专题07 导数及其应用-高考数学(理)总复习知识点总结

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导数及其应用知识点总结

导数及其应用知识点总结导数及其应用是微积分中的重要概念，它可以用来描述一个函数在其中一点的变化率，进而用于求解曲线的切线、求解最值、优化问题等。

在学习导数及其应用的过程中，我们需要掌握导数的定义、导数的计算法则、导数与函数性质的关系以及导数在几何和物理问题中的应用等知识点。

一、导数的定义1.函数在其中一点的导数：函数f(x)在点x=a处的导数定义为：f'(a) = lim(h→0) (f(a+h)-f(a))/h2.函数的导函数：函数f(x)在定义域上每一点的导数所构成的新函数，被称为函数f(x)的导函数，记作f'(x)。

二、导数的计算法则1.常数法则：对于常数k，有：(k)'=0。

2.幂函数法则：对于幂函数y=x^n，其中n为常数，则有：(x^n)'=n*x^(n-1)。

3.基本初等函数法则：对于基本初等函数（如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数），可以通过求导法则求得其导函数。

4.乘积法则：对于函数u(x)和v(x)，有：(u*v)'=u'*v+u*v'。

5.商数法则：对于函数u(x)和v(x)，有：(u/v)'=(u'*v-u*v')/v^26.复合函数法则：对于复合函数y=f(g(x))，有：y'=f'(g(x))*g'(x)。

三、导数与函数性质的关系1.导函数与函数的单调性：若函数f(x)在区间I上可导，则f'(x)在I上的符号与f(x)在I上的单调性一致。

2.导函数与函数的极值：若函数f(x)的导函数在点x=a处存在，且导数的符号在x=a左侧从正数变为负数，那么函数在点x=a处取得极大值；若导数的符号在x=a左侧从负数变为正数，那么函数在点x=a处取得极小值。

3.导函数与函数的凹凸性：函数f(x)的导函数f''(x)的符号与函数f(x)的凹凸性一致。

高中数学导数及其应用知识归纳

导数及其应用知识归纳一、导数的概念1. 导数的物理意义：瞬时速率一般的，函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是000()()limx f x x f x x∆→+∆-∆，我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或0|x x y ='，即0()f x '=000()()lim x f x x f x x ∆→+∆-∆。

2. 导数的几何意义：切线斜率曲线的切线通过图像，我们可以看出当点n P 趋近于P 时，直线PT 与曲线相切。

容易知道，割线n PP 的斜率是 00()()n n n f x f x k x x -=-，当点n P 趋近于P 时，函数()y f x =在0x x =处的导数就是切线PT 的斜率k ，即0000()()lim ()n x n f x f x k f x x x ∆→-'==- 3. 导函数当x 变化时，()f x '便是x 的一个函数，我们称它为()f x 的导函数。

()y f x =的导函数有时也记作y '，即 0()()()lim x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆ 二、导数的计算1. 基本初等函数的导数公式① 若()f x x α=,则1()f x x αα-'=；② 若()sin f x x =,则()cos f x x '=；③ 若()cos f x x =,则()sin f x x '=-；④ 若()x f x a =,则()ln xf x a a '=； ⑤ 若()x f x e =,则()xf x e '=； ⑥ 若()log x a f x =,则1()ln f x x a'=； ⑦ 若()ln f x x =,则1()f x x '=. 2. 导数的运算法则[()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''•=•+•2()()()()()[]()[()]f x f xg x f x g x g x g x ''•-•'= 3. 复合函数求导()y f u =和()u g x =，称则y 可以表示成为x 的函数，即(())y f g x =为一个复合函数，则有(())()y f g x g x '''=•三、导数在研究函数中的应用1. 函数的单调性与导数:一般的，函数的单调性与其导数的正负有如下关系：在某个区间(,)a b 内，如果()0f x '>，那么函数()y f x =在这个区间单调递增；如果()0f x '<，那么函数()y f x =在这个区间单调递减。

导数知识点归纳及应用

导数知识点归纳及应用导数是微积分的基础知识之一，它描述了一个函数在其中一点的变化率。

导数的概念非常重要，广泛应用于科学和工程领域中的各种问题的建模和解决。

一、导数的定义及基本性质1.导数的定义：对于一个函数f(x)，它的导数可以通过以下极限定义求得：f'(x) = lim ( h -> 0 ) [ f(x+h) - f(x) ] / h导数表示了函数f(x)在x点处的变化率。

如果导数存在，则称f(x)在该点可导。

2.导数的图像表示：导数可以表示为函数f(x)的图像上的斜率线，也就是切线的斜率。

3.导数的几何意义：a.函数图像在特定点的切线的斜率等于该点的导数。

b.导数为正，表示函数在该点上升；导数为负，表示函数在该点下降；导数为零，表示函数在该点取得极值。

4.基本导数公式：a.常数函数的导数为0。

b.幂函数f(x)=x^n的导数为f'(x)=n*x^(n-1)。

c. 指数函数 f(x) = a^x 的导数为 f'(x) = ln(a) * a^x。

d. 对数函数 f(x) = log_a(x) 的导数为 f'(x) = 1 / (x * ln(a))。

二、导数的计算方法1.导数的基本定义法：根据导数的定义，通过计算极限来求得导数。

2.导数的运算法则：a.和差法则：(f(x)±g(x))'=f'(x)±g'(x)。

b.乘法法则：(f(x)*g(x))'=f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x)。

c.商法则：(f(x)/g(x))'=(f'(x)*g(x)-f(x)*g'(x))/(g(x))^2d.复合函数法则：(f(g(x)))'=f'(g(x))*g'(x)。

3.链式法则：对于复合函数f(g(x))，可以利用链式法则求导数：(f(g(x)))'=f'(g(x))*g'(x)。

高考数学导数及其应用知识点

高考数学导数及其应用知识点数学导数及其应用知识点一函数的单调性在a，b内可导函数fx，f′x在a，b任意子区间内都不恒等于0.f′x≥0?fx在a，b上为增函数.f′x≤0?fx在a，b上为减函数.1、f′x>0与fx为增函数的关系：f′x>0能推出fx为增函数，但反之不一定.如函数fx=x3在-∞，+∞上单调递增，但f′x≥0，所以f′x>0是fx为增函数的充分不必要条件.2、可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，即f′x0=0是可导函数fx在x=x0处取得极值的必要不充分条件.例如函数y=x3在x=0处有y′|x=0=0，但x=0不是极值点.此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点.3、可导函数的极值表示函数在一点附近的情况，是在局部对函数值的比较;函数的最值是表示函数在一个区间上的情况，是对函数在整个区间上的函数值的比较.数学导数及其应用知识点二函数的极值1、函数的极小值：函数y=fx在点x=a的函数值fa比它在点x=a附近其它点的函数值都小，f′a=0，而且在点x=a附近的左侧f′x<0，右侧f′x>0，则点a叫做函数y=fx的极小值点，fa叫做函数y=fx的极小值.2、函数的极大值：函数y=fx在点x=b的函数值fb比它在点x=b附近的其他点的函数值都大，f′b=0，而且在点x=b附近的左侧f′x>0，右侧f′x<0，则点b叫做函数y=fx的极大值点，fb叫做函数y=fx的极大值.极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值.数学导数及其应用知识点三函数的最值1、在闭区间[a，b]上连续的函数fx在[a，b]上必有最大值与最小值.2、若函数fx在[a，b]上单调递增，则fa为函数的最小值，fb为函数的最大值;若函数fx在[a，b]上单调递减，则fa为函数的最大值，fb为函数的最小值.数学导数及其应用知识点四求可导函数单调区间的一般步骤和方法1、确定函数fx的定义域;2、求f′x，令f′x=0，求出它在定义域内的一切实数根;3、把函数fx的间断点即fx的无定义点的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数fx的定义区间分成若干个小区间;4、确定f′x在各个开区间内的符号，根据f′x的符号判定函数fx在每个相应小开区间内的增减性.数学导数及其应用知识点五函数极值的步骤1、确定函数的定义域;2、求方程f′x=0的根;3、用方程f′x=0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并形成表格;4、由f′x=0根的两侧导数的符号来判断f′x在这个根处取极值的情况.六、求函数fx在[a，b]上的最大值和最小值的步骤1、求函数在a，b内的极值;2、求函数在区间端点的函数值fa，fb;3、将函数fx的各极值与fa，fb比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.感谢您的阅读，祝您生活愉快。

高考数学导数及应用知识点

高考数学导数及应用知识点导数是高中数学中重要的概念之一，也是高考数学必考的知识点。

掌握导数的概念和应用是理解数学中许多问题的关键。

本文将以“step by step thinking”为主线，逐步讲解导数的基本概念、性质以及常见的应用。

一、导数的概念导数可以理解为函数在某一点上的变化率。

对于给定的函数f(x)，在某一点x上的导数表示为f’(x)，它的定义如下：f’(x) = lim(h→0)[f(x+h) - f(x)] / h其中，lim表示极限，h表示自变量x的增量。

导数的定义可以理解为当自变量x的增量h趋近于0时，函数f(x)在点x处的变化量与自变量增量的比值。

二、导数的性质 1. 常数函数的导数为0：对于常数函数f(x) = c，其中c为常数，其导数为f’(x) = 0。

因为常数函数在任意一点的函数值都相同，所以其变化率为0。

2. 幂函数的导数：对于幂函数f(x) = x^n，其中n为正整数，其导数为f’(x) = n *x^(n-1)。

幂函数的导数是指数函数。

3. 指数函数的导数：对于指数函数f(x) = a^x，其中a为正实数且不等于1，其导数为f’(x) = ln(a) * a^x。

指数函数的导数是指数函数本身与常数ln(a)的乘积。

4. 对数函数的导数：对于对数函数f(x) = log_a(x)，其中a为正实数且不等于1，其导数为f’(x) = 1 / (x * ln(a))。

对数函数的导数是关于自变量的倒数。

5. 三角函数的导数：常见的三角函数包括正弦函数sin(x)、余弦函数cos(x)和正切函数tan(x)。

它们的导数分别为cos(x)、-sin(x)和sec^2(x)。

三、导数的应用导数在数学中有广泛的应用，以下是一些常见的应用场景：1.切线和法线：导数可以用来求曲线上一点处的切线和法线。

切线是曲线在该点处的斜率，即导数；法线则是与切线垂直的直线，其斜率为导数的负倒数。

导数知识点总结及其应用

导数知识点总结及其应用导数是微积分中的重要概念，它是描述函数变化率的工具，可以帮助我们求解曲线的斜率、最值、凹凸性等问题。

在数学和物理中，导数有着广泛的应用，特别是在描述物体的运动、变化以及求解最优化问题等方面。

本文将对导数的定义、性质、求导法则以及其应用进行详细的总结和讨论。

一、导数的定义导数的定义是描述函数在某一点的变化率，可以理解为函数图像在该点处的斜率。

在数学上，导数可以通过极限的概念和定义得出。

给定函数f(x)，则f(x)在x=a处的导数定义为：\[ f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h} \]其中，f'(a)表示函数f(x)在x=a处的导数，h表示自变量的增量。

这个定义可以直观地理解为f(x)在x=a处的切线斜率。

当h趋于0时，极限就表示函数在点a处的斜率，也就是导数。

二、导数的性质1. 可导性函数在某一点可导意味着该点附近存在唯一的切线，也就是说函数在该点处光滑连续。

一般来说，几乎所有的函数都有导数，也就是可导的。

2. 连续性若函数在某一点可导，则该点处是连续的。

但反之不一定成立，即函数在某点处连续不一定可导。

3. 导数运算规则（1）常数导数若f(x)=c，c为常数，则f'(x)=0。

（2）幂函数导数若f(x)=x^n，则f'(x)=nx^{n-1}。

（3）和差导数若f(x)=g(x)+h(x)，则f'(x)=g'(x)+h'(x)。

（4）积导数若f(x)=g(x)·h(x)，则f'(x)=g'(x)·h(x)+g(x)·h'(x)。

（5）商导数若f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}，则f'(x)=\frac{g'(x)·h(x)-g(x)·h'(x)}{(h(x))^2}。

《导数和应用》知识点总结

《导数和应用》知识点总结导数是微积分中的重要概念，它是用来描述函数变化率的工具。

本文将总结导数的定义、性质以及它在数学、物理和经济等领域中的应用。

一、导数的定义在数学中，导数是描述函数变化率的概念。

对于一个函数f(x)，在x 点处的导数表示函数在这一点的变化率。

导数的定义如下：f'(x) = lim(h -> 0) [f(x+h) - f(x)] / h其中f'(x)表示f(x)在x点处的导数，h表示一个无限小的增量。

二、导数的性质1.导数的存在性：如果函数f(x)在x点处可导，则它在这一点的导数存在。

2.导数的基本运算法则：- 常数法则：如果c是一个常数，且f(x)是可导函数，则(cf(x))' = cf'(x)。

-和差法则：如果f(x)和g(x)是可导函数，则(f(x)±g(x))'=f'(x)±g'(x)。

-积法则：如果f(x)和g(x)是可导函数，则(f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)。

-商法则：如果f(x)和g(x)是可导函数，并且g(x)≠0，则(f(x)/g(x))'=[f'(x)g(x)-f(x)g'(x)]/[g(x)]²。

3.链式法则：如果函数f(x)和g(x)分别是可导函数，则复合函数(f(g(x)))'=f'(g(x))g'(x)。

4.导数的求解法则：- 幂函数法则：对于f(x) = axⁿ，其中a是常数，n是自然数，有f'(x) = anxⁿ⁻¹。

-指数函数法则：对于f(x)=eˣ，有f'(x)=eˣ。

- 对数函数法则：对于f(x) = ln(x)，有f'(x) = 1/x。

- 三角函数法则：对于f(x) = sin(x)和f(x) = cos(x)，有f'(x) = cos(x)和f'(x) = -sin(x)。

高中数学中的导数应用知识点总结

高中数学中的导数应用知识点总结导数是高中数学中的一个重要概念和工具，它在许多数学问题的研究中起着重要的作用。

本文将对高中数学中的导数应用知识点进行总结，包括导数的定义与性质、导数的计算方法以及导数在实际问题中的应用。

一、导数的定义与性质导数的定义是函数在某一点处的变化率，通常用极限来表示。

具体而言，给定函数y = f(x)，在x点处的导数可以定义为：```f'(x) = lim(h->0) [f(x + h) - f(x)] / h```其中，f'(x)表示函数f(x)在x点处的导数，h表示一个趋近于0的实数。

导数的性质包括：1. 导数存在性：函数在某一点处存在导数，即函数在该点处可导；2. 导数的唯一性：函数在某一点处的导数唯一；3. 可导函数的连续性：函数在某一点处可导，则该点处连续；4. 常数函数导数为0：对于常数函数y = c，导数f'(x) = 0。

二、导数的计算方法导数的计算方法包括基本导数公式和导数的四则运算法则。

1. 基本导数公式：常见的函数导数计算公式如下：- 常数函数导数：f(x) = c，f'(x) = 0；- 幂函数导数：f(x) = x^n，f'(x) = nx^(n-1)；- 指数函数导数：f(x) = e^x，f'(x) = e^x；- 对数函数导数：f(x) = loga(x)，f'(x) = 1 / (xlna)，其中a为底数；- 三角函数导数：f(x) = sin(x)，f'(x) = cos(x)等。

2. 导数的四则运算法则：导数的四则运算法则包括求和、差、积和商的导数运算法则。

- 求和法则：(f(x) ± g(x))' = f'(x) ± g'(x)；- 差法则：(f(x) - g(x))' = f'(x) - g'(x)；- 积法则：(f(x) * g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)；- 商法则：(f(x) / g(x))' = (f'(x)g(x) - f(x)g'(x)) / g^2(x)，其中g(x) ≠ 0。

导数及其应用-知识点整理(完整,清晰)

导数及其应用基本知识点1，导数：当x ∆趋近于零时，x x f x x f ∆-∆+)()(00趋近于常数C 。

可用符号“→”记作：当0→∆x 时，x x f x x f ∆-∆+)()(00c →或记作c x x f x x f x =∆-∆+→∆)()(lim 000，符号“→”读作“趋近于”。

函数在0x 的瞬时变化率，通常称作)(x f 在0x x =处的导数，并记作)(0x f '。

即x x f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(l i m)(0000'2，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线的斜率；导数的物理意义，通常是指物体运动在某一时刻的瞬时速度。

即若点),(00y x P 为曲线上一点，则过点),(00y x P 的切线的斜率x x f x x f x f k x ∆-∆+==→∆)()(l i m )(0000'切由于函数)(x f y =在0x x =处的导数，表示曲线在点))(,(00x f x P 处切线的斜率，因此，曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 处的切线方程可如下求得：（1）求出函数)(x f y =在点0x x =处的导数，即曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 处切线的斜率。

（2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为：))((00'0x x x f y y -=-，如果曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 的切线平行于y 轴（此时导数不存在）时，由切线定义可知，切线方程为0x x =，故过点),(00y x P 的切线的方程为：))((00'0x x x f y y -=- 3，导数的四则运算法则：（1）)()())()((x g x f x g x f '±'='± （2）)()()()(])()([x g x f x g x f x g x f '+'='（3）)()()()()()()(2x g x g x f x f x g x g x f '-'='⎥⎦⎤⎢⎣⎡4，几种常见函数的导数：(1))(0为常数C C =' (2))(1Q n nx x n n ∈='-）（ (3)x x cos )(sin =' (4)x x sin )(cos -='(5)x x 1)(ln =' (6)e xx a a log 1)(log =' (7)x x e e =')( (8)a a a x x ln )(=' 5，函数的单调性：在某个区间),(b a 内，如果0)('>x f ，那么函数)(x f y =在这个区间内单调递增；如果0)('<x f ，那么函数)(x f y =在这个区间内单调递减。

专题07导数的几何意义及其应用2

一、导数的概念1．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数定义：称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即.2．函数f (x )的导函数称函数为f (x )的导函数．二、基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 1. 基本初等函数的导数公式原函数导函数 f (x )＝c (c 为常数) f ′(x )＝0 f (x )＝x n (n ∈Q *) f ′(x )＝nx n －1 f (x )＝sin x f ′(x )＝cos x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin x f (x )＝a x f ′(x )＝a x ln a f (x )＝e x f ′(x )＝e x f (x )＝log a x f ′(x )＝1x ln af (x )＝ln xf ′(x )＝1x2．导数的运算法则（1） [f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )；（2） [f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；（3）(g (x )≠0)． (4) 复合函数的导数0000()()limlim x x f x x f x yxx ∆→∆→+∆-∆=∆∆00000()()()lim lim x x f x x f x yf x x x ∆→∆→+∆-∆==∆∆0()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-=∆2()'()()'()()'()()f x f x g x g x f x g x g x ⎡⎤⋅-⋅=⎢⎥⎣⎦专题07 导数的几何意义及其应用复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．三、导数的几何意义1.函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．2.特别提醒：区分在点处的切线与过点处的切线（1）曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线是指P 为切点，斜率为f ′(x 0)的切线，是唯一的一条切线．（2）曲线y ＝f (x )过点P (x 0，y 0)的切线，点P 不一定是切点，切线至少有一条，切线可能有多条． 3．几类重要的切线方程(1)y ＝x －1是曲线y ＝l n x 的切线，y ＝x 是曲线y ＝l n (x ＋1)的切线，…，y ＝x ＋n 是曲线y ＝l n (x ＋n ＋1)的切线，如图1.(2)y ＝x ＋1与y ＝e x 是曲线y ＝e x 的切线，如图2. (3)y ＝x 是曲线y ＝si n x 与y ＝t an x 的切线，如图3.(4)y ＝x －1是曲线y ＝x 2－x ，y ＝x l n x 及y ＝1－1x 的切线，如图4.由以上切线方程可得重要不等式，如l n x ≤x －1，x ＋1≤e x 等．四、常用结论1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．2.可导函数y ＝f (x)的导数为f ′(x)，若f ′(x)为增函数，则f (x)的图象是下凹的；反之，若f ′(x)为减函数，则f (x)的图象是上凸的． 3．熟记以下结论： (1) 211()'x x=-； (2) 21'()[]'()[()]f x f x f x =- (f (x )≠0)； (3)[af (x )±bg (x )]′＝af ′(x )±bg ′(x )．题型一导数的概念【典例2】（2023下·高二课时练习）已知物体运动的速度与时间之间的关系是：()222v t t t =++，则在时间1.根据导数的定义求函数在点处导数的方法：①求函数的增量；②求平均变化率；③得导数，简记作：一差、二比、三极限.2.函数y＝f (x)的导数f ′(x)反映了函数f (x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f ′(x)|反映了变化的快慢，|f ′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．3.瞬时速度是位移函数S(t)对时间的导数．题型二：导数的运算【总结提升】1.求函数导数的一般原则如下：（1）连乘积的形式：先展开化为多项式的形式，再求导；（2）根式形式：先化为分数指数幂，再求导；（3）复杂公式：通过分子上凑分母，化为简单分式的和、差，再求导；（4）不能直接求导：适当恒等变形，转化为能求导的形式再求导．2.复合函数的求导方法求复合函数的导数，一般是运用复合函数的求导法则，将问题转化为求基本函数的导数解决.①分析清楚复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而成的，适当选定中间变量；②分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中特别要注意的是中间变量；③根据基本函数的导数公式及导数的运算法则，求出各函数的导数，并把中间变量转换成自变量的函数；④复合函数的求导熟练以后，中间步骤可以省略，不必再写出函数的复合过程.3.函数的导数与导数值的区间与联系：导数是原来函数的导函数，而导数值是导函数在某一点的函数值，导数值是常数.题型三曲线切线的斜率、倾斜角问题【典例5】（2023下·安徽滁州·高二校考阶段练习）函数()y f x =的图象如图所示，()f x '是函数()f x 的导函数，则下列大小关系正确的是（）3π,π4⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎭⎣⎭3π,π4⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎭⎣⎭题型四求在曲线上一点的切线方程（斜率）在点e 1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线方程为（【典例8】【规律方法】以曲线上的点(x 0，f (x 0))为切点的切线方程的求解步骤： ①求出函数f (x )的导数f ′(x )； ②求切线的斜率f ′(x 0)；③写出切线方程y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)，并化简．题型五求过一点的切线方程（斜率）(1)求曲线()y f x =在1x =处的切线1l 的方程； (2)求过原点O 与曲线()y f x =相切的直线2l 的方程. 【规律方法】如果已知点(x 1，y 1)不在曲线上，则设出切点(x 0，y 0)，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝f (x 0)，y 1－y 0x 1－x 0＝f ′(x 0)，得切点(x 0，y 0)，进而确定切线方程．求切线方程时，要注意判断已知点是否满足曲线方程，即是否在曲线上；与曲线只有一个公共点的直线不一定是曲线的切线，曲线的切线与曲线的公共点不一定只有一个．题型六与切线的平行直线问题ln x 的图象在且12l l ⊥，则（）A ．121=x xB ．12x x +的最小值为2C ．12,l l 在y 轴上的截距之差为2D ．12,l l 在y 轴上的截距之积可能为1-【规律总结】1.解决此类问题通常有两种方法一是利用其中一曲线在某点处的切线与另一曲线相切，列出关系式求解；二是设公切线l 在y ＝f (x )上的切点P 1(x 1，f (x 1))，在y ＝g (x )上的切点P 2(x 2，g (x 2))，则f ′(x 1)＝g ′(x 2)＝1212()()f xg x x x --.2.处理与公切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程(组)并解出参数，建立方程(组)的依据主要是：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上．题型九求切点坐标【典例17】（2023·高二课时练习）曲线33y x x =-+在点P 处的切线平行于直线21y x =-，则点P 的坐标为．【典例18】（2023上·江苏徐州·高二统考阶段练习）已知曲线24y x =-的一条切线的斜率是4-，则切点的坐标为．【总结提升】已知斜率求切点：已知斜率k ，求切点(x 1，f (x 1))，即解方程f ′(x 1)＝k . 题型十切点坐标相关问题【典例19】（2023下·高二课时练习）若曲线()y f x =在点()()00,x f x 处的切线方程为210x y -+=，则（）A ．()00f x '>B ．()00f x '<C ．()00f x '=D ．()0f x '不存在题型十一切线条数与参数关系【典例21】（2021·全国·统考高考真题）若过点(),a b 可以作曲线e x y =的两条切线，则（）A ．e b a <B ．e a b <C ．0e b a <<D ．0e a b <<已知曲线的切线条数求参数范围问题时，需要明确的是，曲线存在几条切线，就会相应的有几个切点，因此就可以将切线条数问题转化为切点个数问题；也就是说抓住“切点”这个“牛鼻子”，将问题进一步转化为关于相应函数零点个数问题．题型十二切线条数与参数范围【典例23】（2022·全国·高考真题）若曲线()e x y x a =+有两条过坐标原点的切线，则a 的取值范围是________________．【典例24】（2023上·陕西西安·高三长安一中校考期中）若过点(),0P t 可以作曲线()1e x y x =-的两条切线，切点分别为()()1122,,,A x y B x y ，则t 的取值范围是 . 题型十三根据导数的几何意义求参数的值【典例25】（2023·海南·校联考模拟预测）已知函数()()1e x f x x =+，过点(),0P m 作曲线()y f x =的两条切线，切点分别为()(),A a f a 和()(),B b f b ，若0a b +=，则实数m =（） A ．0B ．1C ．2D ．3【典例28】（2022上·贵州遵义·高二校联考期末）已知函数()2ln 1f x x x =+-，则()f x 在1x =处的切线与坐求解与导数的几何意义有关问题时应注意的两点（1）注意曲线上横坐标的取值范围．（2）谨记切点既在切线上又在曲线上．一、选择题：为（）A ．e 10x y ++=B ．e 10x y -+=C ．e 10x y +-=D ．e 10x y --=3．（2023下·河南焦作·高二焦作市第十一中学校考期末）我国魏晋时期的数学家刘徽创立了“割圆术”，实施“以直代曲”的近似计算，用圆内接正多边形的面积去逼近圆的面积求圆周率，求出了精度较高的近似值，这是我国最优秀的传统科学文化之一.借用“以直代曲”的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图像的切线代替在切点附近的曲线来近似计算，例如：求ln1.01，我们先求得ln y x =在1x =处的切线方程为1y x =-，A ．1.0005B ．1.0001C ．1.005D ．1.0014．（2023上·安徽合肥·高三合肥市第十中学校联考期中）点,P Q 分别是函数()()234,2ln f x x g x x x =-=-图6．（2022下·湖南邵阳·高三湖南省隆回县第二中学校考阶段练习）P 为抛物线C ：24x y =准线上的一点，P A ，PB 为C 的两条切线， ()11,A x y ，()22,B x y 为切点，Q 为线段AB 的中点，则下列说法正确的是（）四、解答题：10．（2022上·山东临沂·高二统考期末）已知函数()()2e x x x f a =+，且()01f '=.(1)求a 的值；(2)求与x 轴平行的()f x 的图象的切线方程.11．（2023下·高二课时练习）已知直线10x y --=与抛物线2y ax =相切，求a 的值．12．（2022上·山西忻州·高一校考期末）已知曲线()3f x x x =－，求(1)曲线在点()1,0-处的切线方程； (2)曲线过点()1,0-的切线方程；(3)曲线平行于直线1110x y -+=的切线方程.。

高中数学《导数及其应用》知识点总结

《导数及其应用》知识点总结一、导数的概念和几何意义1. 函数的平均变化率：函数()f x 在区间12[,]x x 上的平均变化率为：2121()()f x f x x x --。

2. 导数的定义：设函数()y f x =在区间(,)a b 上有定义，0(,)x a b ∈，若x ∆无限趋近于0时，比值00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆无限趋近于一个常数A ，则称函数()f x 在0x x =处可导，并称该常数A 为函数()f x 在0x x =处的导数，记作0()f x '。

函数()f x 在0x x =处的导数的实质是在该点的瞬时变化率。

3. 求函数导数的基本步骤：（1）求函数的增量00()()y f x x f x ∆=+∆-；（2）求平均变化率：00()()f x x f x x +∆-∆；（3）取极限，当x ∆无限趋近与0时，00()()f x x f x x+∆-∆无限趋近与一个常数A ，则0()f x A '=. 4. 导数的几何意义：函数()f x 在0x x =处的导数就是曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线的斜率。

由此，可以利用导数求曲线的切线方程，具体求法分两步：（1）求出()y f x =在x 0处的导数，即为曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线的斜率；（2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为000()()y y f x x x '-=-。

当点00(,)P x y 不在()y f x =上时，求经过点P 的()y f x =的切线方程，可设切点坐标，由切点坐标得到切线方程，再将P 点的坐标代入确定切点。

特别地，如果曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线平行与y 轴，这时导数不存在，根据切线定义，可得切线方程为0x x =。

5. 导数的物理意义：质点做直线运动的位移S 是时间t 的函数()S t ，则()V S t '=表示瞬时速度，()a v t '=表示瞬时加速度。

《导数及其应用》知识点总结

《导数及其应用》知识点总结一、导数的定义与运算1.导数的定义：导数表示函数在其中一点上的变化率，定义为函数在该点处的极限值。

设函数y=f(x)，则函数f(x)在点x=a处的导数记为f'(a)，可以表示为以下三种形式：（1）f'(a) = lim(x→a) [f(a)-f(x)] / (a-x)（2）f'(a) = lim(h→0) [f(a+h)-f(a)] / h（3）f'(a) = dy / dx，_(x=a)2.导数的运算法则：（1）和差法则：(u±v)'=u'±v'（2）数乘法则：(ku)' = ku'（3）乘法法则：(uv)' = u'v+uv'（4）商法则：(u/v)' = (u'v-uv') / v²（5）复合函数求导法则：(f[g(x)])'=f'(g(x))*g'(x)二、导数的几何意义1.切线与法线：函数在其中一点处的导数就是函数在该点处的切线的斜率，切线方程为y-f(a)=f'(a)(x-a)。

函数在其中一点处的导数的倒数就是函数在该点处的法线的斜率，法线方程为y-f(a)=-(1/f'(a))(x-a)。

2.函数的单调性与极值：若函数在一段区间上的导数大于0，则函数在该区间上单调递增；若函数在一段区间上的导数小于0，则函数在该区间上单调递减。

函数在一个点处的导数为0，则该点为函数的驻点；函数在驻点上的导数为正，则该点为函数的极小值点；函数在驻点上的导数为负，则该点为函数的极大值点。

三、导数的应用1.函数的极值与最值：（1）求函数的极值点：将函数的导数等于0的解作为候选点，再通过计算二阶导数或进行导数的符号表来判断是否为极值点。

（2）求函数的最值：将函数的极值点和函数在定义域的两端计算的值进行比较，得出最大值或最小值。

高考数学导数及其应用考点

高考数学导数及其应用考点高考数学中，导数及其应用是一个重要的考点，它不仅在函数的研究中发挥着关键作用，还与实际问题的解决紧密相关。

一、导数的定义导数的定义是函数在某一点处的瞬时变化率。

如果函数＄y ＝ f(x)＄在点＄x_0$ 处的增量＄＼Delta y ＝ f(x_0 ＋＼Delta x) f(x_0)＄与自变量的增量＄＼Delta x$ 之比当＄＼Delta x ＼to 0$ 时的极限存在，那么这个极限值就称为函数＄y ＝ f(x)＄在点＄x_0$ 处的导数，记作＄f'（x_0)＄。

通俗来讲，导数就像是函数图象在某一点处的“斜率”，它反映了函数在这一点处的变化快慢程度。

二、导数的几何意义导数的几何意义是函数在某一点处的切线斜率。

函数＄y ＝ f(x)＄在点＄x_0$ 处的导数＄f'（x_0)＄，就是曲线＄y ＝ f(x)＄在点＄（x_0, f(x_0)）＄处的切线斜率。

通过导数，我们可以求出函数图象在某一点处的切线方程。

假设切点为＄（x_0, y_0)＄，导数为＄f'（x_0)＄，那么切线方程为＄yy_0 ＝ f'（x_0)（x x_0)＄。

三、基本初等函数的导数公式1、常数函数的导数：＄（C)＇＝ 0$ ，其中＄C$ 为常数。

2、幂函数的导数：＄（x^n)＇＝ nx^｛n 1}＄。

3、正弦函数的导数：＄（＼sin x)＇＝＼cos x$ 。

4、余弦函数的导数：＄（＼cos x)＇＝＼sin x$ 。

5、指数函数的导数：＄（a^x)＇＝ a^x ＼ln a$ （＄a ＞ 0$ 且＄a ＼neq 1$ ）；特别地，＄（e^x)＇＝ e^x$ 。

6、对数函数的导数：＄（＼ln x)＇＝＼frac{1}｛x}＄；＄（｛＼log}＿a x)＇＝＼frac{1}｛x ＼ln a}＄（＄a ＞ 0$ 且＄a ＼neq 1$ ）。

熟练掌握这些基本初等函数的导数公式，是解决导数问题的基础。

导数知识点归纳及应用资料(最新整理)

2．极点与极值：
曲线在极值点处切线的斜率为 0，极值点处的导数为 0；曲线在
极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线
的斜率为负，右侧为正；
例：函数 f (x) x3 ax2 3x 9, 已知 f (x)在x 3 时取得极值，则 a =
(
)
A．2
B．3
x
x2
B．(log2x)′= 1
x ln 2
C．(3x)′=3xlog3e
[解析]：A 错，∵(x+ 1) 1 1
x
x2
B 正确，∵(log2x)′= 1
x ln 2
C 错，∵(3x)′=3xln3
D． (x2cosx)′=-2xsinx
D 错，∵(x2cosx)′=2xcosx+ x2(-sinx)
4
为整数的点的个数是
(
)
A．3
B．2
C．1
D．0
[解析]：切线的斜率为 k y / 3x2 8 又切线的倾斜角小于，即 0 k 1
4
故 0 3x2 8 1
解得： 3 x 8或 8 x 3
33
故没有坐标为整数的点
3.导数的物理意义如果物体运动的规律是 s=s（t），那么该物体在时刻 t 的瞬间速度 v= s
数,加上第一个
函数乘以第二个函数的导数，即： (uv)' u 'v uv'.
若 C 为常数,则 (Cu)' C 'u Cu ' 0 Cu ' Cu ' .即常数与函数的积的导数
等于常数乘以函数的导数： (Cu)' Cu '.
法则 3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分

高中导数及其应用知识点归纳(总结得很好,实用)

第三章导数及其应用3.1.2 导数的概念(要求熟悉)1.函数)(x f 在0x x =处的导数：函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率称为)(x f y =在0x x =处的导数，记作)(0'x f 或0|'x x y =，即xx f x x f x y x f x x ∆-∆+=∆∆=→∆→∆)()()(00000'lim lim 。

3.1.3导数的几何意义（要求掌握）1.导数的几何意义：函数)(x f 在0x x =处的导数就是曲线)(x f y =在点))(,(00x f x 处切线的斜率，即k xx f x x f x f x =∆-∆+=→∆)()()(0000'lim ； 2.求切线方程的步骤：（注：已知点),(00y x 在已知曲线上）①求导函数)('x f ；②求切线的斜率)(0'x f ；③代入直线的点斜式方程：)(00x x k y y -=-，并整理。

3.求切点坐标的步骤：①设切点坐标),(00y x ；②求导函数)('x f ；③求切线的斜率)(0'x f ；④由斜率间的关系列出关于0x 的方程，解方程求0x ；⑤点),(00y x 在曲线)(x f 上，将),(00y x 代入求0y ，得切点坐标。

3.2导数的计算（要求掌握）1. 基本初等函数的导数公式：①0'=C ；②1)'(-=a a axx ；③x x cos )'(sin =；④x x sin )'(cos -=； ⑤)0(ln )('>=a a a a x x ；⑥x x e e =')(；⑦)1,0(ln 1)(log '≠>=a a a x x a 且；⑧xx 1)(ln '=. 2.导数运算法则：①)()()]()(['''x g x f x g x f ±=± ；②)()()()()]()(['''x g x f x g x f x g x f +=； ③2''')]([)()()()(])()([x g x g x f x g x f x g x f -=；④)()]([''x cf x cf = 3.3.1函数的单调性与导数（1）在区间],[b a 内，)('x f >0,⇔f (x )为单调递增；)('x f <0,⇔f (x )为单调递减。

高考数学导数应用知识点总结

高考数学导数应用知识点总结
导数是微积分中的重要基础概念，以下是导数应用知识点总结，请考生实时学习。

导数是微积分的初步知识，是研究函数，办理实际标题的有力工具。

在高中阶段敷衍导数的学习，主要是以下几个方面：1.导数的常规标题：
(1)描画函数(比初等要领准确细微);(2)同几多中切线关联(导数要领可用于研究平面曲线的切线);(3)应用标题(初等要领往往技能性要求较高，而导数要领显得轻便)等关于次多项式的导数标题属于较难类型。

2.关于函数特性，最值标题较多，所以有必要专项讨论，导数法求最值要比初等要领快捷轻便。

3.导数与剖析几多或函数图象的混合标题是一种重要类型，也是高考(微博)中查看综合能力的一个偏向，应引起注意。

知识整合
1.导数概念的理解。

2.利用导数鉴别可导函数的极值的要领及求一些实际标题
的最大值与最小值。

复合函数的求导准则是微积分中的重点与难点内容。

讲义中先议决实例，引出复合函数的求导准则，接下来瞄准则举行了证明。

3.要能正确求导，必须做到以下两点：
(1)熟练掌握各基本初等函数的求导公式以及和、差、积、商的求导准则，复合函数的求导准则。

(2)敷衍一个复合函数，一定要理清中间的复合干系，弄清各分化函数中应对哪个变量求导。

导数应用知识点总结的全部内容便是这些，古代精美内容请考生持续存眷查字典数学网。

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专题07 导数及其应用函数在点处的导数。

为曲线在点处的切线率。

切线方程是，求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解。

（为常数）；（；；；；。

复合函数求导法则。

的区别为单调递增区间；的区间为单调递增区间。

求函数的单调区间步骤：（1）求的定义域（2）求出（3）令，求出其全部根，把全部的根在轴上标出，穿针引线。

（4）在定义域内，令，解出的取值范围，得函数单调递增区间；令，解出的取值范围，得函数单调递减区间。

（1）对于函数在某个区间上单调递增或单调递减的问题，转化为导函数在此区间上恒为非负或非正的问题，进而转化为导函数在该区间上的最值问题。

（2）对于可导函数在某个区间不单调的问题，转化为导函数在此区间有穿过轴的实根，结合导函数的图像求解。

（3）对于函数在某个区间上存在单调递增或递减区间的问题，转化为导函数在此区间上大于零或小于零有解的问题。

附近左负（正）右正（负）的为极小（大）值点。

上的连续函数一定存在最大值和最小值，最大值和区间端点和区间内的极大值的最大者，最小值和区间端点和区间内的极小值的最小者。

用导数法求给定区间上的函数的最值问题步骤：（1）求函数的导数；（2）求在给定区间上的单调性和极值；（3）求在给定区间上的端点值。

（4）将的各极值与的端点值进行比较，确定的最大值与最小值。

探讨根的个数，往往从函数的单调性和极值入手解决问题，从限制函数的极值找到问题的充要条件；如果是研究两个函数交点的个数，则可以用两个函数作差构造新函数，再转化为方程的根的问题求解；若零点（1）是否有根。

（2）有多根，并且含有参数时，要讨论各个根之间的大小关系（3）若要讨论在区间内的单调性，且的根含有参数，要讨论根与区间的关系。

方法一：分离参数法解含参不等式恒成立问题用分离参数法解含参不等式恒成立问题是指在能够判断出参数的系数的正负的情况下，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量的不等式，只要要就变量不等式的最值就可以解决问题，步骤如下：（1）分离参数转化为恒成立（2）转化为恒成立（3）求出在区间上的最大值（或最小值）。

方法二：导数法有些含参不等式恒成立问题，在分离参数时需要讨论，或者即使分离出参数或者变量，但因参数的最值却难以求出，这时常单刀直入地利用导数法，借助导数，分析函数的单调性，通过单调性的分析确立函数值的变化情况，找到参数满足的不等式。

高考真题1.2020年普通高等学校招生全国统一考试卷一（理科，6）函数的图像在点处的切线方程为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】求得函数的导数，计算出和的值，可得出所求切线的点斜式方程，化简即可.【详解】，，，，因此，所求切线的方程为，即.故选：B.【点睛】本题考查利用导数求解函图象的切线方程，考查计算能力，属于基础题（2）理科，21.已知函数.（1）当a=1时，讨论f（x）的单调性；（2）当x≥0时，f（x）≥x3+1，求a的取值范围.【答案】（1）当时，单调递减，当时，单调递增.（2）【解析】【分析】(1)由题意首先对函数二次求导，然后确定导函数的符号，最后确定原函数的单调性即可.(2)首先讨论x=0的情况，然后分离参数，构造新函数，结合导函数研究构造所得的函数的最大值即可确定实数a的取值范围.【详解】(1)当时，，，由于，故单调递增，注意到，故：当时，单调递减，当时，单调递增.(2)由得，，其中，①.当x=0时，不等式为：，显然成立，符合题意；②.当时，分离参数a得，，记，，令，则，，故单调递增，，故函数单调递增，，由可得：恒成立，故当时，，单调递增；当时，，单调递减；因此，,综上可得，实数a的取值范围是.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．2.2020年普通高等学校招生全国统一考试卷二（理科，21）.已知函数f(x)=sin2x sin2x.（1）讨论f(x)在区间(0，π)的单调性；（2）证明：；（3）设n∈N*，证明：sin2x sin22x sin24x…sin22n x≤.【答案】（1）当时，单调递增，当时，单调递减，当时，单调递增.（2）证明见解析；（3）证明见解析.【解析】【分析】(1)首先求得导函数的解析式，然后由导函数的零点确定其在各个区间上的符号，最后确定原函数的单调性即可；(2)首先确定函数的周期性，然后结合(1)中的结论确定函数在一个周期内的最大值和最小值即可证得题中的不等式；(3)对所给的不等式左侧进行恒等变形可得，然后结合(2)的结论和三角函数的有界性进行放缩即可证得题中的不等式.【详解】(1)由函数的解析式可得：，则：，在上的根为：，当时，单调递增，当时，单调递减，当时，单调递增.(2)注意到，故函数是周期为的函数，结合(1)的结论，计算可得：，，，据此可得：，，即.(3)结合(2)的结论有：.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．3.2020年普通高等学校招生全国统一考试卷三（1）（理科，10）. 若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为（）A. y=2x+1B. y=2x+C. y=x+1D. y=x+【答案】D【解析】【分析】根据导数的几何意义设出直线的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案.【详解】设直线在曲线上的切点为，则，函数的导数为，则直线的斜率，设直线的方程为，即，由于直线与圆相切，则，两边平方并整理得，解得，（舍），则直线的方程为，即.故选：D.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用，属于中档题.（2）（理科，21）设函数，曲线在点(，f())处的切线与y轴垂直．（1）求b．（2）若有一个绝对值不大于1的零点，证明：所有零点的绝对值都不大于1．【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义得到，解方程即可；（2）由（1）可得，易知在上单调递减，在，上单调递增，且，采用反证法，推出矛盾即可. 【详解】（1）因为，由题意，，即则；（2）由（1）可得，，令，得或；令，得，所以在上单调递减，在，上单调递增，且，若所有零点中存在一个绝对值大于1的零点，则或，即或.时，，又，由零点存在性定理知在上存在唯一一个零点，即在上存在唯一一个零点，在上不存在零点，此时不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾；当时，，又，由零点存在性定理知在上存在唯一一个零点，即在上存在唯一一个零点，在上不存在零点，此时不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾；综上，所有零点的绝对值都不大于1.【点晴】本题主要考查利用导数研究函数的零点，涉及到导数的几何意义，反证法，考查学生逻辑推理能力，是一道有一定难度的题.4.2020年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷，22）已知，函数，其中e=2.71828…为自然对数的底数．（Ⅰ）证明：函数在上有唯一零点；（Ⅱ）记x0为函数在上的零点，证明：（ⅰ）；（ⅱ）．【答案】（I）证明见解析，（II）（i）证明见解析，（ii）证明见解析.【解析】【分析】（I）先利用导数研究函数单调性，再结合零点存在定理证明结论；（II）（i）先根据零点化简不等式，转化求两个不等式恒成立，构造差函数，利用导数求其单调性，根据单调性确定最值，即可证得不等式；（ii）先根据零点条件转化：，再根据放缩，转化为证明不等式，最后构造差函数，利用导数进行证明.【详解】（I）在上单调递增，，所以由零点存在定理得在上有唯一零点；（II）（i），，令一方面：，在单调递增，，，另一方面：，所以当时，成立，因此只需证明当时，因为当时，，当时，，所以，在单调递减，，，综上，.（ii），，，，因为，所以，，只需证明，即只需证明，令，则，，即成立，因此.【点睛】本题考查利用导数研究函数零点、利用导数证明不等式，考查综合分析论证与求解能力描述难题.5.2020 年普通高等学校招生全国统一考试（海南，22）已知函数．（1）当时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若f（x）≥1，求a的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先求导数，再根据导数几何意义得切线斜率，根据点斜式得切线方程，求出与坐标轴交点坐标，最后根据三角形面积公式得结果；（2）解法一：利用导数研究，得到函数得导函数的单调递增，当a=1时由得,符合题意；当a>1时，可证，从而存在零点，使得，得到，利用零点的条件，结合指数对数的运算化简后，利用基本不等式可以证得恒成立；当时，研究.即可得到不符合题意.综合可得a的取值范围.解法二：利用指数对数的运算可将,令,上述不等式等价于,注意到的单调性，进一步等价转化为，令,利用导数求得，进而根据不等式恒成立的意义得到关于a的对数不等式，解得a的取值范围.【详解】（1），，.，∴切点坐标(1,1+e),∴函数f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为,即, 切线与坐标轴交点坐标分别为,∴所求三角形面积为;（2）解法一：,，且.设,则∴g(x)在上单调递增，即在上单调递增，当时，,∴,∴成立.当时，，，,∴存在唯一，使得，且当时，当时，，，因此>1,∴∴恒成立；当时，∴不是恒成立.综上所述，实数a取值范围是[1,+∞).解法二：等价于,令,上述不等式等价于,显然为单调增函数，∴又等价于，即，令,则在上h’(x)>0,h(x)单调递增；在(1,+∞)上h’(x)<0,h(x)单调递减，∴,，∴a的取值范围是[1,+∞).【点睛】本题考查导数几何意义、利用导数研究不等式恒成立问题，考查综合分析求解能力，分类讨论思想和等价转化思想，属较难试题.6.2020年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷，19）.已知关于x的函数与在区间D上恒有．（1）若，求h(x)的表达式；（2）若，求k的取值范围；（3若求证：．【答案】（1）；（2）；（3）证明详见解析【解析】【分析】（1）求得与的公共点，并求得过该点的公切线方程，由此求得的表达式.（2）先由，求得的一个取值范围，再由，求得的另一个取值范围，从而求得的取值范围.（3）先由，求得的取值范围，由方程的两个根，求得的表达式，利用导数证得不等式成立.【详解】（1）由题设有对任意的恒成立.令，则，所以.因此即对任意的恒成立，所以，因此.故.（2）令，.又.若，则在上递增，在上递减，则，即，不符合题意.当时，，符合题意.当时，在上递减，在上递增，则，即，符合题意.综上所述，.由当，即时，在为增函数，因为，故存在，使，不符合题意.当，即时，，符合题意.当，即时，则需，解得.综上所述，的取值范围是.（3）因为对任意恒成立，对任意恒成立，等价于对任意恒成立.故对任意恒成立.令，当，，此时，当，，但对任意的恒成立.等价于对任意的恒成立.的两根为，则，所以.令，则.构造函数，，所以时，，递减，.所以，即.【点睛】本小题主要考查利用的导数求切线方程，考查利用导数研究不等式恒成立问题，考查利用导数证明不等式，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题.7.2020年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷，19）已知函数．（1）当时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若f（x）≥1，求a的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先求导数，再根据导数几何意义得切线斜率，根据点斜式得切线方程，求出与坐标轴交点坐标，最后根据三角形面积公式得结果；（2）解法一：利用导数研究，得到函数得导函数的单调递增，当a=1时由得,符合题意；当a>1时，可证，从而存在零点，使得，得到，利用零点的条件，结合指数对数的运算化简后，利用基本不等式可以证得恒成立；当时，研究.即可得到不符合题意.综合可得a的取值范围.解法二：利用指数对数的运算可将,令,上述不等式等价于,注意到的单调性，进一步等价转化为，令,利用导数求得，进而根据不等式恒成立的意义得到关于a的对数不等式，解得a的取值范围.【详解】（1），，.，∴切点坐标为(1,1+e),∴函数f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为,即, 切线与坐标轴交点坐标分别为,∴所求三角形面积为;（2）解法一：,，且.设,则∴g(x)在上单调递增，即在上单调递增，当时，,∴,∴成立.当时，，，,∴存在唯一，使得，且当时，当时，，，因此>1,∴∴恒成立；当时，∴不是恒成立.综上所述，实数a的取值范围是[1,+∞).解法二：等价于,令,上述不等式等价于,显然为单调增函数，∴又等价于，即，令,则在上h’(x)>0,h(x)单调递增；在(1,+∞)上h’(x)<0,h(x)单调递减，∴,，∴a的取值范围是[1,+∞).【点睛】本题考查导数几何意义、利用导数研究不等式恒成立问题，考查综合分析求解能力，分类讨论思想和等价转化思想，属较难试题.8. 2020年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷，20）已知函数，为的导函数．（Ⅰ）当时，（i）求曲线在点处的切线方程；（ii）求函数的单调区间和极值；（Ⅱ）当时，求证：对任意的，且，有．【答案】（Ⅰ）（i）；（ii）的极小值为，无极大值；（Ⅱ）证明见解析. 【解析】【分析】(Ⅰ) (i)首先求得导函数的解析式，然后结合导数的几何意义求解切线方程即可；(ii)首先求得的解析式，然后利用导函数与原函数的关系讨论函数的单调性和函数的极值即可；（Ⅱ）首先确定导函数的解析式，然后令，将原问题转化为与有关的函数，然后构造新函数，利用新函数的性质即可证得题中的结论.【详解】(Ⅰ) (i) 当k=6时，，.可得，，所以曲线在点处切线方程为，即.(ii) 依题意，.从而可得，整理可得：，令，解得.当x变化时，的变化情况如下表：所以，函数g(x)的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，+∞)；g(x)的极小值为g(1)=1，无极大值.（Ⅱ）证明：由，得.对任意的，且，令，则. ①令.当x>1时，，由此可得在单调递增，所以当t>1时，，即.因为，，，所以. ②由(Ⅰ)(ii)可知，当时，，即，故③由①②③可得.所以，当时，任意的，且，有.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．9. 2020年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷19）已知函数．（Ⅰ）求曲线的斜率等于的切线方程；（Ⅱ）设曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，求的最小值．【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）根据导数的几何意义可得切点的坐标，然后由点斜式可得结果；（Ⅱ）根据导数的几何意义求出切线方程，再得到切线在坐标轴上的截距，进一步得到三角形的面积，最后利用导数可求得最值.【详解】（Ⅰ）因为，所以，设切点为，则，即，所以切点为，由点斜式可得切线方程为：，即.（Ⅱ）显然，因为在点处的切线方程为：，令，得，令，得，所以，不妨设时，结果一样，则，所以，由，得，由，得，所以在上递减，在上递增，所以时，取得极小值，也是最小值为.【点睛】本题考查了利用导数的几何意义求切线方程，考查了利用导数求函数的最值，属于中档题.。