十字相乘法专项训练

十字相乘法专项训练

一、基础概念：

1．二次三项式：

多项式2ax bx c ++，称为字母x 的二次三项式，其中2ax 称为二次项，bx 为一次项，c 为常数项． 例如，223x x --和256x x ++都是关于x 的二次三项式．

在多项式2268x xy y -+中，如果把y 看作常数，就是关于x 的二次三项式；如果把x 看作常数，就是关于y 的二次三项式．

在多项式22273a b ab -+中，把ab 看作一个整体，即22()7()3ab ab -+，就是关于ab 的二次三项式．同样，多项式2()7()12x y x y ++++，把x y +看作一个整体，就是关于x y +的二次三项式．

2．十字相乘法的依据和具体内容：

利用十字相乘法分解因式，实质上是逆用()()ax b cx d ＋＋竖式乘法法则．它的一般规律是：

（1）对于二次项系数为1的二次三项式q px x ++2

，如果能把常数项q 分解成两个因数a ，b 的积，并且a ＋b 为一次项系数p ，那么它就可以运用公式：

))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++

分解因式．这种方法的特征是“拆常数项，凑一次项”．公式中的x 可以表示单项式，也可以表示多项式，当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同．

（2）对于二次项系数不是1的二次三项式c bx ax ++2

(a ，b ，c 都是整数且0a ≠)来说，如果存在四个整数1a ，2a ，3a ，4a ，使a a a =⋅21，c c c =⋅21，且b c a c a =+1221，则可用十字相乘法进行因式分解．

3．因式分解一般要遵循的步骤：

先考虑能否提公因式，再考虑能否运用公式或十字相乘法，最后考虑分组分解法．对于一个还能继续分解的多项式因式仍然用这一步骤反复进行．以上步骤可用口诀概括如下：“首先提取公因式，然后考虑用公式、十字相乘试一试，分组分解要合适，四种方法反复试，结果应是乘积式”．

二、经典例题：

【例1】把下列各式分解因式：

（1）2215x x -- ；（2）2256x xy y -+．

【例2】把下列各式分解因式：

（1）2253x x --；（2）2383x x +-．

【点拨】二次项系数不等于1的二次三项式应用十字相乘法分解时，二次项系数的分解和常数项的分解随机性较大，往往要试验多次，这是用十字相乘法分解的难点，要适当增加练习，积累经验，才能提高速度和准确性．

【例3】把下列各式分解因式：

（1）42109x x -+； （2）327()5()2()x y x y x y +-+-+；

（3）222(8)22(8)120a a a a ++++．

三、热点考题：

1．把下列各式分解因式：

（1）276a a -+； （2）28635x x +-；

（3）218215x x -+； （4）220920y y --；

（5）2231x x ++； （6）226y y +-；

（7）26136x x -+； （8）2376a a --；

（9）26113x x -+；

（10）2483m m ++；

（11）210212x x -+；

（12）282215m m -+；

（13）24415n n +-；

（14）2635a a +-；

（15）25813x x --；

（16）24159x x ++；

（17）2152x x +-；

（18）261910y y ++；

（19）222()()()6()a b a b a b a b +++---； （20）27(1 410)()2x x -+--．

2．把下列各式分解因式：

（1）42

--；

536

x x

x x

76

-+；（2）42

（3）4224

-+；（4）6336

x x y y

46516

--；

78

a a

b b

（5）432

a a

b a b

-+．

4379 654

a a a

--；（6）64224

3．把下列各式分解因式：

（1）222

(2)9

x x--；

x x

(3)4

--；（2）22

（3）2222

+-++；

x x x x

()17()60 x x x x

++-++；（4）222 (321)(233)

（5）222

a b a b

(2)14(2)48

+-++．x x x x

+-+-；（6）2

(2)7(2)8

4．把下列各式分解因式：

（1）2

a a

-+；

384

2157

x x

++；（2）2

（3）2576x x +-； （4）261110y y --；

（5）2252310a b ab +-； （6）222231710a b abxy x y -+．

（7）26136x x -+； （8）2376a a --；

（9）22483m mn n ++； （10）53251520x x y xy --．

5．解下列方程：

（1）220x x --=； （2）2560x x +-=；

（3）23440a a +-=； （4）227150b b +-=．