第十四章 图的基本概念

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六、正则图
定义14.7
n阶k正则图——==k 的无向简单图 性质：边数
nk m （由握手定理得） 2
例：证明：若有n个人，每个人恰有3个 朋友，则n必为偶数。
证明：
用n个结点代表n个人，两个朋友对应的 结点连边，则得到一个3正则图，跟据 握手定理，所有结点的度数之和3n为偶 数，因而n必为偶数。
v V v 1 V v 2 V
由于2m, d (v)均为偶数，所以
v 2 V
vV1
(v ) d 为偶数，
但因为V1中结点度数为奇数，所以|V1|必为偶数.
例：
某一次聚会的成员到会后相互握手。证明与 奇数个人握手的人数一定是偶数。
证明： 用结点表示到会的成员，握手两人对应的结 点用边相连，则得到一个无向图，本题可归 结为说明一个图中有偶数个奇数度结点，根 据握手定理的推论知结论成立。
G = <V,E>为一无 向图，用右图表示
2．有向图的定义 定义14.2 有向图D=<V,E>, 只需注意E是VV的 多重子集。
3.关于无向图和有向图诸多定义或表示 （1）图① 可用G泛指图（无向的或有向的） ② V(G), E(G), V(D), E(D) （2）n阶零图与平凡图 （3）用ek表示无向边或有向边 （4）结点与边的关联关系 ③ n阶图
二、基本要求
深刻理解图论中的基本概念及其它们之间 的相互关系 记住图论中的主要定理并能灵活地应用它 们证明相关定理或命题 应用握手定理及树的性质解无向图、无向 树 会求最小生成树、最优树及最佳前缀码 会用邻接矩阵求有向图中的通路、回路数
第十四章 图的基本概念
本章的主要内容
图及相关的诸多概念
① 关联、关联次数 ② 环
③ 孤立点
（5）顶点之间的相邻与邻接关系
（6）邻域与关联集 ① vV(G) (G为无向图)
v的邻域 N ( v ) {u | u V (G ) (u, v ) E (G ) u v} v的闭邻域 N ( v ) N (v ) {v}
v的关联集
例 下图中G=（V，E）与G=（V，E）同构 吗？
G
G'
G'中4个3度结点中的每一个均与另外两个3度结 点相邻,而G中每个3度结点只与另外1个3度结点 相邻。
练习：3个结点可构成几个不同构的简单无向图？
例：无向图G的各个结点的度数都是3，且结点 数n与边数m有关系m=2n-3。在同构意义下G是 唯一的吗？ 解：由握手定理得 2m=3n，又因为m=2n-3 所以m=9，n=6。在同构意义下不唯一。
d (v ) 2m,
i 1 n i
n
且

d
i 1

(vi ) d (vi ) m
i 1
n
例：无向图G有16条边，3个4度结点，4 个3度结点，其余结点度数均小于3，问G 的阶数n为几？
解：解本题的关键是应用握手定理.
设除3度与4度结点外，还有x个结点v1, v2, …, vx， 则d(vi)2，i=1,2,…,x，于是得 不等式
练习：9阶无向图G中，每个结点的度数不 是5就是6. 证明G中至少有5个6度结点或至 少有6个5度结点.
证明： 由握手定理推论可知，G中5度结 点数只能是0，2，4，6，8五种情况（此 时6度结点分别为9，7，5，3，1）。以上 五种情况都满足至少5个6度结点或至少有 6个5度结点。
3.图的度数列
通路与回路 图的连通性
图的矩阵表示
14.1
图
一、无向图与有向图的定义 1． 无向图的定义
定义14.1 无向图G = <V,E>, 其中
（1）V 为结点集，元素称为结点（顶 点）。 （2）E为VV的多重集，其元素称为无向 边，简称边。
设
V={v1, v2, E={(v1,v1), (v2,v3), (v2,v5), (v4,v5)} ，则 …,v5}, (v1,v2), (v2,v3), (v1,v5),
例：
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
（1）-（6）都是（1）的子图， （2）-（6） 为真子图， （1）-（5）为生成子图。
例 ：画出K4的所有非同构的生成子图
八、补图
定义14.9 设G=<V,E>为n阶无向简单图，以V为结 点集，以所有使G成为完全图Kn的添加边 组成的集合为边集的图，称为G的补图， 记作 G . 若G G , 则称G是自补图.
例：判断以下哪些图是同构的。
a b (1) e
d
c (3)
(2)
v4 v5 v1 v2 (4)
a
e
c
v1 v2 v3
(6) v4
v6 v5
v3
f (5) b d
上图中，(1)≌(2),(3)≌(4),(5)≌(6)
(3)≌(4)：av1, bv2, cv3, dv4 ,ev5 (5)≌(6)：av1, bv2, cv3, dv4 ,ev5 ，f v6
定理：设非负整数列d=(d1,d2,…,dn)，则d 是可图化的当且仅当 例：
d
i 1
n
i
0(mod2)
(2, 4, 6, 8, 10)，(1, 3, 3, 3, 4) 是可图化的， 后者又是可简单图化的， 而(2, 2, 3, 4, 5)，(3, 3, 3, 4) 都不是可简单 图化的，后者也不是可图化的
第四部分 图论
图论是一个古老的数学分支，它起源于游 戏难题的研究。图论的内容十分丰富，应用得 相当广泛，许多学科，诸如运筹学、信息论、 控制论、网络理论、博弈论、、计算机科学等， 都以图作为工具来解决实际问题和理论问题。 随着计算机科学的发展，图论在以上各学科中 的作用越来越大，同时图论本身也得到了充分 的发展。
例：
a
e
d
b
n i 1 i
c
d ( v ) d ( a ) d ( b) d ( c ) d ( d ) d ( e )
4 2 1 0 1 8 2m ( m 4)
定理14.2
设 D=<V,E> 为 任 意 有 向 图 ， V={v1,v2,…,vn}, |E|=m, 则
五、完全图与竞赛图
1．定义14.6
（1）n (n1) 阶无向完全图——每个结点 与其余结点均相邻的无向简单图.
性质：
n ( n 1) m , n 1 2
（2）n (n1)阶有向完全图——每对结点之间均 有两条方向相反的有向边的有向简单图.
性质：
m n(n 1), 2(n 1), n 1
七、子图
定义14.8 G=<V,E>, G=<V,E>
（1）GG —— G为G的子图，G为G的母图
（2）若GG且V=V，则称G为G的生成子图
（3）若VV或EE，称G为G的真子图
（ 4 ） V （ VV 且 V ） 的 导 出 子 图 ， 记 作 G[V] （ 5 ） E （ EE 且 E ） 的 导 出 子 图 ， 记 作 G[E]
I (v) {e | e E (G) e与v关联}
② vV(D) (D为有向图)
v的后继元集
D ( v ) {u | u V ( D )
v, u E ( D ) u v} v的先驱元集
D ( v ) {u | u V ( D )
u, v E ( D ) u v}
在讨论关系时，我们曾经引进过图
的一些概念。在那里，图只是作为表达
集合上二元关系的一种工具。本部分将 对图的基本概念、基本性质、各种特殊
图及其判别方法进行较为详细的讨论。
一、本部分主要内容 图的基本概念：图、通路和回路、图的连通 性、图的矩阵表示 图的可行遍性：欧拉图、哈密顿图
树：无向树及其性质、生成树与最小生成树、 根树及其应用 平面图及图的着色：平面图、欧拉公式、平 面图的判断、对偶图、着色
（3）若 n阶无向简单图是自补图，则G与其补 图的边数相同，设它们的边数为m，由握手定 理知 n ( n 1)
2 2m
即n(n-1)=4m，因而n为4的倍数，即n=4k 或n-1为4的倍数，即n=4k+1（k为正整数）。
14.2 通路与回路
一、通路与回路的定义
定义14.11 给定图G=<V,E>（无向或有向的）， G中结点与边的交替序列 = v0e1v1e2…elvl，vi1, vi是ei的端点.
三、结点的度数及握手定理
1．结点的度数（度）
定义14.4及衍生的概念
（1）设G=<V,E>为无向图, vV, d(v)：v的度
（2）设D=<V,E>为有向图, vV,
d+(v)：v的出度；d(v)：v的入度；d(v)：v的度
（3）(G)：G的最大度； (G)：G的最小度。
（4）+(D), +(D), (D), (D), (D), (D)
练习：
下列哪些序列可构成无向简单图？
（1）1，1，2，2，3 （2）1，1，2，2，2 （3）0，1，3，3，3 （4）1，3，4，4，5 （5）1，1，1，2，3 （6）3，3，3，3 答案： （2）（5）（6）
四、图的同构
定义14.5
设G1=<V1,E1>, G2=<V2,E2>为两个无向图（两 个有向图），若存在双射函数f：V1V2, 对于 vi,vjV1, (vi,vj)E1 （ <vi,vj>E1 ） 当 且 仅 当 (f(vi),f(vj))E2（<f(vi),f(vj)>E2），并且, (vi,vj) （<vi,vj>）与 (f(vi),f(vj))（<f(vi),f(vj)>）的重数 相同，则称G1与G2是同构的，记作G1G2.
（1） V={v1, v2, …, vn}为无向图G的结点集，称 d(v1), d(v2), …, d(vn)为G的度数列 （2）V={v1, v2, …, vn}为无向图D的结点集， D的度数列：d(v1), d(v2), …, d(vn) D的出度列：d+(v1), d+(v2), …, d+(vn) D的入度列：d(v1), d(v2), …, d(vn) （3）非负整数列d=(d1, d2, …, dn)是可图化的， 是可简单图化的.
32 24+2x
得 x 4, 阶数n 4+4+3=11.
推论 任何图（无向的或有向的）中，奇度结 点的个数是偶数。 证 设G=<V,E>为任意图，令
V1={v | vVd(v)为奇数}
V2={v | vVd(v)为偶数} 则V1V2=V, V1V2=，由握手定理可知
2m d (v) d (v) d (v)
v的邻域 N D ( v ) D ( v ) D ( v )
v的闭邻域 N D ( v ) N D ( v ) {v}
（8）基图
二、多重图与简单图
定义14.3 （1）无向图中的平行边及重数
（2）有向图中的平行边及重数（注意方向性）
（3）多重图（含平行边）
（4）简单图（不含平行边与环）
例：
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(1)为完全图K5 , (2)，(3)互为补图（自补图）， (4)，(5)互为补图。
练习：
（1）给出所有非同构的无向4阶自补图；
（2）给出所有非同构的无向5阶自补图； （3）证明：若n阶无向简单图是自补图， 则n=4k或n=4k+1（k为正整数）。
（1）
（2）
（3）n (n1) 阶竞赛图——基图为Kn的有向简单 图.


性质：
n(n 1) m , n 1 2
（1）为K5，
（2）为3阶有向完全图，
（3）为4阶竞赛图.
例：有n个药箱，若每两个药箱里有一 种相同的药，而每种药恰好放在两个箱 中，问共有多少种药品？
解：若用n个结点表示n个药箱，放相同 药的两个箱子对应的点连一条边，则得 到一个无向完全图。该题转化为求无向 完全图的边数问题。由于完全图Kn的边 数为m=n(n-1)/2，所以共有n(n-1)/2种药 品。
（5）奇度结点与偶度结点
2.图论基本定理——握手定理 定理14.1 设 G=<V,E> 为 任 意 无 向 图 ， V={v1,v2,…,vn}, n |E|=m, 则 d (vi ) 2m
i 1
证
G中每条边（包括环）均有两个端点，所 以在计算G中各结点度数之和时，每条边 均提供2度，当然m条边共提供2m度.