离散数学14.1 图的基本概念
离散图论知识点总结
离散图论知识点总结一、基本概念图（Graph）是离散数学中的一个重要概念，它由顶点集合V和边集合E组成。
一般用G （V，E）来表示，其中V={v1,v2,…,vn}是有限非空集合，E是V中元素的无序对的集合。
图分为有向图和无向图。
无向图中的边是无序的，有向图中的边是有序的。
图中存在一些特殊的图，比如完全图、树、路径、回路等。
二、图的表示方法1. 邻接矩阵邻接矩阵是一种常见的图的表示方法，它使用一个二维数组来表示图的关系。
对于一个n 个顶点的图，邻接矩阵是一个n*n的矩阵A，其中A[i][j]表示顶点i到顶点j之间是否存在边。
对于无向图，A[i][j]=1表示顶点i与顶点j之间存在边，A[i][j]=0表示不存在。
对于有向图，A[i][j]=1表示i指向j的边存在，A[i][j]=0表示不存在。
2. 邻接表邻接表是另一种常见的图的表示方法。
它将图的信息储存在一个数组中，数组的每个元素与图的一个顶点相对应。
对于每个顶点vi，数组中储存与该顶点邻接的顶点的信息。
邻接表可以用链表或者数组来表示，链表表示的邻接表比较灵活，但是在查找某个边的相邻顶点时需要遍历整个链表。
三、图的性质1. 度图中每个顶点的度是与其相邻的边的数目。
对于无向图，顶点的度等于与其相邻的边的数目；对于有向图，则分为入度和出度。
2. 连通性对于无向图G，若图中任意两个顶点都有路径相连，则称图G是连通的。
对于有向图G，若从任意一个顶点vi到任意一个顶点vj都存在路径，则称G是强连通的。
3. 路径和回路路径是指图中一系列的边，连接图中的两个顶点；回路是指起点与终点相同的路径。
路径的长度是指路径中边的数目。
4. 树和森林一个无向图，如果是连通图且不存在回路，则称为树。
一个无向图，若它不是连通图，则称为森林。
四、图的常见算法1. 深度优先搜索（DFS）深度优先搜索是一种用于图的遍历的算法，它从图的某个顶点vi出发，访问它的所有邻接顶点，再对其中未访问的顶点继续深度优先搜索。
考试必备离散数学概念总结
1.1、单个命题变项和命题常项是合式公式, 称作原子命题公式2.1、若等价式A↔B是重言式，则称A与B等值，记作A⇔B，并称A⇔B是等值式2.2、(1) 文字——命题变项及其否定的总称2.3、设C1=l∨C1', C2=lc∨C2', C1'和C2'不含l和lc, 称C1∨'C2'为C1和C2(以l和lc为消解文字)的消解式或消解结果, 记作Res(C1,C2)2.4、设S是一个合取范式, C1,C2,⋯,Cn是一个简单析取式序列. 如果对每一个i(1≤i≤n), Ci是S的一个简单析取式或者是Res(Cj,Ck)(1≤j<k<i), 则称此序列是由S导出Cn的消解序列. 当Cn=λ时, 称此序列是S的一个否证.3.1、设A1, A2, …, Ak, B为命题公式. 若对于每组赋值，A1∧A2∧…∧Ak为假，或当A1∧A2∧…∧Ak为真时，B也为真，则称由前提A1, A2, …, Ak推出结论B的推理是有效的或正确的, 并称B是有效结论.4.1、个体词——所研究对象中可以独立存在的具体或抽象的客体个体常项：具体的事物，用a, b, c表示个体变项：抽象的事物，用x, y, z表示个体域(论域)——个体变项的取值范围4.2、谓词——表示个体词性质或相互之间关系的词谓词常项：如, F(a)：a是人谓词变项：如, F(x)：x具有性质F一元谓词(n=1)——表示性质多元谓词(n≥2)——表示事物之间的关系0元谓词——不含个体变项的谓词, 即命题常项或命题变项4.3、设L是一个非逻辑符集合, 由L生成的一阶语言L 的字母表包括下述符号：非逻辑符号（个体常项符号、函数符号、谓词符号）和逻辑符号（个体变项符号、量词符号、联结词符号、括号与逗号）4.4、设R(x1, x2, …, xn)是L的任意n元谓词，t1, t2, …, tn 是L的任意n个项，则称R(t1,t2, …, tn)是L的原子公式.4.5、在公式∀xA 和∃xA 中，称x为指导变元，A为相应量词的辖域. 在∀x和∃x的辖域中，x的所有出现都称为约束出现，A中不是约束出现的其他变项均称为是自由出现.4.6、若公式A中不含自由出现的个体变项，则称A为封闭的公式，简称闭式.6.1、A⊆B⇔∀x ( x∈A →x∈B )6.2、A = B⇔A⊆B∧B⊆A6.3、A⊂B⇔A⊆B∧A≠BA⊈B⇔∃x ( x∈A ∧x∉B )6.4、幂集：P(A)={ x | x ⊆A } （一定包含空集）6.5、并A⋃B = {x | x∈A∨x∈B}交A⋂B = {x | x∈A∧x∈B}相对补A-B = {x | x∈A∧x∉B}对称差A⊕B = (A-B)⋃(B-A)绝对补~A = E-A6.6、广义并⋃A = { x | ∃z ( z∈A∧x∈z )}广义交⋂A= { x | ∀z ( z∈A →x∈z )}7.1、设A,B为集合，A与B的笛卡儿积记作A⨯B，且A⨯B = {<x,y>| x∈A∧y∈B}.7.2、设A,B为集合, A×B的任何子集所定义的二元关系叫做从A到B的二元关系, 当A=B时则叫做A上的二元关系.（计数：|A|=n, |A×A|=n^2, 所以A上有2^(n^2)个不同的二元关系。
离散数学课件-14-图的基本概念
第十四章图的基本概念§1 图定义设A,B是两个集合，称{{a,b}|a∈A,b∈}B 为A与B的无序积，记为A&B；{a,b}称为无序对。
后面，把{a,b}记为(a,b)，且允许a=b；对无序对(a,b)，有(a,b)=(b,a)。
定义设G =〈V,E〉是一个序偶，其中(1) V是非空集合(2) E⊆V&V，（E中元素可重复出现）则称G是一个无向图。
此时，称V为G的顶点集，记为V(G)，V中的元素称为G的顶点；称E为G的边集，记为E(G)，E中的元素称为G的无向边。
定义设D=〈V,E〉是一个序偶，其中(1) V是非空集合(2) E⊆V×V（E中元素可重复出现）则称G是有向图。
此时，称V为D的顶点集，记为V(D)，V中的元素称为D的顶点；称E为D的边集，记为E(D)，E中的元素称为D的有向边。
图的图示注①有时G既表示无向图又表示有向图，可统称为图。
②若V(G),E(G)均为有穷集，则称G为有限图。
对有限图G，称|V(G)| 为G的阶数。
③对e∈E(G)，称e出现的次数为e的重数，这些相同的边称为平行边（或重边）。
④当V(G)=∅时，称G为空图，记为∅。
⑤ 当E (G )= ∅时，称G 为零图，n 阶零图记为N n ；特别地，称N 1为平凡图。
⑥ 用u ,v ,v 1,v 2,"表示顶点，用e ,e 1,e 2,"表示边，称这样的图为标定图。
否则，称为非标定图。
⑦ 把无向图G =〈V ,E 〉的每条无向边确定一个方向后得到一个有向图D ，称D 为G 的定向图。
反之，去掉有向图D =〈V ,E 〉的每条有向边的方向后得到一个无向图G ，称G 为D 的基图。
⑧ 设G 是一个图，e ∈E (G )。
若e =(v i ,v j ) 或e =〈v i ,v j 〉，则称v i ,v j 为e 的端点，称v i ，v j 与e 是关联的。
当v i ≠v j 时，称e 与v i 或e 与v j 的关联次数为1；当v i =v j 时，称e 为环，e 与v i 的关联次数为2；对 (), ,l l i l j v V G v v v v ∈≠≠，称e 与v l 的关联次数为0。
《离散数学》图基本概念
17
无向图的相邻矩阵
说明: 在无向图中，环是长度为1的圈, 两条平行边构成长度
为2的圈. 无向简单图中, 所有圈的长度3 在有向图中，环是长度为1的圈, 两条方向相反边构成 长度为2的圈. 在有向简单图中, 所有圈的长度2.
《离散数学》图基本概念
4
通路与回路(续)
定理
在n阶图G中，若从顶点vi到vj（vivj）存在通路，则从 vi到vj存在长度小于等于n1的通路.
m m
j1 ij
d(vi )
(i 1,2,..., n)
(3) mij 2m
i, j
(4) 平行边的列相同
《离散数学》图基本概念
16
v1 e1
e2
e3
e4 v2
v3
e5
v4
关联次数为可能取值为0，1，2
1 1 1 0 0
M (G ) 0
1
1
1
0
1 0 0 1 2
0
0
0
0
0
《离散数学》图基本概念
《离散数学》图基本概念
10
几点说明： Kn无点割集（完全图） n阶零图既无点割集，也无边割集. 若G连通，E为边割集，则p(GE)=2 若G连通，V为点割集，则p(GV)2
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《离散数学》图基本概念
11
有向图的连通性
设有向图D=<V,E> u可达v: u到v有通路. 规定u到自身总是可达的. 可达具有自反性和传递性 D弱连通(也称连通): 基图为无向连通图 有向边改为无向边后是连通图 D单向连通: u,vV，u可达v 或v可达u D强连通: u,vV，u与v相互可达
d(u,v)=d(v,u)（对称性） d(u,v)+d(v,w)d(u,w) （三角不等式)
离散数学第十四章图论基本概念
握手定理
定理14.1 设G=<V,E>为任意无向图，V={v1,v2,…,vn}, |E|=m, 则
n
d(vi ) 2m
i 1
证 G中每条边 (包括环) 均有两个端点，所以在计算G中各顶点 度数之和时，每条边均提供2度，m 条边共提供 2m 度.
定理14.2 设D=<V,E>为任意有向图，V={v1,v2,…,vn}, |E|=m, 则
(3) 初级通路(路径)与初级回路(圈)： 中所有顶点各异，则 称 为初级通路(路径)，又若除v0=vl，所有的顶点各不相 同且所有的边各异，则称 为初级回路(圈)
(4) 复杂通路与回路：有边重复出现
20
几点说明
表示法 ① 定义表示法 ② 只用边表示法 ③ 只用顶点表示法（在简单图中） ④ 混合表示法
3
有向图
定义14.2 有向图D=<V,E>, 只需注意E是VV 的多重子集 图2表示的是一个有向图，试写出它的V 和 E
注意：图的数学定义与图形表示，在同构（待叙）的意义下 是一一对应的
4
相关概念
1. 图 ① 可用G泛指图（无向的或有向的） ② V(G), E(G), V(D), E(D) ③ n阶图
定义14.17 G=<V,E>, EE E是边割集——p(GE)>p(G)且有极小性 e是割边（桥）——{e}为边割集
25
点割集与割点
例3 {v1,v4}，{v6}是点 割集，v6是割点. {v2,v5} 是点割集吗？ {e1,e2}，{e1,e3,e5,e6}， {e8}等是边割集，e8是 桥，{e7,e9,e5,e6} 是边割 集吗？
3. 非负整数列d=(d1, d2, …, dn)是可图化的，是可简单图化的.
离散数学中的图论基础知识讲解
离散数学中的图论基础知识讲解图论是离散数学中的一个重要分支，研究的是图的性质和图中的关系。
图论在计算机科学、网络科学、运筹学等领域有着广泛的应用。
本文将从图的基本概念、图的表示方法、图的遍历算法以及一些常见的图论问题等方面进行讲解。
一、图的基本概念图是由顶点和边组成的一种数学结构。
顶点表示图中的元素，边表示元素之间的关系。
图可以分为有向图和无向图两种类型。
1. 无向图：无向图中的边没有方向，表示的是两个顶点之间的无序关系。
如果两个顶点之间存在一条边，那么它们之间是相邻的。
无向图可以用一个集合V表示顶点的集合，用一个集合E表示边的集合。
2. 有向图：有向图中的边有方向，表示的是两个顶点之间的有序关系。
如果从顶点A到顶点B存在一条有向边，那么A指向B。
有向图可以用一个集合V表示顶点的集合，用一个集合E表示有向边的集合。
二、图的表示方法图可以用多种方式进行表示，常见的有邻接矩阵和邻接表两种方法。
1. 邻接矩阵：邻接矩阵是一个二维数组，其中的元素表示两个顶点之间是否存在边。
如果顶点i和顶点j之间存在边，那么矩阵的第i行第j列的元素为1；否则为0。
邻接矩阵适用于表示稠密图，但对于稀疏图来说，会造成空间浪费。
2. 邻接表：邻接表是一种链表的数据结构，用来表示图中的顶点和边。
每个顶点对应一个链表，链表中存储与该顶点相邻的顶点。
邻接表适用于表示稀疏图，节省了存储空间。
三、图的遍历算法图的遍历是指按照某一规则访问图中的所有顶点。
常见的图的遍历算法有深度优先搜索（DFS）和广度优先搜索（BFS）。
1. 深度优先搜索：深度优先搜索是一种递归的搜索算法。
从某个顶点出发，首先访问该顶点，然后递归地访问与它相邻的未访问过的顶点，直到所有的顶点都被访问过。
2. 广度优先搜索：广度优先搜索是一种迭代的搜索算法。
从某个顶点出发，首先访问该顶点，然后依次访问与它相邻的所有未访问过的顶点，再依次访问与这些顶点相邻的未访问过的顶点，直到所有的顶点都被访问过。
离散数学图论基本概念解释
离散数学图论基本概念解释离散数学是一个研究离散对象及其关系和操作的数学分支，而图论则是离散数学的一个重要分支，用于研究图结构以及图中各种相关问题。
本文将对离散数学图论的基本概念进行解释。
一、图的定义图是指由一组顶点和连接这些顶点的边组成的数学结构。
图可以用G=(V, E)来表示，其中V表示顶点集合，E表示边的集合。
顶点之间的连接关系用边来表示，边有可能是有向的或无向的。
二、图的分类1. 无向图：图中的边没有方向，表示顶点之间的无序关系。
无向图可以是简单图（没有自环和重复边）或多重图（包含自环和多条重复边）。
2. 有向图：图中的边有方向，表示顶点之间的有序关系。
有向图也可以是简单图或多重图。
3. 加权图：顶点之间的边带有权重，用于表示边的强度或成本。
加权图可以是无向图或有向图。
三、图的常用术语1. 顶点的度：无向图中与某个顶点连接的边的数量称为该顶点的度。
在有向图中，顶点的度分为出度和入度，分别表示从该顶点出发的边的数量和指向该顶点的边的数量。
2. 路径：在图中，路径是指由一系列顶点和它们之间所连接的边组成的序列。
路径的长度是指路径中经过的边的数目。
3. 连通图：如果图中的任意两个顶点都存在一条路径相连，则称该图为连通图。
如果图非连通，则称为非连通图。
4. 完全图：如果一个无向图的任意两个顶点之间都有边相连，则称该图为完全图。
完全图有边n(n-1)/2条，其中n表示顶点的数量。
四、图的表示方法1. 邻接矩阵：邻接矩阵是一种以二维矩阵的形式来表示图的方法。
矩阵的行和列分别表示顶点，矩阵中的元素表示相应的边。
如果两个顶点之间存在边，就用1表示；否则，用0表示。
2. 邻接表：邻接表是一种以链表的形式来表示图的方法。
每个顶点都对应一个链表，链表中存储与该顶点相连的其他顶点。
五、图的遍历算法1. 深度优先搜索（DFS）：DFS是一种用于遍历图的算法，它从一个初始顶点开始，沿着一条路径一直走到底，然后回溯到上一个顶点，再继续沿另一条路径走到底。
第五章 图的基本概念-离散数学
Co
e4
e7
bo
oc
8
图 论
无向完全图:每对顶点间均有边相连的无向 简单图。N阶无向完全图记作Kn.
o o K2 o K3 o o o o K4
1 2
o o
o o o K5 o o
无向完全图Kn, 有边数
n( n − 1)
竞赛图：在的每条边上任取一个方向的有 向图.
9
图 论
有向完全图:每对顶点间均有一对方向相反 的边相连的有向图。例如：
2
图 论
5.1 图的定义及相关术语 5.2 通路 回路 图的连通性 5.3 图的矩阵表示 5.4 无向树 5.5 欧拉图和哈密顿图 5.6 平面图
3
图 论
§5.1 图的定义及相关术语
例1. 多用户操作系统中的进程状态变换图:
就绪 r 进程调度 ro 执行 e o w V={r,e,w}
E={<r,e>,<e,w>,<w,r>}
图 论
2
2. 回路:如果一条路的起点和终点是一个顶 点,则称此路是一个回路. ov e e 如右图中的 v o ov e e L1=v0 e1v1 e5v3 e6v2e4v0 e e L2= v0 e1v1 e5v3e2v0
0 1 4 1 2 3 5 6
2
o v3
22
3. 迹与闭迹
图 论
简单通路(迹) 顶点可重复但边不可重复的通路。 简单回路(闭迹) 边不重复的回路。 4. 路径与圈 初级通路(路径) 顶点不可重复的通路。 初级回路(圈) 顶点不可重复的回路。 例如右图中: o v0 L1=v0 e1v1 e5v3 e6v2e4v0 e1 e4 L2= v0 e1v1 e5v3e2v0 o v2 e2 e3 L3=v0 e1v1 e5v3 e2v0 e3v3 e6v2e4v0 v1 o e5 e6 L1和L2是闭迹, 也是圈. o v3 L3是闭迹,而不是圈.
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1
哥尼斯堡七桥问题
每逢假日，城中居民进行环城逛游，这样就产生了 一个问题：能不能设计一次‘遍游’，使得从某地出发， 对每座跨河桥只走一次，而在遍历了七座桥之后，却又 能回到原地。
2
城的四个陆地部分分别以点A，B，C，D表示， 将陆地设想为图的结点，把桥画成相应的连接边。
15
图的有关规定和术语 通常G泛指图，包括无向图和有向图。 V、E 分 别 表 示 G 的 顶 点 集 和 边 集 ， 所 以 用 | V|、
|E|分别表示G的顶点数和边数。 如果|V|和|E|是有限的，则称G为有限图；否则
为无限图。 本课程只涉及有限图。
16
图的有关规定和术语 图的顶点数|V|称为图的阶（order）。 若|V|=n，则称G为n阶图。 若E=∅，则称G为零图（null graph）。 含有n个顶点的零图称为n阶零图，记作Nn，特别的
（2）给定有向图D=<V，E>，其中V={a,b,c,d}， E={<a,a>,<a,b>,<a,b>,<a,d>,<d,c>,<c,d>,<c，b>}
画出G与D的图形。
14
定义14.3 在无向图中， G的两个 顶点之间可能存在若干条不同的边， 称这些边为平行边或重边（multiple edges） 。
定义（无序积）设A，B为集合，则称{（a,b）| a∈A∧b∈B}为A与B的无序积，记为A&B。
说明： （1） A、B非空时，A×B≠B×A。 （2）无论a，b是否相等，均有(a,b)=(b,a)，
所以A&B=B&A。
9
定义14.1（无向图undirected graph） 一个无向图是一个有序的二元组<V，E>，记作G，
素称为有向边，简称边。 由定义，有向图的边ek是有序对<vi，vj>，称vi，
vj是ek的端点，其中vi为ek的始点（origin），vj为ek 的终点（terminus）。
当vi=vj时，称ek为环，它是vi到自身的有向边。
11
每条边都是无向边的图称为无向图（undirected graph）。
在二十世纪中叶以后是图论的快速发展和应用 阶段。
由于生产管理、军事、运筹学、交通运输、计 算机科学、数字通讯等方面提出的实际问题的需要， 特别是许多离散性问题的出现、刺激和推动，以及由 于有了大型电子计算机，而使大规模问题的求解成为 可能，图论及其应用的研究得到了飞速的发展。
4
图论的应用非常广泛，主要有运筹学、网络理 论、信息论、控制论、博奕论、化学、生物学、社 会科学、语言学，以及计算机科学等等。
平行边的条数称为重数。 在有向图中，两个顶点间方向相 同的若干条边称为平行边。 两个顶点间方向相反的两条有向 边称为对称边（symmetric edges）。 含平行边的图称为多重图 （multigraph） ，既不含平行边也不 含 环 的 图 称 为 简 单 图 （ simple graph） 。
称N1为平凡图（trivial graph）。 规定V=∅的图为空图（empty graph），并记为∅。 称 顶 点 或 边 用 字 母 标 定 的 图 为 标 定 图 （ labeled
当 vi=vj 时 ， 称 ek 为 环 （ loop ） 或 自 回 路 （ selfcircuit）。
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定义14.2（有向图directed graph） 一个有向图是一个有序的二元组<V，E>，记作D，
即D=<V，E>，其中 ⑴ V={v1，v2，…，vn}是非空集合，称为D的顶
点集，V中元素称为顶点或结点； ⑵ E为边集，是笛卡儿积V×V的多重子集，其元
即G=<V，E>，其中 ⑴ V={v1，v2，…，vn}是非空集合，称为G的
顶点集（vertex set），V中元素称为顶点或结点； ⑵ E={e1，e2，…，en}是无序积V&V的一个多
重子集，称为的边集（edge set），E中的元素称为无 向边，简称边。 的 无由序定对义（知vi，，图vjG）中，的称边veik，是vVj的是两ek个的元端素点v（i，envdj vertices）。
这样问题就等价于在图中从某一结点出发找一条通 路，通过它的每条边一次且仅一次，并回到原结点。
1736年数学家欧拉发表了第一篇图论论文，解诀了 哥尼斯堡七桥问题。欧拉认证了该问题无解。
3
从十八世纪中叶到二十世纪中叶，漫长的200年 中，图论几乎停留在数学游戏阶段，在此阶段，图论 问题大量出现，如著名的四色问题、Hamilton问题以 及图的可平面问题等。
这些学科都以图作为工具来解决实际问题和理 论问题。
5
图论在计算机科学中的应用： 地图信息系统、电路设计、超文本、计算机
网络、程序结构、数据结构、Petri网、形式语 言与自动机…..
6
第十四章 图的基本概念 14.1 图
7
定义（无序对）对于二元集合{a,b}，由于元素 之间没有次序，称{a,b}为无序对，记为（a,b）。
边上带权的图成为带权图（weighted graph）或 网（network）， 记为G=<V, E,W> 。
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例（1）给定无向图G=<V，E>，其中V={v1,v2,v3,v4,v5}， E={(v1,v1),(v1,v2),(v2,v3),(v2,v3),(v2,v5), (v1,v5),(v4,v5)}
每条边都是有向边的图称为有向图（directed graph）。
既有无向边又有有向边的图称为混合图（ixed graph）。将有向图各有向边均改成无向边后得到的无向图 称为原来有向图的基图（underlying graph）。
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在一些具体问题中，图的每条边上标注了具有 特定含义的数值，该数值称为该边的权（weight）。
定义（有序对）由两个元素x和y（允许x=y）按 一定顺序排列成的二元组叫做一个有序对，记作<x， y>，其中x是它的第一元素，y是它的第二元素。
有序对<x，y>的性质（与无序对不同之处）： 1、当x≠y时，<x，y>≠<y，x> 2、<x，y>=<u，v>的充分必要条件是x=u且y=v
8
定义 (笛卡儿积) 设A，B是任意两个集合，用A 中元素作第一元素，B中元素作第二元素，构成的有 序对，所有这样有序对的全体组成的集合称集合A和B 的笛卡儿积，记作A×B。