图的基本概念与性质

第3章图的基本概念与性质

一、概念

图——图可以用集合的形式表示，即图可以表示为一个三元组，包含结点集、边集，以及边与结点对集间的映射．如果用结点对来表示边，则图可以表示成一个由结点集与边集组成的二元组．

定义3.1.1图G是一个三元组，其中V（G）是一个非空的结点集（或称顶点集），E（G）是边集，ϕG是从边集E（G）到结点偶对（无序偶或有序偶）集上的函数．

图定义中的结点偶对可以是有序的，也可以是无序的．

有向边、端点——若图中的边e所对应的结点偶对是有序的，记为，则称e是有向边（简称弧）．a，b分别称为弧的始点与终点，并均称为e的端点．称e是关联于结点a 和b的，结点a和结点b是相、邻的，或称结点a和结点b是邻接的．

无向边、端点——若图中的边e所对应的结点偶对是无序的，记为（a，b），则称e是无向边（简称棱）．a，b称为e的端点．称e是关联于结点a和b的，结点a和结点b是相、邻的，或称结点a和结点b是邻接的．

有向图——每一条边均为有向边的图称为有向图．

无向图——每一条边均为无向边的图称为无向图．

底图——如果把有向图中每条有向边都看作无向边，就得一个无向图，此无向图称为原有向图的底图．底图只表示出结点间的连接关系而没有表示出连接边的方向．弧立结点——图中不与任何相邻的结点称为弧立结点．

零图——全由孤立结点构成的图称为零图．

自回路（环）——关联于同一结点的一条边称为自回路或环．

重边（平行边）——在有向图中，两结点间（包括结点自身间）若多于一条边，则称这几条边为重边或平行边．

多重图——含有重边的图称为多重图．

线图——非多重图称为线图．

定义3.1.2（简单图）无自回路的线图称为简单图．

定义3.1.3（结点的度数、最大度、最小度）图G=中，与V中结点v（v∈V）相关联的边数，称为该结点的度数，记作为deg(v)．

记∆（G）= max{deg(v)| v∈V（G）}，

δ（G）= min{deg(v)| v∈V（G）}，

分别称为G=的最大度和最小度．

定义3.1.4（出度、入度、度数）在有向图中，对于任何结点v，以v为始点的边的条数称为结点v的引出次数（或出度）；以v为终点的边的条数称为结点v的引入次数（或入度）；结点v的引出次数和引入次数之和称为v的次数（或度数）．

定义3.1.5（二部图）设G=〈V，E>是n阶无向图，若能将V分成两个互不相交的子集V1与V2使得G中任一边的两端点都不在同一个V i（i=1,2）中，则称G为二部图．记G=．

定义3.1.6（完全图）简单图G=中，若每一对结点间都有边相连，则称该图为完全图．有n个结点的无向完全图记为K n．

定义3.1.7（k-正则图）若无向简单图中，每个结点的度均为某个固定整数k，则称该图为k-正则图．

定义3.1.8（赋权图）赋权图G是一个三重组或四重组，其

中V是结点集合，E是边的集合，f是定义在V上的函数，g是定义在E上的函数．定义3.1.9（补图）设图G=有n个顶点，图H=也有同样的顶点，而E’是由n个结点的完全图的边删去E所得，则图H称为图G的补图，记为H=G，显然，G=H．

定义3.1.10（子图、真子图、生成子图）设G=和G’=是两个图．

(1)若V’⊆V且E’⊆E，则称G’是G的子图；

(2)若V’⊂V或E’⊂E,则称G’是G的真子图；

(3)若V’=V和E’⊆E,则称G’是G的生成子图；

(4)若子图G’中没有孤立结点，G’由E’唯一确定，则称G’为由边集E’导出的子图；

(5)若子图G’中，对V’中的任意两个结点u，v，当u，v∈V’时有[u，v]∈E’，则G’由V’唯一确定，则称G’为由结点集V’导出的子图．

定义3.1.11(补图) 设G’=是G=的子图，若给定另外一个图G’’=，使得E’’=E-E’，且V’’中仅包含E’’的边所关联的结点，则称G’’是子图G’的相对于G 的补图．

定义3.1.12(同构) 设G=〈V，E>和G’=是两个图，若存在从V到V’的双射函数f，使对任意[a，b]∈E，当且仅当[f(a)，f (b)]∈E’，并且[a，b]和[f(a)，f (b)]有相同的重数，则称G和G’是同构的．

定义3.1.13(路径) 在图G=中，设v0，v1，…，v n∈V，e1，e2,….,e n∈E，其中e i是关联于结点v i-1，v i的边，交替序列v0 e1 v1 e2…e n v n称为联结v0到v n的路径（或称路）．v0与v n分别称为路的起点与终点，边的数目n称为路的长度．

孤立点——长度为0的路定义为孤立点．

简单路径——若序列中所有的边e1，e2,…., e n均互不相同，则称此路径为简单路径．基本路径——若序列中所有的点v0，v1，…，v n均互不相同，则称此路径是基本路径．回路——若v0=v n，即路径中的终点与始点相重合，则称此路径为回路．

简单回路——没有相同边的回路称为简单回路．

基本回路（圈）——各结点均互不相同的回路称为基本回路（或圈）．

奇圈（偶圈）——长度为奇（偶）数的圈称为奇（偶）圈．

定义3.2.1（可达、连通）在图G=中，设有结点v j与v k，若从v j到v k存在任何一条路径，则称结点v k从结点v j可达，也称结点v j与v k是连通的．

定义3.2.2（连通图、非连通图、分离图）若G是平凡图或G中任意两个结点都是连通的，则称G是连通图，否则称G为非连通图或分离图．

定义3.2.3（连通分支）设G=是图，连通关系的商集为{V1,V2,…,V m}，则其导出的子图G(V i)（i=1,2,…m）称为图G的连通分支（图），将图G的连通分支数记作W（G）．定义3.2.4（短程线）设u与v是图G的两个结点，若u与v连通，则称u与v之间的长度最短的路为u与v之间的短程线，短程线的长度可作为结点u与v间的距离，记作d(u,v)，其满足下列性质：

d(u,v) ≥ 0，u=v时，d(u,v) =0 （非负性）

d(u,v) = d(v,u) （对称性）

d(u,v) + d(v,w) ≥d(u,w) （三角不等式）

若u与v不连通，则通常记d(u,v) = ∞．

定义3.2.5（单向连通、强连通、弱连通）在简单有向图中，如果在任何结点偶对中，至少从一个结点到另一个结点可达的，则称图G是单向（侧）连通的；

如果在任何结点偶对中，两结点对互相可达，则称图G是强连通的；

如果图的底图（在图G中略去边的方向，得到无向图）是连通的，则称图G是弱连通的．