2020年高考文科数学一轮总复习：平面向量

2020年高考文科数学一轮总复习：平面向量知识点考纲下载了解向量的实际背景.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义，理解向量的几何表示.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义.了解向量线性运算的性质及其几何意义.了解平面向量的基本定理及其意义.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．[注意](1)向量不同于数量，向量不仅有大小，而且还有方向．(2)任意向量a的模都是非负实数，即|a|≥0.2．向量的线性运算交换律：结合律：的相反向量|λ a|＝|λ||a|，当λ>0时，向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa．常用知识拓展1．若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则OP→＝12(OA→＋OB→)．2.OA→＝λOB→＋μOC→(λ，μ为实数)，若点A，B，C共线，则λ＋μ＝1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量．()(2)AB→＋BC→＋CD→＝AD→.()(3)若两个向量共线，则其方向必定相同或相反．()(4)若向量AB →与向量CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上．( ) (5)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .( )(6)当两个非零向量a ，b 共线时，一定有b ＝λa ，反之成立．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)× (6)√ 如图，设P ，Q 两点把线段AB 三等分，则下列向量表达式错误的是( )A.AP →＝13AB →B.AQ →＝23AB →C.BP →＝－23AB →D.AQ →＝BP →解析：选D.由数乘向量的定义可以得到A ，B ，C 都是正确的，只有D 错误． (教材习题改编)如图，▱ABCD 的对角线交于点M ，若AB →＝a ，AD →＝b ，用a ，b 表示MD →为( )A ．12a ＋12bB ．12a －12bC ．－12a －12bD ．－12a ＋12b解析：选D.MD →＝12BD →＝12(b －a )＝－12a ＋12b ，故选D.(教材习题改编)化简：(1)(AB →＋MB →)＋BO →＋OM →＝________． (2)NQ →＋QP →＋MN →－MP →＝________．解析：(1)(AB →＋MB →)＋BO →＋OM →＝(AB →＋BO →)＋(OM →＋MB →)＝AO →＋OB →＝AB →. (2)NQ →＋QP →＋MN →－MP →＝NP →＋PN →＝0. 答案：(1)AB →(2)0已知平面内四点A ，B ，C ，D ，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ的值为________．解析：依题意知点A ，B ，D 三点共线，于是有13＋λ＝1，λ＝23.答案：23平面向量的有关概念(师生共研)给出下列命题：①若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； ②若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－b ；③若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，且AB →＝DC →，则四边形ABCD 为平行四边形； ④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b . 其中真命题的序号是________．【解析】 ①是错误的，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点．②是错误的，|a |＝|b |，但a ，b 方向不确定，所以a ，b 的方向不一定相等或相反． ③是正确的，因为AB →＝DC →，所以|AB →|＝|DC →|且AB →∥DC →；又A ，B ，C ，D 是不共线的四点，所以四边形ABCD 为平行四边形．④是错误的，当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，所以|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件．【答案】 ③平面向量有关概念的四个关注点(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性． (2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的移动混淆．(4)非零向量a 与a |a |的关系：a|a |是与a 同方向的单位向量．给出下列命题：①向量AB →的长度与向量BA →的长度相等；②向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反； ③|a |＋|b |＝|a ＋b |⇔a 与b 方向相同；④若非零向量a 与非零向量b 的方向相同或相反，则a ＋b 与a ，b 之一的方向相同． 其中叙述错误的命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选C.对于②：当a ＝0时，不成立；对于③：当a ，b 之一为零向量时，不成立；对于④：当a ＋b ＝0时，a ＋b 的方向是任意的，它可以与a ，b 的方向都不相同．故选C.平面向量的线性运算(师生共研)(1)(2018·高考全国卷Ⅰ)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB →＝( )A.34AB →－14AC →B.14AB →－34AC →C.34AB →＋14AC → D.14AB →＋34AC → (2)(一题多解)如图，在直角梯形ABCD 中，DC →＝14AB →，BE →＝2EC →，且AE →＝rAB →＋sAD →，则2r ＋3s ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】 (1)法一：如图所示，EB →＝ED →＋DB →＝12AD →＋12CB →＝12×12(AB→＋AC →)＋12(AB →－AC →)＝34AB →－14AC →，故选A.法二：EB →＝AB →－AE →＝AB →－12AD →＝AB →－12×12(AB →＋AC →)＝34AB →－14AC →，故选A.(2)法一：根据图形，由题意可得AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋23BC →＝AB →＋23(BA →＋AD →＋DC →)＝13AB→＋23(AD →＋DC →)＝13AB →＋23(AD →＋14AB →)＝12AB →＋23AD →. 因为AE →＝rAB →＋sAD →，所以r ＝12，s ＝23，则2r ＋3s ＝1＋2＝3.法二：因为BE →＝2EC →，所以AE →－AB →＝2(AC →－AE →)，整理，得AE →＝13AB →＋23AC →＝13AB →＋23(AD →＋DC →)＝12AB →＋23AD →，以下同法一．法三：如图，延长AD ，BC 交于点P ，则由DC →＝14AB →得DC ∥AB ，且AB ＝4DC ，又BE →＝2EC →，所以E 为PB 的中点，且AP →＝43AD →.于是AE →＝12(AB →＋AP →)＝12(AB →＋43AD →)＝12AB →＋23AD →.以下同法一． 【答案】 (1)A (2)C向量线性运算的解题策略(1)向量的加减常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连的向量的和用三角形法则．(2)找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．1．已知O ，A ，B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足2AC →＋CB →＝0，则OC →＝( )A ．2OA →－OB → B ．－OA →＋2OB →C ．23OA →－13OB →D ．－13OA →＋23OB →解析：选A.因为2AC →＋CB →＝0，所以A 为BC 的中点，所以2OA →＝OC →＋OB →，所以OC →＝2OA →－OB →.2．已知D 为三角形ABC 的边BC 的中点，点P 满足P A →＋BP →＋CP →＝0，AP →＝λPD →，则实数λ的值为________．解析：因为D 为边BC 的中点，所以PB →＋PC →＝2PD →， 又P A →＋BP →＋CP →＝0， 所以P A →＝PB →＋PC →＝2PD →，所以AP →＝－2PD →， 所以λ＝－2. 答案：－2平面向量共线定理的应用(典例迁移)设两个非零向量a 与b 不共线．(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，求证：A ，B ，D 三点共线； (2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．【解】 (1)证明：因为AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )， 所以BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝5(a ＋b )＝5AB →， 所以AB →，BD →共线，又它们有公共点B ， 所以A ，B ，D 三点共线． (2)因为k a ＋b 与a ＋k b 共线， 所以存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )， 即(k －λ)a ＝(λk －1)b .又a ，b 是两个不共线的非零向量， 所以k －λ＝λk －1＝0，所以k 2－1＝0， 所以k ＝±1.[迁移探究] (变条件)若将本例(2)中的“共线”改为“反向共线”，则k 为何值？ 解：因为k a ＋b 与a ＋k b 反向共线， 所以存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )(λ<0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧k ＝λ，k λ＝1，所以k ＝±1.又λ<0，k ＝λ，所以k ＝－1. 故当k ＝－1时，两向量反向共线．[提醒] 证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点．1．设e 1，e 2是两个不共线的向量，则向量a ＝2e 1－e 2与向量b ＝e 1＋λe 2(λ∈R )共线的充要条件是( )A ．λ＝0B ．λ＝－1C ．λ＝－2D ．λ＝－12解析：选D.因为a ＝2e 1－e 2，b ＝e 1＋λe 2，e 1，e 2不共线， 由a ，b 共线⇔b ＝12a ⇔b ＝e 1－12e 2⇔λ＝－12.2.如图，一直线EF 与平行四边形ABCD 的两边AB ，AD 分别交于E ，F 两点，且交对角线AC 于点K ，其中AE →＝25AB →，AF →＝12AD →，AK→＝λAC →，则λ的值为( )A.29B.27 C.25D.23解析：选A.因为AE →＝25AB →，AF →＝12AD →，所以AB →＝52AE →，AD →＝2AF →.由向量加法的平行四边形法则可知， AC →＝AB →＋AD →，所以AK →＝λAC →＝λ(AB →＋AD →) ＝λ⎝⎛⎭⎫52AE →＋2AF → ＝52λAE →＋2λAF →， 由E ，F ，K 三点共线，可得52λ＋2λ＝1，所以λ＝29，故选A.[基础题组练]1．向量e 1，e 2，a ，b 在正方形网格中的位置如图所示，则a －b ＝( )A ．－4e 1－2e 2B ．－2e 1－4e 2C ．e 1－3e 2D ．3e 1－e 2解析：选C.结合图形易得，a ＝－e 1－4e 2，b ＝－2e 1－e 2，故a －b ＝e 1－3e 2. 2．在下列选项中，“a ∥b ”的充分不必要条件是( ) A ．a ，b 都是单位向量 B ．|a |＝|b | C ．|a ＋b |＝|a |－|b |D ．存在不全为零的实数λ，μ，使λa ＋μb ＝0解析：选C .a ，b 都是单位向量，但方向可能既不相同，又不相反，故A 错误；|a |＝|b |但方向不定，故B 错误；|a ＋b |＝|a |－|b |，若a ，b 都是非零向量，则a ，b 反向共线，且|a |≥|b |；若a ，b 中恰有一个零向量，则a ≠0，b ＝0；若a ＝b ＝0，则a ，b 也符合|a ＋b |＝|a |－|b |，所以“|a ＋b |＝|a |－|b |”⇒“a ∥b ”，而“a ∥b ” ⇒/ “|a ＋b |＝|a |－|b |”，故C 正确；D 选项中“存在不全为零的实数λ，μ，使λa ＋μb ＝0”⇔“a ∥b ”．3．已知平面内一点P 及△ABC ，若P A →＋PB →＋PC →＝AB →，则点P 与△ABC 的位置关系是( )A ．点P 在线段AB 上 B ．点P 在线段BC 上 C ．点P 在线段AC 上D ．点P 在△ABC 外部解析：选C.由P A →＋PB →＋PC →＝AB →得P A →＋PB →＋PC →＝PB →－P A →，即PC →＝－2P A →，故点P 在线段AC 上．4．(2019·山东临沂模拟)已知a ，b 是不共线的向量，AB →＝λa ＋b ，AC →＝a ＋μb ，λ，μ∈R ，则A ，B ，C 三点共线的充要条件为( )A ．λ＋μ＝2B ．λ－μ＝1C ．λμ＝－1D ．λμ＝1解析：选D.因为A ，B ，C 三点共线，所以AB →∥AC →.设AB →＝mAC →(m ≠0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝m ，1＝mμ，所以λμ＝1，故选D.5．若|AB →|＝8，|AC →|＝5，则|BC →|的取值范围是________．解析：BC →＝AC →－AB →，当AB →，AC →同向时，|BC →|＝8－5＝3；当AB →，AC →反向时，|BC →|＝8＋5＝13；当AB →，AC →不共线时，3<|BC →|<13.综上可知3≤|BC →|≤13.答案：[3，13]6．已知▱ABCD 的对角线AC 和BD 相交于O ，且OA →＝a ，OB →＝b ，则DC →＝________，BC →＝________(用a ，b 表示)．解析：如图，DC →＝AB →＝OB →－OA →＝b －a ，BC →＝OC →－OB →＝－OA →－OB →＝－a －b .答案：b －a －a －b7．已知D ，E ，F 分别为△ABC 的边BC ，CA ，AB 的中点，且BC →＝a ，CA →＝b ，给出下列命题：①AD →＝12a －b ；②BE →＝a ＋12b ；③CF →＝－12a ＋12b ；④AD →＋BE →＋CF →＝0.其中正确命题的个数为________．解析：BC →＝a ，CA →＝b ，AD →＝12CB →＋AC →＝－12a －b ，故①错；BE →＝BC →＋12CA →＝a ＋12b ，故②正确；CF →＝12(CB →＋CA →)＝12(－a ＋b )＝－12a ＋12b ，故③正确；所以AD →＋BE →＋CF →＝－b －12a ＋a ＋12b ＋12b －12a ＝0.故④正确．所以正确命题的序号为②③④. 答案：38．如图，EF 是等腰梯形ABCD 的中位线，M ，N 是EF 上的两个三等分点，若AB →＝a ，BC →＝b ，AB →＝2DC →.(1)用a ，b 表示AM →； (2)证明A ，M ，C 三点共线．解：(1)AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝a ＋b ＋⎝⎛⎭⎫－12a ＝12a ＋b ， 又E 为AD 中点， 所以AE →＝12AD →＝14a ＋12b ，因为EF 是梯形的中位线，且AB →＝2DC →， 所以EF →＝12(AB →＋DC →)＝12⎝⎛⎭⎫a ＋12a ＝34a ， 又M ，N 是EF 的三等分点，所以EM →＝13EF →＝14a ，所以AM →＝AE →＋EM →＝14a ＋12b ＋14a＝12a ＋12b .(2)证明：由(1)知MF →＝23EF →＝12a ，所以MC →＝MF →＋FC →＝12a ＋12b ＝AM →，又MC →与AM →有公共点M ，所以A ，M ，C 三点共线．[综合题组练]1．(2019·广州市综合测试(一))设P 是△ABC 所在平面内的一点，且CP →＝2P A →，则△P AB 与△PBC 的面积的比值是( )A.13B.12C.23D.34解析：选B.因为CP →＝2P A →，所以|CP →||P A →|＝21，又△P AB 在边P A 上的高与△PBC 在边PC 上的高相等，所以S △P AB S △PBC ＝|P A →||CP →|＝12.2.如图，A ，B 分别是射线OM ，ON 上的点，给出下列向量：①OA →＋2OB →；②12OA →＋13OB →；③34OA →＋13OB →；④34OA →＋15OB →；⑤34OA →－15OB →.若这些向量均以O 为起点，则终点落在阴影区域内(包括边界)的有( )A ．①②B ．②④C ．①③D ．③⑤解析：选B.在ON 上取点C ，使得OC ＝2OB ，以OA ，OC 为邻边作平行四边形OCDA ，则OD →＝OA →＋2OB →，其终点不在阴影区域内，排除A ，C ；取OA 上一点E ，作AE ＝14OA ，作EF ∥OB ，交AB 于点F ，则EF ＝14OB ，由于EF <13OB ，所以34OA →＋13OB →的终点不在阴影区域内，排除选项D ，故选B.3．在直角梯形ABCD 中，∠A ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝23，BC ＝2，点E 在线段CD 上，若AE →＝AD →＋μAB →，则μ的取值范围是________．解析：由题意可求得AD ＝1，CD ＝3， 所以AB →＝2DC →.因为点E 在线段CD 上， 所以DE →＝λDC →(0≤λ≤1)．因为AE →＝AD →＋DE →，又AE →＝AD →＋μAB →＝AD →＋2μDC →＝AD →＋2μλDE →，所以2μλ＝1，即μ＝λ2.因为0≤λ≤1，所以0≤μ≤12.答案：⎣⎡⎦⎤0，12 4．已知A 1，A 2，A 3为平面上三个不共线的定点，平面上点M 满足A 1M →＝λ(A 1A 2→＋A 1A 3→)(λ是实数)，且MA 1→＋MA 2→＋MA 3→是单位向量，则这样的点M 有________个．解析：由题意得，MA 1→＝－λ(A 1A 2→＋A 1A 3→)，MA 2→＝MA 1→＋A 1A 2→，MA 3→＝MA 1→＋A 1A 3→，所以MA 1→＋MA 2→＋MA 3→＝(1－3λ)·(A 1A 2→＋A 1A 3→)，设D 为A 2A 3的中点，则(1－3λ)·(A 1A 2→＋A 1A 3→)与A 1D →为共起点且共线的一个向量，显然直线A 1D 与以A 1为圆心的单位圆有两个交点，故这样的点M 有2个，即符合题意的点M 有2个．答案：2第2讲 平面向量基本定理及坐标表示1．平面向量基本定理(1)定理：如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2．(2)基底：不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 2．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标； ②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →| 3．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0．[提醒] 当且仅当x 2y 2≠0时，a ∥b 与x 1x 2＝y 1y 2等价．即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．( ) (2)在△ABC 中，向量AB →，BC →的夹角为∠ABC .( ) (3)同一向量在不同基底下的表示是相同的．( )(4)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件可表示成x 1x 2＝y 1y 2.( )(5)若a ，b 不共线，且λ1a ＋μ1b ＝λ2a ＋μ2b ，则λ1＝λ2 ，μ1＝μ2.( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√(教材习题改编)如果向量a ＝(1，2)，b ＝(4，3)，那么a －2b ＝( ) A ．(9，8) B ．(－7，－4) C ．(7，4)D ．(－9，－8)解析：选B.a －2b ＝(1，2)－(8，6)＝(－7，－4)，故选B.已知点A (0，1)，B (3，2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC →＝( ) A ．(－7，－4) B ．(7，4) C ．(－1，4)D ．(1，4)解析：选A.法一：设C (x ，y )， 则AC →＝(x ，y －1)＝(－4，－3)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝－2，从而BC →＝(－4，－2)－(3，2)＝(－7，－4)．故选A. 法二：AB →＝(3，2)－(0，1)＝(3，1)，BC →＝AC →－AB →＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4)． 故选A.(教材习题改编)已知A (－2，－3)，B (2，1)，C (1，4)，D (－7，t )，若AB →与CD →共线，则t ＝________．解析：AB →＝(2，1)－(－2，－3)＝(4，4)， CD →＝(－7，t )－(1，4)＝(－8，t －4)． 因为AB →与CD →共线，所以4(t －4)－4×(－8)＝0. 即4t ＋16＝0，所以t ＝－4. 答案：－4在▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，AN →＝3NC →，M 为BC 的中点，则MN →＝________(用a ，b 表示)．解析：因为AN →＝3NC →，所以AN →＝34AC →＝34(a ＋b )，又因为AM →＝a ＋12b ，所以MN →＝34(a ＋b )－⎝⎛⎭⎫a ＋12b ＝－14a ＋14b . 答案：－14a ＋14b平面向量基本定理及其应用(典例迁移)(1)在△ABC 中，点D ，E 分别在边BC ，AC 上，且BD →＝2DC →，CE →＝3EA →，若AB →＝a ，AC →＝b ，则DE →＝( )A ．13a ＋512bB ．13a －1312bC ．－13a －512bD ．－13a ＋1312b(2)在△ABC 中，点P 是AB 上一点，且CP →＝23CA →＋13CB →，Q 是BC 的中点，AQ 与CP的交点为M ，又CM →＝tCP →，则实数t 的值为________．【解析】 (1)DE →＝DC →＋CE →＝13BC →＋34CA → ＝13(AC →－AB →)－34AC → ＝－13AB →－512AC →＝－13a －512b .(2)因为CP →＝23CA →＋13CB →，所以3CP →＝2CA →＋CB →，即2CP →－2CA →＝CB →－CP →， 所以2AP →＝PB →.即P 为AB 的一个三等分点(靠近A 点)， 又因为A ，M ，Q 三点共线，设AM →＝λAQ →. 所以CM →＝AM →－AC →＝λAQ →－AC →＝λ⎝⎛⎭⎫12AB →＋12AC →－AC →＝λ2AB →＋λ－22AC →， 又CM →＝tCP →＝t (AP →－AC →)＝t ⎝⎛⎭⎫13AB →－AC → ＝t 3AB →－tAC →. 故⎩⎨⎧λ2＝t 3，λ－22＝－t ，解得⎩⎨⎧t ＝34，λ＝12.故t 的值是34.【答案】 (1)C (2)34[迁移探究1] (变问法)在本例(2)中，试用向量AB →，AC →表示CP →. 解：因为CP →＝23CA →＋13CB →，所以3CP →＝2CA →＋CB →，所以2CP →－2CA →＝CB →－CP →， 即2AP →＝PB →，所以AP →＝13AB →，CP →＝AP →－AC →＝13AB →－AC →.[迁移探究2] (变问法)在本例(2)中，试问点M 在AQ 的什么位置？解：由本例(2)的解析CM →＝λ2AB →＋λ－22AC →及λ＝12，CB →＝2CQ →知，CM →＝12λ(CB →－CA →)＋2－λ2CA →＝λ2CB →＋(1－λ)CA → ＝λCQ →＋(1－λ)CA →＝CQ →＋CA →2.因此点M 是AQ 的中点．平面向量基本定理应用的实质和一般思路(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．[注意] 在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理．1．在△ABC 中，P ，Q 分别是AB ，BC 的三等分点，且AP ＝13AB ，BQ ＝13BC ，若AB →＝a ，AC →＝b ，则PQ →＝( )A ．13a ＋13bB ．－13a ＋13bC ．13a －13bD ．－13a －13b解析：选A.由题意知PQ →＝PB →＋BQ →＝23AB →＋13BC →＝23AB →＋13(AC →－AB →)＝13AB →＋13AC →＝13a ＋13b ，故选A.2．已知点A ，B 为单位圆O 上的两点，点P 为单位圆O 所在平面内的一点，且OA →与OB →不共线．(1)在△OAB 中，点P 在AB 上，且AP →＝2PB →，若AP →＝rOB →＋sOA →，求r ＋s 的值； (2)已知点P 满足OP →＝mOA →＋OB →(m 为常数)，若四边形OABP 为平行四边形，求m 的值． 解：(1)因为AP →＝2PB →，所以AP →＝23AB →，所以AP →＝23(OB →－OA →)＝23OB →－23OA →，又因为AP →＝rOB →＋sOA →， 所以r ＝23，s ＝－23，所以r ＋s ＝0.(2)因为四边形OABP 为平行四边形， 所以OB →＝OP →＋OA →， 又因为OP →＝mOA →＋OB →， 所以OB →＝OB →＋(m ＋1)OA →，依题意OA →，OB →是非零向量且不共线， 所以m ＋1＝0，解得m ＝－1.平面向量的坐标运算(师生共研)已知A (－2，4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，且CM →＝3c ，CN →＝－2b .(1)求3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ； (3)求M 、N 的坐标及向量MN →的坐标．【解】 由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1，8)． (1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8) ＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)因为m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )，所以⎩⎪⎨⎪⎧－6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－1. (3)设O 为坐标原点，因为CM →＝OM →－OC →＝3c ， 所以OM →＝3c ＋OC →＝(3，24)＋(－3，－4)＝(0，20)． 所以M (0，20)．又因为CN →＝ON →－OC →＝－2b ， 所以ON →＝－2b ＋OC →＝(12，6)＋(－3，－4)＝(9，2)， 所以N (9，2)．所以MN →＝(9，－18)．向量坐标运算问题的一般思路(1)向量问题坐标化：向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，通过建立平面直角坐标系，使几何问题转化为数量运算．(2)巧借方程思想求坐标：向量的坐标运算主要是利用加法、减法、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，求解过程中要注意方程思想的运用．1．若向量a ＝(2，1)，b ＝(－1，2)，c ＝⎝⎛⎭⎫0，52，则c 可用向量a ，b 表示为( ) A ．c ＝12a ＋bB ．c ＝－12a －bC ．c ＝32a ＋12bD ．c ＝32a －12b解析：选A.设c ＝x a ＋y b ，则⎝⎛⎭⎫0，52＝(2x －y ，x ＋2y )，所以⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝0，x ＋2y ＝52，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝1，则c ＝12a ＋b . 2．已知四边形ABCD 的三个顶点A (0，2)，B (－1，－2)，C (3，1)，且BC →＝2AD →，则顶点D 的坐标为( )A ．⎝⎛⎭⎫2，72B ．⎝⎛⎭⎫2，－12 C ．(3，2)D ．(1，3)解析：选A.设D (x ，y )，AD →＝(x ，y －2)，BC →＝(4，3)，又BC →＝2AD →，所以⎩⎪⎨⎪⎧4＝2x ，3＝2（y －2），所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝72，故选A.平面向量共线的坐标表示(多维探究) 角度一 利用向量共线求向量或点的坐标已知梯形ABCD ，其中AB ∥CD ，且DC ＝2AB ，三个顶点A (1，2)，B (2，1)，C (4，2)，则点D 的坐标为________．【解析】 因为在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，DC ＝2AB ，所以DC →＝2AB →.设点D 的坐标为(x ，y )，则DC →＝(4，2)－(x ，y )＝(4－x ，2－y )，AB →＝(2，1)－(1，2)＝(1，－1)，所以(4－x ，2－y )＝2(1，－1)，即(4－x ，2－y )＝(2，－2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧4－x ＝2，2－y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，故点D 的坐标为(2，4)．【答案】 (2，4)角度二 利用两向量共线求参数已知向量OA →＝(k ，12)，OB →＝(4，5)，OC →＝(－k ，10)，且A ，B ，C 三点共线，则k 的值是( )A ．－23B ．43C ．12D ．13【解析】 AB →＝OB →－OA →＝(4－k ，－7)， AC →＝OC →－OA →＝(－2k ，－2)．因为A ，B ，C 三点共线，所以AB →，AC →共线， 所以－2×(4－k )＝－7×(－2k )，解得k ＝－23.【答案】 A(1)向量共线的两种表示形式设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，①a ∥b ⇒a ＝λb (b ≠0)；②a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0，至于使用哪种形式，应视题目的具体条件而定，一般情况涉及坐标的应用②.(2)两向量共线的充要条件的作用判断两向量是否共线(平行)，可解决三点共线的问题；另外，利用两向量共线的充要条件可以列出方程(组)，求出未知数的值．1．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(－3，2)，若(k a ＋b )∥(a －3b )，则实数k 的取值为( ) A ．－13B ．13C ．－3D ．3解析：选A.k a ＋b ＝k (1，2)＋(－3，2)＝(k －3，2k ＋2)． a －3b ＝(1，2)－3(－3，2)＝(10，－4)， 则由(k a ＋b )∥(a －3b )得，(k －3)×(－4)－10×(2k ＋2)＝0，所以k ＝－13.2．已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫sin A ，12与向量n ＝(3，sin A ＋3cos A )共线，其中A 是△ABC 的内角，则角A 的大小为( )A.π6 B.π4 C.π3D.π2解析：选C.因为m ∥n ，所以sin A (sin A ＋3cos A )－32＝0，所以2sin 2A ＋23sin A cos A ＝3. 可化为1－cos 2A ＋3sin 2A ＝3， 所以sin ⎝⎛⎭⎫2A －π6＝1， 因为A ∈(0，π)，所以⎝⎛⎭⎫2A －π6∈⎝⎛⎭⎫－π6，11π6.因此2A －π6＝π2，解得A ＝π3.坐标法解决平面向量的线性运算如图2，“六芒星”是由两个全等正三角形组成，中心重合于点O 且三组对边分别平行．点A ，B 是“六芒星”(如图1)的两个顶点，动点P 在“六芒星”上(内部以及边界)，若OP →＝xOA →＋yOB →，则x ＋y 的取值范围是( )A ．[－4，4]B ．[－21，21]C ．[－5，5]D ．[－6，6]【解析】 如图建立平面直角坐标系，令正三角形边长为3，则OB →＝i ，OA →＝－32i ＋32j ，可得i ＝OB →，j ＝233OA →＋3OB →，由图知当P 在C 点时有，OP →＝3j ＝2OA →＋3OB →，此时x ＋y 有最大值5，同理点P 在与C 相对的下顶点时有OP →＝－3j ＝－2OA →－3OB →，此时x ＋y 有最小值－5.【答案】 C解决几何图形问题时，可以先建立适当的坐标系将图形坐标化，再运用数学运算解决相关问题．在平面向量中，向量的坐标运算就是这一思想的具体应用．如图，在正方形ABCD 中，M ，N 分别是BC ，CD 的中点，若AC →＝λAM →＋μBN →，则λ＋μ＝________．解析：法一：以AB ，AD 所在直线分别为x 轴，y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示，设正方形的边长为1，则AM →＝⎝⎛⎭⎫1，12，BN →＝⎝⎛⎭⎫－12，1，AC →＝(1，1)．因为AC →＝λAM →＋μBN →＝⎝⎛⎭⎫λ－μ2，λ2＋μ，所以⎩⎨⎧λ－μ2＝1，λ2＋μ＝1，解得⎩⎨⎧λ＝65，μ＝25，所以λ＋μ＝85.法二：由AM →＝AB →＋12AD →，BN →＝－12AB →＋AD →，得AC →＝λAM →＋μBN →＝⎝⎛⎭⎫λ－μ2AB →＋⎝⎛⎭⎫λ2＋μAD →，又AC →＝AB →＋AD →，所以⎩⎨⎧λ－μ2＝1，λ2＋μ＝1，解得⎩⎨⎧λ＝65，μ＝25.所以λ＋μ＝85.答案：85[基础题组练]1．已知e 1＝(2，1)，e 2＝(1，3)，a ＝(－1，2)．若a ＝λ1e 1＋λ2e 2，则实数对(λ1，λ2)为( ) A ．(1，1) B ．(－1，1) C ．(－1，－1)D ．(1，－1)解析：选B.因为e 1＝(2，1)，e 2＝(1，3)，所以a ＝λ1e 1＋λ2e 2＝λ1(2，1)＋λ2(1，3)＝(2λ1＋λ2，λ1＋3λ2)．又因为a ＝(－1，2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧2λ1＋λ2＝－1，λ1＋3λ2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝－1，λ2＝1.故选B.2.已知向量AC →，AD →和AB →在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，若AC →＝λAB →＋μAD →，则λ＋μ等于( )A ．2B ．－2C ．3D ．－3解析：选A.如图所示，建立平面直角坐标系，则AD →＝(1，0)，AC →＝(2，－2)，AB →＝(1，2)．因为AC →＝λAB →＋μAD →，所以(2，－2)＝λ(1，2)＋μ(1，0)＝(λ＋μ，2λ)，所以⎩⎪⎨⎪⎧2＝λ＋μ，－2＝2λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，μ＝3，所以λ＋μ＝2.故选A.3．已知OB 是平行四边形OABC 的一条对角线，O 为坐标原点，OA →＝(2，4)，OB →＝(1，3)，若点E 满足OC →＝3EC →，则点E 的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫－23，－23B.⎝⎛⎭⎫－13，－13 C.⎝⎛⎭⎫13，13D.⎝⎛⎭⎫23，23解析：选A.易知OC →＝OB →－OA →＝(－1，－1)，则C (－1，－1)，设E (x ，y )，则3EC →＝3(－1－x ，－1－y )＝(－3－3x ，－3－3y )，由OC →＝3EC →知⎩⎪⎨⎪⎧－3－3x ＝－1，－3－3y ＝－1，所以⎩⎨⎧x ＝－23，y ＝－23，所以E ⎝⎛⎭⎫－23，－23. 4．(2019·河北衡水中学2月调研)一直线l 与平行四边形ABCD 中的两边AB ，AD 分别交于点E ，F ，且交其对角线AC 于点M ，若AB →＝2AE →，AD →＝3AF →，AM →＝λAB →－μAC →(λ，μ∈R )，则52μ－λ＝( )A ．－12B ．1C ．32D ．－3解析：选A.AM →＝λAB →－μAC →＝λAB →－μ(AB →＋AD →)＝(λ－μ)AB →－μAD →＝2(λ－μ)AE →－3μAF →，因为E ，M ，F 三点共线，所以2(λ－μ)＋(－3μ)＝1，即2λ－5μ＝1，所以52μ－λ＝－12，故选A.5．(2018·高考全国卷Ⅲ)已知向量a ＝(1，2)，b ＝(2，－2)，c ＝(1，λ)，若c ∥(2a ＋b )，则λ＝________．解析：由题意得2a ＋b ＝(4，2)，因为c ∥(2a ＋b )，c ＝(1，λ)，所以4λ＝2，得λ＝12.答案：126．已知点A (2，3)，B (4，5)，C (7，10)，若AP →＝AB →＋λAC →(λ∈R )，且点P 在直线x －2y ＝0上，则λ的值为________．解析：设P (x ，y )，则由AP →＝AB →＋λAC →，得(x －2，y －3)＝(2，2)＋λ(5，7)＝(2＋5λ，2＋7λ)，所以x ＝5λ＋4，y ＝7λ＋5.又点P 在直线x －2y ＝0上，故5λ＋4－2(7λ＋5)＝0，解得λ＝－23.答案：－237．已知在△ABC 中，点O 满足OA →＋OB →＋OC →＝0，点P 是OC 上异于端点的任意一点，且OP →＝mOA →＋nOB →，则m ＋n 的取值范围是________．解析：依题意，设OP →＝λOC →(0<λ<1)， 由OA →＋OB →＋OC →＝0知OC →＝－(OA →＋OB →)， 所以OP →＝－λOA →－λOB →，由平面向量定理可知，m ＋n ＝－2λ， 所以m ＋n ∈(－2，0)． 答案：(－2，0)8．已知a ＝(1，0)，b ＝(2，1)． (1)当k 为何值时，k a －b 与a ＋2b 共线？(2)若AB →＝2a ＋3b ，BC →＝a ＋m b 且A 、B 、C 三点共线，求m 的值． 解：(1)k a －b ＝k (1，0)－(2，1)＝(k －2，－1)， a ＋2b ＝(1，0)＋2(2，1)＝(5，2)．因为k a －b 与a ＋2b 共线，所以2(k －2)－(－1)×5＝0， 即2k －4＋5＝0，得k ＝－12.(2)法一：因为A 、B 、C 三点共线， 所以AB →＝λBC →，即2a ＋3b ＝λ(a ＋m b )，所以⎩⎪⎨⎪⎧2＝λ3＝mλ，解得m ＝32.法二：AB →＝2a ＋3b ＝2(1，0)＋3(2，1)＝(8，3)， BC →＝a ＋m b ＝(1，0)＋m (2，1)＝(2m ＋1，m )． 因为A 、B 、C 三点共线，所以AB →∥BC →.所以8m －3(2m ＋1)＝0， 即2m －3＝0，所以m ＝32.[综合题组练]1．若α，β是一组基底，向量γ＝x α＋y β(x ，y ∈R )，则称(x ，y )为向量γ在基底α，β下的坐标，现已知向量a 在基底p ＝(1，－1)，q ＝(2，1)下的坐标为(－2，2)，则a 在另一组基底m ＝(－1，1)，n ＝(1，2)下的坐标为( )A ．(2，0)B ．(0，－2)C ．(－2，0)D ．(0，2)解析：选D.因为a 在基底p ，q 下的坐标为(－2，2)， 即a ＝－2p ＋2q ＝(2，4)， 令a ＝x m ＋y n ＝(－x ＋y ，x ＋2y )，所以⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝2，x ＋2y ＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.所以a 在基底m ，n 下的坐标为(0，2)．2.如图，在△ABC 中，AD →＝23AC →，BP →＝13BD →，若AP →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ的值为( )A.89 B.49 C.83D.43解析：选A.因为AP →＝AB →＋BP →，BP →＝13BD →，所以AP →＝AB →＋13BD →，因为BD →＝AD →－AB →，AD →＝23AC →，所以BD →＝23AC →－AB →，所以AP →＝AB →＋13BD →＝AB →＋13⎝⎛⎭⎫23AC →－AB →＝23AB →＋29AC →， 因为AP →＝λAB →＋μAC →， 所以λ＝23，μ＝29，则λ＋μ＝23＋29＝89.3．设OA →＝(－2，4)，OB →＝(－a ，2)，OC →＝(b ，0)，a >0，b >0，O 为坐标原点，若A ，B ，C 三点共线，则1a ＋1b的最小值为________．解析：由已知得AB →＝(－a ＋2，－2)，AC →＝(b ＋2，－4)， 因为A ，B ，C 三点共线，所以(－a ＋2，－2)＝λ(b ＋2，－4)，即⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋2＝λ（b ＋2），－2＝－4λ，整理得2a ＋b ＝2， 所以1a ＋1b ＝12(2a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝12⎝⎛⎭⎫3＋2a b ＋b a ≥12⎝⎛⎭⎫3＋22a b ·b a ＝32＋2(当且仅当a ＝2－2，b ＝22－2时等号成立)． 答案：32＋ 24．给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为2π3.如图所示，点C 在以O为圆心的圆弧AB ︵上运动．若OC →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，则x ＋y 的最大值为________．解析：以O 为坐标原点，OA →所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A (1，0)，B ⎝⎛⎭⎫－12，32，设∠AOC ＝α⎝⎛⎭⎫α∈⎣⎡⎦⎤0，2π3，则C (cos α，sin α)，由OC →＝xOA →＋yOB →，得⎩⎨⎧cos α＝x －12y ，sin α＝32y ，所以x ＝cos α＋33sin α，y ＝233sin α， 所以x ＋y ＝cos α＋3sin α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6，又α∈⎣⎡⎦⎤0，2π3，所以α＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，5π6，所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6∈⎣⎡⎦⎤12，1，故x ＋y 的最大值为2. 答案：2第3讲 平面向量的数量积及应用举例1．平面向量的数量积2．向量的夹角＝设则0(1)a·b ＝b·a .(2)(λa )·b ＝λ(a·b )＝a ·(λb )． (3)(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c .4．平面向量数量积的坐标运算及有关结论已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ，a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量．( )(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．( ) (3)由a ·b ＝0可得a ＝0或b ＝0.( ) (4)(a ·b )c ＝a (b ·c )．( )(5)两个向量的夹角的范围是⎣⎡⎦⎤0，π2.( )(6)若a ·b >0，则a 和b 的夹角为锐角；若a ·b <0，则a 和b 的夹角为钝角．( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)× (6)×(2018·高考全国卷Ⅱ)已知向量a ，b 满足|a|＝1，a·b ＝－1，则a·(2a －b )＝( ) A ．4 B ．3 C ．2D ．0解析：选B.a ·(2a －b )＝2a 2－a ·b ＝2－(－1)＝3，故选B.已知a ·b ＝－122，|a |＝4，a 和b 的夹角为135°，则|b |为( ) A ．12 B ．6 C ．3 3D ．3解析：选B.a ·b ＝|a ||b |cos 135°＝－122，所以|b |＝－1224×⎝⎛⎭⎫－22＝6.(2018·高考北京卷)设向量a ＝(1，0)，b ＝(－1，m )．若a ⊥(m a －b )，则m ＝____________． 解析：由题意得，m a －b ＝(m ＋1，－m )，根据向量垂直的充要条件可得1×(m ＋1)＋0×(－m )＝0，所以m ＝－1.答案：－1已知向量a ，b 满足(a ＋2b )·(5a －4b )＝0，且|a |＝|b |＝1，则a 与b 的夹角θ为________． 解析：因为(a ＋2b )·(5a －4b )＝0，|a |＝|b |＝1，所以6a ·b －8＋5＝0，即a ·b ＝12.又a ·b ＝|a ||b |cos θ＝cos θ，所以cos θ＝12.因为θ∈[0，π]，所以θ＝π3.答案：π3平面向量数量积的运算(师生共研)(1)(2019·河南漯河高级中学模拟)已知向量a ＝(－2，m )，b ＝(1，2)，若向量a 在向量b 方向上的投影为2，则实数m ＝( )A ．－4B ．－6C ．4D.5＋1(2)(一题多解)(2018·高考天津卷)在如图的平面图形中，已知OM ＝1，ON ＝2，∠MON ＝120°，BM →＝2MA →，CN →＝2NA →，则BC →·OM →的值为( )A ．－15B ．－9C ．－6D ．0【解析】 (1)由题意可得a ·b ＝－2＋2m ，且|b |＝12＋22＝5，则向量a 在向量b 方向上的投影为a ·b |b |＝－2＋2m 5＝2，解得m ＝5＋1.故选D.(2)法一：连接OA .因为BC →＝AC →－AB →＝3AN →－3AM →＝3(ON →－OA →)－3(OM →－OA →)＝3(ON →－OM →)，所以BC →·OM →＝3(ON →－OM →)·OM →＝3(ON →·OM →－|OM →|2)＝3×(2×1×cos 120°－12)＝3×(－2)＝－6.故选C.法二：在△ABC 中，不妨设∠A ＝90°，取特殊情况ON ⊥AC ，以A 为坐标原点，AB ，AC 所在直线分别为x 轴，y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，因为∠MON ＝120°，ON ＝2，OM ＝1， 所以O ⎝⎛⎭⎫2，32，C ⎝⎛⎭⎫0，332，M ⎝⎛⎭⎫52，0，B ⎝⎛⎭⎫152，0. 故BC →·OM →＝⎝⎛⎭⎫－152，332·⎝⎛⎭⎫12，－32＝－154－94＝－6.故选C.法三：如图，连接MN .因为BM →＝2MA →，CN →＝2NA →， 所以AM AB ＝13＝AN AC ，所以MN ∥BC ，且MN BC ＝13，所以BC →＝3MN →＝3(ON →－OM →)， 所以BC →·OM →＝3(ON →·OM →－OM →2) ＝3(2×1×cos 120°－12)＝－6.故选C. 【答案】 (1)D (2)C计算向量数量积的三个方法(1)定义法：已知向量的模与夹角时，可直接使用数量积的定义求解，即a ·b ＝|a ||b |cos θ(θ是a 与b 的夹角)．(2)基向量法：计算由基底表示的向量的数量积时，应用相应运算律，最终转化为基向量的数量积，进而求解．(3)坐标法：若向量选择坐标形式，则向量的数量积可应用坐标的运算形式进行求解．1．设向量a ＝(－1，2)，b ＝(m ，1)，如果向量a ＋2b 与2a －b 平行，那么a 与b 的数量积等于( )A ．－72B ．－12C ．32D ．52解析：选D.a ＋2b ＝(－1＋2m ，4)，2a －b ＝(－2－m ，3)，由题意得3(－1＋2m )－4(－2－m )＝0，则m ＝－12，所以a ·b ＝－1×⎝⎛⎭⎫－12＋2×1＝52. 2．(一题多解)(2019·云南省第一次统一检测)在▱ABCD 中，|AB →|＝8，|AD →|＝6，N 为DC的中点，BM →＝2MC →，则AM →·NM →＝( )A ．48B ．36C ．24D ．12解析：选C.法一：AM →·NM →＝(AB →＋BM →)·(NC →＋CM →)＝⎝⎛⎭⎫AB →＋23AD →·⎝⎛⎭⎫12AB →－13AD →＝12AB →2－29AD →2＝12×82－29×62＝24. 法二(特例图形)：若▱ABCD 为矩形，建立如图所示坐标系，则N (4，6)，M (8，4)．所以AM →＝(8，4)，NM →＝(4，－2)， 所以AM →·NM →＝(8，4)·(4，－2)＝32－8＝24.3．已知锐角三角形ABC ，|AB →|＝|AC →|＝2，BD →＝2CD →，则AD →·BC →的取值范围是________． 解析：因为BD →＝2CD →，所以AD →－AB →＝2(AD →－AC →)，则AD →＝2AC →－AB →， 于是AD →·BC →＝(2AC →－AB →)·(AC →－AB →)＝2AC →2＋AB →2－3AC →·AB →，即AD →·BC →＝2×4＋4－3×4cos θ＝12(1－cos θ)(θ为AB →，AC →的夹角)， 因为△ABC 是锐角三角形，所以θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，于是12(1－cos θ)∈(0，12)，即AD →·BC →的取值范围是(0，12)． 答案：(0，12)平面向量数量积的应用(多维探究) 角度一 求两平面向量的夹角(1)设向量a ＝(3，1)，b ＝(x ，－3)，且a ⊥b ，则向量a －b 与a 的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°(2)(2019·成都市第二次诊断性检测)已知平面向量a ，b 的夹角为π3，且|a |＝1，|b |＝12，则a ＋2b 与b 的夹角是( )A.π6B.5π6C.π4D.3π4【解析】 (1)因为向量a ＝(3，1)，b ＝(x ，－3)，且a ⊥b ， 所以3x －3＝0，解得x ＝3，所以a －b ＝(3，1)－(3，－3)＝(0，4)， 所以|a －b |＝4.又|a |＝2，所以(a －b )·a ＝|a |2＝4， 设向量a －b 与a 的夹角为θ， 则cos θ＝（a －b ）·a |a －b ||a |＝44×2＝12.因为0°≤θ≤180°，所以θ＝60°.故选B.(2)因为|a ＋2b |2＝|a |2＋4|b |2＋4a ·b ＝1＋1＋4×1×12×cos π3＝3，所以|a ＋2b |＝3，又(a＋2b )·b ＝a ·b ＋2|b |2＝1×12×cos π3＋2×14＝14＋12＝34，所以cos 〈a ＋2b ，b 〉＝（a ＋2b ）·b |a ＋2b ||b |＝343×12＝32， 又〈a ＋2b ，b 〉∈[0，π]， 所以a ＋2b 与b 的夹角为π6.【答案】 (1)B (2)A 角度二 求平面向量的模已知平面向量a ，b 的夹角为π6，且|a |＝3，|b |＝2，在△ABC 中，AB →＝2a ＋2b ，AC →＝2a －6b ，D 为BC 中点，则|AD →|等于( )A ．2B ．4C ．6D ．8【解析】 因为AD →＝12(AB →＋AC →)＝12(2a ＋2b ＋2a －6b )＝2a －2b ，所以|AD →|2＝4(a －b )2＝4(a 2－2b ·a ＋b 2)＝4×⎝⎛⎭⎫3－2×2×3×cos π6＋4＝4，则|AD →|＝2.【答案】 A角度三 两平面向量垂直问题已知向量AB →与AC →的夹角为120°，且|AB →|＝3，|AC →|＝2.若AP →＝λAB →＋AC →，且AP→⊥BC →，则实数λ的值为________．【解析】 因为AP →⊥BC →，所以AP →·BC →＝0. 又AP →＝λAB →＋AC →，BC →＝AC →－AB →， 所以(λAB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝0， 即(λ－1)AC →·AB →－λAB →2＋AC →2＝0， 所以(λ－1)|AC →||AB →|cos 120°－9λ＋4＝0. 所以(λ－1)×3×2×(－12)－9λ＋4＝0.解得λ＝712.【答案】712平面向量数量积求解问题的策略(1)求两向量的夹角：cos θ＝a ·b|a ||b |，要注意θ∈[0，π]．(2)两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是：a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔|a －b |＝|a ＋b |. (3)求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有： ①a 2＝a ·a ＝|a |2或|a |＝a ·a ；②|a ±b |＝（a ±b ）2＝a 2±2a ·b ＋b 2； ③若a ＝(x ，y )，则|a |＝x 2＋y 2.1．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，a －b ＝(3，2)，则|a ＋2b |＝( ) A ．2 2 B ．2 5 C.17D.15解析：选C.因为a －b ＝(3，2)，所以|a －b |＝5，所以|a －b |2＝|a |2－2a ·b ＋|b |2＝5－2a ·b ＝5，则a ·b ＝0，所以|a ＋2b |2＝|a |2＋4a ·b ＋4|b |2＝17，所以|a ＋2b |＝17.故选C.2．已知在四边形ABCD 中，AB →＋CD →＝0，(AB →－AD →)·AC →＝0，则四边形ABCD 是( ) A ．矩形 B ．正方形 C ．菱形D ．梯形解析：选C.因为AB →＋CD →＝0，所以AB →＝－CD →＝DC →，所以四边形ABCD 是平行四边形．又(AB →－AD →)·AC →＝DB →·AC →＝0，所以四边形的对角线互相垂直，所以四边形ABCD 是菱形．3．(一题多解)(2019·益阳、湘潭调研)已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，a ＋b ＝(1，3)，记向量a ，b 的夹角为θ，则tan θ＝________．解析：法一：因为|a |＝1，|b |＝2，a ＋b ＝(1，3)，所以(a ＋b )2＝|a |2＋|b |2＋2a ·b ＝5＋2a ·b ＝1＋3，所以a ·b ＝－12，所以cos θ＝a ·b |a |·|b |＝－14，又θ∈[0，π]，所以sin θ＝1－⎝⎛⎭⎫－142＝154，所以tan θ＝sin θcos θ＝－15. 法二：因为a ＋b ＝(1，3)，所以|a ＋b |＝1＋3＝2，记OA →＝a ，AB →＝b ，则OB →＝a ＋b ，由题意知|AB →|＝|OB →|＝2，|OA →|＝1，θ＝π－∠OAB ，所以在等腰三角形OBA 中，tan ∠OAB＝22－⎝⎛⎭⎫12212＝15，所以tan θ＝－tan ∠OAB ＝－15. 答案：－15向量数量积的综合应用(师生共研)(2017·高考江苏卷)已知向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，x ∈[0，π]． (1)若a ∥b ，求x 的值；(2)记f (x )＝a·b ，求f (x )的最大值和最小值以及对应的x 的值． 【解】 (1)因为a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，a ∥b ， 所以－3cos x ＝3sin x .若cos x ＝0，则sin x ＝0，与sin 2x ＋cos 2x ＝1矛盾，故cos x ≠0. 于是tan x ＝－33. 又x ∈[0，π]，所以x ＝5π6.(2)f (x )＝a ·b ＝(cos x ，sin x )·(3，－3)＝3cos x －3sin x ＝23cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6.因为x ∈[0，π]，所以x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6，从而－1≤cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6≤32.于是，当x ＋π6＝π6，即x ＝0时，f (x )取到最大值3；当x ＋π6＝π，即x ＝5π6时，f (x )取到最小值－2 3.。