2019版高中数学第二章平面直角坐标系中的基本公式2.1.2平面直角坐标系中的基本公式课件
平面直角坐标系中两点间的距离公式
平面直角坐标系中两点间的距离公式在平面直角坐标系中，两点之间的距离可以使用勾股定理来计算。
勾股定理是数学中的一个基本定理，描述了直角三角形中直角边的平方和等于斜边平方的关系。
首先，假设平面直角坐标系中的两点分别是A(x1,y1)和B(x2,y2)。
我们可以根据勾股定理计算AB的距离。
勾股定理的公式如下：AB²=(x2-x1)²+(y2-y1)²根据该公式，我们可以计算两点之间的距离。
以下是一个示例，以便更好地理解：假设点A的坐标为A(3,4)，点B的坐标为B(6,8)。
我们可以计算两点之间的距离。
先计算两点在x轴方向上的差值：x2-x1=6-3=3再计算两点在y轴方向上的差值：y2-y1=8-4=4根据勾股定理，计算AB的平方：AB²=(3)²+(4)²=9+16=25最后，计算AB的距离：AB=√25=5因此，点A和点B之间的距离为5从上述示例可以看出，由于平面直角坐标系中的两点可以移到任意位置，所以两点之间的距离计算公式是通用的。
除了直接使用勾股定理，我们还可以使用中点公式和距离公式来计算两点之间的距离。
中点公式：在平面直角坐标系中，中点公式可以用来计算两点连线的中点坐标。
中点公式如下：中点坐标=((x1+x2)/2,(y1+y2)/2)为了计算两点之间的距离，我们可以首先使用中点公式计算出连线的中点坐标，然后再使用中点和两个点之间的距离公式计算距离。
距离公式：中点公式和两点之间的距离公式之间的关系如下：两点之间的距离=√((x2-x1)²+(y2-y1)²)因此，使用中点公式计算出中点坐标后，我们可以再使用该距离公式来计算两点之间的距离。
总结起来，在平面直角坐标系中，计算两点之间的距离的步骤如下：1.根据给定的两点坐标，计算两点在x轴和y轴方向上的差值。
2.使用勾股定理计算出两点之间的平方距离。
3.对平方距离取平方根，得到最终的距离。
高中数学 2.1 平面直角坐标系中的基本公式 2.1.1 数轴上的基本公式 2.1.2 平面直角坐标
2.1 平面直角坐标系中的基本公式2.1.1 数轴上的基本公式2.1.2 平面直角坐标系中的基本公式典题精讲例1已知数轴上的两点A(x 1)、B(x 2)，求线段AB 中点的坐标.思路分析：结合中点公式和数轴上的基本公式求解.解：设AB 中点为O′(x)，∵O′(x)是AB 的中点，∴AO′=O′B.又∵A(x 1)、B(x 2)，∴AO′=x -x 1，O′B=x 2-x.由x-x 1=x 2-x 得x=212x x +， ∴中点坐标为O′(212x x +). 绿色通道：这个结果可以作为结论在以后的解题中使用,即已知数轴上的两点A(x 1)、B(x 2)，则线段AB 中点O′的坐标为(212x x +). 变式训练1已知数轴上的两点A(x 1)、B(x 2)，C 是线段AB 的中点，D 是线段AC 的中点，求点C 的坐标.解:根据中点坐标公式，由题意知C(212x x +), 则D(22112x x x ++),即D(4312x x +). 例2根据下列条件，在数轴上分别画出点P(x)并说明式子表示的意义.(1)d(x ，2)＜1；(2)|x-2|＞1；(3)|x-2|=1.思路分析:结合数轴，找出符合条件的点P(x)即可.解：如图:图2-1-(1,2)-2B(1)、A(2)、C(3)、D(4).(1)d(x ，2)＜1表示到点A(2)的距离小于1的点的集合，∴d(x，2)＜1表示线段BC(不包括端点).(2)|x-2|＞1表示到点A(2)的距离大于1的点的集合，∴|x -2|＞1表示射线BO 和射线CD(不包括顶点).(3)|x-2|=1表示到点A(2)的距离等于1的点的集合，∴|x -2|=1表示点B(1)和点C(3).绿色通道：题目给出的是一些不等式，但是却可以表示一些点、线段或射线等几何图形，从而体会数形结合的思想.变式训练2|x-2|+|x-3|的最小值是_________________.思路解析:|x-2|表示数轴上的任意一点到点A(2)的距离，|x-3|表示数轴上的任意一点到点B(3)的距离，那么|x-2|+|x-3|表示数轴上的任意一点C(x)到点A(2)的距离与到点B(3)的距离之和，即|AC|+|CB|≤|AB|=1.答案:1例3已知A(-2，3)、B(2，-4)两点，求d(A ，B).思路分析:直接代入两点间距离公式即可.解：∵x 1=-2，x 2=2，∴Δx=x 2-x 1=2-(-2)=4.又∵y 1=3，y 2=-4，∴Δy=y 2-y 1=(-4)-3=-7.∵d(A，B)=,)()(22y x ∆+∆∴d(A，B)=65)7(422=-+.答：d(A ，B)=65.黑色陷阱：套用错误公式d(A,B)=61)()(222211=-+-y x y x .变式训练3已知点A(1，4)、B(4，0)，在x 轴上的点M 与B 的距离等于点A 、B 之间的距离，求点M 的坐标.解：∵点M 在x 轴上，∴设M(a ，0)，则|a-4|=22)40()14(-+-=5.解得a=-1或a=9.∴M(-1，0)或M(9，0).例4 用坐标法证明定理:如果四边形ABCD 是长方形，则对任一点M ，等式AM 2+CM 2=BM 2+DM2成立.思路分析:用坐标法证明几何问题时,选取合适的坐标系是一个很重要的问题,选取好的坐标系将给解题带来很大的方便.本题中既可以选取长方形的一个顶点作为坐标系的原点(如证法一),也可以利用长方形的对称性选取长方形的中心作为坐标系的原点(如证法二). 证法一:建立如图2-1-(1,2)-3所示的坐标系，设长方形ABCD 的长为a 、宽为b ，图2-1-(1,2)-3则A(0，b)、B(0，0)、C(a ，0)、D(a ，b)，设M(x ，y)，∴AM 2+CM 2=［(y-b)2+(x-0)2］+［(y-0)2+(x-a)2］=2x 2+2y 2-2ax-2by+a 2+b 2.又∵BM 2+DM 2=［(y-0)2+(x-0)2］+［(y-b)2+(x-a)2］=2x 2+2y 2-2ax-2by+a 2+b 2，∴AM 2+CM 2=BM 2+DM 2.证法二:建立如图2-1-(1,2)-4所示坐标系，图2-1-(1,2)-4设A(a ，b)、B(-a ，b)、C(-a ，-b)、D(a ，-b)、M(x ，y)，则|MA|2+|MC|2=(x-a)2+(y-b)2+(x+a)2+(y+b)2=2(x 2+y 2+a 2+b 2)，|MB|2+|MD|2=(x+a)2+(y-b)2+(x-a)2+(y+b)2=2(x 2+y 2+a 2+b 2),∴AM 2+CM 2=BM 2+DM 2.绿色通道：建立坐标系时，应当依据图形的形状特征合理选择.不同的坐标选择，整理过程的复杂程度不同，应该合理选择，以求简化解题过程.变式训练4已知点A(1，1)、B(5，3)、C(0，3)，求证:△ABC 为直角三角形. 证明：∵AB=52)13()15(22=-+-,AC=5)13()10(22=-+-， BC=,5)33()50(22=-+-显然有AB 2+AC 2=BC 2.∴△ABC 为直角三角形.变式训练5如图2-1-(1,2)-5所示平面直角坐标系中,在等腰梯形ABCO 中，底AB=2，腰AO=4，∠AOC=60°，试求:图2-1-(1,2)-5(1)A 、B 、C 三点的坐标；(2)梯形ABCO 的面积S.解：(1)如图2-1-(1,2)-5，过点A 、B 作AE⊥x 轴，BF⊥x 轴，∵AO=4，∠AOC=60°, ∴|AE|=|BF|=|AO|sin60°=32,|OE|=|FC|=|AO|cos60°=2.∴A(2，32)、B(4，32)、C(6，0).(2)∵|AB|=2，|OC|=6，|AE|=32，∴S=21 (2+6)×32=38. 问题探究问题 在一个平面直角坐标系中，给定一个多边形的几个顶点的坐标，怎样判断这个多边形的形状呢?导思:对直线的平行、垂直的判断我们可以根据前节所学内容进行.探究：总结一下前面学过的知识，可以尝试从以下角度进行判断：看两条直线是否平行、看几个顶点间的距离是否相等.。
平面直角坐标系中的基本公式
B1
x
M 2 0, y
因为M是线段AB的中点，所以点M1和点M2分别是A1B1和A2B2 的中点，即
A1M 1 M 1B1 , A2 M 2 M 2 B2 所以 x x1 x2 x, y y1 y2 y
即：
x x1 x2 , y y1 y22 Nhomakorabea2
例3 已知平行四边形ABCD的三个顶点 A(-3,0),B(2,-2),C(5,2),求顶点D的坐标。
解：因为平行四边形的两条对角线的中点相同，
所以所以他们的坐标也相同，设点D的坐标为（x,y）,
则
x
2
2
3 2
5
1
y D（x，y）
y
2
2
0
2
2
1
C（5，2）
解的
x
y
0 4
A（-3，0）
所以点D的坐标为（0，4）
x B（2，-2）
练习1
y
A(-3,0)
O
D(x,y)
C(5,2) x
B(2,-2)
练习2
y
A(-3,0)
C(5,2)
o
D(x,y) x
B(2,-2)
例4 已知 平行四边形ABCD，
求证：AC 2 BD2 2 AB2 AD2
证明：取A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立 直角坐标系xOy,依据平行四边形的性质可设点A,B,C,D 的坐标为A(0,0),B(a,0),C(b,c),D(b-a,c)
O
x
3）如果点O为坐标原点，点A在平面任意位置， 坐标为（x,y）怎样求OA的距离？
平面直角坐标系中的基本公式
《平面直角坐标系中的基本公式》【学习目标】（1）理解两点间距离和中点的概念，并会求两点距离及其中点坐标。
（2）理解坐标法的意义，并会用坐标法研究问题。
【学习重点】用勾股定理和轴上向量的计算公式推导平面上两点间的距离公式和中点坐标公式。
【学习难点】应用坐标方法研究几何问题。
知识点一：两点间的距离公式探究：在直角坐标平面内如何求A ，B 两点间的距离。
探究一：点A （0,0），点B （x 1,y 1）在任意位置，求AB 的距离？探究二：点11(,)A x y 、点22(,)B x y 都在任意位置，求AB 的距离？趁热打铁：1、 求下列两点间的距离： （1）A （6，2），B （-2，5）（2）C （2，-4），D （7，2）2、已知：点A(1，2)，B(3，4)，C(5，0)，判断三角形ABC 的形状。
变式：已知：A （1，1）B （5，3）C （0，3）求证：三角形ABC 是直角三角形。
知识点二：中点公式探究三：在直角坐标系中，如何计算任意两点1122(,),(,)A x y B x y 的中点M （x , y )的坐标？趁热打铁：1、求线段AB 中点M 的坐标： （1）A （3，4）,B(-3,2) （2）A(-8,-3),B(5,-3)2、已知点A （1,4），B （x,y ），AB 中点坐标为M （2,3），求点B 的坐标。
解题方法小结：应用、已知平行四边形ABCD 的三个顶点坐标， A(- 3,0),B(2,-2),C(5,2).求:顶点D 的坐标。
【典例剖析】例1、 已知矩形ABCD ，求证22222()AC BD AB AD +=+。
变式：已知平行四边形ABCD ，求证22222()AC BD AB AD +=+。
思考：什么是坐标法？用坐标法证题的基本步骤？【小结】本节课你学到了什么？检测1、 已知)10,0(),0,(B a A 两点的距离等于17，求a 的值。
2、 求下列各点关于M （-2,1）的中心对称点，A(2,-3), B(1,3), C(-1,-3), D(-3,5).3、 已知△ABC 的顶点坐标为A(3,2),B(1,0),C(2,4),求AB 边上的中线的长。
2.1.1-2平面直角坐标系中的基本公式
在一条高速公路上距离出发点的一个以
千米为单位的数就可以确定车的位置，请 问在一个电影院里如何确定你的位置？飞 行员要想和地面指挥指挥中心联系，该如 何报告他的位置？
一维直线
数轴
二维平面
平面直角坐标系
三维空间
空间直角坐标系
第 二 章 用数字或其符号来
平 确定一个点或一个
面 解 析
物体位置的方法叫 坐标方法。相关的
知识点二 位移向量
议一议:如何用数表示数轴上的位移?
如数轴上的一点A沿着轴的正向或负向移到另一点B, 则说点在数轴上作了一次位移,点不动,则说作了零位移. 位移是一个既有大小又有方向的量,通常称为向量.
从点A到点B的向量,记为 AB ,读作“向量AB”，A 为向量的起点，B为向量的终点，线段AB的长度叫做向 量 AB 的长度，也叫做向量的模，记作 AB ，数轴上 同向且等长的向量叫做相等向量，起点和终点重合的向 量叫零向量，零向量没有确定的方向.
几 符号和数称为点的
何 坐标。
初
步
2.1平面直角坐标系 中的基本公式
2.1.1.数轴上的基本公式
知识点1 数轴上的向量 知识点2 数轴上的向量的运算
知识点一 数轴上点的坐标
1.什么叫做数轴?在数轴上，点P与实数x的对应法则
是什么呢？
P
M
-3 -2 -1 0 1 2 3 给出了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴， 或者说在这条直线上建立了直线坐标系.
例1．已知□ABCD的三个顶点A(－3，0)，
B(2，－2)，C(5，2)，求顶点D的坐标.
解：因为平行四边形的 两条对角线的中点相同， 所以它们的坐标也相同。
设D点的坐标为(x，y)，
高中数学 第二章 平面解析几何初步 2.1 平面直角坐标
2.1 平面直角坐标ຫໍສະໝຸດ 中的基本公式课程目标1.理解实数与数轴上的点的对应关 系,理解实数与位移的对应关系. 2.掌握数轴上两点间的距离公式,理 解数轴上的向量加法的坐标运算. 3.探索并掌握平面直角坐标系中两 点的距离公式和中点公式. 4.通过对两点的距离求解过程的探 索,进一步体会“坐标法”的基本思 想,学会构造直角三角形解决问题的 基本思路.
思考 4 点 P(x,y)关于点 G(x0,y0)的对称点的坐标是什么?
提示:点 P(x,y)关于点 G(x0,y0)的对称点的坐标为(2x0-x,2y0-y).
思考 5 教材中的“?”
如果数轴上的单位长取作 1 cm,你能在数轴上标出数 0.001,0.000 1 和 2对应的点吗?你能说明在数轴上确实存在这些点吗?
若 AB∥x 轴或与 x 轴重合,则|AB|=|x2-x1|;若 AB∥y 轴或与 y 轴重合,则 |AB|=|y2-y1|.
思考 3 算术平方根 ������2 + ������2的几何意义是什么?
提示: ������2 + ������2表示点(x,y)到原点的距离.
3.中点公式 (1)直线上的中点坐标公式. 已知数轴上两点 A(x1),B(x2),则线段 AB 的中点 M 的坐标为������1+2������2. (2)平面内的中点坐标公式. 设平面内两点 A(x1,y1),B(x2,y2)的中点 M(x,y),则 x=������1+2������2,y=������1+2 ������2.
2.平面直角坐标系中的基本公式 平面直角坐标系中两点 A(x1,y1),B(x2,y2)的距离公
式:d(A,B)= (������2-������1)2 + (������2-������1)2.
2019版高中数学第二章平面直角坐标系中的基本公式2.1.1数轴上的基本公式课件
(C)AB=AO+OB
(D)AB+AO+BO=0
解析:A正确,因为AB=AO+OB=OB-OA; B正确,因为AO+OB+BA=AB+BA=0; C正确,因为AO+OB=AB; D不正确,因为AB+AO+BO不一定为0,故选D.
4.数轴上A、B两点间的距离是5,点A的坐标是1,则点B的坐标是
.
解析:设B点的坐标为x, 则|x-1|=5,所以x=6或-4. 答案:6或-4
类型二 数轴上的基本公式的应用 【例2】 已知数轴上A,B两点的坐标分别为x1=a+b,x2=a-b.求AB,BA,d(A, B),d(B,A).
解:AB=x2-x1=(a-b)-(a+b)=-2b; BA=x1-x2=(a+b)-(a-b)=2b或BA=-AB=2b; d(A,B)=|x2-x1|=2|b|;d(B,A)=|x1-x2|=2|b|.
方法技巧 (1)记住公式,理解符号的含义是解题的关键;(2)明确向量的 长度及数量的区别与联系;(3)注意区别:|AB|=d(A,B)=|xB-xA|,AB=xB-xA.
变式训练2-1:已知A,B,C是数轴上任意三点: (1)若AB=5,CB=3,求AC; (2)若A(-2),BC=1,AB=2,求C点的坐标;
2.1.2 平面直角坐标系中的基本公式
张喜林制2.1.2 平面直角坐标系中的基本公式教材知识检索考点知识清单1．两点间的距离公式：设),(),(2211y x B y x A 、是平面上的两点，则=||AB2．中点公式：已知),,(),(2211y x B y x A 、设M(x ，y)是线段AB 的中点，则=x =y ,3．平行四边形的两条对角线的平方和等于它的四边的要点核心解读1．两点间的距离公式(1)平面上的点),(y x P 到原点)0,0(O 的距离=),(P O d .22y x +(2)平面上任意两点间的距离公式：设,(),211x B y x A 、（),2y 则.)()(),(212212y y x x B A d -+-=(3)求两点间距离的步骤：①给两点坐标赋值：?,,,,2121====y y x x ？？？②计算两个坐标的差，并赋值给另外两个变量，即;,1212y y y x x x -=∆-=∆ ③计算;)()(22y x d ∆+∆=④给出两点的距离．2．中点公式已知),,(),(2211y x B y x A 、设点),(y x M 是线段AB 的中点(如图2-1 -2 -1)，过点A 、B 、M 分别向x 轴、y 轴作垂线、、21AA AA ,2121MM MM BB BB 、、、垂足分别为、、、)0,((B )(0,)0,(211211x y A x A )0,(),,0(122x M y B ).,0(2y M 因为M 是线段AB 的中点，所以点1M 和点2M 分别是11B A 和22B A 的中点，即⋅==22221111,B M M A B M M A所以⋅-=--=-y y y y x x x x 2121,即 2,22121y y y x x x +=+= 这就是线段中点坐标的计算公式，简称中点公式．3．解析法的应用解析法是解决解析几何、立体几何等的重要方法，它是把几何问题转化成代数问题，通过建立适当的坐标系加以分析研究解决问题的方法．用解析法解决几何问题的基本步骤如下：(1)选择坐标系：坐标系选择是否恰当，直接关系到以后的论证是否简捷．原则是：选择坐标系要使得问题所涉及的坐标中尽可能多地出现零．为此，常常有以下规律：①将图形一边所在的直线或定直线作为x 轴；②若为对称图形则取对称轴为x 轴或y 轴；③若有直角，则取直角边所在的直线为坐标轴；④可将图形的一个定点或两个定点连线的中点作为原点．(2)标出图形上有关点的坐标，按已知条件用坐标表示图形中的等量关系．(3)通过以上两个程序，把几何问题转化为代数问题来求解．典例分类剖析考点1 平面上两点闻距离的求法及应用命题规律主要强调两点间距离公式的应用，两点间的距离公式作为解析几何的重点之一，常会考查．[例1] (1)已知),3,1()3,6()1,2(C B A 、、求证：△ABC 为直角三角形．(2)已知点A(3，6)，在x 轴上的点P 与点A 的距离为10，求点P 的坐标．[解析] (1)要判断三角形是否为直角三角形，其中一种方法是考虑各边长之间是否满足勾股定理，即需求出三条边长．[答案] 由两点间的距离公式得;20)13()26(),(=-+-=B A d;5)13()21(),(=-+-=C A d;25)33()61(),(22=-+-=C B d,||||||222BC AC AB =+∴∴ △ABC 为直角三角形．(2)设点P 的坐标为（x ，O ），由,10),(=P A d 得,10)60()3(22=-+-x解得11=x 或,5-=x∴ 点P 的坐标为(-5，0)或(11，0)．母题迁移 1．已知等边△ABC 的两个顶点、的坐标为),0,2()0,4(B A 、-试求：(1) C 点的坐标；(2)△ABC 的面积．考点2 中点坐标公式及其应用命题规律考查中点坐标公式及其应用．[例2] △ABC 三个顶点的坐标分别为,2)4,4(（、B A --),2,4()2-C 、求三边中线的长．[答案] 设AB 的中点D 的坐标为D （x,y ）,由中点公式得,1224,1224-=+-=-=+-=y x 即 ⋅--)1,1(D同理，BC 的中点E(3，0)，AC 的中点F(O ，-3)．),(||D C d CD =∴22)]2(1[)41(---+--=;26=),(||E A d AE =)40()43(+++=;65=),(||F B d BF =)23()20(-⋅-+-=.29=母题迁移 2．△ABC 三个顶点的坐标为),1,0(-A ),2,2(),3,1(-C B 求中线AD 的长．考点3 两点问距离公式的几何意义命题规律利用两点间距离公式的几何意义求某些函数的最值．[例3] 求函数++-=3712)(2x x x f 134+-x x 的最小值．[答案] ,1)6(3722+-=+-x x r x ∴+-=+-,9)2(1342x x x 可设,6（A 、、)3,2()1B )0,P(x 则.||||)(PB PA x f +=要求)(x f 的最小值，只需在x 轴上找一点P ，使||||PB PA +最小即可．设B 关于x 轴的对称点为,/B 则)3,2(/-B （如图2 -1 -2-2所示）． |,|||||||||//AB PB PA PB PA ≥+=+,24)13()62(||22/=--+-=AB∴ 当A P B 、、/三点共线时取等号，即||||PB PA +的最小值为,24也就是)(x f 的最小值为.24[点拨] (1)涉及无理式，尤其是含平方的算式，我们可联想到两点间的距离，故构造两点间的距离来解题．(2)本题切忌将两个无理函数最小值的和当作f(x)的最小值．母题迁移 3．求函数1342222+-++-=x x x x y 的最小值．优化分层测讯学业水平测试1．已知),15,2().5,3(B A -则=),(B A d （ ）25.A 135.B 175.C 55.D2．已知两点),,(),(d c B b a A 、且,02222=+-+d c b a 则( )．A ．原点一定是线段AB 的中点 B.A 、B 一定都与原点重合C ．原点一定在线段AB 上但不是中点D ．以上结论都不正确3．点P(2，-1)关于点(3，4)的对称点是( )．)5,1.(A )9,4.(B )3,5(⋅C )4,9.(D4．已知点A(3，6)，在x 轴上的点P 与点A 的距离等于10，则点P 的坐标为5．在△ABC 中，设),5,2()7,3(-B A 、若AC 、BC 的中点都在坐标轴上，则点C 的坐标为6．已知，平面内平行四边形的三个顶点).3,1()1,2(--B A 、),4,3(C 求第四个顶点D 的坐标．高考能力测试（测试时间：45分钟测试满分：100分）一、选择题（5分x8 =40分）1．以A(5，5)、B(1，4)、C(4，1)为顶点的三角形是( )．A.直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等边三角形 D ．等腰直角三角形2．已知△ABC 的三个顶点是)0,()0,(a B a A 、-和),23,2(a aC 则△ABC 的形状是( )． A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形D ．斜三角形3．已知点),2,4()0,2(B A 、若|,|2||BC AC =则C 点的坐标为( )．)1,1(-⋅A ），或（15)1,1(--⋅B )3,1()1,1(或-⋅C D ．无数个 4．已知点A （x ，5）关于点C(l ，y)的对称点是),3,2(--B 则点),(y x P 到原点的距离是( )．4.A 13.B 15.C 17.D5．已知菱形的三个顶点为),0,0(),(),(、、a b b a -则它的第四个顶点是( )．),2(b a A ⋅ ),(b a b a B +-⋅ ),.(a b b a C -+ ),(a b b a D --⋅6．光线从点A （-3，5）射到x 轴上，经过反射后经过点B(2，10)，则光线从A 到B 的距离为( )．25.A 52.B 105.C 510.D7．某县位于山区，居民的居住区域大致呈如图2 -1-2 -3所示的五边形，近似由一个正方形和两个等腰直角三角形组成，若,30,60km CD AE km AB ===为了解决当地人民看电视难的问题，准备建一个电视转播台，理想方案是转播台距五边形各顶点距离的平方和最小，图中4321P P P P 、、、是AC 的五等分点，则转播台应建在( )．1.P A 处2.P B 处3.P C 处4.P D 处8．（2006年福建）对于直角坐标平面内的任意两点).,(11y x A ),,(22y x B 定义它们之间的一种“距离”：+-=||||12x x AB .||12y y -给出下列三个命题：①若点C 在线段AB 上，则|;|||||AB CB AC =+②在△ABC 中，若,90 =∠C 则;||||||222AB CB AC =+③在△ABC 中，.||||||AB CB AC >+其中真命题的个数为( )．0.A 1.B 2.C 3.D二、填空题（5分x4 =20分）9．已知),,2()6,(b B a A -、点P(2，3)平分线段AB ，则=+b a10．已知),3,0()3,5()1,1(C B A 、、则△ABC 的形状为11．已知),3().2,1(b B A -两点间的距离为,24则=b12.已知两点),2,3()4,1(A P 、-则点A 关于点P 的对称点的坐标为三、解答题（10分x4 =40分）13.求函数84122+-++=x x x y 的最小值．14.已知△ABC 三顶点的坐标为,8)3,11()8,3(--（、、C B A ),2-求BC 边上的高AD 的长度．15.若a 、b 、c 、d 都是实数，试证明≥+++2222db c a .)()(22d c b a +++16.在△ABC 所在平面上求一点P ，使222||||||PC PB PA ++取得最小值.。
推荐高中数学2.1平面直角坐标系中的基本公式2.1.1数轴上的基本公式2.1.2平面直角坐标系中的基本公式知识导
2.1 平面直角坐标系中的基本公式2.1.1 数轴上的基本公式2.1.2 平面直角坐标系中的基本公式知识梳理1.数轴上的基本公式(1)数轴上任意三点A 、B 、C ，则AB+BC=AC ；(2)数轴上任一个向量，设OB=x 2，OA=x 1，则AB=x 2-x 1；(3)已知数轴上两点A 、B,OB=x 2，OA=x 1，则两点A 、B 的距离公式:d(A,B)=|x 2-x 1|.2.平面直角坐标系中的基本公式(1)平面直角坐标系上两点A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)的距离公式:d(A,B)=212212)()(y y x x -+-；(2)中点公式:两点A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)的中点M(x ，y),则x=2,22121y y y x x +=+. 知识导学学习数轴上的基本公式要先复习数轴的定义和性质以及与数轴相关的概念,如绝对值、相反数等.学习本节后AB 不再表示线段，而是表示(位移)向量，它的值可正也可负，还可以是0,它不但有长度,而且还有方向.初学数轴上和平面直角坐标系中的基本公式时，一定要先画好数轴和平面直角坐标系，用数形结合的方法理解和掌握基本公式，要动手推导公式,在理解的基础上记忆,不要死记硬背. 疑难突破1.引入数轴上向量的概念有何意义？剖析:教材引入数轴上向量的概念是为了正确地理解基本公式的推导和方程的概念，并为学习解析几何、三角函数和平面向量等后续数学内容打下基础.教材中用AB 表示向量的坐标或数量，用|AB|表示向量的长度，学习中要正确识别这些符号.2.向量AB 和向量BA.剖析:实际上，数轴上的(位移)向量AB 由两部分构成，一是方向，二是长度.与数轴的正方向一致时，它的方向用“+”表示(可以省略不写).当它与数轴的负方向一致时，它的方向用“-”表示.由于AB 表示的是向量，所以AB 和BA 是两个不同的向量，二者不相等.(实)数轴上的向量AB 与实数的构成有非常相似的地方，一个实数由两部分构成,一是(性质)符号;二是绝对值.类比实数的构成可以较容易地理解向量地意义.如图2-1-1所示，在数轴上把向量AB 和向量BA 画出方向，更直观地看到它们确实不相等.图2-1-(1,2)-13.如何表示数轴上两点的相对位置？剖析:数轴上两个点A和B的相对位置，用它们的(位移)向量来表示，即如果AB是负的，则表示从点A指向点B的方向为数轴的负方向，则点A在点B的右方；如果AB是正的，则表示从点A指向点B的方向为数轴的正方向，则点A在点B的左方.数轴上两点的相对位置主要有两个方面，一是方向，谁在左，谁在右;二是距离，即两个点距离多远.将这两个方面回答清楚了，数轴上两个点的相对位置也就清楚了.4.利用中点坐标公式能解决哪些问题？剖析:中点公式及其变形式在实际解题中应用很广泛，所有涉及中点、三等分点及n等分点的问题都可以据此来求.中点坐标公式的作用很大.在角平分线、点关于点的对称点、点关于线的对称点、直线关于点的对称直线、直线关于直线的对称直线等对称问题中都有中点出现，物理中的影像问题也有中点出现.5.探索平面上两点间距离公式时需要注意什么？剖析:平面上两点间距离公式的探索，应该从在数轴上的两点或连线平行轴的两点入手，然后注意研究怎样把两点连线(不平行轴的情况)向上面的简单情况转化.探索中要注意观察或构造直角三角形，以便应用勾股定理.。
平面直角坐标系中的基本公式公开课获奖课件百校联赛一等奖课件
8． 已知A(1，2)，B(－3，b)两点间旳距离 等于4 2 ，则b= 6或－2 。
y B2
|AC|=|A1B1|=|x2－x1|，|BC|=|A2B2|=|y2－y1|，
由勾股定理得
A(x1,y1) A2
|AB|2=|AC|2+|BC|2=|x2－x1|2+|y2－y1|2， 由此得到计算两点间距离旳公式：
A1 O
B(x2,y2)
C
x B1
d(A，B)=|AB| （x2 x1)2 ( y2 y1)2
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
解：若点C在x轴上，设C(x，0)，由∠ACB=90°，
得
|AB|2=|AC|2+|BC|2，
∴ (－1－3)2+(3－1)2=(x+1)2+32+(x－3)2+12，
解得x=0或x=2,
若点C在y轴上，设C(0，y)，由∠ACB=90°得|AB|2=|AC|2+|BC|2，
因为|AC|=|BC|，且A，B，C不共线， 所以△ABC是等腰三角形。
坐标法
坐标法：就是经过建立坐标系（直线坐标系或者是直 角坐标系），将几何问题转化为代数问题，再经过一 步步地计算来处理问题旳措施.
用坐标法证题旳环节
（1）根据题设条件，在合适位置建立坐 标系（直线坐标系或者是直角坐标系）； （2）设出未知坐标； （3）根据题设条件推导出所需未知点旳 坐标，进而推导结论.
两点间旳距离公式
已知：A ( x1，y1 )，B ( x2 , y2 )
则AB两点间距离旳公式： d(A，B) （x2 x1)2 ( y2 y1)2
y B2
B(x2,y2)
高中数学平面解析几何2.1坐标法学案含解析
第二章 平面解析几何2．1 坐 标 法必备知识·自主学习1.平面直角坐标系中的基本公式(1)定义：平面直角坐标系内两点之间的距离公式与中点坐标公式都称为平面直角坐标系中的基本公式．(2)公式：点A ()x 1，y 1 ，B ()x 2，y 2 ，中点M ()x ，y ，则||AB ＝()x 2－x 12＋()y 2－y 12 ，M ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22 . 2．坐标法通过建立平面直角坐标系，将几何问题转化为代数问题，然后通过代数运算等解决问题的方法称为坐标法．利用坐标法解决几何问题的前提是什么？提示：建立平面直角坐标系．1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”).(1)解析几何中，点A 与点B 之间的距离表示为AB.( )(2)已知A(3，0)，B(0，－4)，则AB 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫32，2 .( )(3)点A ()x 1，y 1 ，B ()x 2，y 2 ，则||AB ＝ ()x 1－x 22＋()y 1－y 22 .( )提示：(1)×.点A 与点B 之间的距离表示为||AB .(2)×.中点坐标为⎝⎛⎭⎫32，－2 .(3)√.||AB ＝()x 2－x 12＋()y 2－y 12 ＝()x 1－x 22＋()y 1－y 22. 2．(教材例题改编)已知点A(1，2)，B(－3，0)，则线段AB 的中点坐标为( )A ．(－1，1)B ．(－2，2)C ．(－2，－1)D ．(－4，－2)【解析】选A.点A(1，2)，B(－3，0)，则线段AB 的中点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1－32，2＋02 ，化为(－1，1).3．已知点A(2，0)和点B(－4，2)，则|AB|＝( )A ． 5B ．2 5C ．10D ．210【解析】选D.因为A(2，0)，B(－4，2)，所以|AB|＝（2＋4）2＋（0－2）2 ＝210 . 关键能力·合作学习类型一 数轴上两点之间的距离公式与中点坐标公式(数学运算)1．已知A(－6)，||AB ＝4，则点B 的坐标为( )A ．2B ．－2或－10C ．10D ．2或10【解析】选B.设B 点的坐标为x ，则||AB ＝||x －()－6 ＝4，所以x ＝－2或x ＝－10.2．已知A(a)，B(a 2＋1)，线段AB 的中点C ⎝⎛⎭⎫32 ，则a 的值为( )A ．1B ．2C ．1或－2D ．－1或2【解析】选C.由题意得，a ＋a 2＋12 ＝32，所以a 2＋a －2＝0，所以a ＝1或－2. 3．已知M ，N ，P 是数轴上三点，若|MN|＝5，|NP|＝3，则||MP ＝________．【解析】因为M ，N ，P 是数轴上三点，|MN|＝5，|NP|＝3，(1)当点P 在点M ，N 之间时(如图所示)，||MP ＝|MN|－|NP|＝5－3＝2.(2)当点P 在点M ，N 之外时(如图所示)，||MP ＝|MN|＋|NP|＝5＋3＝8.综上所述，|MP|＝2或8.答案：2或8数轴上两点之间的距离公式与中点坐标公式的关注点(1)熟练运用公式；(2)求参数的值或取值范围时，若由绝对值的定义去绝对值符号时，一定要分类讨论，从而确定出参数的值或范围．【补偿训练】已知数轴上两点A(a)，B(5).求：当a 为何值时，(1)两点间距离为5?(2)两点间距离大于5?(3)两点间距离小于3?【解析】数轴上两点A ，B 之间的距离为|AB|＝|a －5|.(1)根据题意得|a －5|＝5，解得a ＝0或a ＝10.(2)根据题意得|a －5|>5，即a －5>5或a －5<－5，所以a>10或a<0.(3)根据题意得|a －5|<3，即－3<a －5<3，所以2<a<8.类型二 平面内两点之间距离公式与中点坐标公式(数学运算)两点之间的距离公式【典例】已知点A(2，1)，点B(5, a)，若|AB|＝13 ，则a ＝________．【思路导引】代入距离公式，解方程求a.【解析】点A(2，1)，B(5，a)，则|AB|＝()2－52＋()1－a 2 ＝13 ，解得a ＝－1或3.答案：－1或3本例若改为：已知点A(－1，2)，B(2，7 )，在x 轴上求一点P ，使|PA|＝|PB|，并求|PA|的值．【解析】设所求点P(x ，0)，于是由|PA|＝|PB|得（x ＋1）2＋（0－2）2 ＝（x －2）2＋（0－7）2 ，即x 2＋2x ＋5＝x 2－4x ＋11，解得x ＝1.所以所求P 点坐标为(1，0)，|PA|＝（1＋1）2＋（0－2）2 ＝2 2 .中点坐标公式【典例】已知△ABC 的顶点坐标为A(7，8)，B(10，4)，C(2，－4)，则BC 边上的中线AM 的长为( )A ．8B ．13C ．215D ．65【思路导引】先求出BC 的中点，再利用距离公式求值．【解析】选D.由B(10，4)，C(2，－4)，设BC 中点为M(x M ，y M )，得x M ＝10＋22 ＝6，y M ＝4－42＝0， 即M(6，0).又A(7，8)，所以|AM|＝（7－6）2＋（8－0）2 ＝65 .1．关于两点之间的距离公式(1)注意公式特征，一是括号内是对应纵横坐标的差；二是作差的顺序必须一致．(2)运算结果要进行开方化简．2．关于中点坐标公式的应用(1)中点坐标公式体现了两点及其中点坐标之间的关系，三个点的坐标“知二求一”；(2)点A ()x ，y 关于点P ()a ，b 的对称点坐标为()2a －x ，2b －y .1．△ABC 三个顶点的坐标分别为A(－4，－4)，B(2，2)，C(4，－2)，则三角形AB 边上的中线长为( )A ．26B ．65C ．29D ．13【解析】选A.AB 的中点D 的坐标为(－1，－1)，所以|CD|＝（－1－4）2＋[－1－（－2）]2 ＝26 .2．已知A(－1，0)，B(5，6)，C(3，4)三点，则|AC||CB|的值为( ) A ．13 B ．12C ．3D ．2 【解析】选D.由两点间的距离公式，得|AC|＝[3－（－1）]2＋（4－0）2 ＝4 2 ， |CB|＝（3－5）2＋（4－6）2 ＝2 2 ， 故|AC||CB| ＝4222＝2. 3．已知点A(－2，－1)，B(a ，3)，且|AB|＝5，则a 的值为________．【解析】因为|AB|＝（a ＋2）2＋（3＋1）2 ＝5，所以a ＝－5或a ＝1.答案：1或－5类型三 坐标法的应用(数学直观、逻辑推理)【典例】如图，在△ABC 中，D ，E ，F 分别为BC ，AC ，AB 的中点，用坐标法证明：34 (|AB|2＋|BC|2＋|AC|2)＝|AD|2＋|BE|2＋|CF|2.关于坐标法解决几何问题(1)建系：利用坐标法解决几何问题的前提是建立平面直角坐标系，采用对称建系或使尽可能多的顶点在坐标轴上的方法，使数据运算简单．(2)利用坐标法可以解决线线的垂直、平行，与距离相关的等式等．△ABD和△BCE是在直线AC同侧的两个等边三角形，用坐标法证明|AE|＝|CD|.【证明】如图，以B为坐标原点，直线AC为x轴，建立平面直角坐标系，设△ABD 和△BCE 的边长分别为a ，c ，则A(－a ，0)，C(c ，0)，D ⎝⎛⎭⎫－a 2，32a ，E ⎝⎛⎭⎫c 2，32c ， 则|AE|＝⎣⎡⎦⎤c 2－（－a ）2＋⎝⎛⎭⎫32c －02 ＝a 2＋ac ＋c 2 ，|CD|＝⎝⎛⎭⎫－a 2－c 2＋⎝⎛⎭⎫32a －02 ＝a 2＋ac ＋c 2 ，所以|AE|＝|CD|.课堂检测·素养达标1．已知点(x ，y)到原点的距离等于1，则实数x ，y 满足的条件是( )A ．x 2－y 2＝1B ．x 2－y 2＝0C ．x 2＋y 2 ＝1D ．x 2＋y 2 ＝0【解析】选C.因为点(x ，y)到原点的距离等于1，所以（x －0）2＋（y －0）2 ＝1，即x 2＋y 2 ＝1.2．直线y ＝x 上的两点P ，Q 的横坐标分别是1，5，则|PQ|等于( )A ．4B ．4 2C ．2D ．2 2【解析】选B.由题意知P(1，1)，Q(5，5)，所以|PQ|＝2（5－1）2 ＝4 2 .3．已知点A(－1，2)，点B(2，6)，则线段AB 的长为________．【解析】由两点间距离公式得|AB|＝（2＋1）2＋（6－2）2 ＝5.答案：54．已知三角形的两个顶点A(3，7)，B(－2，5)，两边AC 和BC 的中点分别在x 轴、y 轴上，则顶点C 的坐标是________．【解析】设C(x ，y)，由题意可得：－2＋x 2 ＝0，7＋y 2＝0， 解得x ＝2，y ＝－7.所以C(2，－7).答案：(2，－7)5．已知点A(2，5)，B(4，－1)，若在y 轴上存在一点P ，使|PA|2＋|PB|2最小，求点P 的坐标．【解析】设点P(0，y)，则|PA|2＋|PB|2＝(0－2)2＋(y －5)2＋(0－4)2＋(y ＋1)2＝2y 2－8y ＋46＝2(y －2)2＋38，所以y ＝2时，|PA|2＋|PB|2最小，此时点P(0，2).。
2.1.2平面直角坐标系中的基本公式
练习
证明直角三角形斜边的中点到三个顶点的距 离相等.
y
B (0,b)
a b M( , ) 2 2
o C (0,0)
x A(a,0)
本节课总结：
1.两点间的距离公式 一、知识点： 2.中点坐标公式 1.求两点间的距离 二、题型： 2.应用距离关系研究几何性质 3.中点公式与中心对称
｛ ｛
三、数学思想方法：
｛
1.特殊到一般 2.方程与化归的思想 3.坐标法（几何与代数的转化）
x 2 35 2 2 y2 02M
C(5,2)
A(-3,0)
O
解得
x=0
x B(2,-2)
∴D(0,4)
y=4
【例3】已知 :平行四边形ABCD的三个顶点坐标
A(- 3,0),B(2,-2),C(5,2).求:顶点D的坐标.
变式:
已知□的三个顶点(－3，0)，(2，－2)，(5，2)，
的最小值为 13
例5.证明平行四边形四条边的平方和和等于两条 对角线的平方和. 证明：以A为原点，AB为x轴 第一步 :建立坐 y (a+b,c) D (b,c) C 建立直角坐标系. 标系，用坐标表 则四个顶点坐标分别为 示有关的量. A(0,0),B(a,0),D(b,c)C(a+b,c) 2 2 x | AB | a | CD |2 a 2 A (0,0) B (a,0) | AD |2 b2 c2 | BC |2 b2 c2 第二步:进行有 2 2 2 2 2 2 | BD | (b a关代数运算 ) c | AC | (a b) c
求第四个顶点的坐标.
(0,4),
(-6,-4),
(10,0)
平面直角坐标系(概念,距离公式,中点公式)
平面直角坐标系(概念，距离公式，中点公式)今天我们学习平面直角坐标系相关的一些基础概念和平面直角坐标的特点，距离公式，中点公式等。
在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系。
水平的数轴称为x轴或横轴，取向右为正方向。
竖直的数轴称为y轴或纵轴，取向上方向为正方向。
两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。
有序数对：我们把(a，b)这种有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对。
例如直角坐标系中有一点P，过点P作x轴，y轴的垂线，它在x轴对应的数是a，在y轴对应的数是b，那么(a，b)叫做点P的坐标。
利用平面直角坐标系，可以把组成几何图形的点和满足方程的每一组数联系起来，代数和几何合二为一。
象限(坐标轴上的点不属于任何象限)两条坐标轴把坐标平面分成四个部分(从右上部分开始逆时针方向分为1，2，3，4象限)右上方叫第一象限：x>0，y>0左上方叫第二象限：x<0，y>0左下方叫第三象限：x<0，y<0右下方叫第四象限：x>0，y<0横坐标轴上的点：(x，0)；纵坐标轴上的点：(0，y)。
距离问题：点(a，b)距x轴的距离为b的绝对值，距y轴的距离为a的绝对值。
坐标轴上两点间距离：点A(a1，0)与点B(a2，0)的距离AB为a1-a2的绝对值。
点A(0，b1)与点B(0，b2)的距离AB为b1-b2的绝对值。
根据勾股定理，可以计算出点(a，b)与原点的距离，以及任意两点(a，b)(c，d)间距离。
平行于坐标轴的直线平行于x轴(或横轴)的直线上的点的纵坐标相同；平行于y轴(或纵轴)的直线上的点的横坐标相同。
角平分线若点(x，y)在一、三象限角平分线上，则x=y。
若点(x，y)在二、四象限角平分线上，则x=-y。
与坐标轴、原点对称关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数。
关于y轴对称的点的纵坐标相同，横坐标互为相反数。
关于原点对称的点的横坐标、纵坐标都互为相反数。
高中数学第二章平面解析几何初步2.1平面直角坐标系中的基本公式2.1.2平面直角坐标系中的基本公式
课堂探究(tànjiū)·素养提升
类型(lèixí两ng点)一的距离(jùlí)公式 【例 1】已知点 A(-3,4),B(-2, 3 ),试在 x 轴上找一点 P,使得 d(P,A)=d(P,B). 并求出 d(P,A).
解:设 P(x,0),由题意得 d(P,A)= x 32 0 42 = x2 6x 25 ,
d(P,B)= x 22 0 3 2 = x2 4x 7 ,
由 d(P,A)=d(P,B),即 x2 6x 25 = x2 4x 7 得 x=-9,
故 P(-9,0),d(P,A)= 9 32 0 42 =2 13 .
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变式训练(xùnliàn)1-1:已知三点A(3,2),B(0,5),C(4,6),则△ABC的形状是( )
故点 M 的坐标为( 0 b , c 0 ),即( b , c ).
22
22
由两点的距离公式得 d(B,C)= c2 b2 ,
d(A,M)=
b2 c2
=
b2 c2 ,
44
2
故 1 d(B,C)=d(A,M),即|AM|= 1 |BC|.
2
2
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类型(lèixíng两)四点间距离公式(gōngshì)的综合应用
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第八页，共二十三页。
3.已知线段AB的中点在坐标(zuòbiāo)原点,且A(x,2),B(3,y),则x+y等于( ) D
(A)5
(B)-1
(C)1
(D)-5
解析:因为 AB 的中点为坐标原点,则有 x 3 =0, 2 y =0,
2
知识讲解_平面直角坐标系中的基本公式
平面直角坐标系中的基本公式【知识梳理】要点一：直线坐标系(1)定义：一条给出了原点、度量单位和正方向的直线叫做数轴，或者说在这条直线上建立了直线坐标系． 要点诠释：一般地，我们约定数轴水平放置，正方向为从左到右．(2)数轴上的点与实数的对应法则：P ←−−−−→一一对应实数x ． (3)记法：如果点P 与实数x 对应，则称点P 的坐标为x ，记作P (x )．当x ＞0时，点P 位于原点右侧，且点P 与原点O 的距离|OP |＝x ；当x ＜0时，点P 位于原点左侧，且点P 与原点的距离|OP |＝-x要点二：向量及数轴上两点间的距离公式(1)定义：位移是一个既有大小又有方向的量，通常叫做位移向量，本书简称为向量．从点A 到点B 的向量，记作AB ．点A 、B 分别叫做向量AB 的起点、终点．向量的长度：线段AB 的长叫做向量AB 的长度，记作|AB |．相等的向量：数轴上同向且等长的向量叫做相等的向量．数量：我们可用实数表示数轴上的一个向量AB ，这个实数叫做向量AB 的坐标或数量．要点诠释：要正确区分向量、向量的长度、向量的坐标（数量）这几个概念，它们分别用AB 、||AB 、AB 来表示；两个向量相等，必须长度和方向都相同；零向量是起点和终点重合的向量，它的长度为0，方向不确定．(2)位移向量的和：在数轴上，如果点A 作一次位移到点B ，接着由点B 再作一次位移到点C ，则位移AC 叫做位移AB 与位移BC 的和，记作AC AB BC =+．要点诠释：作和向量的规律特点：前一个向量的终点是下一个向量的起点(尾首相接)，而和向量是第一个向量的起点指向最后一个向量的终点(首尾相连)．(3)数量和：数轴上任意三点A 、B ，C ，都具有关系AC ＝AB+BC ．要点诠释：①这个公式反映了数轴上向量加法的坐标运算法则，是解析几何的基本公式．②数轴上任意三点．A 、B 、C 都有关系AC ＝AB+BC ，但不一定有|AC |＝|AB |+|BC |，它与A 、B 、C 三个点的相对位置有关．(4)数轴上两点间的距离公式：向量的坐标计算公式：设AB 是数轴上的任意一个向量，点A 的坐标为1x ，点B 的坐标为2x ，则21AB x x =-．一般地，数轴上的任意一个向量的坐标等于它的终点坐标减去起点坐标．用d (A ，B )表示A ，B 两点的距离，可得数轴上两点A ，B 的距离公式是21()||||d A B AB x x ==-，．要点三：平面直角坐标系中两点间的距离公式平面上有两点A (1x ，1y )，B (2x ，2y ) ，则两点间的距离为d (A ，B )＝|AB |＝222121()()x x y y -+-．要点诠释：两点间的距离公式是一个很重要的公式，要熟练地掌握，记住公式的形式，对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可以直接利用距离公式的特殊情况求解．要点四：中点坐标公式若A (1x ，1y )、B (2x ，2y )，则线段AB 的中点M (x ，y )的坐标计算公式为122x x x +=，122y y y +=． 要点诠释：此公式的推导过程中注意把问题向数轴上转化，体现了数学上的转化思想．要点五：坐标法1．通过建立平面直角坐标系，用代数方法来解决几何问题的方法叫做坐标法，其体现的基本思想是数形结合思想．2．用解析法解决几何问题的基本步骤如下：(1)选择坐标系．坐标系的选择是否恰当，直接关系到以后的论证是否简洁．原则：选择坐标系要使得问题所涉及的坐标中尽可能多地出现零．为此，常常有以下约定：①将图形一边所在的直线或定直线作为x 轴．②对称图形，则取对称轴为x 轴或y 轴．③若有直角，则取直角边所在的直线为坐标轴．④可将图形的一个定点或两个定点连线的中点作为原点．(2)标出图形上有关点的坐标，按已知条件用坐标表示等量关系．(3)通过以上两个程序，把几何问题等价转化为代数式来计算．【典型例题】类型一：向量及数轴上点的距离公式例1．已知A 、B 、C 是数轴上任意三点．(1)若AB ＝5，CB ＝3，求AC ；(2)证明：AC+CB ＝AB ；(3)若|AB |＝5，|CB |＝3，求|AC |．【答案】（1）2（2）略（3）2或8【解析】 (1)AC ＝AB+BC ＝AB -CB ＝5-3＝2．(2)证明：设数轴上A 、B 、C 三点的坐标分别为A x 、B x 、C x ，则AC+CB ＝(C A x x -)+(B C x x -)＝B A x x AB -=，故AC+CB ＝AB ．(3)当点C 在A 、B 两点之间时，由下图①可知|AC |＝|AB |-|BC |＝5-3＝2；当点C 在A 、B 两点之外时，由上图②可知|AC |＝|AB |+|BC |＝5+3＝8．综上所述，|AC |＝2或8．【总结升华】 向量及向量长度的计算应熟练地运用公式AB ＝B A x x -，及|AB |＝||||B A A B x x x x -=-进行求解．对于(3)要注意点B (或点C )的位置，若不确定应分类讨论．举一反三：【变式1】已知数轴上A 、B 两点的坐标分别为1x a b =+，2x a b =-．求AB 、BA 、d (A ，B )、d (B ，A )．【答案】2b - 2b 2||b 2||b【解析】 21AB x x =-=()()2a b a b b --+=-，12()()2BA x x a b a b b =-=+--=，d (A ，B )＝21||2||x x b -=，d (B ，A )＝12||2||x x b -=．【变式2】 关于位移向量，下列说法正确的是 ( )A ．数轴上任意一个点的坐标有正负和大小，它是一个位移向量B ．两个相等的向量的起点可以不同C ．每一个实数都对应数轴上的唯一的一个位移向量D ．AB 的大小是数轴上A 、B 两点到原点距离之差的绝对值【答案】 B【解析】 一个点的坐标没有大小，每个实数对应着无数个位移向量。
平面直角坐标系如何在平面直角坐标系中进行点的坐标计算
平面直角坐标系如何在平面直角坐标系中进行点的坐标计算在平面直角坐标系中进行点的坐标计算是数学中的基础操作之一。
通过平面直角坐标系，我们可以准确地描述和定位平面上的点的位置。
本文将介绍平面直角坐标系的基本概念和使用方法，以及点的坐标计算的步骤和技巧。
一、平面直角坐标系的基本概念平面直角坐标系是由两条相互垂直的坐标轴组成，一般分别称为x轴和y轴。
它们的交点称为原点O，位于原点O的x轴正方向称为正向，y轴正方向也称为正向。
x轴和y轴的正向是可以任意选择的，通常选择向右和向上为正向。
二、点的坐标表示方法在平面直角坐标系中，每个点都可以通过一个有序数对（x，y）表示，其中x表示点在x轴上的投影位置，y表示点在y轴上的投影位置。
坐标的取值可以是实数，也可以是整数或分数。
三、点的坐标计算方法在进行点的坐标计算时，可以使用以下基本运算规则：1. 两点之间的距离公式：设两点A(x1, y1)和B(x2, y2)，则AB的距离d等于√[(x2-x1)² + (y2-y1)²]。
2. 点的对称性：如果点A(x, y)关于x轴对称，则对称点为A'(x, -y)；如果点A(x, y)关于y轴对称，则对称点为A'(-x, y)；如果点A(x, y)关于原点对称，则对称点为A'(-x, -y)。
3. 平移：点A(x, y)沿x轴方向平移a个单位，y坐标不变，新点为A'(x+a, y)；点A(x, y)沿y轴方向平移b个单位，x坐标不变，新点为A'(x, y+b)。
4. 缩放：点A(x, y)的坐标同时乘以k，则新点的坐标为A'(kx, ky)。
四、点的坐标计算示例下面通过几个示例说明如何在平面直角坐标系中进行点的坐标计算。
示例1：已知点A(3, 4)，求点A的对称点B关于x轴、y轴和原点的坐标。
解：对称点B关于x轴的坐标为B(3, -4)；关于y轴的坐标为B(-3, 4)；关于原点的坐标为B(-3, -4)。
平面直角坐标系中的基本公式
3．如果把相等的所有向量看成一个整体， 作为同一个向量，则实数与数轴上的向 量之间是一一对应的。
三. 基本公式
1．位移的和：在数轴上，如果点A作一次
位移到点B，接着由点B再作一次位移到点 C，则位移 AC 叫做位移 AB 与位移 BC 的和，记作 AC AB BC 2．数量的和：对数轴上任意三点A、B、C 都有关系AC=AB+BC；
x 0 解得 y 4
所以点D的坐标是(0，4).
小结 2、两点间的距离公式d(A，B)=|AB| 2 2 （x2 x1 ) ( y2 y1 )
1、数轴上两点的距离公式d(A，B)=|x2－x1|.
A(x1,y1)
B2
B(x2,y2)
A2 O
C
x A1 B1
其中直线BB1和AA2相交于点C。
在直角△ACB中，|AC|=|A1B1|=|x2－x1|， |BC|=|A2B2|=|y2－y1|， 由勾股定理得 |AB|2=|AC|2+|BC|2=|x2－x1|2+|y2－y1|2， 由此得到计算两点间距 离的公式： d(A，B)=|AB|
3．如果点P与实数x对应，则称点P的坐标 为x，记作P(x)；
二. 向量 1．既有大小又有方向的量，叫做位移向 量，简称向量。从点A到点B的向量，记 作 AB ，读作“向量AB”。点A叫做向量 的起点，点B叫做向量的终点；
2．向量 AB 的长度：线段AB的长叫做 向量的长度，记作| AB |；
3．数量的坐标表示： 使 AB 是数轴上的任意一个向量，点 A的坐标为x1，点B的坐标为x2，则AB=x2 －x1； 4．数轴上两点间的距离公式： 用d(A，B)表示A、B两点间的距离，
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x 0, 所以 即 D(0,4). y 4,
(2)若 BC 为其一条对角线,由 AD 与 BC 的中点重合,则有:
2 5 3 x , x 10, 2 2 所以 即 D(10,0). 2 2 0 y y 0, , 2 2
方法技巧
平行四边形等一些平面图形中与中点有关的图形,可通
过分析图形的特点,利用中点公式求解,即一条线段两个端点及中点,已知
两点坐标,可确定第三个点坐标.
变式训练2-1:一个平行四边形的三个顶点分别为A(-3,0), B(2,-2),
C(5,2),求第四个顶点D的坐标.
解:设 D 点为(x,y),分以下三种情况: (1)若 AC 为平行四边形的一条对角线,由于 AC 与 BD 的中点重合,则有
(3)若 AB 为其一条对角线,由 AB 与 CD 的中点重合,则有:
3 2 5 x , 2 2 所以 x 6, 即 D(-6,-4). 0 2 2 y y 4, , 2 2
综上,D 点坐标为(0,4)或(10,0)或(-6,-4).
2 2 2
类型二 中点公式
【例2】 已知▱ABCD的两个顶点坐标分别为A(4,2),B(5,7),对角线交点为
E(-3,4),求另外两个顶点C,D的坐标.
4 x1 3 , x 10, 2 解:设 C 点坐标为(x1,y1),则由 E 为 AC 的中点得 得 1 y1 6, 4 2 y1 , 2 5 x2 3 , x 11, 2 设 D 点坐标为(x2,y2),则由 E 为 BD 的中点得 得 2 y2 1, 4 7 y2 , 2 故 C 点坐标为(-10,6),D 点坐标为(-11,1).
目标导航
课标要求 1.掌握平面上两点间的距离公式. 2.掌握中点坐标公式. 通过本节的学习,使学生养成运算能力,体会坐标系 法证明几何问题的思路.
素养达成
新知探求
课堂探究
新知探求·素养养成
知识探究
1.两点的距离公式 已 知在 平面直 角坐 标系中 两点 A(x 1 ,y 1 ),B(x 2 ,y 2 ), 则 有 d(A,B)= |AB|= 2.中点公式 已知平面直角坐标系中的两点A(x1,y1),B(x2,y2),设点M(x,y)是线段AB 的中点,则有x=
1 1 3 2
2
2
变式训练4-1:已知A(-8,-6),B(-3,-1),C(5,7),求证:A,B,C三点共线.
证明:因为|AB|= |BC|= |AC|=
2
8 3 6 1 =5 2 ,
2 2 2
5 3 7 1
2
=8 2 , =13 2 ,
0b c0 b c , ),即( , ). 2 2 2 2
由两点的距离公式得 d(B,C)= c 2 b 2 ,
b2 c 2 b2 c 2 d(A,M)= = , 4 4 2
故
1 1 d(B,C)=d(A,M),即|AM|= |BC|. 2 2
类型四
两点间距离公式的综合应用
【例 4】 求证:
=2 13 .
变式训练1-1:已知三点A(3,2),B(0,5),C(4,6),则△ABC的形状是(
(A)直角三角形 (C)等腰三角形 (B)等边三角形 (D)等腰直角三角形
)
解析:由两点间的距离公式分别求得|AB|=3 2 ,|BC|= 17 ,|AC|= 17 ,所以 |AC|=|BC|≠|AB|,且|AB| ≠|AC| +|BC| .所以△ABC 是等腰三角形.
3 ,0) 2
D )
(B)(1,0) (D)(3.4,0)
解析:设P点坐标为P(x,0),由题意知:|OP|=|AP| 即x2=(x-5)2+(0+3)2,得x=3.4,故选D.
3.已知线段AB的中点在坐标原点,且A(x,2),B(3,y),则x+y等于( (A)5 (B)-1
D )
(C)1
(D)-5
3 c c2 3c2 2 2 2 2 a ac c c 0 于是|AE|= [ a ] = = , a ac 2 4 4 2
2 a2 3a 2 a 3 2 a 2 ac c 2 . a 0 |CD|= c = = ac c 4 4 2 2 所以|AE|=|CD|. 2
类型三
|CD|.
坐标法的应用
【例3】 △ABD和△BCE是在直线AC同侧的两个等边三角形,用坐标法证明:|AE|=
证明:如图所示,以 B 点为坐标原点,取 AC 所在的直线为 x 轴,建立平面直角坐标系.设 △ABD 和△BCE 的边长分别为 a 和 c,则 A(-a,0),E(
2
3c 3a c a , ), C(c,0),D(- , ), 2 2 2 2
2
2
= x 2 6 x 25 ,
x 2
2
0 3
2
= x2 4 x 7 ,
由 d(P,A)=d(P,B),即 x 2 6 x 25 = x 2 4 x 7 得 x=-9, 故 P(-9,0),d(P,A)=
9 3 0 4
2
2
(2)建立直角坐标系的一般原则: ①若图中有互相垂直的线段,可选它们所在直线为坐标轴; ②若图形是轴对称图形,则选对称轴为坐标轴; ③若图形是中心对称图形,则选对称中心为原点; ④让图形中尽可能多的点在坐标轴上. 利用坐标法解题的关键是建立适当的直角坐标系.
自我检测
1.已知点 A(-8,-3)与 B(5,-3)关于点 C 对称,则 C 点的坐标为( (A)(
x 1 y 2
2
2 2
2
+
x 1 y 3
2
2 2
2
≥ 29 .
证明:因为
x 1 y 2
+
x 1 y 3
表示动点 P(x,y)
到两定点 A(1,-2),B(Fra bibliotek1,3)的距离之和, 又|AB|= = 29 , 显然|PA|+|PB|≥|AB|,故原不等式成立.
3 ,3) 2 3 ,3) 2
B )
(B)((D)(
3 ,-3) 2
(C)(-
3 ,-3) 2
3 ,-3),故选 B. 2
解析:依题意 C 为线段 AB 的中点,由中点公式得 C 点坐标为(-
2.在 x 轴上有一点 P 到原点及点 A(5,-3)的距离相等,则点 P 的坐标为( (A)(-2,0) (C)(
方法技巧
对于平面几何的有关证明问题,如线段成比例、中点等
等,把几何图形放到坐标系中,利用距离公式证明比较简捷.
变式训练 3-1:已知△ABC 是直角三角形,斜边 BC 的中点为 M,建立适当的直角坐标系, 求证:|AM|=
1 |BC|. 2
证明:如图所示,以 Rt△ABC 的直角边 AB,AC 所在直线为坐标轴,建立平面直角坐标系, 则 A(0,0),设 B,C 两点的坐标分别为(b,0),(0,c).因为点 M 是 BC 的中点, 故点 M 的坐标为(
x2 x1 y2 y1
2
2
.
x1 x2 2
,y=
y1 y2 2
.
【拓展延伸】 坐标法 在解决一些平面上的几何问题时,经常在平面上建立坐标系,以坐标系为桥梁, 将几何问题转化为代数问题,通过代数运算研究几何图形的性质,这种方法称 为坐标法.注意在建立坐标系时,可以建立直线坐标系、直角坐标系等. (1)坐标法解决问题的基本步骤如下: 第一步,根据题中条件,建立适当的坐标系,用坐标表示有关的点; 第二步,进行有关的代数运算; 第三步,把代数运算结果翻译成几何语言.
5 8 7 6
2
所以|AB|+|BC|=|AC|.所以 A,B,C 三点共线.
2
2
42 =2 5 .
答案:2 5
课堂探究·素养提升
类型一 两点的距离公式
【例 1】已知点 A(-3,4),B(-2, 3 ),试在 x 轴上找一点 P,使得 d(P,A)=d(P,B). 并求出 d(P,A).
解:设 P(x,0),由题意得 d(P,A)= d(P,B)=
x 3 0 4
x3 2 y =0, =0, 2 2
解析:因为 AB 的中点为坐标原点,则有 即 x=-3,y=-2,所以 x+y=-5,故选 D.
4.设点P在x轴上,点Q在y轴上,线段PQ的中点是M(-1,2),则d(P,Q)=
.
解析:设 P(x,0),Q(0,y),则 x=-2,y=4, 所以 d(P,Q)=