大学物理基础教程答案1-6力-6
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第六章
振动和波
6-1 用一根金属丝把一均匀圆盘悬挂起来,悬线OC通过圆盘质心, 圆盘呈水平状态,这个装置称扭摆,使圆盘转过一个角度时,金属 线受到扭转,从而产生一个扭转的回复力矩.若扭转角度很小,扭 转力矩与扭转角度成正比:M=k.求扭摆的振动周期.
解:由转动方程
M k I, k 0, 2 k , T 2 2 I
分深度为a.若用力稍稍压下,使其浸入水中深度为b,如图所示,然
后放手,任其作自由振动,求其振动的周期和振幅.
解:浮力与重力相等处于平衡状态有:
gas m g m as
b
a
m g g(a x)s mx
gxs mx 0 2 gs g ma
2
a
T 2
g
6-2一质量为1.0x10-3 千克的质点,作简谐振动,其振幅为2.0x10-4
电能q2/2c,通过电感电流为i,此时电感储有磁能Li2/2,i=dq/dt,
F m2A cos(t ) 8.0cos(6.3 103 t 3 )
6-3如图所示,一重力作用下的弹簧振子,振子静止时弹簧伸长l=10 厘米;将振子向下拉一段距离d=2.0厘米,并在位移方向给它一个向 下的初始速度v0=10厘米/秒,任其运动,不计空气阻力,试求: (1) 振动频率; (2)振幅A; (3)初相位; (4)振动表达式.(g=10米/秒2)
补充6.3 不计质量,自然长度为l的弹簧,两端分别系上质量为m1 和m2的质点,放在光滑的水平桌面上,开始时两手持m1和m2把弹簧 拉长至l’,停止不动,然后两手同时放开,试问这系统如何运动？
解:无外力整个过程质心不动, t时刻m1
m
k
和m2位置分别为x1, x2故有:
1
m2
x1 x2 x
- k(x- l) m1x1
如果在弹簧处于原长时由静止释放物体m, m向下具有最大速度时
开始计时,并令m向下运动为x的正坐标,试写出m振动表达式。
解：(1)设弹簧原长l0平衡时伸长x0 kx0= mg以x0伸长时m所在点
为坐标原点，运动中，有:
8
T kx x0 R I
对于m，有 mg T mx
又 x R
I
联立可得： kx
补充6.4 图所示振动系统，振子是一个作纯滚动的圆柱体，以
知圆柱体的质量为m,半径为R，弹簧的倔强系数为k，并且弹簧
是系于圆柱体的中心旋转对称轴上.试求这一振动系统的频率。
解：设平衡点为弹簧原长时，又 弹簧质量不计，对圆柱体在运动 中受力有：
k
m
7
k
xc
fR
f mxc ( 1 mR2 ) 2
米,质点在离平衡位置最远处的加速度为8.0 x103米/秒.(1) 试计
算质点的振动频率;(2) 质点通过平衡位置的速度;(3) 质点位移
为1.2 0x10-4 米时的速度;(4)写出作用在这质点上的力作为位置
的函数合作为时间的函数.
2
解: x A2 cos(t )
xmax A2
(1) 2 xmax 4.0 107 A
2 k
(m
I R2
)
(m
I R2
f
)x
(m
I R2
2
1
)2
x0 T
l0
mg x
(2)以弹簧原长时释放m ,
mg
mg
x0 k ,
A k
又：x0 A, v0 0
∴振动表达式为
2
1
x
mg k
cos
m
k
I R2
2 t
2
9
补充6.5 在LC电路中,电容极板上的电量若为q,此时电容器储有
1.0 103(HZ) 2
(2) x Asin(t ) 过平衡点时: x A 1.3(m s1)
(3)x A cos(t ) 1.2 104 (m)
cos(t ) x 3 A5
x A sin(t ) A( 1 cos2(t ) )
1.0(m s1) (4)F kx m2x 4.0 104 x(N)
系统的振动表达式.
解:碰撞时动量守恒,碰后机械能守恒可列方程:
mv0 (m m)v
v mv0 m m
6
1 kA2 1 (m m)v2
2
2
A mv0 k(m m)
k
m m
k 2
m’ m
v0
0
x
x A cos(t ) mv0 cos( k t )
k(m m)
m m 2
鸟呆过地方树枝弯下12厘米,问这只鸟的质量是多少？
解:树技与乌组成一个谐振子
k mg 81.66(kg / m) T 2
l
3
k 2
k
9.42(rad) mT
m 2 0.92(kg)
6-5如图所示,有一弹簧振子,弹簧的倔强系数为k,振子的质量为
m’开始时处于静止平衡状态,有一发质量为m的子弹以速度v0沿弹 簧方向飞来,击中振子并卡在其中,试以击中为时间零点,写出此
m1x1 m2x2
最大位移:
x
m1 m2 m2
x1
x1 x2 x l' l
m1x1 m2x2
x 1
m2 m1 m2
(l'
l)
x 2
m1 m1 m2
(l'
l)
- k(x - l) m1m2 x x
2 k
m1 m2
此系统作振幅为A,圆频率为的简振动.
A l - l
5
6-4一只鸟落在树枝上每4秒摆动6次,鸟飞走后,用一千克砝码系在
解:(1)振动频率 1 g 1.6(Hz) 2 2 l
k
(2)振幅
A
x
2 0
( v0 )2
0.02(m)
m
(3)初相位
cos1 x0 cos1 0.9 0.46(rad)
A
(v0>0取正号, v0 <0取负号)
(4)振动表达式. X=0.02cos(10t-0.46) (m)
4
I
I
K
补充6.1 一质量为m细杆状米尺,将其一端悬挂起来,轴处摩擦 不计,求其振动周期.
解: 复摆(物理摆)小角度振动时方程为:
mgh sin mgh I mgh 0
I
mg
2
mgh ,
I 1 ml2,
l 2 h , T 2
I 1.64(S)
I
3
2
mgh
1
补充6.2 有一立方形的木块浮于静水中,静止时浸入水中的那部
1 2
m R2
xc R
f
1 2
mxc
k
xc
1 2
mxc
mxc
xc
(
2k 3m
)xc
2 2k , 3m
1
(
源自文库
2k
1
)2
2 3m
6-6 如图弹簧的倔强系数为k,定滑轮的质量为m’,半径为R,转动
惯量为k，物体的质量为m。轴处摩擦不计，弹簧和绳的质量也不
计,绳与滑轮间无相对滑动,(1)试求这一振动系统的振动频率,(2)
振动和波
6-1 用一根金属丝把一均匀圆盘悬挂起来,悬线OC通过圆盘质心, 圆盘呈水平状态,这个装置称扭摆,使圆盘转过一个角度时,金属 线受到扭转,从而产生一个扭转的回复力矩.若扭转角度很小,扭 转力矩与扭转角度成正比:M=k.求扭摆的振动周期.
解:由转动方程
M k I, k 0, 2 k , T 2 2 I
分深度为a.若用力稍稍压下,使其浸入水中深度为b,如图所示,然
后放手,任其作自由振动,求其振动的周期和振幅.
解:浮力与重力相等处于平衡状态有:
gas m g m as
b
a
m g g(a x)s mx
gxs mx 0 2 gs g ma
2
a
T 2
g
6-2一质量为1.0x10-3 千克的质点,作简谐振动,其振幅为2.0x10-4
电能q2/2c,通过电感电流为i,此时电感储有磁能Li2/2,i=dq/dt,
F m2A cos(t ) 8.0cos(6.3 103 t 3 )
6-3如图所示,一重力作用下的弹簧振子,振子静止时弹簧伸长l=10 厘米;将振子向下拉一段距离d=2.0厘米,并在位移方向给它一个向 下的初始速度v0=10厘米/秒,任其运动,不计空气阻力,试求: (1) 振动频率; (2)振幅A; (3)初相位; (4)振动表达式.(g=10米/秒2)
补充6.3 不计质量,自然长度为l的弹簧,两端分别系上质量为m1 和m2的质点,放在光滑的水平桌面上,开始时两手持m1和m2把弹簧 拉长至l’,停止不动,然后两手同时放开,试问这系统如何运动？
解:无外力整个过程质心不动, t时刻m1
m
k
和m2位置分别为x1, x2故有:
1
m2
x1 x2 x
- k(x- l) m1x1
如果在弹簧处于原长时由静止释放物体m, m向下具有最大速度时
开始计时,并令m向下运动为x的正坐标,试写出m振动表达式。
解：(1)设弹簧原长l0平衡时伸长x0 kx0= mg以x0伸长时m所在点
为坐标原点，运动中，有:
8
T kx x0 R I
对于m，有 mg T mx
又 x R
I
联立可得： kx
补充6.4 图所示振动系统，振子是一个作纯滚动的圆柱体，以
知圆柱体的质量为m,半径为R，弹簧的倔强系数为k，并且弹簧
是系于圆柱体的中心旋转对称轴上.试求这一振动系统的频率。
解：设平衡点为弹簧原长时，又 弹簧质量不计，对圆柱体在运动 中受力有：
k
m
7
k
xc
fR
f mxc ( 1 mR2 ) 2
米,质点在离平衡位置最远处的加速度为8.0 x103米/秒.(1) 试计
算质点的振动频率;(2) 质点通过平衡位置的速度;(3) 质点位移
为1.2 0x10-4 米时的速度;(4)写出作用在这质点上的力作为位置
的函数合作为时间的函数.
2
解: x A2 cos(t )
xmax A2
(1) 2 xmax 4.0 107 A
2 k
(m
I R2
)
(m
I R2
f
)x
(m
I R2
2
1
)2
x0 T
l0
mg x
(2)以弹簧原长时释放m ,
mg
mg
x0 k ,
A k
又：x0 A, v0 0
∴振动表达式为
2
1
x
mg k
cos
m
k
I R2
2 t
2
9
补充6.5 在LC电路中,电容极板上的电量若为q,此时电容器储有
1.0 103(HZ) 2
(2) x Asin(t ) 过平衡点时: x A 1.3(m s1)
(3)x A cos(t ) 1.2 104 (m)
cos(t ) x 3 A5
x A sin(t ) A( 1 cos2(t ) )
1.0(m s1) (4)F kx m2x 4.0 104 x(N)
系统的振动表达式.
解:碰撞时动量守恒,碰后机械能守恒可列方程:
mv0 (m m)v
v mv0 m m
6
1 kA2 1 (m m)v2
2
2
A mv0 k(m m)
k
m m
k 2
m’ m
v0
0
x
x A cos(t ) mv0 cos( k t )
k(m m)
m m 2
鸟呆过地方树枝弯下12厘米,问这只鸟的质量是多少？
解:树技与乌组成一个谐振子
k mg 81.66(kg / m) T 2
l
3
k 2
k
9.42(rad) mT
m 2 0.92(kg)
6-5如图所示,有一弹簧振子,弹簧的倔强系数为k,振子的质量为
m’开始时处于静止平衡状态,有一发质量为m的子弹以速度v0沿弹 簧方向飞来,击中振子并卡在其中,试以击中为时间零点,写出此
m1x1 m2x2
最大位移:
x
m1 m2 m2
x1
x1 x2 x l' l
m1x1 m2x2
x 1
m2 m1 m2
(l'
l)
x 2
m1 m1 m2
(l'
l)
- k(x - l) m1m2 x x
2 k
m1 m2
此系统作振幅为A,圆频率为的简振动.
A l - l
5
6-4一只鸟落在树枝上每4秒摆动6次,鸟飞走后,用一千克砝码系在
解:(1)振动频率 1 g 1.6(Hz) 2 2 l
k
(2)振幅
A
x
2 0
( v0 )2
0.02(m)
m
(3)初相位
cos1 x0 cos1 0.9 0.46(rad)
A
(v0>0取正号, v0 <0取负号)
(4)振动表达式. X=0.02cos(10t-0.46) (m)
4
I
I
K
补充6.1 一质量为m细杆状米尺,将其一端悬挂起来,轴处摩擦 不计,求其振动周期.
解: 复摆(物理摆)小角度振动时方程为:
mgh sin mgh I mgh 0
I
mg
2
mgh ,
I 1 ml2,
l 2 h , T 2
I 1.64(S)
I
3
2
mgh
1
补充6.2 有一立方形的木块浮于静水中,静止时浸入水中的那部
1 2
m R2
xc R
f
1 2
mxc
k
xc
1 2
mxc
mxc
xc
(
2k 3m
)xc
2 2k , 3m
1
(
源自文库
2k
1
)2
2 3m
6-6 如图弹簧的倔强系数为k,定滑轮的质量为m’,半径为R,转动
惯量为k，物体的质量为m。轴处摩擦不计，弹簧和绳的质量也不
计,绳与滑轮间无相对滑动,(1)试求这一振动系统的振动频率,(2)