9-2,3小结

所截曲线在点 M0 处的切线对 y 轴的斜率
练习】 【练习】 x2 + y2 z = 曲线 4 在点(2,4,5)处的切线对于 x 轴 y = 4 π x x 的倾角是多少? tanα = z′ (2,4) = 2 x=2 = 1 α = 4 =
∂ ∂z ∂ 2 z = f xy ( x , y ) , = 四、高阶偏导数 ∂ y ∂ x ∂ x∂ y
0 f ( ∆x , 0) − f (0, 0) = lim = 0, lim f x (0, 0) = ∆x → 0 ∆x → 0 ∆x ∆x
0 f y (0, 0) = lim f (0, ∆y ) − f (0, 0) = lim = 0, (0,0)处偏导存在 处偏导存在 ∆y → 0 ∆y → 0 ∆ y ∆y
即
x + 2y + 1 = 0
题目转化为： 题目转化为： 所求平面垂直于平面z 所求平面垂直于平面 = 0， ， 并通过点 (1, − 1,1) 和垂足 (0, − 1 , 1 )的 连线 2 2 解3：设所求平面为 Ax + By + D = 0 ：
代入 (1, − 1,1) 和垂足 (0, − 1 , 1 )
代入 (1, − 1,1)和垂足 (0, − 1 , 1 ) 2 2
C = 0 A− B + C + D = 0 1 B+ 1 C+ D=0 − 2 2
A = D B = 2D C = 0 D = D
故所求平面为 x + 2 y + 1 = 0
题目转化为： 题目转化为： 所求平面垂直于平面z 所求平面垂直于平面 = 0， ， 并通过点 (1, − 1,1) 和垂足 (0, − 1 , 1 )的 连线 2 2 用平面束 解6： ：
题目转化为： 题目转化为： 所求平面垂直于平面z 所求平面垂直于平面 = 0， ， 并通过点 (1, − 1,1) 和垂足 (0, − 1 , 1 )的 连线 2 2 解5：设所求平面为 Ax + By + Cz + D = 0 ： r 所求 面 ⊥ 平面z = 0, 即n ⊥ (0, 0,1),
（方法2）已知直线化为参数式代入垂平面得垂足 略) 方法 ）已知直线化为参数式代入垂平面得垂足(略
所求平面垂直于平面z 所求平面垂直于平面 = 0， ， 题目转化为： 题目转化为： 并通过点 (1, − 1,1) 和垂足 (0, − 1 2 , 1 2 )的 连线
r 解1：设所求平面法向量为 n = ( A, B , C ) ：
二、关系 可偏导
偏导数存在 【补例】 补例】
连续
连续. 连续.
z = x2 + y2
f ( x, y) =
处显然连续, x 2 + y 2 , 在( 0,0)处显然连续,
可用偏导数几何意义判断) 不存在. 可用偏导数几何意义判断 但 f x ( 0,0 ) , f y ( 0,0 ) 不存在. (可用偏导数几何意义判断
r n = (1, 2, 0)
故所求平面为 1( x − 1) + 2( y + 1) + 0( z − 1) = 0
即
x + 2y + 1 = 0
所求平面垂直于平面z 所求平面垂直于平面 = 0， ， 题目转化为： 题目转化为： 并通过点 (1, − 1,1) 和垂足 (0, − 1 2 , 1 2 )的 连线 r 解2： 所求面 ⊥ 平面z = 0, 即n ⊥ (0, 0,1) ：
的导数， ③ 先求z = f ( x , y0 )对x的导数，再代入 x = x0 .
x , 求f x ( x ,1). 如：设 f ( x , y ) = x + ( y − 1) arcsin y
z=
x x2 + y2
【练习】 设 练习】
∂z ∂z ，求 ， . ∂x ∂y
′
x2 + y2 − x 2x
极限存在 函数连续
∆x→0 ∆y→0
全微分
∆z = f ( x0 + ∆x, y0 + ∆y) − f ( x0 , y0 )
∆z − f x ( x0 , y0 )∆x − f y ( x0 , y0 )∆y ∆x + ∆y
2 2
=0
函数偏导存在 函数可微 偏导数连续
极限不存在 二、求全微分 利用公式 dz
∂2z ∂2z 定理】 【定理】若 z = f ( x, y)的两个二阶混合偏导数 及 ∂y∂x ∂x∂y
连续， 内这两个二阶混合偏导数必相等 相等． 在区域 D 内连续，则在 D 内这两个二阶混合偏导数必相等．
第三节
一、判定函数可微性: 判定函数可微性: 1. 用全微分定义 lim 2. 利用与连续的关系
代入垂足 (0, − 1 , 1 ) 2 2
C = 0 −A+ 1 B − 1 C = 0 2 2
A = A B = 2A C = 0
r n = (1, 2, 0)
故所求平面为 1( x − 1) + 2( y + 1) + 0( z − 1) = 0
即
x + 2y + 1 = 0
r 1 , 1 ) = (1, − 1 , 1 ) = 1 (2, −1,1) 两点连垂线 s = (1, −1,1) − (0, − 2 2 2 2 2
x −1 y +1 z −1 垂线点向式 = = 2 −1 1
平面束 x + 2 y + 1 + λ ( x − 2z + 1) = 0
x = −2 y − 1 垂线一般式 x = 2z − 1
(1 + λ ) x + (2 − 2λ ) y − 2λ z + 1 + λ = 0
r 所求 面 ⊥ 平面z = 0, 即n ⊥ (0, 0,1), −2λ = 0
故所求平面为 x + 2 y + 1 = 0
λ =0
第八章第二节 一、偏导数计算
偏导数
f ( x0 + ∆x, y0 ) − f ( x0 , y0 ) 分段函分段点偏 f x ( x0 , y0 ) = lim ∆x→0 导存在性用定义 ∆x
(0,0)处是否连续？ (0,0)处极限不存在，故不连续 处是否连续？ 处极限不存在， 处是否连续 处极限不存在
推广】 【推广】设
xy f ( x, y) = x 2 + y2 0
( x , y ) ≠ (0, 0) ( x , y ) = (0, 0)
求f x , f y 求f x (1,2)
【解】 ∂z = ∂x
∂z = ∂y
x y2 2 x2 + y2 = = 2 2 x +y 2 2 x + y x ( x2 + y2 )3 2y ′ −x x 2 x2 + y2 ( − xy ) = x2 + y2 = y ( x 2 + y 2 )3 x2 + y2
r 所 求 面 ⊥ 平 面 z = 0, 即n ⊥ (0, 0,1)
r (1, −1,1) − (0, − 1 , 1 ) = (1, − 1 , 1 )在所求面上,即n ⊥ (1, − 1 2 , 1 2 ) 2 2 2 2
C = 0 A− 1 B + 1 C = 0 2 2
A = A B = 偏导不存在
不可微
( x0 , y0 )
= f x ( x0 , y0 )d x + f y ( x0 , y0 )d y
1 , ( x, y) ≠ (0,0) xy sin 2 2 【补例】试证函数 f ( x, y) = x +y 0, ( x, y) = (0,0)
连续性 偏导数存在性 可微性 在点(0,0)的连续性,偏导数存在性,可微性.
【证】证f(x,y)在(0,0)连续性 lim ( , ) (0,0)连续性
( x , y )→ ( 0 , 0 )
xy sin
1 = 0 = f (0,0) 连续 x2 + y2
证f(x,y)在(0,0)偏导数存在性 f(x,y)在(0,0)偏导数存在性
∂u (1) 是一个整体记号，不能拆分; 说明： 说明： 偏导数 是一个整体记号，不能拆分; ∂x (2) 求∂z 的方法： 的方法： ∂x ( x0 , y0 )
①
偏导数存在时用， 偏导数存在时用，初等函数 ∂z 再代值； 先求出偏导函数 ，再代值； 在其定义域内偏导均存在 ∂x
② 求分界点、无定义点处的偏导数要用定义求； 分界点、无定义点处的偏导数要用定义求 处的偏导数要用定义
三、偏导数的几何意义
设 M 0 ( x0 , y0 , f ( x0 , y0 )) 为曲面 z = f ( x , y ) 上一点,
如图
f x ( x0 , y0 )是曲 面 被 平 面 y = y0
所截曲线在点 M0 处的切线对 x 轴的斜率
f y ( x0 , y0 ) 是 曲 面 被 平 面 x = x0
【P67举例】 偏导数存在 P67举例】 举例 设
xy f ( x, y) = x 2 + y2 0 ( x , y ) ≠ (0, 0) ( x , y ) = (0, 0)
连续. 连续.
求f x ( 0,0) , f y ( 0,0)
【解】分段点 分段点(0,0)处求偏导要用定义来求： 处求偏导要用定义来求： 处求偏导要用定义来求
作业纸
第八章第六节
空间直线
计算题2 计算题2