无向图．底图——如果把有向图中每条有向边都看作无向边，就得一个无向图，此无向图称为原有向图的底图．底图只表示出结点间的连接关系而没有表示出连接边的方向．弧立结点——图中不与任何相邻的结点称为弧立结点．零图——全由孤立结点构成的图称为零图．自回路（环）——关联于同一结点的一条边称为自回路或环．重边（平行边）——在有向图中，两结点间（包括结点自身间）若多于一条边，则称这几条边为重边或平行边．多重图——含有重边的图称为多重图．线图——非多重图称为线图．定义3.1.2（简单图）无自回路的线图称为简单图．定义3.1.3（结点的度数、最大度、最小度）图G=<V，E>中，与V中结点v（v∈V）相关联的边数，称为该结点的度数，记作为deg(v)．记∆（G）= max{deg(v)| v∈V（G）}，δ（G）= min{deg(v)| v∈V（G）}，分别称为G=<V，E>的最大度和最小度．定义3.1.4（出度、入度、度数）在有向图中，对于任何结点v，以v为始点的边的条数称为结点v的引出次数（或出度）；以v为终点的边的条数称为结点v的引入次数（或入度）；结点v的引出次数和引入次数之和称为v的次数（或度数）．定义3.1.5（二部图）设G=〈V，E>是n阶无向图，若能将V分成两个互不相交的子集V1与V2使得G中任一边的两端点都不在同一个V i（i=1,2）中，则称G为二部图．记G=<V1,V2，E>．定义3.1.6（完全图）简单图G=<V，E>中，若每一对结点间都有边相连，则称该图为完全图．有n个结点的无向完全图记为K n．定义3.1.7（k-正则图）若无向简单图中，每个结点的度均为某个固定整数k，则称该图为k-正则图．定义3.1.8（赋权图）赋权图G是一个三重组<V，E，g>或四重组<V，E，f，g>，其中V是结点集合，E是边的集合，f是定义在V上的函数，g是定义在E上的函数．定义3.1.9（补图）设图G=<V，E>有n个顶点，图H=<V，E’>也有同样的顶点，而E’是由n个结点的完全图的边删去E所得，则图H称为图G的补图，记为H=G，显然，G=H．定义3.1.10（子图、真子图、生成子图）设G=<V,E>和G’=<V’,E’>是两个图．(1)若V’⊆V且E’⊆E，则称G’是G的子图；(2)若V’⊂V或E’⊂E,则称G’是G的真子图；(3)若V’=V和E’⊆E,则称G’是G的生成子图；(4)若子图G’中没有孤立结点，G’由E’唯一确定，则称G’为由边集E’导出的子图；(5)若子图G’中，对V’中的任意两个结点u，v，当u，v∈V’时有[u，v]∈E’，则G’由V’唯一确定，则称G’为由结点集V’导出的子图．定义3.1.11(补图) 设G’=<V’，E’>是G=<V，E>的子图，若给定另外一个图G’’=<V’’，E’’>，使得E’’=E-E’，且V’’中仅包含E’’的边所关联的结点，则称G’’是子图G’的相对于G 的补图．定义3.1.12(同构) 设G=〈V，E>和G’=<V’,E’>是两个图，若存在从V到V’的双射函数f，使对任意[a，b]∈E，当且仅当[f(a)，f (b)]∈E’，并且[a，b]和[f(a)，f (b)]有相同的重数，则称G和G’是同构的．定义3.1.13(路径) 在图G=<V，E>中，设v0，v1，…，v n∈V，e1，e2,….,e n∈E，其中e i是关联于结点v i-1，v i的边，交替序列v0 e1 v1 e2…e n v n称为联结v0到v n的路径（或称路）．v0与v n分别称为路的起点与终点，边的数目n称为路的长度．孤立点——长度为0的路定义为孤立点．简单路径——若序列中所有的边e1，e2,…., e n均互不相同，则称此路径为简单路径．基本路径——若序列中所有的点v0，v1，…，v n均互不相同，则称此路径是基本路径．回路——若v0=v n，即路径中的终点与始点相重合，则称此路径为回路．简单回路——没有相同边的回路称为简单回路．基本回路（圈）——各结点均互不相同的回路称为基本回路（或圈）．奇圈（偶圈）——长度为奇（偶）数的圈称为奇（偶）圈．定义3.2.1（可达、连通）在图G=<V,E>中，设有结点v j与v k，若从v j到v k存在任何一条路径，则称结点v k从结点v j可达，也称结点v j与v k是连通的．定义3.2.2（连通图、非连通图、分离图）若G是平凡图或G中任意两个结点都是连通的，则称G是连通图，否则称G为非连通图或分离图．定义3.2.3（连通分支）设G=<V,E>是图，连通关系的商集为{V1,V2,…,V m}，则其导出的子图G(V i)（i=1,2,…m）称为图G的连通分支（图），将图G的连通分支数记作W（G）．定义3.2.4（短程线）设u与v是图G的两个结点，若u与v连通，则称u与v之间的长度最短的路为u与v之间的短程线，短程线的长度可作为结点u与v间的距离，记作d(u,v)，其满足下列性质：d(u,v) ≥ 0，u=v时，d(u,v) =0 （非负性）d(u,v) = d(v,u) （对称性）d(u,v) + d(v,w) ≥d(u,w) （三角不等式）若u与v不连通，则通常记d(u,v) = ∞．定义3.2.5（单向连通、强连通、弱连通）在简单有向图中，如果在任何结点偶对中，至少从一个结点到另一个结点可达的，则称图G是单向（侧）连通的；如果在任何结点偶对中，两结点对互相可达，则称图G是强连通的；如果图的底图（在图G中略去边的方向，得到无向图）是连通的，则称图G是弱连通的．定义3.2.6（极大强连通子图、极大单向连通子图、极大弱连通子图、强分图、单向分图、弱分图）在简单有向图G =<V ，E >中，G’是G 的子图，如G’是强连通的（单向连通的，弱连通的），且没有包含G’的更大的子图G’’是强连通的（单向连通的，弱连通的），则称G’是极大强连通子图（极大单向连通子图，极大弱连通子图）又叫强分图（单向分图，弱分图）．定义3.2.7（点割集、割点）设无向图G =<V ,E >为连通图，若有点集V 1⊂V ，使图G 删除了V 1的所有结点后，所得的子图是不连通图，而删除了V 1的任何真子集后，所得的子图是连通图，则称V 1是G 的一个点割集．若某个结点构成一个点割集，则称该结点为割点．定义3.2.8（点连通度）若G 为无向连通图且不含Kn 为生成子图，则称k (G )=min{|V 1| ∣V 1是G 的一个点割集}为G 的点连通度（简称连通度）．规定：完全图Kn 的点连通度为n ，n ≥1．非连通图的点连通度为0．若k (G ) ≥k ，则称G 为k -连通图．定义3.2.9（边割集、割边、桥）设无向图G =<V ,E >为连通图，若有边集E 1⊂E ，使图G 删除了E 1的所有边后，所得的子图是不连通图，而删除了E 1的任何真子集后，所得的子图是连通图，则称E 1是G 的一个边割集．若某个边构成一个边割集，则称该结点为割边（或桥）．定义3.2.10（连通度）若G 为无向连通图，则称λ(G )=min{|E 1| ∣E 1是G 的一个边割集}为G 的边连通度．规定：非连通图的边连通度为0．若λ(G ) ≥k ，则称G 为k 边-连通图．定义3.3.1（邻接矩阵）设G =<V ，E >是一个简单图，其中V ={v 1，v 2，…， v n }，则n 阶方阵A （G ）=（a ij ）称为G 的邻接矩阵．其中各元素⎪⎩⎪⎨⎧==ji v v v v a j i j i ij 不相邻或与相邻与01 定义3.3.2（可达性矩阵）设G =<V ，E >是一个简单图，|V |=n ,假定G 的结点已编序，即V ={v 1，v 2，…， v n }，定义一个n ⨯n 方阵P =（p ij ）．其中⎪⎩⎪⎨⎧=不存在一条路与从至少存在一条路到从j i j i ij v v v v p 01 则称矩阵P 为图G 的可达性矩阵．最短路径的数学模型——给定一个网络N （有向或无向赋权图），u 0与v 0是N 中指点的两个顶点，在N 中找一条从u 0到v 0且权最小的路．规定N 中的一条路P 的权w (P )称为p 的长度．若N 中存在从u 到v 的路，则将N 中从u 到v 且权最小的路称为u 到v 的最短路，其长度称为u 到v 的距离，记为d N （u ,v ）．二、定理定理3.1.1（握手定理）设G 是一个图，其结点集合为V ，边集合为E ，则∑∈=V v E v ||2)deg(定理3.1.2 图中次数为奇数的结点有偶数个．定理3.1.3 在任何有向图中，所有的入度之和等于所有结点的出度之和．定理3.1.4 有n 个结点的无向完全图K n 的边数为n (n -1)/2．定理3.1.5 在具有n 个结点的简单图G =<V , E >中，若从结点v j 到结点v k 有一条路，则从结点v j 到结点v k 有一条长度不大于n -1的路．定理3.1.5推论在一个具有n个结点的图G=<V, E>中，如果从结点v j到结点v k有一条路，则从结点v j到结点v k必有一条长度小于n的通路．定理3.1.6在具有n个结点的图G=<V,E>中，如果经v有一条回路，则经v有一条长度不超过n的回路．定理3.1.6推论在具有n个结点的图G=<V,E>中，如果经v有一条简单回路，则经v 有一条长度不超过n的基本回路．定理3.2.1一个有向图是强连通的，当且仅当G中有一个回路，其至少包含每个结点一次．定理3.2.2在有向图G=〈V，E〉中，G的每一结点都在也只在一个强（弱）分图中．定理3.2.3在有向图G=〈V，E〉中，G的每一结点都处在一个或一个以上的单向分图中．定理3.2.4（Whitney）对于任何一个图G，有k(G) ≤λ (G) ≤δ(G)其中k(G)、λ (G)、δ(G)分别为G的点连通度、边连通度和最小度．定理3.2.5一个连通无向图G中的结点v是割点的充分必要条件是存在两个结点u与w，使得结点u与w的每一条路都通过v．三、方法1．两图同构的必要条件：（1）结点数相等；（2）边数相等；（3）度数相同的结点数相等．2．邻接矩阵运算特征（1）图G=<V,E>的邻接矩阵不唯一，而与V中的元素标定次序有关．对V中各元素不同的标定次序可得到同一图G的不同邻接矩阵．但这些邻接矩阵经过适当地交换行和列的次序，就从一个邻接矩阵变到另一个邻接矩阵．根据不同邻接矩阵所作的有向图都是同构的．因此，可选V元素的任一种标定次序所得出的邻接矩阵．（2）当有向线图代表关系时，邻接矩阵就可看作是一种关系矩阵．有向图是自反的，矩阵的对角线元素全为1．有向图是非自反的，矩阵的对角线元素全为0．有向图是对称的，对所有i和j，矩阵是对称的．有向图是反对称的，对所有i和j，矩阵是以主对角线对称的元素不可能同时为1．（3）零图的邻接矩阵的元素全为零，并称其为零矩阵．（4）图的每一顶点都有自回路而再无其它边时，图的邻接矩阵是单位矩阵．（5）设有向线图G=<V，E>的邻接矩阵是A，则A的逆图的邻接矩阵是A的转置矩阵．3．可达性矩阵的计算方法一般地，可以由图G的邻接矩阵A得到可达性矩阵P．即令B n=A+A2+…+A n，在从B n中将不为0的元素改为1，而为零的元素不变，这样改换的矩阵即为可达性矩阵P．也可以将矩阵A，A2，…，A n分别改为布尔矩阵A，A(2)，…，A(n)，简化计算，故P= A∨A(2)∨…∨A(n)，其中A(i)表示在布尔运算下A的i次方．4．求最短路径的Dijkstra算法步骤（1）置l(u0)=0，对v∈V-{ u0}，l(v)= +∞，S0 ={ u0}，i=0．（2）对每个v∈ N G-Si（u i），用min{ l(v)，l(u i)+ w（u i，v）}代替l(v)．若l(v)取到l(u i)+w（u i，v），则在v旁边记下(u i)．计算min(v∈G- S i ){ l(v)}，并将达到最小值的这个顶点记为u i+1．置S i+1= S i⋃{ u i+1}．（3）若i=|G|-1，则算法停止，否则用置i 为i+1，并转入第（2）步．算法结束时，从u0到v的距离由最终的标号给出l(v)，并且可根据各个顶点旁边的（u i）追回出从u0到v的最短路径．若为求某个特定的顶点v时，则可以在u j= v时使算法停止即求得结果．。

图的概念

V3
//第一行给给出边数和顶点数：n，m 。n和m的值均小于100 //第二行到n+1行，每一个行2个数，分别表示边的起点，终点。 //如 3，3 // 1 2 // 2 3 // 3 1 /*以邻接矩阵来存储。 #include <iostream> using namespace std; bool juzhen[101][101]; int main() { int m,n; cin>>m>>n; int a,b; for(int i=0;i<m;i++) { cin>>a>>b; juzhen[a][b]=1;// juzhen[b][a]=1; } }
如何用计算机来存储图的信息，这是图的存储结构要解决的问题。第一种：边集数组表示法。定义一个结构体，存储边的起点和终点。 Struct bian { int s；//边的起点 int e；//边的终点 int v；//边的权值 } 然后定义一个该结构体的数组，存储图中所有的边。
第二种：邻接矩阵表示法。矩阵即二维数组。设G=(V,E)是一个n阶图，顶点为（V0,V1,……Vn-1）.则可以定义一个n阶矩阵arr[n][n]。即n行n列的二维数组。如果存在边(Vi，Vj)，则矩阵中arr[i][j]=1,否则 arr[i][j]=0.
这是著名的柯尼斯堡七桥问题。在一段时间内都没有人能够给出正确答案。后来，欧拉证明了此题是无解的。从而，引出了著名的“欧拉问题”或 “图的一笔画问题”。欧拉得出的结论是： 1.如果一个图中没有奇点，则该图可以从起点出发经过所有边一次，再回到起点。 2.如果一个图中有且只有两个奇点，则该图可以一个奇点出发，经过所有边一次，到达另一个奇点。欧拉开启了人们研究图的历史。

图论-图的基本概念

若 i, j 中有奇数，比如 i 是奇数，则路 P 上 v0 到 vi 的一段与边 v0vi 构成一个偶圈；若 i, j 都是偶数，则路 P 上 vi 到 v j 的一段与边 v0vi 及 v0v j 构成一个偶圈。证毕。例 1.1.4 设 G 是简单图，若δ (G) ≥ 3 ,则 G 中各个圈长的最大公因数是 1 或 2。证明：由上例知，G 中有长分别为 i + 1, j + 1和 j − i + 2 的圈。若 i + 1, j + 1， j − i + 2 三数有公因数 m > 2 ，则 m | ( j − i) ，于是 m | 2 ，这是不可能的。因此 i + 1, j + 1， j − i + 2
证明：按每个顶点的度来计数边，每条边恰数了两次。推论 1.1.1 任何图中，奇度顶点的个数总是偶数（包括 0）。 4. 子图
子图(subgraph)：如果 V (H ) ⊆ V (G) 且 E(H ) ⊆ E(G) ，则称图 H 是 G 的子图，记为 H ⊆G。
生成子图(spanning subgraph): 若 H 是 G 的子图且V (H ) = V (G) ，则称 H 是 G 的生成子图。
这便定义出一个图。
2. 图的图示
通常，图的顶点可用平面上的一个点来表示，边可用平面上的线段来表示（直的或曲的）。这样画出的平面图形称为图的图示。
例如，例 1.1.1 中图的一个图示为
v1
v2
e1
e6 e5
e2
e4
v5
e7
v3
e3 v4
注：（1）由于表示顶点的平面点的位置的任意性，同一个图可以画出形状迥异的很多图示。

第14章-图基本概念

环（长为1的圈）的长度为1，两条平行边构成的圈长度为 2，无向简单图中，圈长3，有向简单图中圈的长度2.
不同的圈（以长度3的为例） ① 定义意义下无向图：图中长度为l（l3）的圈，定义意义下为2l个有向图：图中长度为l（l3）的圈，定义意义下为l个 ② 同构意义下：长度相同的圈均为1个
试讨论l=3和l=4的情况
v 的关联集 I( v ) { e |e E ( G ) e 与 v 关 } 联 ② vV(D) (D为有向图)
v的后继D 元 (v)集 {u|uV(D)v,u E(D)uv} v的先驱D 元 (v)集 {u|uV(D)u,v E(D)uv} v的邻域ND(v)D (v)D (v) v的闭邻N域 D(v)ND(v){v}
2 m d (v) d (v) d (v)
v V
v V 1
v V 2
由于2m, d(v) 均为偶数，所以 d(v) 为偶数，但因为V1中
vV2
vV1
顶点度数为奇数，所以|V1|必为偶数.
12
握手定理应用
补例1 无向图G有16条边，3个4度顶点，4个3度顶点，其余顶点度数均小于3，问G的阶数n为几？解本题的关键是应用握手定理. 设除3度与4度顶点外，还有x个顶点v1, v2, …, vx，则
8
多重图与简单图
定义14.3 (1) 无向图中的平行边及重数:如果关联一对顶点的无向边多
于1条，则称这些边为平行边，平行边的条数称为重数。 (2) 有向图中的平行边及重数（注意方向性）如果关联一对顶点的有向边多于1条，并且这些边的始点与
终点相同，则称这些边为平行边，平行边的条数称为重数。 (3) 多重图：含平行边的图称为多重图。 (4) 简单图：既不含平行边也不含有环的图。在定义14.3中定义的简单图是极其重要的概念

图论

图论1．图的基本概念图：由一些点和连接两点间的连线组成图1在这个图中，521,,,v v v 称为这个图的顶点，顶点之间的连线621,,,e e e 称为这个图的边。

通常我们用V 表示一个图中所有顶点的集合，用E 表示一个图中所有边的集合。

于是一个图G 通常被定义为()E V G ,=，在上图中{}521,,,v v v V =，{}621,,,e e e E = 图的阶数：一个图中含有的顶点数。

例如上图中含有5个顶点，故上图称为5阶图有向边（弧）：如果在图的定义中要求边e 对应的序偶><b a ,是有序的，即前后顺序是不能颠倒的，则称边e 为有向边或弧。

无向边：如果在图的定义中要求边e 对应的序偶><b a ,是无序的，即前后顺序是可以颠倒的，则称边e 为无向边无向图：如果一个图中的每一条边都是无向边，则称这个图为无向图有向图：如果一个图中的每一条边都是有向边，则称这个图为有向图如果图的某个顶点和某条边是相联的，则称它们是相关联的顶点的次数：在无向图中把与某个顶点相关联的边数称为该顶点的次数。

环算两次，顶点v 的次数记为()v d在有向图中从顶点v 出去的边数，称为顶点v 的出度，记为()v d +进入顶点v 的边数，称为顶点v 的入度，记为()v d-，()()()v d v dv d -++=定理：一个图中所有的顶点的次数之和等于边数之和的两倍推论：任何图中奇数次顶点的总数必为偶数例：一次聚会中，认识奇数个人的人数必为偶数孤立点：次数为0的顶点。

图2 图3多重边：在图中，如果两个顶点之间的边多于一条，那么这几条边就称为多重边。

多重图：含有多重边的图环：如果图中某条边的起点和终点为同一个顶点，那么称这条边为环简单图：既没有多重边又没有环的图在图中如果顶点i v 和j v 之间至少存在一条边，那么称顶点i v 和j v 是相邻的。

如果边i e 和j e 之间至少有一个共同顶点，则称边i e 和j e 是相邻的子图：设有图()111,E V G =和()221,E V G =，如果21V V ⊆并且21E E ⊆，则称图1G 是图2G 的一个子图生成子图：，如果21V V =并且21E E ⊆，则称图1G 是图2G 的一个生成子图图4图5链：以顶点开始以顶点结束的顶点和边的非空有限交替序列例如43152v e v e v 就是一条链，而4312v e v v 却不是一条链圈：如果一条链的起点和终点是同一个顶点，则称这条链是一个圈如21152v e v e v路：当一条链中所有边和所有顶点均不相同时就称这条链为路回路：如果一个圈中的所有边均不向图并且除第一个顶点和最后一个顶点相同外其余顶点都不相同，则称这个圈为回路连通图：如果某个图中的任何两个顶点之间至少存在一条链，则称这个图为连通图在实际的应用中，经常会涉及到图中各个顶点之间的某种联系，例如，在城市公路交通图中，需要说明两个路口之间的路段的长度，这时就需要给图的边赋以某个数值（称为线权）或给顶点赋以某个数值（称为点权），我们把这种赋以了数值的图称为加权图或网络。

图论讲义-图的基本概念

到目前为止，判断两图同构还只能从定义出发。判断过程中不要将两图同构的必要条件当成充分条件。
注意：在研究图的过程中，顶点的位置以及边的曲直长短都是无关紧要的。而且也没有假定这些顶点和边都要在一个平面上（正方体的顶点和棱也可构成图）。我们研究的只是顶点的多少及这些边是连接那些顶点的。
五、顶点的度
若e=(u,v)，则表示u到v的一条边（Edge），此时的
图称为无向图(Undigraph)。
有向图（Digraph）、无向图(Undigraph)
V1 V4
V1
V5 V2 V3 V2 V3
V4
有向图（Digraph）、无向图(Undigraph)
例1、设V={v1,v2,v3,v4,}，E={e1,e2,e3,e4,e5}，满足e1=(v1,v2)，
六、路与图的连通性
v1 v2 v5
图G中，取Γ1=v1v2v3，
v3
v4
G
Γ2=v1v2v3v4v2， Γ3=v1v2v3v2v3v4 则 Γ1,Γ2,Γ3依次为长为2,4,5的通路，其中Γ1与Γ2为简单通路， Γ1为基本通路。由定义可看出,G中v1v2v5v1为长为3的圈，v1v2v3v4v2v5v1为长为6的简单回路。
e2=(v2,v3)，e3=(v2,v3)，e4=(v3,v4)，e5=(v4,v4),则G=(V,E)是一个图。图中边集E的边也可直接由点对表示，而将E作为多重集（即允许E中有相同元素的集合）。例2、设V={v1,v2,v3,v4}，E={(v1,v2)，(v1,v2)，(v2,v3)}，则H=(V,E)是一个图。 e
d (V ) 2m
i 1 i
n
五、顶点的度
推论：任何图（无向图或有向图）中，度为奇数的顶点个

图论--图的基本概念

图论--图的基本概念1.图：1.1⽆向图的定义：⼀个⽆向图G是⼀个有序的⼆元组<V,E>，其中V是⼀个⾮空有穷集，称作顶点集，其元素称作顶点或结点。

E是⽆序积V&V的有穷多重⼦集，称作边集，其元素称作⽆向边，简称边。

注意：元素可以重复出现的集合称作多重集合。

某元素重复出现的次数称作该元素的重复度。

例如，在多重集合{a,a,b,b,b,c,d}中，a,b,c,d的重复度分别为2，3，1，1。

从多重集合的⾓度考虑，⽆元素重复出现的集合是各元素重复度均为1的多重集。

1.2有向图的定义：⼀个有向图G是⼀个有序的⼆元组<V,E>，其中V是⼀个⾮空有穷集，称作顶点集，其元素称作顶点或结点。

E是笛卡尔积V✖V的有穷多重⼦集，称作边集，其元素为有向边，简称为边。

通常⽤图形来表⽰⽆向图和有向图：⽤⼩圆圈（或实⼼点）表⽰顶点，⽤顶点之间的连线表⽰⽆向边，⽤带箭头的连线表⽰有向边。

与1.1，1.2有关的⼀些概念和定义：（1）⽆向图和有向图统称为图，但有时也把⽆向图简称作图。

通常⽤G表⽰⽆向图，D表⽰有向图，有时也⽤G泛指图（⽆向的或有向的）。

⽤V(G),E(G)分别表⽰G的顶点集和边集，|V(G)|,|E(G)|分别是G的顶点数和边数，有向图也有类似的符号。

（2）顶点数称作图的阶，n个顶点的图称作n阶图。

（3）⼀条边也没有的图称作零图，n阶零图记作N n。

1阶零图N1称作平凡图。

平凡图只有⼀个顶点，没有边。

（4）在图的定义中规定顶点集V为⾮空集，但在图的运算中可能产⽣顶点集为空集的运算结果，为此规定顶点集为空集的图为空图，并将空图记作Ø。

（5）当⽤图形表⽰图时，如果给每⼀个顶点和每⼀条边指定⼀个符号（字母或数字，当然字母还可以带下标），则称这样的图为标定图，否则称作⾮标定图。

（6）将有向图的各条有向边改成⽆向边后所得到的⽆向图称作这个有向图的基图。

（7）若两个顶点v i与v j之间有⼀条边连接，则称这两个顶点相邻。

图的基本概念与握手定理

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二、图旳类型
注意：完全图是 n-1 正则图
完全图旳每个结点都与其他 n-1 个结点相邻接,即与 n-1条边有关联,所以是n-1正则图,反之正则图不一定是完全图。
1.完全图：
2.正则图：
是3正则图
完全图,
不是完全图
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二、图旳类型
子图：
设G=<V,E>, G`=<V`,E`>为两个图，满足V` V 且E` E，则称G`为G旳子图， G为G`旳母图，记作G`G。 (1)G`为G旳真子图：若G` G且V` V或E` E。 (2)G`为G旳生成子图：若G` G且V` = V。 (3)V1导出旳导出子图：顶点集≠V1 V,边集为两端点均在V1中旳全体边构成旳子图。 (4) E1导出旳导出子图：≠E1E,以E1中边关联旳顶点旳全体为顶点集旳G旳子图。
定理2 设D=<V,E>为任意有向图，V={v1,v2,…,vn}, |E|=m, 则
n
n
n
d(vi ) 2m, 且
d (vi ) d (vi ) m
i 1
i 1
i 1
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握手定理推论及应用
推论任何图 (无向或有向) 中，奇度顶点旳个数是偶数.
例1 无向图G有16条边，3个4度顶点，4个3度顶点，其他顶点度数均不大于3，问G旳阶数n为几？
分别为D旳最大出度、最小出度、最大入度、最小入度。简记作△、、 △+、+ 、 △- 、- 。
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四、握手定理
定理1 设G=<V,E>为任意无向图，V={v1,v2,…,vn},
|E|=m, 则
n
边 (涉及环) 都有两个端点，所以在计算G中各顶点度数之和时，每条边均提供2度，m 条边共提供 2m 度.

图学基础教程习题集答案

图学基础教程习题集答案第一章：图学基本概念1. 图的定义是什么？答案：图是由顶点（或称为节点）和边组成的数学结构，其中边是顶点之间的连接。

2. 什么是有向图？答案：有向图是一种图，其中的边具有方向性，从一个顶点指向另一个顶点。

第二章：图的表示方法1. 邻接矩阵的优缺点是什么？优点：易于实现，可以快速判断任意两个顶点之间是否存在边。

缺点：空间复杂度高，对于稀疏图来说效率较低。

2. 邻接表的优缺点是什么？优点：空间效率高，对于稀疏图特别适用。

缺点：需要额外的时间来检查两个顶点之间是否存在边。

第三章：图的遍历1. 深度优先搜索（DFS）的基本思想是什么？答案：从图中的一个顶点开始，沿着边尽可能深地搜索，直到无法继续，然后回溯到上一个顶点，继续搜索其他路径。

2. 广度优先搜索（BFS）的基本思想是什么？答案：从图中的一个顶点开始，逐层遍历所有可达的顶点，直到所有顶点都被访问过。

第四章：最小生成树1. 最小生成树问题的定义是什么？答案：在无向图中，最小生成树是一棵连接所有顶点的树，且边的总权重最小。

2. Kruskal算法的基本步骤是什么？答案：Kruskal算法通过按权重递增的顺序选择边，确保选择的边不会形成环，直到所有顶点都被连接。

第五章：最短路径问题1. Dijkstra算法的工作原理是什么？答案：Dijkstra算法通过维护一个优先队列，不断地选择距离起点最近的顶点，并更新其邻接顶点的距离。

2. Bellman-Ford算法与Dijkstra算法的主要区别是什么？答案：Bellman-Ford算法可以处理带有负权重边的图，而Dijkstra算法不能。

第六章：图的着色1. 图的着色问题的定义是什么？答案：图的着色问题是指给图中的每个顶点分配一种颜色，使得相邻的顶点颜色不同。

2. 贪心算法在图的着色问题中的应用是什么？答案：贪心算法在图的着色问题中，从顶点集合中选择一个顶点，为其分配一种颜色，然后移动到下一个顶点，并为其分配一种与相邻顶点不同的颜色。

第5章图的基本概念

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此后的50年,
图论经历了一场爆炸性的发展, 成为数学科学中一门独立的学科。主要分支有图论、超图理论、极值图论、算法图论、网络图论和随机图论等。
几十年来图论在理论上和应用上都得到很大的发展,
特别是在近30多年来由于计算机的广泛应用而又得到飞跃的发展。在计算机科学、运筹学、化学、物理和社会科学等方面都取得了不少成果，对计算机学科中的操作系统研究、编译技术、人工智能和计算机网络等方面都有广泛的应用。这里主要讨论图的基本概念和算法 , 为今后的学习和研究打下基础。
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第5章图的基本概念
定义5.1 一个无向图G是一个二元组<V,E>，即G=<V,E>，其中(1) V≠φ 称为顶点集, 其元素称为顶点或结点(2) E称为边集,它是无序积V&V的多重子集，其元素称为无向边，简称为边。设A,B为任意的两个集合,称{(a,b)|a∈A∧b∈B}，为A与
B的无序积,记作A&B.
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如： d
c
含平行边的图称为多重图，既不含平行边也不含环的图称为简单图。
a
e2
v2
v1 v5
e1
e
b
e3
e4
e5 e7 e6 v4
e8
v3
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定义5.7无向完全图设G为n阶无向简单图，若G中每个顶点均与其余的 n-1个顶点相邻，则称G为n阶无向完全图，简称n阶完全图，记作Kn(n≥1) 。
e1 v1 v3
e2 e4 e7
e3
v2 e5 e6
用图形表示无向图时，常用小圆圈或实心点表示顶点，用顶点之间的连线表示无向边
v4
v5
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离散数学(第二版)第8章图的基本概念

第八章图的基本概念
用反证法，设G中各顶点的度数均不相同，则度数列为0，1，2，…，n-1，说明图中有孤立顶点，这与有n-1度顶点相矛盾(因为是简单图)，所以必有两个顶点的度数相同。
2. 子图在深入研究图的性质及图的局部性质时，子图的概念是非常重要的。所谓子图，就是适当地去掉一些顶点或一些边后所形成的图，子图的顶点集和边集是原图的顶点集和边集的子集。
第八章图的基本概念
一般称长度为奇数的圈为奇圈，称长度为偶数的圈为偶圈。显然，初级通路必是简单通路，非简单通路称为复杂通路。在应用中，常常只用边的序列表示通路，对于简单图亦可用顶点序列表示通路，这样更方便。
第八章图的基本概念
定理8.2.1 在一个n阶图中，若从顶点u到顶点v(u≠v) 存在通路，则必存在从u到v的初级通路且路长小于等于n1。
第八章图的基本概念
图8.1.2 图与子图
第八章图的基本概念
3. 补图定义8.1.3 G为n阶简单图，由G的所有顶点和能使G 成为完全图的添加边所构成的图称为G的相对于完全图的补图，简称G的补图，记作。【例8.1.6】图8.1.3(a)中的G 1是G1相对于K5的补图。图8.1.3(b)中的G 2 是G2相对于四阶有向完全图D4的补图。对于补图，显然有以下结论： (1) G与 G 互为补图，即 G =G。 (2) E(G)∪E(G )=E(完全图)且E(G)∩E( G )= 。 (3) 完全图与n阶零图互为补图。 (4) G与G 均是完全图的生成子图。
所谓子图就是适当地去掉一些顶点或一些边后所形成的图子图的顶点集和边集是原图的顶点第八章图的基本概念定义812设gvegve均是图同为第八章图的基本概念导出的导出子图记作gv第八章图的基本概念例815在图812中g均是g的真子图其中g第八章图的基本概念图812第八章图的基本概念补图定义813g为n阶简单图由g的所有顶点和能使g成为完全图的添加边所构成的图称为g的相对于完全图的补图简称g的补图记作

什么是图的基本概念和特征

什么是图的基本概念和特征图是一种数学结构，用于表示多个对象之间的关系。

图由节点（vertex）和边（edge）组成，节点表示对象，边表示节点之间的关系。

图的基本概念和特征包括节点的度、路径、连通性、连通分量等。

1. 节点的度：节点的度是指与该节点相连的边的数量。

对于有向图来说，节点的度分为入度和出度，分别表示指向该节点的边的数量和由该节点指出的边的数量。

节点的度可以用来描述节点的重要性和连接的紧密程度。

2. 路径：路径是指由边连接的一系列节点的序列。

路径的长度是指路径中包含的边的数量。

最短路径是指连接两个节点之间具有最少边数的路径。

路径可以用来描述节点之间的关系和节点之间的可达性。

3. 连通性：图的连通性表示图中任意两个节点之间是否存在路径。

如果图中任意两个节点之间都存在路径，那么图被称为连通图；如果存在某些节点之间不存在路径，那么图被称为非连通图。

连通性可以用来描述图的整体连接情况。

4. 连通分量：连通分量是指图中的最大连通子图。

一个连通分量包含一组相互可达的节点，并且在该连通分量内部的任意两个节点之间都存在路径，而与该连通分量外的节点之间不存在路径。

图可以由多个连通分量组成。

图有以下几种常见的特征：1. 有向图和无向图：根据边的有向性，图可以分为有向图和无向图。

在无向图中，边没有方向，表示节点之间的双向关系；而在有向图中，边有方向，表示节点之间的单向关系。

2. 权重：图的边可以带有权重，用来表示节点之间的距离、成本等。

带权重的图被称为带权图，而不带权重的图被称为无权图。

3. 稀疏图和稠密图：如果图中的边数接近节点数的平方，那么图被称为稠密图；如果图中的边数相对较少，那么图被称为稀疏图。

稠密图和稀疏图在算法设计和空间复杂度上有不同的考虑。

4. 循环和非循环图：如果图中存在一个节点可以通过一系列边回到自身，那么图被称为循环图；如果图中不存在这样的节点，那么图被称为非循环图（也称为无环图）。

5. 连通图和非连通图：根据连通性，图可以分为连通图和非连通图。

图论基础：图的基本概念和应用

图论基础：图的基本概念和应用图论是数学中的一个分支领域，研究的是图的性质和图上的问题。

图被广泛应用于计算机科学、电子工程、运筹学、社交网络分析等领域。

本文将介绍图论的基本概念和一些常见的应用。

一、图的基本概念1. 顶点和边图是由顶点和边组成的，顶点代表图中的元素，边则代表元素之间的关系。

通常顶点表示为V，边表示为E。

2. 有向图和无向图图可以分为有向图和无向图。

在无向图中，边是没有方向的，顶点之间的关系是双向的；而在有向图中，边是有方向的，顶点之间的关系是单向的。

3. 权重在一些应用中，边可能具有权重。

权重可以表示顶点之间的距离、成本、时间等概念。

有权图是指带有边权重的图，而无权图则是指边没有权重的图。

4. 路径和环路径是指由一系列边连接的顶点序列，路径的长度是指路径上边的数量。

环是一种特殊的路径，它的起点和终点相同。

5. 度数在无向图中，顶点的度数是指与该顶点相关联的边的数量。

在有向图中分为出度和入度，出度是指从该顶点出去的边的数量，入度是指指向该顶点的边的数量。

二、图的应用1. 最短路径问题最短路径问题是图论中的一个经典问题，它研究如何在图中找到两个顶点之间的最短路径。

这个问题有许多实际应用，例如在导航系统中寻找最短驾驶路径，或者在电信网络中找到最短的通信路径。

2. 最小生成树最小生成树是指一个连接图中所有顶点的无环子图，并且具有最小的边权重之和。

这个概念在电力网络规划、通信网络优化等领域有广泛的应用。

3. 路由算法在计算机网络中，路由算法用于确定数据包在网络中的传输路径。

图论提供了许多解决路由问题的算法，如最短路径算法、Bellman-Ford 算法、Dijkstra算法等。

4. 社交网络分析图论在社交网络分析中起着重要的作用。

通过构建社交网络图，可以分析用户之间的关系、信息传播、社区发现等问题。

这些分析对于推荐系统、舆情监测等领域具有重要意义。

5. 电路设计图论在电路设计中也有应用。

通过将电路设计问题转化为图论问题，可以使用图论算法解决电路布线、最佳布局等问题。

图的基本概念及拓扑排序

生成树：是一个极小连通子图，它含有图中全部顶点，但只
有n-1条边。如果在生成树上添加1条边，必定构成一个环。若图中有n个顶点，却少于n-1条边，必为非连通图。
最小生成树：若无向连通带权图G=<V,E,W>,T是G的一棵生成树，T的各边权之
和称为T的权，记做W（T），G的所有生成树中权值最小的生成树称为最小生成树。
带权图：即边上带权的图。其中权是指每条边可以标上具有某种含义的数值（即与边相关的数）。
网络：＝带权图
路径：在图 G＝(V, E) 中, 若从顶点 vi 出发, 沿一些边经过一
些顶点 vp1, vp2, …, vpm，到达顶点vj。则称顶点序列 ( vi vp1 vp2 ... vpm vj ) 为从顶点vi 到顶点 vj 的路径。它经过的边(vi, vp1)、(vp1, vp2)、...、(vpm, vj)应当是属于E的边。
最小生成树算法： Prim算法和kruskal算法
简单路径：路径上各顶点 v1,v2,...,vm 均不互相重复。
回路：若路径上第一个顶点 v1 与最后一个顶点vm 重合，
则称这样的路径为回路或环。
例：
图的数学表示
点: 用整数0, 1, 2, …, V-1表示边: 用无序数对(u, v)表示, 或者表示成u-v
4. 你认为，对于给定的两个位置A，B，聪明的机器人从A位置到B位置至少需要判断几次？
5. input
6. 第一行：M 表示以下有M组测试数据（0<M<=8）
7. 接下来每组有两行数据
8.
头一行：N A B（1<=N<=50,1<=A,B<=N）
9.
下一行：K1 K2···Kn（0<=Ki<=N）

图论第1章图的基本概念

G
G[{e1 , e4 , e5 , e6 }]
G − {e5 , e7 }
G + {e8 }
图G1，G2的关系
设 G1 ⊆ G, G2 ⊆ G. 若 V (G1 ) V (G2 ) = φ x-disjoint）若 E (G1 ) E (G2 ) = φ ,则称G1和G2是边不交的（edge-disjoint） G1和G2的并, G1 G2 其中 V (G1 G2 ) = V (G1 ) V (G2 )
连通性
设 u, v 是图G的两个顶点，若G中存在一条 (u, v)
≡ v表示顶点 u 和v是连通的。如果图G中每对不同的顶点 u , v都有一条 (u , v)
以 u
道路，则称顶点 u和 v是连通的(connected)。
道路，则称图G是连通的。
连通图
连通图
图G的每个连通子图称为G的连通分支，简
证明：G中含奇数个 1 (n − 1) 度点。 2 | Vo | 为证明 V (G ) = Vo Ve 由推论1.3.2知，偶数。因为 n ≡ 1(mod 4) ，所以n为奇数个。因此，| Ve | 为奇数个。 n ≡ 1(mod 4) ， 1 2 ( n − 1) 为偶数。 1 1 d ( x ) = n − 1 − d ( x ) ≠ (n − 1) 设 x ∈Ve。若 d ( x) ≠ 2 (n − 1)，则且 2 为偶数。由 G ≅ G c ，存在y，使得 d ( y) = d ( x) 为偶数。即 y ∈Ve 且 d ( y) ≠ 1 (n − 1) 。Ve 中度不为 2 1 (n − 1) 的点是成对的出现的。 2
G
G[{v1 , v2 , v3 }]

本科图论-图基本概念6-2

边集合E＝｛(v1,v2),(v2,v3),(v3,v2),(v3,v1),(v2,v2),(v2,v2), (v1,v2),｝园括号表示无向边
2）定义2 一个有向图是一个有序的二元组<V，E>，记作D，其中 (1) V ≠ ø 称为顶点集，其元素称为顶点或结点． (2)E为边集，它是笛卡儿积 V & V的多重子集，其元素称为有向边，简称边(弧)．有向图D=<V，E> 其中 V＝｛v1,v2,v3 ｝
2、简单通路和初级通路的关系
有向图中的每一条初级通路，也都必定是简单通路。反之不成立回路也可分为简单回路和初级回路。 3、通路的表示：可仅用通路中的边序列表示：e1e2…ek 也可仅用通路中所经过的结点的序列表示：v1v2v3…vk
4、性质： 1）定理在n阶图D中，若从顶点vi到vj(vi≠vj)存在通路，则从vi到vj存在长度小于或等于(n－1)的通路若大于n-1，则存在相同节点（有回路），将回路删去可得 2）在n阶图D中，若从顶点vi到vj存在通路，则vi到vj一定存在长度小于或等于n－1的初级通路(路径) 3）定理在一个n阶图D中，若存在vi到自身的回路，则一定存在vi到自身长度小于或等于n的回路． 4）在一个n阶图D中，若存在vi到自身的简单回路，则一定存在长度小于或等于n的初级回路．
有环的结点提供的度为2（有向图的环提供入度1和出度1）
3）定义：ᅀ(G)=max{d(v)|v∈V(G)} 为图G中结点最大的度 δ(G)=min{d(v)|v∈V(G)} 为图G中结点最小的度简记为ᅀ、 δ 定义：ᅀ＋(D)=max{d(v)|v∈V(D)} 为图D中结点最大的出度 ᅀ－(D)=max{d(v)|v∈V(D)} 为图D中结点最大的入度 δ＋(D)=min{d(v)|v∈V(D)} 为图D中结点最小的出度 δ-(D)=min{d(v)|v∈V(D)} 为图D中结点最小的入度 5、握手定理（欧拉） 1)定理1 设G＝<V,E>为任意无向图,V＝{v1，v2，…，vn},｜E｜ = m，则 ∑d(vi) ＝ 2 m (所有结点的度数值和为边数的2倍) 证: G中每条边(包括环)均有两个端点，所以在计算G中各顶点度数之和时，每条边均提供2度，当然，m条边共提供2m度 2) 定理2 设D＝<V,E>为任意有向图,V＝{v1，v2，…，vn},|E| = m ，则 ∑d+(vi) ＝ ∑ d-(vi) = m．且∑d(vi)＝2 m 任何图(无向的或有向的)中，奇度顶点的个数是偶数