2016年北京高考理科数学word精校解析完整版

绝密★启用前2016年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)理科数学第Ⅰ卷一.选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

(1)已知集合}2|||{<=x x A ，}3,2,1,0,1{-=B ，则=B A(A)}1,0{ (B)}2,1,0{ (C)}1,0,1{- (D)}2,1,0,1{-(2)若x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤-,0,3,02x y x y x 则y x +2的最大值为(A)0 (B)3 (C)4 (D)5 (3)执行如图所示的程序框图，若输入的a 的值为1，则输出的k 值为 (A)1 (B)2 (C)3 (D)4(4)设，是向量.则“||||=”是||||-=+的 (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件(5)已知x ，y R ∈，且0>>y x ，则(A)011>-yx(B)0sin sin >-y x(C)0)21()21(<-y x(D)0ln ln >+y x(6)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为 (A)61 (B)31(C)21(D)1(7)将函数)32sin(π-=x y 图象上的点),4(t P π向左平移)0(>s s 个单位长度得到点P '.若P ' 位于函数x y 2sin =的图象上，则(A)21=t ，s 的最小值为6π (B)23=t ，s 的最小值为6π (C)21=t ，s 的最小值为3π (D)23=t ，s 的最小值为3π(8)袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则(A)乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 (B)乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 (C)乙盒中红球不多于丙盒中红球 (D)乙盒中黑球与丙盒中红球一样多第Ⅱ卷二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

(9)设R a ∈，若复数))(1(i a i ++在复平面内对应的点位于实轴上，则=a _______. (10)在6)21(x -的展开式中，2x 的系数为________．(用数字作答)(11)在极坐标系中，直线01sin 3cos =--θρθρ与圆θρcos 2=交于A ，B 两点， 则=||AB _________.(12)已知}{n a 为等差数列，n S 为其前n 项和．若61=a ，053=+a a ，则=6S .(13)双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线，点B 为该双曲线的焦点.若正方形OABC 的边长为2，则=a _____________.(14)设函数⎩⎨⎧>-≤-=.,2,,3)(3a x x a x x x x f①若0=a ，则)(x f 的最大值为____________；②若)(x f 无最大值，则实数a 的取值范围是_______________.三．解答题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

(15)(本小题满分13分)在ABC ∆中，ac b c a 2222+=+. (I)求B ∠的大小；(II)求C A cos cos 2+的最大值. (16) (本小题满分13分)A ，B ，C 三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表(单位：小时)：A 班 6 6.5 7 7.5 8B 班 6 7 8 9 10 11 12C 班3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 13.5(I)试估计C 班的学生人数；(II)从A 班和C 班抽出的学生中，各随机选取一人，A 班选出的人记为甲，C 班选出的人记为乙.假设所有学生的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；(III)再从A ，B ，C 三个班中各随机抽取一名学生，他们该周的锻炼时间分别是7，9，8.25(单位：小时).这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记1μ，表格中数据的平均数记为0μ，试判断0μ和1μ的大小. (结论不要求证明) (17)(本小题满分14分)如图，在四棱锥ABCD P -中，平面⊥PAD 平面ABCD ，PD PA ⊥，PD PA =，AD AB ⊥，1=AB ，2=AD ，5==CD AC .(I)求证：⊥PD 平面PAB ；(II)求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值； (III)在棱PA 上是否存在点M ，使得//BM 平面PCD ?若存在，求APAM的值；若不存在，说明理由.(18)(本小题满分13分)设函数bx xe x f x a +=-)(，曲线)(x f y =在点))2(,2(f 处的切线方程为4)1(+-=x e y ． (I)求a ，b 的值； (II)求)(x f 的单调区间.(19)(本小题满分14分)已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为23，)0,(a A ，),0(b B ，)0,0(,O ，OAB∆的面积为1.(I)求椭圆C 的方程；(II)设P 的椭圆C 上一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N . 求证：||||BM AN ⋅为定值.(20)(本小题满分13分)设数列A ：1a ，2a ，…， N a )2(≥N ，如果对小于)2(N n n ≤≤的每个正整数k 都有n k a a <，则称n 是数列A 的一个“ G 时刻” .记)(A G 是数列A 的所有“G 时刻”组成的集合.(I)对数列A ：2-，2，1-，1，3，写出)(A G 的所有元素； (II)证明：若数列A 中存在n a 使得1a a n >，则φ≠)(A G ；(III)证明：若数列A 满足),,3,2(11N n a a n n =≤--，则)(A G 的元素个数不小于1a a N -.2016年北京高考数学（理科）答案与解析1. C【解析】集合{|22}A x x =-<<，集合{|1,0,1,2,3}B x =-，所以{1,0,1}A B =- . 2. C【解析】可行域如图阴影部分，目标函数平移到虚线处取得最大值，对应的点为()1,2，最大值为2124⨯+=.3. B【解析】开始1a =，0k =；第一次循环12a =-，1k =；第二次循环2a =-，2k =，第三次循环1a =，条件判断为“是”跳出，此时2k =.4. D【解析】若=a b 成立，则以a ，b 为边组成平行四边形，那么该平行四边形为菱形，+a b ，a b -表示的是该菱形的对角线，而菱形的对角线不一定相等，所以+=a b a b -不一定成立，从而不是充分条件；反之，+=a b a b - 成立，则以a ，b为边组成平行四边形，则该平行四边形为矩形，矩形的邻边不一定相等，所以=a b不一定成立，从而不是必要条件.5. C【解析】 A .考查的是反比例函数1y x=在()0,+∞单调递减，所以11x y <即110x y -<所以A 错； B .考查的是三角函数sin y x =在()0,+∞单调性，不是单调的，所以不一定有sin sin x y >，B错；C .考查的是指数函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在()0,+∞单调递减，所以有1122x y⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即11022xy⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以C 对；D 考查的是对数函数ln y x =的性质，ln ln ln x y xy +=，当0x y >>时，0xy >不一定有ln 0xy >，所以D 错.6．A【解析】通过三视图可还原几何体为如图所示三棱锥，则通过侧视图得高1h =，底面积111122S =⨯⨯=，所以体积1136V Sh ==.7．A【解析】点π,4P t ⎛⎫ ⎪⎝⎭在函数πs i n 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭上，所以πππ1s i n 2s i n 4362t ⎛⎫⎛⎫=⨯-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，然后πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭向左平移s 个单位，即πsin 2()sin 23y x s x ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭，所以π+π,6s k k =∈Z ，所以s 的最小值为π6.8．B【解析】取两个球往盒子中放有4种情况：①红+红，则乙盒中红球数加1个； ②黑+黑，则丙盒中黑球数加1个； ③红+黑（红球放入甲盒中），则乙盒中黑球数加1个； ④黑+红（黑球放入甲盒中），则丙盒中红球数加1个．因为红球和黑球个数一样，所以①和②的情况一样多，③和④的情况完全随机． ③和④对B 选项中的乙盒中的红球与丙盒中的黑球数没有任何影响． ①和②出现的次数是一样的，所以对B 选项中的乙盒中的红球与丙盒中的黑球数的影响次数一样．综上，选B ．9.1-【解析】()()()11i i 1i ++=-++a a a∵其对应点在实轴上 ∴10+=a ，1=-a10.60【解析】由二项式定理得含2x 的项为()2226C 260-=x x 11.2【解析】将极坐标转化为直角坐标进行运算cos =x ρθ，sin =y ρθ直线的直角坐标方程为10-=x∵2cos =ρθ，()222sin cos 2cos +=ρθθρθ∴222+=x y x圆的直角坐标方程为()2211-+=x y圆心()1,0在直线上，因此AB 为圆的直径，2=AB12.6【解析】∵3542+=a a a ∴40=a∵16=a ，413=+a a d ∴2=-d∴()61661662⨯-=+=S a d13. 2【解析】不妨令B 为双曲线的右焦点，A 在第一象限，则双曲线图象如图∵OABC 为正方形，2=OA ∴==c OB π4∠=AOB ∵直线OA 是渐近线，方程为=b y x a ，∴tan 1=∠=bAOB a又∵2228+==a b c ∴2=a14．2，1a <-．【解析】由()323330x x x '-=-=，得1x =±，如下图，是()f x 的两个函数在没有限制条件时的图象．⑴ ()()max 12f x f =-=；⑵ 当1a -≥时，()f x 有最大值()12f -=；当1a <-时，2x -在x a >时无最大值，且()3max23a x x ->-．所以，1a <-．15．【解析】⑴ ∵222a c b+=∴222a c b +-=∴222cos 2a c b B ac +-===∴π4B ∠=⑵∵πA B C ++=∴3π4AC +=cos A C +()A A A =++A A =+πsin()4A =+∵3π4A C +=∴3(0,π)4A ∈∴ππ(,π)44A +∈∴πsin()4A +最大值为1上式最大值为1 16．【解析】⑴81004020⨯=，C 班学生40人⑵在A 班中取到每个人的概率相同均为15设A 班中取到第i 个人事件为,1,2,3,4,5i A i = C 班中取到第j 个人事件为,1,2,3,4,5,6,7,8j C j =A 班中取到i j A C >的概率为i P所求事件为D则1234511111()55555P D P P P P P =++++ 12131313145858585858=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 38= ⑶10μμ<三组平均数分别为7,9,8.25,总均值08.2μ=但1μ中多加的三个数据7,9,8.25,平均值为8.08，比0μ小， 故拉低了平均值17．【解析】⑴∵面PAD 面ABCD AD =面PAD ⊥面ABCD∵AB ⊥AD ，AB ⊂面ABCD ∴AB ⊥面PAD ∵PD ⊂面PAD ∴AB ⊥PD 又PD ⊥PA ∴PD ⊥面PAB⑵取AD 中点为O ，连结CO ，PO∵CD AC ==∴CO ⊥AD ∵PA PD = ∴PO ⊥AD以O 为原点，如图建系易知(001)P ，，，(110)B ，，，(010)D -，，，(200)C ，，， 则(111)PB =- ，，，(011)PD =-- ，，，(201)PC =-，，，(210)CD =--，，设n为面PDC 的法向量，令00(,1)n x y = ，011,120n PD n n PC ⎧⋅=⎪⎛⎫⇒=-⎨ ⎪⎝⎭⋅=⎪⎩，，则PB 与面PCD 夹角θ有sin cos ,n PBn PB n PBθ⋅=<>===⑶假设存在M 点使得BM ∥面PCD设AM APλ=，()0,','M y z由（2）知()0,1,0A ，()0,0,1P ，()0,1,1AP =- ，()1,1,0B ，()0,'1,'AM y z =-有()0,1,AM AP M λλλ=⇒-∴()1,,BM λλ=--∵BM ∥面PCD ，n为PCD 的法向量 ∴0BM n ⋅=即102λλ-++=∴1=4λ∴综上，存在M 点，即当14AM AP =时，M 点即为所求.18．【解析】 （I ）()e a x f x x bx -=+∴()e e (1)e a x a x a x f x x b x b ---'=-+=-+∵曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为(e 1)4y x =-+ ∴(2)2(e 1)4f =-+，(2)e 1f '=- 即2(2)2e 22(e 1)4a f b -=+=-+①2(2)(12)e e 1a f b -'=-+=- ② 由①②解得：2a =，e b =（II ）由（I ）可知：2()e e x f x x x -=+，2()(1)e e x f x x -'=-+令2()(1)e x g x x -=-，∴222()e (1)e (2)e x x x g x x x ---'=---=-∴g 的最小值是(2)(12)e 1g =-=-∴()f x '的最小值为(2)(2)e e 10f g '=+=-> 即()0f x '>对x ∀∈R 恒成立 ∴()f x 在(),-∞+∞上单调递增，无减区间.19．【解析】⑴由已知，112c ab a ==，又222a b c =+，解得2,1,a b c ===∴椭圆的方程为2214x y +=. ⑵方法一：设椭圆上一点()00,P x y ，则220014x y +=. 直线PA ：()0022y y x x =--,令0x =，得0022My y x -=-. ∴00212y BM x =+- 直线PB ：0011y y x x -=+,令0y =，得001N x x y -=-. ∴0021x AN y =+- 0000000000220000000000221122222214448422x y AN BM y x x y x y x y x y x y x y x y x y ⋅=+⋅+--+-+-=⋅--++--+=--+将220014x y +=代入上式得=4AN BM ⋅ 故AN BM ⋅为定值.方法二：设椭圆 上一点()2cos ,sin P θθ，直线PA:()sin 22cos 2y x θθ=--,令0x =，得sin 1cos M y θθ=-. ∴sin cos 11cos BM θθθ+-=-直线PB :sin 112cos y x θθ-=+,令0y =，得2cos 1sin N x θθ=-.∴2sin 2cos 21sin AN θθθ+-=-2sin 2cos 2sin cos 11sin 1cos 22sin 2cos 2sin cos 21sin cos sin cos 4AN BM θθθθθθθθθθθθθθ+-+-⋅=⋅----+=--+=故AN BM ⋅为定值.20．【解析】⑴ (){}25G A =，⑵ 因为存在1n a a >，设数列A 中第一个大于1a 的项为k a ，则1k i a a a >≥，其中21i k -≤≤，所以()k G A ∈，()G A ≠∅． ⑶ 设A 数列的所有“G 时刻”为12k i i i <<< ，对于第一个“G 时刻”1i ，有11i i a a a >≥，1231i i =- ，，，，则 111111i i i a a a a ---≤≤．对于第二个“G 时刻”()21i i >，有21i i i a a a >≥（2121i i =- ，，，）．则212211i i i i a a a a ---≤≤．类似的321i i a a -≤，…，11k k i i a a --≤．于是，()()()()11221211k k k k k i i i i i i i i k a a a a a a a a a a ----+-++-+-=- ≥． 对于N a ，若()N G A ∈，则k i N a a =；若()N G A ∉，则k N i a a ≤，否则由⑵，知1k k i i N a a a + ，，，中存在“G 时刻”，与只有k 个“G 时刻”矛盾．从而，11k i N k a a a a --≥≥，证毕．。