传热学(chapter3)
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传热学-第三章
截断误差
同样可得：
t tm,n1 2tm,n tm,n1 o(y 2 ) y 2 m,n y 2
2
未明确写出的级数余项 中的Δ X的最低阶数为2
对于二维稳态导热问题，在直角坐标中，其导热 微分方程为：
2t 2t v 0 2 2 x y
其节点方程为：
温度ti-1,j
tm1,n
t 2t x 2 3t x3 t m ,n x 2 3 x m,n x m,n 2! x m,n 3!
若取上面式右边的前三项，并将式①和式③相加 移项整理即得二阶导数的中心差分：
2t x 2
m ,n
tm1,n 2tm,n tm1,n o(x 2 ) x 2
Φ 内热源： v Φ V Φ xy
Φ上 Φ下 Φ左＋Φ右 Φv 0
tm1,n tm ,n tm1,n tm ,n tm ,n1 tm ,n tm ,n1 tm ,n y y x x x x y y Φxy 0
例如：根据第 k 次迭代的数值 可以求得节点温度：
(k) (k) (k) t1 、t2 ....tn
( ( ( ( ( t1 k 1) a11t1 k ) a12t2k ) ...... a1ntnk ) b1 k )
在计算后面的节点温度时应按下式（采用最新值）
( ( ( ( ( t 2k 1) a21t1 k 1) a22t 2k ) ...... a2 n t nk ) b2k ) ( ( ( ( ( t3k 1) a31t1 k 1) a32t 2k 1) ...... a3n t nk ) b3k )
h1t f
x
同样可得：
t tm,n1 2tm,n tm,n1 o(y 2 ) y 2 m,n y 2
2
未明确写出的级数余项 中的Δ X的最低阶数为2
对于二维稳态导热问题，在直角坐标中，其导热 微分方程为：
2t 2t v 0 2 2 x y
其节点方程为：
温度ti-1,j
tm1,n
t 2t x 2 3t x3 t m ,n x 2 3 x m,n x m,n 2! x m,n 3!
若取上面式右边的前三项，并将式①和式③相加 移项整理即得二阶导数的中心差分：
2t x 2
m ,n
tm1,n 2tm,n tm1,n o(x 2 ) x 2
Φ 内热源： v Φ V Φ xy
Φ上 Φ下 Φ左＋Φ右 Φv 0
tm1,n tm ,n tm1,n tm ,n tm ,n1 tm ,n tm ,n1 tm ,n y y x x x x y y Φxy 0
例如：根据第 k 次迭代的数值 可以求得节点温度：
(k) (k) (k) t1 、t2 ....tn
( ( ( ( ( t1 k 1) a11t1 k ) a12t2k ) ...... a1ntnk ) b1 k )
在计算后面的节点温度时应按下式（采用最新值）
( ( ( ( ( t 2k 1) a21t1 k 1) a22t 2k ) ...... a2 n t nk ) b2k ) ( ( ( ( ( t3k 1) a31t1 k 1) a32t 2k 1) ...... a3n t nk ) b3k )
h1t f
x
传热学-第三章
2021/5/9
cV d hA d
求通解ln hA c General Solution cV
初始条件 : 0，t t0， 0 t0 t
Initial condition
0
t t t0 t
exp
hA
cV
7
※
时间常数
c
cV
hA
e c
0
time constant
2021/5/9
2021/5/9
※ t x 4 a
热边界层 t
※
t
x 2 22
•
1 a
x2 16a
惰性时间 t x2
31
2021/5/9
（冰冻三尺 非一日之寒）
设大地温度为10ºC，后受到冷空气侵袭地表温度降 为-15ºC并维持不变。确定这种条件下地下1m 处温度
降为0ºC时所需时间？设土壤的物性为 a 1.38107 m2 / s
t
t0
2
end
26
2021/5/9
（1）建立物理模型 ( Physical Model ) （2）建立数学模型( Mathematical Model ) （3）求通解( General Solution ) （4）建立定解条件( initial and boundary condition) （5）求特解( Special Solution ) （6）求解换热量( Flowrate of heat）
1.瞬间换热量 transient heat transfer rate
hA(t
t )
hA
hA0
exp(
hA
cV
)
2. 0~ 内传给流体的总热量：
传热学-第三章
常数 ( cV / hA) 小。
对于测温的热电偶节点，时间常数越小、说明热电 偶对流体温度变化的响应越快。这是测温技术所需要的 (微细热电偶、薄膜热电阻)
当 4 Vc 时， 1.83% hA
解：① 建立非稳态导热数学模型
方法一：椐非稳态有内热源的导热微分方程：
t
2t c x2
2t y 2
2t z2
c
∵ 物体内部导热热阻很小，忽略不计。
∴ 物体温度在同一瞬间各点温度基本相等，即t仅是τ的 一元函数，而与坐标x、y、z无关，即：
t t
hA
e Vc
0 t0 t
其中的指数：
hA
cV
hV
A
A2 V 2c
h(V
A)
a
(V A)2
Biv Fov
Bi v
h(V
A)
Fov
a
(V A)2
Fov是傅立叶数
hA
e Vc eBiv Fov
0
物体中的温度 呈指数分布
方程中指数的量纲：
hA
w m2K
m2
w 1
Vc
kg m3
m3
J kgK
J
s
即与 1
的量纲相同，当 Vc
hA
时，则
hA Vc
1
此时
e1 36.8% 0
上式表明：当传热时间等于 Vc 时，物体的过余温度
对于测温的热电偶节点，时间常数越小、说明热电 偶对流体温度变化的响应越快。这是测温技术所需要的 (微细热电偶、薄膜热电阻)
当 4 Vc 时， 1.83% hA
解：① 建立非稳态导热数学模型
方法一：椐非稳态有内热源的导热微分方程：
t
2t c x2
2t y 2
2t z2
c
∵ 物体内部导热热阻很小，忽略不计。
∴ 物体温度在同一瞬间各点温度基本相等，即t仅是τ的 一元函数，而与坐标x、y、z无关，即：
t t
hA
e Vc
0 t0 t
其中的指数：
hA
cV
hV
A
A2 V 2c
h(V
A)
a
(V A)2
Biv Fov
Bi v
h(V
A)
Fov
a
(V A)2
Fov是傅立叶数
hA
e Vc eBiv Fov
0
物体中的温度 呈指数分布
方程中指数的量纲：
hA
w m2K
m2
w 1
Vc
kg m3
m3
J kgK
J
s
即与 1
的量纲相同，当 Vc
hA
时，则
hA Vc
1
此时
e1 36.8% 0
上式表明：当传热时间等于 Vc 时，物体的过余温度
传热学_第三章
传
热
学
第三章 非稳态导热的分析与计算
§3-1 非稳态导热过程分析 §3-2 集总参数系统分析 (零维问题) 零维问题) §3-3 典型一维物体非稳态导热的分析解 §3-4 二维及三维非稳态导热问题的求解
2010-10-6
1
R
青岛科技大学热能与动力工程
§3-1 非稳态导热过程分析 一、非稳态导热过程及其特点
θ ＝e4.6 = 0.01 当τ=4τs时 θ0 工程上认为τ= 4τs时导热体已 达到热平衡状态
2010-10-6
θ ＝e1 = 0.386 θ0
θ/θ0 θ 1 0.386 0 1 τ/τs τ
11
R
青岛科技大学热能与动力工程
三、集总参数系统的判定
θ =e θ0
判定依据
τ hA ρcV
=e
t 2t =a 2 τ x
θ = t(x,τ ) t∞ —过余温度
θ 2θ =a 2 τ x
τ = 0, θ = t0-t∞ =θ0
x = 0, θ x = 0 x = δ , -λ θ x = hθ x=δ
2010-10-6 14
R
青岛科技大学热能与动力工程
采用分离变量法求解：取 采用分离变量法求解： θ 2θ =a 2 τ x
导热系统内温度场随时间变化的导热过程为非稳态导热。 导热系统内温度场随时间变化的导热过程为非稳态导热。 温度场随时间变化的导热过程为非稳态导热 温度随时间变化，热流也随时间变化 也随时间变化。 温度随时间变化，热流也随时间变化。 自然界和工程上许多导热过程为非稳态， 自然界和工程上许多导热过程为非稳态，t = f(τ) 例如：冶金、热处理与热加工中工件被加热或冷却；锅炉、 例如：冶金、热处理与热加工中工件被加热或冷却；锅炉、 内燃机等装置起动、停机、变工况；自然环境温度； 内燃机等装置起动、停机、变工况；自然环境温度；供暖 或停暖过程中墙内与室内空气温度 非稳态导热的分类 非稳态导热的分类：周期性和非周期性 分类： 周期性非稳态导热： 周期性非稳态导热：物体温度按一定的周期发生变化 非周期性非稳态导热（瞬态导热）： ）：物体的温度随时间不 非周期性非稳态导热（瞬态导热）：物体的温度随时间不 断地升高（加热过程）或降低（冷却过程）， ），在经历相当 断地升高（加热过程）或降低（冷却过程），在经历相当 长时间后，物体温度逐渐趋近于周围介质温度， 长时间后，物体温度逐渐趋近于周围介质温度，最终达到 热平衡
热
学
第三章 非稳态导热的分析与计算
§3-1 非稳态导热过程分析 §3-2 集总参数系统分析 (零维问题) 零维问题) §3-3 典型一维物体非稳态导热的分析解 §3-4 二维及三维非稳态导热问题的求解
2010-10-6
1
R
青岛科技大学热能与动力工程
§3-1 非稳态导热过程分析 一、非稳态导热过程及其特点
θ ＝e4.6 = 0.01 当τ=4τs时 θ0 工程上认为τ= 4τs时导热体已 达到热平衡状态
2010-10-6
θ ＝e1 = 0.386 θ0
θ/θ0 θ 1 0.386 0 1 τ/τs τ
11
R
青岛科技大学热能与动力工程
三、集总参数系统的判定
θ =e θ0
判定依据
τ hA ρcV
=e
t 2t =a 2 τ x
θ = t(x,τ ) t∞ —过余温度
θ 2θ =a 2 τ x
τ = 0, θ = t0-t∞ =θ0
x = 0, θ x = 0 x = δ , -λ θ x = hθ x=δ
2010-10-6 14
R
青岛科技大学热能与动力工程
采用分离变量法求解：取 采用分离变量法求解： θ 2θ =a 2 τ x
导热系统内温度场随时间变化的导热过程为非稳态导热。 导热系统内温度场随时间变化的导热过程为非稳态导热。 温度场随时间变化的导热过程为非稳态导热 温度随时间变化，热流也随时间变化 也随时间变化。 温度随时间变化，热流也随时间变化。 自然界和工程上许多导热过程为非稳态， 自然界和工程上许多导热过程为非稳态，t = f(τ) 例如：冶金、热处理与热加工中工件被加热或冷却；锅炉、 例如：冶金、热处理与热加工中工件被加热或冷却；锅炉、 内燃机等装置起动、停机、变工况；自然环境温度； 内燃机等装置起动、停机、变工况；自然环境温度；供暖 或停暖过程中墙内与室内空气温度 非稳态导热的分类 非稳态导热的分类：周期性和非周期性 分类： 周期性非稳态导热： 周期性非稳态导热：物体温度按一定的周期发生变化 非周期性非稳态导热（瞬态导热）： ）：物体的温度随时间不 非周期性非稳态导热（瞬态导热）：物体的温度随时间不 断地升高（加热过程）或降低（冷却过程）， ），在经历相当 断地升高（加热过程）或降低（冷却过程），在经历相当 长时间后，物体温度逐渐趋近于周围介质温度， 长时间后，物体温度逐渐趋近于周围介质温度，最终达到 热平衡
传热学第三章
θ (x,τ ) = θ (x,τ ) ⋅ θm (τ ) ;
θ (x,τ ) = f (Bi,
x )
θ0
θm (τ ) θ0
θm (τ )
δ
传热学 Heat Transfer
3-4 二维及三维非稳态导热的求解
在二维和三维非稳态导热问题中，几种典型几何 形状物体的非稳态导热问题可以利用一维非稳态导 热分析解的组合求得。无限长方柱体、短圆柱体及 短方柱体就是这类典型几何形状的例子。
华北电力大学
∂θ ∂τ
=
a
∂ 2θ ∂x 2
τ = 0,θ = θ0
x = 0,τ > 0,θ = 0
x → ∞,τ > 0,θ = θ0
刘彦丰
传热学 Heat Transfer
三、解的结果
Θ
=
θ θ0
=
t − tw t0 − tw
=
erf
(
式中:
η=
2
x aτ
x 4aτ
)
=
erf
(η
)
erf (η) 称为误差函数 ,查图 3-12和附录17计算。
华北电力大学
刘彦丰
华北电力大学
刘彦丰
传热学 Heat Transfer
矩形截面的无限长方柱体是由两个无限大平壁 垂直相交而成；短圆柱是由一个无限长圆柱和一个 无限大平壁垂直相交而成 ；短方柱体（或称垂直六 面体）是由三个无限大平壁垂直相交而成；
华北电力大学
刘彦丰
传热学 Heat Transfer
对于无限长方柱体
Fo
=
aτ l2
称为傅立叶数
FoV
=
aτ (V / A)2
传热学_第3章
2 1
x
Q c
t0 t ( x, ) dV
当物体和周围流体达到热平衡时放出的总热量
Q0 cV
t0 t
(t0 t ) (t t ) dV V t0 t
1 Q c V [t0 t ( x, )]dV V Q0 cV (t0 t )
1
2
物体内初始温度分布消 失，各点的温度变化具有一 定的规律。
2
3－2 一维非稳态导热的分析解
第三类边界条件下大平壁、长圆柱及球体的加热 或冷却是工程上常见的一维非稳态导热问题。 1. 无限大平壁对称冷却或加热问题的分析解
假设：厚度为2，、为常数， 无内热源，初始温度与两侧流体 相同，为 t0。两侧流体温度突然 降低为 t ，并保持不变，平壁表 面与流体间对流换热表面传热系 数h为常数。 tf t 考虑温度场的对称性，选取 坐标系如图。 这是一维非稳态导热问题。
上式的几何意义：在整个非稳 态导热过程中平壁内过余温度 分布曲线在边界处的切线都通 O( / ,0) 点 , 即 O( / Bi,0) ，该点称为第 三类边界条件的定向点。
11
毕渥数Bi对温度分布的影响分析 (a) Bi0: 平壁导热热阻趋于零 ，平壁 内部各点温度在任一时刻都趋于一致，只 随时间而变化，变化的快慢取决于平壁表 面的对流换热强度。定向点在无穷远处。 工程上只要 Bi0.1，就可以近似地按这 种情况处理，用集总参数法进行计算。 (b) Bi: 对流换热热阻趋于零 ，非稳 态导热一开始平壁表面温度就立即变为流 体温度，相当于给定了壁面温度（第一类 边界条件），平壁内部的温度变化完全取 决于平壁的导热热阻。定向点位于平壁表 面上。 当Bi>100时可按此情况处理。 (c) 0<Bi<100，按一般情况处理。
x
Q c
t0 t ( x, ) dV
当物体和周围流体达到热平衡时放出的总热量
Q0 cV
t0 t
(t0 t ) (t t ) dV V t0 t
1 Q c V [t0 t ( x, )]dV V Q0 cV (t0 t )
1
2
物体内初始温度分布消 失，各点的温度变化具有一 定的规律。
2
3－2 一维非稳态导热的分析解
第三类边界条件下大平壁、长圆柱及球体的加热 或冷却是工程上常见的一维非稳态导热问题。 1. 无限大平壁对称冷却或加热问题的分析解
假设：厚度为2，、为常数， 无内热源，初始温度与两侧流体 相同，为 t0。两侧流体温度突然 降低为 t ，并保持不变，平壁表 面与流体间对流换热表面传热系 数h为常数。 tf t 考虑温度场的对称性，选取 坐标系如图。 这是一维非稳态导热问题。
上式的几何意义：在整个非稳 态导热过程中平壁内过余温度 分布曲线在边界处的切线都通 O( / ,0) 点 , 即 O( / Bi,0) ，该点称为第 三类边界条件的定向点。
11
毕渥数Bi对温度分布的影响分析 (a) Bi0: 平壁导热热阻趋于零 ，平壁 内部各点温度在任一时刻都趋于一致，只 随时间而变化，变化的快慢取决于平壁表 面的对流换热强度。定向点在无穷远处。 工程上只要 Bi0.1，就可以近似地按这 种情况处理，用集总参数法进行计算。 (b) Bi: 对流换热热阻趋于零 ，非稳 态导热一开始平壁表面温度就立即变为流 体温度，相当于给定了壁面温度（第一类 边界条件），平壁内部的温度变化完全取 决于平壁的导热热阻。定向点位于平壁表 面上。 当Bi>100时可按此情况处理。 (c) 0<Bi<100，按一般情况处理。
传热学第三章
θ ( x ,τ ) x = f ( Bi, Fo, ) θ0 δ
13
可以证明：若保持过余温度的定义不变，上述公式 14 同样适用于加热过程
θ ( x ,τ ) = θ 0 ∑
n =1
∞
若Fo≥0.2：
2 sin β n 2 x cos( β n )e −β n Fo β n + sin β n cos β n δ
τ =0
t = t0 τ = 0
τ3
τ2
τ1
t = t0 τ = 0
τ1 > 0
t = t0
τ1 > 0
τ2
τ2 > τ1
τ
2
>τ1
t∞
−δ
Bi→0 是一个极限情况，工程上把 Bi<0.1看作是接近这种极限的判 据。 Bi<0.1时，平壁中心温度与表 面温度的差别≤5%，接近均匀一致 29 —— 可用集总参数法求解
θ ( x,τ ) = θ 0
2 sin β1 x 2 cos(β1 )e −β1 Fo β1 + sin β1 cos β1 δ
Bi和位置 x/δ 的函数
Bi =
hδ λ
2
ln θ = − mτ + K ( Bi,
a δ2
与时间无关；只取决于第三类边界条 件、平壁的物性与几何尺寸 当平壁及其边界条件给定后，m 为一 个 常数，它与时间 τ 、地点 x/δ 无关 表明：Fo≥0.2时（τ* ≥ 0.2δ2/a） 平壁内所有各点过余温度的对 数都随时间按线性规律变化， 变化曲线的斜率都相等 正规状况阶段：初始温度分布 的影响已消失 22
x ) δ
两边取对数：
m = β1
传热学第三章稳态导热
传热学第三章稳态导热
11
根据热阻串联的叠加原则，通过三 层壁的热流密度计算式为：
q
tw1 tw4
1 2 3
1 2 3
W/m2
、
qA
1
tw1 tw4
2 3
W
1A 2A 3A
2021/2/12
传热学第三章稳态导热
12
由
q
t
可得各层接触面上的温度分别为 ：
tw2
、tw1
q1 1
℃
tw3
பைடு நூலகம்
tw4
W/m2
可见，通过平壁稳态导热的热流密度 取决于导热系数、壁厚及两侧面的温差。
稳态下平壁内与热流相垂直的各截面 上的热流密度为常量。
2021/2/12
传热学第三章稳态导热
6
通过整个平壁的热流量为：
AqAt
W
当λ=λ0(1+bt) 时，在温差(t1-t2 ) 下的导热量仍可用常物性导热计算式来 计算，只需用平均温度t=(t1+t2)/2 下的平 均导热系数计算即可。
rλ
rh2
传热学第三章稳态导热
返回 15
第二节 通过圆筒壁的导热
一、第一类边界条件下的圆筒壁导热 二、第三类边界条件下的圆筒壁导热 三、临界热绝缘直径
2021/2/12
传热学第三章稳态导热
16
一、第一类边界条件下的圆筒壁导热
1.单层圆筒壁
已知：长圆筒壁 r1、r2、 l ；
λ=const
r=r1 ,t=tw1; r=r2 ,t=tw2 求： (1) Φ=？
第三章 稳态导热
§3-1 通过平壁的导热 §3-2 通过圆筒壁的导热 §3-3 通过球壁的导热 §3-4 接触热阻 §3-5 通过肋片的导热
传热学 第三章
随时间而变化的情形定性的示于图中.
3－3 假设把汽轮机的汽缸壁及其外的绝热层近似地看成是两块整密接触的无限大平板（绝 热层厚度大于汽缸壁）。试定性地画出汽缸机从冷态启动（即整个汽轮机均与环境处于热平 衡）后，缸壁及绝热层中的温度分布随时间的变化。 解：
3－4 在一内部流动的对流换热试验中（见附图），用电阻加热器产生热量加热量管道内的流 体，电加热功率为常数，管道可以当作平壁对待。试画出在非稳态加热过程中系统中的温度 分布随时间的变化（包括电阻加热器，管壁及被加热的管内流体）。画出典型的四个时刻； 初始状态（未开始加热时），稳定状态及两个中间状态。 解：如图所示：
q1 A(T 4 T4 )
固体通过对流散到周围的热量为：
q2 hA(T T )
固体散出的总热量等于其焓的减小
q1 q2
cv dt d
即
A(T
4
T4
)
hA(T
T
)
cv
dt d
3－7 如图所示，一容器中装有质量为 m、比热容为 c 的流体，初始温度为 tO。另一流体在
hA(T
T1)
cv
dt d
t t1 exp( kA )
此方程的解为 t 0t1
c
3－8 一具有内部加热装置的物体与空气处于热平衡。在某一瞬间，加热装置投入工作，其
.
作用相当于强度为 Q 的内热源。设物体与周围环境的表面传热系数为 h（常数），内热阻
可以忽略，其他几何、物性参数均以知，试列出其温度随时间变化的微分方程式并求解之。 解：集总参数法的导热微分方程可以利用能量守恒的方法得到
3－11 一根裸露的长导线处于温度为 t 的空气中，试导出当导线通以恒定电流 I 后导线温度
传热学第三章
第三章 稳态导热
第一节 一维稳态导热
※简化假设： （1）导热体为几何形状简单、均质各向同性材料； （2）常物性、无内热源、壁面温度均匀一致； （3）一维稳态导热。 ※一维稳态导热计算公式的导出途径： （1）
导热微分方程 边界条件 Fourier定律 边界条件 Fourier定律 边界条件
①温度分布 t t ( x)或 t t (r ) 和q ② ③R 和r 若定积分，则可以不求解温度场而直接求得
（ e） （f ）
（ g）
r r 1 , t t w1 r r2 , t t w2
同样的计算公式：
求解上述方程，经过整理可以得出和第一种求解方法 温度分布①、热流量或线热流量②、热阻③。
第三章 稳态导热
第一节 一维稳态导热
（3）对傅里叶定律表达式分离变量，并进行定积分:
tw 2 dr dt t w1 2l r
t w1 t w3 q 解：本题为多层平壁的导热问题，应有 1 2
把所有的已知数据代入，有
1
2
1300 30 0.02 t w1 t w3 1 ) 0.35 0.238 m 2 ( ) 2 ( 1830 1.3 q 1
第三章 稳态导热
流量Φ为常量，但热流密度 q
※工程计算中，一般采用热流量或线热流量。 线热流量：是指单位长度圆筒壁的导热热流量，即
却是变量。
l l
第三章 稳态导热
第一节 一维稳态导热
将温度分布代入傅里叶定律，可求出其热流量或线热流量为：
dt dt 2l (t w1 t w2 ) 2l (t w1 t w2 ) A (2rl ) r d dr dr ln 2 ln 2 r1 d1 l 2 (t w1 t w 2 ) 2 (t w1 t w 2 ) r2 d2 l ln ln r1 d1
传热学第三章
内能减小=物体向环境对流换热
7
机械工程与材料能源学部 能源与动力工程学院
传 热 学
定义过余温度： θ=t-t∞
dt cV Ah (t t ) d
cV
dt Ah d
初始条件：
d
τ=0， θ =θ0=t0-t∞
微分方程分离变量，并积分：
0
hA cV
Fo>0.2，正规状况阶段
非稳态导热过程中传递热量
从τ=0 至热平衡
Q0 cV (t 0 t )
19
机械工程与材料能源学部 能源与动力工程学院
传 热 学
从τ=0 至τ时刻
Q c V t 0 t ( x, )dV 1 Q0 cV (t 0 t ) V 1 1 V (t 0 t ) (t t ) dV V t0 t
机械工程与材料能源学部 能源与动力工程学院 6
传 热 学
1. 导热微分方程式建立
例：测量变化着的温度的热电偶
t0 t
t t0 0
t f ( ) ?
t 2t 2t 2t ( 2 2 2) 导热微分方程： c x y z c
11
传 热 学
4. BiV及FoV物理意义
Biv hl
1 h
l
内部面积导热热阻 表面面积对流换热热阻
无量纲 热阻 无量纲 时间
从边界上开始发生热扰 动时刻起 a 到所计算时刻为止的时 间间隔 Fov 2 2 边界上发生有限大小的 热扰动穿过一定 l l a 厚度的固体层扩散到 2的面积上所需时间 l
FoV越大，热扰动越深入地传播到物体内部， 物体内各点的温度越接近周围介质的温度
传热学第三章
第三章 非稳态导热
unsteady state heat conduction
3-1 非稳态导热过程的特点
一、定义 导热体的温度随时间而变化的导热过程称为非稳态导热
∂t t = f ( x, y , z , τ ) , ≠0 ∂τ
工程中的许多过程都是非稳态导热： 冶金、热处理和热加工；工件被加热和冷却； 锅炉、内燃机、燃气轮机等装置启动、停机、变工况； 自然环境温度，供暖和停暖过程中墙内与室内空气温度。
四、导温系数（热扩散系数）
∂t ∂ t ρcp =λ 2 ∂τ ∂x
2
λ a = ρc p
∂t ∂ 2t =a 2 ∂τ ∂x
反映了物体的导热能力和储热能力之比，它可以用来衡量 物体在加热或冷却时内部温度变化传播速度。 λ越大，说明在相同的温度梯度下可以传递更多的热量；ρ c p 越小，单位体积的物体温度升高1℃所需要的热量越小，可以 剩下更多的热量继续向物体内部传递，使得物体内部各点温度 趋于一致的能力提高。
五、毕渥准则对温度分布的影响 αδ 毕 渥 准 则 — 无 量 纲 数 δ —平板厚度之半 Bi = λ αδ δ / λ 物体内部导热热阻 Bi = = λ 1/α 物体表面对流换热热阻
t0
τ
t0
τ
t0
τ
tf
tf
tf
tf
tf
tf
1 / α << δ / λ
Bi→∞
1 / α >> δ / λ
毕渥数Bi对平板温度场变化的影响
例题3-1 一直径为50mm的钢球，初始温度为450℃，突然 被置于温度为30℃的空气中。设钢球表面与周围空气的对流 换热系数为24W/(m2·K)，试计算钢球冷却到300℃时所需要 的时间。已知钢球的 c p = 480 J /(kg ⋅ K ), ρ = 7753kg / m3 , λ = 33W /(m ⋅ K ). 解： 首先检验是否可以采用集总参数法。
unsteady state heat conduction
3-1 非稳态导热过程的特点
一、定义 导热体的温度随时间而变化的导热过程称为非稳态导热
∂t t = f ( x, y , z , τ ) , ≠0 ∂τ
工程中的许多过程都是非稳态导热： 冶金、热处理和热加工；工件被加热和冷却； 锅炉、内燃机、燃气轮机等装置启动、停机、变工况； 自然环境温度，供暖和停暖过程中墙内与室内空气温度。
四、导温系数（热扩散系数）
∂t ∂ t ρcp =λ 2 ∂τ ∂x
2
λ a = ρc p
∂t ∂ 2t =a 2 ∂τ ∂x
反映了物体的导热能力和储热能力之比，它可以用来衡量 物体在加热或冷却时内部温度变化传播速度。 λ越大，说明在相同的温度梯度下可以传递更多的热量；ρ c p 越小，单位体积的物体温度升高1℃所需要的热量越小，可以 剩下更多的热量继续向物体内部传递，使得物体内部各点温度 趋于一致的能力提高。
五、毕渥准则对温度分布的影响 αδ 毕 渥 准 则 — 无 量 纲 数 δ —平板厚度之半 Bi = λ αδ δ / λ 物体内部导热热阻 Bi = = λ 1/α 物体表面对流换热热阻
t0
τ
t0
τ
t0
τ
tf
tf
tf
tf
tf
tf
1 / α << δ / λ
Bi→∞
1 / α >> δ / λ
毕渥数Bi对平板温度场变化的影响
例题3-1 一直径为50mm的钢球，初始温度为450℃，突然 被置于温度为30℃的空气中。设钢球表面与周围空气的对流 换热系数为24W/(m2·K)，试计算钢球冷却到300℃时所需要 的时间。已知钢球的 c p = 480 J /(kg ⋅ K ), ρ = 7753kg / m3 , λ = 33W /(m ⋅ K ). 解： 首先检验是否可以采用集总参数法。
传热学第三章辐射传热
传热学第三章辐射传热一、名词解释1．热辐射：由于物体内部微观粒子的热运动状态改变，而将部分内能转换成电磁波的能量发射出去的过程。
2．吸收比：投射到物体表面的热辐射中被物体所吸收的比例。
3．反射比：投射到物体表面的热辐射中被物体表面所反射的比例。
4．穿透比：投射到物体表面的热辐射中穿透物体的比例。
5．黑体：吸收比α= 1的物体。
6．白体：反射比ρ=l的物体(漫射表面)7．透明体：透射比τ= 1的物体8．灰体：光谱吸收比与波长无关的理想物体。
9．黑度：实际物体的辐射力与同温度下黑体辐射力的比值，即物体发射能力接近黑体的程度。
10．辐射力：单位时间内物体的单位辐射面积向外界(半球空间)发射的全部波长的辐射能。
11．漫反射表面：如果不论外界辐射是以一束射线沿某一方向投入还是从整个半球空间均匀投入，物体表面在半球空间范围内各方向上都有均匀的反射辐射度L r，则该表面称为漫反射表面。
12．角系数：从表面1发出的辐射能直接落到表面2上的百分数。
13．有效辐射：单位时间内从单位面积离开的总辐射能，即发射辐射和反射辐射之和。
14．投入辐射：单位时间内投射到单位面积上的总辐射能。
15．定向辐射度：单位时间内，单位可见辐射面积在某一方向p的单位立体角内所发出的总辐射能(发射辐射和反射辐射)，称为在该方向的定向辐射度。
16．漫射表面：如该表面既是漫发射表面，又是漫反射表面，则该表面称为漫射表面。
17．定向辐射力：单位辐射面积在单位时间内向某一方向单位立体角内发射的辐射能。
18．表面辐射热阻：由表面的辐射特性所引起的热阻。
19．遮热板：在两个辐射传热表面之间插入一块或多块薄板以削弱辐射传热。
20．重辐射面：辐射传热系统中表面温度未定而净辐射传热量为零的表面。
二、填空题1．热辐射是由于产生的电磁波辐射。
热辐射波长的单位是，在工业范围内，热辐射的波段主要集中于区段。
(热的原因，μm，红外)2．太阳与地球间的热量传递属于传热方式。
《传热学》第3章-非稳态导热
特殊多维非稳态导热的简易求解方法
在第一类边界条件（初始温度均匀）或第三类边界条件（表面 传热系数h为常数）下的二维或三维的非稳态导热问题，在数学 上已经证明，它们的无量纲过余温度的解等于构成这些物体的 两个或三个物体在同样边界条件下一维非稳态导热问题解的连 乘。
特殊多维非稳态导热的简易求解方法
对于无限长方柱 θ (x, y,τ ) = θ (x,τ ) ⋅ θ (y,τ )
该问题的解可以由3块相应的无限大平板的 解得出。最低温度发生在钢锭的中心，即3 筷无限大平板中心截面的交点上，最高温度 发生在钢锭的顶角，即3块大平板表面的公 共点上。
4
例题3 θ
m/B则θi x0钢==锭hλδ(1θ中=m心3/ 4θ温840×0度).05x.2⋅5(θ=
2.14
m/θ 0
)
y
⋅ (θ
无限大平板的非稳态导热
当Fo ≥ 0.2时，可取
θ (x,τ )
θ0
=
β1
2 sin β1 + sin β1 cos β1
cos
β
1
x δ
e − β12 ⋅Fo
只与Bi、x/δ有关， 与时间无关
lnθ
=
−mτ
+ lnθ 0
β1
2sin β1 + sinτ β1 cos β1
cos
= 0.36
短圆柱的中心温度为
查图3-6得 θ
再讨论直径为
m2R/θ=600=0m0m.8的无θ限m长/ θ圆0柱=：0.13
×
0.8
=
0.104
Bi = hR = 232 × 0.3 = 1.72 λ 40.5
tm = 0.104θ0 + t∞ 查附=2图0.11得04θ×m(3/θ00−=103.0103) +1300
传热学第3章
Bi→0时，平壁内温度分布趋于均匀一致
可用集总参数法处理
集总参数法的使用条件： 当Bi<0.1时，忽略物体内部导热热阻， 物体温度均匀一致
t f
集总参数法的应用范围：导热系数λ很大，或物体尺寸很小
集总参数法的应用实例：体温计、热电偶测量端
集总参数法的计算方法：
根据物体的热平衡关系：
热流量计算式：
2 sin 2 n 2 0 1 2 exp n Fo n1 n n sin n cos n
无限大平壁非稳态导热问题的另一种计算方法——计算线图法 计算Bi和Fo
计温 算度 步分 骤布
由图3－5计算中心温度
瞬态导热的例子
体温计
淬火
烹饪
周期性导热的例子
建筑外围护结构
第一节 非稳态导热的基本概念
1.瞬态导热： 以采暖房间外墙为例，在某一时刻，墙体某一侧空气 温度突然提高，墙体内部温度分布将随时间呈如下变化。 t
t w1
t w1
tw2
tw2
x
t－x坐标系
t－τ坐标系
q－τ坐标系
q－τ坐标系中：
热流量的计算：
2 sin 2 n 2 c 0 x, dx 2c0 1 2 exp n Fo n1 n n sin n cos n
令
0 2 c0 ——无限长时间后壁面冷却到tf时的最大放热量
研究对象： 厚度为2δ的无限大平壁在第三类边界 条件下突然冷却，由于两侧对称，因 而将坐标轴x的原点放在平壁中心， 并满足绝热边界条件 常物性时导热微分方程组如下： t 2t a 2 , 0,0 x x t 0 t 0 ,0 x t x 0 0, 0 x t x h t x t f , 0 x
传热学-第三章
无量纲数
当Bi→∞时，⇒rλ>>rh ；因此，可以忽略对流换热热阻 当Bi→0 时，⇒rλ<<rh；因此，可以忽略导热热阻
(4) 无量纲数的简要介绍 基本思想：当所研究的问题非常复杂，涉及到的参数很 多，为了减少问题所涉及的参数，将一些参数组合起来， 使之能表征一类物理现象，或物理过程的主要特征，并且 没有量纲。 因此，这样的无量纲数又被称为特征数，或者准则 数，比如，毕渥数又称毕渥准则。以后会陆续遇到许多类 似的准则数。特征数涉及到的几何尺度称为特征长度，一 般用符号 l 表示。 对于一个特征数，应该掌握其定义式＋物理意义，以 及定义式中各个参数的含义。
着重讨论瞬态非稳态导热
3. 温度分布：
4. 两个不同的阶段
非正规状况阶段 (不规则情况阶段) 正规状况阶段 (正常情况阶段) 温度分布主要受初始温度 分布控制 温度分布主要取决于边界 条件及物性
非稳态导热过程总会经历：非稳态导热非正规状况阶段 （起始阶段）、正规状况阶段、新的稳态
5. 热量变化
可以采用集总参数法。时间常数为
13110 × 0.138 × 1000 × 0.953 × 10 −3 = = 148 τc = hA 11.63
ρcV
s
⎛ hA ⎞ 11.63 × 5 × 60 θ ⎛ ⎞ = exp⎜ − ⎟ ⎜ ρcV ⋅ τ ⎟ = exp⎜ − ⎟ −3 θ0 ⎝ 13110 × 0.138 × 1000 × 0.953 × 10 ⎠ ⎝ ⎠ = exp(− 2.02 ) = 0.133
5. 集总参数法的应用条件
对于平板、圆柱及圆球，如果Bi满足如下条件，则 物体中各点过余温度的差别小于5%
Bi v =
对厚为2δ的 无限大平板 对半径为R的 无限长圆柱 对半径为R的 球
传热学第三章辐射传热
传热学第三章辐射传热一、名词解释1．热辐射：由于物体内部微观粒子的热运动状态改变，而将部分内能转换成电磁波的能量发射出去的过程。
2．吸收比：投射到物体表面的热辐射中被物体所吸收的比例。
3．反射比：投射到物体表面的热辐射中被物体表面所反射的比例。
4．穿透比：投射到物体表面的热辐射中穿透物体的比例。
5．黑体：吸收比α= 1的物体。
6．白体：反射比ρ=l的物体(漫射表面)7．透明体：透射比τ= 1的物体8．灰体：光谱吸收比与波长无关的理想物体。
9．黑度：实际物体的辐射力与同温度下黑体辐射力的比值，即物体发射能力接近黑体的程度。
10．辐射力：单位时间内物体的单位辐射面积向外界(半球空间)发射的全部波长的辐射能。
11．漫反射表面：如果不论外界辐射是以一束射线沿某一方向投入还是从整个半球空间均匀投入，物体表面在半球空间范围内各方向上都有均匀的反射辐射度L r，则该表面称为漫反射表面。
12．角系数：从表面1发出的辐射能直接落到表面2上的百分数。
13．有效辐射：单位时间内从单位面积离开的总辐射能，即发射辐射和反射辐射之和。
14．投入辐射：单位时间内投射到单位面积上的总辐射能。
15．定向辐射度：单位时间内，单位可见辐射面积在某一方向p的单位立体角内所发出的总辐射能(发射辐射和反射辐射)，称为在该方向的定向辐射度。
16．漫射表面：如该表面既是漫发射表面，又是漫反射表面，则该表面称为漫射表面。
17．定向辐射力：单位辐射面积在单位时间内向某一方向单位立体角内发射的辐射能。
18．表面辐射热阻：由表面的辐射特性所引起的热阻。
19．遮热板：在两个辐射传热表面之间插入一块或多块薄板以削弱辐射传热。
20．重辐射面：辐射传热系统中表面温度未定而净辐射传热量为零的表面。
二、填空题1．热辐射是由于产生的电磁波辐射。
热辐射波长的单位是，在工业范围内，热辐射的波段主要集中于区段。
(热的原因，μm，红外)2．太阳与地球间的热量传递属于传热方式。
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无内热源、稳态：
2t 2 t 2 t t a 2 2 2 x y z c
导热微分方程:
d t 0 2 dx
2
两个边界均为第一类边界条件
x 0, x ,
直接积分，得通解：
t t w1 t t w2
C W
（整个平壁的导热热阻?）
热流密度
t w1 t w 2 t w1 t w 2 t w1 t w 2 q A r
W
m2
式中： r
m
2
C W （单位面积导热热阻? ）
当λ随温度呈线性变化
（1 bt） , 0
3、通过圆筒壁的导热（第一类边界条件）
稳态导热 t 0
1 柱坐标系： (r t ) 1 ( t ) ( t ) 0 2 r r r r z z
当圆筒的截面尺寸相对管长很小，且管子内外壁面保持 均匀温度时，热量只在管径方向传递，通过管壁的导热 即为柱坐标系的一维问题。 一类边界
Rc
t A tB
t
本章练习题 P49，15，21
若d2< dc ，当dx在d2与d3范围内时，管道向外的散 热量比无绝缘层时更大， ； 只有当d2 dc时，覆盖绝热层才会减少热损失！
d x d 3 ql
一般的动力保温管道，是否要考虑临界热绝缘直径呢？
取ins 0.1W /(m K ), h2 9W /(m2 K ),得dc 22mm
t1 t4 ri 1 1 3 1 n r 2L i 1 i i
单位管长的热流量
t1 t 4 ql ri 1 1 3 1 L n r 2 i 1 i i
第三类边界条件下通过圆筒壁的导热
稳态导热，由前面讲解可知，壁内温度分布：
c.临界热绝缘直径 工程上，为减少管道的散热损失，常在管道外 侧覆盖热绝缘层或称隔热保温层。 问题：覆盖热绝缘层是否在 任何情况下都能减少热损失？ 保温层是否越厚越好？ 单位长度管道上的总热阻：
W m
1 r2 Rl ln 2 r1
m C W
b、通过多层圆筒壁的导热(运用串联热阻叠加原理) 带有保温层的热力管道、嵌套的金属管道和结垢、积灰 的输送管道等
t 2 t3 t3 t 4 t1 t 2 1 r r 1 r 1 n 2 n 4 n 3 21 L r1 22 L r2 23 L r3
二阶常微分方程
通解形式
杆内过余温度分布如右图：
根部温度变化率：
d dx
x 0
sh[m( H x)] m 0 ch(m H)
x 0
m 0 th(m H)
细杆散热量：
d A dx
x 0
hU Am 0 th(mH ) 0 th(mH ) m
dt c1 t c1 x c2 dx
代入边界条件得平壁内温度分布：
t
t w 2 t w1
x t w1 （线性分布）
热流量
Φ A t t t t t t dt A w1 w 2 w1 w 2 w1 w 2 dx A R
W
式中： R (A)
t t 1 dt 2rL w1 w 2 ln( r r ) r dr 2 1
t w1 t w 2 t w1 t w 2 1 r R ln 2 2L r1
W
单位长度圆筒壁的热流量
t w1 t w 2 t w1 t w 2 Φ ql r2 1 L Rl ln 2 r1
一类边界
代入边界条件得圆筒壁的温度分布为:
r ln t t1 r1 r2 t 2 t1 ln r1
圆筒壁内的温度分布 是一条对数曲线
稳态导热时圆筒壁内外壁面热流 相等，但内壁面积小于外壁面积， 所以内壁面热流密度总是大于外 壁面，由付立叶定律可知，内壁 面的温度曲线要比外壁面陡。
Φ A
q
1 2 3 1 2 3
t w1 t w4
t w1 t w4
R
i 1
3
q
t w1 t w,n 1
,i
R
i 1
n
,i
第三类边界条件平壁的导热问题
传热系数？
k
1 1 h1 h2
1
2.通过复合平壁的导热
工程上会遇到这样一类平壁，无论沿宽度还是厚度方 向，都是由不同材料组合而成 ，称为复合平壁。 如：空斗墙、空斗填充墙、空心板墙、夹心板墙。
一般的动力保温管道外径远大于22mm，所以在供暖通风 工程中很少出现。
例： 某管道外经为2r，外壁温度为t1，如外包两层厚 度均为r（即2＝3＝r）、导热系数分别为2和3（ 2 / 3=2）的保温材料，外层外表面温度为t2。如将两层 保温材料的位置对调，其他条件不变，保温情况变化 如何？由此能得出什么结论？
成曲线图以供查阅.
矩形和三角形肋片的效率 矩形截面环肋的效率
肋片散热量可用以下方法计算:
查图得肋效率 肋形状参数 实际散热量 最大散热量计算
肋化对传热有利的判据
以无限高细杆为对象，
(l / ) Bi 1 h
物体内外热阻的无量纲比值
5、通过接触面的导热 在推导多层壁导热的公式时，假定两壁面之 间保持良好的接触，即层间保持同一温度。 而在工程实际中固体表面之间的接触都是有 间隙的。 如图两壁面之间存在空气间隙，使得传热过 程中的两表面间存在温差，削弱了传热。 由于接触表面间的不密实（气隙）而产生的 附加热阻叫做接触热阻. 不同接触情况下的 接触热阻主要靠实验测定。
第三章 稳态导热
1、通过平壁的导热
2、通过复合平壁的导热 3、通过圆筒壁的导热 4、通过肋片的导热分析 5、通过接触面的导热
1、通过平壁的导热(第一类边界条件?)
平壁的长度和宽度都远大于其厚度，因而当平板两侧保 持均匀边界条件时，热量只在厚度方向传递，温度只在厚度 方向变化，即一维稳态导热问题。
a.通过单层平壁的稳态导热
b.通过多层平壁的导热
1 1 (t w1 t w2 ) (t w1 t w2 ) 1 R ,1 1 q 2 (t w2 t w3 ) (t w2 t w3 ) 2 R , 2
q
3 1 q (t w3 t w4 ) (t w3 t w4 ) 3 R ,3
强化传热的重要方法──肋化
电子器件冷却
1）细长杆的导热
已知： ① 均质等截面细长杆（近似为一维导热） ② 基壁与周围流体温度分别为 t 0 t f ③ 杆材导热系数及其与流体的表面传热系数保持不变
（1）分析推导微分方程式 a.金属细长杆较大、d较小，假设细长杆任一横截面上 的温度均匀一致，所以只在杆高方向截取一微元段dx进 行分析。 b.为了方程简化分析，用过余温度进行计算。过余温度 ──某点温度与某一定值温度（基准温度）之差，定义未 受散热影响的流体温度 为基准温度。即： t t f c.令细长杆的横截面积为A，截面周长为U。
解：设两层保温层直径分别为d2、d3和d4，则 d3/d2=2，d4/d3=3/2。 将导热系数大的放在里面：
两种情况散热量之比为：
qL 0.1426 1.19 q 0.11969 L
结论：导热系数大的材料在外面，导热系数小 的材料放在里层对保温更有利。
4.通过肋片的导热分析
工程上和自然界常见到一些带有突出表面的物体，如摩托 车的气缸外壁、马达外壳、暖气片、多数散热器的气侧表 面，乃至人体的四肢及耳等。 肋片：依附于基础表面上的扩展表面。
由于不同材料的导热系数不同，严格地说复合平壁的 温度场是二维或三维的。
简化处理：当组成复合平壁各种材料的导热系数相差
不大时，可近似当作一维导热问题处理
接触面 两侧表面 总温差 复合平壁的导热量：
采用电路分析方法
t Φ R
总导热热阻
B、C、D材料的导热系数相 差不大时，假设它们之间 的接触面是绝热的。
d dt 0 dx dx
d dt 0 (1 bt ) 0 dx dx
0、b 为常数
x 0, t t w1 x , t t w2
dt 0 (1 bt ) c1 dx b 2 0 (t t ) c1 x c2 2 代入边界条件得其温度分布 ： （温度是二次曲线 分布）
a.通过单层圆筒壁的导热 数学描述: d r dt 0
dr dr
r r1 , t t1 r r2 , t t 2
3、通过圆筒壁的导热（第一类边界条件）
a.通过单层圆筒壁的导热 数学描述: d r dt 0
dr dr
r r1 , t t1 r r2 , t t 2
ins
ql
dx 1 1 d2 1 1 Rl ln ln h1d1 21 d1 2ins d 2 h2d x
临界热绝缘直径的求取:
令:
dRl 2ins 1 1 1 0 d x dc 2 d (d x ) 2 ins d x h2d x h2
三种情况的关系：
三种情况的关系：
2)等厚度直肋
m
hU A
h 2L L
2h
代入细杆导热公式就可计算（x）、
4)肋片效率
肋肋表面处于肋基温度下的散热量 平均值
hUH(t m t f ) m f 0 hUH(t 0 t f ) 0
对等厚直肋：
表面的平均过余温度：
1 1 m dx H 0 H
2t 2 t 2 t t a 2 2 2 x y z c
导热微分方程:
d t 0 2 dx
2
两个边界均为第一类边界条件
x 0, x ,
直接积分，得通解：
t t w1 t t w2
C W
（整个平壁的导热热阻?）
热流密度
t w1 t w 2 t w1 t w 2 t w1 t w 2 q A r
W
m2
式中： r
m
2
C W （单位面积导热热阻? ）
当λ随温度呈线性变化
（1 bt） , 0
3、通过圆筒壁的导热（第一类边界条件）
稳态导热 t 0
1 柱坐标系： (r t ) 1 ( t ) ( t ) 0 2 r r r r z z
当圆筒的截面尺寸相对管长很小，且管子内外壁面保持 均匀温度时，热量只在管径方向传递，通过管壁的导热 即为柱坐标系的一维问题。 一类边界
Rc
t A tB
t
本章练习题 P49，15，21
若d2< dc ，当dx在d2与d3范围内时，管道向外的散 热量比无绝缘层时更大， ； 只有当d2 dc时，覆盖绝热层才会减少热损失！
d x d 3 ql
一般的动力保温管道，是否要考虑临界热绝缘直径呢？
取ins 0.1W /(m K ), h2 9W /(m2 K ),得dc 22mm
t1 t4 ri 1 1 3 1 n r 2L i 1 i i
单位管长的热流量
t1 t 4 ql ri 1 1 3 1 L n r 2 i 1 i i
第三类边界条件下通过圆筒壁的导热
稳态导热，由前面讲解可知，壁内温度分布：
c.临界热绝缘直径 工程上，为减少管道的散热损失，常在管道外 侧覆盖热绝缘层或称隔热保温层。 问题：覆盖热绝缘层是否在 任何情况下都能减少热损失？ 保温层是否越厚越好？ 单位长度管道上的总热阻：
W m
1 r2 Rl ln 2 r1
m C W
b、通过多层圆筒壁的导热(运用串联热阻叠加原理) 带有保温层的热力管道、嵌套的金属管道和结垢、积灰 的输送管道等
t 2 t3 t3 t 4 t1 t 2 1 r r 1 r 1 n 2 n 4 n 3 21 L r1 22 L r2 23 L r3
二阶常微分方程
通解形式
杆内过余温度分布如右图：
根部温度变化率：
d dx
x 0
sh[m( H x)] m 0 ch(m H)
x 0
m 0 th(m H)
细杆散热量：
d A dx
x 0
hU Am 0 th(mH ) 0 th(mH ) m
dt c1 t c1 x c2 dx
代入边界条件得平壁内温度分布：
t
t w 2 t w1
x t w1 （线性分布）
热流量
Φ A t t t t t t dt A w1 w 2 w1 w 2 w1 w 2 dx A R
W
式中： R (A)
t t 1 dt 2rL w1 w 2 ln( r r ) r dr 2 1
t w1 t w 2 t w1 t w 2 1 r R ln 2 2L r1
W
单位长度圆筒壁的热流量
t w1 t w 2 t w1 t w 2 Φ ql r2 1 L Rl ln 2 r1
一类边界
代入边界条件得圆筒壁的温度分布为:
r ln t t1 r1 r2 t 2 t1 ln r1
圆筒壁内的温度分布 是一条对数曲线
稳态导热时圆筒壁内外壁面热流 相等，但内壁面积小于外壁面积， 所以内壁面热流密度总是大于外 壁面，由付立叶定律可知，内壁 面的温度曲线要比外壁面陡。
Φ A
q
1 2 3 1 2 3
t w1 t w4
t w1 t w4
R
i 1
3
q
t w1 t w,n 1
,i
R
i 1
n
,i
第三类边界条件平壁的导热问题
传热系数？
k
1 1 h1 h2
1
2.通过复合平壁的导热
工程上会遇到这样一类平壁，无论沿宽度还是厚度方 向，都是由不同材料组合而成 ，称为复合平壁。 如：空斗墙、空斗填充墙、空心板墙、夹心板墙。
一般的动力保温管道外径远大于22mm，所以在供暖通风 工程中很少出现。
例： 某管道外经为2r，外壁温度为t1，如外包两层厚 度均为r（即2＝3＝r）、导热系数分别为2和3（ 2 / 3=2）的保温材料，外层外表面温度为t2。如将两层 保温材料的位置对调，其他条件不变，保温情况变化 如何？由此能得出什么结论？
成曲线图以供查阅.
矩形和三角形肋片的效率 矩形截面环肋的效率
肋片散热量可用以下方法计算:
查图得肋效率 肋形状参数 实际散热量 最大散热量计算
肋化对传热有利的判据
以无限高细杆为对象，
(l / ) Bi 1 h
物体内外热阻的无量纲比值
5、通过接触面的导热 在推导多层壁导热的公式时，假定两壁面之 间保持良好的接触，即层间保持同一温度。 而在工程实际中固体表面之间的接触都是有 间隙的。 如图两壁面之间存在空气间隙，使得传热过 程中的两表面间存在温差，削弱了传热。 由于接触表面间的不密实（气隙）而产生的 附加热阻叫做接触热阻. 不同接触情况下的 接触热阻主要靠实验测定。
第三章 稳态导热
1、通过平壁的导热
2、通过复合平壁的导热 3、通过圆筒壁的导热 4、通过肋片的导热分析 5、通过接触面的导热
1、通过平壁的导热(第一类边界条件?)
平壁的长度和宽度都远大于其厚度，因而当平板两侧保 持均匀边界条件时，热量只在厚度方向传递，温度只在厚度 方向变化，即一维稳态导热问题。
a.通过单层平壁的稳态导热
b.通过多层平壁的导热
1 1 (t w1 t w2 ) (t w1 t w2 ) 1 R ,1 1 q 2 (t w2 t w3 ) (t w2 t w3 ) 2 R , 2
q
3 1 q (t w3 t w4 ) (t w3 t w4 ) 3 R ,3
强化传热的重要方法──肋化
电子器件冷却
1）细长杆的导热
已知： ① 均质等截面细长杆（近似为一维导热） ② 基壁与周围流体温度分别为 t 0 t f ③ 杆材导热系数及其与流体的表面传热系数保持不变
（1）分析推导微分方程式 a.金属细长杆较大、d较小，假设细长杆任一横截面上 的温度均匀一致，所以只在杆高方向截取一微元段dx进 行分析。 b.为了方程简化分析，用过余温度进行计算。过余温度 ──某点温度与某一定值温度（基准温度）之差，定义未 受散热影响的流体温度 为基准温度。即： t t f c.令细长杆的横截面积为A，截面周长为U。
解：设两层保温层直径分别为d2、d3和d4，则 d3/d2=2，d4/d3=3/2。 将导热系数大的放在里面：
两种情况散热量之比为：
qL 0.1426 1.19 q 0.11969 L
结论：导热系数大的材料在外面，导热系数小 的材料放在里层对保温更有利。
4.通过肋片的导热分析
工程上和自然界常见到一些带有突出表面的物体，如摩托 车的气缸外壁、马达外壳、暖气片、多数散热器的气侧表 面，乃至人体的四肢及耳等。 肋片：依附于基础表面上的扩展表面。
由于不同材料的导热系数不同，严格地说复合平壁的 温度场是二维或三维的。
简化处理：当组成复合平壁各种材料的导热系数相差
不大时，可近似当作一维导热问题处理
接触面 两侧表面 总温差 复合平壁的导热量：
采用电路分析方法
t Φ R
总导热热阻
B、C、D材料的导热系数相 差不大时，假设它们之间 的接触面是绝热的。
d dt 0 dx dx
d dt 0 (1 bt ) 0 dx dx
0、b 为常数
x 0, t t w1 x , t t w2
dt 0 (1 bt ) c1 dx b 2 0 (t t ) c1 x c2 2 代入边界条件得其温度分布 ： （温度是二次曲线 分布）
a.通过单层圆筒壁的导热 数学描述: d r dt 0
dr dr
r r1 , t t1 r r2 , t t 2
3、通过圆筒壁的导热（第一类边界条件）
a.通过单层圆筒壁的导热 数学描述: d r dt 0
dr dr
r r1 , t t1 r r2 , t t 2
ins
ql
dx 1 1 d2 1 1 Rl ln ln h1d1 21 d1 2ins d 2 h2d x
临界热绝缘直径的求取:
令:
dRl 2ins 1 1 1 0 d x dc 2 d (d x ) 2 ins d x h2d x h2
三种情况的关系：
三种情况的关系：
2)等厚度直肋
m
hU A
h 2L L
2h
代入细杆导热公式就可计算（x）、
4)肋片效率
肋肋表面处于肋基温度下的散热量 平均值
hUH(t m t f ) m f 0 hUH(t 0 t f ) 0
对等厚直肋：
表面的平均过余温度：
1 1 m dx H 0 H