精品-高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形第1讲任意角和蝗制及任意角的三角函数习题课件
(全国版)高考数学一轮复习第三章三角函数、解三角形3.1任意角和弧制及任意角的三角函数课件理
第三十四页,共73页。
③选答:出现数字m的区域,即为 所在的象限. 易错提醒:判断终边所在象限要注k意分类(fēn lèi)讨论.
第三十五页,共73页。
【变式训练】若角β的终边与 π的6 终边相同(xiānɡ tónɡ), 求在区间[0,2π)内终边与 的终边7 相同(xiānɡ tónɡ)的角.
第二十页,共73页。
5.(2016·锦州模拟)在平面(píngmiàn)直角坐标系中,点M(3,m)在
角α的终边上,若sinα=
则m= ( )
A.-6或1
B.-1或6
2 5, 5
C.6
D.1
【解析】选C.由题意知
5m2=4m2+36,
且m>0,所以m=6.
m 2, 9 m2 5
第二十一页,共73页。
第九页,共73页。
第十页,共73页。
4.终边相同的角的三角函数 sin(α+k·2π)=______,
sinα cos(α+k·2π)=______,
tan(α+k·2π)=____c__o(s其α中(qízhōng)k∈Z), 即终边相同的角的同t一an三α角函数的值相等.
第十一页,共73页。
所以 2
当k=2m k,m2∈ Z时, k 2,k Z,
42 2 22
所以 在第一象限; m 2 m 2,m Z,
4
22
2
第二十五页,共73页。
当k=2m+1,m∈Z时5, m 2 3 m 2,m Z, 所以在 第三(dì sān4)象限.综上2, 的2 终边在第一或三象
高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形第1讲任意角和蝗制及任意角的三角函数444
第1讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数1.将表的分针拨快10分钟 ,那么分针旋转过程中形成的角的弧度数是( ) A.π3 B.π6 C .-π3D .-π6 解析:选C.将表的分针拨快应按顺时针方向旋转 ,为负角.故A 、B 不正确 ,又因为拨快10分钟 ,故应转过的角为圆周的16. 即为-16×2π=-π3. 2.角α的余弦线是单位长度的有向线段 ,那么角α的终边在( )A .x 轴上B .y 轴上C .直线y =x 上D .直线y =-x 上解析:选A.|cos α|=1 ,那么角α的终边在x 轴上. 3.(2021·潍坊模拟)集合⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪k π+π4≤α≤k π+π2k ∈Z 中的角所表示的范围(阴影局部)是( )解析:选C.当k =2n (n ∈Z )时 ,2n π+π4≤α≤2n π+π2 ,此时α表示的范围与π4≤α≤π2表示的范围一样;当k =2n +1(n ∈Z )时 ,2n π+π+π4≤α≤2n π+π+π2,此时α表示的范围与π+π4≤α≤π+π2表示的范围一样 ,应选C. 4.假设sin αtan α<0 ,且cos αtan α<0 ,那么角α是( ) A .第|一象限角 B .第二象限角C .第三象限角D .第四象限角解析:选C.由sin αtan α<0可知sin α ,tan α异号 ,那么α为第二或第三象限角. 由cos αtan α<0可知cos α ,tan α异号 ,那么α为第三或第四象限角. 综上可知 ,α为第三象限角.5.(2021·西安模拟)角α=2k π-π5(k ∈Z ) ,假设角θ与角α的终边相同 ,那么y =sin θ|sin θ|+cos θ|cos θ|+tan θ|tan θ|的值为( )A .1B .-1C .3D .-3解析:选B.由α=2k π-π5(k ∈Z )及终边相同的概念知 ,角α的终边在第四象限 , 又角θ与角α的终边相同 ,所以角θ是第四象限角 ,所以sin θ<0 ,cos θ>0 ,tan θ<0.所以y =-1+1-1=-1.6.(2021·安徽省十校协作体联考)锐角α ,且5α的终边上有一点P (sin(-50°) ,cos 130°) ,那么α的值为( )A .8°B .44°C .26°D .40°解析:选B.因为sin(-50°)<0 ,cos 130°=-cos 50°<0 ,所以点P (sin (-50°) ,cos 130°)在第三象限.又因为0°<α<90° ,所以0°<5α<450°.又因为点P 的坐标可化为(cos 220° ,sin 220°) ,所以5α=220° ,所以α=44° ,应选B.7.假设α是第三象限角 ,那么180°-α是第________象限角.解析:因为α是第三象限角 ,所以k ·360°+180°<α<k ·360°+270° ,所以-k ·360°-270°<-α<-k ·360°-180° ,-(k +1)·360°+270°<180°-α<-(k +1)·360°+360° ,其中k ∈Z ,所以180°-α是第四象限角.答案:四8.角α的终边上有一点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12 -32 ,假设α∈(-2π ,2π) ,那么所有的α组成的集合为________.解析:因为角α的终边上有一点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12 -32 ,所以角α为第四象限角 ,且tan α=-3 ,即α=-π3+2k π ,k ∈Z ,因此落在(-2π ,2π)内的角α的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫-π3 5π3. 答案:⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫-π3 5π3 9.(2021·大同一模)角α的终边经过点P (-x ,-6) ,且cos α=-513,那么x 的值为________.解析:因为cos α=-x (-x )2+ (-6 )2=-xx 2+36=-513 , 所以⎩⎪⎨⎪⎧x >0 x 2x 2+36=25169,解得x =52. 答案:5210.满足cos α≤-12的角α的集合为________. 解析:作直线x =-12交单位圆于C 、D 两点 ,连接OC 、OD ,那么OC 与OD 围成的区域(图中阴影局部)即为角α终边的范围 ,故满足条件的角α的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪⎪2k π+23π≤α≤2k π+43π k ∈Z . 答案:⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪⎪2k π+23π≤α≤2k π+43π k ∈Z 11.角θ的终边上有一点P (x ,-1)(x ≠0) ,且tan θ=-x ,求sin θ+cos θ的值. 解:因为θ的终边过点(x ,-1)(x ≠0) ,所以tan θ=-1x. 又tan θ=-x ,所以x 2=1 ,即x =±1.当x =1时 ,sin θ=-22 ,cos θ=22. 因此sin θ+cos θ=0; 当x =-1时 ,sin θ=-22 ,cos θ=-22 , 因此sin θ+cos θ=- 2.故sin θ+cos θ的值为0或- 2.12.(1)一个扇形OAB 的面积是1 cm 2 ,它的周长是4 cm ,求圆心角的弧度数和弦长AB .(2)A =⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪k π+π3≤x ≤k π+π2 k ∈Z ,B ={}x |4-x 2≥0 ,求A ∩B .解:(1)设圆的半径为r cm ,弧长为l cm ,那么⎩⎨⎧12lr =1 l +2r =4 解得⎩⎨⎧r =1 l =2.所以圆心角α=l r=2.如图 ,过O 作OH ⊥AB 于H ,那么∠AOH =1 rad.所以AH =1·sin 1=sin 1(cm) ,所以AB =2sin 1(cm).(2)如下图 ,集合A 表示终边落在阴影局部的角的集合(包括v 轴)B ={}x |4-x 2≥0={}x |-2≤x ≤2 ,而π3<2<43π , -2π3<-2<-π2, 所以A ∩B =⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫-2≤x ≤-π2或π3≤x ≤π2.。
2024届高考数学一轮总复习第三章三角函数解三角形第一讲蝗制及任意角的三角函数课件
1.角的概念的推广 (1)定义:角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋 转到另一个位置所成的图形.
分按旋转方向不同分为正角、负角、零角W. (2)类按终边位置不同分为象限角和轴线角.
(3)终边相同的角:所有与角α终边相同的角,连同角α在内, 可构成一个集合 S={β|β=α+k·360°,k∈Z}.
判断已知角是第几象限角.
(3)确定 kα,αk(k∈N*)的终边位置三步骤 ①用终边相同角的形式表示出角 α 的范围;
②再写出 kα 或αk的范围; ③然后根据 k 的可能取值讨论确定 kα 或αk的终边所在的位置. (4)终边在一条直线上的角之间相差 180°的整数倍;终边在互
相垂直的两条直线上的角之间相差 90°的整数倍.
3.任意角的三角函数 (1)定义:设角 α 终边与单位圆交于 P(x,y),则 sin α=y, cos α=x,tan α=yx(x≠0). 拓展:任意角的三角函数的定义(推广). 设 P(x,y)是角 α 终边上异于顶点的任一点,其到原点 O 的距 离为 r,则 sin α=yr,cos α=xr,tan α=xy(x≠0).
(2)已知角α的某三角函数值,求角α终边上一点 P 的坐标中的
参数值,可根据定义中的两个量列方程求参数值. (3)三角函数值的符号及角的终边位置的判断 .已知一角的三
角函数值(sin α,cos α,tan α)中任意两个的符号,可分别确定出角 终边所在的可能位置,二者的交集即为该角终边的位置,注意终 边在坐标轴上的特殊情况.
又由 y= 3x 得 x=-12,y=- 23,所以 cos α=x=-12,
因为点12,m在单位圆上,所以212+m2=1,解得 m=± 23,
所以
sin
(全国通用)近年高考数学一轮复习 第3章 三角函数、解三角形 第1节 任意角、弧度制及任意角的三角函
(全国通用)2018高考数学一轮复习第3章三角函数、解三角形第1节任意角、弧度制及任意角的三角函数课时分层训练文新人教A版编辑整理:尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望((全国通用)2018高考数学一轮复习第3章三角函数、解三角形第1节任意角、弧度制及任意角的三角函数课时分层训练文新人教A版)的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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课时分层训练(十七)任意角、弧度制及任意角的三角函数A组基础达标(建议用时:30分钟)一、选择题1.给出下列四个命题:①-错误!是第二象限角;②错误!是第三象限角;③-400°是第四象限角;④-315°是第一象限角.其中正确命题的个数有()A.1个B.2个C.3个D.4个C [-错误!是第三象限角,故①错误.错误!=π+错误!,从而错误!是第三象限角,②正确.-400°=-360°-40°,从而③正确.-315°=-360°+45°,从而④正确.]2.已知弧度为2的圆心角所对的弦长为2,则这个圆心角所对的弧长是( )【导学号:31222102】A.2 B.sin 2C。
错误!D.2sin 1C [由题设知,圆弧的半径r=错误!,∴圆心角所对的弧长l=2r=2sin 1。
]3.(2016·湖南衡阳一中模拟)已知点P(cos α,tan α)在第三象限,则角α的终边在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限B [由题意可得错误!则错误!所以角α的终边在第二象限,故选B。
高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形3.1任意角和蝗制及任意角的三角函数课件理
3.1 任意角和弧度制及任意角的三角函数
基础知识过关
[知识梳理] 1.任意角的概念 (1)定义:角可以看成平面内的一条射线绕着 端点 从一 个位置旋转到另一个位置所成的图形.
(2)角的分类
(3)终边相同的角:所有与角 α 终边相同的角,连同角 α 在内,可构成一个集合 S={β|β=α+k·360°,k∈Z}.
题型 2 弧度制及扇形面积公式的应用
典例 已知一扇形的圆心角为 α,半径为 R,弧长为 l.
(1)若 α=60°,R=10 cm,求扇形的弧长 l; (2)已知扇形的周长为 10 cm,面积是 4 cm2,求扇形的 圆心角; (3)若扇形周长为 20 cm,当扇形的圆心角 α 为多少弧度 时,这个扇形的面积 B.M N
C.N M D.M∩N=∅
赋值法.
典例2 已知角 α=2kπ-π5(k∈Z),若角 θ 与角 α 终边 相同,则 y=|ssiinnθθ|+|ccoossθθ|+|ttaannθθ|的值为___-__1___.
值.
找 α 的终边,利用终边确定正负,再求
解析 如图,由题意知,角 α 的终边在第二象限,在 其上任取一点 P(x,y),则 y=-x,由三角函数的定义得 tanα =yx=-xx=-1.
(2)(2018·黄浦模拟)如图,已知扇形 OAB 和 OA1B1,A1 为 OA 的中点,若扇形 OA1B1 的面积为 1,则扇形 OAB 的面 积为___4_____.
2.教材衍化 (1)(必修 A4P9T5)直径为 4 的圆中,36°的圆心角所对的 弧长是( )
4π 2π π π A. 5 B. 5 C.3 D.2
解析 ∵36°=36×1π80 rad=π5 rad,∴36°的圆心角所 对的弧长为 l=π5×2=25π.故选 B.
高考数学一轮总复习第三章三角函数解三角形3.1任意角和蝗制及任意角的三角函数课件理
同理角 α 终边上点 Q 的坐标为(x0,y0), 那么 sinα=y0,cosα=x0. ④α∈0,π2,则 tanα>α>sinα. ⑤α 为第一象限角,则 sinα+cosα>1. 答案:②④⑤
第十七页,共45页。
3
考点疑难突破
第十八页,共45页。
角的集合表示及象限(xiàngxiàn)角的判定
第十一页,共45页。
「基础小题练一练」
1.已知角 α 的终边与单位圆的交点 Px, 23,则 tanα 等于(
)
A. 3
B.± 3
3 C. 3
D.±
3 3
第十二页,共45页。
解析:由|OP|2=x2+34=1, 得 x=±12. 所以 tanα=yx= 23÷±12=± 3.故选 B. 答案:B
必修(bìxiū)部分
第三章 三角函数(sānjiǎhánshù)、解三角形
第一节 任意角和弧度(húdù)制及任意角 的三角函数
第一页,共45页。
栏
考情分析 1
目
(fēnxī)3 考点(kǎo Nhomakorabeadiǎn)
导
基础自主(zìzhǔ) 2
梳理
疑难突破
航
4 课时跟踪检测
第二页,共45页。
[学科素养] 借助直观图形感知事物的形态利用图形理解和解决熟悉问题,借助图形的性质和 变换(平移、对称、旋转)发现数学规律,探索解决实际问题或数学问题.
第四十页,共45页。
[自 主 演 练] 1.函数 y= -21-cosx的定义域为________. 解析:因为-21-cosx≥0, 所以 cosx≤-12, 作直线 x=-12交单位圆于 C,D 两点,连接 OC,OD, 如图,阴影部分为角 x 终边的范围,
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第1讲 任意角和弧度制及任意角的三角 函数
板块一 知识梳理· 自主学习
[必备知识] 考点 1 角的概念
按旋转方向不同分为 正角、负角、零角 . 1.分类 按终边位置不同分为 象限角和轴线角 .
2.终边相同的角:所有与角 α 终边相同的角,连同角 α 在内,可构成一个集合 S={β|β=α+k· 360° ,k∈Z} .
[双基夯实] 一、疑难辨析 判 断 下 列 结 论 的 正 误 . ( 正 确 的 打 “√” , 错 误 的 打 “×”) 1.第一象限角必是锐角.( × ) 2.不相等的角终边一定不相同.( × ) 3.终边落在 x 轴非正半轴上的角可表示为 α=2πk+π(k ∈Z). ( √ )
4.一弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小, 它是角的一种度量单位.( √ ) 5.三角函数线的方向表示三角函数值的正负.( √ )
考点 2
弧度的定义和公式
1.定义:长度等于 半径长 的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角,弧度记作 rad. 2. 公式: (1)弧度与角度的换算: 360° = 2π 弧度; 180° = π 弧度; (2)弧长公式: l= |α|r ; (3)扇形面积公式: S =
1 lr 2
1 |α|r2 和 S 扇形= 2 .说明:(2Байду номын сангаас(3)公式中的 α 必须
= {„,- 45° , 0° , 45° ,90° ,
135° , 180° ,225° , „},显然有 M N. k 解法二:由于 M 中, x= · 180° + 45° = k· 90° + 45° = 2 k 45° · (2k+ 1), 2k+ 1 是奇数; 而 N 中, x= · 180° +45° = k· 45° 4 + 45° = (k+ 1)· 45° , k+ 1 是整数,因此必有 M N.故选 B.
2019版高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形3.1任意角和蝗制及任意角的三角函数课件文
解析 设∠AOB=α,则 S 扇形 OA1B1=12OA21·α=1, S 扇形 OAB=12OA2·α,OA=2OA1, ∴S 扇形 OAB=21·(2OA1)2·α=4.
经典题型冲关
题型 1 象限角及终边相同的角
典例1设集合 M=xx=2k·180°+45°,k∈Z
,N=
解析 角 β 的终边上有一点 P(-m,m),其中 m≠0,
∴r=|OP|= 2|m|,
当
m>0
时,cosβ=
-m =- 2|m|
22,
sinβ=
m= 2|m|
22,∴sinβ+cosβ=0;
当
m<0
时,cosβ=
-m = 2|m|
22,sinβ=
m =- 2|m|
22,
∴sinβ+cosβ=0.
利用方程组法、二次函数求最值.
解 (1)α=60°=π3 rad,
∴l=α ·R=π3×10=130π (cm).
2R+Rα=10, (2)由题意得12α·R2=4,
解得 Rα==81,
R=4, (舍去),α=12.
故扇形圆心角为21.
(3)由已知得,l+2R=20,所以 S=12lR=12(20-2R)R= 10R-R2=-(R-5)2+25,所以当 R=5 时,S 取得最大值 25,此时 l=10,α=2.
提醒:若题目中已知角的终边在一条直线上,此时注意 在终边上任取一点有两种情况(点所在象限不同).
冲关针对训练 1.设π2<x<34π,a=sinx,b=cosx,c=tanx,则( ) A.a<b<c B.c<b<a C.b<c<a D.b<a<c
高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形第1讲任意角蝗制和任意角的三角函数课件文
1.已知角 α 的终边经过点(3a-9,a+2),且 sin α>0,cos α<0,则 a 的取值范围是_(-__2_,__3_)_. [解析] 因为 sin α>0,cos α<0,所以 α 是第二象限角.所
以点(3a-9,a+2)在第二象限,所以3aa+-29><0,0, 解得-2<a<3.
——利用数形结合思想确定角的范围 (1)求函数 y=lg(3-4sin2x)的定义域; (2)设 θ 是第二象限角,试比较 sinθ2,cosθ2,tanθ2的大小.
【解】 (1)因为 3-4sin2x>0,所以 sin2x<34,所以- 23<sin x< 23.利用 三角函数线画出满足条件的角的范围 (如图阴影部分所示),
角 α= r3r= 3.
3.已知角 α=2kπ-π5(k∈Z),若角 θ 与角 α 的终边相同,则 y=|ssiinn θθ|+|ccooss θθ|+|ttaann θθ|的值为___-__1___.
[解析] 由 α=2kπ-π5(k∈Z)及终边相同的角的概念知,α 的 终边在第四象限,又 θ 与 α 的终边相同,所以角 θ 是第四象 限角,所以 sin θ<0,cos θ>0,tan θ<0. 因此,y=-1+1-1=-1.
2. 已知 α=π3,回答下列问题. (1)写出所有与 α 终边相同的角; (2)写出在(-4π,2π)内与 α 终边相同的角; (3)若角 β 与 α 终边相同,则β2是第几象限的角?
[解] (1) 所有与 α 终边相同的角可表示为 θ|θ=2kπ+π3,k∈Z. (2)由(1)令-4π<2kπ+π3<2π(k∈Z), 则有-2-16<k<1-16. 因为 k∈Z,所以 取 k=-2、-1、0. 故在(-4π,2π)内与 α 终边相同的角是-131π、-53π、π3. (3)由(1)有 β=2kπ+π3(k∈Z),则β2=kπ+π6(k∈Z). 所以β2是第一、三象限的角.
高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形3.1任意角和蝗制及任意角的三角函数课件理新人教版
(1)若 α=k·180°+45°(k∈Z),则 α 在( A )
A.第一或第三象限 B.第一或第二象限 C.第二或第四象限 D.第三或第四象限 (2)已知角 α 的终边在如图所示阴影表示的范围内(不包括边界),则
角 α 用集合可表示为 (2kπ+4π,2kπ+56π)(k∈Z) .
解析:(1)当 k=2n(n∈Z)时,α=2n·180°+45°=n·360°+45°, α 为第一象限角;
解析:单位圆的半径 r=1,200°的弧度数是 200×1π80=190 π,由弧度数的定义得190π=rl,所以 l=190π.
4.已知扇形的周长是 6 cm,面积是 2 cm2,则扇形的圆心角的弧
度数是 1 或 4 .
解析:设此扇形的半径为 r,弧长为 l,
2r+l=6, 则12rl=2,
540 【例 2】 (1)3 弧度=___π_____度.
(2)若圆弧长度等于该圆内接正方形的边长,则其圆心角的弧度数
是______2__.
(3)已知扇形的周长是 4 cm,则扇形面积最大时,扇形的圆心角的
弧度数是( A )
A.2
B.1
1 C.2
D.3
【解析】 (1)3 弧度=18π0×3 度=54π0°. (2)设圆半径为 r,则圆内接正方形的对角线长为 2r,
高考数学一轮总复习第3章三角函数解三角形3.1任意角和蝗制及任意角的三角函数模拟演练课件文
④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时,一般有一个推导过程,如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、语 文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程,这有助于理解记忆结论,也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
在原点,半径为 1 的圆)交于第二象限的点 cosα-sinα=__- __75____.
Acosα,35,则
解析 由题意得 cos2α+352=1,所以 cos2α=1265. 又 cosα<0,所以 cosα=-45, 又 sinα=35,所以 cosα-sinα=-75.
sinα=(
)
A.12
B.-12
C.-
3 2
D.-
3 3
解析 因为 P(1,- 3),所以 r= 12+- 32=2.
所以
sinα=-
3 2.
4.sin2·cos3·tan4 的值(
)
A.小于 0
B.大于 0
C.等于 0
D.不存在
解析 ∵π2<2<3<π<4<32π,∴sin2>0,cos3<0,tan4 >0.∴sin2·cos3·tan4<0,∴选 A.
到 终 边 在 π3 ·4 = 43π 的 位 置 , 则
xC
=
-
cos
π 3
·4 =
-
2
,
yC=
-
sinπ3·4=-2 3.所以 C 点的坐标为(-2,-2 3).
P 点走过的弧长为43π·4=136π,
高考数学一轮复习 第三章 三角函数、解三角形 3.1 任意角和弧制及任意角的三角函数课件
3.扇形的弧长公式:l=_____|α__|·_r ______,扇形的面积公式:S=
_____12_l_r_______=____12_|_α_|·_r_2_____.
12/11/2021
第八页,共四十三页。
知识点三 任意角的三角函数 任意角 α 的终边与单位圆交于点 P(x,y)时,则 sinα=
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第二十七页,共四十三页。
方法技巧 应用弧度制解决问题的方法 1利用扇形的弧长和面积公式解题时,要注意角的单位必须 是弧度. 2求扇形面积最大值的问题时,常转化为二次函数的最值问 题. 3在解决弧长问题和扇形面积问题时,要合理地利用圆心角 所在的三角形.
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2.若角 α 的终边在 x 轴的上方,则α2是第____一__或__三______象 限角.
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解析:∵角 α 的终边在 x 轴的上方, ∴k·360°<α<180°+k·360°,k∈Z, ∴k·180°<α2<90°+k·180°,k∈Z. 当 k=2n(n∈Z)时,有 n·360°<α2<90°+n·360°,可知α2为第一 象限角; 有 k=2n+1(n∈Z)时,有 n·360°+180°<α2<270°+n·360°, 可知α2为第三象限角.
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考点三 任意角的三角函数的定义
命题方向 1
三角函数的定义
【例 3】 (1)已知角 θ=83π,且角 θ 的终边经过点 P(x,2 3),
则 x 的值为( C )
高考数学一轮复习第三篇三角函数解三角形第1节任意角和蝗制及任意角的三角函数训练理新人教版
【最新】2019版高考数学一轮复习第三篇三角函数解三角形第1节任意角和蝗制及任意角的三角函数训练理新人教版【选题明细表】基础巩固(时间:30分钟)1.下列命题中正确的是( D )(A)终边在x轴负半轴上的角是零角(B)第二象限角一定是钝角(C)第四象限角一定是负角(D)若β=α+k·360°(k∈Z),则α与β终边相同2.若cos θ<0,且sin 2θ<0,则角θ的终边所在的象限是( B )(A)第一象限 (B)第二象限(C)第三象限 (D)第四象限解析:由sin 2θ=2sin θcos θ<0,cos θ<0,得sin θ>0,所以角θ的终边所在的象限为第二象限.故选B.3.如果一扇形的弧长为π,半径等于2,则扇形所对圆心角为( C )(A)π (B)2π (C) (D)解析:因为一扇形的弧长为π,半径等于2,所以扇形所对圆心角为α==.故选C.4.(2017·南充三模)若角α的终边经过点P0(-3,-4),则tan α等于( A )(A) (B) (C)- (D)-解析:根据题意,角α的终边经过点P0(-3,-4),则tan α==,故选A.5.若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长,则其圆心角α∈(0,π)的弧度数为( C )(A) (B) (C) (D)2解析:设圆半径为r,则其内接正三角形的边长为r,由题r=α·r,所以α=.故选C.6.若α是第三象限角,则y=+的值为( A )(A)0 (B)2(C)-2 (D)2或-2解析:因为α是第三象限角,所以2kπ+π<α<2kπ+π(k∈Z),。
推荐-高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形第1讲任意角和蝗制及任意角的三角函数课件理北师大版
360
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从而 k=-2 或 k=-1,代入得 β=-675°或 β=-315°.
(2)因为 sin α >0,cos α <0,所以 α 是第二象限角.所以点
(3a- 9, a+ 2)在第二象限,所以3aa+-29><0,0,解得- 2<a<3.
考点二 扇形的弧长、面积公式 已知扇形的圆心角是 α ,半径为 R,弧长为 l. (1)若 α=60°,R=10 cm,求扇形的弧长 l; (2)若扇形的周长为 20 cm,当扇形的圆心角 α为多少弧度时, 这个扇形的面积最大?
2 所以当 r=1 时,(S 扇形)max=1, 此时|α|=2.
考点三 三角函数的定义(高频考点) 任 意 角 的三 角 函数 (正 弦、 余 弦、 正 切 )的定 义属 于 理解 内 容.在高考中以选择题、填空题的形式出现,高考对三角函 数定义的考查主要有以下三个命题角度: (1)已知角α 终边上一点 P 的坐标求三角函数值; (2)已知角 α 的终边所在的直线方程求三角函数值; (3)判断三角函数值的符号.
sin α 的值为3_._(1_-)_设_35_角__.α 终边上一点 P(-4a,3a)(a<0),则 (2)已知角 α 的终边经过点 P(- 3,m),且 sin α = 3
4 m(m≠0),判断角 α 是第几象限角,并求 tan α 的值.
解:(1)设点 P 与原点间的距离为 r, 因为 P(-4a,3a),a<0, 所以 r= (-4a)2+(3a)2=|5a|=-5a. 所以 sin α =3ra=-35.故填-35.
1.(必修 4 P12 习题 1-3T6 改编)单位圆中,200°的圆心角
所对的弧长为( D )
高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形第1讲任意角和蝗制及任意角的三角函数习题课件
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所以 tanθ2>0.故选 C.
6.已知扇形的周长是 6,面积是 2,则扇形的圆心角的
弧度数是( )
A.1
B.4
C.1 或 4 D.2 或 4
解析 设此扇形的半径为 r,弧长为 l,
2r+l=6, 则12rl=2,
解得lr==41, 或rl==22.,
从而 α=rl=41=4 或 α=rl=22=1.
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析 由已知得(sinθ-cosθ)2>1,即 1-2sinθcosθ>1, sinθcosθ<0,又 sinθ>cosθ,所以 sinθ>0>cosθ,所以角 θ 的 终边在第二象限.
2.已知弧度数为 2 的圆心角所对的弦长为 2,则这个
圆心角所对的弧长是( )
解析 由题意得 cos2α+352=1,cos2α=1265.又 cosα<0, 所以 cosα=-45,又 sinα=35,所以 cosα-sinα=-75.
4.已知角 α 的终边过点 P(-3cosθ,4cosθ),其中 θ∈ π2,π,求 α 的三角函数值.
Px,
23,则
tanα
=( )
A. 3
B.± 3
3 C. 3
D.±
3 3
解析
∵Px,
23在单位圆上,∴x=±12.
∴tanα=± 3.
3.[2018·成都模拟]已知角 α=2kπ-43π(k∈Z),则|ssiinnαα|
+|ttaannαα|的值是(
高考数学一轮复习 第3章 三角函数、解三角形 第1节 任意角、弧制及任意角的三角函数课件 理
[规律方法] 1.利用三角函数定义求三角函数值的方法 (1)已知角α终边上一点P的坐标,则可先求出点P到原点的距离r,然后用三 角函数的定义求解. (2)已知角α的终边所在的直线方程,则可先设出终边上一点的坐标,求出 此点到原点的距离,然后用三角函数的定义求解. 2.利用三角函数线求解三角不等式的方法 对于较为简单的三角不等式,在单位圆中,利用三角函数线先作出使其相 等的角(称为临界状态,注意实线与虚线),再通过大小找到其所满足的角的区 域,由此写出不等式的解集.
第3章 三角函数、解三角形 第一节 任意角、弧度制及任意角的三角函数
[考纲传真] 1.了解任意角的概念和弧度制的概念.2.能进行弧度与角度的互 化.3.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.
1.角的概念的推广 (1)定义:角可以看成平面内一条射线绕着_端__点___从一个位置旋转到另一个 位置所成的图形. (2)分类按 按旋 终转 边方 位向 置不 不同 同分 分为 为__正__象__角__限____角、 ____负_和_角_轴_线、角__零_. _角___. (3)终边相同的角:所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集 合S={β|β=α+k·360°,k∈Z}.
有向线段_O_M__为余弦 线
有向线段_A_T__为正切 线
4.三角函数值的符号规律 三角函数值在各象限内的符号:一全正、二正弦、三正切、四余弦. 5.任意角的三角函数的定义(推广) 设P(x,y)是角α终边上异于顶点的任一点,其到原点O的距离为r,则sin α =yr,cos α=xr,tan α=yx(x≠0).
「精品」高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形第1节任意角蝗制及任意角的三角函数教师用书
第三章 三角函数、解三角形[深研高考·备考导航] 为教师备课、授课提供丰富教学资源[五年考情]三角函数,解三角形是浙江高考命题的热点,分值一般在20分左右,主要考查三角函数的图象与性质、简单的三角恒等变换、正、余弦定理及其应用、且题目常考常新.第一节 任意角、弧度制及任意角的三角函数1.角的概念的推广(1)定义:角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.(2)分类⎩⎪⎨⎪⎧按旋转方向不同分为正角、负角、零角.按终边位置不同分为象限角和轴线角.(3)终边相同的角:所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S ={β|β=α+k ·360°,k ∈Z }.2.弧度制的定义和公式(1)定义:把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角,弧度记作rad. (2)公式:①角度与弧度的换算: a .1°=π180 rad ;b.1 rad =⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°. ②弧长公式:l =r |α|.③扇形面积公式:S =12lr =12r 2α.3.任意角的三角函数1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)小于90°的角是锐角.( ) (2)锐角是第一象限角,反之亦然.( )(3)角α的三角函数值与终边上点P 的位置无关.( ) (4)若α为第一象限角,则sin α+cos α>1.( ) [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√2.若cos θ>0,且sin 2θ<0,则角θ的终边所在象限为( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限D [由cos θ>0,sin 2θ=2sin θ cos θ<0得sin θ<0,则角θ的终边在第四象限,故选D.]3.(教材改编)已知角α的终边与单位圆的交点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12,y ,则sin α=( ) A.32 B .±32 C.22D .±22B [由题意知|r |2=⎝ ⎛⎭⎪⎫122+y 2=1,所以y =±32.由三角函数定义知sin α=y =±32.]4.在单位圆中,200°的圆心角所对的弧长为( ) A .10π B .9π C.910π D.109π D [单位圆的半径r =1,200°的弧度数是200×π180=109π,由弧度数的定义得109π=lr,所以l =109π.]5.已知半径为120 mm 的圆上,有一条弧长是144 mm ,则该弧所对的圆心角的弧度数为________rad. 【导学号:51062093】1.2 [由题意知α=l r =144120=1.2 rad.](1)若角α是第二象限角,则2是( )A .第一象限角B .第二象限角C .第一或第三象限角D .第二或第四象限角(2)已知角α的终边在如图311所示阴影部分表示的范围内(不包括边界),则角α用集合可表示为________.图311(1)C (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π+π4,2k π+56π(k ∈Z ) [(1)∵α是第二象限角, ∴π2+2k π<α<π+2k π,k ∈Z , ∴π4+k π<α2<π2+k π,k ∈Z . 当k 为偶数时,α2是第一象限角;当k 为奇数时,α2是第三象限角.综上,α2是第一或第三象限角.(2)在[0,2π)内,终边落在阴影部分角的集合为⎝⎛⎭⎪⎫π4,56π,∴所求角的集合为⎝⎛⎭⎪⎫2k π+π4,2k π+56π(k ∈Z ).] [规律方法] 1.与角α终边相同的角可以表示为β=2k π+α(k ∈Z )的形式,α是任意角;相等的角终边一定相同,终边相同的角不一定相等;角度制与弧度制不能混用.2.由α所在象限,判定α2所在象限,应先确定α2的范围,并对整数k 的奇、偶情况进行讨论.[变式训练1] (1)设集合M =⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x =k2·180°+45°,k ∈Z,N =⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x =k4·180°+45°,k ∈Z,那么( ) A .M =N B .M ⊆N C .N ⊆MD .M ∩N =∅(2)已知角α=45°,在区间[-720°,0°]内与角α有相同终边的角β=________.(1)B (2)-675°或-315° [(1)法一:由于M =⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x =k2·180°+45°,k ∈Z={…,-45°,45°,135°,225°,…},N =⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x =k4·180°+45°,k ∈Z={…,-45°,0°,45°,90°,135°,180°,225°,…},显然有M ⊆N ,故选B.法二:由于M 中,x =k2·180°+45°=k ·90°+45°=(2k +1)·45°,2k +1是奇数;而N 中,x =k4·180°+45°=k ·45°+45°=(k +1)·45°,k +1是整数,因此必有M ⊆N ,故选B.(2)由终边相同的角的关系知β=k ·360°+45°,k ∈Z , ∴取k =-2,-1,得β=-675°或β=-315°.](1)已知扇形周长为10,面积是4,求扇形的圆心角;(2)已知扇形周长为40,当它的半径和圆心角分别取何值时,扇形的面积最大? [解] (1)设圆心角是θ,半径是r ,则 ⎩⎪⎨⎪⎧2r +r θ=10,12θ·r 2=4,解得⎩⎪⎨⎪⎧r =1,θ=8(舍去)或⎩⎪⎨⎪⎧r =4,θ=12,∴扇形的圆心角为12.5分(2)设圆心角是θ,半径是r ,则2r +r θ=40.7分又S =12θr 2=12r (40-2r )=r (20-r )=-(r -10)2+100≤100.10分当且仅当r =10时,S max =100,此时2×10+10θ=40,θ=2,∴当r =10,θ=2时,扇形的面积最大.14分[规律方法] 1.(1)在弧度制下,计算扇形面积和弧长比在角度制下更方便、简捷;(2)从扇形面积出发,在弧度制下把问题转化为关于R 的二次函数的最值问题(如本例)或不等式问题来求解.2.利用公式:(1)l =|α|R ;(2)S =12lR ;(3)S =12|α|R 2.其中R 是扇形的半径,l 是弧长,α(0<α<2π)为圆心角,S 是扇形面积,知道两个量,可求其余量.[变式训练2] 已知半径为10的圆O 中,弦AB 的长为10, (1)求弦AB 所对的圆心角α的大小;(2)求α所在的扇形弧长l 及弧所在的弓形的面积S .[解] (1)在△AOB 中,AB =OA =OB =10,∴△AOB 为等边三角形,因此弦AB 所对的圆心角α=π3.5分 (2)由扇形的弧长与扇形面积公式,得l =|α|·R =π3×10=10π3, S 扇形=12R ·l =12α·R 2=50π3.10分又S △AOB =12·OA ·OB ·sin π3=253,∴S 弓形=S 扇形-S △AOB =50⎝ ⎛⎭⎪⎫π3-32.14分(1)若tan A .sin α>0 B .cos α>0 C .sin 2α>0D .cos 2α>0(2)(2017·浙江名校第三次联考)已知角α的终边经过点A (-3,a ),若点A 在抛物线y =-14x 2的准线上,则sin α=( ) A .-32B.32C .-12D.12(1)C (2)D [(1)由tan α>0知角α是第一或第三象限角,当α是第一象限角时,sin 2α=2sin αcos α>0;当α是第三象限角时,sin α<0,cos α<0,仍有sin 2α=2sin αcos α>0,故选C.(2)抛物线方程y =-14x 2可化为x 2=-4y ,∴抛物线的准线方程为y =1. ∵点A 在抛物线y =-14x 2的准线上,∴A (-3,1),由三角函数的定义得sin α=y r=1-32+12=12.] [规律方法] 1.用定义法求三角函数值的两种情况.(1)已知角α终边上一点P 的坐标,则可先求出点P 到原点的距离r ,然后用三角函数的定义求解;(2)已知角α的终边所在的直线方程,则可先设出终边上一点的坐标,求出此点到原点的距离,然后用三角函数的定义来求相关问题.2.确定三角函数值的符号,可以从确定角的终边所在象限入手进行判断.[变式训练3] (1)(2017·绍兴市期中)设α是第二象限角,P (x,4)为其终边上的一点,且cos α=15x ,则tan 2α=( )A.247 B .-247C.127D .-127(2)函数y =2cos x -1的定义域为________. 【导学号:51062094】(1)A (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π-π3,2k π+π3(k ∈Z ) [(1)由三角函数的定义可得cos α=x x 2+42. ∵cos α=15x ,∴x x 2+42=15x ,又α是第二象限角,∴x <0,故可解得x =-3, ∴cos α=-35,sin α=1-cos 2α=45,∴tan α=sin αcos α=-43,∴tan 2α=2tan α1-tan 2α=247.故选A. (2)∵2cos x -1≥0,∴cos x ≥12.由三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图阴影所示). ∴x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π-π3,2k π+π3(k ∈Z ).][思想与方法]1.在利用三角函数定义时,点P (x ,y )可取终边上任意一点,若点P 在单位圆上,则sin α=y ,cos α=x ,tan α=y x ;若|OP |=r ,则sin α=y r ,cos α=x r ,tan α=y x.2.三角函数值在各象限的符号规律:一全正、二正弦、三正切、四余弦. 3.利用单位圆和三角函数线是解三角不等式的常用方法. [易错与防范]1.第一象限角、锐角、小于90°的角是三个不同的概念,前者是象限角,后两者是区间角. 2.角度制与弧度制可利用180°=π rad 进行互化,在同一个式子中,采用的度量制必须一致,不可混用.3.已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况.课时分层训练(十五)任意角、弧度制及任意角的三角函数A 组 基础达标 (建议用时:30分钟)一、选择题1.给出下列四个命题:①-3π4是第二象限角;②4π3是第三象限角;③-400°是第四象限角;④-315°是第一象限角. 其中正确命题的个数有( )A .1个B .2个C .3个D .4个C [-3π4是第三象限角,故①错误.4π3=π+π3,从而4π3是第三象限角,②正确.-400°=-360°-40°,从而③正确.-315°=-360°+45°,从而④正确.]2.已知2弧度的圆心角所对的弦长为2,则这个圆心角所对的弧长是( ) A .2 B .sin 2 C.2sin 1D .2sin 1C [由题设知,圆弧的半径r =1sin 1,∴圆心角所对的弧长l =2r =2sin 1.] 3.已知点P (cos α,tan α)在第三象限,则角α的终边在( ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限D .第四象限B [由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧cos α<0,tan α<0,则⎩⎪⎨⎪⎧sin α>0,cos α<0,所以角α的终边在第二象限,故选B.]4.(2017·宁波镇海中学)已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32,-12在角θ的终边上,且θ∈[0,2π),则θ的值为( )A.5π6 B.2π3 C.11π6D.5π3C [因为点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32,-12在第四象限,根据三角函数的定义可知tan θ=-1232=-33,则θ=116π.]5.已知角θ的顶点与原点重合,始边与x 轴的非负半轴重合,终边在直线y =2x 上,则cos 2θ=( )A .-45B .-35C.35D.45B [取终边上一点(a,2a )(a ≠0),根据任意角的三角函数定义,可得cos θ=±55,故cos 2θ=2cos 2θ-1=-35.]二、填空题6.已知扇形的圆心角为π6,面积为π3,则扇形的弧长等于________.【导学号:51062095】π3 [设扇形半径为r ,弧长为l ,则⎩⎪⎨⎪⎧l r =π6,12lr =π3,解得⎩⎪⎨⎪⎧l =π3,r =2.]7.已知角θ的顶点为坐标原点,始边为x 轴的非负半轴,若P (4,y )是角θ终边上一点,且sin θ=-255,则y =________.-8 [因为sin θ=y42+y2=-255, 所以y <0,且y 2=64,所以y =-8.]8.在(0,2π)内,使sin x >cos x 成立的x 的取值范围为________.【导学号:51062096】⎝ ⎛⎭⎪⎫π4,5π4 [如图所示,找出在(0,2π)内,使sin x =cos x的x 值,sin π4=cos π4=22,sin 5π4=cos 5π4=-22.根据三角函数线的变化规律找出满足题中条件的角x ∈⎝⎛⎭⎪⎫π4,5π4.]三、解答题9.一个扇形OAB 的面积是1 cm 2,它的周长是4 cm ,求圆心角的弧度数和弦长AB . [解] 设扇形的半径为r cm ,弧长为l cm ,则⎩⎪⎨⎪⎧12lr =1,l +2r =4,解得⎩⎪⎨⎪⎧r =1,l =2.4分∴圆心角α=lr=2.如图,过O 作OH ⊥AB 于H ,则∠AOH =1 rad.8分∴AH =1·sin 1=sin 1(cm),∴AB =2sin 1(cm).∴圆心角的弧度数为2,弦长AB 为2sin 1 cm.14分10.已知角θ的终边上有一点P (x ,-1)(x ≠0),且tan θ=-x ,求sin θ+cos θ.[解] ∵θ的终边过点P (x ,-1)(x ≠0),∴tan θ=-1x,2分 又tan θ=-x ,∴x 2=1,即x =±1.4分当x =1时,sin θ=-22,cos θ=22, 因此sin θ+cos θ=0;9分当x =-1时,sin θ=-22,cos θ=-22, 因此sin θ+cos θ=- 2.故sin θ+cos θ的值为0或- 2.14分B 组 能力提升(建议用时:15分钟)1.(2017·杭州二中模拟)已知角φ的终边经过点P (-4,3),函数f (x )=sin(ωx +φ)(ω>0)图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π2,则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4的值为( ) A.35B.45 C .-35 D .-45D [由于角φ的终边经过点P (-4,3),所以cos φ=-45.再根据函数f (x )=sin(ωx +φ)(ω>0)图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π2,可得2πω=2×π2,所以ω=2,所以f (x )=sin(2x +φ),所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2+φ=cos φ=-45.故选D.] 2.函数y =sin x +12-cos x 的定义域是________. 【导学号:51062097】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3+2k π,π+2k π(k ∈Z ) [由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ sin x ≥0,12-cos x ≥0,即⎩⎪⎨⎪⎧ sin x ≥0,cos x ≤12,∴x 的取值范围为π3+2k π≤x ≤π+2k π,k ∈Z .] 3.已知sin α<0,tan α>0.(1)求α角的集合;(2)求α2终边所在的象限; (3)试判断tan α2sin α2cos α2的符号. [解] (1)由sin α<0,知α在第三、四象限或y 轴的负半轴上. 由tan α>0,知α在第一、三象限,故α角在第三象限,其集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪ 2k π+π<α<2k π+3π2,k ∈Z .4分 (2)由2k π+π<α<2k π+3π2,k ∈Z , 得k π+π2<α2<k π+3π4,k ∈Z , 故α2终边在第二、四象限.8分 (3)当α2在第二象限时,tan α2<0, sin α2>0,cos α2<0, 所以tan α2sin α2cos α2取正号;10分 当α2在第四象限时,tan α2<0, sin α2<0,cos α2>0, 所以tan α2sin α2cos α2也取正号. 因此,tan α2sin α2cos α2取正号.14分。
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团Tiffany,a 16yearold girl,was very st September,her best frien “I was really sad the moment I heard the bad news and I didn't know what to do,” Tiffany recalled.“I shut myself in my room for a whole week.It was then that my aunt took me to a sports club one Saturday and I saw so many young people playing different kinds of sports there.I signed up for a beginner's course in volleyball and since then I have been playing this sport.Now I practice twice a week there.It is wonderful playing sports in this club and I have made lots of friends as well. 2 ” The most basic aim of playing sports is that you can improve your health even if you are not very good at sports.Besides,you can get to know a circle of people at your age while playing sports. 3 Since she joined the sports club,s I got used to the life here. And now I know lots of (5)_________ here. For example, when I meet my friend on the street, I usually (6)_________ him like this, “Hey, where are you going?” In our country if someone asks this, people may get (7)_________ but in this country people won't. Of course, there are some other interesting things here. I'll tell you about them next time.he has opened up herself and now she has become very active and enjoys meeting and talking with others. 1.It's polite for girls to kiss each other on the side of the face.s also become more confident.团圆圆一家在台湾可受欢迎了 。每天 ,小朋 友们排 着长队 ,等着 跟它们 合影留 念。从 “排着 长队” 体现出 每天喜 欢它们 的人不 计其数 ,特别 受选D.A.根据 同类项 合并法 则,与不 是同类 项,不能 合并,故 本选项 错误;B.根据 算术平 方根的 定义,=3,故本选 项错误;C.根据 同底数 幂的乘 法a•a2=a3,故 本选项 错误;D.根据积 的乘方 ,(2a3)2=4a6, 故本选 项正确.欢迎。 从“合 影留念 ”体现 出大家 都想和 大熊猫 留住最 美丽的 瞬间以 作纪念 。Nothing can be accomplished without norms or standards.
解析 由题意得 cos2α+352=1,cos2α=1265.又 cosα<0, 所以 cosα=-45,又 sinα=35,所以 cosα-sinα=-75.
4.已知角 α 的终边过点 P(-3cosθ,4cosθ),其中 θ∈ π2,π,求 α 的三角函数值.
解 ∵θ∈2π,π,∴-1<cosθ<0. ∴r= 9cos2θ+16cos2θ=-5cosθ, 故 sinα=-45,cosα=35,tanα=-43.
8.已知角 θ 的顶点为坐标原点,始边为 x 轴的非负半 轴,若 P(4,y)是角 θ 终边上一点,且 sinθ=-25 5,则 y =___-__8___.
解析 因为 sinθ= 42y+y2=-2 5 5, 所以 y<0,且 y2=64,所以 y=-8.
9.点 P 从(-1,0)出发,沿单位圆顺时针方向运动83π弧 长到达点 Q,则点 Q 的坐标为____12_,__2_3____.
Px,
23,则
tanα
=( )
A. 3
B.± 3
3 C. 3
D.±
3 3
解析
∵Px,
23在单位圆上,∴x=±12.
∴tanα=± 3.
3.[2018·成都模拟]已知角 α=2kπ-43π(k∈Z),则|ssiinnαα|
+|αα|的值是(
)
A.0
B.2
C.-2
D.不存在
解析 因为 α=2kπ-43π(k∈Z)是第二象限角,
5.[2018·衡中模拟]若 θ 是第二象限角,则下列选项中
能确定为正值的是( )
A.sin2θ
B.cosθ2
C.tan2θ
D.cos2θ
解析 由 θ 是第二象限角可得2θ为第一或第三象限角,
所以 tanθ2>0.故选 C.
6.已知扇形的周长是 6,面积是 2,则扇形的圆心角的
弧度数是( )
A.1
解析 设点 A(-1,0),点 P 从(-1,0)出发,沿单位圆顺 时针方向运动83π弧长到达点 Q,则∠AOQ=83π-2π=23π(O 为坐标原点),所以∠xOQ=3π,cosπ3=12,sin3π= 23,所以 点 Q 的坐标为12, 23.
10.[2018·三明模拟]若 420°角的终边所在直线上有一 点(-4,a),则 a 的值为_-__4___3__.
5.已知扇形的圆心角是 α,半径为 R,弧长为 l. (1)若 α=60°,R=10 cm,求扇形的弧长 l; (2)若扇形的周长为 20 cm,当扇形的圆心角 α 为多少弧 度时,这个扇形的面积最大? 解 (1)α=60°=3π,l=10×π3=130π(cm). (2)由已知得:l+2R=20, 所以 S=12lR=12(20-2R)R=10R-R2=-(R-5)2+25, 所以 R=5 时,S 取得最大值 25,此时 l=10 cm,α=2 rad.
2.已知弧度数为 2 的圆心角所对的弦长为 2,则这个
圆心角所对的弧长是( )
A.2
B.2sin1
2 C.sin1
D.sin2
解析 ∵2Rsin1=2,∴R=si1n1,l=|α|R=si2n1.故选 C.
3.[2018·厦门模拟]如图所示,角的终边与单位圆(圆心在 原点,半径为 1 的圆)交于第二象限的点 Acosα,35,则 cosα -sinα=__-__75____.
所以 sinα>0,tanα<0,所以|ssiinnαα|+|ttaannαα|=1-1=0.
4.设 α 是第二象限角,P(x,4)为其终边上的一点,且
cosα=15x,则 tanα=( )
4
3
A.3
B.4
C.-34
D.-43
解析
∵α 是第二象限角,∴x<0.又由题意知
x x2+42
=15x,解得 x=-3.∴tanα=4x=-43.
板块四 模拟演练·提能增分
[A 级 基础达标]
1.已知点 P(tanα,cosα)在第三象限,则角 α 的终边在 ()
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析 因为点 P 在第三象限,所以tcaonsαα<<00,, 所以角 α 的终边在第二象限.
2.已知角
α
的终边与单位圆的交点
B.4
C.1 或 4 D.2 或 4
解析 设此扇形的半径为 r,弧长为 l,
2r+l=6, 则12rl=2,
解得lr==41, 或rl==22.,
从而 α=rl=41=4 或 α=rl=22=1.
7.[2018·汕头模拟]sin2·cos3·tan4 的值( ) A.小于 0 B.大于 0 C.等于 0 D.不存在 解析 ∵π2<2<3<π<4<32π,∴sin2>0,cos3<0,tan4 >0.∴sin2·cos3·tan4<0.∴选 A.
解析 由三角函数的定义有:tan420°=-a4.又 tan420° =tan(360°+60°)=tan60°= 3,故-a4= 3,得 a=-4 3.
[B 级 知能提升]
1.[2018·济南模拟]已知 sinθ-cosθ>1,则角 θ 的终边 在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析 由已知得(sinθ-cosθ)2>1,即 1-2sinθcosθ>1, sinθcosθ<0,又 sinθ>cosθ,所以 sinθ>0>cosθ,所以角 θ 的 终边在第二象限.