禹城市XX中学2019-2020学年八年级上10月月考数学试题(有答案)(已审阅)

山东省禹城市XX中学2019-2020学年八年级10月月考数学试题一、选择题（每题4分，共48分）1．下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．下列叙述中错误的是（）A．能够完全重合的图形称为全等图形B．全等图形的形状和大小都相同C．所有正方形都是全等图形D．形状和大小都相同的两个图形是全等图形3．如图，AB＝DB，∠1＝∠2，请问添加下面哪个条件不能判断△ABC≌△DBE的是（）A．BC＝BE B．AC＝DE C．∠A＝∠D D．∠ACB＝∠DEB4．如图，点A，E，F，D在同一直线上，若AB∥CD，AB＝CD，AE＝FD，则图中的全等三角形有（）A．1对B．2对C．3对D．4对5．等腰三角形的一个角是80°，则它的底角是（）A．50°B．80°C．50°或80°D．20°或80°6．如图，将△ABC进行折叠，使得点A落在BC边上的点F处，且折痕DE∥BC，若∠B＝56°，则∠BDF等于（）A ．56°B ．54°C ．68°D ．62°7．如图，已知AC ＝12，BC ＝15，CD 是△ABC 的角平分线，则S △ACD ：S △BCD 为（ ）A ．11：12B ．11：15C ．4：5D ．5：48．如图，在已知的△ABC 中，按以下步骤作图：①分别以B ，C 为圆心，以大于BC 的长为半径作弧，两弧相交于两点M ，N ； ②作直线MN 交AB 于点D ，连接CD ．若CD ＝AC ，∠A ＝50°，则∠ACB 的度数为（ ）A ．90°B ．95°C ．100°D ．105°9．已知△ABC 在直角坐标系中的位置如图所示，如果△A ′B ′C ′与△ABC 关于y 轴对称，则点A 的对应点A ′的坐标是（ ）A ．（﹣3，2）B ．（3，2）C ．（﹣3，﹣2）D ．（3，﹣2）10．如图，△ABC 中，AB 的垂直平分线DE 交AC 于D ，如果AC ＝5cm ，BC ＝4cm ，那么△DBC 的周长是（ ）A ．6cmB ．7cmC ．8cmD ．9cm11．在直角坐标系中，等腰三角形ABC的底边两端点坐标是（﹣2，0），（6，0），则其顶点的坐标，能确定的是（）A．横坐标B．纵坐标C．横坐标及纵坐标D．横坐标或纵坐标12．如图所示，两个完全相同的含30°角的Rt△ABC和Rt△AED叠放在一起，BC交DE于点O，AB交DE于点G，BC交AE于点F，且∠DAB＝30°，以下四个结论：①AF⊥BC；②△ADG≌△ACF；③O为BC的中点；④AG＝BG．其中正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（每题4分，共32分）13．如图，∠ABC＝∠DEF，AB＝DE，要证明△ABC≌△DEF，需要添加一个条件为：（只添加一个条件即可）．14．工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM ＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合．过角尺顶点C的射线OC即是∠AOB的平分线．这种做法的依据是．15．如图所示的方格中，∠1+∠2+∠3＝度．16．在直角坐标系中，如图有△ABC，现另有一点D满足以A、B、D为顶点的三角形与△ABC全等，则D点坐标为．17．在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝2：3：4，则∠B＝．18．如图，△ABC中，∠A＝46°，∠C＝74°，BD平分∠ABC，交AC于点D，那么∠BDC的度数是．19．一次数学活动课上．小聪将一副三角板按图中方式叠放，则∠α等于．20．如图，在△ABC中，BC＝5cm，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则△PDE 的周长是cm．三、解答题（共70分）21．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高，AM是△ABC外角∠CAE的平分线．（1）用尺规作图方法，作∠ADC的平分线DN；（保留作图痕迹，不写作法和证明）（2）设DN与AM交于点F，判断△ADF的形状，并证明你的结论．22．（8分）如图，在平面直角坐标系中有一个△ABC，点A（﹣1，3），B（2，0），C（﹣3，﹣1）．（1）画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1（不写画法）；（2）若网格上的每个小正方形的边长为1，则△ABC的面积是．23．（8分）一个多边形的外角和是内角和的，求这个多边形的边数和内角和．24．（10分）如图，在△ABC中，∠1＝∠2，BD＝CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F．求证：∠B＝∠C．25．（12分）求证：等腰三角形底边中点到两腰的距离相等（要求画图，写已知、求证、然后证明）26．（14分）如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．（1）如果AB＝AC，∠BAC＝90°，①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2，线段CF、BD所在直线的位置关系为，线段CF、BD的数量关系为；②当点D在线段BC的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，并说明理由；（2）如果AB≠AC，∠BAC是锐角，点D在线段BC上，当∠ACB满足什么条件时，CF⊥BC（点C、F不重合），并说明理由．参考答案一、选择题1．下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形的概念求解．解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；B、不是轴对称图形，故本选项错误；C、不是轴对称图形，故本选项错误；D、是轴对称图形，故本选项正确．故选：D．【点评】本题考查了轴对称图形的知识，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．2．下列叙述中错误的是（）A．能够完全重合的图形称为全等图形B．全等图形的形状和大小都相同C．所有正方形都是全等图形D．形状和大小都相同的两个图形是全等图形【分析】能够完全重合的两个图形叫做全等形，结合各选项进行判断即可．解：A、能够重合的图形称为全等图形，说法正确，故本选项错误；B、全等图形的形状和大小都相同，说法正确，故本选项错误；C、所有正方形不一定都是全等图形，说法错误，故本选项正确；D、形状和大小都相同的两个图形是全等图形，说法正确，故本选项错误；故选：C．【点评】本题考查了全等图形的知识，要求同学们掌握全等图形的定义及性质．3．如图，AB＝DB，∠1＝∠2，请问添加下面哪个条件不能判断△ABC≌△DBE的是（）A．BC＝BE B．AC＝DE C．∠A＝∠D D．∠ACB＝∠DEB【分析】本题要判定△ABC≌△DBE，已知AB＝DB，∠1＝∠2，具备了一组边一个角对应相等，对选项一一分析，选出正确答案．解：A、添加BC＝BE，可根据SAS判定△ABC≌△DBE，故正确；B、添加AC＝DE，SSA不能判定△ABC≌△DBE，故错误；C、添加∠A＝∠D，可根据ASA判定△ABC≌△DBE，故正确；D、添加∠ACB＝∠DEB，可根据ASA判定△ABC≌△DBE，故正确．故选：B．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．4．如图，点A，E，F，D在同一直线上，若AB∥CD，AB＝CD，AE＝FD，则图中的全等三角形有（）A．1对B．2对C．3对D．4对【分析】求出AF＝DE，∠A＝∠D，根据SAS推出△BAF≌△CDE，△BAE≌△CDF，求出BE＝CF，∠AEB＝∠DFC，推出∠BEF＝∠CFE，根据SAS推出△BEF≌△CFE即可．解：∵AE＝DF，∴AE+EF＝DF+EF，∴AF＝DE，∵AB∥CD，∴∠A＝∠D，在△BAF和△CDE中，，∴△BAF≌△CDE（SAS），在△BAE和△CDF中，，∴△BAE≌△CDF（SAS），∴BE＝CF，∠AEB＝∠DFC，∴∠BEF＝∠CFE，在△BEF和△CFE中，，∴△BEF ≌△CFE （SAS ）， 即全等三角形有3对， 故选：C ．【点评】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS ，ASA ，AAS ，SSS ． 5．等腰三角形的一个角是80°，则它的底角是（ ） A ．50°B ．80°C ．50°或80°D ．20°或80°【分析】因为题中没有指明该角是顶角还是底角，则应该分两种情况进行分析．解：①当顶角是80°时，它的底角＝（180°﹣80°）＝50°； ②底角是80°．所以底角是50°或80°． 故选：C ．【点评】此题主要考查了学生的三角形的内角和定理及等腰三角形的性质的运用．6．如图，将△ABC 进行折叠，使得点A 落在BC 边上的点F 处，且折痕DE ∥BC ，若∠B ＝56°，则∠BDF 等于（ ）A ．56°B ．54°C ．68°D ．62°【分析】先根据图形翻折不变性的性质可得∠ADE ＝∠EDF ，再由平行线的性质可得∠B ＝∠ADE ＝56°，最后由平角的性质即可求解．解：∵△DEF 是△DEA 沿直线DE 翻折变换而来， ∴∠ADE ＝∠EDF ， ∵DE ∥BC ，∠B ＝56°， ∴∠B ＝∠ADE ＝56°， ∴∠ADE ＝∠EDF ＝56°，∴∠BDF ＝180°﹣∠ADE ﹣∠EDF ＝180°﹣56°﹣56°＝68°． 故选：C ．【点评】本题考查的是图形翻折变换的性质及平行线的性质，熟知折叠的性质是解答此题的关键． 7．如图，已知AC ＝12，BC ＝15，CD 是△ABC 的角平分线，则S △ACD ：S △BCD 为（ ）A．11：12 B．11：15 C．4：5 D．5：4【分析】先求出AE＝AC＝12，再利用相似三角形的性质得出BD：AD，最后用等高的两三角形的面积比等于底的比即可．解：如图，过点A作AE∥BC交BD的延长线于E，∴∠BCD＝∠E，∵CD是∠ACB的角平分线，∴∠BCD＝∠ACD，∴AE＝AC＝12，∵∠BCD＝∠E，∠BDC＝∠ADE，∴△BCD∽△AED，∴，∵BC＝15，AE＝12，∴＝，过点C作CF⊥AB于F，∴＝＝，故选：C．【点评】此题主要考查了角平分线的意义，相似三角形的判定和性质，利用等高的两三角形的面积的比等于底的比是解本题的关键．8．如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线MN交AB于点D，连接CD．若CD＝AC，∠A＝50°，则∠ACB的度数为（）A．90°B．95°C．100°D．105°【分析】由CD＝AC，∠A＝50°，根据等腰三角形的性质，可求得∠ADC的度数，又由题意可得：MN是BC 的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得：CD＝BD，则可求得∠B的度数，继而求得答案．解：∵CD＝AC，∠A＝50°，∴∠ADC＝∠A＝50°，根据题意得：MN是BC的垂直平分线，∴CD＝BD，∴∠BCD＝∠B，∴∠B＝∠ADC＝25°，∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝105°．故选：D．【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．注意垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．9．已知△ABC在直角坐标系中的位置如图所示，如果△A′B′C′与△ABC关于y轴对称，则点A的对应点A′的坐标是（）A．（﹣3，2）B．（3，2）C．（﹣3，﹣2）D．（3，﹣2）【分析】让点A的横坐标为原来横坐标的相反数，纵坐标不变可得所求点的坐标．解：∵A的坐标为（﹣3，2），∴A关于y轴的对应点的坐标为（3，2）．故选：B．【点评】考查图形的对称变换；用到的知识点为：两点关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标互为相反数．10．如图，△ABC中，AB的垂直平分线DE交AC于D，如果AC＝5cm，BC＝4cm，那么△DBC的周长是（）A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm【分析】由于AB的垂直平分线交AC于D，所以AD＝BD，而△DBC的周长＝BD+CD+BC＝AD+CD+BC＝AC+BC，而AC＝5cm，BC＝4cm，由此即可求出△DBC的周长．解：∵DE是AB的垂直平分线，∴AD＝BD，∴△DBC的周长＝BD+CD+BC＝AD+CD+BC＝AC+BC，而AC＝5cm，BC＝4cm，∴△DBC的周长是9cm．故选：D．【点评】此题主要考查了线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．结合图形，进行线段的等量代换是正确解答本题的关键．11．在直角坐标系中，等腰三角形ABC的底边两端点坐标是（﹣2，0），（6，0），则其顶点的坐标，能确定的是（）A．横坐标B．纵坐标C．横坐标及纵坐标D．横坐标或纵坐标【分析】先确定出等腰三角形的顶点在线段AB的垂直平分线上（除过点D）即可得出结论．解：如图，记等腰三角形底边的两端点分别为A和B，即：A（﹣2，0），B（6，0），作AB的垂直平分线交x轴于点D，即：D（2，0），∴等腰三角形的顶点在直线x＝2上（除过点D），∴顶点坐标的横坐标为2，故选：A．【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，利用等腰三角形的三线合一的性质得出顶点的位置是解本题的关键．12．如图所示，两个完全相同的含30°角的Rt △ABC 和Rt △AED 叠放在一起，BC 交DE 于点O ，AB 交DE 于点G ，BC 交AE 于点F ，且∠DAB ＝30°，以下四个结论：①AF ⊥BC ；②△ADG ≌△ACF ；③O 为BC 的中点；④AG ＝BG ．其中正确的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【分析】①根据已知得出∠CAF ＝30°，∠GAF ＝60°，进而得出∠AFB 的度数； ②利用ASA 证明△ADG ≌△ACF 得出答案；③利用△AGO ≌△AFO ，得出AO ＝CO ＝AC ，进而得出BO ＝CO ＝AO ，即O 为BC 的中点；④在Rt △AGE 中，由∠AGE ＝90°，∠E ＝30°，推出AG ＝AE ，又AB ＝AE ，可得AG ＝AB 解决问题． 解：∵两块完全相同的含30°角的直角三角板叠放在一起，且∠DAB ＝30°． ∴∠CAF ＝30°， ∴∠GAF ＝60°， ∴∠AFB ＝90°，∴AF 丄BC 正确，故①正确，∵AD ＝AC ，∠DAG ＝∠CAF ，∠D ＝∠C ＝60°， ∴△ADG ≌△ACF 正确，故②正确， ∵△ADG ≌△ACF ， ∴AG ＝AF ， ∵AO ＝AO ，∠AGO ＝∠AFO ＝90°， ∴△AGO ≌△AFO ， ∴∠OAF ＝30°， ∴∠OAC ＝60°， ∴AO ＝CO ＝AC ，∴BO ＝CO ＝AO ，故③正确，在Rt △AGE 中，∵∠AGE ＝90°，∠E ＝30°，∴AG ＝AE ， ∵AB ＝AE ，∴AG ＝AB ，∴AG＝GB，故④正确．故选：D．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质、直角三角形中30度角的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．二、填空题（每题4分，共32分）13．如图，∠ABC＝∠DEF，AB＝DE，要证明△ABC≌△DEF，需要添加一个条件为：BC＝EF（只添加一个条件即可）．【分析】本题是开放题，应先确定题中给出的条件，再对应三角形全等条件求解．解：所添条件为：BC＝EF．∵BC＝EF，∠ABC＝∠DEF，AB＝DE∴△ABC≌△DEF（SAS）．【点评】本题考查了全等三角形的判定，三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．14．工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM ＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合．过角尺顶点C的射线OC即是∠AOB的平分线．这种做法的依据是SSS证明△COM≌△CON．【分析】由三边相等得△COM≌△CON，即由SSS判定三角全等．做题时要根据已知条件结合判定方法逐个验证．解：由图可知，CM＝CN，又OM＝ON，OC为公共边，∴△COM≌△CON，∴∠AOC＝∠BOC，即OC即是∠AOB的平分线．故答案为：SSS证明△COM≌△CON．【点评】本题考查了全等三角形的判定及性质．要熟练掌握确定三角形的判定方法，利用数学知识解决实际问题是一种重要的能力，要注意培养．15．如图所示的方格中，∠1+∠2+∠3＝135 度．【分析】标注字母，然后根据网格结构可得∠1与∠3所在的三角形全等，然后根据全等三角形对应角相等可以推出∠1+∠3＝90°，再根据∠2所在的三角形是等腰直角三角形可得∠2＝45°，然后进行计算即可得解．解：如图，根据网格结构可知，在△ABC与△ADE中，，∴△ABC≌△ADE（SSS），∴∠1＝∠DAE，∴∠1+∠3＝∠DAE+∠3＝90°，又∵AD＝DF，AD⊥DF，∴△ADF是等腰直角三角形，∴∠2＝45°，∴∠1+∠2+∠3＝90°+45°＝135°．故答案为：135．【点评】本题主要考查了全等图形，根据网格结构的特点找出全等三角形以及等腰直角三角形是解题的关键．16．在直角坐标系中，如图有△ABC，现另有一点D满足以A、B、D为顶点的三角形与△ABC全等，则D点坐标为（0，﹣2）或（2，﹣2）或（2，2）．【分析】先求出BC的长，根据题意得出两种情况，画出图形，即可得出答案．解：∵A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，2），∴BC＝，∴符合条件的有两种情况：①AD＝BC＝，如图：②BD＝BC＝，如图：即符合条件的D点坐标是（0，﹣2），（﹣2，﹣2），（2，2），故答案为：（0，﹣2），（2，﹣2），（2，2）．【点评】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．17．在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝2：3：4，则∠B＝60°．【分析】设一份是x°，则∠A＝2x°，∠B＝3x°，∠C＝4x°，再根据三角形的内角和是180°列方程求解．解：设一份是x°，则∠A＝2x°，∠B＝3x°，∠C＝4x°．则有2x+3x+4x＝180，x＝20．则∠B＝3x°＝60°；故答案为：60°．【点评】此题考查了三角形的内角和定理．18．如图，△ABC中，∠A＝46°，∠C＝74°，BD平分∠ABC，交AC于点D，那么∠BDC的度数是76°．【分析】先根据三角形内角和，得到∠ABC的度数，再根据角平分线的定义，得出∠DBC，进而根据三角形内角和，即可得到∠BDC的度数．解：∵∠A＝46°，∠C＝74°，∴∠ABC＝60°，∵BD平分∠ABC，∴∠DBC＝30°，∴△BCD中，∠BDC＝180°﹣∠C﹣∠DBC＝76°，故答案为：76°【点评】本题主要考查了三角形内角和定理的运用，解题时注意：三角形内角和等于180°．19．一次数学活动课上．小聪将一副三角板按图中方式叠放，则∠α等于75°．【分析】根据两直线平行，内错角相等求出∠1的度数，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式进行计算即可得解．解：如图，∠1＝30°，所以，∠α＝∠1+45°＝30°+45°＝75°．故答案为：75°．【点评】本题主要考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键．20．如图，在△ABC中，BC＝5cm，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则△PDE 的周长是 5 cm．【分析】分别利用角平分线的性质和平行线的判定，求得△DBP和△ECP为等腰三角形，由等腰三角形的性质得BD＝PD，CE＝PE，那么△PDE的周长就转化为BC边的长，即为5cm．解：∵BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，∴∠ABP＝∠PBD，∠ACP＝∠PCE，∵PD∥AB，PE∥AC，∴∠ABP＝∠BPD，∠ACP＝∠CPE，∴∠PBD＝∠BPD，∠PCE＝∠CPE，∴BD＝PD，CE＝PE，∴△PDE的周长＝PD+DE+PE＝BD+DE+EC＝BC＝5cm．故答案为：5．【点评】此题主要考查了平行线的判定，角平分线的性质及等腰三角形的性质等知识点．本题的关键是将△PDE的周长就转化为BC边的长．三、解答题（共70分）21．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高，AM是△ABC外角∠CAE的平分线．（1）用尺规作图方法，作∠ADC的平分线DN；（保留作图痕迹，不写作法和证明）（2）设DN与AM交于点F，判断△ADF的形状，并证明你的结论．【分析】（1）以D为圆心，以任意长为半径画弧，交AD于G，交DC于H，分别以G、H为圆心，以大于GH 为半径画弧，两弧交于N，作射线DN，交AM于F．（2）求出∠BAD＝∠CAD，求出∠FAD＝×180°＝90°，求出∠CDF＝∠AFD＝∠ADF，推出AD＝AF，即可得出答案．解：（1）如图所示：（2）△ADF是等腰直角三角形．理由：∵AB＝AC，AD是高，∴∠BAD＝∠CAD又∵AM是△ABC外角∠CAE的平分线，∴∠FAD＝×180°＝90°，∴AF∥BC，∴∠CDF＝∠AFD．又∵∠AFD＝∠ADF，∴∠CDF＝∠ADF．∴AD＝AF．∴△ADF是等腰直角三角形．【点评】本题考查了作图﹣基本作图，等腰三角形的性质和判定的应用，主要培养学生的动手操作能力和推理能力，题目比较典型，难度也适中．22．（8分）如图，在平面直角坐标系中有一个△ABC，点A（﹣1，3），B（2，0），C（﹣3，﹣1）．（1）画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1（不写画法）；（2）若网格上的每个小正方形的边长为1，则△ABC的面积是9 ．【分析】（1）根据关于y轴对称的点的坐标特点画出△A1B1C1即可；（2）利用矩形的面积减去三个顶点上三角形的面积即可．解：（1）如图所示；（2）S△ABC＝4×5﹣×2×4﹣×3×3﹣×1×5＝20﹣4﹣﹣＝9．故答案为：9．【点评】本题考查的是作图﹣轴对称变换，熟知轴对称的性质是解答此题的关键．23．（8分）一个多边形的外角和是内角和的，求这个多边形的边数和内角和．【分析】设这个多边形的边数为n，由n边形的内角和是（n﹣2）•180°，多边形的外角和是360°列出方程，解方程求出n的值，进而得到这个多边形的内角和．解：设这个多边形的边数为n，依题意得：（n﹣2）180°＝360°，解得n＝9，所以内角和为（9﹣2）180°＝1260°．答：这个多边形的边数为9，内角和为1260°．【点评】本题考查了多边形内角与外角，掌握n边形的内角和是（n﹣2）•180°，多边形的外角和是360°是解题的关键．24．（10分）如图，在△ABC中，∠1＝∠2，BD＝CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F．求证：∠B＝∠C．【分析】欲证明∠B＝∠C，只要证明Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）即可．证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEA＝∠DFA，在Rt△AED和Rt△AFD中，，∴△AED≌△AFD（AAS），∴DE＝DF，在Rt△BDE和Rt△CDF中，，∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），∴∠B＝∠C．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．25．（12分）求证：等腰三角形底边中点到两腰的距离相等（要求画图，写已知、求证、然后证明）【分析】根据题意画出图形，写出已知与求证，然后证明：连接AD，由AB＝AC，D为BC中点，利用等腰三角形的“三线合一”性质得到AD为顶角的平分线，由DE与AB垂直，DF与AC垂直，根据角平分线上的点到角两边的距离相等即可得到DE＝DF，得证．已知：如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，求证：DE＝DF．证明：连接AD，∵AB＝AC，D是BC中点，∴AD为∠BAC的平分线（三线合一的性质），又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF（角平分线上的点到角的两边相等）．【点评】本题主要考查等腰三角形的性质的应用，关键是掌握等腰三角形的腰相等且底边上的两个角相等，及角平分线上的点到角两边的距离相等．26．（14分）如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．（1）如果AB＝AC，∠BAC＝90°，①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2，线段CF、BD所在直线的位置关系为垂直，线段CF、BD的数量关系为相等；②当点D在线段BC的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，并说明理由；（2）如果AB≠AC，∠BAC是锐角，点D在线段BC上，当∠ACB满足什么条件时，CF⊥BC（点C、F不重合），并说明理由．【分析】（1）当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立．由正方形ADEF的性质可推出△DAB≌△FAC，所以CF＝BD，∠ACF＝∠ABD．结合∠BAC＝90°，AB＝AC，得到∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝90°．即CF⊥BD．（2）当∠ACB＝45°时，过点A作AG⊥AC交CB的延长线于点G，则∠GAC＝90°，可推出∠ACB＝∠AGC，所以AC＝AG，由（1）①可知CF⊥BD．证明：（1）①正方形ADEF中，AD＝AF，∵∠BAC＝∠DAF＝90°，∴∠BAD＝∠CAF，又∵AB＝AC，∴△DAB≌△FAC，∴CF＝BD，∠B＝∠ACF，∴∠ACB+∠ACF＝90°，即CF⊥BD．②当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立．由正方形ADEF得AD＝AF，∠DAF＝90度．∵∠BAC＝90°，∴∠DAF＝∠BAC，∴∠DAB＝∠FAC，又∵AB＝AC，∴△DAB≌△FAC，∴CF＝BD，∠ACF＝∠ABD．∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ABC＝45°，∴∠ACF＝45°，∴∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝90度．即CF⊥BD．（2）当∠ACB＝45°时，CF⊥BD（如图）．理由：过点A作AG⊥AC交CB的延长线于点G，则∠GAC＝90°，∵∠ACB＝45°，∠AGC＝90°﹣∠ACB，∴∠AGC＝90°﹣45°＝45°，∴∠ACB＝∠AGC＝45°，∴AC＝AG，∵∠DAG＝∠FAC（同角的余角相等），AD＝AF，∴△GAD≌△CAF，∴∠ACF＝∠AGC＝45°，∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝45°+45°＝90°，即CF⊥BC．【点评】本题考查三角形全等的判定和直角三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．。