福建省莆田一中2015届高三下学期考前模拟考试卷数学(文)
福建省福州第一中学2015届高三下学期考前模拟文科数学试卷及答案
福州第一中学2015届高三下学期考前模拟数 学（文科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分,考试时间120分钟. 第Ⅰ卷 (选择题共60分)一.选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中,只 有一项符合题目要求的.1．复数i i -+1)1(2等于( )A ．i +-1B ．i +1C ．i -1D ．i --12．若集合12{|,01}A y y x x ==<≤，1{|2,01}B y y x x==-<≤，则A B 等于( ) A . (],1-∞ B . (]0,1 C . φ D . {1}3. 阅读右面的程序框图，若输出的12y =，则输入的x 的值可能为 ( )A ．1-B ．0C ． 1D ．5 4. 给出两个命题:命题:p 不等式0απ<<成立是不等式sin 0α>成立 的必要不充分条件；命题q：函数)2log y x =是奇函数.则下列命题是真命题的是( ) A . p q ∧B . p q ∨⌝ C. p q ∨ D . p q ∧⌝5. 已知抛物线24y x =的焦点为F ，P 为抛物线上一点，过P 作y 轴的垂线， 垂足为M ，若||4,PF = 则PFM ∆的面积为（ ） A. B. C . 6 D .8 6．等比数列{}n a 中12a =，公比2q =-，记12n n a a a ∏=⨯⨯⨯（即n ∏表示数列{}n a的前n 项之积），则891011,,,∏∏∏∏中值最大的是（ ） A ．8∏B ．9∏C ．10∏D ．11∏7．在同一个坐标系中画出函数xa y =，ax y sin =的部分图象，其中0>a 且1≠a ，则下 列所给图象中可能正确的是 ( )A B C D8．已知a ＞0，x ，y 满足约束条件13(3)x x y y a x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，且2z x y =+的最小值为1，则a ＝( )A ．1B ．2C ．14D ．129. 已知ABC ∆外接圆的半径为1，圆心为O ，且2,3AB AC AO AB OA +==，则 CA CB ⋅的值是( )A ．3 BC D ．1 10. 已知1(1)1x f x x e ++=-+，则函数()f x 在点(0,(0))f 处的切线l 与坐标轴围成的三角形面积为 ( )A ．14B ．12 C ． 1 D ． 2 11. 已知()sin(2015)cos(2015)63f x x x ππ=++-的最大值为A ，若存在实数12,x x ,使得对任意实数x 总有12()()()f x f x f x ≤≤成立，则12A x x -的最小值为 ( ) A ．2015π B ．22015π C ．42015π D ．4030π12．对于函数()f x ，若存在区间][n m A ，=，使得{}A A x x f y y =∈=，)(|，则称函数()f x 为“可等域函数”，区间A 为函数()f x 的一个“可等域区间”．下列函数中存在唯一“可等域区间”的“可等域函数”为 ( )A ．()ln f x x =B ．12)(2－x x f = C ．()21x f x =+D ．()sin()2f x x π= 第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二.填空题:本大题共4小题，每小题4分，把答案填在题中的横线上.1A 13．已知实数n m ,满足,1,0-=+>⋅n m n m 则nm 11+的最大值 为 ．14. 某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为半径为2的 四分之一个圆弧，则该几何体的体积为 ．15．对大于1的自然数m 的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”： 3331373152,39,4, (5171119)⎧⎧⎪⎧⎪⎪⎨⎨⎨⎩⎪⎪⎩⎪⎩ 仿此，若3m 的“分裂”数中有一个是73， 则m 的值为 ________ .16. 巳知函数'(),'()f x g x 分别是二次函数()f x 和三次函数()g x 的导函数， 它们在同一坐标系内的图象如右图所示.三.解答题:本大题共6小题，共74分，解答应写出必要的文字说明.证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）2015年“五一”期间，高速公路车辆较多。
福建省福州一中2015届高考模拟考文科数学试卷
福州一中2015届高考模拟考试卷数 学（文科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分,考试时间120分钟. 第Ⅰ卷 (选择题共60分)一.选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中,只 有一项符合题目要求的.1．复数i i -+1)1(2等于( )A ．i +-1B ．i +12．若集合12{|,01}A y y x x ==<≤，{B y =A B 等于( A . (],1-∞ B . (]0,1 3. 阅读右面的程序框图，若输出的12y = A ．1- B ．0 4. 给出两个命题:命题:p 不等式0απ<< 25. P 作y 轴的垂线， ） C . 6 D .8 6．12n n a a a ∏=⨯⨯⨯（即n ∏表示数列{}n a的） A ．8∏B ．9∏C ．10∏D ．11∏7．在同一个坐标系中画出函数xa y =，ax y sin =的部分图象，其中0>a 且1≠a ，则下 列所给图象中可能正确的是 ( )A B C Dy =8．已知a ＞0，x ，y 满足约束条件13(3)x x y y a x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，且2z x y =+的最小值为1，则a ＝( )A ．1B ．2C ．14D ．129. 已知ABC ∆外接圆的半径为1，圆心为O ，且2,3AB AC AO AB OA +==，则 CA CB ⋅的值是 ( )A ．3B 10. 已知1(1)1x f x x e ++=-+，则函数()f x形面积为 ( )A ．14B ．12 11. 已知()sin(2015)cos(20156f x x x π=++对任意实数x 总有12()()()f x f x f x ≤≤．42015π D ．4030π12]n ，使得{}A A x x f y y =∈=，)(|，则称函()f x 的一个“可等域区间”．下列函数中存在 ( )C ．()21x f x =+D ．()sin()2f x x π= 共90分)二.. 13．已知实数n m ,满足,1,0-=+>⋅n m n m 则nm 11+的最大值 为 ．14. 某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为半径为2的 四分之一个圆弧，则该几何体的体积为 ．15．对大于1的自然数m 的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：1A3331373152,39,4,...5171119⎧⎧⎪⎧⎪⎪⎨⎨⎨⎩⎪⎪⎩⎪⎩仿此，若3m的“分裂”数中有一个是73，则m的值为________ .16. 巳知函数'(),'()f xg x分别是二次函数()f x和三次函数()g x的导函数，它们在同一坐标系内的图象如右图所示.②设函数()()()h x f x g x=-，则(1),(0),(1)h h h-的大小关系为．(用“<”连接）三.解答题:本大题共6小题，共74分，解答应写出必要的文字说明.证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）2015年“五一”期间，高速公路车辆较多。
福建省莆田一中2015届高三第三次月考数学试卷(文)及答案
x2 1 时，
14．设函数 f (x)
x2 4x 6 ( x 0) ，则不等式 f (x)
x6
( x 0)
f (1) 的解集是 _______________.
15 ． 在 △ ABC 中 ， 内 角 A, B, C 的 对 边 分 别 为 a, b,c ， b 1
sin C
已知，且
ac
sin A sin B
T4
12 13 14
23 24 34
12 [10
2
(1
2
2
2
3
2
4 )]
35 ；
2
T5 1 2 1 3 1 4 1 5
3 5 4 5 1 [152 (12 2 2 32 42 52 )] 85 2
则 T7 ________．（写出计算结果）
三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
m 的取值范围；
1 x2 2
bx ，设 x1, x2( x1
x2) 是函数 g( x) 的两个极值点，若
b
3
，且
2
g (x1) g (x2 ) k 恒成立，求实数 k 的最大值．
莆田一中 2014-2015 学年度高三第三次月考试卷
科目
数学（文 ）参考答案
1． C2． B3 ．B4． B5． D6． A7． D8． B9．A10． B11． A12． C
13． y 5x 2 或( 5x y 2 0 ) . 14． ( 3,1) U (3, ) 15． 15 3
16．试题分析：由 T3 ,T4 , T5 归纳得出 Tn
1 [(1 2
2
n )2 (12 22
福建省莆田一中2015届高三下学期考前模拟考试卷文综
福建省莆田一中2015届高三下学期考前模拟考试卷文综25．杭州生产、出口日本、跨洋疯购到卖断货的智能马桶盖回中国，这“一只马桶盖的自由行”经历，是今年春节多达45万中国游客赴日消费近60亿人民币的一个缩影。
由此可见①未来收入预期促使中国人海外消费量大增②经济稳定发展使享受资料消费正成为主流③盲目从众不可取，应树立理智的消费观④中国制造需转型，应积极培育民族品牌A．①② B．①③ C．②④ D．③④26．中国人民银行１０日宣布，自２０１５年５月１１日起下调金融机构人民币贷款和存款基准利率。
金融机构一年期贷款基准利率下调０．２５个百分点至５．１％；一年期存款基准利率下调０．２５个百分点至２．２５％。
这是今年以来央行第二次降息。
央行表示，此次进一步下调存贷款基准利率，重点就是要继续发挥好基准利率的引导作用.这一举措①进一步推动社会融资成本下行，支持实体经济持续健康发展。
②影响商业银行吸收存款的主体业务，加剧银行竞争③使市场在资源配置中的决定性作用进一步得以发挥④通过调整财政政策有利于实现国民经济的平稳运行A．①③ B．③④ C．②④ D．①②27．李克强总理强调：要借改革创新的“东风”，推动中国经济科学发展，在960万平方公里土地上掀起“大众创业”、“草根创业”的新浪潮，形成“万众创新”、“人人创新”的新态势。
这需要劳动者A．放宽市场准入，畅通创业融资B．完善激励机制，发扬创业精神C．降低创业门槛，制定正确战略D．转变就业观念，提高创业能力28．右图漫画《目光》说明A．意识能创造一个理想的或幻想的世界B．充分发挥主观能动性是成功的前提C．砥砺自我是实现人生价值的关键D．人的认识活动离不开意识的自觉选择性29．3名日本科学家因发现新型节能光源，而获得2014年诺贝尔物理学奖。
这项发明已经过十多年的检验，广泛应用于生活，至少15亿人因此受益。
下列与之蕴涵哲理相一致的选项是①“精通的目的全在于应用”（毛泽东语）②“人的正确思想，只能从社会实践中来”（毛泽东语）③“世界不会满足人，人决心以自己的行动来改变世界”（列宁语）④“社会一旦有技术的需要，则这种需要就会比十所大学更能把科学推向前进”（恩格斯语）A．①② B．③④ C．①③ D．②④30．一年多来，我国在价格改革上取得不小进展，但是，从与市场决定价格形成的目标和客观要求上看，不少领域和环节上的价格改革还亟待理顺。
2015届高三质检试卷数学(文) Word版含答案
2015年永安市普通高中毕业班质量检查文 科 数 学本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）．本试卷共6页．满分150分．考试时间120分钟． 注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内 作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效．3．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标记； 非选择题答案使用0．5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔 迹清楚．4．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 参考公式：样本数据12,x x ，…，n x 的标准差 锥体体积公式s = 13V Sh =其中x -为样本平均数 其中S 为底面面积，h 为高 柱体体积公式 球的表面积、体积公式V Sh = 2344,3S R V R ==ππ其中S 为底面面积，h 为高 其中R 为球的半径第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若i 为虚数单位，则复数()2i i -=等于( )(A)2i - (B)12i -+ (C)2i + (D)12i + 2．已知命题p ：x ∀∈R ，sin 1x ≤，则p ⌝为( )(A)x ∀∈R ，sin 1x ≥ (B)x ∀∈R , sin 1x > (C)0x ∃∈R , 0sin 1x ≥ (D)0x ∃∈R ，0sin 1x >3．设集合{}2log P x y x ==， {}3Q y y x ==，则P Q ⋂等于( )(A)R (B)[)∞+0 (C)()+∞,0 (D)[)+∞,1 4．已知直线1l :11y k x =+和直线2l ：2y k x b =+，则“12k k =”是“12//l l ”的( )(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 5．将sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象向右平移12π个单位，所得函数图象的一条对称轴的方程是( ) (A)12x π=(B)6x π=(C)3x π=(D)12x π=-6．如右图，在ABC ∆中，已知3BC DC =，则AD 等于( )(A)1233AB AC + (B) 1233AB AC -(C) 2133AB AC + (D)2133AB AC - 7．执行右边的程序框图，则输出的结果是( )(A)73 (B)94 (C)115 (D)1368．设l ，m ，n 为不同的直线，α，β为不同的平面，则正确的是( ) (A)若αβ⊥，l α⊥，则//l β (B)若αβ⊥，l α⊂，则l β⊥ (C)若l m ⊥，m n ⊥，则//l n(D)若m α⊥，//n β且//αβ，则m n ⊥9．已知椭圆C ：22221x y a b +=(0)a b >>的左、右焦点分别为1F 、2F ，离心率为3，过2F 的直线l 交C 于A 、B 两点，若1AF B ∆的周长为12，则C 的方程为( )(A)22132x y += (B)2213x y += (C)221128x y += (D)22196x y += 10．函数1sin y x x=-的图象大致是( )11．已知函数()()32212015,3f x x ax b x a b R =+++∈，若从区间[]1,3中任取的一个数a ，从区间[]0,2中任取的一个数b ，则该函数有两个极值点的概率为( )(A)18 (B)34 (C)78 (D)8912．对于函数()y f x =（x D ∈），若存在常数c ，对于任意的1x D ∈，存在唯一的2x D ∈，使得()()122f x f x c +=，则称函数()f x 在D 上的算术平均数为c ．已知函数()f x = ln x ，[]2,8x ∈，则()f x 在[]2,8上的算术平均数为( )(A)ln 2 (B)ln 4 (C)ln5 (D)ln8第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡相应位置． 13．为了了解某市高三学生的身体发育情况，抽测了该市50名高三男生的体重（kg ），数据得到的频率分布直方图如右图．根据右图可知这50名男生中体重在[]56.5,60.5的人数是 ．14．若函数()()220()0x ax x f x x x x ⎧+<⎪=⎨-+≥⎪⎩是奇函数，则实数=a ． 15．在钝角ABC ∆中，||BC =||cos =||cos AC B BC A ，则AC = ．16．已知甲、乙、丙、丁四位同学，在某个时段内每人互不重复地从语文、数学、英语、文综这四个科目中选择一科进行复习．现有下面五种均为正确的说法：A ．甲不在复习语文 ，也不在复习数学；B ．乙不在复习英语 ，也不在复习语文；C ．丙不在复习文综 ，也不在复习英语；D ．丁不在复习数学 ，也不在复习语文；E ．如果甲不在复习英语，那么丙不在复习语文． 根据以上信息，某同学判断如下：①甲在复习英语 ②乙在复习文综 ③丙在复习数学 ④丁在复习英语 则上述所有判断正确的序号是 ．三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 为等差数列，49a =，且8222a a +=．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项；（Ⅱ）若点(),n n n A a b 在函数3x y =的图像上，求数列{}n b 的前n 项和n S .18．（本小题满分12分）下列两图（图中点与年份对应）分别表示的是某市从2003年到2015年的人均生活用水量和常住人口的情况：y（Ⅰ）若从2003年到2015年中随机选择连续的三年进行观察，求所选的这三年的人均用水量恰好依次递减的概率；（Ⅱ）由图判断，从哪年开始连续四年的常住人口的方差最大？并结合两幅图表推断该市在2012年到2015年这四年间的总生活用水量．．．．．．的增减情况．（结论不要求证明）19．（本小题满分12分）如图，在三棱锥P ABC-中，PA⊥平面ABC，AC BC⊥，D为侧棱PC上一点，它的正（主）视图和侧（左）视图如图所示．（Ⅰ）证明：AD⊥平面PBC；（Ⅱ）求三棱锥D ABC-的体积．20．（本小题满分12分）如图，A是单位圆与x轴正半轴的交点，点P、B在单位圆上，设AOPθ∠=，AOBα∠=，且OQ OA OP=+．（Ⅰ）记四边形OAQP的面积为S，当0θπ<<时，求OA OQ S+的最大值及此时θ的值；（Ⅱ）若2παk≠，()k k Zθπ≠∈，且OB∥OQ，求证：tan tan2θα=．侧（左）视图正（主）视图PDCBA22x21．（本小题满分12分）设抛物线Γ：22(0)x py p =>的准线被圆O ：224x y +=（Ⅰ）求抛物线Γ的方程；（Ⅱ）设点F 是抛物线Γ的焦点，N 为抛物线Γ上的一动点，过N 作抛物线Γ的切线交圆O 于P 、Q 两点，求FPQ ∆面积的最大值.22．（本小题满分14分） 已知函数1()ln ()f x a x a R x=+∈. （Ⅰ）当2a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）是否存在实数a ，使得函数()()2g x f x x =-在(0,)+∞上单调递减？ 若存在， 求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由； （Ⅲ）当0a >时，讨论函数()y f x =零点的个数．2015年永安市普通高中毕业班质量检查 文科数学试题参考答案及评分标准一、选择题1. D2. D 3．C 4．B 5．D 6．A 7.B 8. D 9.D 10．A 11.C 12.B 二、填空题① 三、解答题17.解：（Ⅰ）法一：设{}n a 的公差为d ，则4139a a d =+=，11722a d a d +++= 解得13a =，d 2= ………………4分所以12+=n a n ………………6分法二：由2822a a +=得511a = ………………2分又49a =所以{}n a 的公差为d ＝54a a -＝２ ………………4分 所以4(4)21n a a n d n =+-=+ ………………6分（Ⅱ）由点(),n n n A a b 在函数3x y =的图像上得2133n a n n b +==所以23121393n n n n b b +++== ，211327b +==所以{}n a 是以27为首项，以9为公比的等比数列………………10分 所以12n n S b b b =+++27(19)27(91)198n n --==- ………………12分 18.解：（Ⅰ）在13年中共有11个连续的三年………………3分 其中只有2007至2009和2010至2012两个连续三年的 人均用水量符合依次递减………………6分 所以随机选择连续的三年进行观察，所选的这三年的人均用水量恰是依次递减的概率为211………………8分 （Ⅱ）2009至2012连续四年的常住人口的方差最大………………10分 2012至2015四年间的总生活用水量是递增的．………………12分 19.解：：（Ⅰ）因为PA ⊥平面ABC ，所以PA BC ⊥，又AC BC ⊥，所以BC ⊥平面PAC ，所以BC AD ⊥．………3分 由三视图可得，在PAC ∆中，4PA AC ==，D 为PC 中点， 所以AD PC ⊥，所以AD ⊥平面PBC ………………6分（Ⅱ）由三视图可得4BC =，由⑴知90ADC ∠=︒，BC ⊥平面PAC ………………9分 又三棱锥D ABC -的体积即为三棱锥B ADC -的体积，所以，所求三棱锥的体积111164443223V =⨯⨯⨯⨯⨯=………………12分20. 解:（Ⅰ）由已知)sin ,(cos ),0,1(θθP AOQ OA OP =+，∴(1cos ,sin )OQ θθ=+ ………………3分又,sin θ=SOQABC DP∴sin cos 1)14OA OQ S πθθθ⋅+=++=++)0(πθ<<故S +⋅的最大值是12+，此时4πθ=………………6分（Ⅱ）∵(1cos ,sin )OA OP θθ+=+，OB ∥()OA OP +， ∴cos sin (1cos )sin 0αθθα-+=………………9分 又2k πα≠，k θπ≠()k Z ∈， ∴sin tan 1cos θαθ=+22sin cos22tan 22cos 2θθθθ==………………12分 21.解:（Ⅰ）因为抛物线Γ的准线方程为2p y =-， 且直线2p y =-被圆O ：224x y +=，所以22()42p =-，解得1p =， 因此抛物线Γ的方程为22x y =………………4分（Ⅱ）设N （2,2t t ），由于'y x =知直线PQ 的方程为：2()2t y t x t -=-.即22t y tx =-………………6分因为圆心O 到直线PQ2所以|PQ|=7分设点F 到直线PQ 的距离为d，则2d ==8分 所以，FPQ ∆的面积S 12PQ d =⋅===≤=11分当t =±=”，经检验此时直线PQ 与圆O 相交，满足题意.综上可知，FPQ ∆12分22．解:（Ⅰ）当2a =时，1()2ln f x x x=+，(1)1f =， 所以221()f x x x'=-，(1)1f '=． 所以切线方程为y x =． ……………………3分（Ⅱ）存在.因为()()2g x f x x =-在(0,)+∞上单调递减，等价于21()20a g x x x '=--≤在(0,)+∞恒成立……………………5分 变形得12a x x≤+ (0)x >恒成立……………………6分而12x x +≥=（当且仅当12x x=，即x =时，等号成立）．所以a ≤． ……………………8分 （Ⅲ）21()ax f x x -'=． 令()0f x '=，得1x a =……………………9分 所以min ()=()f x f a=ln(1ln )a a a a a+=-……………………10分 （ⅰ）当0a e <<时，min ()0f x >，所以()f x 在定义域内无零点； （ⅱ）当a e =时，min ()0f x =，所以()f x 在定义域内有唯一的零点； （ⅲ）当a e >时，min ()0f x <，① 因为(1)10f =>，所以()f x 在增区间1(,)a+∞内有唯一零点； ② 21()(2ln )f a a a a=-， 设()2ln h a a a =-，则2()1h a a'=-， 因为a e >，所以()0h a '>，即()h a 在(,)e +∞上单调递增， 所以()()0h a h e >>，即21()0f a>， 所以()f x 在减区间1(0,)a内有唯一的零点． 所以a e >时()f x 在定义域内有两个零点．综上所述：当0a e <<时，()f x 在定义域内无零点； 当a e =时，()f x 在定义域内有唯一的零点；当a e >时，()f x 在定义域内有两个零点．……………………14分 （若用其他方法解题，请酌情给分）。
福建省莆田市2015年普通高中毕业班质量检查数学文试题
a − 2b 垂直 则实数 λ 的值
C
−
1 6
B
1 6
−
1 7
D
1 7
的
9 请在“垂直于 一 的两 命题 则其中真命题的个数 A 1 B 2
2 2
行” 和 处中填入“直线”或“ 面” 使之组成四个 C 3 D 4 则双曲线的渐 线方程 D (
10 已知双曲线 A
x y − = 1 的一个焦点在圆 x 2 + y 2 − 4 x − 5 = 0 20 m
B
'
)
1 y=± x 2
y = ±2 x
C
y=±
5 x 2
y=±
2 5 x 5
1 0
11 函数 f ( x ) 的导函数 f ( x ) 的图象是如图所示的一条直线 该直线 则 f ( −1)
x 轴的交点坐标
f (2) 的大小关系是
·2 ·
A C 12 中
f (−1) < f (2) f (−1) = f (2)
10 5
12 6
得到的线性回 方程
y = 0 .7 x + a
则 a 的值
A 2 B 2 2 5 阅读右图所示的程序框图 A 3 4
C 2 3 D 2 6 行相应的程序 输出的 k 的值等于 5 6
x + y ≤ 1, 6 若实数 x, y 满足 等式组 x − y ≤ 1, 则 2 x + y 的最大值是 x ≥ 0,
A 1 B 0 7 已知函数 f(x) 奇函数 A C 8 A ∞ 1 ∪ 0 1 1 0 ∪ 0 1 已知 a = (3,−2), b = (1,0), 若向 C 1 D 2 2 x≥0 时 f(x)=x x 则 等式 f(x >0 的解集 B D ∞ 1 1 ∪ 1 +∞ 0 ∪ 1 +∞
莆田一中高三数学考前模拟试卷文科有答案
莆田一中2015年高三数学考前模拟试卷（文科有答案）莆田一中2015年高三数学考前模拟试卷（文科有答案）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的。
1、已知为虚数单位，，若为纯虚数，则复数的模等于() A．B．C．D．2、已知集合，集合，则()A．B．C．D．3、()A.B．C．D．4、已知成等差数列，成等比数列，则等于（）A.B.C.D.或5、“”是“恒成立”的（）A.充分且不必要条件B.必要且不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件6、的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若a,b,c，成等比数列，且c=2a，则cosC=()A.B.C.D.7、已知区域，定点A（3，1），在M内任取一点P，使得的概率为()A.B.C.D.8、设，将这5个数依次输入下面的程序框图运行，则输出S的值及其统计意义分别是()A．S=2,这5个数据的方差B．S=2,这5个数据的平均数C．S=10,这5个数据的方差D．S=10,这5个数据的平均数9、现有四个函数：①;②;③;④的图象(部分)如下，但顺序被打乱，则按照从左到右将图象对应的函数序号安排正确的一组是()A．④①②③B．①④③②C．①④②③D．③④②①10、已知a＞0，x，y满足约束条件，若z=2x+y的最小值为1，则a=（）A．B．C．1D．211、一个三棱锥的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是全等的等腰三角形，则此三棱锥外接球的表面积为() A．B．C．4D．12、定义:如果函数在[a,b]上存在满足,,则称函数是[a,b]上的“双中值函数”.已知函数是[0,a]上的“双中值函数”,则实数a的取值范围是()A.B.()C.(,1)D.(,1)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，将答案填在题后的横线上．13、某单位有840名职工,现采用系统抽样抽取42人做问卷调查,将840人按1,2,…,840随机编号,则抽取的42人中,编号落入区间[61,120]的人数为．14、设奇函数的定义域为R，且周期为5，若=-1，则=.15、已知双曲线的右焦点为，过作斜率为的直线交双曲线的渐近线于点，点在第一象限，为坐标原点，若的面积为，则该双曲线的离心率为．16、已知数列满足.定义：使乘积为正整数的叫做“易整数”.则在内所有“易整数”的和为________.三．解答题：本大题共6小题,共74分,解答应写出文字说明、证明过程或演算过程17、（本小题满分12分）正方形所在平面与三角形所在平面相交于，平面，且，．（1）求证：平面；（2）求凸多面体的体积．18、（本小题满分12分）在等差数列中，前n项和为Sn，且满足．(1)求数列的通项公式；(2)设数列满足求数列的前n项和为Tn：19、（本小题满分12分）已知函数的图象如图所示(1)求f（x)在R上的单调递增区间；（2）设是函数y=f(x)的一个零点，求的值．20、（本小题满分12分）从某学校的名男生中随机抽取名测量身高,被测学生身高全部介于cm和cm之间,将测量结果按如下方式分成八组:第一组[,),第二组[,),,第八组[,],右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分,已知第一组与第八组人数相同,第六组的人数为人.(1)求第七组的频率;(2)估计该校的名男生的身高的中位数以及身高在cm以上(含cm)的人数;(3)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生,记他们的身高分别为,事件{},事件{},求. 21、（本题满分12分）如图,在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，直线与轴交于点，与椭圆交于、两点.当直线垂直于轴且点为椭圆的右焦点时，弦的长为.（1）求椭圆的方程；（2）是否存在点，使得为定值？若存在，请指出点的坐标，并求出该定值；若不存在，请说明理由.22、（本小题满分14分）已知，设函数．（1）若在上无极值，求的值；（2）若存在，使得是在[0,2]上的最大值，求t的取值范围；（3）若（为自然对数的底数)对任意恒成立时m的最大值为1，求t的取值范围．莆田一中2014-2015学年度5月模拟考试试卷高三数学(文科）参考答案1-5CCDBA6-10BBACB11-12AC13、314、215、16、2036 17、（1）证明：∵平面，平面，∴．在正方形中，，∵，∴平面．∵，∴平面．（2）解法1：在△中，，，∴．过点作于点，∵平面，平面，∴．∵，∴平面．∵，∴．又正方形的面积，∴．故所求凸多面体的体积为．解法2：在△中，，，∴．连接，则凸多面体分割为三棱锥和三棱锥．由（1）知，．∴．又，平面，平面，∴平面．∴点到平面的距离为的长度．∴．∵平面，∴．∴．故所求凸多面体的体积为．18、解：(Ⅰ)设数列公差为d，由题设得解得∴数列的通项公式为：(n∈N*)．………………………………5分(Ⅱ)由(Ⅰ)知：…………………………………6分①当为偶数，即时，奇数项和偶数项各项，∴；………………………9分②当为奇数，即时，为偶数．∴．综上：…………………………12分19.解：(Ⅰ)由图象知，，故，，即，于是由，解得．∵，且，解得．∴．…………………………………………………4分由≤≤，，解得≤x≤，，即在R上的单调递增区间为．………………6分(Ⅱ)由条件得：，即．∵且在上是增函数，0，0，在上是减函数，∴，∴，………9分∴，…………………………………10分∴． (12)分20,解：(Ⅰ)第六组的频率为,所以第七组的频率为;………3分(Ⅱ)身高在第一组[155,160)的频率为,身高在第二组[160,165)的频率为,身高在第三组[165,170)的频率为,身高在第四组[170,175)的频率为,由于,估计这所学校的800名男生的身高的中位数为,则由得所以可估计这所学校的800名男生的身高的中位数为由直方图得后三组频率为,所以身高在180cm以上(含180cm)的人数为人；………7分(Ⅲ)第六组的人数为4人,设为,第八组[190,195]的人数为2人,设为,则有共15种情况,因事件{}发生当且仅当随机抽取的两名男生在同一组,所以事件包含的基本事件为共7种情况,故由于,所以事件{}是不可能事件,由于事件和事件是互斥事件,所以.………12分21、解：（1）由，设，则，，所以椭圆的方程为，因直线垂直于轴且点为椭圆的右焦点，即，代入椭圆方程，解得，于是，即，所以椭圆的方程为………………………………5分（2）假设存在点，使得为定值，设，当直线与轴重合时，有，当直线与轴垂直时，，由，解得，，所以若存在点，此时，为定值2.………8分根据对称性，只需考虑直线过点，设，，又设直线的方程为，与椭圆联立方程组，化简得，所以，，又，所以，将上述关系代入，化简可得.综上所述，存在点，使得为定值2……………12分22,（Ⅰ），又在(0,2)无极值………………3分（Ⅱ）①当时，在单调递增，在单调递减，在单调递增，由得：在时无解②当时，不合题意；③当时，在单调递增，在单调递减，在单调递增，即④当时，在单调递增，在单调递减，满足条件综上所述：时，存在，使得是在[0,2]上的最大值.………………8分莆田一中2014-2015学年度5月模拟考试高三数学（文科）一、选择题（每小题5分，共60分）123456789101112二、填空题（每小题4分，共16分）13、14、15、16、三、解答题（74分）。
2015莆田质检 福建省莆田市2015届高中毕业班教学质量检查数学文试题 扫描版含答案
2015年莆田市高中毕业班教学质量检查试卷数学（文科）试题参考答案及评分标准一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，本大题共12小题，每小题5分，满分60分．1．A 2．A 3．B 4．C 5．C 6．D 7．D 8．C 9．B 10．A 11．B 12．C二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，本大题共4小题，每小题4分，满分16分．13．{1，2} 14．25 15．4x+y+3=0 16．①③④三、本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．本小题主要考查等差、等比数列、数列求和等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．满分12分．解：（Ⅰ）因为a 1，a 2，a 4成等比数列，所以a 1a 4=a 22 ．…………………………………1分即a 1(a 1+3d)=(a 1+d)2，解得d=1或d=0（舍去）． …………………………………………2分所以a n =1+(n －1)1=n ，………………………………………………………………………4分(1)2n n n S +=．………………………………………………………………………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知2112()(1)1n b n n n n ==-++，…………………………………………7分 所以1211111122(1)2()2()2(1)223111n n b b b n n n n +++=-+-++-=-=+++．…………9分 解2915n n >+，解得n>9，…………………………………………………………………………11分 所以使不等式成立的最小正整数为10．……………………………………………………12分18．本小题主要考查三角函数的图象与性质、两角和与差的三角函数、解三角形等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．满分12分．解：（Ⅰ）①处应填入6π．…………………1分1cos 21()222x f x x ωω+=-+……………3分12cos 2sin(2)26x x x πωωω=-=-．………………4分 因为T=522()233πππ-=，所以222ππω=，12ω＝，()sin()6f x x π=-．…………5分 令22262k x k πππππ-≤-≤+，Z ∈k ，得22233k x k ππππ-≤≤+， 所以函数)(x f 的单调递增区间为22,233k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦ ()Z ∈k ．……………7分（Ⅱ）因为4()2a c f π+=4sin 3π==…………8分解法一：由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-22()22cos()33a c ac ac a c ac π=+--=+-，得223ac =-，3ac =．…………10分所以 ABC ∆的面积11sin 322S ac B ==⨯=．………12分 解法二：由正弦定理得2sin sin sin a c b A C B===， 所以2sin a A =，2sin c C =，而23A CB ππ+=-=，………8分所以2sin 2sin a c A C +=+212sin()2sin 2(cos sin )2sin 322C C C C C π=-+=++3sin C C =+)3C π=-=………10分 即cos()13C π-=，因为0C π<<，2333C πππ-<-<，所以3C π=．因此 ABC ∆为等边三角形，其面积2S == ……12分 19．本小题主要考查分层抽样、古典概型等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识，考查必然与或然思想．满分12分．解（I ）由已知得4115230115345460230n =++++，解得n=22．…………3分 抽取的人中最喜欢“合一斗”有11542230⨯=(人)．……………5分 （II ）从（I ）中抽取的最喜欢“合一斗”和“斗麻利”的人中，最喜欢“合一斗”的有2人，记为A 1、A 2，最喜欢“斗麻利”的有4人，记为B 1、B 2、B 3、B 4．…………………6分从中随机抽取2人，所有的可能结果共有15种，它们是: (A 1， A 2)、(A 1， B 1)、(A 1， B 2)、(A 1， B 3)、(A 1， B 4)、(A 2， B 1)、(A 2， B 2)、(A 2， B 3)、(A 2， B 4)、 (B 1， B 2)、(B 1， B 3)、(B 1， B 4)、(B 2， B 3)、(B 2， B 4)、(B 3， B 4)．…………9分其中，恰有1人最喜欢“合一斗”的可能结果共有8种，它们是：(A 1， B 1)、(A 1， B 2)、(A 1， B 3)、(A 1， B 4)、(A 2， B 1)、(A 2， B 2)、(A 2， B 3)、(A 2， B 4)．故所求的概率P=815．…………12分 20．本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系、几何体的体积等基础知识，考查空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．满分12分．(Ⅰ)证：正方形ABEF 中，AF ⊥AB ，∵平面ABEF ⊥平面ABCD ，又AF ⊂平面ABEF ， 平面ABEF ⋂平面ABCD=AB ，∴AF ⊥平面ABCD ．又∵BD ⊂平面ABCD ，∴AF ⊥BD ． ……………3分又AD BD ⊥，AF ⋂AD=A ，AF 、AD ⊂平面ADF ，∴⊥BD 平面ADF ．……………5分 (Ⅱ)解：当N 为线段EF 中点时，MN ∥平面ADF ，且MN//平面BDF ． ……………6分证明如下：正方形ABEF 中，NF //21BA ， 平行四边形形ABCD 中，MD //21BA ，∴NF //MD ， ∴四边形NFDM 为平行四边形，∴MN//DF ． ……………7分又DF ⊂平面ADF ，MN ⊄平面ADF ，∴MN//平面ADF ，同理可证MN//平面BDF ． ……………9分过D 作DH ⊥AB 于H ，∵平面ABEF ⊥平面ABCD ，又DH ⊂平面ABCD ，平面ABEF ⋂平面ABCD=AB ，∴DH ⊥平面ABEF ．在Rt∆ABD 中，AB=2，BD=AD ，∴DH=1，……………10分所以111112332N ADF D ANF ANF V V DH S --∆==⋅=⨯⨯⨯⨯=分 21．本小题主要考查平面向量、点到直线的距离、椭圆的定义与性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、特殊与一般思想、分类与整合思想．满分12分．解法一：（Ⅰ）由已知可得，12c a =，4a=8，所以a=2，c=1．·……………2分又由222b a c =-，解得b = 所以椭圆E 的方程为22143x y +=．……………3分 （Ⅱ）因为2=+PO PQ PR ，所以OR QO =，所以R ，O ，Q 三点共线，且R 在椭圆E 上．……………4分直线PF 2的方程为y=－1)，由221,431),x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得5x 2－8x=0，解得x=85或x=0，……………5分所以P （0，Q （85，），R （85-．·……………6分 所以S △PQR =S △POR +S △POQ =12|PO|·|x Q －x R|=11625=．……………7分 （Ⅲ）存在点M ，N ，当其坐标为（－85，），（85，）时，△PMN 为等边三角形．…8分证明如下：当MN ⊥x 轴时，易得△PMN 不可能为等边三角形．当MN ⊥y 轴时，因为∆PMN 为等边三角形，结合椭圆的对称性，以及（Ⅱ）可得M ，N 的坐标为（－85，5-），（85，5-），符合题意．……………9分 当MN 不与坐标轴垂直时，设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），MN 的中点为D （x 0，y 0）， 由221122221,431,43⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩x y x y 得12121212()()()()043x x x x y y y y +-+-+=，即012121212033()4()4x y y x x x x y y y -+=-=--+，所以k MN =0034x y -．……………10分 因为△PMN 为等边三角形，所以k MN ·k PD =—1，即0000314x y y x -⋅=-， 解得y 0=-与y 0∈[矛盾，此时不存在M ，N 使△PMN 是等边三角形．·……………11分综上，存在M ，N ，且其坐标为（－85，），（85，）时，△PMN 是等边三角形．……12分解法二：（Ⅰ）同解法一；（Ⅱ）同解法一，可得|QR|=2|QO|==………6分 因为直线QR 的方程为y=x，即， 所以点P （0到直线QR 的距离=． 所以S △PMN =12|QR|·d=12=……………7分 （Ⅲ）存在点M ，N ，当其坐标为（－85，5-），（85，5-）时，△PMN 为等边三角形．…8分证明如下：当MN ⊥x 轴时，易得△PMN 不可能为等边三角形．（1）当MN 垂直于坐标轴时，同解法一．……………9分（2）当MN 不与坐标轴垂直时，设直线MN 的方程为y=kx+m （k≠0），M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）． 由221,43,⎧+=⎪⎨⎪=+⎩x y y kx m 得222(34)84120k x kmx m +++-=，所以21212228412,3434--+==++km m x x x x k k ，MN 的中点坐标为2243(,)3434-++km m D k k ．因为△PMN 为等边三角形，所以k MN ·k PD =—1，即22334134+=-+m k k k ，化简得24)=+m k ， （*）又因为222222644(34)(412)48(43)0∆=-+-=+->k m k m k m ，即2234<+m k ，这与（*）式矛盾，满足条件的M ，N 不存在．……………11分 综上，存在M ，N ，当其坐标为（－85，5-），（85，5-）时，△PMN 是等边三角形．……12分22．本小题主要考查函数导数的几何意义、导数的运算及导数的应用，考查运算求解能力、抽象概括能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想．满分14分．解：（Ⅰ）由()ln f x x x =-，11()1x f x x x-'=-=（x>0）．………… 1分 令()0f x '=，得1x =，f(x)，()f x '的变化情况如下表：所以函数f(x)的增区间为（0，1），减区间为（1，+∞）．……………………………… 3分 （Ⅱ）11()(0)ax f x a x x x-'=-=>． （1）当0a ≤时，()0f x '>恒成立，此时函数()f x 在区间（0，+∞）上单调递增，不合题意，舍去．…………………4分（2）当0a >时，令()0f x '=，得1x=，()f x ，()f x '的变化情况如下表： 所以函数()f x 的增区间为(0,)a ，减区间为(,)a +∞．……………… 6分要使函数()f x 在区间(,)m +∞上不单调，须且只须1m a >，即10a m<<．所以对任意给定的正数m ，只须取实数1(0,)a m∈，就能使得函数()f x 在区间(,)m +∞上不单调．…………………… 7分 （Ⅲ）假设存在实数1221,(0)x x x x >>，使当12[,]x x x ∈时，函数f(x)的值域为12[1,1]kx kx --．由12120,11,x x kx kx <<⎧⎨-<-⎩得0k >．……………………… 8分令()1g x kx =-．（1）当0a ≤时，(),()f x g x 均在区间（0，+∞）上单调递增，由已知得12,x x 为方程()()f x g x =的两个不等正根． （*）令()()()h x f x g x =-，即()ln ()1h x x a k x =-++．要使（*）成立，须且只须()h x 存在两个零点． ………………………9分 因为1()(0)h x a k x x'=-->． ①当0a k +≤，即k a ≤-时，()h x 在区间（0，+∞）上单调递增，（*）不成立． ②当0a k +>，即k a >-时，令()0h x '=，得1x a k =+，此时()h x 取到最大值． 要使（*）成立，须且只须11()ln()0h a k a k=>++，得1k a <-． 所以当0a ≤时，要使（*）成立，须且只须1a k a -<<-．…………………… 10分（2）当0a >时，由（Ⅱ）知，()f x 在1x a=处取到最大值． 此时要使命题成立，须且只须()h x 有两个零点12,x x ，结合图形可得： ①若121x x a<<，由(),()f x g x 均在区间2(0,)x 上单调递增知，存在12,x x 符合题意； ②若121x x a <<，则取符合11()kx f a -=的解为2x 即可．由①，②，结合（1）得1a k a -<<-． (13)分注意到0k >，所以01a <<，且01k a <<-．综上，当0a ≤时，存在(,1)k a a ∈--符合题意；当01<<a 时，存在(0,1)k a ∈-符合是题意；a 时，满足条件的实数k不存在．…… 14分当1。
福建省泉州一中2015届高三下学期最后一次模拟考试试卷数学(文)
福建省泉州一中2015届高中毕业班5月模拟质检数学（文科）试卷本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟． 参考公式：锥体体积公式 13V Sh =其中S 为底面面积，h 为高 柱体体积公式 V Sh = 其中S 为底面面积，h 为高球的表面积、体积公式 2344,3S R V R ==ππ 其中R 为球的半径第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．已知集合{1,0,1,2,3},{2,0}M N =-=-，则下列结论正确的是 A ．N M ⊆ B ．M N N = C ．M N M = D ．{}0MN =2．下列说法正确的是 A ．“若3x π=，则sin x =B ．,,a b c 为实数，若a b >，则22ac bc >C ．命题p ：x R ∃∈，使得210x x +-<，则p ⌝：x R ∀∈，使得210x x +-> D ．若命题p q ⌝∧为真，则p 假q 真3．设向量a 、b 均为单位向量，且1a b +=，则a 、b 的夹角为A ．B ．C ．D ．4．设变量x 、y 满足约束条件311x y x y y +≤⎧⎪-≥-⎨⎪≥⎩，则目标函数2z x y =-+的最大值为A.-2B.0C.1D.2 5．已知函数21()cos 2f x x =-，则 A ．()f x 为偶函数且最小正周期为π B.()f x 为奇函数且最小正周期为πC. ()f x 为偶函数且最小正周期为2πD.()f x 为奇函数且最小正周期为2π 6．已知表示两个互相垂直的平面，表示一对异面直线，则的一个充分条件是A. B. C.D.7．执行如右图1所示的程序框图，则输出S 的值是 A ．10 B ．17 C ．26 D ．288．设图2是某几何体的三视图，则该几何体的体积为 A ．942π+B ．9122π+ C. 3618π+D. 9182π+9．已知抛物线24y x =，过其焦点F 作倾斜角为4π的直线，若与抛物线交于B 、C 两点，则弦BC 的长为 A. 103B. 2C.4D. 810．在中，，，则的最小值是A ．B ．C ．D ． 11．设函数⎪⎩⎪⎨⎧>-<-=.0ln ,0),ln()(x x x x x f ， 若)()(m f m f ->,则实数m 的取值范围是A ．)1,0()0,1( - B.)1,0()1,( --∞ C ．),1()0,1(+∞-D ．),1()1,(+∞--∞12．已知中心均在原点的椭圆与双曲线有公共焦点, 且左、右焦点分别为1F 、2F , 这两条曲线在第一象限的交点为P , 12PF F ∆是以1PF 为底边的等腰三角形.若110PF =, 椭圆与双曲线的离心率分别为1e 、2e , 则12e e 的取值范围为 A ．1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ B. 2,13⎛⎫⎪⎝⎭ C ．()2,+∞ D ．3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭第Ⅱ卷（非选择题 共90分）图2图1二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置上.） 13．i 是虚数单位，复数21ii-的模为__________.14．已知a 、b 、c 分别为ABC ∆三个内角A 、B 、C 的对边，sin cos a A a B =-则角B =__________.15．已知1x >-，0y >且满足21x y +=，则121x y++的最小值为_____________. 16．定义在实数集R 上的函数()y f x =的图象是连续不断的，若对任意实数x ，存在实数使得()()f t x tf x +=-恒成立，则称()f x 是一个“关于的函数”.给出下列“关于的函数”的结论：①()0f x =是常数函数中唯一一个“关于的函数”； ②“关于12的函数”至少有一个零点； ③2()f x x =是一个“关于的函数”．其中正确结论的序号是__________.三、解答题（本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17．（本小题满分12分） 已知数列{}n a 是等差数列且公差0d >，*n N ∈，12a =，3a 为1a 和9a 的等比中项． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设()22n n b n a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S ．18．（本小题满分12分）已知函数()cos(05)66f x x x x ππ=≤≤的图像过点(,)B m 4，（Ⅰ）若角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，其终边过点B ，求sin α2的值； （Ⅱ）求函数)(x f y =的最值.19．（本小题满分12分）某校高三年有375名学生，其中男生150人，女生225人.为调查该校高三年学生每天课外阅读的平均时间（单位：小时），采用分层抽样的方法从中随机抽取25人获得样本数据，该样本数据的频率分布直方图如下图.20．（本小题满分12分）如图所示，几何体A BCDE 中，ABC ∆为正三角形，CD ⊥ABC 面, //BE CD ,BC CD BE ==2,（Ⅰ）在线段AD 上找一点F ，使//EF 平面ABC ，并证明； （Ⅱ）求证：面ADE ⊥面ACD .21．（本小题满分12分）已知圆C 的圆心在直线2-=x y 上 （Ⅰ）若圆经过)2,3(-A 和(0,5)B -两点．i ）求圆C 的方程；ii ）设圆C 与y 轴另一交点为P ，直线过点P 且与圆C 相切．设D 是圆C 上异于,P B 的动点，直线BD 与直线交于点R ．试判断以PR 为直径的圆与直线CD 的位置关系，并说明理由；（Ⅱ）设点)3,0(M ，若圆C 半径为3，且圆C 上存在点N ，使||2||NO MN =，求圆心C 的横坐标的取值范围．BAC DE22．（本小题满分14分） 已知函数()1ln 2a xf x x x =-+（Ⅰ）当1a =-时，求函数()f x 在点A ()1,0处的切线方程； （Ⅱ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅲ）若函数()f x 有两个极值点1x 和2x ，设过()()11,M x f x ，()()22,N x f x 的直线的斜率为k ，求证：2k a >+．泉州一中2015届高中毕业班5月模拟质检数学（文科）试卷参考答案及评分 标准一、选择题1-5 D D C C A 6-10 D B D D C 11-12 B A 二、填空题14.3π15.9216. ② 三、解答题 17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 是等差数列且公差0d >，*n N ∈，12a =，3a 为1a 和9a 的等比中项． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设()22n n b n a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S ．解：（Ⅰ）12a =，3a 为1a 和9a 的等比中项．2319a a a ∴=，即()2222(28)d d +=+，……………………………………… 2分 化简得 22d d =……………………………………… 4分 0d >，解得2d =22(1)2n a n n ∴=+-=；………………………………………6分 （Ⅱ）()22n n b n a =+()222n n =+()11n n =+111n n =-+，………………………………………8分 12n n S b b b =++⋅⋅⋅⋅⋅+1111112231n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭=1nn +.……………………………12分 18．（本小题满分12分）已知函数()cos(05)66f x x x x ππ=≤≤的图像过点(,)B m 4，（Ⅰ）若角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，其终边过点B ，求sin α2的值； （Ⅱ）求函数)(x f y =的最值.解：（Ⅰ）函数()cos(05)66f x x x x ππ=≤≤的图像过点(,)B m 4，∴22cos33m ππ=- 2=- ………………………………………………………………………… 2分即点(,)B -42，OB ==，sin a a \==-==……………………………………… 4分sin sin cos a a a 骣ç\==?-ççç桫42225.………………………………6分;（Ⅱ）()2cos()63f x x ππ=+,…………………………………………………………7分 05x ≤≤,73636x ππππ∴≤+≤,………………………………………8分 当633x πππ+=时，即0x =时，max ()1f x =，………………………10分 当63x πππ+=时，即4x =时，min ()2f x =-.………………………12分频率/组距 0.08 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 时间（小时）0.160.24 0.32 0.40 0.80 某校高三年有375名学生，其中男生150人，女生225人.为调查该校高三年学生每天课外阅读的平均时间（单位：小时），采用分层抽样的方法从中随机抽取25人获得样本数据，该样本数据的频率分布直方图如下图.（Ⅰ）应抽取男生多少人? 并根据样本数据，估计该校高三年学生每天课外阅读的平均时间； （Ⅱ）在这25个样本中，从每天阅读平均时间不少于1.5小时的学生中任意抽取两人，求抽中的这两个人中恰有一个人的阅读平均时间不少于2小时的概率.解：应抽取男生2515010375⨯=人，……………………………………………… 2分 该校高三年学生每天课外阅读的平均时间为()0.50.400.250.800.750.32 1.250.24 1.750.16 2.250.08 2.75 1.05⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，………………………………………………………………………………………… 5分（Ⅱ）从每天阅读平均时间不少于1.5小时的学生有6人，…………………………… 6分其中读平均时间不少于2小时有3人，………………………… 7分令这三人分别为,,A B C .另外三人为,,a b c ，设抽中的这两个人中恰有一个人的阅读平均时间不少于2小时为事件E ，………………………………………………………………………………… 8分从中抽中的这两个人所有情况为(),A B ，(),A C ，(),A a ，(),A b ，(),A c ，(),B C ，(),B a ，(),B b ，(),B c ，(),C a ，(),C b ，(),C c ，(),a b ，(),a c ，(),b c 共15种，………………………………………………………………………………………… 10分 这两个人中恰有一个人的阅读平均时间不少于2小时的情况为(),A a ，(),A b ，(),A c ，(),B a ，(),B b ，(),B c ，(),C a ，(),C b ，(),C c 共9种…………………………………………………………………………………11分\抽中的这两个人中恰有一个人的阅读平均时间不少于2小时的概率为()93155P E ==. …………………………………………………………………………………12分如图所示，几何体A BCDE 中，ABC ∆为正三角形，CD ⊥ABC 面, //BE CD ,2BC CD BE ==,（Ⅰ）在线段AD 上找一点F ，使//EF 平面ABC ，并证明； （Ⅱ）求证：面ADE ⊥面ACD .解：（Ⅰ）点F 为线段AD 中点，…………………………………………………………2分证明如下：取线段AC 中点M ，连结BM ，FM ,EF//BE CD ，2BC CD BE ==则////FM CD BE ，且12FM CD BE ==，所以四边形BEFM 平行四边形，则//EF BM ，………………………………………4分 又EF ⊄平面ABC ，BM ⊆平面ABC//EF ∴平面ABC ；…………………………………………6分 （Ⅱ）ABC ∆为正三角形，BM ∴⊥AC ，CD ⊥ABC 面,BM ⊆平面ABC ，CD BM ∴⊥， CD AC C ⋂=，BM ∴⊥面ACD ………………………………………8分//EF BMEF ∴⊥面ACD ………………………………………10分 又EF ⊆平面ADE∴面ADE ⊥面ACD .…………………………………………12分21．（本小题满分12分）已知圆C 的圆心在直线2-=x y 上 （Ⅰ）若圆经过)2,3(-A 和(0,5)B -两点．i ）求圆C 的方程；ii ）设圆C 与y 轴另一交点为P ，直线过点P 且与圆C 相切．设D 是圆C 上异于,P B 的动点，直线BD 与直线交于点R ．试判断以PR 为直径的圆与直线CD 的位置关系，并说明理由；（Ⅱ）设点)3,0(M ，若圆C 半径为3，且圆C 上存在点N ，使||2||NO MN =，求圆心C 的横坐标的取值范围．MF BACDE解：（Ⅰ）设圆方程为220x y Dx Ey F ++++=，则圆心为(,)22D E--.……………1分 i ）由题意知222133202550E DD E F E F ⎧-=--⎪⎪⎪+-+=⎨⎪⎪-+=⎪⎩ ………………………………………2分解得：0,4,5D E F ===-∴圆9)2(22=++y x C ： ………………………………3分 ii ）知(0,1)(0,5)P B -、， 则1=y l ： 设)0(),(≠m n m D55n DB y x m+=-：，)1,56(+n mR 以PR 为直径的圆的圆心)1,53(+n m S ，半径|5|||3+=n m r ………………….5分22-+=x mn y CD ： 即02)2(=--+m my x n ……………………………… 6分 以PR 为直径的圆的圆心S 到CD 的距离设为d则2222)2(|5|||9)2(35)2(3mn n m mn mn n m d +++=++-++=. ………………………………7分又点D 在圆C 上，9)2(22=++∴n mr n m d =+=∴|5|||3故以PR 为直径的圆与直线CD 总相切 ………………………………………………8分 （Ⅱ）设圆心(,2)C a a -，设),(y x N ||2||NO MN =222244)3(y x y x +=-+∴∴点N 在圆4)1(22=++y x E ：上 ………………………………10分又点N 在圆C 上∴圆E 与圆C 有公共点03≤≤-∴a 或41≤≤a ……………………………….12分22．（本小题满分14分）已知函数()1ln 2a xf x x x =-+（Ⅰ）当1a =-时，求函数()f x 在点A ()1,0处的切线方程； （Ⅱ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅲ）若函数()f x 有两个极值点1x 和2x ，设过()()11,M x f x ，()()22,N x f x 的直线的斜率为k ，求证：2k a >+． 解：（Ⅰ）当1a =-时，()1ln 2x f x x x =--，则()'21112f x x x=+-……………………1分 ()'312f ∴=……………………2分 ∴函数()f x 在点A ()1,0处的切线方程()312y x =-， 化简得3230x y --=……………………3分（Ⅱ）()2'221221(0)22a x ax f x x x x x++=++=>，令()222(0)g x x ax x =++> ①当2160a ∆=-≤时，()0g x ≥，220x >，则()'0fx ≥在(0,)+∞恒成立，()f x 在(0,)+∞上单调递增；…………………………………………5分②当2160a ∆=->时（ ⅰ）当4a >时，()0g x >，则()'0fx ≥在(0,)+∞恒成立，()f x 在(0,)+∞上单调递增；…………………………………………6分（ⅱ）当4a <-时，()0g x =有两根，又()020g =>，对称轴14ax =->，且10x <=2x =令()0g x >，解得10x x <<或2x x >此时()'0f x >令()0g x <，解得12x x x <<，此时()'0fx <……………………8分综上所述：当44a -≤≤或4a >时，()f x 在(0,)+∞上单调递增；当4a <-时，()f x在⎛ ⎝和⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增，在上单调递减。
莆田一中高三考前模拟考
高中数学学习材料 （灿若寒星 精心整理制作）莆田一中2014-2015学年度高三考前模拟考数学(文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的。
1、已知i 为虚数单位，R a ∈，若i a i+-2为纯虚数，则复数i a z 2)12(++=的模等于( )A ．2B ．3C ．6D ．112、已知集合{}0122≥--=x x x A ，集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧--==2)1()13ln(2x y x B x ，则=B A ( ) A ．)1,0( B ．]1,0( C ．),1(+∞ D ．),1[+∞ 3、=-︒︒170sin 110cos 3 ( )A. 2- B ． 2 C ．4 D ． 4-4、 已知122,,,8a a --成等差数列，1232,,,,8b b b --成等比数列，则212a ab -等于（ ） A.14 B.12 C.12- D.12或12- 5、“1a <”是“1(1,)1x a x x +≥∈-+∞+对恒成立”的（） A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 6、ABC ∆的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，若a,b,c ，成等比数列，且c=2a ，则cosC=( ) A.4B. 4-C. 34 D. 34-7、已知区域02:02x M y ≤≤≤≤⎧⎨⎩，定点A （3，1），在M 内任取一点P ，使得PA ≥( )A.528π-B.845π-C.524π-D.548、设1234518,19,20,21,22x x x x x =====，将这5个数依次输入下面的程序框图运行，则输出S 的值及其统计意义分别是( )A ．S=2,这5个数据的方差B ．S=2,这5个数据的平均数C ．S=10,这5个数据的方差D ．S=10,这5个数据的平均数9、现有四个函数：①y x sin x =⋅;②cos y x x =⋅;③|cos |y x x =⋅; ④2x y x =⋅的图象(部分)如下，但顺序被打乱，则按照从左到右将图象对应的函数序号安排正 确的一组是( )A ．④①②③B ．①④③②C ．①④②③D ．③④②①10、已知a ＞0，x ，y 满足约束条件，若z=2x+y 的最小值为1，则a=（ ）A ．B ．C ． 1D ． 211、一个三棱锥的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是全等的等腰三角形，则此三棱锥外接球的表面积为( )A ．94π B ．9π C ．4π D ．π12、定义:如果函数()f x 在[a,b]上存在1212,()x x a x x b <<<满足1()()'()f b f a f x b a -=-,2()()'()f b f a f x b a--,则称函数()f x 是[a,b]上的“双中值函数”.已知函数32()f x x x a =-+是[0,a] 上的“双中值函数”,则实数a 的取值范围是( )A.11(,)32B.(3,32)C. (12,1)D. (13,1)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，将答案填在题后的横线上．13、某单位有840名职工, 现采用系统抽样抽取42人做问卷调查, 将840人按1, 2, …, 840随机编号, 则抽取的42人中, 编号落入区间[61, 120]的人数为 ． 14、设奇函数()x f 的定义域为R ，且周期为5，若()1f =-1，(),log 42a f =则a = .15、已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过F 作斜率为1-的直线交双曲线的渐近线于点P ，点P 在第一象限，O 为坐标原点，若OFP ∆的面积为228a b +，则该双曲线的离心率为 ．16、已知数列{}n a 满足()()11,log 12,n n a a n n n N *==+≥∈.定义：使乘积12k a a a ⋅⋅⋅⋅为正整数的()k k N *∈叫做“易整数”.则在[]1,2015内所有“易整数”的和为________.三．解答题：本大题共6小题,共74分,解答应写出文字说明、证明过程或演算过程 17、（本小题满分12分）正方形ABCD 所在平面与三角形CDE 所在平面相交于CD ，AE ⊥平面CDE ，且3AE =，6AB =． （1）求证：AB ⊥平面ADE ；（2）求凸多面体ABCDE 的体积．18、（本小题满分12分）在等差数列中，前n 项和为Sn ，且满足．(1)求数列的通项公式； (2)设数列满足求数列的前n 项和为Tn ：19、（本小题满分12分）已知函数的图象如图所示·(1)求f （x)在R 上的单调递增区间； （2）设是函数y=f(x)的一个零点，求的值．20、（本小题满分12分）从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高,被测学生身高全部介于155cm 和195cm 之间,将测量结果按如下方式分成八组:第一组[155,160),第二组[160,165),,第八组[190,195],右图是按上述分组方法得到的 频率分布直方图的一部分,已知第一组与第八组人数相同,第六组的人数为4人. (1)求第七组的频率;(2)估计该校的800名男生的身高的中位数以及身高在180cm 以上(含180cm)的人数; (3)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生,记他们的身高分别为,x y ,事件=E {5x y -≤},事件F ={15->x y },求()P E F .21、（本题满分12分）如图,在平面直角坐标系xoy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为l 与x 轴交于点E ，与椭圆C 交于A 、B 两点. 当直线l 垂直于x 轴且点E 为椭圆C 的右焦点时， 弦AB. （1）求椭圆C 的方程； （2）是否存在点E ，使得2211EA EB+若不存在，请说明理由.22、（本小题满分14分）已知0>t ，设函数()()3231312t f x x x tx +=-++． （1）若)(x f 在()0,2 上无极值，求t 的值；（2）若存在)2,0(0∈x ，使得)(0x f 是)(x f 在[0, 2]上的最大值，求t 的取值范围；（3）若()2x f x xe m ≤-+（e 为自然对数的底数)对任意),0[+∞∈x 恒成立时m 的最大值为1，求t 的取值范围．莆田一中2014-2015学年度5月模拟考试试卷参考答案1-5CCDBA 6-10 BBACB 11-12 AC 13、3 14、2 15、316、2036 17、（1）证明：∵AE ⊥平面CDE ，CD ⊂平面CDE ，∴AE ⊥CD ． 在正方形ABCD 中，CD AD ⊥，∵AD AE A =，∴CD ⊥平面ADE ． ∵ABCD ，∴AB ⊥平面ADE ．（2）解法1：在Rt △ADE 中，3AE =，6AD =，∴DE ==．过点E 作EF AD ⊥于点F ，∵AB ⊥平面ADE ，EF ⊂平面ADE ， ∴EF AB ⊥． ∵ADAB A =，∴EF ⊥平面ABCD ． ∵AD EF AE DE ⋅=⋅，∴AE DE EF AD ⋅===ABCD 的面积36ABCD S =， ∴13ABCDE E ABCD ABCD V V S EF -==⋅1363=⨯= 故所求凸多面体ABCDE的体积为 解法2：在Rt △ADE 中，3AE =，6AD =，∴DE ==．连接BD ，则凸多面体ABCDE 分割为三棱锥B CDE -和三棱锥B ADE -． 由（1）知，CD ⊥DE ．∴11622CDE S CD DE ∆=⨯⨯=⨯⨯=又AB CD ，AB ⊄平面CDE ，CD ⊂平面CDE ，∴AB平面CDE ．∴点B 到平面CDE 的距离为AE 的长度．ABCDEFABCDE∴11333B CDE CDE V S AE -∆=⋅=⨯=∵AB ⊥平面ADE，∴11633B ADE ADE V S AB -∆=⋅==． ∴ABCDE B CDE B ADE V V V --=+== 故所求凸多面体ABCDE的体积为 18、解：(Ⅰ)设数列{a n }公差为d ，由题设得⎪⎩⎪⎨⎧=+==⨯+=，，43622331413d a a d a S 解得⎩⎨⎧==，，111d a ∴ 数列{a n }的通项公式为：n a n =(n ∈N*)． ………………………………5分(Ⅱ) 由(Ⅰ)知：⎪⎩⎪⎨⎧∈-=∈==．，，，，，**12222N N k k n n k k n b n n …………………………………6分 ①当n 为偶数，即*2N ∈=k k n ，时，奇数项和偶数项各2n项， ∴ )2222()]1(262[642n n n T ++++-+++=3432221])2(1[22)222(2222222-+=--+-+=+n n n n n； ………………………9分 ②当n 为奇数，即*12N ∈-=k k n ，时，1+n 为偶数．∴ 34322)1(23422)1(1213211-++=--++=-=+++++n n n n n n n n a T T ．综上：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈-=-++∈=-+=++．，，，，，*12*221234322)1(234322N N k k n n k k n n T n n n …………………………12分 19. 解：(Ⅰ) 由图象知，2126561=-=A ，故312161-=-=b ， 26322πππ=-=T ，即π=T ，于是由πωπ=2，解得2=ω． ∵ 6131)62sin(21=-+⨯ϕπ，且)22(ππϕ，-∈，解得6πϕ=．∴ 31)62sin(21)(-+=πx x f ． …………………………………………………4分由22ππ-k ≤62π+x ≤22ππ+k ，Z ∈k ，解得3ππ-k ≤x ≤6ππ+k ，Z ∈k ，即)(x f 在R 上的单调递增区间为Z ∈+-k k k ，，]63[ππππ．………………6分(Ⅱ)由条件得：031)62sin(21)(00=-+=πx x f ，即32)62sin(0=+πx ．∵ 0)0()6(<⋅f f π且)(x f 在)60(π，上是增函数，61)6(=πf >0，3143)4(-=πf >0，)(x f 在)46(ππ，上是减函数，∴ )60(0π，∈x ，∴)26(620πππ，∈+x ，………9分∴ 35)62(sin 1)62cos(020=+-=+ππx x ， …………………………………10分∴]6)62cos[(2cos 00ππ-+=x x 6sin )62sin(6cos )62cos(00ππππ+++=x x6215+=． …………………………………………………………12分 20,解：(Ⅰ)第六组的频率为40.0850=,所以第七组的频率为 10.085(0.00820.0160.0420.06)0.06--⨯⨯++⨯+=; ………3分(Ⅱ)身高在第一组[155,160)的频率为0.00850.04⨯=,身高在第二组[160,165)的频率为0.01650.08⨯=, 身高在第三组[165,170)的频率为0.0450.2⨯=, 身高在第四组[170,175)的频率为0.0450.2⨯=,由于0.040.080.20.320.5++=<,0.040.080.20.20.520.5+++=> 估计这所学校的800名男生的身高的中位数为m ,则170175<<m由0.040.080.2(170)0.040.5+++-⨯=m 得174.5=m所以可估计这所学校的800名男生的身高的中位数为174.5由直方图得后三组频率为0.060.080.00850.18++⨯=,所以身高在180cm 以上(含180cm)的人数为0.18800144⨯=人；………7分(Ⅲ)第六组[180,185)的人数为4人,设为,,,a b c d ,第八组[190,195]的人数为2人, 设为,A B ,则有,,,,,,ab ac ad bc bd cd ,,,,,,,,aA bA cA dA aB bB cB dB AB 共15种情况,因事件=E {5x y -≤}发生当且仅当随机抽取的两名男生在同一组,所以事件E 包含的基本事件为,,,,,,ab ac ad bc bd cd AB 共7种情况,故7()15P E =由于max 19518015x y -=-=,所以事件F ={15->x y }是不可能事件,()0P F = 由于事件E 和事件F 是互斥事件,所以7()()()15P EF P E P F =+=. ………12分21、解：（1）由c a =，设3(0)a k k =>，则c =，223b k =，所以椭圆C的方程为2222193x yk k+=，因直线l垂直于x轴且点E为椭圆C的右焦点，即A Bx x==，代入椭圆方程，解得y k=±，于是2k=3k=，所以椭圆C的方程为22162x y+=………………………………5分（2）假设存在点E，使得2211EA EB+为定值，设(,0)E x，当直线AB与x轴重合时，有2222212211(6)xEA EB x++==-，当直线AB与x轴垂直时，222200112662(1)6xEA EB x+==--，由2222001226(6)6xx x+=--，解得x=，2626x=-，所以若存在点E，此时(E，2211EA EB+为定值2.………8分根据对称性，只需考虑直线AB过点E，设11(,)A x y，22(,)B x y，又设直线AB的方程为x my=+C联立方程组，化简得22(3)30m y++-=，所以12y y+=，12233y ym-=+，又222222111111(1)EA m y y m y===++，所以212122222222221212()21111(1)(1)(1)y y y yEA EB m y m y m y y+-+=+=+++，将上述关系代入，化简可得22112EA EB+=.综上所述，存在点(E，使得2211EA EB+为定值2……………12分22,（Ⅰ）2()33(1)33(1)()f x x t x t x x t'=-++=--，又()f x在(0, 2)无极值1t∴=………………3分（Ⅱ）①当01t<<时，()f x在(0,)t单调递增，在(,1)t单调递减，在(1,2)单调递增，∴()(2)f t f≥由()(2)f t f≥得：3234t t-+≥在01t<<时无解②当1t =时，不合题意；③当12t <<时，()f x 在(0,1)单调递增，在(1,)t 单调递减，在(,2)t 单调递增，(1)(2)12f f t ≥⎧∴⎨<<⎩即1332212t t ⎧+≥⎪⎨⎪<<⎩523t ∴≤<④当2t ≥时，()f x 在(0,1)单调递增，在(1,2)单调递减，满足条件综上所述：),35[+∞∈t 时，存在)2,0(0∈x ，使得)(0x f 是)(x f 在[0,2]上的最大值.………………8分。
2015高考真题——数学文(福建卷)Word版含答案
2015年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）
数学（文史类）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．若（是虚数单位），则的值分别等于（）
A． B． C． D．
2．【考点】若集合，，则等于（）
A． B． C． D
3．下列函数为奇函数的是( )
A． B． C． D．
4．阅读如图所示的程序框图，阅读相应的程序．若输入的值为1，则输出的值为（）
A．2 B．7 C．8 D．128
5．若直线过点，则的最小值等于（）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．若，且为第四象限角，则的值等于（）
A． B． C． D．
7．设，，．若，则实数的值等于（）
A． B． C． D．
8．如图，矩形中，点在轴上，点的坐标为．且点与点在函数的图像上．若在矩形内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率等于（）
A． B． C． D．
9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（）
A． B． C． D．
10．变量满足约束条件，若的最大值为2，则实数等于（）
A． B． C． D．
11．已知椭圆的右焦点为．短轴的一个端点为，直线交椭圆于两点．若，点到直线的距离不小于，则椭圆的离心率的取值范围是（）
A． B． C． D．
12．“对任意，”是“”的（）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件。
福建省莆田一中高考数学考前模拟试卷(含解析)-人教版高三全册数学试题
2015年某某省某某一中高考数学考前模拟试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的．1．已知i为虚数单位，a∈R，若为纯虚数，则复数z=（2a+1）+i的模为（） A． B． C． D．2．已知集合A={x|2x2﹣x﹣1≥0}，B={x|y=}，则A∩B=（）A．（0，1） B．（0，1] C．（1，+∞） D．上存在x1，x2（a＜x1＜x2＜b）满足f′（x1）=，f′（x2），则称函数f（x）是上的“双中值函数”．已知函数f（x）=x3﹣x2+a是上“双中值函数”，则实数a的取值X围是（） A．（，） B．（0，1） C．（，1） D．（，1）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，将答案填在题后的横线上．13．某单位有840名职工，现采用系统抽样抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间的人数为．14．设奇函数f（x）的定义域为R，且周期为5，若f（1）=﹣1，f（4）=log2a，则a=．15．已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，过F作斜率为﹣1的直线交双曲线的渐近线于点P，点P在第一象限，O为坐标原点，若△OFP的面积为，则该双曲线的离心率为．16．已知数列{a n}满足a1=1，a n=log n（n+1）（n≥2，n∈N*）．定义：使乘积a1•a2…a k为正整数的k（k∈N*）叫做“易整数”．则在内所有“易整数”的和为．三．解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算过程17．如图，正方形ABCD所在平面与三角形CDE所在平面相交于CD，AE⊥平面CDE，且AE=3，AB=6．（1）求证：AB⊥平面ADE；（2）求凸多面体ABCDE的体积．18．己知等差数列中，前n项和为S n，且满足S3=6，a4=4．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{b n}满足b n=，求数列{b n}的前n项和为T n．19．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）+b（A＞0，ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图所示．（I）求f（x）在R上的单调递增区间；（II）设x0（x0∈（0，））是函数y=f（x）的一个零点，求cos（2x0）的值．20．从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm和195cm 之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人．（Ⅰ）求第七组的频率；（Ⅱ）估计该校的800名男生的身高的中位数以及身高在180cm以上（含180cm）的人数；（Ⅲ）若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为x，y，事件E={|x﹣y|≤5}，事件F={|x﹣y|＞15}，求P（E∪F）．21．如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，直线l 与x轴交于点E，与椭圆C交于A、B两点．当直线l垂直于x轴且点E为椭圆C的右焦点时，弦AB的长为．（1）求椭圆C的方程；（2）是否存在点E，使得为定值？若存在，请指出点E的坐标，并求出该定值；若不存在，请说明理由．22．已知t＞0，设函数f（x）=x3﹣+3tx+1．（Ⅰ）若f（x）在（0，2）上无极值，求t的值；（Ⅱ）若存在x0∈（0，2），使得f（x0）是f（x）在上的最大值，求t的取值X围；（Ⅲ）若f（x）≤xe x﹣m+2（e为自然对数的底数）对任意x∈ C．（1，+∞） D．上存在x1，x2（a＜x1＜x2＜b）满足f′（x1）=，f′（x2），则称函数f（x）是上的“双中值函数”．已知函数f（x）=x3﹣x2+a是上“双中值函数”，则实数a的取值X围是（）A．（，） B．（0，1） C．（，1） D．（，1）考点：函数的单调性与导数的关系；变化的快慢与变化率．专题：导数的综合应用．分析：由新定义可知f′（x1）=f′（x2）=a2﹣a，即方程3x2﹣2x=a2﹣a在区间（0，a）有两个解，利用二次函数的性质可知实数a的取值X围解答：解：由题意可知，在区间存在x1，x2（0＜x1＜x2＜a），满足f′（x1）===a2﹣a，∵f（x）=x3﹣x2+a，∴f′（x）=3x2﹣2x，∴方程3x2﹣2x=a2﹣a在区间（0，a）有两个解．令g（x）=3x2﹣2x﹣a2+a，（0＜x＜a），∴解得＜a＜1，故选：D．点评：本题主要考查了导数的几何意义，二次函数的性质与方程根的关系，属于中档题二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，将答案填在题后的横线上．13．某单位有840名职工，现采用系统抽样抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间的人数为 3 ．考点：频率分布直方图．专题：概率与统计．分析：根据系统抽样的特点，求出组距是20，再计算样本数据落入区间的人数．解答：解：根据系统抽样的特点，得；组距应为840÷42=20，∴抽取的42人中，编号落入区间的人数为（120﹣61+1）÷20=3．故答案为：3．点评：本题考查了系统抽样方法的特征与应用问题，是基础题目．14．设奇函数f（x）的定义域为R，且周期为5，若f（1）=﹣1，f（4）=log2a，则a= 2 ．考点：函数的零点．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由函数的周期为5，可得f（4）=f（﹣1），再由奇函数的定义，可得f（4）=﹣f（1）=1，由对数的运算性质，可得a=2．解答：解：由函数f（x）的周期为5，则f（4）=f（4﹣5）=f（﹣1），由函数为奇函数，则f（﹣1）=﹣f（1）=1，即为log2a=1，解得a=2，故答案为：2．点评：本题考查函数的性质和运用，主要考查函数的奇偶性和周期性的运用，同时考查对数的运算性质，属于基础题．15．已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，过F作斜率为﹣1的直线交双曲线的渐近线于点P，点P在第一象限，O为坐标原点，若△OFP的面积为，则该双曲线的离心率为．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：过F作斜率为﹣1的直线方程为y=﹣（x﹣c），与双曲线的渐近线y=x，可得P（，），利用△OFP的面积为，可得a=3b，即可求出该双曲线的离心率．解答：解：过F作斜率为﹣1的直线方程为y=﹣（x﹣c），与双曲线的渐近线y=x，可得P（，），∵△OFP的面积为，∴=，∴a=3b，∴c==b，∴e==．故答案为：．点评：本题考查双曲线的离心率，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．16．已知数列{a n}满足a1=1，a n=log n（n+1）（n≥2，n∈N*）．定义：使乘积a1•a2…a k为正整数的k（k∈N*）叫做“易整数”．则在内所有“易整数”的和为2035 ．考点：数列的函数特性．专题：函数的性质及应用．分析：由题意，及对数的换底公式知，a1•a2•a3…a k=log2（k+1），结合等比数列的前n项和进行求解即可．解答：解：∵a n=log n（n+1），∴由a1•a2…a k为整数得1•log23•log34…log k（k+1）=log2（k+1）为整数，设log2（k+1）=m，则k+1=2m，∴k=2m﹣1；∵211=2048＞2015，∴区间内所有“易整数”为：22﹣1，23﹣1，24﹣1，…，210﹣1，其和M=22﹣1+23﹣1+24﹣1+…+210﹣1=2035．故答案为：2035．点评：本题以新定义“易整数”为切入点，主要考查了对数的换底公式及对数的运算性质的应用．三．解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算过程17．如图，正方形ABCD所在平面与三角形CDE所在平面相交于CD，AE⊥平面CDE，且AE=3，AB=6．（1）求证：AB⊥平面ADE；（2）求凸多面体ABCDE的体积．考点：直线与平面垂直的判定；组合几何体的面积、体积问题．专题：证明题；转化思想．分析：（1）根据AE⊥平面CDE的性质可知AE⊥CD，而CD⊥AD，AD∩AE=A，根据线面垂直的判定定理可知CD⊥平面ADE，而AB∥CD，，从而AB⊥平面ADE；（2）在Rt△ADE中，求出AE，AD，DE，过点E作EF⊥AD于点F，根据AB⊥平面ADE，EF⊂平面ADE，可知EF⊥AB，而AD∩AB=A，从而EF⊥平面ABCD，因AD•EF=AE•DE，可求出EF，又正方形ABCD的面积S ABCD=36，则=，得到结论．解答：（1）证明：∵AE⊥平面CDE，CD⊂平面CDE，∴AE⊥CD．在正方形ABCD中，CD⊥AD，∵AD∩AE=A，∴CD⊥平面ADE．∵AB∥CD，∴AB⊥平面ADE．（2）解：在Rt△ADE中，AE=3，AD=6，∴．过点E作EF⊥AD于点F，∵AB⊥平面ADE，EF⊂平面ADE，∴EF⊥AB．∵AD∩AB=A，∴EF⊥平面ABCD．∵AD•EF=AE•DE，∴．又正方形ABCD的面积S ABCD=36，∴=．故所求凸多面体ABCDE的体积为．点评：本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．18．己知等差数列中，前n项和为S n，且满足S3=6，a4=4．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{b n}满足b n=，求数列{b n}的前n项和为T n．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（I）设等差数列{a n}的公差为d，由S3=6，a4=4．利用等差数列的通项公式及其前n 项和公式即可得出；（II）由（I）可知：b n=，①当n为偶数时，即n=2k，k∈N*，可得T n=+（22+24+…+22k），利用等差数列与等比数列的前n项和公式即可得出；②当n为奇数时，即n=2k﹣1，k ∈N*，n+1为偶数，T n=T n+1﹣a n+1，即可得出．解答：解：（I）设等差数列{a n}的公差为d，∵S3=6，a4=4．∴，解得，∴数列{a n}的通项公式a n=1+（n﹣1）=n；（II）由（I）可知：b n=，①当n为偶数时，即n=2k，k∈N*，∴T n=+（22+24+…+22k）=2k2+=+﹣．②当n为奇数时，即n=2k﹣1，k∈N*，n+1为偶数，∴T n=T n+1﹣a n+1=﹣2n+1=+﹣．综上可得：T n=，k∈N*．点评：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）+b（A＞0，ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图所示．（I）求f（x）在R上的单调递增区间；（II）设x0（x0∈（0，））是函数y=f（x）的一个零点，求cos（2x0）的值．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数的零点．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：（I）由图象可求A，即可解得b，由周期公式解得ω，由sin（2×φ）=，结合X围φ∈（﹣，），解得φ，由2kπ≤2x+≤2kπ+，k∈Z，解得f（x）在R上的单调递增区间．（II）由条件可得：f（x0）=sin（2x0+）﹣，即sin（2x0+）=，可证f（x）在（，）上是减函数，由x0∈（0，），可得X围2x0+∈（，），由同角三角函数关系式可求cos（2x0+）的值，从而由cos2x0=cos即可得解．解答：解：（I）由图象可知，A==，故b==﹣，，即T=π，于是由=π，解得ω=2．∵sin（2×φ）=，且φ∈（﹣，），解得φ=．∴f（x）=sin（2x+）﹣…4分由2kπ≤2x+≤2kπ+，k∈Z，解得kπ≤x≤kπ+，k∈Z，即f（x）在R上的单调递增区间为：，k∈Z…6分（II）由条件可得：f（x0）=sin（2x0+）﹣，即sin（2x0+）=，∵f（）•f（0）＜0且f（x）在（0，）上是增函数，f（）=，f（）=，f（x）在（，）上是减函数，∴x0∈（0，），∴2x0+∈（，），…9分∴cos（2x0+）=，∴cos2x0=cos=cos（2x0+）cos+sin（2x0+）sin=…12分点评：本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，三角函数的图象与性质，属于基本知识的考查．20．从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm和195cm 之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人．（Ⅰ）求第七组的频率；（Ⅱ）估计该校的800名男生的身高的中位数以及身高在180cm以上（含180cm）的人数；（Ⅲ）若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为x，y，事件E={|x﹣y|≤5}，事件F={|x﹣y|＞15}，求P（E∪F）．考点：频率分布直方图．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）求出第六组的频率，利用各小组的频率和等于1，求出第七组的频率；（Ⅱ）根据各小组的频率以及中位数的概念，求出中位数的大小，再求出身高在180cm以上（含180cm）的频率与对应人数；（Ⅲ）求出第六组、第八组的人数，从中随机抽取2人的基本事件数，事件E、F的概率P（E）、P（F），再求出P（E∪F）的值．解答：解：（Ⅰ）∵第六组的频率为=0.08，∴第七组的频率为1﹣（0.008×5×2+0.016×5+0.04×5×2+0.06×5+0.08）=0.06 …（4分）（Ⅱ）身高在第一组上的最大值，求t的取值X围；（Ⅲ）若f（x）≤xe x﹣m+2（e为自然对数的底数）对任意x∈上的最大值．（Ⅲ）若f（x）≤xe x﹣m+2（e为自然对数的底数）对任意x∈．点评：本题考查导数的运用：求单调区间和求极值、最值，考查分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于中档题和易错题．。
2015年福建省高考押题试题数学 Word版含答案
2015年福建省高考押题试题数学 Word 版含答案一、选择题1.(文)已知集合{1,2}A =-，{}02B x Z x =∈≤≤，则AB =（ ）（A ）{0} （B ）{2} （C ）{0,1,2} （D ）∅1.B 由{}{}02012B x Z x B =∈≤≤==，，知{}2A B =.（理）若集合{0}A x x =≥，且AB B =，则集合B 可能是（ ）（A ）{}1,2 （B ）{1}x x ≤ （C ）{1,0,1}- （D ） R 1.A 由AB B =知B A ⊆,故选A .2.已知复数121,1z i z i =-=+，则12z z i等于（ ） （A ）2i （B ）2i - （C ）2i + （D ）2i -+2.B 212(1)(1)122z z i i i i i i i i⋅-+-====-. 3.已知命题:p R x ∃∈，2lg x x ->，命题:q R x ∀∈，1xe >，则（ ）（A ）命题p q ∨是假命题 （B ）命题p q ∧是真命题 （C ）命题()p q ∧⌝是真命题 （D ）命题()p q ∨⌝是假命题3.D 因为命题:p R x ∃∈，2lg x x ->是真命题，而命题:q R x ∀∈，1xe >，由复合命题的真值表可知命题()p q ∧⌝是真命题.4.已知122,,,8a a --成等差数列，1232,,,,8b b b --成等比数列，则212a ab -等于（ ） （A ）14 （B ）12 （C ）12- （D ）12或12- 4.B 因为122,,,8a a --成等差数列，所以218(2)23a a ----==-.又1232,,,,8b b b --成等比数列，所以2228(2)16,4b b =-⨯-==（舍去），24b =-，所以21221.42a ab --==-5.已知1122log log a b <，则下列不等式一定成立的是（ ）（A ）11()()43a b < （B ）11a b > （C ）ln()0a b -> （D ）31a b -<5.A 由1122log log a b <得，0a b >>，所以111()()()443a b b <<.6.已知,m n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，下列命题中正确的为 ( ) （A ）若,,αγβγ⊥⊥则αβ∥ （B ）若,,m n αα⊥⊥则m n ∥ （C ）若,m n αα∥∥，则m n ∥ （D ）若,,m m αβ∥∥则αβ∥6.B A 中,αβ可以是任意关系；B 正确；C 中,m n 平行于同一平面，其位置关系可以为任意．D 中平行于同一直线的平面可以相交或者平行． 7.（文）“0x <”是“ln(1)0x +<”的（ ） （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件7.B ∵010)1ln(<<-⇔<+x x ，∴“0<x ”是“0)1ln(<+x ”的必要不充分条件．（理）已知m R ∈，“函数21x y m =+-有零点”是“函数log m y x =在0+∞（，）上为减函数”的（ ）（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件7.B 函数21xy m =+-有零点时，10,1m m -<<，不满足01m <<，所以“函数log m y x=在0+∞（，）上为减函数”不成立；反之，如果“函数log m y x =在0+∞（，）上为减函数”，则有01m <<，10,m -<所以，“函数21xy m =+-有零点”成立，故选B . 8.函数)sin()(ϕω+=x x f （其中2||πϕ<）的图象如图所示，为了得到sin y x ω=的图象，只需把()y f x =的图象上所有点（ ）（A ）向左平移6π个单位长度 （B ）向右平移12π个单位长度（C ）向右平移6π个单位长度 （D ）向左平移12π个单位长度8.C 由图可知74123T T πππ=-⇒= 则22πωπ== ，又si n (2)03πϕ⨯+=，结合2||πϕ<可知3πϕ=，即()s i n 3(2)f x xπ=+，为了得到sin 2y x =的图象，只需把()sin(2)si 3n 26y f x x x ππ⎡⎤⎛⎫==+=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的图象上所有点向右平移6π个单位长度.9.某工厂对一批新产品的长度（单位：m m ）进行检测，如图是检测结果的频率分布直方图，据此估计这批产品的中位数为（ ）（A ）20 （B ）25 （C ）22.5 （D ）22.759.C 产品的中位数出现在概率是0.5的地方．自左至右各小矩形面积依次为0.1,0.2,0.4,设中位数是x ，则由0.10.20.08(20)0.5x ++⋅-=得，22.5x =．10. 如图，1F 、2F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两个焦点，以坐标原点O 为圆心，1F O 为半径的圆与该双曲线左支交于A 、B 两点，若2F AB ∆是等边三角形，则双曲线的离心率为 （ ）（A ）3 （B ）2 （C ）31- （D ）31+10.D 依题213AF AF =，12122c F F AF ==，所以()211231a A F A F A F=-=-，()1123131AF ce aAF ===+-.11.如图，在66⨯的方格纸中，若起点和终点均在格点的向量,,a b c 满足,(,)c x a y b x y R =+∈，则x y +=（ ）（A ）0 （B ） 1 （C ）55 （D ）13511.D 设方格边长为单位长1.在直角坐标系内，(1,2),(2,1),(3,4)a b c ==-=，由,(,)c x a y b x y R =+∈得，(3,4)(1,2)(2,1),(3,4)(2,2),x y x yx y =+-=+-所以2324x y x y +=⎧⎨-=⎩，解得11525x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以，x y +=135，选D .12.某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，面积最大的侧面的面积为（ ）（A ）22（B ）52 （C ）62 （D ）312.B 由三视图可知，该几何体的直观图如图所示，平面AED ⊥平面BCDE ，四棱锥的高为1，四边形BCDE 是边长为1的正方形，则111211,12,2222AED ABC ABE S S S =⨯⨯===⨯⨯=151522ACD S =⨯⨯=.13.(文) 在区间[π,π]-内随机取两个数分别记为,a b ，则使得函数222()2f x x ax b π=+-+ 有零点的概率为（ ） （A ）78（B ）34（C ）12（D ）1413.B 若使函数有零点，必须222(2)4()0a b π∆=--+≥，即222a b π+≥．在坐标轴上将,a b 的取值范围标出，如图所示当,a b 满足函数有零点时，坐标位于正方形内圆外的部分，因此概率为223144ππ-=．π2π2π-2π-2π-πaO b（理）2321(2)x x+-展开式中的常数项为（ ） （A ）-8 （B ）-12 （C ）-20 （D ）2013.C ∵236211(2)()x x x x +-=-，∴6621661()(1)r rr r r r r T C x C x x--+=-=-， 令620r -=，即3r =，∴常数项为336(1)20C -=-.14. 若程序框图如图示，则该程序运行后输出k 的值是（ ）（A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）8 14.A 第一次循环运算：3516,1n k =⨯+=；第二次：168,22n k ===；第三次：84,32n k ===；第四次：42,42n k ===；第五次：21,52n k ===，这时符合条件输出5k =.15.已知{}n a 是首项为32的等比数列，n S 是其前n 项和，且646536=S S ,则数列|}log {|2n a 前10项和为（ ）（A ）58 （B ）56 （C ）50 （D ）45 15.A 根据题意3633164S S q S -==，所以14q =，从而有72113224n n n a --=?，所以2l o g 72n a n =-，所以有2log 27n a n =-，所以数列的前10项和等于2(51)2(113)5311357911135822+++++++++++=+=.16.若G 是ABC ∆的重心，a ，b ，c 分别是角C B A ,,的对边，若303aG bG cGC A +B +=，则角=A （ ）（A ）90（B ）60 （C ）45 （D ）30 16.D 由于G 是ABC ∆的重心，0=++∴GC GB GA ，()GA GB GC +-=∴，代入得()303caGA bGB GA GB +-+=，整理得33033c c a GA b GB ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，c b a 33==∴ bc a c b A 2cos 222-+=∴2223333323c c c c c⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=23=，因此030=A .17.(文)函数()2sin 1xf x x =+的图象大致为（ ）17.A函数()f x 定义域为R ,又()()()()22sin sin 11x xf x f x x x --==-=-+-+,∴函数()f x 为奇函数.其图像关于原点对称.故排除C 、D ，又当0πx <<时，sin 0x >,所以()0f x >可排除B ，故A 正确.（理）如图所示, 医用输液瓶可以视为两个圆柱的组合体．开始输液时，滴管内匀速滴下液体（滴管内液体忽略不计），设输液开始后x 分钟, 瓶内液面与进气管的距离为h 厘米，已知当0x =时，13h =．如果瓶内的药液恰好156分钟滴完． 则函数()h f x =的图像为（ ）17.C 由题意得，每分钟滴下药液的体积为3cm π 当134≤≤h 时，),13(42h x -⋅⋅=ππ即,1613xh -=此时1440≤≤x ； 当41<≤h 时，),4(29422h x -⋅⋅+⋅⋅=πππ即,440xh -=此时156144≤<x 所以，函数在[]156,0上单调递减，且156144≤<x 时，递减的速度变快，所以应选（C ） 18 已知抛物线C ：x y 82=的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若QF PF 3=，则QF =（ ） （A ）25 （B ）38（C ） 3 （D ） 6 18.B 如下图所示，抛物线C ：x y 82=的焦点为()2,0F ，准线为:2l x =-，准线与x 轴的交点为()2,0N - ，||4FN =过点Q 作准线的垂线，垂足为M ，由抛物线的定义知||||QM QF =又因为QF PF 3=，所以，||2||2||PQ QF QM == 所以，28433QM PQQM FNPF =⇒=⨯= 所以，83QF QM ==19.已知不等式组220,22,22x y x y ⎧+-≥⎪⎪≤⎨⎪≤⎪⎩表示平面区域Ω,过区域Ω中的任意一个点P ,作圆221x y +=的两条切线且切点分别为,A B ,当APB ∠最大时, PA PB ⋅的值为（ ）（A ）2 （B ）32 （C ）52（D ）3 19.B 如图所示，画出平面区域Ω，当APB ∠最大时，APO ∠最大，故1s i n AO APO OP OP∠==最大，故OP 最小即可，其最小值为点O 到直线220x y +-=的距离2d =，故1sin 2APO ∠=，此时0260APB APO ∠=∠=，且413P A P B ==-=，故3cos 2PA PB PA PB APB⋅=⋅∠=．xy–1–2–3–41234–1–2–3–41234OPAB20.设函数)(x f 在R 上存在导数)(x f '，R x ∈∀，有2)()(x x f x f =+-，在),0(+∞上x x f <')(，若m m f m f 48)()4(-≥--，则实数m 的取值范围为（ ）（A ） ]2,2[- （B ） ),2[+∞ （C ） ),0[+∞ （D ）(,2][2,)-∞-+∞20.B 设()()212g x f x x =-因为对任意()()2,x R f x f x x ∈-+= ， 所以，()()()()()221122g x g x f x x f x x -+=---+-=()()20f x f x x -+-= 所以，函数()()212g x f x x =-为奇函数； 又因为，在),0(+∞上x x f <')(，所以，当时0x > ，()()0g x f x x ''=-< 即函数()()212g x f x x =-在),0(+∞上为减函数， 因为函数()()212g x f x x =-为奇函数且在R 上存在导数， 所以函数()()212g x f x x =-在R 上为减函数， 所以，()()()()()221144422g m g m f m m f m m --=----+ ()()()484f m f m m =----0≥所以，()()442g m g m m m m -≥⇒-≤⇒≥ 所以，实数m 的取值范围为),2[+∞. 二、填空题21.（文）已知直线3430x y +-=，6140x my ++=平行，则m = ． 21.8 由题意得6,834m m ==.（理）已知直线3430x y +-=，6140x my ++=平行，则它们之间的距离是 ． 21. 2 由题意得6,834m m ==，即681403470x y x y ++=⇒++=，所以它们之间的距离是22|7(3)|234--=+ 22. 执行如图所示的程序框图，如果输入2-，那么输出的结果是 ．22.10 若输入2- ，则0x >不成立，所以()22313110y --=+=+=，所以输出的值为10．23.（文）采用系统抽样方法从600人中抽取50人做问卷调查，为此将他们随机编号为001,002,,600，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽得的号码为003，抽到的50人中，编号落入区间[001,300]的人做问卷A ,编号落入区间[301,495]的人做问卷B ,编号落入区间[496,600]的人做问卷C ,则抽到的人中，做问卷C 的人数为 ．23.8 由于1250600=，抽到的号码构成以3为首项，以12为公差的等差数列，因此得等差数列的通项公式为()91211-=-+=n d n a a n ，落在区间[]600,496的人做问卷C 满足600912496≤-≤n ，得1295012142≤≤n ，由于n 是正整数，因此5043≤≤n ，人数为8人.（理）2014年11月，北京成功举办了亚太经合组织第二十二次领导人非正式会议，出席会议的有21个国家和地区的领导人或代表．其间组委会安排这21位领导人或代表合影留念，他们站成两排，前排11人，后排10人，中国领导人站在第一排正中间位置，美俄两国领导人站在与中国领导人相邻的两侧，如果对其他领导人或代表所站的位置不做要求，那么不同的排法共有 种（用排列组合表示）．23. 218218A A 先安排美俄两国领导人：中国领导人站在第一排正中间位置，美俄两国领导人站在与中国领导人相邻的两侧，所以美俄两国领导人的安排有22A 种不同方法；再安排其余人员，有1818A 种不同方法；所以，共有181822A A 种不同方法.24.函数)12lg()(xa x f ++=为奇函数，则实数=a . 24.-1 因为函数)12lg()(xa x f ++=为奇函数，所以()()x f x f -=-， 结束输出y 开始 xy 2log 2=0>x是输入x13+=-x y否即2221lg()lg()21111a a a x x x a x+=-+⇒+=-+-++ 2222211(2)11(1)2x a x a a x a x a x +⇒+=⇒-=+-⇒=--++ 25.已知正实数,,x y z 满足112x x yz y z ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，则11x x y z ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值为 . 25.2 由题知112x x yz y z ⎛⎫++= ⎪⎝⎭即22x x yz x y z ++=于是可将给定代数式化简得2111112222x x yz yz x x x y z y z yz yz yz⎛⎫⎛⎫++=+++=+≥= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 当且仅当2yz =时取等号.26. 如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点．从M 点测得A 点的俯角30NMA ︒∠=,C 点的仰角45CAB ∠=︒以及75MAC ∠=︒；从C 点测得60MCA ∠=︒已知山高200BC m =，则山高MN = m ．26.300 在ABC ∆中,45,90,200BAC ABC BC ∠=︒∠=︒=2002002sin 45AC ∴==︒，在AMC ∆中，75,60,MAC MCA ∠=︒∠=︒45,AMC ∴∠=︒由正弦定理可得,sin sin AM AC ACM AMC =∠∠即1002,sin 60sin 45AM =︒︒解得2003AM =,在Rt AMN ∆中sin MN AM MAN =⋅∠2003sin 60=⨯︒300()m =．27.（文）如下图所示，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1，2，3，4，5，6的横、纵坐标分别对应数列{}n a （n *∈N ）的前12项，如下表所示：按如此规律下去，则201320142015a a a ++= ．27. 1007 11a =，21a =，31a =-，42a =，52a =，63a =，72a =-，84a =， ，这个数列的规律是奇数项为1,1,2,2,3,3,---偶数项为1,2,3,，故201320150a a +=，20141007a =，故2013201420151007a a a ++=．（理）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如三角形数1,3,6,10,，第n 个三角形数为2(1)11222n n n n +=+.记第n 个k 边形数为(),N n k （3k ≥），以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数 ()211,322N n n n =+ 正方形数 ()2,4N n n = 五边形数 ()231,522N n n n =- 六边形数 ()2,62N n n n =- 可以推测(),N n k 的表达式，由此计算()10,24N = .7.1000 ()211,312322N n n n n =++++=+， ()()2,413521N n n n =++++-=，()()231,51473222N n n n n =++++-=-()()2,6159432N n n n n=++++-=-，从中不难发现其中的规律：(),N n k 就是表示以1为首相，()2k -为公差的等差数列前n 项的和，即有()()(),112122N n k k k =++-++⨯-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()112n k ++-⋅-⎡⎤⎣⎦()()11122n n k ++-⋅-⎡⎤⎣⎦=， 所以()()()101110124210,2410002N ++-⋅-⎡⎤⎣⎦==.28.已知矩形ABCD 的周长为18，把它沿图中的虚线折成正六棱柱，当这个正六棱柱的体积最大时，它的外接球的表面积为 ．28.13π 设正六棱柱的的底面边长为x ，高为y ，则69x y +=，所以302x <<，正六棱柱的体积223333()6(96)42V x x y x x =⨯=-，2'()273()V x x x =-，令2'()273()0V x xx =->，解得01x <<，令2'()273()0V x x x =-<得312x <<，即函数()V x 在(0,1)是增函数，在3(1,)2是减函数，所以()V x 在1x =时取得最大值，此时3y =.易知正六棱柱的外接球的球心是其上下中心连线的中点，如图所示，外接球的半径为2213(),22y OE x =+=所以外接球的表面积为2413.S R ππ==29.我们把离心率215+=e 的双曲线()0,012222>>=-b a b y a x 称为黄金双曲线．如图是双曲线()222222,0,01b a c b a by a x +=>>=-的图象，给出以下几个说法： ①双曲线115222=+-y x 是黄金双曲线；②若ac b =2，则该双曲线是黄金双曲线；③若21,F F 为左右焦点，21,A A 为左右顶点，1B （0，b ），2B （0，﹣b ）且021190=∠A B F ，则该双曲线是黄金双曲线；④若MN 经过右焦点2F 且21F F MN ⊥，090=∠MON ，则该双曲线是黄金双曲线． 其中正确命题的序号为 _________ ．29.①②③④对于①，215,122+==b a ，则235222+=+=b a c ，2222215235⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+==a c e ，215+=∴e ，所以双曲线是黄金双曲线；对于②，ac a c b =-=222，整理得012=--e e解得251+=e ，所以双曲线是黄金双曲线；对于③()2221222212211,,2c a A F a b A B b c B F +=+=+=，由勾股定理得()22222c a a b b c +=+++，整理得ac b =2由②可知251+=e 所以双曲线是黄金双曲线；对于④由于()0,2c F ，把c x =代入双曲线方程得12222=-by a c ，解得a b y 2±=，a b NF 22=，由对称关系知2ONF ∆为等腰直角三角形，a b c 2=∴，即ac b =2，由①可知251+=e 所以双曲线是黄金双曲线.30.设函数()y f x =的定义域为D ，如果存在非零常数T ，对于任意x D ∈，都有()()f x T T f x +=⋅，则称函数()y f x =是“似周期函数”，非零常数T 为函数()y f x =的“似周期”．现有下面四个关于“似周期函数”的命题：①如果“似周期函数”()y f x =的“似周期”为-1，那么它是周期为2的周期函数； ②函数()f x x =是“似周期函数”； ③函数-()2xf x =是“似周期函数”；④如果函数()cos f x x ω=是“似周期函数”，那么“,k k ωπ=∈Z ”． 其中是真命题的序号是 ．（写出所有．．满足条件的命题序号） 30.①③④①如果“似周期函数”()y f x =的“似周期”为-1，则)()1(x f x f -=-，则)()1()2(x f x f x f =--=-，所以它是周期为2的周期函数；②假设函数()f x x =是“似周期函数”，则存在非零常数T ，使)()(x Tf T x f =+对于R x ∈恒成立，即Tx T x =+，即0)1(=--T x T 恒成立，则1=T 且0=T ,显然不成立；③设x T x T -+-⋅=22)(，即T T =-2,易知存在非零常数T ，使T T =-2成立，所以函数-()2x f x =是“似周期函数”；④如果函数()cos f x x ω=是“似周期函数”，则x T T x T x ωωωωcos )cos()(cos =+=+，由诱导公式，得，当1=T 时，Z k k ∈=,2πω,当1-=k 时，Z k k ∈+=,)12(πω,所以“,k k ωπ=∈Z ”； 故选①③④. 三、解答题31.设函数π()4cos sin()33f x x x =-+，x ∈R .（Ⅰ）当π[0,]2x ∈时，求函数()f x 的值域；（Ⅱ）已知函数()y f x =的图象与直线1y =有交点，求相邻两个交点间的最短距离. 解析：（Ⅰ）解：因为13()4cos (sin cos )322f x x x x =-+ 3cos 32cos sin 22+-=x x x x x 2cos 32sin -==π2sin(2)3x -，因为 π02x ≤≤， 所以ππ2π2333x --≤≤， 所以 sin(3π2)123x --≤≤， 即3()2f x -≤≤， 其中当5π12x =时，()f x 取到最大值2；当0x =时，()f x 取到最小值3-，所以函数()f x 的值域为[3,2]-. （Ⅱ）依题意，得π2sin(2)13x -=，π1sin(2)32x -=， 所以ππ22π36x k -=+ 或 π5π22π36x k -=+， 所以ππ4x k =+ 或 7ππ12x k =+()k ∈Z ， 所以函数()y f x =的图象与直线1y =的两个相邻交点间的最短距离为π3. 32. (文)某车间将10名技工平均分成甲、乙两组加工某种零件，在单位时间内每个技工加工的合格零件数的统计数据的茎叶图如图所示.已知两组技工在单位时间内加工的合格零件平均数都为10.8709201012n m 甲组乙组（1）分别求出m ，n 的值；（2）分别求出甲、乙两组技工在单位时间内加工的合格零件的方差2s 甲和2s 乙，并由此分析两组技工的加工水平；（3）质检部门从该车间甲、乙两组技工中各随机抽取一名技工，对其加工的零件进行检测，若两人加工的合格零件个数之和大于17，则称该车间“质量合格”，求该车间“质量合格”的概率.（注：方差2222121=[()()()]n s x x x x x x n-+-+-+，其中x 为数据12,,,n x x x 的平均数）.解析：（1）根据题意可得：10)10121087(51=+++++=m x 甲，∴3=m ，10)1211109(51=++++=n x 乙，∴8=n ；（2）根据题意可得：2222221[(710)(810)(1010)(1210)(1310)] 5.25s =-+-+-+-+-=甲，2222221[(810)(910)(1010)(1110)(1210)]25s =-+-+-+-+-=乙，∵乙甲x x =，22乙甲s s <，∴甲乙两组的整体水平相当，乙组更稳定一些；（3）质监部门从该车间甲、乙两组技工中各随机抽取一名技工，对其加工的零件进行检测，设两人加工的合格零件数分别为),(b a ，则所有的),(b a 有)8,7(，)9,7(，)10,7(，)11,7(，)12,7(，)8,8(，)9,8(，)10,8(，)11,8(，)12,8(，)8,10(，)9,10(，(10,10)，(10,11)，(10,12)，(12,8)，(12,9)，(12,10)，(12,11)，(12,12)，(138)，，(13,9)，(13,10)，(13,11)，(13,12)，共计25个，而17a b +≤的基本事件有)8,7(，)9,7(，)10,7(，)8,8(，)9,8(，共计5个基本事件，故满足17a b +>的基本事件共有25520-=，即该车间“质量合格”的基本事件有20个，故该车间“质量合格”的概率为204255=. （理）在科普知识竞赛前的培训活动中，将甲、乙两名学生的6次培训成绩（百分制）制成如图所示的茎叶图：(Ⅰ)若从甲、乙两名学生中选择1人参加该知识竞赛，你会选哪位？请运用统计学的知识说明理由；(Ⅱ)若从学生甲的6次培训成绩中随机选择2个，记选到的分数超过87分的个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．解析：(Ⅰ)学生甲的平均成绩687679868895826x +++++==甲，学生乙的平均成绩717582848694826x +++++==乙，又22222221[(6882)(7682)(7982)(8682)(8882)(9582)]776s =-+-+-+-+-+-=甲，22222221167[(7182)(7582)(8282)(8482)(8682)(9482)]63s =-+-+-+-+-+-=乙， 则x x =甲乙，22s s >甲乙，说明甲、乙的平均水平一样，但乙的方差小，则乙发挥更稳定，故应选择学生乙参加知识竞赛.(Ⅱ)ξ的所有可能取值为0，1，2，则24262(0)5C P C ξ===，1142268(1)15C C P C ξ===，22261(2)15C P C ξ===，ξ的分布列为 ξ12P25815115所以数学期望2812()012515153E ξ=⨯+⨯+⨯=．33.(文) 如图，已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面垂直，且90ACB ∠=，30BAC ∠=，1BC =，16AA =，点P 、M 、N 分别为1BC 、1CC 、1AB 的中点．（1）求证：//PN 平面ABC ； （2）求证：1A M ⊥面11AB C ；（1）证明：连接1CB ，P 是1BC 的中点 ，1CB ∴过点P ，N 为1AB 的中点，//PN AC ∴，又AC ⊂面ABC ，PN ⊄面ABC ，//PN ∴平面ABC ；（2）证明：连结1AC ，连接1AC ，在直角ABC ∆中，1BC =，30BAC ∠=，113AC AC ∴==，1111112CC ACAC MC ==，111~Rt AC M Rt C CA ∴∆∆，11AMC CAC ∴∠=∠，1111190AC C CAC AC C AMC ∴∠+∠=∠+∠=，即11AC A M ⊥，1111B C C A ⊥，111CC B C ⊥，且1111C A CC C =， 11B C ∴⊥平面11AAC C ，111B C A M ∴⊥，又1111AC B C C =，故1A M ⊥平面11AB C ；(理) 如图，已知四棱锥P ABCD -的底面为菱形，120BCD ∠=，2AB PC ==，2AP BP ==.（Ⅰ）求证：AB PC ⊥；（Ⅱ）求二面角B PC D --的余弦值.解析：（Ⅰ）证明：取AB 的中点O ，连接,PO CO AC ，． ∵AP BP =，∴PO AB ⊥又四边形ABCD 是菱形，且120BCD ∠=︒， ∴ACB V 是等边三角形，∴CO AB ⊥ 又CO PO O =I ，∴AB PCO ⊥平面， 又PC PCO ⊂平面，∴AB PC ⊥（Ⅱ）由2AB PC ==，2AP BP ==，易求得1PO =，3OC =，∴222OP OC PC +=，OP OC ⊥以O 为坐标原点，以OC ，OB ，OP 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直坐标系O xyz -， 则(0,1,0)B ，(3,0,0)C ，(0,0,1)P ，(3,2,0)D -，ADCBP∴(3,1,0)BC =-，(3,0,1)PC =-，(0,2,0)DC =设平面DCP 的一个法向量为1(1,,)n y z =，则1n PC ⊥，1n DC ⊥，∴113020n PC z n DC y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅==⎪⎩，∴3z =，0y =，∴1(1,0,3)n = 设平面BCP 的一个法向量为2(1,,)n b c =，则2n PC ⊥，2n BC ⊥，∴223030n PC c n BC b ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，∴3c =，3b =，∴2(1,3,3)n = ∴121212427cos ,7||||27n n n n n n ⋅<>===⋅⨯， ∵二面角B PC D --为钝角，∴二面角B PC D --的余弦值为277-. 34.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为c b a ,,，满足1=c ， 且()()0cos sin sin cos =+-+B A B a C B . （1）求角C 的大小；（2）求22b a +的最大值，并求取得最大值时角,A B 的值.解析：（1）由()()0cos sin sin cos =+-+B A B a C B ， 可得()0cos sin sin cos =--C B a C B ，即C a A cos sin =，又1=c ，所以C a A c cos sin =， 由正弦定理得C A A C cos sin sin sin =，因为π<<A 0，所以>A sin 0，从而C C cos sin =，即4π=C .（2）由余弦定理222cos 2c C ab b a =-+，得1222=-+ab b a ，又222b a ab +≤，所以()122122≤+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-b a ，于是2222+≤+b a ， 当π83==B A 时，22b a +取到最大值22+.35.如图，1F 、2F 为椭圆2222:1x y C a b+=的左、右焦点，D 、 E 是椭圆的两个顶点，椭圆的离心率32e =，2312DEF S ∆=-．若00(,)M x y 在椭圆C 上，则点00(,)x y N a b 称为点M 的一个“好点”．直线l 与椭圆交于A 、B 两点， A 、B 两点的“好点”分别为P 、Q ，已知以PQ 为直径的圆经过坐标原点．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）AOB ∆的面积是否为定值？若为定值，试求出该定值；若不为定值，请说明理由． 解析：（Ⅰ）由题意得32c e a ==，故32c a =，12b a =．22113133()()(1)12222422DEF a S a c b a a a ∆=-⨯=-⨯=-=-， 故24a =，即2a =，所以112b a ==，3c = 故椭圆的标准方程为：2214x y +=． （Ⅱ）设11(,)A x y 、22(,)B x y ，则11(,)2x P y 、21(,)2xQ y ． ①当直线AB 的斜率不存在时，即12x x =，12y y =-， 由以PQ 为直径的圆经过坐标原点可得OP OQ ⊥，即221211210224x x x y y y ⨯+=-=，解得22114x y =， 又点11(,)A x y 在椭圆上，所以2211414y y +=，解得112||,||22y x ==， 所以1121||||12AOB S x y y ∆=⨯-=． ②当直线AB 的斜率存在时，设其方程为y kx m =+．由2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消y 得，222(41)8440k x kmx m +++-=由根与系数的关系可得122841kmx x k -+=+，21224441m x x k -=+由以PQ 为直径的圆经过坐标原点可得OP OQ ⊥，即1212022x x y y ⋅+⋅=， 即121204x x y y +=． 故221212121214()()()44x x k kx m kx m x x km x x m ++++=+++ 222221444844141k m km mk m k k +--=⨯+⨯+++2222821041k m m k =--=+整理得2222(21)(41)80m k k m -+-=，即222410m k --=．所以22412k m +=．而222212121222844||()4()44141km m x x x x x x k k ---=+-=-⨯++222216(41)(41)k m k =+-+ 故222212241||1||4141k AB k x x k m k +=+-=+-+而点O 到直线AB 的距离2||1m d k=+，所以222221141||||4122411AOBk m S AB d k m k k∆+=⨯=⨯+-⨯++2222222||2||4121412m m k m m m k m=+-=-=+． 综合①②可知AOB ∆的面积为定值1．36.（文）在四棱锥E ABCD -中，底面ABCD 是正方形，AC 与BD 交于点,O EC ⊥底面ABCD ，F 为BE 的中点.(1)求证：//DE 平面ACF ；(2)若2AB CE =，在线段EO 上是否存在点G ，使CG ⊥平面BDE ？若存在，求出EGEO的值；若不存在，请说明理由. 解析：（1）证明：连接OF由四边形ABCD 是正方形可知，点O 为BD 的中点 又F 为BE 的中点，所以//OF DE 又OF ⊂平面ACF ，DE ⊄平面ACF所以//DE 平面ACF (2)解法一：若CG ⊥平面BDE ，则必有CG OE ⊥ 于是作CG OE ⊥于点G由EC ⊥底面ABCD ，所以BD EC ⊥，又底面ABCD 是正方形 所以BD AC ⊥，又EC AC C ⋂=，所以BD ⊥平面ACE 而CG ⊂平面ACE ，所以CG BD ⊥又OE BD O ⊥=，所以CG ⊥平面BDE 又2AB CE =，所以22CO AB CE == 所以G 为EO 的中点，所以12EG EO = 解法二：取EO 的中点G ，连接CG ，在四棱锥E ABCD -中 2AB CE =，22CO AB CE ==，所以CG EO ⊥ 又由EC ⊥底面ABCD ，BD ⊂底面ABCD ，所以EC BD ⊥ 由四边形ABCD 是正方形可知，AC BD ⊥ 又AC EC C ⋂=所以BD ⊥平面ACE而BD ⊂平面BDE所以，平面ACE ⊥平面BDE ，且平面ACE ⋂平面BDE EO =因为CG EO ⊥，CG ⊂平面ACE ，所以CG ⊥平面BDE 故在线段EO 上存在点G ，使CG ⊥平面BDE 由G 为EO 的中点，得12EG EO = (理) 已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12,4==AB AA . （1）求证：1BD AC ⊥；（2）求二面角11--A AC D 的余弦值；（3）在线段1CC 上是否存在点P ，使得平面11ACD ⊥平面PBD ，若存在，求出1CPPC 的值；若不存在，请说明理由.证明：（1）因为1111ABCD A B C D -为正四棱柱，所以1AA ⊥平面ABCD ，且ABCD 为正方形. 因为BD ⊂平面ABCD ，所以1,BD AA BD AC ⊥⊥. 因为1AA AC A =,所以BD ⊥平面1A AC . 因为1AC ⊂平面1A AC , 所以1BD AC ⊥.（2）如图，以D 为原点建立空间直角坐标系-D xyz .则11(0,0,0),(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),(2,0,4),(2,2,4),D A B C A B 11(0,2,4),(0,0,4)C D所以111(2,0,0),(0,2,4)D A DC ==-u u u u r u u u r . 设平面11A D C 的法向量111(,,)x y z =n .所以 1110,0D A D C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uuuu ruuu r n n .即1110,240x y z =⎧⎨-=⎩ 令11z =，则12y =. 所以(0,2,1)=n .由（1）可知平面1AAC 的法向量为(2,2,0)DB =u u u r. 所以410cos ,5522DB <>==⋅uu u rn . 因为二面角11--A AC D 为钝二面角，所以二面角11--A AC D 的余弦值为105-. （3）设222(,,)P x y z 为线段1CC 上一点,且1(01)CP PC λλ=≤≤uu r uuu r.因为2221222(,2,),(,2,4)CP x y z PC x y z =-=---uu r uuu r.所以222222(,2,)(,2,4)x y z x y z λ-=---.即22240,2,1x y z λλ===+. 所以4(0,2,)1P λλ+. 设平面PBD 的法向量333(,,)x y z =m .因为4(0,2,),(2,2,0)1DP DB λλ==+uu u r uu ur ， 所以 0,0DP DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uu u r uu u rm m .即3333420,1220y z x y λλ⎧+=⎪+⎨⎪+=⎩. 令31y =，则3311,2x z λλ+=-=-. 所以1(1,1,)2λλ+=--m . 若平面11ACD ⊥平面PBD ，则0⋅=m n . 即1202λλ+-=，解得13λ=.所以当113CP PC =时，平面11ACD ⊥平面PBD . 37. 设*n ∈N ，函数ln ()n x f x x =，函数e ()xn g x x=，(0,)x ∈+∞.（Ⅰ）当1n =时，写出函数()1y f x =-零点个数，并说明理由；（Ⅱ）若曲线()y f x =与曲线()y g x =分别位于直线1l y =：的两侧，求n 的所有可能取值. 解析：（Ⅰ）证明：结论：函数()1y f x =-不存在零点. 当1n =时，ln ()x f x x =，求导得21ln ()x f x x -'=， 令()0f x '=，解得x e =. 当x 变化时，()f x '与()f x 的变化如下表所示：x(0,)ee(,)e +∞()f x '+ 0-()f x↗ ↘所以函数()f x 在(0,)e 上单调递增，在(,)e +∞上单调递减， 则当x e =时，函数()f x 有最大值1()f e e=. 所以函数()1y f x =-的最大值为1(e)110ef -=-<， 所以函数()1y f x =-不存在零点. （Ⅱ）解：由函数ln ()n x f x x =求导，得 11ln ()n n xf x x+-'=， 令()0f x '=，解得1e nx =. 当x 变化时，()f x '与()f x 的变化如下表所示：x1(0,e )n1e n1(e ,)n+∞()f x ' +0 -()f x↗↘所以函数()f x 在1(0,)n e 上单调递增，在1(,)ne +∞上单调递减， 则当1nx e =时，函数()f x 有最大值11()nf e ne=； 由函数()x n e g x x =，(0,)x ∈+∞求导，得 1e ()()x n x n g x x +-'=，令 ()0g x '=，解得x n =. 当x 变化时，()g x '与()g x 的变化如下表所示：x(0,)nn(,)n +∞()g x ' -0 +()g x↘↗所以函数()g x 在(0,)n 上单调递减，在(,)n +∞上单调递增，则当x n =时，函数()g x 有最小值()()ne g n n=.因为*n ∀∈N ，函数()f x 有最大值11(e )1enf n =<， 所以曲线ln n x y x =在直线1l y =：的下方，而曲线xn e y x=在直线1l y =：的上方，所以e()1nn>，解得e n <. 所以n 的取值集合为{1,2}.38.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，10a =，1231n n a a a a n a ++++++=，*n ∈N ．（Ⅰ) 求证：数列{1}n a +是等比数列；（Ⅱ) 设数列{}n b 的前n 项和为n T ，11b =，点1(,)n n T T +在直线112x y n n -=+上，若不等式1212911122n n nb b bm a a a a +++≥-++++对于*n ∈N 恒成立，求实数m 的最大值． 解析：（Ⅰ)由1231n n a a a a n a ++++++=，得12311(2)n n a a a a n a n -+++++-=≥ ，两式相减得121n n a a +=+， 所以112(1)n n a a ++=+ （2n ≥)，因为10a =，所以111a +=，2111a a =+=，2112(1)a a +=+ 所以{1}n a +是以1为首项，公比为2的等比数列 （Ⅱ)由（Ⅰ)得121n n a -=-，因为点1(,)n n T T +在直线112x y n n -=+上，所以1112n n T T n n +-=+， 故{}n T n 是以111T =为首项，12为公差的等差数列，则11(1)2n T n n =+-，所以(1)2n n n T +=， 当2n ≥时，1(1)(1)22n n n n n n n b T T n -+-=-=-=， 因为11b =满足该式，所以n b n =所以不等式1212911122n n nb b bm a a a a +++≥-++++， 即为2123912222n n n m -+++≥-， 令21231222n n n R -=+++，则23112322222n n nR =+++， 两式相减得231111112(1)122222222n n n nn n R -+-=++++-=-， 所以1242n n n R -+=- 由92n nR m ≥-恒成立，即2542n n m --≥恒成立， 又11232527(4)(4)222n n n n n n ++------=， 故当3n ≤时，25{4}2n n --单调递减；当3n =时，323531428⨯--=； 当4n ≥时，25{4}2n n --单调递增；当4n =时，4245614216⨯--=； 则2542n n --的最小值为6116，所以实数m 的最大值是611639.已知抛物线21:2C y px =上一点()03M y ，到其焦点F 的距离为4；椭圆()2222210y x C a b a b +=>>：的离心率22e =，且过抛物线的焦点F .（I ）求抛物线1C 和椭圆2C 的标准方程；（II ）过点F 的直线1l 交抛物线1C 于A 、B 两不同点，交y 轴于点N ，已知NA AF NB BF λμ==，，求证：λμ+为定值.（III ）直线2l 交椭圆2C 于P ，Q 两不同点，P ，Q 在x 轴的射影分别为P '，Q '，10OP OQ OP OQ ''⋅+⋅+=，若点S 满足：O S O P O Q =+，证明：点S 在椭圆2C 上.解析：（Ⅰ）抛物线21:2C y px =上一点0(3,)M y 到其焦点F 的距离为4； 抛物线的准线为2px =-抛物线上点0(3,)M y 到其焦点F 的距离||MF 等于到准线的距离d 所以342pd =+=,所以2p = 抛物线1C 的方程为24y x =椭圆22222:1(0)y x C a b a b +=>>的离心率22e =,且过抛物线的焦点(1,0)F所以1b =，22222112c a e a a-===,解得22a = 所以椭圆的标准方程为22121y x += (Ⅱ)直线1l 的斜率必存在,设为k ,设直线l 与椭圆2C 交于1122(,),(,)A x y B x y 则直线l 的方程为(1)y k x =-, (0,)N k -联立方程组:24(1)y xy k x ⎧=⎨=-⎩所以2222(24)0k x k x k -++=216160k ∆=+>,所以212212241k x x k x x ⎧++=⎪⎨⎪=⎩ (*)由,NA AF NB BF λμ==得:1122(1),(1)x x x x λλ-=-=得: 1212,11x xx x λμ==-- 所以121221121212121212(1)(1)211(1)(1)1()x x x x x x x x x x x x x x x x x x λμ-+-+-+=+==-----++ 将(*)代入上式,得12121212211()x x x x x x x x λμ+-+==--++(Ⅲ)设(,),(,)p p Q Q P x y Q x y所以(,)p Q p Q S x x y y ++,则''(,0),(,0)P Q P x Q x由''10OP OQ OP OQ ⋅+⋅+=得21P Q P Q x x y y +=-(1)2212P P y x +=,(2) 2212QQ y x +=(3) (1)+(2)+(3)得:22()()12P Q P Q y y x x +++=即(,)p Q p Q S x x y y ++满足椭圆222:121y x C +=的方程 命题得证 40.（文）已知函数21()ln (1)(0)2f x a x x a x x =+-+>，其中a 为实数. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()0f x ≥对定义域内的任意x 恒成立，求实数a 的取值范围. （3）证明，对于任意的正整数,m n ，不等式111ln(1)ln(2)ln()()nm m m n m m n ++>++++恒成立.解：（1）()(1)()(0)x a x f x x x--'=>当0a ≤时，()f x 在(0,1)上递减，在(1,)+∞上递增当01a <<时，()f x 在(0,)a ，(1,)+∞上递增，在(,1)a 上递减 当1a =时，()f x 在(0,)+∞上递增当1a >时，()f x 在(0,1)，(,)a +∞上递增，(1,)a 上递减（2）由（1）知当0a ≤时11()(1)0,22f x f a a ≥=--≥∴≤- 当0a >时，1(1)0,()02f a f x =--<∴≥不恒成立 综上：12a ≤-（3）由（2）知12a =-时，()0f x ≥恒成立 2111ln 0222x x x -+-≥ln (1)x x x ∴≤-当且仅当1x =时以“=”1x ∴>时，11ln (1),ln (1)x x x x x x <->- 1111ln(1)(1)1m m m m m ∴>=-+++ 1111ln(2)(1)(2)12m m m m m >=-+++++ ……1111ln()()(1)1m n m n m n m n m n >=-+++-+-+11111ln(1)ln(2)ln(1)()nm m m m m n m m n ∴+++>-=+++++ (理) 设函数2()ln(1)f x x m x =++．（1）若函数()f x 是定义域上的单调函数，求实数m 的取值范围；（2）若1m =-，试比较当(0,)x ∈+∞时，()f x 与3x 的大小；（3）证明：对任意的正整数n ，不等式201429(1)(3)2n n n n e e e e -⨯-⨯-+++++<成立． 解析：（1）∵222()211m x x mf x x x x ++'=+=++又函数()f x 在定义域上是单调函数. ∴ ()0f x '≥或()0f x '≤在(1,)-+∞上恒成立若()0f x '≥在(1,)-+∞上恒成立，即函数()f x 是定义域上的单调地增函数，则2211222()22m x x x ≥--=-++在(1,)-+∞上恒成立，由此可得12m ≥；若()0f x '≤在(1,)-+∞上恒成立，则()201mf x x x '=+≤+在(1,)-+∞上恒成立.即2211222()22m x x x ≤--=-++在(1,)-+∞上恒成立.∵2112()22x -++在(1,)-+∞上没有最小值 ∴不存在实数m 使()0f x '<在(1,)-+∞上恒成立.综上所述，实数m 的取值范围是1[,)2+∞.（2）当1m =-时，函数2()ln(1)f x x x =-+. 令332()()ln(1)g x f x x x x x =-=-+-+则32213(1)()3211x x g x x x x x +-'=-+-=-++ 显然，当(0,)x ∈+∞时，()0g x '<， 所以函数()g x 在(0,)+∞上单调递减又(0)0g =，所以，当(0,)x ∈+∞时，恒有()(0)0g x g <=， 即3()0f x x -<恒成立.故当(0,)x ∈+∞时，有3()f x x < （3）数学归纳法证明：1、当1=n 时，左边=10=e ，右边=2241=⨯，原不等式成立. 2、设当k n =时，原不等式成立，即2)3(2)1(92410+<++++⨯-⨯-⨯-k k e e ee k k 则当1+=k n 时，左边=222)1()1()11()1(924102)3(=⨯-+⨯--⨯-⨯-⨯-++<+++++k k k k k k e k k e e e ee 只需证明2)4()1(2)3(2)1(+⨯+<+++⨯-k k e k k k k 即证22)1(+<+⨯-k e k k 即证)2ln()1(2+<+⨯-k k k由（2）知),0(),1ln(32+∞∈+<-x x x x 即),1ln()1(2+<-x x x令1+=k x ，即有)2ln()1(2+<+⨯-k k k所以当1+=k n 时成立 由1、2知，原不等式成立补充试题1. 平面四边形ABCD 中，1AB AD CD ===,2BD =,BD CD ⊥,将其沿对角线BD 折成四面体A BCD '-,使平面A BD '⊥平面BCD ，若四面体A BCD '-的顶点在同一个球面上，则该球的体积为 （ ） （A ）32π （B ）3π （C ）23π （D ）2π 1.A 根据题意，如图，可知Rt A BD '∆中，1,2AB AD BD ===，在Rt BCD ∆中，2,1,3BD CD BC ===,又因为平面A BD '⊥平面BCD ，所以球心就是BC 的中点，半径为32r =，所以球的体积为：34332V r ππ==．2.在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，090ABC ∠=，22AB BC CD ==，则cos DAC ∠=（ ）（A ）1010 （B ）31010（C ）55 （D ）2552.B 由已知条件可得图象如下，在ACD ∆中，2222cos CD AD AC AD AC DAC =+-⨯⨯∠，∴222(2)(5)225cos a a a a a DAC =+-⨯⨯⨯∠，∴310cos 10DAC ∠=.3. 如图是一个空间几何体的三视图，该几何体的外接球的体积记为1V ，俯视图绕底边所在直线旋转一周形成的几何体的体积记为2V ,则12:V V =（ ） （A ）122（B ）82（C ）62( D ）423.D 三视图复原的几何体如图， 它是底面为等腰直角三角形，一条侧棱垂直底面的一个顶点，它的外接球，就是扩展为长方体的外接球，外接球的直径是22，该几何体的外接球的体积1V =()3482233ππ=，2V =21221133ππ⎛⎫⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭ ， ∴ 12:V V =822:4233ππ=，故选D．4. 设函数()f x 的定义域为D ，如果x D y D ,∀∈∃∈，使得()()f x fy =-成立，则称函数()fx 为“Ω函数” 给出下列四个函数：①yx =sin ；②2xy =；③11y x =-；④()ln f x x =, 则其中“Ω函数”共有（ ）（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个 4.C x D y D ,∀∈∃∈，使得()()fx fy =-，等价于x D y D ,∀∈∃∈，使得()()0f x f y +=成立①因为sin y x =是奇函数，所以()()f x f x =--，即当y x =-时，()()f x fy =-成立，故sin y x =是“Ω函数”；②因为20xy =>，故()()0f x f y +=不成立，所以2xy =不是“Ω函数”；③11y x =-时，若()()0f x f y +=成立，则11011x y +=--，整理可得()2,1y x x =-≠即当()2,1y x x =-≠时，()()0f x f y +=成立，故11y x =-是“Ω函数”；。
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莆田一中2014-2015学年度下学期高三考前模拟考数学理科第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1．设,()2a R a i i ∈-⋅且（i 为虚数单位）为正实数，则a 等于（ ）A ．1B ．0C ．-1D ．0或-12.“1g x ,1g y ,1g z 成等差数列”是“y 2=x ·z ”成立的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3. 与椭圆222211312x y +=有公共焦点，且离心率54e =的双曲线方程为（ ）A ．2222143x y -=B ．22221135x y -=C ．2222134x y -=D ．222211312x y -=4. 如图所示是一样本的频率分布直方图，则由图形中的数据,可以估计众数与中位数分别是（ ）A ．12.5 12.5B ．12.5 13C ．13 12.5D ．13 135. 连续抛掷两次骰子得到的点数分别为m 和n ，记向量(,)a m n =v ，向量(1,2)b =-v，则a b ⊥v v 的概率是（ ） A ．112 B ．16 C ．736 D ．296.一个算法的程序框图如下图所示，若运行该程序后输出的结果为45，则判断框中应填入的条件是（ ） A .i ≤ 5 ? B. i ≤ 4 ? C .i ≥4? D .i ≥5 ?第6题图7.在平面四边形ABCD 中，若AB u u u r ＝（2，4）,AC u u u r ＝(1,3)，则BD u u u r等于（ ）A. （2，4）B. （3，5）C. （－3，－5）D. （－2，－4） 8.已知某运动物体的位移随时间变化的函数关系为()2012S t v t at =+，设物体第n 秒内的位移为n a ，则数列{}n a 是（ ）A.公差为a 的等差数列B.公差为a -的等差数列C.公比为a 的等比数列D.公比为1a的等比数列 9.函数'()y f x =是函数()y f x =的导函数，且函数()y f x =在点00(,())p x f x 处的切线为：000:()'()()(),()()()l y g x f x x x f x F x f x g x ==-+=-，如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图像如图所示，且0a x b <<，那么 （ ） A ．00'()0,F x x x ==是()F x 的极大值点 B ．0'()F x =00,x x =是()F x 的极小值点 C ．00'()0,F x x x ≠=不是()F x 极值点 D ．00'()0,F x x x ≠=是()F x 极值点10. 已知函数f(x)的定义域为D,若存在非零常数t ，使得对于任意x ∈M(M ⊆D),有x+1∈d,且f(x+t )≥f(x),则称f(x)为M 上的x1函数，如果定义域为R 的函数f(x)是奇函数，当x ≥0时，f(x)=|x －a2｜－a2，且f(x)为R 上的x4函数,那么实数a 的取值范围是( )A.0＜a ＜1B.－2＜a ＜2C.－1≤a ≤1D.－2≤a ≤2第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题(本大题共5个小题,每小题4分,共20分,把答案填在答题卡的相应位置．．．．．．．．．．．．．) 11．如下图，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为2的正三角形，俯视图是一个圆，那么该几何体的体积是 。
莆田一中下学期高三考前模拟考
莆田一中2014-2015学年度下学期高三考前模拟考数学理科第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1．设,()2a R a i i ∈-⋅且（i 为虚数单位）为正实数，则a 等于（ ）A ．1B ．0C ．-1D ．0或-12.“1g x ,1g y ,1g z 成等差数列”是“y 2=x ·z ”成立的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3. 与椭圆222211312x y +=有公共焦点，且离心率54e =的双曲线方程为（ ）A ．221x y -=B ．221x y -=C ．221x y -=D ．221x y -=4. 如图所示是一样本的频率分布直方图，则由图形中的数据,可以估计众数与中位数分别是（ ）A ．12.5 12.5B ．12.5 13C ．13 12.5D ．13 135. 连续抛掷两次骰子得到的点数分别为m 和n ，记向量(,)a m n =v ，向量(1,2)b =-v，则a b ⊥v v 的概率是（ ） A ．112 B ．16 C ．736 D ．296.一个算法的程序框图如下图所示，若运行该程序后输出的结果为45，则判断框中应填入的条件是（ ） A .i ≤ 5 ? B. i ≤ 4 ? C .i ≥4? D .i ≥5 ?第6题图7.在平面四边形ABCD 中，若AB u u u r ＝（2，4）,AC u u u r ＝(1,3)，则BD u u u r等于（ ） A. （2，4） B. （3，5） C. （－3，－5） D. （－2，－4） 8.已知某运动物体的位移随时间变化的函数关系为()2012S t v t at =+，设物体第n 秒内的位移为n a ，则数列{}n a 是（ ）A.公差为a 的等差数列B.公差为a -的等差数列C.公比为a 的等比数列D.公比为1a的等比数列 9.函数'()y f x =是函数()y f x =的导函数，且函数()y f x =在点00(,())p x f x 处的切线为：000:()'()()(),()()()l y g x f x x x f x F x f x g x ==-+=-，如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图像如图所示，且0a x b <<，那么 （ ） A ．00'()0,F x x x ==是()F x 的极大值点B ．0'()F x =00,x x =是()F x 的极小值点C ．00'()0,F x x x ≠=不是()F x 极值点D ．00'()0,F x x x ≠=是()F x 极值点10. 已知函数f(x)的定义域为D,若存在非零常数t ，使得对于任意x ∈M(M ⊆D),有x+1∈d,且f(x+t )≥f(x),则称f(x)为M 上的x1函数，如果定义域为R 的函数f(x)是奇函数，当x ≥0时，f(x)=|x －a2｜－a2，且f(x)为R 上的x4函数,那么实数a 的取值范围是( )A.0＜a ＜1B.－2＜a ＜2C.－1≤a ≤1D.－2≤a ≤2第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题(本大题共5个小题,每小题4分,共20分,把答案填在答题卡的相应位置．．．．．．．．．．．．．) 11．如下图，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为2的正三角形，俯视图是一个圆，那么该几何体的体积是 。
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莆田一中2014-2015学年度高三考前模拟考数学(文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的。
1、已知i 为虚数单位，R a ∈，若ia i+-2为纯虚数，则复数i a z 2)12(++=的模等于( )A ．2B ．3C ．6D ．112、已知集合{}0122≥--=x x x A ，集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧--==2)1()13ln(2x y x B x ，则=B A ( ) A ．)1,0( B ．]1,0( C ．),1(+∞ D ．),1[+∞ 3、=-︒︒170sin 110cos 3 ( )A. 2- B ． 2 C ．4 D ． 4-4、 已知122,,,8a a --成等差数列，1232,,,,8b b b --成等比数列，则212a ab -等于（ ） A.14 B.12 C.12- D.12或12- 5、“1a <”是“1(1,)1x a x x +≥∈-+∞+对恒成立”的（ ） A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件6、ABC ∆的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，若a,b,c ，成等比数列，且c=2a ，则cosC=( )A.4B. 4-C. 34D. 34-7、已知区域02:02x M y ≤≤≤≤⎧⎨⎩，定点A （3，1），在M 内任取一点P ，使得2PA ≥率为( )A.528π-B.845π-C.524π-D.54 8、设1234518,19,20,21,22x x x x x =====，将这5个数依次输入下面的程序框图运行，则输出S 的值及其统计意义分别是( )A ．S=2,这5个数据的方差B ．S=2,这5个数据的平均数C ．S=10,这5个数据的方差D ．S=10,这5个数据的平均数9、现有四个函数：①y x sin x =⋅;②cos y x x =⋅;③|cos |y x x =⋅; ④2x y x =⋅的图象(部分)如下，但顺序被打乱，则按照从左到右将图象对应的函数序号安排正 确的一组是( )A ．④①②③B ．①④③②C ．①④②③D ．③④②①10、已知a ＞0，x ，y 满足约束条件，若z=2x+y 的最小值为1，则a=（ ）A ．B ．C ． 1D ． 211、一个三棱锥的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是全等的等腰三角形，则此三棱锥外接球的表面积为( )A ．94π B ．9π C ．4π D ．π12、定义:如果函数()f x 在[a,b]上存在1212,()x x a x x b <<<满足1()()'()f b f a f x b a -=-,2()()'()f b f a f x b a--,则称函数()f x 是[a,b]上的“双中值函数”.已知函数32()f x x x a =-+是[0,a] 上的“双中值函数”,则实数a 的取值范围是( )A.11(,)32B.(3,32)C. (12,1)D. (13,1)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，将答案填在题后的横线上．13、某单位有840名职工, 现采用系统抽样抽取42人做问卷调查, 将840人按1, 2, …, 840随机编号, 则抽取的42人中, 编号落入区间[61, 120]的人数为 ．14、设奇函数()x f 的定义域为R ，且周期为5，若()1f =-1，(),log 42a f =则a = .15、已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过F 作斜率为1-的直线交双曲线的渐近线于点P ，点P 在第一象限，O 为坐标原点，若OFP ∆的面积为228a b +，则该双曲线的离心率为 ． 16、已知数列{}n a 满足()()11,log 12,n n a a n n n N *==+≥∈.定义：使乘积12k a a a ⋅⋅⋅⋅为正整数的()k k N *∈叫做“易整数”.则在[]1,2015内所有“易整数”的和为________.三．解答题：本大题共6小题,共74分,解答应写出文字说明、证明过程或演算过程 17、（本小题满分12分）正方形ABCD 所在平面与三角形CDE 所在平面相交于CD ，AE ⊥平面CDE ，且3AE =，6AB =． （1）求证：AB ⊥平面ADE ；（2）求凸多面体ABCDE 的体积．18、（本小题满分12分）在等差数列中，前n 项和为Sn ，且满足．(1)求数列的通项公式；(2)设数列满足求数列的前n 项和为Tn ： 19、（本小题满分12分）已知函数的图象如图所示·(1)求f （x)在R 上的单调递增区间； （2）设是函数y=f(x)的一个零点，求的值．20、（本小题满分12分）从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高,被测学生身高全部介于155cm 和195cm 之间,将测量结果按如下方式分成八组:第一组[155,160),第二组[160,165),,第八组[190,195],右图是按上述分组方法得到的 频率分布直方图的一部分,已知第一组与第八组人数相同,第六组的人数为4人. (1)求第七组的频率;(2)估计该校的800名男生的身高的中位数以及身高在180cm 以上(含180cm)的人数;(3)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生,记他们的身高分别为,x y ,事件=E {5x y -≤},事件F ={15->x y },求() P E F .21、（本题满分12分）如图,在平面直角坐标系xoy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>l 与x 轴交于点E ，与椭圆C 交于A 、B 两点. 当直线l 垂直于x 轴且点E 为椭圆C 的右焦点时， 弦AB . （1）求椭圆C 的方程；（2）是否存在点E ，使得2211EA EB +为定值？若存在，请指出点E 的坐标，并求22、（本小题满分14分）已知0>t ，设函数()()3231312t f x x x tx +=-++． （1）若)(x f 在()0,2 上无极值，求t 的值；（2）若存在)2,0(0∈x ，使得)(0x f 是)(x f 在[0, 2]上的最大值，求t 的取值范围； （3）若()2x f x xe m ≤-+（e 为自然对数的底数)对任意),0[+∞∈x 恒成立时m 的最大值为1，求t 的取值范围．莆田一中2014-2015学年度5月模拟考试试卷高三 数学(文科）参考答案1-5CCDBA 6-10 BBACB 11-12 AC 13、3 14、2 15、316、2036 17、（1）证明：∵AE ⊥平面CDE ，CD ⊂平面CDE ，∴AE ⊥CD ． 在正方形ABCD 中，CD AD ⊥，∵AD AE A = ，∴CD ⊥平面ADE ． ∵AB CD ，∴AB ⊥平面ADE ．（2）解法1：在Rt △ADE 中，3AE =，6AD =，∴DE ==过点E 作EF AD ⊥于点F ，∵AB ⊥平面ADE ，EF ⊂平面ADE ， ∴EF AB ⊥． ∵AD AB A = ， ∴EF ⊥平面ABCD ． ∵AD EF AE DE ⋅=⋅，∴AE DE EF AD ⋅===ABCD 的面积36ABCD S =， ∴13ABCDE E ABCD ABCD V V S EF -==⋅13632=⨯⨯=故所求凸多面体ABCDE的体积为ABCD EFAB解法2：在Rt △ADE 中，3AE =，6AD =，∴DE ==连接BD ，则凸多面体ABCDE 分割为三棱锥B CDE - 和三棱锥B ADE -． 由（1）知，CD ⊥DE ．∴11622CDE S CD DE ∆=⨯⨯=⨯⨯=又AB CD ，AB ⊄平面CDE ，CD ⊂平面CDE ，∴AB 平面CDE ．∴点B 到平面CDE 的距离为AE 的长度．∴11333B CDE CDE V S AE -∆=⋅=⨯=∵AB ⊥平面ADE，∴11633B ADE ADE V S AB -∆=⋅==．∴ABCDE B CDE B ADE V V V --=+== 故所求凸多面体ABCDE的体积为 18、解：(Ⅰ)设数列{a n }公差为d ，由题设得⎪⎩⎪⎨⎧=+==⨯+=，，43622331413d a a d a S 解得⎩⎨⎧==，，111d a ∴ 数列{a n }的通项公式为：n a n =(n ∈N *)． ………………………………5分(Ⅱ) 由(Ⅰ)知：⎪⎩⎪⎨⎧∈-=∈==．，，，，，**12222N N k k n n k k n b n n …………………………………6分 ①当n 为偶数，即*2N ∈=k k n ，时，奇数项和偶数项各2n项， ∴ )2222()]1(262[642n n n T ++++-+++=3432221])2(1[22)222(222222-+=--+-+=+n n n n n； ………………………9分②当n 为奇数，即*12N ∈-=k k n ，时，1+n 为偶数．∴ 34322)1(23422)1(1213211-++=--++=-=+++++n n n n n n n n a T T ．综上：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈-=-++∈=-+=++．，，，，，*12*221234322)1(234322N N k k n n k k n n T n n n …………………………12分 19. 解：(Ⅰ) 由图象知，2126561=-=A ，故312161-=-=b ， 26322πππ=-=T ，即π=T ，于是由πωπ=2，解得2=ω． ∵ 6131)62sin(21=-+⨯ϕπ，且)22(ππϕ，-∈，解得6πϕ=．∴ 31)62sin(21)(-+=πx x f ． …………………………………………………4分由22ππ-k ≤62π+x ≤22ππ+k ，Z ∈k ，解得3ππ-k ≤x ≤6ππ+k ，Z ∈k ，即)(x f 在R 上的单调递增区间为Z ∈+-k k k ，，]63[ππππ．………………6分(Ⅱ)由条件得：031)62sin(21)(00=-+=πx x f ，即32)62sin(0=+πx ．∵ 0)0()6(<⋅f f π且)(x f 在)60(π，上是增函数，61)6(=πf >0，3143)4(-=πf >0，)(x f 在)46(ππ，上是减函数， ∴ )60(0π，∈x ，∴)26(620πππ，∈+x ，………9分∴ 35)62(sin 1)62cos(020=+-=+ππx x ， …………………………………10分∴]6)62cos[(2cos 00ππ-+=x x 6sin )62sin(6cos )62cos(00ππππ+++=x x6215+=． …………………………………………………………12分 20,解：(Ⅰ)第六组的频率为40.0850=,所以第七组的频率为 10.085(0.00820.0160.0420.06)0.06--⨯⨯++⨯+=; ………3分(Ⅱ)身高在第一组[155,160)的频率为0.00850.04⨯=,身高在第二组[160,165)的频率为0.01650.08⨯=, 身高在第三组[165,170)的频率为0.0450.2⨯=, 身高在第四组[170,175)的频率为0.0450.2⨯=,由于0.040.080.20.320.5++=<,0.040.080.20.20.520.5+++=> 估计这所学校的800名男生的身高的中位数为m ,则170175<<m由0.040.080.2(170)0.040.5+++-⨯=m 得174.5=m所以可估计这所学校的800名男生的身高的中位数为174.5由直方图得后三组频率为0.060.080.00850.18++⨯=,所以身高在180cm 以上(含180cm)的人数为0.18800144⨯=人；………7分 (Ⅲ)第六组[180,185)的人数为4人,设为,,,a b c d ,第八组[190,195]的人数为2人, 设为,A B ,则有,,,,,,ab ac ad bc bd cd ,,,,,,,,aA bA cA dA aB bB cB dB AB 共15种情况,因事件=E {5x y -≤}发生当且仅当随机抽取的两名男生在同一组,所以事件E 包含的基本事件为,,,,,,ab ac ad bc bd cd AB 共7种情况,故7()15P E =由于max 19518015x y -=-=,所以事件F ={15->x y }是不可能事件,()0P F = 由于事件E 和事件F 是互斥事件,所以7()()()15P E F P E P F =+=. ………12分 21、解：（1）由3c a =，设3(0)a k k =>，则c =，223b k =， 所以椭圆C 的方程为2222193x y k k+=，因直线l 垂直于x 轴且点E 为椭圆C 的右焦点，即A B x x =，代入椭圆方程，解得y k =±，于是2k =即k =， 所以椭圆C 的方程为22162x y +=………………………………5分 （2）假设存在点E ，使得2211EA EB +为定值，设0(,0)E x ，当直线AB 与x轴重合时，有202222012211(6)x EA EB x ++=+=-， 当直线AB 与x 轴垂直时，222200112662(1)6x EA EB x +==--， 由20222001226(6)6x x x +=--，解得0x =，20626x =-， 所以若存在点E，此时(E ，2211EA EB+为定值2.………8分根据对称性，只需考虑直线AB过点E ，设11(,)A x y ，22(,)B x y ， 又设直线AB的方程为x my =C 联立方程组，化简得22(3)30m y ++-=，所以12y y +=，12233y y m -=+，又222222111111(1)EA m y y m y ===++， 所以212122222222221212()21111(1)(1)(1)y y y y EA EB m y m y m y y +-+=+=+++， 将上述关系代入，化简可得22112EA EB +=.综上所述，存在点(E ，使得2211EA EB+为定值2……………12分 22,（Ⅰ）2()33(1)33(1)()f x x t x t x x t '=-++=-- ，又()f x 在(0, 2)无极值1t ∴= ………………3分（Ⅱ）①当01t <<时，()f x 在(0,)t 单调递增，在(,1)t 单调递减，在(1,2)单调递增，∴()(2)f t f ≥ 由()(2)f t f ≥得：3234t t -+≥在01t <<时无解 ②当1t =时，不合题意；③当12t <<时，()f x 在(0,1)单调递增，在(1,)t 单调递减，在(,2)t 单调递增，(1)(2)12f f t ≥⎧∴⎨<<⎩即1332212t t ⎧+≥⎪⎨⎪<<⎩523t ∴≤<④当2t ≥时，()f x 在(0,1)单调递增，在(1,2)单调递减，满足条件综上所述：),35[+∞∈t 时，存在)2,0(0∈x ，使得)(0x f 是)(x f 在[0,2]上的最大值.………………8分莆田一中2014-2015学年度5月模拟考试高三数学（文科）13、 14、15、 16、三、解答题（74分）解：。