图的基本概念与性质

第3章图的基本概念与性质
一、概念
图——图可以用集合的形式表示，即图可以表示为一个三元组，包含结点集、边集，以及边与结点对集间的映射．如果用结点对来表示边，则图可以表示成一个由结点集与边集组成的二元组．
定义3.1.1图G是一个三元组<V（G），E（G），ϕG>，其中V（G）是一个非空的结点集（或称顶点集），E（G）是边集，ϕG是从边集E（G）到结点偶对（无序偶或有序偶）集上的函数．
图定义中的结点偶对可以是有序的，也可以是无序的．
有向边、端点——若图中的边e所对应的结点偶对是有序的，记为<a，b>，则称e是有向边（简称弧）．a，b分别称为弧的始点与终点，并均称为e的端点．称e是关联于结点a 和b的，结点a和结点b是相、邻的，或称结点a和结点b是邻接的．
无向边、端点——若图中的边e所对应的结点偶对是无序的，记为（a，b），则称e是无向边（简称棱）．a，b称为e的端点．称e是关联于结点a和b的，结点a和结点b是相、邻的，或称结点a和结点b是邻接的．
有向图——每一条边均为有向边的图称为有向图．
无向图——每一条边均为无向边的图称为无向图．
底图——如果把有向图中每条有向边都看作无向边，就得一个无向图，此无向图称为原有向图的底图．底图只表示出结点间的连接关系而没有表示出连接边的方向．弧立结点——图中不与任何相邻的结点称为弧立结点．
零图——全由孤立结点构成的图称为零图．
自回路（环）——关联于同一结点的一条边称为自回路或环．
重边（平行边）——在有向图中，两结点间（包括结点自身间）若多于一条边，则称这几条边为重边或平行边．
多重图——含有重边的图称为多重图．
线图——非多重图称为线图．
定义3.1.2（简单图）无自回路的线图称为简单图．
定义3.1.3（结点的度数、最大度、最小度）图G=<V，E>中，与V中结点v（v∈V）相关联的边数，称为该结点的度数，记作为deg(v)．
记∆（G）= max{deg(v)| v∈V（G）}，
δ（G）= min{deg(v)| v∈V（G）}，
分别称为G=<V，E>的最大度和最小度．
定义3.1.4（出度、入度、度数）在有向图中，对于任何结点v，以v为始点的边的条数称为结点v的引出次数（或出度）；以v为终点的边的条数称为结点v的引入次数（或入度）；结点v的引出次数和引入次数之和称为v的次数（或度数）．
定义3.1.5（二部图）设G=〈V，E>是n阶无向图，若能将V分成两个互不相交的子集V1与V2使得G中任一边的两端点都不在同一个V i（i=1,2）中，则称G为二部图．记G=<V1,V2，E>．
定义3.1.6（完全图）简单图G=<V，E>中，若每一对结点间都有边相连，则称该图为完全图．有n个结点的无向完全图记为K n．
定义3.1.7（k-正则图）若无向简单图中，每个结点的度均为某个固定整数k，则称该图为k-正则图．
定义3.1.8（赋权图）赋权图G是一个三重组<V，E，g>或四重组<V，E，f，g>，其
中V是结点集合，E是边的集合，f是定义在V上的函数，g是定义在E上的函数．定义3.1.9（补图）设图G=<V，E>有n个顶点，图H=<V，E’>也有同样的顶点，而E’是由n个结点的完全图的边删去E所得，则图H称为图G的补图，记为H=G，显然，G=H．
定义3.1.10（子图、真子图、生成子图）设G=<V,E>和G’=<V’,E’>是两个图．
(1)若V’⊆V且E’⊆E，则称G’是G的子图；
(2)若V’⊂V或E’⊂E,则称G’是G的真子图；
(3)若V’=V和E’⊆E,则称G’是G的生成子图；
(4)若子图G’中没有孤立结点，G’由E’唯一确定，则称G’为由边集E’导出的子图；
(5)若子图G’中，对V’中的任意两个结点u，v，当u，v∈V’时有[u，v]∈E’，则G’由V’唯一确定，则称G’为由结点集V’导出的子图．
定义3.1.11(补图) 设G’=<V’，E’>是G=<V，E>的子图，若给定另外一个图G’’=<V’’，E’’>，使得E’’=E-E’，且V’’中仅包含E’’的边所关联的结点，则称G’’是子图G’的相对于G 的补图．
定义3.1.12(同构) 设G=〈V，E>和G’=<V’,E’>是两个图，若存在从V到V’的双射函数f，使对任意[a，b]∈E，当且仅当[f(a)，f (b)]∈E’，并且[a，b]和[f(a)，f (b)]有相同的重数，则称G和G’是同构的．
定义3.1.13(路径) 在图G=<V，E>中，设v0，v1，…，v n∈V，e1，e2,….,e n∈E，其中e i是关联于结点v i-1，v i的边，交替序列v0 e1 v1 e2…e n v n称为联结v0到v n的路径（或称路）．v0与v n分别称为路的起点与终点，边的数目n称为路的长度．
孤立点——长度为0的路定义为孤立点．
简单路径——若序列中所有的边e1，e2,…., e n均互不相同，则称此路径为简单路径．基本路径——若序列中所有的点v0，v1，…，v n均互不相同，则称此路径是基本路径．回路——若v0=v n，即路径中的终点与始点相重合，则称此路径为回路．
简单回路——没有相同边的回路称为简单回路．
基本回路（圈）——各结点均互不相同的回路称为基本回路（或圈）．
奇圈（偶圈）——长度为奇（偶）数的圈称为奇（偶）圈．
定义3.2.1（可达、连通）在图G=<V,E>中，设有结点v j与v k，若从v j到v k存在任何一条路径，则称结点v k从结点v j可达，也称结点v j与v k是连通的．
定义3.2.2（连通图、非连通图、分离图）若G是平凡图或G中任意两个结点都是连通的，则称G是连通图，否则称G为非连通图或分离图．
定义3.2.3（连通分支）设G=<V,E>是图，连通关系的商集为{V1,V2,…,V m}，则其导出的子图G(V i)（i=1,2,…m）称为图G的连通分支（图），将图G的连通分支数记作W（G）．定义3.2.4（短程线）设u与v是图G的两个结点，若u与v连通，则称u与v之间的长度最短的路为u与v之间的短程线，短程线的长度可作为结点u与v间的距离，记作d(u,v)，其满足下列性质：
d(u,v) ≥ 0，u=v时，d(u,v) =0 （非负性）
d(u,v) = d(v,u) （对称性）
d(u,v) + d(v,w) ≥d(u,w) （三角不等式）
若u与v不连通，则通常记d(u,v) = ∞．
定义3.2.5（单向连通、强连通、弱连通）在简单有向图中，如果在任何结点偶对中，至少从一个结点到另一个结点可达的，则称图G是单向（侧）连通的；
如果在任何结点偶对中，两结点对互相可达，则称图G是强连通的；
如果图的底图（在图G中略去边的方向，得到无向图）是连通的，则称图G是弱连通的．
定义3.2.6（极大强连通子图、极大单向连通子图、极大弱连通子图、强分图、单向分图、弱分图） 在简单有向图G =<V ，E >中，G’是G 的子图，如G’是强连通的（单向连通的，弱连通的），且没有包含G’的更大的子图G’’是强连通的（单向连通的，弱连通的），则称G’是极大强连通子图（极大单向连通子图，极大弱连通子图）又叫强分图（单向分图，弱分图）．
定义3.2.7（点割集、割点） 设无向图G =<V ,E >为连通图，若有点集V 1⊂V ，使图G 删除了V 1的所有结点后，所得的子图是不连通图，而删除了V 1的任何真子集后，所得的子图是连通图，则称V 1是G 的一个点割集．若某个结点构成一个点割集，则称该结点为割点．
定义3.2.8（点连通度） 若G 为无向连通图且不含Kn 为生成子图，则称k (G )=min{|V 1| ∣V 1是G 的一个点割集}为G 的点连通度（简称连通度）．
规定：完全图Kn 的点连通度为n ，n ≥1．
非连通图的点连通度为0．
若k (G ) ≥k ，则称G 为k -连通图．
定义3.2.9（边割集、割边、桥） 设无向图G =<V ,E >为连通图，若有边集E 1⊂E ，使图G 删除了E 1的所有边后，所得的子图是不连通图，而删除了E 1的任何真子集后，所得的子图是连通图，则称E 1是G 的一个边割集．若某个边构成一个边割集，则称该结点为割边（或桥）． 定义3.2.10（连通度） 若G 为无向连通图，则称λ(G )=min{|E 1| ∣E 1是G 的一个边割集}为G 的边连通度．
规定：非连通图的边连通度为0．
若λ(G ) ≥k ，则称G 为k 边-连通图．
定义3.3.1（邻接矩阵） 设G =<V ，E >是一个简单图，其中V ={v 1，v 2，…， v n }，则n 阶方阵A （G ）=（a ij ）称为G 的邻接矩阵．其中各元素
⎪⎩⎪⎨⎧==j
i v v v v a j i j i ij 不相邻或与相邻与01 定义3.3.2（可达性矩阵） 设G =<V ，E >是一个简单图，|V |=n ,假定G 的结点已编序，即V ={v 1，v 2，…， v n }，定义一个n ⨯n 方阵P =（p ij ）．其中
⎪⎩
⎪⎨⎧=不存在一条路与从至少存在一条路到从j i j i ij v v v v p 01 则称矩阵P 为图G 的可达性矩阵．
最短路径的数学模型——给定一个网络N （有向或无向赋权图），u 0与v 0是N 中指点的两个顶点，在N 中找一条从u 0到v 0且权最小的路．
规定N 中的一条路P 的权w (P )称为p 的长度．若N 中存在从u 到v 的路，则将N 中从u 到v 且权最小的路称为u 到v 的最短路，其长度称为u 到v 的距离，记为d N （u ,v ）．
二、定理
定理3.1.1（握手定理） 设G 是一个图，其结点集合为V ，边集合为E ，则
∑∈=V v E v ||2)deg(
定理3.1.2 图中次数为奇数的结点有偶数个．
定理3.1.3 在任何有向图中，所有的入度之和等于所有结点的出度之和．
定理3.1.4 有n 个结点的无向完全图K n 的边数为n (n -1)/2．
定理3.1.5 在具有n 个结点的简单图G =<V , E >中，若从结点v j 到结点v k 有一条路，则从结点v j 到结点v k 有一条长度不大于n -1的路．
定理3.1.5推论在一个具有n个结点的图G=<V, E>中，如果从结点v j到结点v k有一条路，则从结点v j到结点v k必有一条长度小于n的通路．
定理3.1.6在具有n个结点的图G=<V,E>中，如果经v有一条回路，则经v有一条长度不超过n的回路．
定理3.1.6推论在具有n个结点的图G=<V,E>中，如果经v有一条简单回路，则经v 有一条长度不超过n的基本回路．
定理3.2.1一个有向图是强连通的，当且仅当G中有一个回路，其至少包含每个结点一次．
定理3.2.2在有向图G=〈V，E〉中，G的每一结点都在也只在一个强（弱）分图中．定理3.2.3在有向图G=〈V，E〉中，G的每一结点都处在一个或一个以上的单向分图中．
定理3.2.4（Whitney）对于任何一个图G，有
k(G) ≤λ (G) ≤δ(G)
其中k(G)、λ (G)、δ(G)分别为G的点连通度、边连通度和最小度．
定理3.2.5一个连通无向图G中的结点v是割点的充分必要条件是存在两个结点u与w，使得结点u与w的每一条路都通过v．
三、方法
1．两图同构的必要条件：
（1）结点数相等；
（2）边数相等；
（3）度数相同的结点数相等．
2．邻接矩阵运算特征
（1）图G=<V,E>的邻接矩阵不唯一，而与V中的元素标定次序有关．对V中各元素不同的标定次序可得到同一图G的不同邻接矩阵．但这些邻接矩阵经过适当地交换行和列的次序，就从一个邻接矩阵变到另一个邻接矩阵．根据不同邻接矩阵所作的有向图都是同构的．因此，可选V元素的任一种标定次序所得出的邻接矩阵．
（2）当有向线图代表关系时，邻接矩阵就可看作是一种关系矩阵．
有向图是自反的，矩阵的对角线元素全为1．
有向图是非自反的，矩阵的对角线元素全为0．
有向图是对称的，对所有i和j，矩阵是对称的．
有向图是反对称的，对所有i和j，矩阵是以主对角线对称的元素不可能同时为1．（3）零图的邻接矩阵的元素全为零，并称其为零矩阵．
（4）图的每一顶点都有自回路而再无其它边时，图的邻接矩阵是单位矩阵．
（5）设有向线图G=<V，E>的邻接矩阵是A，则A的逆图的邻接矩阵是A的转置矩阵．3．可达性矩阵的计算方法
一般地，可以由图G的邻接矩阵A得到可达性矩阵P．
即令B n=A+A2+…+A n，在从B n中将不为0的元素改为1，而为零的元素不变，这样改换的矩阵即为可达性矩阵P．
也可以将矩阵A，A2，…，A n分别改为布尔矩阵A，A(2)，…，A(n)，简化计算，故
P= A∨A(2)∨…∨A(n)，
其中A(i)表示在布尔运算下A的i次方．
4．求最短路径的Dijkstra算法步骤
（1）置l(u0)=0，对v∈V-{ u0}，l(v)= +∞，S0 ={ u0}，i=0．
（2）对每个v∈ N G-S
i（u i），用min{ l(v)，l(u i)+ w（u i，v）}代替l(v)．若l(v)取到l(u i)+
w（u i，v），则在v旁边记下(u i)．计算min(v∈G- S i ){ l(v)}，并将达到
最小值的这个顶点记为u i+1．置S i+1= S i⋃{ u i+1}．
（3）若i=|G|-1，则算法停止，否则用置i 为i+1，并转入第（2）步．
算法结束时，从u0到v的距离由最终的标号给出l(v)，并且可根据各个顶点旁边的（u i）追回出从u0到v的最短路径．若为求某个特定的顶点v时，则可以在u j= v时使算法停止即求得结果．。