2008年普通高等学校招生全国统一考4

2008年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）数 学（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．满足{}1234M a a a a ⊆，，，，且{}{}12312M a a a a a = ，，，的集合M 的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4解：集合M 中必含有12,a a ,则{}12,M a a =或{}124,,M a a a =.选B.2．设z 的共轭复数是z ，若4z z +=，8z z = ，则z z等于（ ）A ．iB ．i -C ．1±D ．i ±解：设2z bi =+，由8z z ⋅=得248, 2.b b +==±()2222.88i z zi z±===±选D.3．函数ππln cos 22y x x ⎛⎫=-<<⎪⎝⎭的图象是（ ）解：由ππ0cos 1ln cos 022x x x -<<⇒<≤⇒≤函数的最大值是0，选A.4．设函数()1f x x x a =++-的图象关于直线1x =对称，则a 的值为（ ） A ．3B ．2C ．1D ．1-解：1x +、x a -在数轴上表示点x 到点1-、a 的距离，它们的和()1f x x x a =++-关于1x = 对称，因此点1-、a 关于1x =对称，所以3a =。

（取特殊值(1)(3)f f -=排除B,C,D 选项； 如直接去绝对值化成分段函数求解则较繁）5．已知πcos sin 6αα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，则7πsin 6α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是（ ）xx A ．B ．C ．D ．A．5-B．5C ．45-D ．45解：3cos()sin sin 622παααα-+=+=14cos 225αα+=，714sin()sin()cos .66225ππαααα⎛⎫+=-+=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭6．右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（ ） A ．9π B ．10πC ．11πD ．12π解：从三视图可以看出该几何体是由一个球和一个圆柱组合而成的，其表面积为22411221312.S ππππ=⨯+⨯⨯+⨯⨯=7．在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为12318 ，，，，的18名火炬手．若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成以3为公差的等差数列的概率为（ ） A ．151B ．168C ．1306D ．1408解：古典概型问题，基本事件总数为31817163C =⨯⨯。

能组成以3为公差的等差数列有（1，4，7），（2，5，8）， ，（12，15，18）共12组，因此概率121.1716368P ==⨯⨯8．右图是根据《山东统计年鉴2007》中的资料作成的1997年至2006年我省城镇居民百户家庭人口数的茎叶图．图中左边的数字从左到右分别表示城镇居民百户家庭人口数的百位数字和十位数字，右边的数字表示城镇居民百户家庭人口数的个位数字．从图中可以得到1997年至2006年我省城镇居民百户家庭人口数的平均数为（ ） A ．304.6B ．303.6C ．302.6D ．301.6解：99522610121417300303.610x ----++++++=+=9．12x ⎛- ⎝展开式中的常数项为（ ） A ．1320- B ．1320C ．220-D ．220解：4121212331121212((1)(1),r r r rrrr rrr r T C xC xxC x----+=-=-⋅=-令41203r -=得9r =俯视图正(主)视图 侧(左)视图2 9 1 1 5 83 0 2 63 1 0 24 7993101212121110(1)220.321T C C ⨯⨯=-=-=-=-⨯⨯∴常数项10．设椭圆1C 的离心率为513，焦点在x 轴上且长轴长为26．若曲线2C 上的点到椭圆1C 的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线2C 的标准方程为（ ）A ．2222143x y -= B ．22221135xy -= C ．2222134x y -= D ．222211312xy-=解：对于椭圆1C ，13,5,a c ==曲线2C 为双曲线，5,c =4a =，3,b =标准方程为：22221.43x y -=11．已知圆的方程为22680x y x y +--=．设该圆过点(35)，的最长弦和最短弦分别为A C 和B D ，则四边形A B C D 的面积为（ ） A．B．C．D．解： 化成标准方程 22(3)(4)25x y -+-=，过点(3,5)的最长弦为10,AC =最短弦为BD ==12.2S A C B D =⋅= 12．设二元一次不等式组2190802140x y x y x y ⎧+-⎪-+⎨⎪+-⎩，，≥≥≤所表示的平面区域为M ，使函数(01)x y a a a =>≠，的图象过区域M 的a 的取值范围是（ ）A ．[13]， B．[2 C ．[29]，D． 解：区域M 是三条直线相交构成的三角形（如图）显然1a >，只需研究过(1,9)、(3,8)两种情形， 19a ≤且38a ≥即29.a ≤≤二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．执行右边的程序框图，若0.8p =，则输出的n =解：程序执行如下：1,0,0.8,n s p s p ===<成立； 1,2,2s n s p ==<成立； 11,3,24s n s p =+=<成立； 111,4,248s n s p =++=<不成立，因此输出n 14．设函数2()(0)f x ax c a =+≠，若1()f x dx f =⎰001x ≤≤，则0x 的值为 ．解：1123101()()3f x dx ax c dx ax cx=+=+⎰⎰203a c ax c =+=+03x =∴15．已知a b c ，，为A B C △的三个内角A B C ，，的对边，向量1)=-m ，(cos sin )A A =，n ．若⊥m n ，且cos cos sin a B b A c C +=，则角B = ．解： sin 0A A ⊥⇒-=m n 3A π⇒=；cos cos sin a B b A c C +=2sin cos sin cos sin ,A B B A C ⇒+=2sin cos sin cos sin()sin sin A B B A A B C C ⇒+=+==.2C π⇒=π6B ⇒=.16．若不等式34x b -<的解集中的整数有且仅有123，，，则b 的取值范围为 ． 解：34x b -<4433b b x -+⇒<<，4013574343b b b -⎧<<⎪⎪⇒⇒<<⎨+⎪<<⎪⎩即范围为(5,7) 三、解答题：本大题共6小题，共74分． 17．（本小题满分12分） 已知函数())cos()f x x x ωϕωϕ=+-+（0πϕ<<，0ω>）为偶函数，且函数()y f x =图象的两相邻对称轴间的距离为π2．（Ⅰ）求π8f ⎛⎫⎪⎝⎭的值； （Ⅱ）将函数()y f x =的图象向右平移π6个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，求()g x 的单调递减区间．解：（Ⅰ）())cos()f x x x ωϕωϕ=+-+12)cos()22x x ωϕωϕ⎡⎤=+-+⎢⎥⎣⎦π2sin 6x ωϕ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭．因为()f x 为偶函数，所以对x ∈R ，()()f x f x -=恒成立，因此ππsin()sin 66x x ωϕωϕ⎛⎫-+-=+- ⎪⎝⎭． 即ππππsin cos cos sin sin cos cos sin 6666x x x x ωϕωϕωϕωϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+-=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 整理得πsin cos 06x ωϕ⎛⎫-= ⎪⎝⎭． 因为0ω>，且x ∈R ，所以πcos 06ϕ⎛⎫-= ⎪⎝⎭． 又因为0πϕ<<，故ππ62ϕ-=．所以π()2sin 2cos 2f x x x ωω⎛⎫=+= ⎪⎝⎭． 由题意得2ππ22ω= ，所以2ω=．故()2cos 2f x x =．因此ππ2cos 84f ⎛⎫==⎪⎝⎭（Ⅱ）将()f x 的图象向右平移π6个单位后，得到π6f x ⎛⎫-⎪⎝⎭的图象，再将所得图象横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到π46x f ⎛⎫-⎪⎝⎭的图象． 所以πππ()2cos 22cos 464623x x x g x f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=-⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦．当π2π2ππ23xk k -+≤≤（k ∈Z ）， 即2π8π4π4π33k x k ++≤≤（k ∈Z ）时，()g x 单调递减，因此()g x 的单调递减区间为2π8π4π4π33k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，（k ∈Z ）．18．（本小题满分12分）甲、乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者对本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为23，乙队中3人答对的概率分别为221332，，，且各人回答正确与否相互之间没有影响．用ξ表示甲队的总得分． （Ⅰ）求随机变量ξ的分布列和数学期望；（Ⅱ）用A 表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B 表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求()P AB ．解：（Ⅰ）解法一：由题意知，ξ的可能取值为0，1，2，3，且 3321(0)1327P C ξ⎛⎫==⨯-= ⎪⎝⎭，213222(1)1339P C ξ⎛⎫==⨯⨯-= ⎪⎝⎭，223224(2)1339P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，33328(3)327P C ξ⎛⎫==⨯=⎪⎝⎭． 所以ξ的分布列为ξ的数学期望为124801232279927E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=．解法二：根据题设可知，2~33B ξ⎛⎫⎪⎝⎭，，因此ξ的分布列为3333222()1333kkk k kP k C C ξ-⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-=⨯⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，0123k =，，，．因为2~33B ξ⎛⎫⎪⎝⎭，，所以2323E ξ=⨯=．（Ⅱ）解法一：用C 表示“甲得2分乙得1分”这一事件，用D 表示“甲得3分乙得0分”这一事件，所以AB C D = ，且C D ，互斥，又22322211121111()133332332332P C C ⎛⎫⎛⎫⎡⎤=⨯⨯-⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦4103=，333521114()33323P D C ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由互斥事件的概率公式得4551043434()()()333243P A B P C P D =+=+==．解法二：用k A 表示“甲队得k 分”这一事件，用k B 表示“乙队得k 分”这一事件，0123k =，，，． 由于事件30A B ，21A B 为互斥事件，故有30213021()()()()P AB P A B A B P A B P A B ==+ ． 由题设可知，事件3A 与0B 独立，事件2A 与1B 独立，因此30213021()()()()()()()P AB P A B P A B P A P B P A P B =+=+3221322222211211123433232323243C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．19．（本小题满分12分）将数列{}n a 中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：1a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9a 10a……记表中的第一列数1247a a a a ，，，，构成的数列为{}n b ，111b a ==．n S 为数列{}n b 的前n 项和，且满足221(2)n n n nb n b S S =-≥．（Ⅰ）证明数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭成等差数列，并求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）上表中，若从第三行起，第一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数．当81491a =-时，求上表中第(3)k k ≥行所有项的和．解：（Ⅰ）证明：由已知，当2n ≥时，221n n n nb b S S =-，又12n n S b b b =+++ ，所以1212()1()n n n n n nS S S S S S---=--112()1n n n nS S S S ---⇒=-11112nn S S -⇒-=，又1111S b a ===．所以数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为12的等差数列．由上可知1111(1)22nn n S +=+-=，21n S n ⇒=+．所以当2n ≥时，12221(1)n n n b S S n nn n -=-=-=-++．因此1122(1)n n b n n n =⎧⎪=⎨-⎪+⎩， ，，．≥ （Ⅱ）解：设上表中从第三行起，每行的公比都为q ，且0q >．因为12131212782⨯+++== ，所以表中第1行至第12行共含有数列{}n a 的前78项，故81a 在表中第31行第三列， 因此28113491a b q ==-．又1321314b =-⨯，所以2q =．记表中第(3)k k ≥行所有项的和为S ，则(1)2(12)2(12)(3)1(1)12(1)kkkk b q S k qk k k k --==-=--+-+ ≥．20．（本小题满分12分）如图，已知四棱锥P A B C D -，底面A B C D 为菱形，P A ⊥平面A B C D ，60ABC ∠= ，E F ，分别是B C P C ，的中点． （Ⅰ）证明：AE PD ⊥；（Ⅱ）若H 为P D 上的动点，E H 与平面PAD所成最大角的正切值为2E AF C --的余弦值．解：（Ⅰ）证明：由四边形A B C D 为菱形，60ABC ∠= ，可得A B C △为正三角形． 因为E 为B C 的中点，所以AE BC ⊥．又B C A D ∥，因此AE AD ⊥． 因为P A ⊥平面A B C D ，A E ⊂平面A B C D ，所以P A A E ⊥． 而PA ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD 且PA AD A = ， 所以A E ⊥平面PAD ．又PD ⊂平面PAD ，所以AE PD ⊥． （Ⅱ）解：设2A B =，H 为P D 上任意一点，连接AH EH ，． 由（Ⅰ）知A E ⊥平面PAD ，则E H A ∠为E H 与平面PAD 所成的角． 在R t EAH △中，AE =A H 最短时，E H A ∠最大，即当AH PD ⊥时，E H A ∠最大．此时tan 2AE EH A AHAH∠===，因此AH =2AD =，所以45ADH ∠=，所以2PA =．解法一：因为P A ⊥平面A B C D ，PA ⊂平面PAC ， 所以平面P A C ⊥平面A B C D ．过E 作E O A C ⊥于O ，则E O ⊥平面PAC ，过O 作O S A F ⊥于S ，连接E S ，则E SO ∠为二面角E A F C --的平面角， 在R t AO E △中，sin 302EO AE ==3cos 302AO AE ==，又F 是P C 的中点，在R t ASO △中，sin 454SO AO ==，PBECDF A PBECDFAHO S又4SE===在R t ESO△中，cos54SOESOSE∠===，5解法二：由（Ⅰ）知AE AD AP，，两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又E F，分别为B C P C，的中点，所以(000)10)0)(020)A B C D-，，，，，，，，，，1(002)0)122P E F⎛⎫⎪⎪⎝⎭，，，，，，，，所以10)122AE AF⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭，，，，．设平面AEF的一法向量为111()x y z=，，m，则A EA F⎧=⎪⎨=⎪⎩，，mm因此1111122x y z=⎨++=⎪⎩，．取11z=-，则(021)=-，，m，因为B D A C⊥，BD PA⊥，PA AC A=，所以B D⊥平面AFC，故BD为平面AFC的一法向量．又(0)BD=，，所以23cos5BDBDBD⨯<>===，mmm．因为二面角E A F C--为锐角，5．21．（本小题满分12分） 已知函数1()ln(1)(1)nf x a x x =+--，其中*x ∈N ，a 为常数．（Ⅰ）当2n =时，求函数()f x 的极值；（Ⅱ）当1a =时，证明：对任意的正整数n ，当2n ≥时，有()1f x x -≤． 解：（Ⅰ）解：由已知得函数()f x 的定义域为{}|1x x >，当2n =时，21()ln(1)(1)f x a x x =+--，所以232(1)()(1)a x f x x --'=-．（1）当0a >时，由()0f x '=得111x =+>，211x =-，此时123()()()(1)a x x x x f x x ---'=-．当1(1)x x ∈，时，()0f x '<，()f x 单调递减；当1()x x ∈+∞，时，()0f x '>，()f x 单调递增． （2）当0a ≤时，()0f x '<恒成立，所以()f x 无极值． 综上所述，2n =时，当0a >时，()f x 在1x =+处取得极小值，极小值为211ln 2af a ⎛⎛⎫+=+⎪⎝⎭⎝． 当0a ≤时，()f x 无极值．（Ⅱ）证法一：因为1a =，所以1()ln(1)(1)nf x x x =+--．当n 为偶数时， 令1()1ln(1)(1)ng x x x x =-----，则1112()10(1)11(1)n n n x n g x x x x x ++-'=+-=+>----（2x ≥）． 所以当[)2x ∈+∞，时，()g x 单调递增，又(2)0g =，因此1()1ln(1)(2)0(1)ng x x x g x =----=-≥恒成立，所以()1f x x -≤成立． 当n 为奇数时， 要证()1f x x -≤，由于10(1)nx <-，所以只需证ln(1)1x x --≤，令()1ln(1)h x x x =---， 则12()1011x h x x x -'=-=--≥（2x ≥）， 所以当[)2x ∈+∞，时，()1ln(1)h x x x =---单调递增，又(2)10h =>， 所以当2x ≥时，恒有()0h x >，即ln(1)1x x -<-命题成立． 综上所述，结论成立． 证法二：当1a =时，1()ln(1)(1)nf x x x =+--．当2x ≥时，对任意的正整数n ，恒有11(1)nx -≤，故只需证明1ln(1)1x x +--≤．令()1(1ln(1))2ln(1)h x x x x x =--+-=---，[)2x ∈+∞，， 则12()111x h x x x -'=-=--，当2x ≥时，()0h x '≥，故()h x 在[)2+∞，上单调递增， 因此当2x ≥时，()(2)0h x h =≥，即1ln(1)1x x +--≤成立． 故当2x ≥时，有1ln(1)1(1)nx x x +---≤．即()1f x x -≤．22．（本小题满分14分）如图，设抛物线方程为22(0)x py p =>，M 为直线2y p =-上任意一点，过M 引抛物线的切线，切点分别为A B ，．（Ⅰ）求证：A M B ，，三点的横坐标成等差数列；（Ⅱ）已知当M 点的坐标为(22)p -，时，AB =（Ⅲ）是否存在点M ，使得点C 关于直线A B 的对称点D 在抛物线22(0)x py p =>上，其中，点C 满足OC OA OB =+（O 为坐标原点）．若存在，求出所有适合题意的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．解：（Ⅰ）证明：由题意设221212120(2)22x x A x B x x x M x p p p ⎛⎫⎛⎫<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，，． 由22x py =得22xy p=，得x y p'=，所以1M A x k p=，2M B x k p=．因此直线M A 的方程为102()x y p x x p+=-，直线M B 的方程为202()x y p x x p+=-．所以211102()2x x p x x pp+=-，①222202()2x x p x x pp+=-．②由①、②得121202x x x x x +=+-， 因此1202x x x +=，即0122x x x =+．所以A M B ，，三点的横坐标成等差数列． （Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，当02x =时， 将其代入①、②并整理得：2211440x x p --=， 2222440x x p --=，所以12x x ，是方程22440x x p --=的两根，因此124x x +=，2124x x p =-，又222101221222AB x x x x x ppk x x pp-+===-，所以2AB k p=．由弦长公式得AB ==又AB =1p =或2p =，因此所求抛物线方程为22x y =或24x y =． （Ⅲ）解：设33()D x y ，，由题意得1212()C x x y y ++，， 则C D 的中点坐标为12312322x x x y y y Q ++++⎛⎫⎪⎝⎭，，设直线A B 的方程为011()x y y x x p-=-，由点Q 在直线A B 上，并注意到点121222x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭，也在直线A B 上，代入得033x y x p =． 若33()D x y ，在抛物线上，则2330322x py x x ==，因此30x =或302x x =．即(00)D ，或20022x D x p ⎛⎫⎪⎝⎭，．（1）当00x =时，则12020x x x +==，此时，点(02)M p -，适合题意．（2）当00x ≠，对于(00)D ，，此时2212022x x C x p ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，，221222C D x x p k x +=221204x x px +=， 又0AB x k p=，AB C D ⊥，所以22220121220144AB C Dx x x x x k k p px p++===- ，即222124x x p +=-，矛盾． 对于20022x D x p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，因为2212022x x C x p ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，，此时直线C D 平行于y 轴，又00AB x k p=≠，所以直线A B 与直线C D 不垂直，与题设矛盾，所以00x ≠时，不存在符合题意的M 点．综上所述，仅存在一点(02)M p -，适合题意．。