斐波那契数列

第1章绪论

布置的作业共6题：

基础知识题：1.6 1.7 1.8 1.10

算法设计题：1.17 1.20

一、基础知识题

◆1.6 ③在程序设计中，常用下列三种不同的出错处理方式：

（1）用exit语句终止执行并报告错误；

（2）以函数的返回值区别正确返回或错误返回；

（3）设置一个整型变量的函数参数以区别正确返回或某种错误返回。

试讨论这三种方法各自的优缺点。]

答题思路：查错和容错能力

答：程序出错处理是指发现错误并根据出错的原因作出适当的处理，处理的目的是找到出错的原因。出错的原因一般包括缺乏某些资源和程序设计有问题两类。如果是前者，程序仍然可以继续运行，只是处于等待资源或执行其他流程的状态。如果是后者，则需要修改源代码。

◆1.7 ③在程序设计中，可采用下列三种方法实现输出和输入：

（1）通过scanf和printf语句；

（2）通过函数的参数显式传递；

（3）通过全局变量隐式传递。

试讨论这三种方法的优缺点。

答题思路：错误局部化（软件模块化）、执行效率（内存开销）

答：在正规的软件设计中，要求各模块之间以恰当的方式进行调用，以便使各模块中出现的错误局部化。

其是方式3，在出现错误时查错的开销将很大，尽量不使用。

◆1.8 ④设n为正整数，试确定下列各程序段中前置以记号@的语句的频度。评析：频度≠时间复杂度

注意：（1）、（2）、（3）三个程序段中任何两段都不等效(即k和i的终值不相同

)

书后附有答案

标答：程序段（8）取自著名的McCarthy91函数

⎩

⎨⎧≤+>-=100

))1((10010)(x x M M x x x M 对任何 x ≤100，M(x)=91。此程序实质上是一个双重循环，对每个y(>0)值，@语句执行11次，其中10次是执行x++。

刘解：请注意x 的初值已经是91了，必须加到101才能终止程序的循环。if 语句从x=91开始直到x=101都执行，共执行11次，其中10次是执行x++。

1.10 ②按增长率由小至大的顺序排列下列各函数：

2100,（2/3）n，（3/2）n，（4/3）n，n n，n2/3，n3/2，n，n!，n，log2n，n/ log2n，log22n，log2(log2n )，n log2n，n log2n。

解：按规律：

则可以先迅速粗分类，然后再用求比值极限的方法来确定大小？

【2100, log2(log2n )，log2n，log22n，n，n，n log2n，】

【n2/3，n3/2，n!，n/ log2n，n log2n】

【（2/3）n，（4/3）n，（3/2）n，n n】

正确顺序为：【（2/3）n，2100, log2(log2n )，log2n，log22n，n，n2/3，n/ log2n，n，n log2n】

【n3/2，（4/3）n，(3/2)n，n log2n，n!，n n】

二、算法设计题（1.17， 1.20）

评析：算法复杂度的考虑

◆ 1.17 ③已知k阶裴波那契序列的定义为：

f0=0, f1=0, …, f k-2=0, f k-1=1;

f n=f n-1+ f n-2+……+ f n-k，n=k, k+1,……

试编写求k阶裴波那契序列的第m项值的函数算法，k和m均以值调用的形式在函数参数表中出现。

解：该题答案思路见习题集P181。

在编写此题的函数的过程中，首先应根据参量m和k区分下列4种情况：

1）m<0;—————————非法

2）0≤m

3）m=k-1；————————1

4）m≥k。————————需要计算

其次，在计算m≥k的f m值时，可先对计算公式作数学处理，将f i+1表示为f i和f i-k的简单函数，最后考虑计算f n所需的辅助空间。

参考程序：

Status fib(int k, int m, int &f) //求k阶斐波那契序列的第m项的值f

{

int temp; // 开辟一维向量存放每个f值。

if(k<2||m<0) return ERROR; // k<2（即k≥2时才有意义）或m<0时属于非法越界

if(m

else if (m= =k-1 || m= =k) f=1;

else

{

for(i=0;i<=k-2;i++) temp[i]=0;

temp[k-1]=1; temp[k]=1; //初始化,前面分量对应的f值为0，而后面开始有累加

sum=1;

j=0;

for(i=k+1; i<=m; i++, j++) //求出序列第k至第m个元素的值

temp[i]=2*sum-temp[j];//此公式怎么来的？见下面分析推导。

f=temp[m];

}

return OK;

}//fib

分析: k阶斐波那契序列的第m项的值

f[m]=f[m-1]+f[m-2]+...... + f[m-(k-1)] + f[m-k]

=f[m-1]+f[m-2]+......+ f[m-(k-1)] + f[m-k] + f[m-k-1]-f[m-k-1]

=2*f[m-1]-f[m-k-1]

所以上述算法的时间复杂度仅为O(m)。如果采用递归设计，将达到O(k m)。即使采用暂存中间结果的方法，也将达到O(m2)。