第二章 对偶理论对偶单纯形法运筹学基础及其应用胡运权第五版
《运筹学教程》胡云权 第五版 运筹学--线性规划--2单纯形法
x1, x2, …, xn ≥ 0
其中bi ≥0 ，i = 1, 2, …, m
右端项非负
线性规划的求解方法——图解法
Max Z= x1 + 2 x2 2 x1 + 2 x2 ≤ 8 2 x1 + 2 x2 = 8
4
Z=6 3
最优解：x1=2, x2=2
最优值：Z=6
0 x1 + 2 x2 ≤ 4
线性规划问题数学模型的一般形式
Z c1x1 c2 x2 cn xn 目标函数： max(min)
三要素
a11 x1 a12 x2 a1n xn (, )b1 约束条件： a21 x1 a22 x2 a2 n xn (, )b2 a x a x a x (, )b mn n m m1 1 m 2 2 x1 , x2 ,, xn 0
x1 , x2 ≥ 0
2
2 x2 = 4
图解法步骤：
Z=2 1 o 1 2 3 4 x1
1、建立直角坐标系；
2 、图示约束条件，判断可行域；
3 、图示目标函数和寻找最优解；
解的重要概念
可行解（或可行点） ：满足所有约束条件的向量 x ( x1 , x2 , xn ) 可行域：所有的可行解的全体
1 x1 2 x2 x3 x4 3 2 x1 x2 x , x , x , x 0 1 2 3 4
6个基，最多 C m 个 n
线性规划标准型解的概念
基解：当A中的基B取定后，不妨设B表示A中的前m列，则可 记 A (B N ) ，相应地X ( X B X N )T , 约束条件AX=b可表示为 X B ，即 X B1b B1NX ，当取 X 0 时，则 X B1b B N AX ( B N ) b N B
运筹学胡运权第五版课件(第二章)分析
2 x3 4 x4 4 x2 x3 x4 6
x1 0, x2，x3 0, x4无约束
对偶问题：max w 5 y1 4 y2 6 y3
y1 2 y2
2
s.t.
y1 3 y1
2 y2
y3 y3
3 5
y1 4 y2 y3 1
y1 0, y2 0, y3无约束
zmax=wmin .
证： 设X*是原问题的最优解，则所有检验数都非正。
即 = C- CB B-1 A 0 ∴ CB B-1 A C 令 CBB-1 = Y* T，有 Y*T A C, 转置得A TY* CT -----------------------① 又因为 S′ = -CBB-1 = -Y * T 0，所以Y* = -（ S′）T 0------②
4x1 2x2 6x3 24
s.t.
3x1 6x2 4x3 15
5x2 3x3 30
x1 0, x2无约束，x3 0
解：第一步 改写为 min 的基本形式
令x1 x1，x2 x2 x2
min z 7x1 （4 x2 x2） 3x3
4
x1
（2 x2
x2）
6 x3
24
证明： 由弱对偶性： 当X 和Y 分别是P和D的可行解时，CX bTY 若CX ，则不存在Y 使得CX bTY； 若bTY ，则不存在X 使得CX bTY。
注：逆定理不成立。 即“如果原问题无可行解，那么对偶问题有无界解”不成立。 此时，对偶问题可能有无界解，也可能无可行解。
4、强对偶性（对偶定理） 若原问题有最优解，则对偶问题一定有最优解，且
由①②知Y*是对偶问题的可行解，
而 CX* = CB b ′，其满足: CX* =CB (B-1 b) = CB B-1b = Y*T b= b TY* 由最优性(性质2)，∴ Y*是对偶问题的最优解。
运筹学基础及应用第五版 胡运权34015电子教案
例：要离最小的方案。
A
5 S
5 B
5
D
T
C
E
4
即求图中的最小部分树
2、求法
方法一： 避圈法 将图中所有的点分V为V两部分， V——最小部分树中的点的集合 V——非最小部分树中的点的集合
⑴ 任取一点vi，令vi∈V，其他点在V中 ⑵ 在V与V相连的边中取一条最短的边(vi,vj)， 加粗(vi,vj)，令vj∈V ，并在V中去掉vj ⑶ 重复⑵ ，至所有的点均在V之内。
人
ABCDE F
甲
√
√
√
乙
√
√
√
丙
√
√
丁
√
√
戊
√
√
√
己
√
√
√
解：构造一个六阶图如下： 点：表示运动项目。
边：若两个项目之间有同一名运动员报名参加， 则对应的两个点之间连一条边。
A
F
B
E
C
D
为满足题目要求，应 该选择不相邻的点来 安排比赛的顺序：
A—C—B—F—E—D
或D—E—F—B—C—A
§6.2 树图和图的最小部分树
e4
e5
e6 e7
v3
v4
例如：e6= [v2,v3]
特别的，若边e的两个端点重合，则称e为环。
若两个端点之间多于一条边，则称为多重边。 简单图：无环、无多重边的图。
e7 v4
e3
v1 e8
v5
e5
e6 e2
e1
v3
e4
v2
4、点v的次（或度，degree）
与点v关联的边的条数，记为dG(v)或d(v)。 • 悬挂点 次为1的点，如 v5
运筹学胡运权第五版课件
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课件概览 线性规划 动态规划
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课件概览
课件简介
课程名称：运筹学胡运权第五版课件 课程内容：包括线性规划、非线性规划、整数规划、动态规划、图与网络优化等 课程目标：帮助学生掌握运筹学的基本理论和方法提高分析和解决问题的能力 课程特点：理论与实践相结合注重案例分析和实际问题的解决
最小生成树问题：在无向图中寻找最小生 成树
最大流问题：在流网络中寻找最大流
最小费用流问题：在流网络中寻找最小费 用流
网络可靠性问题：评估网络可靠性提高网 络稳定性
网络优化算法：如Dijkstr算法、Floyd算 法、Kruskl算法等
网络优化算法
最短路径算 法：Dijkstr
算法、 Floyd算法
等
图论与网络优化应用案例
物流网络优化：通过图论方 法优化物流网络降低物流成 本
社交网络优化：通过图论方 法优化社交网络提高社交网
络的稳定性和可靠性
交通网络优化：通过图论方 法优化交通网络提高交通效 率
电力网络优化：通过图论方 法优化电力网络提高电力系
统的稳定性和可靠性
感谢观看
汇报人：
课件结构
• 运筹学概述 • 线性规划 • 非线性规划 • 动态规划 • 随机规划 • 决策分析 • 网络规划 • 排队论 • 库存论 • 博弈论 • 运筹学应用案例 • 运筹学发展前景 • 运筹学与其他学科的关系 • 运筹学学习方法与技巧
课件特点
内容全面：涵盖了运筹学的基本概念、理论和方法 结构清晰：按照章节进行划分便于理解和掌握 实例丰富：提供了大量的实例和案例便于理解和应用 习题丰富：提供了大量的习题和练习便于巩固和提高
运筹学 胡运权 第二章
第1页
第二章 线性规划的对偶理论
一、问题的提出: 设用两种原料（A、B）
生产三种产品的一个生产计划问题
m f ( x) = x1 + 2x2 + 4x3 ax x1 + 2x2 + 2x3 ≤ 25 s.t. 2x1 + x2 + 2x4 ≤15 x1, x2 , x3 ≥ 0
华东师范大学
《运筹学》 运筹学》
第11页 11页
弱对偶性的推论： 对偶性的推论：
max问题的任何可行解目标函数值是其对偶min问 题目标函数值的下限； min问题的任何可行解目标 函数值是其对偶max问题目标函数值的上限。 如果原max(min)问题为无界解，则其对偶 min (max) max(min) 问题无可行解。 如果原max(min)问题有可行解，其对偶 min (max) 问题无可行解，则原问题为无界解。 存在原问题和对偶问题同时无可行解的情况。
华东师范大学
14 December 2010
《运筹学》 运筹学》
第10页 10页
1. 弱对偶性定理（P55） 对偶问题(min)的任何可行解Y0，其目 标函数值 bTY0 总是不小于原问题(max) 的任何可行解X0的目标函数值CTX0, 即 CTX0 ≤ bTY0
14 December 2010
14 December 2010
华东师范大学
《运筹学》 运筹学》
第8页
表2.1 对偶变换的规则
原问题(max,≤) ≤ 原问题 系数矩阵 A 目 标 系数 C 常数 项 b 第 i 行约束条件为 ≤ 型 第 i 行约束条件为 ≥ 型 第 i 行约束条件为 = 型 决策变量 xj ≥ 0 决策变量 xj ≤ 0 决策变量 xj ±不限 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ 对偶问题(min,≥) ≥ 对偶问题 系数矩阵 AT 常数项 b 目 标 系数 C 对偶变量 yi ≥ 0 对偶变量 yi ≤ 0 对偶变量 yi ±不限 第 j 行约束条件为 ≥ 型 第 j 行约束条件为 ≤ 型 第 j 行约束条件为 = 型
运筹学胡运权第02章
•极大化问题的每个约束对应于极小化问题 的一个变量，其每个变量对应于对偶问题 的一个约束。
max Z c1 x1 c2 x2 cn xn
对 偶 问 题 的 定 义
a11 x1 a12 x 2 a1n x n (, )b1 a 21 x1 a 22 x 2 a 2 n x n (, )b2 a x a x a x (, )b m2 2 mn n m m1 1 x j 0( 0, 或符号不限) j 1 ~ n
c3 x3 c3 x3 max z c1 x1 c2 x2
对偶变量 y1 y2′
y2″
y3′
非 对 偶 形 式 的 原对 偶 问 题
例2-4
b2 y2 b3 y3 min w b1 y1 b2 y2
令各约束对应的对偶变量分别为y1、y2′、y2″、 -y3′
（2.4a） （2.4b） （2.4c）
（2.4d）
先转换成对称形式，如下：
a11 x1 a12 x2 a13 x3 a13 x3 b1 a x a x a x a x b 2 21 1 22 2 23 3 23 3 s.t. a21 x1 a22 x2 a23 x3 a23 x3 b 2 a x a x a x a x b3 31 1 32 2 33 3 33 3 x1 0，x2 0，x3 0，x3 0
a11 y1 a21 y2 a21 y2 a31 y3 c1 a y a y a y a y c 2 12 1 22 2 22 2 32 3 s.t. a13 y1 a23 y2 a23 y2 a33 y3 c 3 a y a y a y a y c 3 23 2 33 3 13 1 23 2 y1 0，y2 0，y2 0，y3 0
运筹08(第二章)运筹学第五版课件(历史上最好的,最全面的课件)
初始表中是 I 的位置，经变换后成为 B 1
其中 Y ( y 1 , y 2 ,..., y m )
记
Y CBB
1
1
Y 0 CBB
N
1
则
CN CBB
1
1
N C N YN
1
b B b;
N B
N ,或
P j B
Pj
例：书 P36 例10，验证上述公式。 上述公式对于灵敏度分析很有帮助 。
b
i 1
m
i
ˆ y i ，于是上式应为等式，即有
a
i 1 j 1
m
n
ij
ˆ ˆ x j yi
b
i 1
m
i
ˆ yi
( a
i 1 j 1
m
n
ij
ˆ ˆ x j bi ) y i 0
2012-8-18
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而
a
j 1
n
ij
ˆ x j bi 0 ;
ˆ yi 0
且两者最优目标函数值相等，即 证明 设有线性规划问题
max z min w
。
max Z CX ; AX X s b ; X , X s 0
经单纯形法计算后，令Y C B B
基可行解 基变量
1
0， 最终表中
非基变量
b
I
0 CB CBB
1
N
B
B
1
j
1 1 N C N C B B N Y C B B
6、设原问题是： max Z CX
2012-8-18
11
运筹学教程 胡运权 第5版
运筹学教程胡运权第5版1. 简介《运筹学教程》是一本经典的运筹学教材，由胡运权教授编写，已经出版了第5版。
本教程旨在介绍运筹学的基本概念、方法和应用，帮助读者掌握运筹学的基本原理和技巧。
2. 内容概述本教程分为十个章节，涵盖了运筹学的主要内容。
第一章：运筹学概述本章介绍了运筹学的基本概念和发展历程，阐述了运筹学在现代管理决策中的重要作用。
第二章：线性规划本章介绍线性规划的基本概念、模型和求解方法，包括单纯形法和对偶理论等内容。
第三章：整数规划本章介绍整数规划的基本概念和求解方法，包括分枝定界法和割平面法等内容。
第四章：非线性规划本章介绍非线性规划的基本概念和求解方法，包括梯度法和牛顿法等内容。
第五章：动态规划本章介绍动态规划的基本概念和求解方法，包括最优子结构和状态转移方程等内容。
第六章：网络优化本章介绍网络优化的基本概念和求解方法，包括最小生成树和最短路问题等内容。
第七章：多目标规划本章介绍多目标规划的基本概念和求解方法，包括帕累托最优解和权衡法等内容。
第八章：排队论本章介绍排队论的基本概念和模型，包括利用泊松分布和指数分布建模等内容。
第九章：库存管理本章介绍库存管理的基本概念和模型，包括经济订货量和安全库存等内容。
第十章：决策分析本章介绍决策分析的基本概念和方法，包括决策树和期望值法等内容。
3. 学习目标通过学习本教程，读者可以掌握以下技能：•理解运筹学的基本概念和方法；•掌握线性规划、整数规划、非线性规划等方法的应用；•学会运用动态规划、网络优化、多目标规划等方法解决实际问题；•掌握排队论、库存管理、决策分析等方法的应用。
4. 使用说明读者可以将本教程作为自学资料，按照章节顺序逐步学习。
每个章节都包括基本概念的讲解、求解方法的介绍和案例分析。
在阅读本教程时，读者可以使用Markdown文本格式进行标注和整理笔记。
Markdown具有简单易学、格式清晰的特点，适合用于文档编写和批注。
5. 结语《运筹学教程》是一本经典的运筹学教材，适合作为运筹学的入门教材或者参考资料。
(运筹学第二章)线性规划的对偶理论
第二章线性规划的对偶理论1．对偶问题的提出2．原问题与对偶问题3．对偶问题的基本性质4．影子价格5对偶单纯形法5．对偶单纯形法6．灵敏度分析7．参数线性规划1§1．对偶问题的提出原问题设某企业有m种资源用于生产n种不同产品，各种（i=1m）又生产单位第j种资源的拥有量分别为b i （i=1，…，m），又生产单位第j种产品（j=1，…，n）消费第i种资源a ij 单位，产值为c j 元。
用x 代表第j种产品的生产数量，为使该企业产值最大，可将上述问题建立线性规划模型j 将上述问题建立线性规划模型：max z =c 1x 1+c 2x 2+…+c n x n a 11x 1+a 12x 2+…+a 1n x n ≤b 1a 21x 1+a 22x 2+…+a 2n x n ≤b 2………………2a m 1x 1+a m 2x 2+…+a m n x n ≤b m x 1，x 2，…，x n ≥0§1．对偶问题的提出现在从另一角度提出问题：假定有另一企业欲将上述企业拥有的资源收买过来，至少应付出多少代价，才能使前一拥有的资源收买过来，至少应付出多少代价，才能使前企业愿意放弃生产活动，出让资源。
设用y i 代表收买该企业一单位i种资源时付给的代价，则总收买价为：ωb ω = b1y 1＋…＋b m y m 前一企业生产一单位第j种产品时，消耗各种资源的数量分别为a 1j ，a 2j ，…，a mj ，如果出让这些资源，价值应不低于单位j种产品的价值c j 元，因此：a 1 j y 1+ a 2 j y 2 + …+ a m j y m ≥ c j 3j j j j （j =1，…，n）§1．对偶问题的提出对后一企业来说，希望用最小代价把前一企业所有资源收过来此有有资源收买过来，因此有：min ω=b1y 1＋b 2y 2＋…＋b m y m a11y 1+a 21y 2+…+a m 1y m ≥c 1a 12y 1+a 22y 2+…+a m 2y m ≥c 2………………a 1n y 1+a 2n y 2+…+a mn y m ≥c ny 1，y 2，…，y m ≥04§1对偶问题的提出§1．对偶问题的提出max z = c 1x 1+ c 2x 2+ … + c n x na x +a x ++a xb a 1 1x 1+ a 1 2x 2 + … + a 1 n x n ≤b 1a 2 1x 1+ a 2 2x 2 + … + a 2 n x n ≤b 2………………a m 1x 1+ a m 2x 2 + … + a m n x n ≤b mmin ω = b 1y 1＋b 2y 2＋…＋b m y mx 1 ，x 2 ，… ，x n ≥0a 1 1y 1+ a 21 y 2 + … + a m 1y m ≥c 1a 1 2y 1+ a 22y 2 + … + a m 2y m ≥c 2………………a 1n y + a 2n y 2+ … + a y ≥c 51 n 12 n 2 mn m ny 1，y 2，… ，y m ≥0§2．原问题与对偶问题后一个线性规划问题是前一个问题从不同角度作的阐述如前者称为线性规划问的话的阐述。
运筹学基础及应用第五版 胡运权资料
对偶问题(原问题) 约束右端项 目标函数系数 约束条件系数向量 AT 约束条件个数
min
约束方程 j : =
变量 y i : yi 0 y i 无约束 yi0
2.3 对偶问题的基本性质
Max z = CX
Min w = Y b
s t . AX b
s t . YA C
X0
X1 0 , X2 0
2.资源最低售价模型
设第i种资源收购价格为yi,（ i=1, 2, 3, 4,） 则有 min w= 12y1 + 8y2 + 16y3 +12 y4
s.t 2y1 + y2 + 4y3 +0 y4 2
2y1 +2y2 + 0y3 +4 y4 3 yi 0, (i=1, 2, 3, 4 )
s.t AX b X 0
min w’’ = -CX s.t -AX -b X0
min w = Y b
s.t YA C Y0 例2
max w’ = -Y b
s.t -YA -C Y0
对偶模型其它结构关系
（2）若模型为
max z = C X
s.t AX b
变形
X 0
min w=Y ´(-b)
Y0
(1) 弱对偶性：
若 X0——原问题可行解，Y0——对偶问题可行解 则 CX0 Y0b
证明： ∵ Y0 0， AX0 b， ∴ Y0 AX0 Y0 b，
而 Y0 A C ， ∴ Y0AX0 CX0 ，
∴ CX0 Y0 AX0 Y0 b
（2）最优性：
若 X0——原问题可行解，Y0——对偶问题可行解，且 CX0 = Y0b
运筹学基础及应用第五版 胡运权
则 CX0 CX* Y*b Y0b
但 CX0 = Y0 b， ∴ CX0 = CX* = Y* b = Y0 b ∴ X0 = X* ， Y0 = Y* 即 X0——原问题最优解， Y0——对偶问题最优解 证毕。
（3）无界性
若原问题（对偶问题）最优解无界，则对偶问题（原问 题）无可行解 证：由性质1，C X0 Y0 b，当 CX0 ∞ 时，则不可 能存在Y0，使得 C X0 Y0 b 。
设 备 产品
A
B
C
D
单位利润
甲产品 乙产品
现有材料 数量
2 2 12
1 2 8
4 0 16
0 4 12
2 3
1.最大生产利润模型
设 企业生产甲产品为X1件， 乙产品为X2件，则
max z= 2 X1 +3 X2
2.资源最低售价模型
设第i种资源收购价格为yi,（ i=1, 2, 3, 4,） 则有
min w= 12y1 + 8y2 + 16y3 +12 y4 y1 y2 y3 y4
列单纯表计算：
Cj → CB XB b 0 y4 -2 0 y5 -1 cj - zj -24 y2 0 y5 cj - zj -24 y2 -5 y3 cj - zj 1/4 1/2 1/3 -1/3 -15 -24 -5 0 0
y1
0 -5
y2
-6 -2
y3
-1 -1
y4
1 0
y5
0 1 0 0 1
s.t
2 X1
+2 X2 12 X1 +2 X2 8 4 X1 16 4 X2 12 X1 0 , X2 0
胡运权运筹学第五版答案
胡运权运筹学第五版答案【篇一：运筹学基础及应用第四版胡运权主编课后练习答案】xt>习题一 p46 1.1 (a)412该问题有无穷多最优解，即满足4x1z?3。
6x26且0?x2?的所有?x1,x2?，此时目标函数值(b)用图解法找不到满足所有约束条件的公共范围，所以该问题无可行解。
1.2(a) 约束方程组的系数矩阵12a833106?403000200??0?1t最优解x??0,10,0,7,0,0?。
(b) 约束方程组的系数矩阵1a222314??2??最优解1.3(a)(1) 图解法11??2x??,0,,0?5?5?t。
最优解即为?3x14x295x12x28的解x31,2，最大值z352(2)单纯形法首先在各约束条件上添加松弛变量，将问题转化为标准形式 max z?10x1?5x2?0x3?0x4?3x1?4x2?x3?9s.t. ?5x12x2x48则p3,p4组成一个基。
令x1?x2?0得基可行解x??0,0,9,8?，由此列出初始单纯形表12。
??min?898,53?520，??min?2183,??142?2?新的单纯形表为1,20，表明已找到问题最优解x1?1, x2?32,x3?0 , x4?0。
最大值z*352(b) (1) 图解法6x1?2x2x1?x2?最优解即为?6x12x224x1?x2?5的解x73,22?，最大值z172(2) 单纯形法首先在各约束条件上添加松弛变量，将问题转化为标准形式 max z?2x1?x2?0x3?0x4?0x55x2?x3?15??s.t. ?6x1?2x2?x4?24xxx5125则p3，p4，p5组成一个基。
令x1?x2?0得基可行解x??0,0,15,24,5?，由此列出初始单纯形表12。
??min??,245?,??461?155,24,20，??min?3?32?2新的单纯形表为【篇二：运筹学基础及应用第四版胡运权主编课后练习答案】xt>习题一 p46 1.1 (a)41的所有?x1,x2?，此时目标函数值2该问题有无穷多最优解，即满足4x1?6x2?6且0?x2?z?3。
《运筹学》胡运权清华版-2-01对偶问题
应用场景限制
对偶问题在某些应用场景中可能存在限制， 需要探索更广泛的应用领域和场景。
对偶问题的未来发展方向
交叉学科融合
对偶问题将与数学、物理、工程等多个学科交叉融合，形成新的 研究领域和方向。
算法优化与并行计算
针对大规模对偶问题的求解，将发展更高效的算法和并行计算技 术，提高求解效率。
应用领域拓展
02
对偶问题在优化、机器学习、大数据等领域的应用将进一步深
化，推动相关领域的发展。
算法创新
03
针对对偶问题的求解算法将不断创新，提高求解效率，满足大
规模复杂问题的求解需求。
对偶问题的研究难点与挑战
理论证明
对偶理论中的一些基本定理和性质仍需进一 步证明和完善，以增强其数学严谨性。
求解难度
求解动态规划对偶问题的方法包括状态转移方程、最优子结构、备忘录法等。这些方法可以帮助我们找 到最优解，并避免重复计算。
在求解动态规划对偶问题时，需要注意对偶问题的最优解并不一定对应原问题的最优解，因此需要对解 进行验证和调整。
博弈论对偶问题的求解方法
01
博弈论是研究多个决策者之间 决策问题的学科，而博弈论对 偶问题则是将原问题转化为求 最大值的问题。
题
非线性规划对偶问题是将原非线 性规划问题的目标函数和约束条 件转换为对偶形式后得到的新问 题。
对偶问题的重要性
理论意义
对偶问题在运筹学理论中具有重要的 地位，它揭示了原问题与对偶问题之 间的内在联系，有助于深入理解运筹 学的基本原理。
应用价值
在实际应用中，对偶问题可以用于求 解原问题的近似解或启发式解，提高 求解效率，尤其在处理大规模优化问 题时具有显著的优势。
运筹学(胡运权)第五版复习提纲汇总
《运筹学1》复习提纲第一章线性规划和单纯形法1. 规划问题的三要素2. 线性规划问题的条件3. 线性规划问题的标准形式4. 标准化方法5.作用在目标函数中的系数松弛变量化不等式约束为等式约束0人工变量使系数矩阵有单位矩阵-M（大M法）6. 可行解、可行域、最优解7. 基、基向量、基变量、非基变量、基解、基可行解（至多个）、可行基、最优基8. 各种解之间的关系9. 图解法10. 检验数11.线性规划问题解的类型用最终表判别的方法无可行解有非0人工变量有可行解有唯一最优解无非0人工变量，非基变量的检验数全为负数有无穷多最优解无非0人工变量，非基变量的检验数全非正，且有一个非基变量的检验数为0有无界解无非0人工变量，有一个非基变量的检验数为正数且这一列的系数全非正12. 单纯形表的结构：前两行，后一行，前三列，后一列，主体部分13. 单纯形法的步骤14. 人工变量法（1）大M法（2）两阶段法15. 单纯形法的向量矩阵描述（不考）初始表中的基变量在最终表中的矩阵是B-1最终表中的基变量在初始表中的矩阵是B 课后练习1.1,1.2(b,1.3(a,1.6(a,1.7(a,1.8,1.12,1.14第二章线性规划的对偶理论1、原问题的基本形式对偶问题的基本形式2、原问题与对偶问题的互化3、对偶问题的基本性质1 弱对偶性2 最优性3 无界性4 强对偶性5 互补松弛性（由松得紧性）6 互补的基解4、利用对偶理论求最优解的方法5、影子价格6、灵敏度分析（不考）1 分析Cj，可使最优解不变2 分析bi，可使最优基不变3 增加一个变量的分析课后练习2.1(a,b,2.2,2.4,2.9(a,b,c第三章运输问题1、运输问题的已知条件：产销平衡表，单位运价表运输问题有最优解的条件：产销平衡2、m产n销的运输问题有mn个决策变量，有m+n个约束条件，有m+n-1个基变量（有数字格），有mn-(m+n-1个非基变量（空格）3、调运方案表（基可行解）：有数字格，空格4、空格的闭回路的构成闭回路的作用：1 计算检验数2 改进方案5、利用检验数判断调运方案的最优性若有负检验数，则此方案要改进；若无负检验数，则此方案为最优方案。
第二章 对偶理论对偶单纯形法运筹学基础及其应用胡运权第五版
最终目的就是在经过一次迭代以后，任然保持对偶 可行，即所有的检验系数非正。
§2.3 对偶单纯形法 The Dual Simplex Method
Ch2 Dual Problem
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【例2.10】用对偶单纯形法求解
min z 2 x1 3 x2 4 x3 x1 2 x2 x3 3 2 x1 x2 3 x3 4 x , x , x 0 1 2 3
【解】先将约束不等式化为等式，再两边同乘以（－1）， 同时转化为求最大，得到
c1 cm
x1 xm
b1 1 0 bm 0 1
j cj zj
0 0 m1
n
§2.3 对偶单纯形法 The Dual Simplex Method
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（1）将线性规划的约束化为等式，求出一组基本解，因 为对偶问题可行，即全部检验数 λj≤0（max）或λj≥0（min）,当基本解可行时，则达到最优 解；若基本解不可行，即有某个基变量的解bi<0，则进行 换基计算； （2）先确定出基变量。 bi＝min bi | bi 0,行对应的变量xl l i 出基； （3）再选进基变量。求最小比值
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表2－4
XB b x1 x4 -3 -1 x5 -4 -2 检验数 0 -2 比值 1 x4 -1 0 x1 2 1 检验数 4 0 比值 — x2 0.4 0 x1 2.2 1 检验数 5.6 0 最优解： x2=0.4 x1=2.2 x2 -2 1 -3 — -2.5 -0.5 -4 1.6 1 0 0 x3 x4 -1 1 -3 0 -4 0 1.3333 — 0.5 1 1.5 0 -1 0 — — -0.2 -0.4 1.4 -0.2 -1.8 -1.6 Max z = -5.6 x5 0 1 0 — -0.5 -0.5 -1 2 0.2 -0.4 -0.2
对偶理论PPT课件
x3
0
0
0
1
1/3
x2＋(1/2)x4 ＝6
x2
0
0
1
0
1/2
3x12－0对16(1/3/应/32)3x对4＋偶(1/3问)x5 题＝2的一x个1 基本0.运解筹学y》1Ⅰ＝1 史慧0萍,y2＝0 5/2,y03＝0 -1/3
右边
x5
1
36
-1/3 2
0
6
1/3
2
最终表 20
对偶变量的经济意义和影子价格
第二章 对偶理论
2.1对偶问题 2.2灵敏度分析 2.3对偶单纯形法
.运筹学》Ⅰ 史慧萍
1
2.1对偶理论
一、对偶问题的提出 二、原问题和对偶问题的变换规则 三、对偶问题的性质
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.运筹学》Ⅰ 史慧萍
2
一、对偶问题的提出
解：Ⅱ设的x数1为量每。周线生性产规产划品模Ⅰ型的为数量；x2为每周生产产品
3)无界性 若原问题(对偶问题)为无界解，则其对偶问题(原问 题)无可行解(逆命题不成立)。
4) 可行解是最优解的性质（最优性） 设X是原问题的可行解， Y是对偶问题的可行解。当CTX＝bTY时，则X、Y皆为最优 解。
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.运筹学》Ⅰ 史慧萍
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5)强对偶性 （对偶定理） 原规划有最优解，则对偶规划 也有最优解，且它们的最优解的最优值相同。 可以证明，(P)和(D)的解一般说来共有下述三种情况：
x1
0
1
0
对偶问题是寻找最优价格使总成本最低从数学模型的形式上看它们也是关联的其一般形式是原问题p对偶问题dmax2016323原问题与对偶问题的标准形式比较2016323原问题与对偶问题的标准形式的比较原关系min2016323二线性规划的原问题和对偶问题的变换规则原问题或对偶问题对偶问题或原问题目标函数max无约束约束条件右端项目标函数变量的系数目标函数变量的系数约束条件右端项
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设原问题是（记为LP）：
max Z CX AX b X 0
对偶问题是（记为DP）： min w Yb
YA C Y 0
对偶单纯形法的条件是：初始表中对偶问题可行，即极大 化问题时λj≤0，极小化问题时λj≥0。
根据对偶性质6，可以构造一个求线性规划的另一种方法， 即对偶单纯形法。
对偶单纯形法的计算步骤：
§2.3 对偶单纯形法 The Dual Simplex Method
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单纯形表
CB 基 b
x1 xmቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
xm1 xn
a1m1 a1n a mm1 a mn
a ij
化问题时λj≥0，分母aij<0 这时必须取绝对值。在极大化
问题中，λ≤j0分母aij<0， aij 总满足非负，这时绝对值 符号不起作用，可以去掉。如在本例中将目标函数写成
j
max z ' 4 x1 x2 3x3
这里λj≤0在求θk时就可以不带绝对值符号。
§2.3 对偶单纯形法 The Dual Simplex Method
§2.3 对偶单纯形法 The Dual Simplex Method
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应当注意： （1）用对偶单纯形法求解线性规划是一种求解方法，而 不是去求对偶问题的最优解； （2）初始表中一定要满足对偶问题可行，也就是说检验 数满足最优判别准则；
（3）最小比值中 j 的绝对值是使得比值非负，在极小
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（4）对偶单纯形法与普通单纯形法的换基顺序不一样，普通单纯 形法是先确定进基变 量后确定出基变量，对偶单纯形法是先确定出基变量后确定进基变 量； （5）普通单纯形法的最小比值是 其目的是保证下一个原问题的基本解可行，对偶单纯形法的最小比 值是
b min i aik 0 i aik
cj zj cs z s (c j z j ) (c s z s ) 0, 即 a rs a rs a rj a rj
最终目的就是在经过一次迭代以后，任然保持对偶 可行，即所有的检验系数非正。
§2.3 对偶单纯形法 The Dual Simplex Method
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max z z 2 x1 3x 2 4 x3 x1 2 x 2 x3 x 4 3 2 x1 x 2 3x3 x5 4 x 0, j 1,2,,5 j
用对偶单纯形法，迭代过程如下页
§2.3 对偶单纯形法 The Dual Simplex Method
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表2－4
XB b x1 x4 -3 -1 x5 -4 -2 检验数 0 -2 比值 1 x4 -1 0 x1 2 1 检验数 4 0 比值 — x2 0.4 0 x1 2.2 1 检验数 5.6 0 最优解： x2=0.4 x1=2.2 x2 -2 1 -3 — -2.5 -0.5 -4 1.6 1 0 0 x3 x4 -1 1 -3 0 -4 0 1.3333 — 0.5 1 1.5 0 -1 0 — — -0.2 -0.4 1.4 -0.2 -1.8 -1.6 Max z = -5.6 x5 0 1 0 — -0.5 -0.5 -1 2 0.2 -0.4 -0.2
j min | alj 0 j alj
其目的是保证下一个对偶问题的基本解可行；
（6）对偶单纯形法在确定出基变量时，若不遵循
规则，任选一个小于零的bi对应的基变量出基，不影响 计算结果，只是迭代次数可能不一样。
bl min bi | bi 0
§2.3 对偶单纯形法 The Dual Simplex Method
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• (7)如果对应于某个bi<0，该行所有的a’ij≥0， 则该问题无可行解,因为由方程
xr ar ,m1 xm1 ar ,n xn br 0
• 可知，此时不可能存在xj≥0(j=1, …n) 的解
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【例2.10】用对偶单纯形法求解
min z 2 x1 3 x2 4 x3 x1 2 x2 x3 3 2 x1 x2 3 x3 4 x , x , x 0 1 2 3
【解】先将约束不等式化为等式，再两边同乘以（－1）， 同时转化为求最大，得到
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• 为何在选择进基变量是只是考虑 aij 0 的 那些非基变量呢，这是因为在单纯形表中 x 第r行对应的方程， r ar,m1 xm1 ar,n xn br 0 为了保持这个等式成立，同时保持变量的 非负性，就只有系数为负的那些变量才能 够取正值，也就是才能作为基变量。 • 那么到底在这些个当中选择哪个进基呢， 选择的xs必须保证让所有的
c1 cm
x1 xm
b1 1 0 bm 0 1
j cj zj
0 0 m1
n
§2.3 对偶单纯形法 The Dual Simplex Method
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（1）将线性规划的约束化为等式，求出一组基本解，因 为对偶问题可行，即全部检验数 λj≤0（max）或λj≥0（min）,当基本解可行时，则达到最优 解；若基本解不可行，即有某个基变量的解bi<0，则进行 换基计算； （2）先确定出基变量。 bi＝min bi | bi 0,行对应的变量xl l i 出基； （3）再选进基变量。求最小比值
j k min | alj 0 j alj
（4）求新的基本解，用初等变换将主元素alk化为l,k列其 它元素化为零，得到新的基本解，转到第一步重复运算。
§2.3 对偶单纯形法 The Dual Simplex Method
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