北大高代(第3版)8.4
高代大纲
《高等代数I、II》课程教学大纲撰写人：***撰写时间：2006年3月1日开课院系：数学系课程编号：（由教务处统一编制）课程英文名称：Advanced Algebra I、II课程总学时：68+68总学分：4+4含实验或实践学时：学分：推荐使用教材：《高等代数》编者：北京大学出版社：高等教育出版社出版时间及版次：2003年7月第3版课程教学目标与基本要求：本大纲主要内容分为两大部分，多项式理论和线性代数；线性代数又大致可分为两部分，其一是以算法为主的行列式、线性方程及矩阵的理论，其二是空间论，主要包括线性空间、线性变换、标准形、欧几里德空间等。
多项式理论是中学有关内容的推广，是培养数学意识的最早、最合适的材料之一，这一点在教学中要充分给予体现，而不要简单地认为是线性代数等数学课的预备知识。
矩阵和约当标准形的推导是很漂亮的理论，要求从理解数学的完美、培养数学素质的角度去掌握基本内容。
通过本课程教学的主要环节（讲授与讨论，习题课，作业，辅导等），使学生对多项式理论、线性代数的“解析理论”与“几何理论”及其思想方法有较深的认识和理解，从而有助于学生正确理解高等代数的基本概念和论证方法及提高分析问题解决问题的能力。
本课程共讲授两个学期，计划总学时数为136。
考试形式：笔试（开卷或闭卷）、口试、写小论文等。
学习参考书（注明编者，出版社，出版时间及版次）：[1] 萧树铁等.《代数与几何》. 高等教育出版社. 2001年第1版[2] 张禾瑞，郝炳新.《高等代数》.高等教育出版社. 2001年第3版编写工作小结：高等代数是数学专业重要的基础课之一，它为后续课程提供基本理论和方法；也为其他学科及工程技术学科提供最常用的表示语言、分析的思想方法和应用工具。
本课程要注重基本理论讲解，注重培养学生理论素养，提高逻辑分析能力。
在适当的情况下可利用多媒体技术辅助教学。
高等代数习题答案
高等代数(北大版第三版)习题答案I I(总95页)-本页仅作为预览文档封面，使用时请删除本页-高等代数（北大第三版）答案目录第一章多项式第二章行列式第三章线性方程组第四章矩阵第五章二次型第六章线性空间第七章线性变换第八章 —矩阵第九章欧氏空间第十章双线性函数与辛空间注：答案分三部分，该为第二部分，其他请搜索，谢谢！12．设A 为一个n 级实对称矩阵，且0<A ，证明：必存在实n 维向量0≠X ，使0<'A X X 。
证 因为0<A ，于是0≠A ，所以()n A rank =，且A 不是正定矩阵。
故必存在非退化线性替换Y C X 1-=使()BY Y ACY C Y AX X '=''='-12222122221n p p p y y y y y y ----+++=++ ，且在规范形中必含带负号的平方项。
于是只要在Y C Z 1-=中，令p y y y === 21,1,021=====++n p p y y y 则可得一线性方程组 ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++=++++++1102211,122,111,122111212111n nn n n n n p p p n pn p p n n x c x c x c x c x c x c x c x c x c x c x c x c ，由于0≠C ，故可得唯一组非零解()ns s s s x x x X ,,,21 =使()0111000<--=----+++='p n AX X s s， 即证存在0≠X ，使0<'A X X 。
13．如果B A ,都是n 阶正定矩阵，证明：B A +也是正定矩阵。
证 因为B A ,为正定矩阵，所以BX X AX X '',为正定二次型，且 0>'A X X ， 0>'B X X ，因此()0>'+'=+'BX X AX X X B A X ，于是()X B A X +'必为正定二次型，从而B A +为正定矩阵。
(完整版)高等代数(北大版第三版)习题答案II
证 1）作变换 ，即
，
则
。
因为 是正定矩阵，所以 是负定二次型。
2） 为正定矩阵，故 对应的 阶矩阵也是正定矩阵，由1）知
或 ，
从而
，
令
，
则
。
由于 是正定的，因此它的 级顺序主子式 ，从而 的秩为 。
即证 。
3．设
。
其中 是 的一次齐次式，证明： 的正惯性指数 ，负惯性指数 。
证 设 ，
的正惯性指数为 ，秩为 ，则存在非退化线性替换
，
使得
。
下面证明 。采用反证法。设 ，考虑线性方程组
，
该方程组含 个方程，小于未知量的个数 ，故它必有非零解 ，于是
，
上式要成立，必有
， ，
这就是说，对于 这组非零数，有
， ，
这与线性替换 的系数矩阵非退化的条件矛盾。所以
。
同理可证负惯性指数 ，即证。
4．设
是一对称矩阵，且 ，证明：存在 使 ，其中 表示一个级数与 相同的矩阵。
证 只要令 ，则 ，
注意到
， ，
则有
。
即证。
5．设 是反对称矩阵，证明： 合同于矩阵
。
设 的秩为 ，作非退化线性替换 将原二次型化为标准型
，
其中 为1或-1。由已知，必存在两个向量 使
和 ，
故标准型中的系数 不可能全为1，也不可能全为-1。不妨设有 个1， 个-1，
且 ，即
，
这时 与 存在三种可能：
， ，
下面仅讨论 的情形，其他类似可证。
令 ， ， ，
则由 可求得非零向量 使
，
即证。
证 采用归纳法。当 时， 合同于 ，结论成立。下面设 为非零反对称矩阵。
北京大学数学系《高等代数》(第3版)课后习题-第一章至第三章(上册)【圣才出品】
4．把 f（x）表成 x－x0 的方幂和，即表成 c0＋c1（x－x0）＋c2（x－x0）2＋…的形式． （1）f（x）＝x5，x0＝1；
2 / 108
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台
6．求 u（x），v（x）使 u（x）f（x）＋v（x）g（x）＝（f（x），g（x））： （1）f（x）＝x4＋2x3－x2－4x－2，g（x）＝x4＋x3－x2－2x－2． （2）f（x）＝4x4－2x3－16x2＋5x＋9，g（x）＝2x3－x2－5x＋4． （3）f（x）＝x4－x3－4x2＋4x＋1，g（x）＝x2－x－1． 解：（1）用辗转相除法进行计算．
所以 x5＝（x－1）5＋5（x－1）4＋10（x－1）3＋10（x－1）2＋5（x－1）＋1．
3 / 108
圣才电子书
（2）应用综合除法
十万种考研考证电子书、题库视频学习平台
所以 f（x）＝（x＋2）4－8（x＋2）3＋22（x＋2）2－24（x＋2）＋11． （3）f（x）＝（x＋i）4－2i（x＋i）3－（1＋i）（x＋i）2－5（x＋i）＋7＋5i． 5．求 f（x）与 g（x）的最大公因式： （1）f（x）＝x4＋x3－3x2－4x－1，g（x）＝x3＋x2－x－1． （2）f（x）＝x4－4x3＋1，g（x）＝x3－3x2＋1．
圣才电子书
十万种考研考证电子书、题库视频学习平台
第二部分 课后习题
第 1 章 多项式
1．用 g（x）除 f（x），求商 q（x）与余式 r（x）： （1）f（x）＝x3－3x2－x－1，g（x）＝3x2－2x＋1； （2）f（x）＝x4－2x＋5，g（x）＝x2－x＋2． 解：（1）用分离系数的竖式进行计算
扬大高等代数北大三版-第五章二次型
目录
CONTENTS
• 引言 • 二次型的定义与性质 • 二次型的分类与判别式 • 二次型与矩阵的等价关系 • 二次型与线性变换的关系 • 特殊二次型与正定二次型
01
引言
背景介绍
二次型是代数学的一个重要分支，它在几何、物理和工程等领域有广泛的应用。
二次型的研究起源于二次方程的求解问题，后来逐渐发展成为一个独立的数学领域。
正定二次型的定义与性质
正定二次型的定义
正定二次型是指对于任意非零向量x，都有f(x)>0的二次型，其中f(x)是x的二次齐次函 数。
正定二次型的性质
正定二次型具有一些重要的性质，如正定性、对称性、可微性等，这些性质在解决数学 问题时具有重要的作用。
正定二次型的应用
在数学物理中的应用
正定二次型在数学物理中有广泛的应用 ，如在量子力学、统计力学等领域中， 正定二次型可以用来描述粒子的能量和 动量等物理量。
线性变换与二次型的关系
二次型：一个多项式函数，可以表示为向量空间中向量的内积的线性组合， 其中每个内积项都是两个向量的二次方。
二次型可以通过线性变换转换为标准形式，即一个只包含平方项的多项式。
线性变换可以将二次型转换为标准形式，从而简化二次型的计算和分析。
线性变换的应用
01
02
03
在几何学中，线性变换可以用来 研究几何图形的形状和大小的变 化。
实对称矩阵是满足$A^T = A$的矩阵，其中 $A^T$是矩阵A的转置。
二次型可以通过线性变换转换为矩 阵形式，即$f(x_1, x_2, ..., x_n) = X^T A X$，其中$X$是列向量， $A$是实对称矩阵。
03
姚慕生,谢启鸿-高等代数学(第3版)答案(复旦绿皮书)
复旦大学高等代数教材第二章答案
部分习题答案引用自白皮书的例题或训练题．
2.1
(
)(
1. (1) 3 0 ; (2) 3
−3 1
0
() (
2. (1) 1 5 ; (2) −2
21
−2
2.2
√) (
3 2 ; (3) 1
−12
8
1 1
)
6 √
;
52
(4)
00
0 0
3
−
5 2
1 3 −3
)(
1.6
1.
(−1)N(n,n−1,n−2,··· ,1)
=
(−1)
n(n−1) 2
.
2. 请读者自行验证.
3. 由行列式的性质 8 及定理 1.6.1, |A| = |A′| =
∑
a1k1 a2k2 · · · ankn .
(k1,k2,··· ,kn)∈Sn
4. 例 1.10.
5. 例 1.9.
6. 例 1.11.
(In − A)(In + A + A2 + · · · + Am−1) = (In + A + A2 + · · · + Am−1)(In − A) = In.
7. 由于 B(A + B)−1A(A−1 + B−1) = In, 故 A−1 + B−1 奇异. 8. 由 A2 = In 可得 (A + In)(A − In) = O. 又 In + A 非异, 故 A − In = O, 即 A = In. 9. 由 A2 = A 可得 A2 − A − 2In = −2In, 即 (A + In)(A − 2In) = −2In, 故 A + In 非异. 10. 由 A2 − A − 3In = O 可得 (A + In)(A − 2In) = In, 故 A − 2In 非异.
高等代数 北京大学第三版 北京大学精品课程
资料范本本资料为word版本，可以直接编辑和打印，感谢您的下载高等代数北京大学第三版北京大学精品课程地点：__________________时间：__________________说明：本资料适用于约定双方经过谈判，协商而共同承认，共同遵守的责任与义务，仅供参考，文档可直接下载或修改，不需要的部分可直接删除，使用时请详细阅读内容第一学期第一次课第一章代数学的经典课题§1 若干准备知识代数系统的概念一个集合，如果在它里面存在一种或若干种代数运算，这些运算满足一定的运算法则，则称这样的一个体系为一个代数系统。
数域的定义定义（数域）设是某些复数所组成的集合。
如果K中至少包含两个不同的复数，且对复数的加、减、乘、除四则运算是封闭的，即对内任意两个数、（可以等于），必有，则称K为一个数域。
例1.1 典型的数域举例：复数域C；实数域R；有理数域Q；Gauss数域：Q (i) = {i |∈Q}，其中i =。
命题任意数域K都包括有理数域Q。
证明设为任意一个数域。
由定义可知，存在一个元素。
于是。
进而Z,。
最后，Z，，。
这就证明了Q。
证毕。
集合的运算，集合的映射（像与原像、单射、满射、双射）的概念定义(集合的交、并、差) 设是集合，与的公共元素所组成的集合成为与的交集，记作；把和B中的元素合并在一起组成的集合成为与的并集，记做；从集合中去掉属于的那些元素之后剩下的元素组成的集合成为与B的差集，记做。
定义（集合的映射）设、为集合。
如果存在法则，使得中任意元素在法则下对应中唯一确定的元素（记做），则称是到的一个映射，记为如果，则称为在下的像，称为在下的原像。
的所有元素在下的像构成的的子集称为在下的像，记做，即。
若都有则称为单射。
若都存在，使得，则称为满射。
如果既是单射又是满射，则称为双射，或称一一对应。
1.1.4 求和号与求积号1．求和号与乘积号的定义. 为了把加法和乘法表达得更简练，我们引进求和号和乘积号。
高等代数【北大版】课件
多项式的因式分解与根的性质
总结词
多项式的因式分解、根的性质和求解方 法
VS
详细描述
多项式的因式分解是将多项式表示为若干 个线性因子乘积的过程。通过因式分解， 可以更好地理解多项式的结构，简化计算 和证明。此外，多项式的根是指满足多项 式等于0的数。根的性质包括根的和与积、 重根的性质等。求解多项式的根的方法有 多种，如求根公式、因式分解法等。
性方
02
线性方程组的解法
高斯消元法 通过行变换将增广矩阵化为阶梯形矩 阵，从而求解线性方程组。
选主元高斯消元法
选择主元以避免出现除数为0的情况， 提高算法的稳定性。
追赶法
适用于系数矩阵为三对角线矩阵的情 况，通过逐步消去法求解。
迭代法
通过迭代逐步逼近方程组的解，常用 的方法有雅可比迭代法和SOR方法。
向量空间的子空间与基底
总结词
子空间与基底
详细描述
子空间是向量空间的一个非空子集，它也满足向量空间的定义和性质。基底是 向量空间中一个线性独立的集合，它可以用来表示向量空间中的任意元素。基 底中的向量个数称为向量空间的维数。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
向量空间的维数与基底的关系
总结词
维数与基底的关系
详细描述
向量空间的维数与基底密切相关。一个向量空间的维数等于其基底的向量个数。 如果一个向量空间有n个基底，则它的维数为n。同时，如果一个向量空间有有限 个基底，则它的维数是有限的。
行列式
06
行列式的定义与性质
总结词
行列式的定义和性质是高等代数中的 基础概念，包括代数余子式、余子式、 转置行列式等。
详细描述
行列式是由n阶方阵的n!项组成的代数 式，按照一定规则排列，具有一些重 要的性质，如交换律、结合律、代数 余子式等。这些性质在后续章节中有 着广泛的应用。
高等代数北大版课后答案完整版
高等代数（北大高等代数（北大**第三版）答案第一章多项式1．用)(x g 除)(x f ，求商)(x q 与余式)(x r ：1）123)(,13)(223+−=−−−=x x x g x x x x f ；2）2)(,52)(24+−=+−=x x x g x x x f 。
解1）由带余除法，可得92926)(,9731)(−−=−=x x r x x q ；2）同理可得75)(,1)(2+−=−+=x x r x x x q 。
2．q p m ,,适合什么条件时，有1）q px x mx x ++−+32|1，2）q px x mx x ++++242|1。
解1）由假设，所得余式为0，即0)()1(2=−+++m q x m p ，所以当⎩⎨⎧=−=++012m q m p 时有q px x mx x ++−+32|1。
2）类似可得⎩⎨⎧=−−+=−−010)2(22m p q m p m ，于是当0=m 时，代入（2）可得1+=q p ；而当022=−−m p 时，代入（2）可得1=q 。
综上所诉，当⎩⎨⎧+==1q p m 或⎩⎨⎧=+=212m p q 时，皆有q px x mx x ++++242|1。
3．求()g x 除()f x 的商()q x 与余式：1）53()258,()3f x x x x g x x =−−=+；2）32(),()12f x x x x g x x i =−−=−+。
解1）432()261339109()327q x x x x x r x =−+−+=−；2）2()2(52)()98q x x ix i r x i=−−+=−+。
4．把()f x 表示成0x x −的方幂和，即表成2010200()()...()n n c c x x c x x c x x +−+−++−+⋯的形式：1）50(),1f x x x ==；2）420()23,2f x x x x =−+=−；3）4320()2(1)37,f x x ix i x x i x i =+−+−++=−。
高等代数课件(北大三版)--第二章--多项式
定义 1
令f x 和 gx是F [x]的两个多项式，若是F [x]的一 个多项式 hx同时整除 f x和 gx ，那么hx 叫做
f x与 gx的一个公因式.
定义 2
设dx是多项式 f x 与 gx的一个公因式.若是 dx 能被 f x 与 gx的每一个公因式整除,那么 dx叫做 f x与gx的一个最大公因式.
（3）乘法交换律: f xgx gx f x （4）乘法结合律: f xgxhx f xgxhx
（5）乘法对加法的分配律: f xgx hx f xgx f xhx
注意：要把一个多项式按“降幂”书写
an x n an1x n1 a1x a0 当 an 0 时，an xn叫做多项式的首项.
那么由上面定理的证明得 f xgx 0
推论2 f xgx f xhx, f x 0 gx hx
证 由 f xgx f xhx得 f xgx hx 。但 f x 0
所以由推论1必有 gx hx 0 ,即
gx hx
惠州学院数学系
例 当 a,b, c 是什么数时，多项式
f x ax3 bx2 c b x3 x2
这里当m < n 时，bm1 bn 0
惠州学院数学系
多项式的乘法
给定数环R上两个多项式
f x a0 a1x a2 x2 an xn gx b0 b1x b2 x2 bm xm
f (x) 和g (x) 的乘法定义为
f xgx c0 c1x c2 x2 cnn xnm
2.1.1 认识多项式
多项式
令R是一个含有数1的数环.R上一个文字x的多项式或
一元多项式指的是形式表达式
a0 a1x a2 x2 an xn
高等代数课件(北大三版)--第二章--多项式
2.2.4 系数所在范围对整除性旳影响
二、教学目旳
1．掌握一元多项式整除旳概念及其性质。
2．熟练利用带余除法。
三、要点、难点
多项式旳整除概念，带余除法定理
2.2.1 多项式旳整除概念
设F是一种数域. F [x]是F上一元多项式环.
2.2.2 多项式整除性旳某些基本性质
证 设f (x) = g (x) 那么它们有完全相同旳项, 因而对R旳任何c都有f (c) = g (c)这就是说, f (x) 和g (x)所拟定旳函数相等.反过来设f (x) 和g (x)所拟定旳函数相等.令 u (x) = f (x) – g (x)那么对R旳任何c都有u (c) = f (c) – g (c) = 0这就是说, R中旳每一种数都是多项式u (x)旳根. 但R有无穷多种数, 所以u (x)有无穷多种根.根据定理2.6.3只有零多项式才有这个性质.所以有 u (x) = f (x) – g (x) = 0 , f (x) = g (x) .
f (c)与它相应. 于是就得到R到R旳一种映射. 这个映射是由多项式f (x)所拟定旳,叫做R上一种多项式函数.
综合除法
由此得出
表中旳加号一般略去不写.
例1
用x + 3除
作综合除法:
所以商式是
而余式是
证
假如f (x)是零次多项式,那么f (x)是R中一种不等于零旳数, 所以没有根. 所以定理对于n = 0成立.于是我们能够对n作数学归纳法来证明这一定理.设c∈R是f (x)旳一种根.那么 f (x) = (x – c) g (x)这里g (x) ∈R [x]是一种n – 1次多项式.假如d∈R是f (x)另一种根, d≠c那么 0 = f (d) = (d – c) g (d)因为d – c≠0 , 所以g (d) = 0. 因为g (x)旳次数是 n – 1 ,由归纳法假设, g (x)在R内至多有n – 1个不同旳根.所以f (x)在R中至多有n个不同旳根.
完整word高等代数北大版第8章习题参考答案
222第八章 —矩阵13221)o2)253123)0 04)20( 1)22322 3 21 22 35)4235 32234242123 0 143602 26)62 01 010 033 122解 1)对矩阵作初等变换 , 有A ( ) 3 22325 3 2 5 3 23221. 化下列矩阵成标准形0 0 3 10 2 3= B( ) 0 0 ( 1)2 03-10 2 -320 020 0 02)对 矩阵作初等变换 , 有2 21 0 01212A ( )2 2 2 220 0 ( 1)1 2 2 212B ( ) 即为所求。
10 0 00= B ( ) ，B ( ) 即为所求。
20 03）因为的行列式因子为0 ( 1)1 2D 1 =1,D 2 = ( 1),D 3 =2(1)3，所以d 1 : =1,d D 2 2 ==(1),d 3 =:D3=(1)2，D 1D 2从而20 01 0A ( )( 1)0 =B ()，0 (1)2(1)2B (）即为所求。
0 0224）因为的:列式因子为(1)20 020 0D 1 =1,D 2 =(1), D 3=2( 1)2, D 4 = 4(1)4，所以1 0 0 0(1) 0 0 0 0 ( -1) 0 0 0 0 2( -1)2B （）即为所求。
5）对矩阵作初等变换，有d 2 = DD i1), dD D 21)，d4 =D2( 1)2从而0 02A ()(1)2 0220 0 0B (),32 2 4 5 01001320 010 01=B ( ) ，1B ( ) 即为所求。
6)对矩阵作初等变换 , 有3 23 2 A ( )423 53243222 1 4 23 3 22 22427621 2 2 32 234 212 213232 2 4 5 0 10 01A ( )1 223210010 01 0000010 0 0 2 20 0 2 01 0 1 0 00 1 0 0 0 30 0 0 10 0 0 00 0 2 01 0 0 0 00 1 0 0 00 0 0 10 0 0 0 20 0 0 01 0 0 0 00 1 0 0 00 0 0 1 00 0 0 0 20 0 0 01 0 0 0 00 1 0 0 01 0 0 0 00 2 0 0 00 0 0 0 ,0 0 0 1 00 0 0 0 1在最后一个行列式中D 3 =1, D 4 = ( 1), D 5 = 3( 1)2，所以d 1 =d 2 =d 3 =1, d 4: —D4 =( 1), d 5 = D5 = 2( 1) OD3 D4故所求标准形为1 0 0 0 00 1 0 0 0B()= 0 0 1 0 0 00 0 0 (1) 00 0 0 0 2( 1)2.求下列矩阵的不变因子1 0 02 1 00 1 01) 0 2 1 2 )0 0 10 0 25 4 3 2D 1 =1, D 2 =1, D 3 = (2)',故该矩阵的不变因子为D3 = =D 2 =D 1 =1,D 4 = 42 3 3 245，故矩阵的不变因子为d 1 = :d 2 =d 3 =1,d 4 = 42 3 3 24503)当0时，有D 4 =1 1= (2 22 )2 2,且在矩阵中有一个 、三阶子式11 00 1 =2 ()于是由2 (),D 3=1可得D 3 = 1,故该矩阵的不变因子为d 1 =d 2 =d 3 =1,d 4 = ()222当0时，由D 1=1, D 2 =1, D 3 =( )2, D 4= ()4 ,2)因为所给矩阵的右上角的三阶子式为-1,所以其行列式因子为113)10 0 00 2 0 05)0 0 1 020 0 100 1 2 0 4)1 2 0 02 0 0 01,所以其行列式因子为d 1 =d 2 =1,3d 3 =( 2) o解1)所给矩阵的右上角的二阶子式为从而d i =d 2 =1, d 3 = ( )2, d 4 = D 4 = ( )2。
北大高代(第3版)1.01
ac − 2 bd ad − bc , 2 2 2 a − 2b a − 2b 2
对除法封闭. 也是有理数. 也是有理数. 这就证明了Q ( 2 ) 对除法封闭 故 Q( 2) = a + b 2 a , b ∈ Q
{
}
是数域。 是数域。
例 2 所有可以表成形式
a 0 + a1 π + L + a n π m b 0 + b1 π + L + b n π
( i = 0, 1, … , n; j = 0 , 1 , … , m)是整数 是整数. 是整数
n
的数组成一数域， 为任意非负整数， 的数组成一数域，其中 n,m为任意非负整数，ai , bj 为任意非负整数
j
பைடு நூலகம்
可知， 可知 x y ∈ Z (π ) 若 x≠0
从而
则分子 a0 + a1π + a2π +L+ anπ ≠ 0
2 n
b0 + b1π + b2π + L + bmπ x = 2 n a0 + a1π + a2π + L + anπ
−1 2 m
有意义， 有意义，那么
y = yx − 1 ∈ Z (π ) x
证
显然0， 属于此集合 属于此集合. 显然 ，1属于此集合. 该数集对于加法和减法来说，易知是封闭的 该数集对于加法和减法来说，易知是封闭的. 我们下证该数集对于乘法和除法也是封闭的. 我们下证该数集对于乘法和除法也是封闭的
∀x, y ∈ Z (π )
a0 + a1π + a2π + L + anπ x= m 2 b0 + b1π + b2π + L + bmπ
北大版高中英语必修三知识点
北大版高中英语必修三知识点人生要敢于挑战，经受得起挑战的人才能够领悟人生非凡的真谛，才能够实现自我的超越，才能够创造魅力永恒的价值。
下面小编给大家分享一些北大版高中英语必修三知识点，希望能够帮助大家，欢迎阅读!北大版高中英语必修三知识1【重点词汇、短语】1. take place 发生2. religious 宗教的3. in memory of 纪念4. belief 信任，信心，信仰5. dress up 盛装，打扮6. trick 诡计，窍门7. play a trick on 搞恶作剧，诈骗8. gain 获得9. gather 搜集，集合10. award 奖品，授予11. admire 赞美，钦佩12. look forward to 期望，盼望13. day and night 日夜14. as though 好像15. have fun with 玩的开心16. permission 许可，允许17. turn up 出现，到场18. keep one’s word 守信用19. hold one’s breath 屏息20. apologize 道歉21. obvious 显然的22. set off 出发，动身，使爆炸【重点句型】1. Please make sure when and where the accidenttook place.请查清楚事故是何时何地发生的。
2. Some festival are held to honour the dead,or satisfy and please the ancestors, who could return either to help or to doharm.还有一些节日，是为了纪念死者、满足或取悦祖先，因为(祖先们)有可能回到世上帮助他们，也有可能带来危害。
3. In Japan the festival is called Obon，when people should goto clean the graves and light incense in memory of their ancestors.(非限制性定语从句)在日本，这个节叫孟兰盆节，在这个节日里，人们要上坟、扫墓、烧香，以缅怀祖先。
用微分法计算行列式
解令 ，则
.
对 求关于 的不定积分得， （其中 为积分常数）.
当 时，行列式的前两列相同，由行列式的性质4得： ，
故 .
例2计算行列式 .
解用 代替 ，则行列式变为 ，令 ，对 求关于 的导数得
对 求关于 的不定积分得， （其中 为积分常数）.
当 时， ，从而 ，故 .
把 代入 中得，
当 时,
所以
故
.
3.2 用偏微分方程求解行列式
例5用偏微分方程求范德蒙德（Vandermonde）行列式.
解设 ，把范德蒙德行列式 看作关于 ， ，…， 的函数，对 求关于 ， ，…， 的偏导数得
……………………
然后，对 ， ，…， 求和得
从而有特征方程
可以求得它的首次积分
当 ，根据行列式的性质4知，行列式 ，
3.3 用积分法求解行列式
例7求 阶行列式 的值.
解把把 看作行列式 的自变量，有
再对 求关于变量 导数
.
例8求 阶（设 为偶数）行列式 的值.
解把 看做一个 解行列式的积分
特别地，取 ，这就是参考材料 的例4，做变换： ，由于 为偶数，
故
.
注：例7、例8是积分在有关行列式问题上的应用.可以看出,通过对一类含有参数的行列式求积分,转化为特殊行列式,再利用导数对结果进行处理,达到了解决问题的目的.
以上是我们给出了用分析法求解行列式的方法包括用常微分方程计算行列式、用偏微分方程计算行列式、用积分法计算行列式，可以看到这些解法独特、新颖，这实际上是用分析方法解决高代问题思想的一次尝试.高阶行列式的计算方法灵活多样，在化简时，必须根据行列式的特点，采用适当的次序和步骤来进行，才能快速、准确的计算行列式的值.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
λE - A = U(λ) ( λE - B ) V(λ)
成立. 成立 由 引理 2 存在 λ - 矩阵 Q(λ) 和 R(λ)
推论 矩阵 A 与 B 相似的充分必要条件是它
们有相同的不变因子. 们有相同的不变因子. 应该指出 n × n 矩阵的特征矩阵的秩一定是 n. 因此， 因此，n × n 矩阵的不变因子总是有 n 个，并且它 们的乘积就等于这个矩阵的特征多项式. 们的乘积就等于这个矩阵的特征多项式
以上结果说明，不变因子是矩阵的相似不变量 以上结果说明，不变因子是矩阵的相似不变量, 因此我们可以把一个线性变换的任一矩阵的不变因 它们与该矩阵的选取无关)定义为此线性变换的 子(它们与该矩阵的选取无关 定义为此线性变换的 它们与该矩阵的选取无关 不变因子. 不变因子
(4)
以及数字矩阵 U0 和 V0 使 U(λ) = ( λE - A ) Q(λ) + U0 ， V(λ) = R(λ) ( λE - A ) + V0 ， 成立. 成立 把 (5) (6)
λE - A = U(λ) ( λE - B ) V(λ)
改写成 U-1(λ)(λE - A)= ( λE - B ) V(λ) ， 代入，再移项， 式中的 V(λ) 用 (6) 代入，再移项，得
要想使等式 U(λ) = ( λE - A ) Q(λ) + U0 成立， 成立，只需取 Q0 = D0 ， Q1 = D1 + AQ0 ， Q2 = D2 + AQ1 ， ………… Qk = Dk + AQk-1 ， ………… Qm-1 = Dm-1 + AQm-2 ， U0 = Dm + AQm-1 .
第四节
矩阵相似的条件
主要内容引理Fra bibliotek矩阵相似的条件
一、引理
在求一个数字矩阵 A 的特征值和特征向量时曾 的特征矩阵. 出现过 λ - 矩阵 λE - A，我们称它为 A 的特征矩阵 ， 这一节的主要结果是证明两个 n × n 数字矩阵 A 和 B 相似的充分必要条件是它们的特征矩阵 λE - A 等价. 为了证明这一结论， 和 λE - B 等价 为了证明这一结论，先来证明下面 两个引理. 两个引理
由 T = U-1(λ) - (λE - B) R(λ)， ， 得 E = U(λ)T + U(λ) (λE - B) R(λ) = U(λ)T + (λE - A) V-1(λ) R(λ) (由(4) 由 =[(λE - A) Q(λ) + U0]T + (λE - A) V-1(λ) R(λ) (由(5) 由 ) )
证明 把 U(λ) 改写成
U(λ) = D0λm + D1λm -1 + … + Dm -1λ + Dm . 数字矩阵， 这里 D0 , D1 , … , Dm 都是 n × n 数字矩阵，而且
， D0 ≠ 0 . 如 m = 0，则令 Q(λ) = 0 及 U0 = D0 ，它 要求. 们显然满足引理 2 要求 设 m > 0，令 ， Q(λ) = Q0λm -1 + Q1λm -2 + … + Qm -2λ + Qm -1 . 都是待定的数字矩阵. 这里 Qj 都是待定的数字矩阵 于是 ( λE - A ) Q(λ) = Q0λm + (Q1 - AQ0)λm -1 + ... + (Qk - AQk-1)λm -k + ... + (Qm -1 - AQm -2)λ - AQm - 1 .
= U0T + (λE - A) [Q(λ) T + V-1(λ) R(λ)] . 等式右端的第二项必须为零， 等式右端的第二项必须为零，否则它的次数至少
都是数字矩阵， 是 1，由于 E 和 U0T 都是数字矩阵，等式不可能成 ， 立. 因此 E = U0T . 这就是说， 是可逆的. 这就是说，T. 是可逆的 由 (7) 的第二式得
λE - A = T-1(λE - B )V0 .
再由 引理 1 相似. 知，A 与 B 相似
证毕
矩阵 A 的特征矩阵 λE - A 的不变因子以后就 的不变因子. 简称为 A 的不变因子 因为两个 λ - 矩阵等价的充 分必要条件是它们有相同的不变因子， 分必要条件是它们有相同的不变因子，所以由定理 7 即得
引理 1 如果有 n × n 数字矩阵 P0 , Q0 使
λE - A = P0( λE - B ) Q0 ，
则 A 与 B 相似. 相似. (1)
证明 因 P0( λE - B ) Q0 = λP0Q0 - P0BQ0 ，
它又与 λE - A 相等，进行比较后应有 相等， P0Q0 = E， P0BQ0 = A . ， 由此 Q0 = P0-1，而 A = P0BP0-1 . 相似. 故 A 与 B 相似
[U-1(λ) - (λE - B) R(λ)] (λE - A) = (λE - B) V0 . 右端次数等于 1 或 V0 = O，因此 ， U-1(λ) - (λE - B) R(λ) 是一个数字矩阵(后一种情况下应是零矩阵 ， 是一个数字矩阵 后一种情况下应是零矩阵)，记作 后一种情况下应是零矩阵 T，即 ， T = U-1(λ) - (λE - B) R(λ)， ， T (λE - A) = (λE - B) V0 . 是可逆的. 现在我们来证明 T 是可逆的 (7)
就行了. 就行了 用完全相同的办法可以求得 R(λ) 和 V0 .
证毕
二、矩阵相似的条件
定理 7 设 A, B 是数域 P 上两个 n × n 矩阵. 矩阵.
A 与 B 相似的充分必要条件是它们的特征矩阵
λE - A 和 λE - B 等价. 等价.
证明 由 定理 6 的推论
可知 λE - A 与
引理 2 对于任何不为零的 n × n 数字矩阵 A
和 λ - 矩阵 U(λ) 与 V(λ) ，一定存在 λ - 矩阵 Q(λ) 与 R(λ) 以及数字矩阵 U0 和 V0 使 U(λ) = ( λE - A ) Q(λ) + U0 ， V(λ) = R(λ) ( λE - A ) + V0 ， (2) (3)
λE - B 等价就是有可逆的 λ - 矩阵 U(λ) 和 V(λ) 使 λE - A = U(λ) ( λE - B ) V(λ) .
(4)
先证必要性 先证必要性 设 A 与 B 相似，即有可逆矩阵 T 相似， 使 于是 A = T-1BT .
λE - A = λE - T-1BT = T-1 (λE - B ) T ，