2021年高中数学必修第二册“统计与概率”讲义精练：第五章 5.3 5.3.1 课后课时精练(人教B版)
高中数学第五章统计与概率5.3概率5.3.2事件之间的关系与运算教学1b高一必修第二册数学
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内容(nèiróng)总结
第五章 统计(tǒngjì)与概率。说出每一事件的实际意义，并尝试理解上述各事件之间的关系.。2理解，互斥事件和对立事件的概念 及关系。会用互斥事件与对立事件的概念公式求概率。3.会用自然语言、符号语言表示事件之间的关系与运算，加强数学抽象素养的培
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即时训练3 已知数学考试中，李明名成绩高于90分的概率为0.3，不低于60分且不高于90 分的概率为0.5，求： （1）李明成绩不低于60分的概率； （2）李明成绩低于60分的概率。5事件(shìjiàn)的混合运算。
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第五章 统计 与概率 (tǒngjì)
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5.3 概率(gàilǜ)
5.3.2 事件(shìjiàn)之间的关系与运算
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5.3.2 事件(shìjiàn)之间的关系与运 算
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【导入新课】 回顾1.集合间的运算(yùn suàn)及关系
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问题探究二：事件的和（并） （1）给定事件A,B。由所有A中的样本点与所有B中的样本点组成的事件， 称为A与B的和（或并），记作A+B（或A∪B）。 （2）事件A+B发生(fāshēng)，则当且仅当事件A与事件B中至少有一个发生。
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P（A）≤P(A+B) ， P（B）≤P(A+B) ， P(A+B)≤P（A）+P(B)
新教材高中数学第五章统计与概率53概率535随机事件的独立性课件新人教B版必修第二册
新知初探·自主学习
课堂探究·素养提升
【课程标准】 结合有限样本空间，了解两个随机事件独立性的含义．结合古典概 型，利用独立性计算概率．性 对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝P(A)P(B)成立，则称事件A与事 件B相互独立，简称独立．
(4)2人至多有1人射中目标的概率．
状元随笔 (1)3个独立事件直接利用乘法公式计算． (2)可以分类求1人被选中，2人被选中，3人被选中，再用概率加法 公式求概率；也可以先求三人均未被选中的概率，再利用对立事件概 率公式求解．
方法归纳
求较复杂事件概率的一般步骤如下： (1)列出题中涉及的各个事件，并且用适当的符号表示； (2)理清事件之间的关系(两个事件是互斥还是对立，或者是相互独立 的)，列出关系式； (3)根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算； (4)当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算其 对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率．
(2)同理可判断A、B的关系．
题型2 相互独立事件同时发生的概率[经典例题]
例2 甲、乙两射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为
0.8，乙射中的概率为0.9，求： (1)2人都射中目标的概率；
若A、B相互独立，则P(AB)＝P(A)·P(B)
(2)2人中恰有1人射中目标的概率；
(3)2人至少有1人射中目标的概率；
答案：C
课堂探究·素养提升
课堂探究·素养提升——强化创新性 题型1 相互独立事件的判断[经典例题] 例1 (1)判断下列事件是否是相互独立事件． 甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组 中各选1人参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选 出1名女生”；
2020年高中数学必修第二册“统计与概率”讲义精练：第五章 5.3 5.3.3(人教B版)
5.3.3古典概型(教师独具内容)课程标准：结合具体实例，理解古典概型，能计算古典概型中简单随机事件的概率.教学重点：古典概型的定义，古典概型的概率计算公式.教学难点：应用古典概型的概率计算公式解决实际问题.知识点错误!未指定书签。
一古典概型的概念一般地，如果随机试验的样本空间所包含的样本点个数是□01有限的(简称为□02有限性)，而且可以认为每个只包含一个样本点的事件(即基本事件)发生的可能性大小都□03相等(简称为□04等可能性)，则称这样的随机试验为□05古典概率模型，简称为古典概型．一个随机试验是否能归结为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征——□06有限性与□07等可能性．知识点错误!未指定书签。
二古典概型的概率计算公式在古典概型中，如果样本空间Ω包含的样本点总数为n，事件A包含的样本点个数为m，那么事件A发生的概率为□01P(A)＝A包含的样本点个数Ω包含的样本点总数＝m n.1．古典概型的判断(1)判断一个试验是否为古典概型，关键在于看这个试验是否具有古典概型的两个特征：有限性和等可能性．(2)并非所有的试验都是古典概型，下列三类试验都不是古典概型：①样本点个数有限，但不具备等可能性；②样本点个数无限，但具备等可能性；③样本点个数无限，也不具备等可能性．2．从集合的角度理解古典概型的概率计算公式用集合的观点来考察事件A的概率，有利于帮助我们生动、形象地理解事件A 与样本点的关系，有利于理解公式P (A )＝m n .如图所示．把一次试验中等可能出现的n 个样本点组成一个集合I ，其中每一个样本点就是I 中的一个元素，把含m 个样本点的事件A 看作含有m 个元素的集合，则集合A 是集合I 的一个子集，故有P (A )＝m n .1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若一个试验的样本空间所包含的样本点个数为有限个，则该试验是古典概型．( )(2)从装有三个大球、一个小球的袋中，取出一球的试验是古典概型．( )(3)若一个古典概型的样本空间所包含的样本点总数为n ，则每一个样本点出现的概率都是1n .( )答案 (1)× (2)× (3)√2．做一做(1)下列关于古典概型的说法中正确的是( )①试验的样本空间所包含的样本点个数只有有限个；②每个事件出现的可能性相等；③每个样本点出现的可能性相等；④样本点的总数为n ，随机事件A 若包含k 个样本点，则P (A )＝k n .A ．②④B ．①③④C ．①④D ．③④答案 B解析 根据古典概型的特征与其概率计算公式进行判断，①③④正确，②不正确．故选B.(2)掷一个质地均匀的骰子，观察掷出的点数，则掷得奇数点的概率是( ) A.12 B.16 C.13 D.14答案 A解析 掷质地均匀的骰子试验的样本空间中共有6个样本点，具有有限性和等可能性，因此是古典概型．因为这个试验的样本点共有6个，即出现1点，出现2点，…，出现6点，所以样本点总数n＝6.{掷得奇数点}＝{出现1点，出现3点，出现5点}，其包含的样本点个数m＝3，所以掷得奇数点的概率P＝1 2.(3)从甲、乙、丙三人中任选两人担任课代表，甲被选中的概率为()A.12 B.13C.23D．1答案 C解析从甲、乙、丙三人中任选两人的样本空间Ω＝{(甲、乙)，(甲、丙)，(乙、丙)}．共包含3个样本点，且这3个样本点发生的可能性是相等的，其中，甲被选中包含的样本点个数为2，故甲被选中的概率为P＝2 3.题型一古典概型的判定例1袋中有大小相同的3个白球，2个红球，2个黄球，每个球有一个区别于其他球的编号，从中随机摸出一个球．(1)把每个球的编号看作一个样本点建立的概率模型是不是古典概型？(2)把球的颜色作为划分样本点的依据，有多少个样本点？以这些样本点建立的概率模型是不是古典概型？[解](1)因为样本点个数有限，而且每个样本点发生的可能性相同，所以是古典概型．(2)把球的颜色作为划分样本点的依据，可得到“取得一个白色球”“取得一个红色球”“取得一个黄色球”，共3个样本点．这些样本点个数有限，但“取得一个白色球”的概率与“取得一个红色球”或“取得一个黄色球”的概率不相等，即不满足等可能性，故不是古典概型．判断一个试验是否是古典概型的方法判断一个试验是不是古典概型，要把握试验样本空间中样本点的有限性和等可能性这两个特征，试验样本点的有限性比较好判断，在应用古典概型时务必要注意“等可能性”这个条件，这需要根据实际情况去判断．某同学随机地向一靶心进行射击，这一试验的样本空间包含的样本点只有有限个：命中10环、命中9环、……、命中5环和不中环．你认为这是古典概型吗？为什么？解不是古典概型，因为虽然试验的样本空间包含的样本点只有7个，而命中10环、命中9环、……、命中5环和不中环的出现不是等可能的，即不满足古典概型的第二个条件.题型二简单古典概型概率的计算例2从1,2,3,4,5这5个数字中任取三个不同的数字，求下列事件的概率：(1)事件A＝{三个数字中不含1或5}；(2)事件B＝{三个数字中含1或5}．[解]这个试验的样本空间为Ω＝{(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)}，样本点总数n＝10，且这10个样本点发生的可能性是相等的．(1)因为事件A＝{(2,3,4)}，所以事件A包含的样本点个数m＝1.所以P(A)＝mn＝110.(2)因为事件B＝{(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)}，所以事件B包含的样本点个数m＝9.所以P(B)＝mn＝910.1.古典概型概率的计算步骤(1)确定等可能样本点总数n；(2)确定所求事件所包含样本点个数m；(3)P(A)＝m n.2．使用古典概型的概率计算公式的注意点(1)首先确定是否为古典概型；(2)事件A是什么，所包含的样本点有哪些．甲、乙两人玩一种游戏，每次由甲、乙各出1到5根手指头，若和为偶数则甲赢，否则乙赢．(1)若以A表示事件“和为6”，求P(A)；(2)若以B表示事件“和大于4且小于9”，求P(B)；(3)这个游戏公平吗？请说明理由．解这个试验的样本空间如下表所示：由上表可知，该试验的样本空间共包含25个等可能发生的样本点，属于古典概型．(1)事件A包含了(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，共5个样本点，故P(A)＝5 25＝15.(2)事件B包含了(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，共16个样本点，所以P(B)＝16 25.(3)这个游戏不公平．因为“和为偶数”的概率为1325，“和为奇数”的概率是1225，二者不相等，所以游戏不公平.题型三较复杂古典概型概率的计算例3有A，B，C，D四位贵宾，应分别坐在a，b，c，d四个席位上，现在这四人均未留意，在四个席位上随便就坐时．(1)求这四人恰好都坐在自己席位上的概率；(2)求这四人恰好都没坐在自己席位上的概率；(3)求这四人恰好有1位坐在自己席位上的概率．[解]将A，B，C，D四位贵宾就座情况用下面图形表示出来：。
2021年高中数学必修第二册“统计与概率”讲义精练：第五章 5.1 5.1.1 第2课时 课后课时精练(人教B版)
『高中数学』教学课件‖课时训练‖讲义测试‖A级：“四基”巩固训练一、选择题1．下列抽样方法是简单随机抽样的是()A．从100个学生家长中一次性随机抽取10人做家访B．从38本教辅参考资料中有放回地随机抽取3本作为教学参考C．从自然数集中一次性抽取20个进行奇偶性分析D．某参会人员从最后一排20个座位中随机选择一个坐下答案 D解析A不是简单随机抽样，因为是“一次性”抽取；B不是简单随机抽样，因为是“有放回”抽取；C不是简单随机抽样，因为是“一次性”抽取，且“总体容量无限”．D是简单随机抽样．2．对简单随机抽样来说，某一个个体被抽取的可能性()A．与第几次抽样有关，第一次抽到的可能性要大些B．与第几次抽样无关，每次抽到的可能性都相等C．与第几次抽样有关，最后一次抽到的可能性大些D．与第几次抽样无关，每次都是等可能抽取，但各次抽到的可能性不一样答案 B解析简单随机抽样是等可能抽样，不仅每次从总体中抽取一个个体时每个个体被抽到的可能性相等，而且在整个抽样过程中每个个体被抽到的可能性也相等，从而保证了抽样的公平性．3．利用随机数表法对一个容量为500，编号为000,001,002，…，499的产品进行抽样检验，抽取一个容量为10的样本．若选定从随机数表的第12行第4列的数开始向右读数(随机数表的第12行至第13行如下所示)，一次选取三个数字，则读出的第3个数是()A．584 B．114C．311 D．146答案 C解析从第12行第4列的数开始向右读数可得，238,160,311,463,224，…，所以读出的第3个数是311.故选C.4．为抽查汽车排放尾气的合格率，某环保局在一路口随机抽查，这种抽查是()A．简单随机抽样B．抽签法C．随机数表法D．以上都不对答案 D解析由于不知道总体的情况(包括总体个数)，因此不属于简单随机抽样．5．某总体容量为M，其中带有标记的有N个，现用简单随机抽样方法从中抽取一个容量为m的样本，则抽取的m个个体中带有标记的个数估计为()A.mNM B.mMNC.MNm D．N答案 A解析设m个个体中带有标记的个数为n，根据简单随机抽样的特点知N M＝nm，解得n＝mN M.二、填空题6．一次体育运动会，某代表团有6名代表参加，欲从中抽取一人检查是否服用兴奋剂，抽检人员将6名队员名字编号为1～6号，然后抛掷一枚均匀骰子，朝上的一面是几就抽检几号对应的队员，这种抽检方式________(填“是”或“不是”)简单随机抽样．答案是解析抛掷一枚均匀骰子，各面向上的机会是均等的，故每名队员被抽到的机会相等．7．用随机数表法从100名学生(男生25人)中抽选20人参加一项文体活动，某男学生被抽到的可能性是________．答案1 5解析因为样本容量为20，总体容量为100，所以总体中每个个体被抽到的可能性都为20100＝1 5.8．为了检验某种产品的质量，决定从1001件产品中抽取10件进行检查，用随机数表法抽取样本的过程中，所编的号码的位数最少是________位．答案四解析由于所编号码的位数和读数的位数要一致，因此所编号码的位数最少是四位．从0000到1000，或者是从0001到1001，等等．。
2020年高中数学必修第二册“统计与概率”讲义精练：第五章 5.3 5.3.2(人教B版)
5.3.2事件之间的关系与运算(教师独具内容)课程标准：1.了解随机事件的并、交、互斥与对立的含义，能结合实例进行随机事件的并、交运算.2.通过实例，理解概率的性质，掌握随机事件概率的运算法则.教学重点：事件的关系和运算，互斥事件、对立事件的概念，用概率的性质求事件的概率.教学难点：区别互斥事件和对立事件，事件的混合运算.知识点错误!未指定书签。
一事件的包含(1)一般地，如果事件A发生时，事件B一定发生，则称“□01A包含于□02 B”(或“□03B包含□04A”)，记作□05A⊆B(或□06B⊇A)，这一关系可用下图表示．(2)□07A⊆B也可用充分必要的语言表述为：A发生是B发生的□08充分条件，B发生是A发生的□09必要条件．(3)如果A⊆B，则P(A)□10≤P(B)．知识点错误!未指定书签。
二事件的相等(1)如果事件A发生时，事件B一定发生；而且事件B发生时，事件A也一定发生，则称“□01A与B相等”，记作□02A＝B.(2)A＝B⇔□03A⊆B且B⊆A.A＝B也可用充分必要的语言表述为：A发生是B发生的□04充要条件．(3)当A＝B时，有P(A□05＝P(B)．知识点错误!未指定书签。
三事件的和(并)(1)给定事件A，B，由所有A中的样本点与B中的样本点组成的事件称为□01 A与B的和(或并)，记作□02A＋B(或□03A∪B)．事件A与B的□04和可以用如图所示的阴影部分表示．(2)由定义可知：①事件A＋B发生时，当且仅当□05事件A与事件B中至少有一个发生；②A□06⊆(A＋B)且B□07⊆(A＋B)．因此，P(A)□08≤P(A＋B)且P(B)□09≤P(A＋B)，P(A＋B)□10≤P(A)＋P(B)．知识点错误!未指定书签。
四事件的积(交)(1)给定事件A，B，由A与B中的公共样本点组成的事件称为□01A与B的积(或□02交)，记作□03AB(或□04A∩B)．事件A与B的□05积可以用如图所示的阴影部分表示．(2)由定义可知：①事件AB发生时，当且仅当□06事件A与事件B都发生．②AB□07⊆A，AB□08⊆B.因此，P(AB)□09≤P(A)，P(AB)□10≤P(B)．知识点错误!未指定书签。
新教材高中数学第5章统计与概率5 3概率5 3 2事件之间的关系与运算学案含解析新人教B版必修第二册
科学的思考方式英语作文Scientific Thinking。
Scientific thinking is a way of approaching problems and finding solutions based on evidence and logical reasoning. It involves a systematic approach to understanding the world around us, using observation, experimentation, and critical thinking to arrive at conclusions that are based on facts rather than opinions or beliefs.The first step in scientific thinking is to ask questions. Scientists are always curious about the world around them and are constantly asking questions about how things work, why things happen, and what causes certain phenomena. They use their observations and experiences to formulate hypotheses, or educated guesses, about the answers to these questions.Once a hypothesis has been formulated, scientistsdesign experiments to test it. They carefully control all the variables that could affect the outcome of the experiment, and then collect data to see if their hypothesis is supported or refuted by the evidence. If the results of the experiment support the hypothesis, it can be considered valid and may be used to make predictions about future events.However, if the results do not support the hypothesis, scientists must revise their ideas and come up with a new hypothesis to explain the data. This process of testing and revising hypotheses is an important part of scientific thinking, as it allows scientists to refine their understanding of the world and develop new theories and explanations for the phenomena they observe.In addition to testing hypotheses, scientific thinking also involves critical thinking. Scientists must be able to evaluate evidence objectively, weigh the strengths and weaknesses of different arguments, and consider alternative explanations for the data they collect. They must also be willing to revise their ideas in light of new evidence,even if it contradicts their previous beliefs or assumptions.Finally, scientific thinking requires a willingness to collaborate with others and share information openly. Scientists often work in teams to design experiments, collect data, and analyze results, and they must be able to communicate their findings clearly and accurately to others in their field. This collaboration helps to ensure that scientific knowledge is accurate and reliable, and that new discoveries can be built upon by future generations of scientists.In conclusion, scientific thinking is a powerful tool for understanding the world around us. By asking questions, testing hypotheses, and evaluating evidence objectively, scientists are able to develop new theories and explanations for the phenomena they observe. This process of discovery and refinement is a hallmark of scientific thinking, and it has led to many of the greatest advances in human knowledge and understanding.。
高中数学第五章统计与概率5.3概率5.3.2事件之间的关系与运算教学2b高一必修第二册数学
me)A＝A1＋A2＋A3表示(
)
A．全部击中
B．至少击中1发
C．至少击中2发
D．以上均不正确
2.（2019全国Ⅰ理3）把红、黑、白3张纸牌随机地分给甲、乙、丙3个人，每个人
分得1张， 事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是( )
A．对立事件ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B．两个不可能事件
C．互斥但不对立事件
D．两个概率不相等的事件
No 所以它们是互斥事件。(3)因为“至少有1名男生”与“全是女生”不可能同时发生，所以它们互斥。A．全部击中 B．至少击中1发
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发生，所以它们不是互斥事件．
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【 】 课堂 小结 (kètáng)
1.事件的关系理解(lǐjiě) 2.事件的运算
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【反馈(fǎnkuì)检测】
1．(2018天津) 1．打靶3次，事件Ai表示“击中i发”，其中i＝0，1，2，3.那么(nà
【提出问题】 用图像如何来表达这种关系(guān xì)？ 请同学们自己动手尝试一下
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第五页，共十七页。
• 二.事件(shìjiàn)的和（并 ）
给定事件A，B，由所有A中的样本点与B中的样本点组成(zǔ chénɡ) 的事件称为A与B的和(或并) 记作A＋B(或A∪B)
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球}，事件B＝{3个球中有2个红球1个白球}，事件C＝{3个球中至少(zhìshǎo)有1个红球}，
事件D＝{3个球中既有红球又有白球}．
求：
(1)事件D与A、B是什么样的运算关系？
2020年高中数学必修第二册“统计与概率”讲义精练：第五章 5.3 5.3.5(人教B版)
5.3.5随机事件的独立性(教师独具内容)课程标准：结合有限样本空间，了解两个随机事件独立性的含义．结合古典概型，利用独立性计算概率.教学重点：两个随机事件相互独立的概念，两个随机事件相互独立的判断.教学难点：运用事件的独立性解决问题.知识点错误!未指定书签。
一独立事件的概念(1)一般地，当P(AB)＝□01P(A)P(B)时，就称A与B相互独立(简称□02独立)．(2)A与B相互独立的直观理解是，事件A是否发生□03不会影响事件B发生的概率，事件B是否发生□04也不会影响事件A发生的概率．(3)两个事件相互独立的概念也可以推广到有限个事件，即“A1，A2，…，A n相互独立”的充要条件是“□05其中任意有限个事件同时发生的概率都等于它们的概率之积．”知识点错误!未指定书签。
二事件独立的性质(1)如果A与B相互独立，则□01A－与B，□02A与B－，□03A－与B－也相互独立．(2)多个事件独立具有与□04两个事件独立类似的性质．例如，如果A1，A2，A3相互独立，则A－1，A2，A3也相互独立等．1．事件A与B相互独立，则P(AB)＝P(A)P(B)，反之，若P(AB)＝P(A)P(B)，则A，B两事件也相互独立．2．互斥事件与独立事件的区别“互斥事件”和“相互独立事件”是两个不同的概念，前者表示不可能同时发生的两个事件，后者是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响．相互独立的事件可以同时发生，且同时发生的概率P(AB)＝P(A)P(B)，而互斥的两个事件A，B满足P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．两事件A，B相互独立是指事件A 发生的概率与事件B 是否发生没有关系，并不是说A ，B 间没有关系．相反若A ，B 独立，则常有AB ≠∅，即A 与B 不互斥；A ，B 互斥是指A 的出现必导致B 的不出现，并没有说A 出现的概率与B 是否出现有关系．事实上，当P (A )>0，P (B )>0时，若A ，B 互斥，则AB ＝∅，从而P (AB )＝0，但P (A )P (B )>0，因而等式P (AB )＝P (A )P (B )不成立，即互斥未必独立．若A ，B 独立，则P (AB )＝P (A )P (B )>0，从而A ，B 不互斥(否则，P (AB )＝0，导致矛盾)．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)不可能事件与任何一个事件相互独立．( )(2)必然事件与任何一个事件相互独立．( )(3)“P (AB )＝P (A )P (B )”是“事件A ，B 相互独立”的充要条件．( )答案 (1)√ (2)√ (3)√2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)甲、乙两水文站同时进行水文预报，如果甲站、乙站各自预报的准确率为0.8和0.7.那么，在一次预报中，甲、乙两站预报都准确的概率为________．(2)一件产品要经过两道独立的工序，第一道工序的次品率为a ，第二道工序的次品率为b ，则该产品的正品率为________．(3)已知A ，B 是相互独立事件，且P (A )＝12，P (B )＝23，则P (A B －)＝________；P (A －B －)＝________.答案 (1)0.56 (2)(1－a)(1－b) (3)16 16题型一 事件独立性的判断例1 一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A ＝{一个家庭中既有男孩又有女孩}，B ＝{一个家庭中最多有一个女孩}．对下述两种情形，讨论A 与B 的独立性：(1)家庭中有两个小孩；(2)家庭中有三个小孩．[解] (1)有两个小孩的家庭，小孩为男孩、女孩的样本空间为Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}，共包含4个样本点，由等可能性知每个样本点发生的概率均为14.这时A ＝{(男，女)，(女，男)}，B ＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}，AB ＝{(男，女)，(女，男)}，于是P (A )＝12，P (B )＝34，P (AB )＝12.由此可知P (AB )≠P (A )P (B )，所以事件A ，B 不相互独立．(2)有三个小孩的家庭，小孩为男孩、女孩的样本空间为Ω＝{(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}，共包含8个样本点，由等可能性知每个样本点发生的概率均为18.这时A 包含6个样本点，B 包含4个样本点，AB 包含3个样本点． 于是P (A )＝68＝34，P (B )＝48＝12，P (AB )＝38，显然有P (AB )＝P (A )P (B )成立．从而事件A 与B 是相互独立的．(1)利用相互独立事件的定义(即P (AB )＝P (A )·P (B ))可以准确地判定两个事件是否相互独立，这是用定量计算的方法，较准确，因此我们必须熟练掌握．(2)判别两个事件是否为相互独立事件也可以从定性的角度进行分析，即看一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率是否有影响．没有影响就是相互独立事件，有影响就不是相互独立事件．容器中盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球．(1)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的是白球”这两个事件是否相互独立？为什么？(2)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“把取出的1个球放回容器，再从容器中任意取出1个，取出的是黄球”这两个事件是否相互独立？为什么？解 (1)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”记为事件A ，“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的是白球”记为事件B ，则P (A )＝58，P (B )＝58×47＋38×57＝58，P (AB )＝58×47＝514.因为P (AB )≠P (A )P (B )，所以二者不是相互独立事件．(2)因为把取出的球放回容器，所以对“从中任意取出1个，取出的是黄球”的概率没有影响，所以二者是相互独立事件.题型二相互独立事件概率的计算例2甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为12与25.(1)甲、乙两人在罚球线各投球一次，求恰好命中一次的概率；(2)甲、乙两人在罚球线各投球二次，求这四次投球中至少一次命中的概率．[解]记“甲投一次命中”为事件A，“乙投一次命中”为事件B，则P(A)＝12，P(B)＝25，P(A－)＝12，P(B－)＝35.(1)设事件“甲、乙两人在罚球线各投球一次，恰好命中一次”的概率为P，则P＝P(A B－)＋P(A－B)＝P(A)P(B－)＋P(A－)P(B)＝12×35＋12×25＝510＝12.∴甲、乙两人在罚球线各投球一次，恰好命中一次的概率为1 2.(2)设事件“甲、乙两人在罚球线各投球二次均不命中”的概率为P1，则P1＝P(A－A－B－B－)＝P(A－)P(A－)P(B－)P(B－)＝12×12×35×35＝9100.∴甲、乙两人在罚球线各投球二次，至少一次命中的概率为1－P1＝91100.(1)求相互独立事件同时发生的概率的步骤是①首先确定各事件之间是相互独立的；②确定这些事件可以同时发生；③求出每个事件的概率，再求积．(2)使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的，而且它们可以同时发生．小王某天乘火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8,0.7,0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响．求：(1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率；(2)这三列火车至少有一列正点到达的概率．解用A，B，C分别表示这三列火车正点到达的事件，则P(A)＝0.8，P(B)＝0.7，P (C )＝0.9，所以P (A －)＝0.2，P (B －)＝0.3，P (C －)＝0.1.(1)记事件“恰好有两列正点到达”的概率为P 1，由题意得A ，B ，C 之间互相独立，则P 1＝P (A －BC )＋P (A B －C )＋P (AB C －)＝P (A －)P (B )P (C )＋P (A )P (B －)P (C )＋P (A )P (B )P (C －)＝0.2×0.7×0.9＋0.8×0.3×0.9＋0.8×0.7×0.1＝0.398.所以三列火车恰好有两列正点到达的概率为0.398.(2)记事件“三列火车没有一列正点到达”的概率为P 2，由题意得A ，B ，C 之间相互独立，则P 2＝P (A －B － C －)＝P (A －)P (B －)P (C －)＝0.2×0.3×0.1＝0.006.所以三列火车至少有一列正点到达的概率为1－P 2＝0.994.题型三 相互独立事件的综合应用例3 甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是23和34.假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响，每人每次射击是否击中目标相互之间也没有影响．(1)求甲、乙各射击一次均击中目标的概率；(2)求甲射击4次，恰有3次连续击中目标的概率；(3)若乙在射击中出现连续2次未击中目标则会被终止射击，求乙恰好射击4次后被终止射击的概率．[解] (1)记事件A 表示“甲击中目标”，事件B 表示“乙击中目标”．依题意知，事件A 和事件B 相互独立，因此甲、乙各射击一次均击中目标的概率为P (AB )＝P (A )P (B )＝23×34＝12. (2)记事件A i 表示“甲第i 次射击击中目标”(其中i ＝1,2,3,4)，并记“甲4次射击恰有3次连续击中目标”为事件C ，则C ＝A 1A 2A 3A －4＋A －1A 2A 3A 4，且A 1A 2A 3A －4与A －1A 2A 3A 4是互斥事件． 由于A 1，A 2，A 3，A 4之间相互独立，所以A i 与A －j (i ，j ＝1,2,3,4，且i ≠j )之间也相互独立．。
高中数学 第5章 统计与概率 5.3 概率 5.3.4 频率与概率课件 b高一必修第二册数学课件
概率与频率的关系及求法
情
课
境 导
堂
【例 2】 下面的表中列出了 10 次抛掷硬币的试验结果，n 为 小
学
结
·
探 每次试验抛掷硬币的次数，m 为硬币正面向上的次数．计算每次试 提
新
素
知 验中正面向上的频率，并考察它的概率．
养
·
·
合
试验序号 抛掷次数(n) 正面向上次数(m) 正面向上的频率
素 养
·
·
合
则取到号码为奇数的频率是( )
课
作
探
A．0.53
究
B．0.5
时 分
层
释
C．0.47
D．0.37
作
疑
难
A [取到号码为奇数的频率是10＋8＋160＋0 18＋11＝0.53.]
业 返
首
页
12/8/2021
第十二页，共四十三页。
·
情
课
境
堂
导
4．(一题两空)在一次掷硬币试验中，掷 30 000 次，其中有 14 984 小
情
课
境
[跟进训练]
导
堂 小
学
结
探
1．某商场设立了一个可以自由转动的转盘(如图
·
提
新
素
知 所示)，并规定：顾客购物 10 元以上就能获得一次转
养
·
合 动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就
课
作
探 可以获得相应的奖品，下表是活动进行中的一组统计
究
时 分
层
释 数据．
作
疑
业
难
·
返 首 页
5.3概率讲义-2021-2022学年高一上学期数学人教B版(2019)必修第二册
B BA A表示（1．打靶3次，事件=“击中i发23．全部击中．至少击中1发．全部未击中2．抛掷一枚质地均匀的骰子，事件=“向上的点数为上的点数为1或）⋂=．E F G巩固练习1．下列事件中，随机事件的个数为( )①在学校明年召开的田径运动会上，学生张涛获得100米短跑冠军；②在体育课上，体育老师随机抽取一名学生去拿体育器材，抽到李凯；③从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，恰为1号签；④在标准大气压下，水在4°C 时结冰．A ．1B ．2C ．3D ．42．在12本书中，有10本语文书，2本英语书，从中任意抽取3本的必然事件是（ ） A ．3本都是语文书 B ．至少有一本是英语书 C ．3本都是英语书 D ．至少有一本是语文书 3．如果连续抛掷一枚质地均匀的骰子100次，那么第95次出现正面朝上的点数为4的概率为（ ）A ．1920B ．16C ．120D ．1954．依次投掷两枚骰子，所得点数之和记为X ，那么4X =表示的随机试验的样本点是（ ） A ．第一枚是3点，第二枚是1点B ．第一枚是3点，第二枚是1点或第一枚是1点，第二点枚是3点或两枚都是2点C ．两枚都是4点D ．两枚都是2点5．一个口袋中装有3个白球和3个黑球，下列事件中，是独立事件的是（ ）A ．第一次摸出的是白球与第一次摸出的是黑球B ．摸出后放回，第一次摸出的是白球，第二次摸出的是黑球C ．摸出后不放回，第一次摸出的是白球，第二次摸出的是黑球D ．一次摸两个球，共摸两次，第一次摸出颜色相同的球与第一次摸出颜色不同的球6．10件同类产品中,有8件是正品,2件是次品,从中任意抽出3件,与事件“1件正品2件次品”互斥而不对立的事件为( )A ．恰有1件次品B ．至多有1件次品C ．至少有1件次品D ．既有正品也有次品 7．某人抛一颗质地均匀的骰子，记事件A =“出现的点数为奇数”，B =“出现的点数不大于3”，则下列说法正确的是（ ）A ．事件A 与B 对立 B ．()()()⋃=+P A B P A P BC ．事件A 与B 互斥D ．()()P A P B = 8．从3，5，7，9，10中任取3个数作为边长，不能够围成三角形的概率为（ ）A ．310B ．710C ．15D ．259．党的十八提出：倡导“富强、民主、文明、和谐、自由、平等、公正、法治、爱国、敬业、诚信、友善”社会主义核心价值观.现将这十二个词依次．．写在六张规格相同的卡片的正反面（无区分），（如“富强、民主”写在同一张卡片的两面），从中任意抽取1张卡片，则写有“爱国”“诚信”两词中的一个的概率是（ ） A ．13 B ．16 C ．56 D ．2310．我国历法中将一年分春、夏、秋、冬四个季节，每个季节六个节气，如春季包含立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨.某大学美术学院的甲、乙、丙、丁四个同学接到绘制二十四节气的彩绘任务，现四位同学抽签确定各自完成其中一个季节中的6幅彩绘，在制签抽签公平的前提下，甲抽到绘制夏季6幅彩绘的概率是（ ）A ．116B ．14C ．13D ．1211．我国古人认为宇宙万物是由金，木，水，火，土这五种元素构成，历史文献《尚书·洪范》提出了五行的说法，到战国晚期，五行相生相克的思想被正式提出这五种物质属性的相生相克关系如图所示，若从这五种物质属性中随机选取三种，则取出的三种物质属性中，彼此间恰好有一个相生关系和两个相克关系的概率为（ ）A ．35B ．12C ．25D ．1312．下列说法正确的有( )①概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值；②一次试验中不同的基本事件不可能同时发生；③任意事件A 发生的概率P(A)总满足0<P(A)<1；④若事件A 的概率趋近于0，即P(A)→0，则事件A 是不可能事件.A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个13．为了解消费者购物情况，某购物中心在电脑小票中随机抽取n 张进行统计，将结果分成6组，分别是：[)[)[)[)0,100,100,200,200,300,300,400，[)[]400,500,500,600，制成如下所示的频率分布直方图（假设消费金额均在[]0,600元的区间内）.（1）若在消费金额为[]400,600元区间内按分层抽样抽取6张电脑小票，再从中任选2张，求这2张小票来自[)400,500元和[)500,600元区间（两区间都有）的概率；（2）为做好春节期间的商场促销活动，商场设计了两种不同的促销方案.方案一：全场商品打八五折.方案二：全场购物满100元减20元，满300元减80元，满500元减120元，以上减免只取最高优惠，不重复减免.利用直方图的信息分析：哪种方案优惠力度更大，并说明理由.14．2020年初，一场突如其来的疫情打乱了人们的生活节奏，也改变了很多人的消费方式，某集团在各地区共有20家商品销售门店，为应对疫情，确保公司商品销售营业额，集团决定在所有门店重点推行线上销售模式，经过半年的努力，公司统计了所有门店在1月~6月的商品销售营业额，发现营业额均分布在600万元~1100万元之间，其频率分布直方图如图.（Ⅰ）估计集团20家门店在上半年的平均营业额（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （Ⅱ）为帮助营业额落后的门店，集团决定在营业额超过900万元的门店中抽取若干家对销售额不超过700万元的门店实施一对一帮扶，规定销售额超过1000万元的门店必须参与，若甲门店上半年的销售额为950万元，求甲门店被选中的概率.15．某校从高一年级学生中随机抽取40名中学生，将他们的期中考试数学成绩(满分100分，成绩均为不低于40分的整数)分成六段：[)4050，，[)5060，，…，[]90100，所得到如图所示的频率分布直图（1）求图中实数a 的值；（2）若该校高一年级共有640人，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数；（3）若从数学成绩在[40，50)与[90，100]两个分数段内的学生中随机选取两名学生，求这2名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率.115.3概率答案典例解析例1.（1）（2）随机事件（3）必然事件（4）不可能事件 变式1．C变式2．C例2．D变式1．C变式2．C例3.(1)a1 a2 ,a1 b1,a2 b1 (2)A a1 a2 B a1 b1,a2 b1 变式1．C变式2．C例4.（1）互斥不对立（2）不是互斥（3）不是互斥（4）对立 变式1．A变式2．D例5．B变式1．B变式2．C例6．A变式1．D变式2．D例7．B变式1．C变式2．C例8．C变式1．D变式2．B例9．（1）中位数为71.47；（2）35；（3）该厂选择方案B ；原因略. 变式1．（1）660x =，y z +=500（2）90（3）23变式2．（1）400 （2）710 （3）0.75巩固练习1．C2．D3．B4．B5．B6．A7．D8．A9．A10．B 11．B 12．C13．(1)815;(2) 略.14．（Ⅰ）835万元；（Ⅱ）2 5 .15．（1）a=0.03；（2）544人，，3，715.1213。
人教B版高中同步学案数学必修第二册精品课件 第五章 统计与概率 5.3.2 事件之间的关系与运算
派出人数
≤2
3
4
5
≥6
概率
0.1
0.46
0.3
0.1
0.04
(1)求有4人或5人外出家访的概率;
(2)求至少有3人外出家访的概率.
解 (1)设派出2人及以下为事件A,派出3人为事件B,派出4人为事件C,派出5
人为事件D,派出6人及以上为事件E,则有4人或5人外出家访的事件为事件
(1)按照定义可知,事件A+B发生时,当且仅当事件A与事件B中至少有一个
发生.
(2)不难看出,A⊆(A+B)且B⊆(A+B),因此P(A)≤P(A+B)且P(B)≤P(A+B),而且,
直观上可知P(A+B)与P(A)+P(B)的大小关系为P(A+B)≤P(A)+P(B).
2.对事件的积(交)的理解
(1)按照定义可知,事件AB发生时,当且仅当事件A与事件B都发生.
时发生,且( ∩ )∪C 为必然事件,即 ∩ 与 C 为对立事件,则 D 正确.故选
CD.
3.从1,2,3,…,9中任取两数,给出下列各组事件:
①“恰有一个偶数”和“恰有一个奇数”;
②“至少有一个奇数”和“两个都是奇数”;
③“至少有一个奇数”和“两个都是偶数”;
④“至少有一个奇数”和“至少有一个偶数”.
生”,它与“全是女医生”不可能同时发生,但其中必有一个发生,故它们是互
斥事件,“任选2名医生”包含“至少有1名男医生”“全是女医生”,故它们也是
对立事件.
规律方法 互斥事件和对立事件的判定方法
1.利用基本概念,要判断两个事件是不是互斥事件,只需要找出各个事件所
人教B版高中同步学案数学必修第二册精品课件 第五章 统计与概率 5.3.5 随机事件的独立性
与相互独立事件A,B有关的概率的计算公式如表:
过关自诊
1.在某道路A,B,C三处设有相互独立工作的交通灯,这三盏灯在一分钟内开
5 7 3
放绿灯的概率分别为 , , .某辆车在这条道路上匀速行驶,则三处都不
12 12 4
停车的概率为
.
答案
35
192
解析
5 7 3
因为每个交通灯相互独立工作且开放绿灯的概率分别为12 , 12 , 4,所以
1-P= .
10
规律方法 求相互独立事件同时发生的概率的步骤:
(1)首先确定各事件是相互独立的;
(2)其次确定各事件会同时发生;
(3)最后求每个事件发生的概率后再求其积.
变式探究
2 3 1
若本例条件“3 人能被选中的概率分别为5 , 4 , 3”改为“甲、乙两人
11
3
1
只有一人被选中的概率为20 ,两人都被选中的概率为10 ,丙被选中的概率为3”,
【例2】甲、乙、丙3位大学生同时应聘某个用人单位的职位,3人能被选
2 3 1
中的概率分别为 , ,
5 4 3
,且各自能否被选中互不影响.
(1)求3人同时被选中的概率;
(2)求3人中至少有1人被选中的概率.
解 设甲、乙、丙能被选中的事件分别为 A,B,C,
则
2
3
1
P(A)=5,P(B)=4,P(C)=3.
乙队需要再赢两局才能获得冠军.若两队每局获胜的概率相同,则甲队获得
冠军的概率为(
)
3
A.
4
2
B.
3
3
C.
5
1
D.
2
答案 A
人教B版高中同步学案数学必修第二册精品课件 第五章 统计与概率 5.3.3 古典概型
检验一下各样本点出现的概率是否相同.根据事件C包含的样本点个数m
及试验的样本点总个数n,再利用公式P(C)
=
求出事件C发生的概率.
变式训练2 在两个袋内,分别装着写有0,1,2,3,4,5六个数字的6张卡片,从每
个袋中各任取一张卡片,则两张卡片上数字之和等于7的概率
(3)设A:所取两张卡片标号之和小于4,由(1)知,A={(红1,红2),(红1,蓝1),
(红1,蓝2),(红2,蓝1),(蓝1,蓝2)},共5个样本点,由古典概型概率公式得:
5
P(A)=
10
=
1
.
2
规律方法 解决古典概型综合问题的两个关键点
(1)审读题干:对于实际问题要认真读题,深入理解题意,计算样本点总数要
的硬币,共出现“正、正”“正、反”“反、正”“反、反”这四种等可能的结果.
如果认为只有“两个正面”“两个反面”“一正一反”这三种结果,那么显然这
三种结果的发生不是等可能的.
2.下列对古典概型的说法,正确的是(
)
①试验中所有可能出现的样本点只有有限个;②每个事件发生的可能性相
等;③每个基本事件发生的可能性相等;④求用抽签法从含有3件次品7件正
(1)求这四人恰好都坐在自己席位上的概率;
(2)求这四人恰好都没坐在自己席位上的概率;
(3)求这四人恰好有1位坐在自己席位上的概率.
解 将A,B,C,D四位贵宾就座情况用下面图形表示出来:
如图所示,样本空间包含的样本点共有 24 个,
(1)设事件 A 为“这四人恰好都坐在自己的席位上”,则事件 A 只包含 1 个样本
高中数学第五章统计与概率5.3.5随机事件的独立性课后篇巩固提升新人教B版必修第二册
5.3.5随机事件的独立性课后篇巩固提升夯实基础1.掷一枚硬币两次,记事件A=“第一次出现正面”,B=“第二次出现反面”,下列结论正确的为()A.A与B相互独立B.P(A∪B)=P(A)+P(B)C.A与B互斥D.P(AB)=12A,由题意得事件A的发生与否对事件B发生的概率没有影响,所以A与B相互独立,所以A中结论正确.对于选项B,C,由于事件A与B可以同时发生,所以事件A与B不互斥,故选项B,C中结论不正确.对于选项D,由于A与B相互独立,因此P(AB)=P(A)P(B)=1,4所以D中结论不正确.故选A.2.甲、乙同时参加某次法语考试,甲、乙考试达到优秀的概率分别为0.6,0.7,两人考试相互独立,则甲、乙两人都未达到优秀的概率为()A.0.42B.0.28C.0.18D.0.120.6,0.7,则甲、乙考试未达到优秀的概率分别为0.4,0.3,由于两人考试相互独立,所以甲、乙两人都未达到优秀的概率为0.4×0.3=0.12.故选D.3.某市某校在秋季运动会中,安排了篮球投篮比赛.现有20名同学参加篮球投篮比赛,已知每名同学投进的概率均为0.4,每名同学有2次投篮机会,且各同学投篮之间没有影响.现规定:投进两个得4分,投进一个得2分,一个未进得0分,则一名同学投篮得2分的概率为()A.0.5B.0.48C.0.4D.0.32A ,“第二次投进”为事件B ,则得2分的概率为P=P (A B )+P (B B )=0.4×0.6+0.6×0.4=0.48.故选B .4.在某段时间内,甲地不下雨的概率为P 1(0<P 1<1),乙地不下雨的概率为P 2(0<P 2<1),若在这段时间内两地下雨相互独立,则这段时间内两地都下雨的概率为 ( )A.P 1P 2B.1-P 1P 2C.P 1(1-P 2)D.(1-P 1)(1-P 2)P 1,乙地不下雨的概率为P 2,且在这段时间内两地下雨相互独立,所以这段时间内两地都下雨的概率为P=(1-P 1)(1-P 2).5.甲、乙两名学生通过某种听力测试的概率分别为12和13(两人是否通过测试互不影响),两人同时参加测试,其中有且只有一人能通过的概率是( ) A.13B.23C.12D.1A ,B ,则P (A )=12,P (B )=13,两人中有且只有一人能通过为事件B B+A B , 故所求的概率为P (B B+A B )=P (B )P (B )+P (A )P (B )=(1-12)×13+12×(1-13)=12.故选C .6.一射手对同一目标独立地进行4次射击,已知至少命中一次的概率为8081,则此射手的命中率是 ,此射手恰好命中三次的概率是 .3281设此射手每次射击命中的概率为P ,分析可得,至少命中一次的对立事件为射击四次全都没有命中,由题意可知该射手对同一目标独立地射击四次全都没有命中的概率为1-8081=181,则(1-P )4=181,解得P=23.(2)此射手恰好命中三次的概率为P 1=13×23×23×23+23×13×23×23+23×23×13×23+23×23×23×13=3281.7.一名学生骑自行车上学,从他家到学校的途中有5个交通岗,假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的,并且概率都是13.求: (1)这名学生在途中遇到4次红灯的概率; (2)这名学生在首次停车前经过了3个路口的概率; (3)这名学生至少遇到一次红灯的概率.设事件A 为在途中遇到4次红灯,P (A )=(13)4×(1-13)×5=10243.(2)设首次停车前经过3个路口为事件B , 则P (B )=(1-13)3×13=881.(3)设至少遇到一次红灯为事件C , 则其对立事件为全遇到绿灯, 所以P (C )=1-(1-13)5=211243.能力提升1.甲骑自行车从A 地到B 地,途中要经过4个十字路口,已知甲在每个十字路口遇到红灯的概率都是13,且在每个路口是否遇到红灯相互独立,那么甲在前两个十字路口都没有遇到红灯,直到第三个路口才首次遇到红灯的概率是( ) A.13 B.427C.49D.1127解析由题可知甲在每个十字路口遇到红灯的概率都是13,在每个十字路口没有遇到红灯的概率都是1-13=23,所以甲在前两个十字路口都没有遇到红灯,直到第三个路口才首次遇到红灯的概率是23×23×13=427. 2.端午节放假,甲回老家过节的概率为13,乙、丙回老家过节的概率分别为14,15.假定三人的行动相互之间没有影响,那么这段时间内至少1人回老家过节的概率为( ) A.5960B.12C.35D.160A ,B ,C ,至少1人回老家过节为事件D ,则P (D )=1-P (BBB )=1-P (B )P (B )P (B )=1-23×34×45=35.故选C .3.体育课上定点投篮项目测试规则:每位同学有3次投篮机会,一旦投中,则停止投篮,视为合格,否则一直投3次为止.每次投中与否相互独立,某同学一次投篮投中的概率为p ,若该同学本次测试合格的概率为0.784,则p=( ) A.0.4 B.0.6 C.0.1 D.0.2p+p (1-p )+p (1-p )2=0.784,整理可得p (2-p+1-2p+p 2)=p (p 2-3p+3)=0.784,将各选项中的数分别代入方程可知A 项正确. 4.已知甲、乙、丙3名运动员击中目标的概率分别为12,23,23,若他们3人分别向目标各发1枪,则三枪中至少命中2枪的概率为 .A 表示“甲命中”,事件B 表示“乙命中”,事件C 表示“丙命中”,则P (A )=12,P (B )=23,P (C )=23,所以他们3人分别向目标各发1枪,则三枪中至少命中2枪的概率为p=P (AB B )+P (A B C )+P (B BC )+P (ABC )=12×23×13+12×13×23+12×23×23+12×23×23=1218=23.5.在奥运知识有奖问答竞赛中,甲、乙、丙三人同时回答一道有关奥运知识的问题,已知甲答对这道题的概率是34,甲、乙两人都回答错误．．的概率是112,乙、丙两人都回答正确．．的概率是14.设每人回答问题正确与否是相互独立的. (1)求乙答对这道题的概率;(2)求甲、乙、丙三人中,至少有一人答对这道题的概率.记甲、乙、丙答对这道题分别为事件A ,B ,C ,设乙答对这道题的概率P (B )=x ,由于每人回答问题正确与否是相互独立的,因此A ,B ,C 是相互独立事件. 由题意,得P (BB )=P (B )P (B )=(1-34)×(1-x )=112,解得x=23, 即乙答对这道题的概率为23.(2)设“甲、乙、丙、三人中,至少有一人答对这道题”为事件M , 丙答对这道题的概率P (C )=y. 由题意得P (BC )=P (B )P (C )=23×y=14,解得y=38.甲、乙、丙三人都回答错误的概率为P (BBB )=P (B )P (B )P (B )=(1-34)(1-23)(1-38)=596.因为事件“甲、乙、丙三人都回答错误”与事件“甲、乙、丙三人中,至少有一人答对这道题”是对立事件,所以所求事件概率为P (M )=1-596=9196.。
高中数学第5章统计与概率5.3概率5.3.5随机事件的独立性b高一必修第二册数学
养
·
·
合
(3)先求每个事件发生的概率，再求其积．
课
作
时
探 究
2．公式 P(AB)＝P(A)P(B)可推广到一般情形，即如果事件 A1， 分
层
释 疑
A2，…，An 相互独立，那么这 n 个事件同时发生的概率等于每个事
作 业
难
件发生的概率的积，即 P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)．
合 作
件不可能同时发生；两个事件相互独立是指一个事件的发生与否对
课 时
探
究 另一个事件发生的概率没有影响．
分 层
释
作
疑
业
难
·
返
首
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页
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情
课
境
堂
导
小
学
1．相互独立事件的定义和性质
·
结
探
提
新 知
素
(1)定义：设 A，B 为两个事件，一般地，当 P(AB)＝__P_(A_)_P_(B_)___ 养
第五章 统计 与概率 (tǒngjì)
5.3 概率(gàilǜ) 5.3.5 随机事件的独立性
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·
情
学习目标
核心素养
课
境 导 学
1．在具体情境中，了解两个事件相互独 1．通过学习事件相互独
堂 小 结
探 立的概念．(难点)
新
提
立的概念，体会数学抽象 素
·
知 2．能利用相互独立事件同时发生的概率
·
返首1ຫໍສະໝຸດ /8/2021页第二十三页，共四十八页。
高中数学第五章统计与概率5.3概率5.3.3古典概型练习b高一必修第二册数学
概率为336＝112.故选 C.
12/13/2021
6．从分别写有 A、B、C、D、E 的 5 张卡片中任取 2 张，这 2
张卡片上的字母恰好是按字母顺序相邻的概率为( B )
1
2
A.5
B.5
3
7
C.10
D.10
12/13/2021
解析：从 5 张卡片中任取 2 张，有下面 10 个样本点(A，B)，(A， C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)， (D，E)，其中字母顺序相邻的共有(A，B)(B，C)(C，D)(D，E)四个样 本点，故所求事件的概率为140＝25.
12/13/2021
8．某校有 A，B 两个学生食堂，若 a，b，c 三名学生各自随机选 3
择其中一个食堂用餐，则三人不在同一个食堂用餐的概率为 4 .
12/13/2021
解析：a，b，c 三名学生选择食堂的样本空间为 Ω＝{(A，A，A)， (A，A，B)，(A，B，A)，(B，A，A)，(A，B，B)，(B，A，B)，(B，B， A)，(B，B，B)}，样本点总数为 8，三人在同一食堂用餐的样本点有 (A，A，A)，(B，B，B)，共 2 个，所以“三人在同一食堂用餐”的概 率为28＝14，而“三人不在同一食堂用餐”与“三人在同一食堂用餐” 是对立事件，所以“三人不在同一食堂用餐”的概率为 1－14＝34.
(1)将黑球编号为黑 1，黑 2，黑 3，从装有 4 个球的口袋内摸出 2 个球，样本空间为 Ω＝{(黑 1，黑 2)，(黑 1，黑 3)，(黑 1，白)，(黑 2， 黑 3)，(黑 2，白)，(黑 3，白)}，其中共有 6 个样本点．
(2)事件“摸出 2 个黑球”＝{(黑 1，黑 2)，(黑 2，黑 3)，(黑 1，黑 3)}，共 3 个样本点．
高中人教B版数学必修第二册精练：第五章 统计与概率 5.1 5.1.1 第3课时
A级：“四基”巩固训练一、选择题1．将A，B，C三种性质的个体按1∶2∶4的比例进行分层抽样调查，若抽取的样本容量为21，则A，B，C三种性质的个体分别抽取()A．12,6,3 B．12,3,6C．3,6,12 D．3,12,6答案 C解析由分层抽样的概念，知A，B，C三种性质的个体应分别抽取21×1 7＝3,21×27＝6,21×47＝12.2．某工厂生产A，B，C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2∶3∶5，现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，样本中A种型号产品有16件，那么此样本的容量n等于()A．60 B．70C．80 D．90答案 C解析由题意知，总体中A种型号产品所占的比例是22＋3＋5＝15，因样本中A种型号产品有16件，则15·n＝16，解得n＝80.故选C.3．某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物类及果蔬类分别有40种、10种、30种、20种，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测．若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是() A．4 B．5C ．6D ．7答案 C解析 分层抽样中，分层抽取时都按相同的抽样比来抽取，本题中抽样比为2040＋10＋30＋20＝15，因此植物油类食品应抽取10×15＝2(种)，果蔬类食品应抽取20×15＝4(种)，因此从植物油类和果蔬类食品中抽取的种数之和为2＋4＝6.4．某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本中的老年教师人数为( )A ．90 C ．180 D ．300答案 C解析 设样本中的老年教师人数为x ，则3201600＝x900，解得x ＝180.5．某工厂的一、二、三车间在12月份共生产了3600件产品，在出厂前要检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽取，若从一、二、三车间抽取的产品数分别为a ，b ，c ，且满足a ＋c ＝2b ，则二车间在12月份生产的产品数为( )A ．800B ．1000C ．1200D ．1500 答案 C解析 因为2b ＝a ＋c ，所以二车间抽取的产品数占抽取产品总数的三分之一，根据分层抽样的性质可知，二车间生产的产品数占总数的三分之一，即为3600×13＝1200.二、填空题6．甲、乙两套设备生产的同类型产品共4800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测．若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为________件．答案 1800解析 设乙设备生产的产品总数为x 件，则甲设备生产的产品总数为(4800－x )件．由题意，得5080＝4800－x4800，解得x ＝1800.7．某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆，6000辆和2000辆．为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，则这三种型号的轿车依次应抽取的辆数为________．答案 6,30,10解析 设三种型号的轿车依次抽取x 辆，y 辆，z 辆，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧x 1200＝y 6000＝z 2000，x ＋y ＋z ＝46，解得⎩⎨⎧x ＝6，y ＝30，z ＝10.故填6,30,10.8．某单位200名职工的年龄分布情况如图，现要从中抽取40名职工作样本．若用分层抽样方法，则40岁以下年龄段应抽取________人．答案 20解析 由题意知，分层抽样时，由于40岁以下年龄段占总数的50%，故容量为40的样本中在40岁以下年龄段中应抽取40×50%＝20(人)．三、解答题9．某网站欲调查网民对当前网页的满意程度，在登录的所有网民中收回有效贴子共50000份，其中持各种态度的份数如下表所示：为了了解网民的具体想法和意见，以便决定如何更改才能使网页更完美，打算从中抽选500份，为使样本更具有代表性，每类中各应抽选出多少份？解因为50050000＝1100，所以10800100＝108，12400100＝124，15600100＝156，11200100＝112.故应从持四种态度的帖子中分别抽取108份，124份，156份，112份进行调查．10．某中学举行了为期3天的新世纪体育运动会，同时进行全校精神文明擂台赛．为了解这次活动在全校师生中产生的影响，分别在全校500名教职员工、3000名初中生、4000名高中生中作问卷调查，如果要在所有答卷中抽出120份用于评估．(1)应如何抽取才能得到比较客观的评价结论？(2)要从3000份初中生的答卷中抽取一个容量为48的样本，如果采用简单随机抽样，应如何操作？解(1)由于这次活动对教职员工、初中生和高中生产生的影响不会相同，所以应当采取分层抽样的方法进行抽样．因为样本容量为120，总体个数为500＋3000＋4000＝7500，则抽样比为1207500＝2125，所以有500×2125＝8,3000×2125＝48,4000×2125＝64，所以在教职员工、初中生、高中生中抽取的个体数分别是8,48,64.分层抽样的步骤是：①分层：分为教职员工、初中生、高中生，共三层；②确定每层抽取个体的个数：在教职员工、初中生、高中生中抽取的个体数分别是8,48,64；③各层分别按简单随机抽样的方法抽取样本；④综合每层抽样，组成样本．这样便完成了整个抽样过程，就能得到比较客观的评价结论．(2)由于简单随机抽样常用的有两种方法：抽签法和随机数表法．如果用抽签法，要作3000个号签，费时费力，因此采用随机数表法抽取样本，步骤是：①编号：将3000份答卷都编上号码：0001,0002,0003， (3000)②在随机数表上随机选取一个起始位置；③规定读数方向：向右连续取数字，以4个数为一组，如果读取的4位数大于3000，则去掉，如果遇到相同号码则只取一个，这样一直到取满48个号码为止．B级：“四能”提升训练1．某企业五月中旬生产A，B，C三种产品共3000件，根据分层抽样的结果，企业统计员制作了如下的统计表格：由于不小心，表格中A，C产品的有关数据已被污染看不清楚，统计员只记得A产品的样本容量比C产品的样本容量多10，请你根据以上信息补全表格中的数据．解根据题意，可设A产品的数量为m件，样本容量为n，则C产品的数量为(1700－m)件，样本容量为n－10.根据分层抽样的特征可得nm＝n－101700－m＝1301300，解得m＝900，n＝90，所以1700－900＝800,90－10＝80.补全表格如下：2．某地区中小学生人数的分布情况如下表所示(单位：人)．请根据上述数据，设计一个样本容量为总体容量千分之一的抽样方案．解第一步，确定城市、县镇、农村应抽取的个体数．城市、县镇、农村的学生数分别为：357000＋226200＋112000＝695200，221600＋134200＋43300＝399100，258100＋11290＋6300＝275690.因为样本容量与总体容量的比为1∶1000，所以样本中包含的各部分个体数分别为695200×11000≈695,399100×11000≈399,275690×11000≈276.第二步，将城市应抽取的个体数按比例分配到小学、初中、高中．因为城市小学、初中、高中的人数比为357000∶226200∶112000＝1785∶1131∶560,1785＋1131＋560＝3476，所以城市小学、初中、高中被抽取的人数分别为695×17853476≈357,695×11313476≈226,695×5603476≈112.第三步，将县镇应抽取的个体数按比例分配到小学、初中、高中．因为县镇小学、初中、高中的人数比为221600∶134200∶43300＝2216∶1342∶433,2216＋1342＋433＝3991，所以县镇小学、初中、高中被抽取的人数分别为399×22163991≈222,399×13423991≈134,399×4333991≈43.第四步，使用同样的方法将农村应抽取的个体数按比例分配到小学、初中、高中．经计算，农村小学、初中、高中被抽取的人数分别为259,11,6.第五步，在各层中应抽取的个体数目如下表所示：按照上表中数目在各层中用合适的方法抽取个体，将抽取的个体合在一起形成所需的一个样本．由Ruize收集整理。
2020年高中数学必修第二册“统计与概率”讲义精练：第五章 5.1 5.1.3(人教B版)
5.1.3数据的直观表示(教师独具内容)课程标准：能根据实际问题的特点，选择恰当的统计图表对数据进行可视化描述，体会合理使用统计图表的重要性.教学重点：柱形图、折线图、扇形图、茎叶图、频数分布直方图、频率分布直方图、频数分布折线图、频率分布折线图的绘制及应用.教学难点：频率分布直方图的绘制.知识点一柱形图(1)柱形图(也称为□01条形图)可以形象地□02比较各种数据之间的□03数量关系．(2)一般地，柱形图中，一条轴上显示的是□04所关注的数据类型，另一条轴上对应的是□05数量、□06个数或者□07比例，柱形图中每一矩形都是□08等宽的．知识点二折线图折线图可以形象地表示出数据的□01变化情况．知识点三扇形图(1)扇形图可以形象地表示出□01各部分数据在全部数据中所占的比例情况．(2)扇形图中，每一个扇形的□02圆心角以及□03弧长，都与这一部分表示的数据□04大小成正比．知识点四茎叶图一般来说，茎叶图中，所有的□01茎都竖直排列，□02叶沿水平方向排列．茎叶图也可以只表示一组数据．知识点五频数分布直方图与频率分布直方图(1)绘制频数分布直方图与频率分布直方图的步骤①□01找出最值，计算极差；②□02合理分组，确定区间；③□03整理数据；④□04作出有关图示．注意：频数分布直方图的纵坐标是频数，每一组数对应的矩形的高度与频数成正比；频率分布直方图的纵坐标是频率组距，每一组数对应的矩形高度与频率成正比，而且每个矩形的面积等于这一组数对应的频率，所有矩形的面积之和为1.(2)频数分布折线图和频率分布折线图的作图方法是：把频数分布直方图与频率分布直方图中每个矩形上面一边的□05中点用线段连接起来，同时，为了方便看图，这两种折线图都画成与横轴□06相交．注意：这两种折线图与横轴的左右两个交点没有实际意义．1．在制作茎叶图时，重复出现的数据要重复记录，不能遗漏，特别是叶的部分，同一数据出现几次就记录几次．2．几种表示频率分布的方法的优点与不足1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)柱形图可以形象地表示出数据的变化情况．()(2)折线图可以形象地比较各种数据之间的数量关系．()(3)扇形图中，每个扇形的弧长，与这一部分表示的数据大小无关．()(4)茎叶图不可以表示一组数据．()(5)频数分布直方图的纵轴表示频数．()(6)频率分布直方图中每个小矩形的面积等于相应组的频率．()答案(1)×(2)×(3)×(4)×(5)√(6)√2．做一做(1)反映某种股票的涨跌情况，应选择()A．柱形图B．折线图C．扇形图D．三种图均可(2)果园里有荔枝树150棵，龙眼树50棵，芒果树200棵，若要画出它们的扇形图，则芒果树所占扇形圆心角的度数为()A．37.5°B．12.5°C．180°D．120°(3)下面茎叶图表示某城市一台自动售货机在18天内的销售额情况(单位：元)，图中数字7的意义是表示这台自动售货机在该天的销售额为________元．()A．7 B．37C．27 D．2337(4)为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为[12,13)，[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组，如图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为________．。
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『高中数学』
教学课件‖课时训练‖讲义测试‖
A级：“四基”巩固训练
一、选择题
1．下面现象中：①掷一枚硬币，出现反面；②实数的绝对值不小于零；③若a>b，则b<a.其中是必然现象的是()
A．②B．①
C．③D．②③
答案 D
解析①掷一枚硬币，可能出现反面，也可能出现正面，故①是随机现象；
②是必然现象，任意一个实数的绝对值皆大于等于零；③也是必然现象．故选D.
2．下列事件中，随机事件的个数为()
①明天是阴天；②方程x2＋2x＋5＝0有两个不相等的实根；③明年长江武汉段的最高水位是29.8 m；④三角形中任意两边的和大于第三边．
A．1 B．2
C．3 D．4
答案 B
解析其中①是随机事件，②是不可能事件，③是随机事件，④是必然事件．3．在25件同类产品中，有2件次品，从中任取3件产品，其中不可能事件为()
A．3件都是正品B．至少有1件次品
C．3件都是次品D．至少有1件正品
答案 C
解析25件产品中只有2件次品，所以不可能取出3件都是次品．
4．“连续掷两个质地均匀的骰子，记录朝上的点数”，该试验的样本点共有()
A．6个B．12个
C．24个D．36个
答案 D
解析该试验的样本点分别为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共36个．故选D.
5．掷一个骰子，观察骰子出现的点数，若“出现2点”这个事件发生，则下
列事件一定发生的是()
A．“出现奇数点”B．“出现偶数点”
C．“点数大于3”D．“点数是3的倍数”
答案 B
解析“出现2点”这个事件发生，由2为偶数，故“出现偶数点”这一事件一定发生．
二、填空题
6．给出下列事件：
①明天进行的某场足球赛的比分是3∶1；
②下周一某地的最高气温与最低气温相差10 ℃；
③同时掷两颗骰子，向上一面的两个点数之和不小于2；
④射击1次，命中靶心；
⑤当x为实数时，x2＋4x＋4<0.
其中，必然事件有________，不可能事件有________，随机事件有________．答案③⑤①②④
解析根据事件发生的前提条件及生活常识知：①是随机事件，②是随机事件，③是必然事件，④是随机事件，⑤是不可能事件．
7．从含有6件次品的50件产品中任取4件，观察其中次品数，其样本空间为________．
答案{0,1,2,3,4}
解析取出的4件产品中，最多有4件次品，最少是没有次品．得Ω＝{0,1,2,3,4}．
8．从1,2,3,4,5中随机取三个不同的数，则其和为奇数这一事件包含的样本点数为________．
答案 4
解析从1,2,3,4,5中随机取三个不同的数有(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，共10种情况，其中(1,2,4)，(1,3,5)，(2,3,4)，(2,4,5)中三个数字之和为奇数，故所求事件包含的样本点数为4.
三、解答题
9．在200件产品中，有192件一级品，8件二级品，下列事件：
(1)在这200件产品中任意选出9件，全部是一级品；
(2)在这200件产品中任意选出9件，全部是二级品；
(3)在这200件产品中任意选出9件，不全是一级品；
(4)在这200件产品中任意选出9件，其中不是一级品的件数小于100.。