化归思想在高中数学中的运用

化归思想在高中数学中的使用内容摘要：解决数学问题的过程就是将问题持续转化的过程，将复杂的问题转化为简单的问题，将较难的问题转化为容易求解的问题，将未解决的问题转化为已解决的问题，化归思想是数学的灵魂，它在培养学生的数学素质和解题水平方面起到了很重要的作用。

每年的高考和竞赛中都有很多别具创意、新颖独特的数学问题，旨在考查高层次思维水平和创新理解方面具有独特的作用，学生总觉得难以入手。

本篇文章着重介绍如何用化归思想来研究和解决数学问题，培养学生思维的灵活性、敏捷性，提升学生的思维水平和解题速度。

关键词：化归思想 高中数学 使用解决数学问题的思维过程，实质上是将数学问题中的信息情景，经过加工、调节，使之回归到初始状态或符合最基本的数学模型，从而使问题还原到已知的知识领域，获得解决，这样思想方法叫化归思想。

近年来高考数学试题和全国数学竞赛试题，更加注重数学思想方法的使用，增大了数学水平考查的力度，这就要求老师在平时数学教学中增强对基础知识、基本技能的教学，注意各种思想方法的渗透。

而化归思想，就是在研究和解决相关数学问题时采用某种手段，将问题通过变换使之转化归结为在已有知识范围内能够解决的一种方法，一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将较难的问题通过交换转化为容易求解的问题，将未解决的问题变换转化为已解决的问题，能够说数学解题就是转化问题，每一个数学问题无不是在持续地转化中获得解决的，即使是数形结合思想、函数方程思想、分类讨论思想也都是转化与化归思想的表现形式。

常见的转化有正与反的转化、数与形的转化、相等与不等的转化、整体与局部的转化、空间与平面相互转化、复数与实数相互转化、常量与变量的转化、数学语言的转化，等等。

所以，能否搞好化归思想渗透的教学，是学生解题水平能否迅速提升的关键。

以下就化归思想的使用实行一番探究。

一、复杂问题简单化很多结构复杂、思路繁杂的问题，可转化为一个或几个比较简单、轻松解决的问题，各个击破后，再综合得解。

例1(1995年全国高考题)已知y =)2(log ax a -在[0，1]上是x 的减函数，则a 的取值范围是( )(A)(0，1) (B)(1，2) (C)(0，2) (D) [2，∞+)分析：题中函数y =)2(log ax a -在[0，1]上是x 的减函数，这个条件难以直接使用。

[解] 可将函数y =)2(log ax a -转化为两个简单函数①y =t a log 与②t =ax -2， x ∈[0，1]来考虑，因为a ＞0，故t =ax -2，x ∈[0，1]为减函数，由复合函数的单调性知，y =t a log 必为增函数，故a ＞1；又t =ax -2，x ∈[0，1]为减函数，且ax -2＞0，故x =1时，2-a ＞0，所以a ＜2。

综上所述，1＜a ＜2，故选B 。

二、未知问题已知化很多陌生、未知的问题，可通过度解、转化为已知的、熟悉的问题，利用已知的解法或模式来解决问题。

例2(1997年全国高考题)甲、乙两地相距S 千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不超过c 千米／小时，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v (千米／小时)的平方成正比，比例系数为b ，固定部分为a 元，(1) 把全程运输成本y (元)表示为速度v (千米／小时)的函数，并指出这个函数的定义域；(2) 为了使全程运输成本最小，汽车应以多大的速度行驶？[解]（Ⅰ）依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为vs ，全程运输成本为)(2bv v a S v S bv v S a y +=⋅+⋅= 故所求函数及其定义域为],0(),(c v bv va S y ∈+= (Ⅱ)依题意知S ，a ，b ，v 都为正数，故有ab S bv v a S 2)(≥+ 当且仅当,bv v a =．即ba v =时上式中等号成立 若cb a ≤，则当ba v =时，全程运输成本y 最小， 若c b a >，则当],0(c v ∈时，有 )()(bc c a S bv v a S +-+)]()[(bc bv c a v a S -+-==))((bcv a v c vcS -- 因为c －v ≥0，且a >bc 2，故有a －bcv ≥a －bc 2>0， 所以)()(bc ca S bv v a S +≥+，且仅当v =c 时等号成立， 也即当v =c 时，全程运输成本y 最小．综上知，为使全程运输成本y 最小，当c b ab ≤时行驶速度应为b ab v =；当c b ab >时行驶速度应为v =c ．三、抽象问题直观化很多抽象、难以入手的问题，可通过各种途径转化为直观、形象的问题，用很简捷的方法便能够解决。

例3(1994年全国高考题) 如果复数z 满足│z +i │+│z －i │=2，那么│z +i +1│的最小值是( ) (A) 1 (B) 2 (C) 2 (D) 5分析：复数方程抽象、难懂，而用代数方法求z 对应点的方程，运算又很繁杂。

[解]方程│z +i │+│z －i │=2表示z 对应点的轨迹是以点A(0，1)、B(0，-1)为端点的线段AB ，│z +i +1│表示点P(-1，-1)与线段AB 上点的距离，故它的最小值是点P(-1，-1)与点B(0，-1)的距离，即为1，故选A 。

例4(2009年山东高考题)一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ).A.2π+B. 4π+C. 2π分析：三视图是平面图形，不够直观，须得知该几何体的形状，方可求其体积。

[解] 由三视图知，该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成的圆柱的底面半径为1,高为2,体积为2π；四棱锥的底面边长为2，高为3， 所以体积为213⨯=。

所以该几何体的体积为2π+，故选C 。

四、一般问题特殊化很多难以解决的一般化问题，退回到特例后，因为个性中拥有共性，通过特殊情况往往能够提示一般规律，从而得出一般结论。

例5(1991年全国高考题)如果奇函数f (x )在区间[3，7]上是增函数且最小值为5，那么f (x )在区间[－7，－3]上是( ) (A) 增函数且最小值为－5 (B) 增函数且最大值为－5(C) 减函数且最小值为－5 (D) 减函数且最大值为－5分析：因为高考数学选择题中四个选项仅有一个是准确的，因为该题设条件具有一定任意性而结论是确定的，故可构造特殊函数来解。

[解]构造特殊函数f (x )=x 35，则函数f (x )满足题设条件，而f (x )=x 35 在区间[－7，－3]上仍为增函数且最大值为－5，而这个结论对满足题设条件的任意函数f (x )同样成立，故选B 。

例6 (2009年浙江高考题)若函数)(x f =)(2R a xa x ∈+，则下列结论准确的是（ ） A ．R a ∈∀，)(x f 在),0(+∞上是增函数 B ．R a ∈∀，)(x f 在),0(+∞上是减函数C ．R a ∈∃，)(x f 是偶函数D ．R a ∈∃，)(x f 是奇函数分析：因为高考数学选择题中四个选项仅有一个是准确的，因为该题设条件具有一定任意性而结论是确定的，故可通过对a 取特殊值，构造特殊函数)(x f 来解。

[解]对于a =0时，有)(x f =2x 是一个偶函数，故选C 。

五、特殊问题一般化 侧(左)视图正(主)视图 俯视图一些比较复杂的特殊问题，可先推广到一般情况，揭示出一般规律，再还原为特殊，从而从更高角度解决特殊问题，这也遵循了认知规律。

例7、若x 、y ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4,4ππ，a ∈R ，且满足方程02sin 3=-+a x x ①和 0cos sin 43=++a y y y ②，求cos (y x 2+)的值。

[解]虽然不能直接两个方程中求出x 、y ，但两个方程形式上有很多共同特征，它们 的根之间有一定联系。

方程②可化为：02)2sin()2(3=--+-a y y ③，比较方程①和③可知x 与－2y 都是方程02sin 3=-+a t t 的根，而a t t t f 2sin )(3-+=在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ上为增函数，因为0)2()(=-=y f x f ，故y x 2-=，即y x 2+＝0，从而cos (y x 2+)=1。

六、直接问题间接化很多问题从正面入手较难时，可从问题的反面入手，使用逆向思维方式实行分析，常 常能使问题简单化。

例8、正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，求三棱锥A 1-B C 1D 的体积。

分析：直接求三棱锥A 1-B C 1D 的体积，无论选择哪个底面，高都不易求出，故可考 虑用间接法。

[解]用正方体的体积减去四个体积相等的三棱锥A 1-ABD 、A 1- C 1D 1D 、A 1-B B 1C 1、C 1-BCD 的体积，可得三棱锥A 1-B C 1D 的体积=a 3-4×(31×221a ×a )=31a 3。

七、局部问题整体化当问题局部求解有难度时，可调整视角，从整体入手，探索解题途径，得出结论后，再回到局部，使局部问题得以解决。

例9、设a 、b 分别为方程x 2log +x +2=0与x2+x +2=0的根，求a +b 的值。

分析：从两个方程分别求出a 、b 的值是不现实的。

[解]从整体考虑，因为两个方程可化为x 2log =-x -2，x 2=-x -2，故a 、b 可看成直线y =-x -2与两个函数y =x 2log ，y =x 2的图像的交点A 、B 的横坐标，因为y =x 2log 与y =x 2互为反函数，它们的图像关于直线y =x 对称，而直线y =-x -2与直线y =x 垂直相交，交点为C(-1，-1)，故A 、B 两点关于直线y =x 对称，线段AB 的中点为C(-1，-1)，故a +b =2×(-1)=-2。

八、整体问题局部化整体求解较困难时，可考虑分散难度，先求出每一个局部所满足的性质，对局部求解，再综合起来，得出整体的解。

例10(1991年全国高考题)31arctan + 21arctan 的值是 。

分析：整体求31arctan + 21arctan 的值较困难，故可从局部考虑。

[解]设31arctan =α，21arctan =β，则α∈(0，2π)，β∈(0，2π)，且αtan =31，βtan =21，故)t an (βα+=βαβαtan tan 1tan tan ⋅-+=213112131⋅-+=1，因为α+β∈(0，π)，故α+β=4π，即31arctan + 21arctan =4π。

综上所述，化归思想的使用极为广泛，在在高考及数学竞赛中，会遇到各种各样的难题，只要能做到将复杂问题简单化、未知问题已知化、抽象问题直观化、一般问题特殊化、特殊问题一般化、直接问题间接化、局部问题整体化、整体问题局部化，等等，灵活使用化归思想，就能高瞻远瞩，化难为易，加快解题速度，提升数学成绩。