因式分解之十字相乘法专项练习题

十字相乘法进行因式分解

1. 二次三项式

多项式cix2 +bx + c ,称为字母“的二次三项式，其中ax'称为二次项，&为一次项，c 为常数项.例如，x2 -2x-3和疋+5尤+ 6都是关于x的二次三项式.

在多项式X2-6A>-+8V2中，如果把y看作常数，就是关于“的二次三项式；如果把x 看作常数，就是关于y的二次三项式.

在多项式2a2b2-lab+3中，把訪看作一个整体,即2(“尸-7(ab) + 3，就是关于訪的二次三项式.同样，多项式(x+)y+7(x+y) + 12 ,把x+y看作一个整体，就是关于x +卩的二次三项式.

2. 十字相乘法的依据和具体内容

利用十字相乘法分解因式，实质上是逆用(»+ © (cx+小竖式乘法法则.它的一般规律是：

(1) 对于二次项系数为1的二次三项式x2+px + q f如果能把常数项g分解成两个因数曰，6的积，并

且a+b为一次项系数。那么它就可以运用公式

[

x' + {a + b)x + ab = (x + a){x + b)

分解因式.这种方法的特征是''拆常数项，凑一次项”.公式中的"可以表示单项式，也可以表示多项式，当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同.

(2) 对于二次项系数不是1的二次三项式a^+bx + c (a, b, c都是整数且mfO)来说，如果存在四个整数a v a19c v c2,使a〕・a2=a f c{*c2=c ,且a{c2 + a2c} = b ,

3. 因式分解一般要遵循的步骤

多项式因式分解的一般步骤：先考虑能否提公因式，再考虑能否运用公式或十字相乘

法，最后考虑分组分解法.对于一个还能継续分解的多项式因式仍然用这一步骤反复进行.以上步骤

可用口诀概括如下：“首先提取公因式，然后考虑用公式、十字相乘试一试, 分组分解要合适，四种方法反复试，结果应是乘积式”.

【典型热点考题】

例1把下列各式分解因式：

(1) x2—2x—15 ; (2) x2 -5xy+6y2.

解：

例2把下列各式分解因式：

(1) 2X2-5X-3; (2) 3X2+8X-3.

解：

点拨：二次项系数不等于1的二次三项式应用十字相乘法分解时，二次项系数的分解和常数项的分解随机性较大，往往要试验多次，这是用十字相乘法分解的难点，要适当增加练习，积累经验，才能提高速度和准确性.

■

例3把下列各式分解因式：

(1) X4-10X2+9; (2) 7(x + y)3 -5(x + y)2 -2(x + y):

(3) (a2 +8a)2 +22(a2 +8a) + 120 .

十字相乘法专项练习题

(1) a2—7a+6; (3)18X2-21X+5; <

(5) 2X2+3X+1;

(7) 6x2—13x+6; <

(9) 6X2-11X+3; (2)8X2+6X-35; (4) 20-9y-20y2; (6) 2y2+y—6; (8) 3a z—7a —6;

(10) 4m z+8m+3;

(11)10x2-21x+2; (12) 8m2-22m+15;

(13) 4n2+4n —15; (14) 6a'+a —35;

(15) 5x2—8x —13;

(17)15X2+X-2：

(19) 2 (a+b)2 + (a+b) (a —b) —6 (a —b) I

把下列各式分解因式：

(1) x4 -7x2 +6 ;

(16) 4x z+15x+9;

(18) 6y2+19y+10;

(20)7(x-1)2 +4(x-1)-20：(2) X4-5X2-36;

(3) 4x4 -65x2y2 +16y4: (4)泸一7/戻一8胪；

(5) 6宀5/-4/；(6) 4? 一37/，+9/戻.

15.把下列各式分解因式:

(2) /(兀一2尸一9; ( 3) (3x 2 + 2x +1)2-(2x 2 + 3x + 3)2:

(6)

(2“ + /?)2—14(2a+b) + 48 ・

(1) 2x 2+15x + 7

(2) 3/一&/ + 4 (3) 5x 2+7x-6

(5) 5a 2b 2

+23ab-lQ

(6) 3a 2b 2 -\7abxy + \0x 2y 2

(7)

7与+ i2),2

(1) (X 2-3)2-4X 2

:

(4)

(x 2 +x)2

-17(x 2 +x) + 60 ;

(5)

(x" + 2x)~ —7(疋 +2x) — 8 :

(4) 6于一11)，一10

⑻X4+7X2-18 (9) 4m2+8mn + 3n2 (10) 5x5-15x3y-2O^2

六、解下列方程

(1) X2-X-2=O (2) X2+5X-6=O (3) 3/+4& — 4 = 0 ⑷ 2戾+7〃一15 = 0