研究有限差分格式稳定性的其他方法 - 报告之欧阳法创编
非定常流体力学中间差分格式稳定性分析研究
![非定常流体力学中间差分格式稳定性分析研究](https://img.taocdn.com/s3/m/977aed2a5e0e7cd184254b35eefdc8d376ee14f9.png)
非定常流体力学中间差分格式稳定性分析研究随着计算机技术的发展,数值模拟已经成为研究非定常流体力学的重要手段。
其中差分法是最常用的一种计算方法。
而中心差分法是差分法中最为常用的方法之一。
在数值计算中,稳定性是非常重要的一个问题。
本文将从非定常流体力学的角度出发,分析中心差分格式的稳定性问题。
一、中心差分法中心差分法是一种最为常用的差分法,其具体计算过程是将计算点的函数值表示为它自身与周围计算点值的线性组合,其中,每个计算点的函数值均采用相同的线性组合模式。
这个模式就是中心差分法的核心。
中心差分法可以用于求解一些常见的偏微分方程,例如泊松方程、热传导方程、对流扩散方程,以及非定常流体力学中的纳维-斯托克斯方程等。
二、非定常流体力学的求解非定常流体力学是流体运动学和动力学的研究,其中:研究的是在时间和空间上变化的流场。
在非定常流体力学中,求解纳维-斯托克斯方程是相当难的。
要解决这一问题,可以采用数值模拟的方法。
由于非定常流体力学的求解过程涉及到高维空间和复杂的数学模型,因此需要具有高性能的计算机和优秀的数值方法。
中心差分法作为一种常见的数值方法,可以用于求解非定常流体力学。
不过,如果不考虑其稳定性问题,这种方法也是会出现一些问题的。
三、中心差分格式的稳定问题在数值计算中,稳定性问题是非常重要的一个问题。
稳定性是指对精度的要求。
一种数值计算方法,如果该方法对初始误差非常敏感,或者计算过程中误差放大得太快,那么这种方法就是不稳定的。
因此,中心差分格式的稳定性问题需要引起我们的关注。
中心差分格式的稳定性取决于流场的不稳定性,并且与形式构成的方程相关。
由于中心差分格式本身是一种稳定的方法,但它的稳定性却取决于数值格式和解的一些特性,如模型方程、网格尺寸等因素。
为了解决中心差分格式的稳定性问题,我们可以采用标量稳定性分析和矩阵稳定性分析两种方法。
通过这两种方法的研究和分析,我们可以更好地了解中心差分格式的稳定性问题,并实现更为精准的求解。
(优选)研究有限差分格式稳定性的方法
![(优选)研究有限差分格式稳定性的方法](https://img.taocdn.com/s3/m/4daa698fed630b1c59eeb5e1.png)
以左偏格式为例:
un1 j
u
n j
a(u
n j
u
n j 1
)
un1 j
u
n j
a(u
n j
u
n j 1
)
令unj vneikjh 代入差分方程
vn1eikjh vneikjh a(vneikjh vneik ( j1)h )
整理得:
vn1 (1 a(1 eikh ))vn
增长因子为:
得其增长因子为G( , k)
1
.
1 4a sin2 kh
注:判断稳定性关键是求增长因子或增长矩阵的特征值。
3.3 例子
Fourier方法在具体应用时,可以采取离散的形式, 直接从差分方程入手。不必要扩充、Fourier积分的 烦琐步骤。具体是:
取:u
n j
v en ikjh,直接代入差分方程,分析增长因子。
(实际上是采用了Fourier积分的离散形式)
(优选)研究有限差分格式稳 定性的方法
由于unj 及g
只是在网格点上有意义,为了应用
j
Fourier
方法进行讨论,必须扩充这些函数的定义域,使它们
在整个( , )上有定义。令:
U ( x, tn ) unj ( x) g j
(
j
1 )h
x
(
j
1 )h
2
2
( j 1)h x ( j 1)h
定理3.2 : 如果差分格式的增长矩阵G( , k)是正规
矩阵,则Von Neumann条件是稳定性的必要且 充分条件。 推论1:当是实对称矩阵,酉 矩阵,Hermite 矩阵时, Von Neumann 条件是差分格式稳定的 充分必要条件。
差分方法的稳定性
![差分方法的稳定性](https://img.taocdn.com/s3/m/79d88ae2336c1eb91b375d4e.png)
差分方法的稳定性1.实验内容对于一阶线性双曲线型方程:[][]()()00,0,1,0,,0u u x t T t x u x u x ∂∂+=∈∈∂∂= 其中初值 ()01,00,0x u x x ≤⎧=⎨>⎩取空间长度h=,对于不同的差分格式(迎风格式,Lax-Friedrichs 格式,Lax-Wendroff 格式,Beam-Warming 格式以及蛙跳格式)及不同的网格比(时间长度与空间长度比hτλ=)进行迭代计算。
通过将计算结果与精确解进行比较,来讨论和分析差分格式的稳定性。
2.算法思想与步骤迎风格式这种格式的基本思想是简单的,就是在双曲型方程中关于空间偏导数用在特征线方向一侧的单边差商来代替,格式如下:110,0n n n nj jj j u u u u a a hτ+---+=> 110,0n n n n j jj ju u u u aa hτ++--+=<运算格式: ()1111(1),01,0n n nj j j n n n j j j u a u a u a u a u a u a λλλλ+-++=-+>=+-<Lax-Friedrichs 格式()111111202n nn n n jj j j j u u u u u a hτ++-+--+-+=运算格式: ()()111111122n nn jj j ua u a u λλ++-=-++Lax-Wendroff 格式这种格式构造采用Taylor 级数展开和微分方程本身得到 运算格式:()()()()111111122n n n n jj j j a a ua u a a u a u λλλλλλ++-=-++-++Bean-Warming 格式(二阶迎风格式)借助于双曲型方程的解在特征线上为常数这一事实,可以构造出多种差分格式。
设在n t t =时间层上网格点A,B,C 和D 上u 的值已给定,要计算出在1n t t +=时间层上网格点P 上的u 的值。
差分方法稳定性介绍
![差分方法稳定性介绍](https://img.taocdn.com/s3/m/eb89334e02d8ce2f0066f5335a8102d276a2611d.png)
03
多尺度问题的求解
多尺度问题广泛存在于科学和工程领 域,对差分方法的稳定性提出更高要 求。未来研究中,将更加注重多尺度 问题的求解方法和技术研究。
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差分方法稳定性介绍
• 引言 • 差分方法的基本原理 • 差分方法的稳定性分析 • 差分方法的误差分析 • 提高差分方法稳定性的措施 • 差分方法稳定性的应用案例 • 总结与展望
01
引言
差分方法的概念
差分方法
差分方法是一种数值计算方法,用于求解微分方程的近似解。它通过构造差分 格式来逼近微分方程的导数,从而将微分方程转化为代数方程进行求解。
差分方法的稳定性分析
稳定性定义
数值稳定性
差分方法在数值计算过程中,对于初 始条件和边界条件的小扰动,解的变 化能够保持有界,即不会因计算步数 的增加而无限放大。
渐近稳定性
当计算步数趋于无穷时,差分方法的 解能够收敛到真实解,即误差能够逐 渐减小并趋于零。
稳定性判据
要点一
Lax-Richtmyer稳定性判据
对于线性偏微分方程,如果差分格式能够保持离散能量不 增长,则该格式是稳定的。该判据提供了判断差分格式稳 定性的一个充分条件。
要点二
Courant-Friedrichs-Lewy (CFL…
对于显式差分格式,为了保证计算的稳定性,时间步长与 空间步长之间需要满足一定的关系,即CFL条件。该条件 给出了时间步长的上限。
边界条件的处理
Dirichlet边界条件
直接给出边界上的函数值,处理简单。
Neumann边界条件
给出边界上的法向导数值,需要通过差分 近似进行处理。
Robin边界条件
周期边界条件
[精品文档]差分格式稳定性及数值效应比较实验
![[精品文档]差分格式稳定性及数值效应比较实验](https://img.taocdn.com/s3/m/d0b9902ea22d7375a417866fb84ae45c3b35c2e1.png)
差分格式稳定性及数值效应比较实验一实验目的:1.以一阶线性双曲线方程为例,使用Matlab工具分析4种差分格式的误差。
2.了解4种差分格式的稳定性。
二实验问题:对于一阶线性双曲型方程:取a=1,2,4, h=0.1, τ=0.08, 对不同的差分格式(迎风格式,Lax-Friedrichs格式,Lax-Wendroff格式,修正迎风格式)及不同的a值进行迭代计算。
通过将计算结果与精确解来进行比较,来讨论分析差分格式的稳定性。
三实验原理:1.迎风格式:这种格式的基本思想是简单的,就是在双曲型方程中关于空间偏导数用在特征线方向一侧的单边差商来代替,格式如下:运算格式:x-Friedrichs格式:运算格式:x-Wendroff格式:这种格式构造是采用Taylor 级数展开和微分方程本身得到运算格式:4.修正迎风格式(目标点范围跟踪格式):其中是取整数部分,=。
根据之后的理论分析可以得到这是一个无条件稳定结构。
四四种格式理论分析:通过求差分格式的增长因子G(τ, k),来判定差分格式是否稳定。
1.迎风格式:记,则,得,即。
所以。
则在,满足von Neumann条件,格式稳定。
以下格式用相同方法求解稳定性条件。
x-Friedrichs格式:,在时稳定。
x-Wendroff格式:,在时稳定。
4.修正迎风格式(目标点范围跟踪格式):,其中,的成立条件为。
而恒成立,故格式无条件稳定。
五实验结果:a=1()迎风格式Lax-Friedrichs格式Lax-Wendroff格式修正迎风格式a=2()迎风格式Lax-Friedrichs格式Lax-Wendroff格式修正迎风格式a=4()迎风格式Lax-Friedrichs格式Lax-Wendroff格式修正迎风格式六总结:本次实验,通过4种差分格式求解T=4时的解并与解析解画图比较,可以看出:(1)a=1(aλ=0.8<1)时,迎风格式,Lax-Friedrichs格式,修正迎风格式的计算结果与解析解近似情况较好,而Lax-Wendroff格式则在间断点处出现了波前波,形成双波现象,这符合Lax-Wendroff格式为二阶迭代格式的性质。
讨论对流程的差分格式的精度及稳定性的认识
![讨论对流程的差分格式的精度及稳定性的认识](https://img.taocdn.com/s3/m/b6a3eb4958eef8c75fbfc77da26925c52dc59147.png)
讨论对流程的差分格式的精度及稳定性的认识下载提示:该文档是本店铺精心编制而成的,希望大家下载后,能够帮助大家解决实际问题。
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一种对流扩散方程有限差分显式的稳定条件分析
![一种对流扩散方程有限差分显式的稳定条件分析](https://img.taocdn.com/s3/m/c480b66d68eae009581b6bd97f1922791688bee6.png)
一种对流扩散方程有限差分显式的稳定条件分析近半个世纪以来,随着计算机的日益普及,对于对流扩散方程的数值求解迅速发展,也激发了大量的相关研究。
其中,有限差分显式是常见的求解方法,因其简单性,快速性而广泛应用。
有限差分显式求解对流扩散方程时,则需要保证求解的稳定性,其中最被重视的是稳定性分析。
对于一般的对流扩散方程,其可以分解为传递部分的对流方程和扩散部分的扩散方程,并可以将其抽象化为一阶常微分方程Ux=F(x,U)。
使用有限差分法求解时,首先需要考虑一类特殊步长t,将该问题转换为Ux(n+1)=F(x,Ux(n)),其中n为当前步长。
接着,可以利用差分显式法,对于给定的步长t可以推导出:Ux(n+1)=Ux(n)+t*F(x,Ux(n))给定时间步长t,求解该方程的稳定性,可以用来检验该方法是否可行,从而将t限制在一定的范围内;如果不稳定,则需要重新设计求解方法。
通常情况下,稳定性分析可以利用条件研究方法,找出具有稳定性的t值,也就是所谓的稳定性条件分析。
在对有限差分显式求解对流扩散方程时,根据具体问题可以采用不同的稳定性条件分析方法。
其中,Lax-Wendroff法是一种常用的稳定性条件分析方法,其可以有效的检测当前差分显式的稳定性。
Lax-Wendroff法通过检验对流扩散方程中差分显式的保守性,提出了一个稳定性条件:t<=(2/3)*(t^2/h),其中t是时间步长,h^2是空间步长,用来限定所使用的差分显式的稳定性性质。
然而,Lax-Wendroff法不能有效检测特殊情况,比如某些特殊形式的空间步长或者有限差分步长。
因此,也有相关的研究实验,将其应用于对流扩散问题中,进行更为准确的稳定性分析。
本文基于一种对流扩散方程的有限差分显式稳定性分析,将结合相关理论和实验,从稳定性条件分析的角度,分析以及研究使用Lax-Wendroff法的稳定性条件分析。
首先,介绍了对流扩散方程的基本概念,包括方程的分解以及将其转换为一阶常微分方程,以及利用有限差分法转换为Ux(n+1)=F(x,Ux(n))。
无条件稳定 条件稳定 有限差分法
![无条件稳定 条件稳定 有限差分法](https://img.taocdn.com/s3/m/f099e3c6b9f67c1cfad6195f312b3169a451eaf0.png)
无条件稳定条件稳定有限差分法在数学和计算机科学中,无条件稳定和条件稳定是两个重要的概念。
一个稳定的计算方法能够产生准确的结果,并且不会因为输入数据的微小变化而产生较大的误差。
无条件稳定意味着在所有情况下,计算方法都是稳定的。
条件稳定则是指在某些情况下,计算方法可以失效,极端情况下可能产生极大的误差。
有限差分法有限差分法是一种常用的数值计算方法,主要用于解决微分方程和积分方程等问题。
这种方法通过将微分方程中的导数用有限差分近似表示,转换为差分方程,并使用数值方法来解析。
由于有限差分法具有较高的计算精度和易于实现等优点,被广泛应用于工程、科学和数学等领域。
有限差分法的标准形式为:$\frac{u_{i+1,j}-2u_{i,j}+u_{i-1,j}}{\Deltax^2}+\frac{u_{i,j+1}-2u_{i,j}+u_{i,j-1}}{\Delta y^2}=f_{i,j}$其中,$u_{i,j}$为离散网格点上的解,$\Delta x$和$\Delta y$为网格在$x$和$y$方向上的步长,$f_{i,j}$为离散化的函数。
这种方法能够以任意精度计算两维的偏微分方程。
对于有限差分法,在一个给定的离散化网格上,其稳定性主要取决于差分方程中的时间步长$\Delta t$和空间步长$\Delta x$或$\Delta y$的组合。
如果某个计算方法在所有情况下都是稳定的,那么它就是无条件稳定的。
而如果该计算方法只在限定的一些情况下稳定,那么就是条件稳定的。
以一个二阶偏微分方程为例:$\frac{\partial u}{\partial t}=D \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$其中,$u(x,t)$是位置和时间的函数,$D$为常数。
我们可以用有限差分法来计算这个方程的数值解。
为了满足稳定的要求,必须满足以下两个条件:和这两个条件都是成对出现的,因为偏微分方程是二阶的,因此需要使用两个方程来限制空间步长和时间步长的选择。
研究有限差分格式稳定性的Fourier方法-文档资料
![研究有限差分格式稳定性的Fourier方法-文档资料](https://img.taocdn.com/s3/m/5e14a01deefdc8d376ee325f.png)
i k h 由此可得: U ( k , t ) ( 1 aeU ( 1 ) ) ( k , t ) n 1 n
i k s F (( fxs ) ) e F (() fx )
i k h U ( k , t ) ( 1 aeU ( 1 ) ) ( k , t ) n 1 n
(*)
其中 j(G ( ,k)) 表示 G ( ,k) 的特征值, M 为常数
注:条件(*)被称为Von Neumann条件,Von Neumann 条件是稳定性的必要条件,其重要性在于很多情况下, 这个条件也是稳定性的充分条件。
定 理 3 . 2 : 如 果 差 分 格 式 的 增 长 矩 阵 G (, k ) 是 正 规 矩 阵 , 则 V o n N e u m a n n 条 件 是 稳 定 性 的 必 要 且 充 分 条 件 。
实 际 上 函 数 U ( x , t ) ,( x ) 在 R 上 满 足 k
U ( x , t )( U x , t )[ a U ( x , tU ) ( x h , t ) ] xR n 1 n n n
等式两边分别用Fourier积分表示: 1 1 i k x i k x Ukt ( , ) e d k Ukt ( , ) e d k n 1 n 2 2
实际上,我们就是用增长因子来判断稳定性的
n 假设:存在常数 K , 使得 | [ G ( , k )] | K
| | U ( t ) | | (, x t ) |d x n n |U
2 2
Parseval等式
由假设
( kt ,n )| d k |U
差分方法的稳定性之欧阳学文创作
![差分方法的稳定性之欧阳学文创作](https://img.taocdn.com/s3/m/d2c41c9dfe4733687f21aaab.png)
差分方法的稳定性欧阳学文1.实验内容对于一阶线性双曲线型方程:其中初值()01,00,0x u x x ≤⎧=⎨>⎩取空间长度h=0.01,对于不同的差分格式(迎风格式,Lax-Friedrichs 格式,Lax-Wendroff 格式,Beam-Warming 格式以及蛙跳格式)及不同的网格比(时间长度与空间长度比h τλ=)进行迭代计算。
通过将计算结果与精确解进行比较,来讨论和分析差分格式的稳定性。
2.算法思想与步骤2.1迎风格式这种格式的基本思想是简单的,就是在双曲型方程中关于空间偏导数用在特征线方向一侧的单边差商来代替,格式如下:运算格式: ()1111(1),01,0n n n j j j n nn j j j u a u a u a u a u a u a λλλλ+-++=-+>=+-<2.2 Lax-Friedrichs 格式运算格式: ()()111111122n n n j j j ua u a u λλ++-=-++ 2.3 Lax-Wendroff 格式这种格式构造采用Taylor 级数展开和微分方程本身得到运算格式: ()()()()111111122n n n n j j j j a a ua u a a u a u λλλλλλ++-=-++-++ 2.4 Bean-Warming 格式(二阶迎风格式)借助于双曲型方程的解在特征线上为常数这一事实,可以构造出多种差分格式。
设在n t t =时间层上网格点A,B,C 和D 上u的值已给定,要计算出在1n t t +=时间层上网格点P 上的u 的值。
假定C.F.L 条件成立,过P 点特征线与BC 交于点Q ,故微分方程解的性质知()()u P u Q =。
对于()u Q :① 用B,C 两点值进行线性插值,得到的是迎风格式;② 用B,D 两点值进行线性插值,得到的是Lax-Friedrichs 格式; ③ 用B,C 和D 三点值进行抛物型插值,得到的是Lax-Wendroff 格式。
SD伺服驱动器说明介绍模板之欧阳法创编
![SD伺服驱动器说明介绍模板之欧阳法创编](https://img.taocdn.com/s3/m/28af12f43169a4517623a3ca.png)
第一章简介1.1 产品简介交流伺服技术自八十年代初发展至今,技术日臻成熟,性能不断提高,现已广泛应用于数控机床、印刷包装机械、纺织机械、自动化生产线等自动化领域。
SDXXX系列交流伺服是本公司自主研发的新一代交流伺服驱动器,主要采用最新的IRMCK201作为核心运算单元,并采用了复杂可编程器件EPLD及三菱智能功率模块,具有集成度高,体积小,响应速度快,保护完善,可靠性高等一系列优点。
适用于高精度的数控机床、自动化生产线、机械制造业等工业控制自动化领域。
与以往驱动系统相比,SDXXX交流伺服系统具有以下优点:★伺服电机自带编码器,位置信号反馈至伺服驱动器,与开环位置控制器一起构成半闭环控制系统。
★调速比为1:5000,从低速到高速都具有稳定的转矩特性。
★伺服电机最高转速可达5000rpm,回转定位精度1/10000r(注:不同型号电机最高转速不同)。
★通过修改参数可对伺服系统的工作方式、运行特性作出适当的设置,以适应不同的要求。
★改进的空间矢量控制算法,比普通的SPWM产生的力矩更大,噪音更小。
★高达3 倍的过载能力,带负载能力强。
★完善的保护功能:过流,过压,欠压和编码器故障等保护。
★监视功能允许显示18个参数状态,包括位置误差,电机转速、反馈脉冲、指令脉冲、电机电流、报警记录等。
★高适应性,能够适应高速高精度电机,可以配套2~8磁极,400-6000线编码器的各型号电机。
1.2型号意义1.伺服驱动器型号S D30 MT功能代码(M:数字量与模拟量兼容)IPM模块的额定电流(15/20/30/50/75A)采用空间矢量调制方式(SVPWM)的交流伺服驱动器第二章安装【注意】☆产品的储存和安装必须满足环境条件要求。
☆产品的安装需要防火材料,不得安装在易燃物上面或附近,防止火灾。
☆伺服驱动器须安装在电气控制柜内,防止尘埃、腐蚀性气体、导电物体、液体及易燃物侵入。
☆伺服驱动器和伺服电机应避免振动,禁止承受冲击。
数值分析课程第五版课后习题答案(李庆扬等)1之欧阳法创编
![数值分析课程第五版课后习题答案(李庆扬等)1之欧阳法创编](https://img.taocdn.com/s3/m/280c434b6bec0975f565e228.png)
第一章 绪论(12)1、设0>x ,x 的相对误差为δ,求x ln 的误差。
[解]设0*>x 为x 的近似值,则有相对误差为δε=)(*x r ,绝对误差为**)(x x δε=,从而x ln 的误差为δδεε=='=*****1)()(ln )(ln x xx x x ,相对误差为****ln ln )(ln )(ln xxx x rδεε==。
2、设x 的相对误差为2%,求n x 的相对误差。
[解]设*x 为x 的近似值,则有相对误差为%2)(*=x r ε,绝对误差为**%2)(x x =ε,从而nx 的误差为nn x x n x n x x n x x x **1***%2%2)()()()(ln *⋅=='=-=εε,相对误差为%2)()(ln )(ln ***n x x x nr==εε。
3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位有效数字:1021.1*1=x ,031.0*2=x ,6.385*3=x ,430.56*4=x ,0.17*5⨯=x 。
[解]1021.1*1=x 有5位有效数字;0031.0*2=x 有2位有效数字;6.385*3=x 有4位有效数字;430.56*4=x 有5位有效数字;0.17*5⨯=x 有2位有效数字。
4、利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限,其中*4*3*2*1,,,x x x x 均为第3题所给的数。
(1)*4*2*1x x x ++;[解]3334*4*2*11***4*2*1*1005.1102110211021)()()()()(----=⨯=⨯+⨯+⨯=++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=++∑x x x x x f x x x e n k k kεεεε;(2)*3*2*1x x x ; [解]52130996425.010********.2131001708255.01048488.2121059768.01021)031.01021.1(1021)6.3851021.1(1021)6.385031.0()()()()()()()()(3333334*3*2*1*2*3*1*1*3*21***3*2*1*=⨯=⨯+⨯+⨯=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=-------=∑x x x x x x x x x x x f x x x e nk k kεεεε;(3)*4*2/x x 。
差分格式稳定性分析和基于Matlab编程对抛物线方程的数值计算
![差分格式稳定性分析和基于Matlab编程对抛物线方程的数值计算](https://img.taocdn.com/s3/m/72e2ab380066f5335a812154.png)
u( x, t ) exp( 2t )sin( x)
解:当取 h=0.1,t=0.01 和 h=0.1,t=0.001 计算时,网比 r 分别为 1 和 0.1,古典显式格式要求网比小于等于 1/2 才稳定,而古典隐式格 式无条件稳定,所以本题采用古典隐式格式计算。 古典隐式差分格式: (1 2r )u j ,k r (u j 1,k u j 1,k ) u j ,k 1 ( 1)首先取 h=0.1,t=0.01,即 r=1,并将结果与解析解比较。 计算代码:
k 1 k k k 1 0 u j 0 u j 1 0 u j 1 0 1 u j 0 k 1 k k k 1 0 0 0 0 1 0 j j 1 j 1 j k u j k Wj k j 1 0 k 1 0 k 0 k 0 1 k 0 W j 0 0 W j 1 0 0 W j 1 1 Wj 1 0
W jk V k ei x 1 0 k 1 (ei h e i h ) 1 k V 0 V 1 1 0
则传播因子为:
2 cos( h) 1 G ( , ) 1 1 1 0
解:采用古典隐式格式计算,取 h=0.02, t=0.0001,即 r=0.25, 画出 物体表面温度在 0.5 秒时间内的分布图,计算代码如下:
clc;clear all; h=0.02;t=0.0001;n=1; r=t/h^2; s=0:0.02:1;s1=0:0.02:0.5;s2=0.5:0.02:1; k=0:0.0001:0.5; c=1:51;d=1:5001; u=zeros(5001,51); B=zeros(48,1);
差分格式稳定性及数值效应
![差分格式稳定性及数值效应](https://img.taocdn.com/s3/m/a6cb7010650e52ea5518989f.png)
实验原理:
1.迎风格式:
运算格式:
x-Friedrichs格式:
运算格式:
x-WenLeabharlann roff格式:这种格式构造是采用Taylor级数展开和微分方程本身得到,运算格式:
4.修正迎风格式:
其中 是 取整数部分, = 。根据之后的理论分析可以得到这是一个无条件稳定结构。
五实验结果:分别按顺序为迎风格式,Friedrichs,Wendroff,修正迎风
a=1:
a=2:
a=4:
六实验总结:
本次实验,通过4种差分格式求解T=4时的解并与解析解画图比较,可以看出:
(3)a=4时,迎风格式,Lax-Friedrichs格式,Lax-Wendroff格式的震荡更加强烈。
由上得出,稳定性对差分格式求解偏微分方程有重大意义。一个差分格式是否好,是否可用,首先要判定它是否稳定并找到稳定性条件。修正迎风格式强大的稳定性在解决一阶线性双曲线方程中有着很强的实用价值。
另外在实验中也有一些其他的问题:
3在修正迎风格式中当较大时区间的极大的产生了偏离如何能够快速的找到我们需要的区间进行分析还是只能选取较大区域后一步步缩小范围
差分格式稳定性及数值效应
F1107102 5112409006陆逢源实验目的:
1.以对流方程为例,分析4种差分格式的误差。
2.了解4种差分格式的稳定性
实验问题:
对于一阶线性双曲型方程:
(1)a=1时,迎风格式,Lax-Friedrichs格式,修正迎风格式的计算结果与解析解近似情况较好,而Lax-Wendroff格式则在间断点处形成双波现象,这符合Lax-Wendroff格式为二阶迭代格式的性质。
北斗”系统的优劣势分析之欧阳治创编
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北斗”系统的优劣势分析摘要:“北斗”系统是我国自行研制的卫星导航定位系统,作为全球四大卫星导航定位系统之一,在我国的军用和民用领域中均发挥着重要作用。
北斗系统作为一种新的卫星导航定位系统技术,有着明显的优势,同时也存在这缺陷和不足。
本文分析了北斗系统与GPS系统相比具有的优势和不足,以及应用优势和劣势,并在此基础上分析了北斗系统的应用前景。
关键词:北斗系统,导航,定位,特点,应用1 引言我国自行研制的北斗卫星导航定位系统(简称北斗系统,Compass),从2004年正式运营以来,系统工作良好,已在测绘、森防、电信、水利、交通运输、勘探、防灾救灾和国防安全领域发挥了重要作用。
北斗系统由空间卫星、地面主控站(控制中心)与标校站和用户终端设备三大部分组成。
该系统基于“二球交会”原理进行定位,即以2颗已知坐标的卫星为圆心,各自以测定的本星到用户接收机的距离为半径,形成两个球面,用户接收机必定位于两个球面交线的圆弧上。
地面控制中心存储的电子高程地图库提供以地心为球心,以球心至用户机的距离为半径的球面。
求解圆弧与球面的焦点,并根据用户在赤道平面北侧的实际情况,即可获得用户的二维坐标[1]。
北斗接收机在工作时,首先,由用户机接收来自两颗卫星的询问信号(卫星的询问信号是由控制中心发给两颗卫星的,再由卫星转发器播发给用户机),用户响应其中一颗卫星的询问信号,通过用户机同时向两颗卫星发送响应信号,再经卫星转发;然后,用户机利用系统的通信功能,将自己的二维位置通过卫星发送给控制中心,控制中心根据用户的二维回到地面控制中心,控制中心接受并解调用户发送来的响应信号,根据用户的申请服务内容进行相应处理。
2 北斗系统的系统特点北斗系统作为我国拥有自主知识产权的卫星导航定位系统,是为了打破欧美对卫星导航市场的垄断,也是应国防安全的需要而建立的。
它的建立有着自己独特的经济、政治和文化背景,拥有自已鲜明的系统特征。
与国外的卫星导航定位系统(如GPS、GLONASS及Galileo)性比,具有以下特点[2-4]:(1)北斗系统是区域卫星定位导航系统北斗系统的空间部分为两颗地球同步轨道卫星,固定在中国上空。
差分格式的稳定性与收敛性1
![差分格式的稳定性与收敛性1](https://img.taocdn.com/s3/m/629c320b79563c1ec5da712c.png)
(11)
v( x)
M ( x a)(b x) . 2
因为 v( x) 是 x 的二次函数,它的四阶导数为零,从式(2)、 (3)看到 v( x) 在点 xm 的二阶中心差商与 v '' ( xm ) 相等,因此差分方 程(10)的解等于边值问题(11)的解,即
Lu u ''' q( x)u f ( x), a x b, u (a) , u (b) ,
其中 q ( x) 、 f ( x) C a, b , q( x) 0. 将区间 a, b 分成 N 等份,记分点为 xm a mh, m 0,1, , N , 这里步长 h b a .利用泰勒公式,得
和
(1) (2) 的解分别记为 u m 和 um ,其中差分算子 Lh 由式(5)定义,则方程 组(5)的解 u m 为 (1) (2) um um um
(8) (9)
由极值原理可知
(1) um max , , m 1, 2, , N 1 .
3
(2) 接下来再估计 um ,考虑差分方程
Rm (u) Lu( xm ) Lhu( xm ) ,称 Rm (u) 是用差分算子 Lh 代替微 记 分算子 L 所产生的截断误差.由式(2),二阶中心差商代替二阶 导数所产生的截断误差 Rm ,从式(4)和式(5)可以得出
Rm Lh (u ( xm ) um ) , Rm 称为差分方程(5)的截断误差.
N
(1)
1 [(u ( xm1 ) 2u ( xm ) u ( xm1 )] u '' ( xm ) Rm 2 h Nhomakorabea其中
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2015年秋季学期研究生课程考核(读书报告、研究报告)考核科目:偏微分方程数值解法:理学院数学系学生所在院(系)学生所在学科:数学学生姓名:H i t e r学号:1X S012000学生类别:考核结果阅卷人研究有限差分格式稳定性的其他方法摘要偏微分方程的求解一直是大家比较关心的一个问题,而有限差分格式则是求解偏微分方程时常用并且有效的一个方法。
因此,研究有限差分格式的性质就显得尤为重要。
在课上我们已经跟着老师学习了运用Fourier方法研究有限差分格式的稳定性,但是在很多研究有限差分格式稳定性的问题中仅仅会用Fourier方法是不够的,所以在本篇论文中,将会介绍其他三种常用的研究有限差分格式稳定性的方法,分别是:Hirt启示型方法、直接方法(或称矩阵方法)和能量不等式方法。
关键字:偏微分方程;有限差分格式;稳定性AbstractThe solution of partial differential equations has been more concerned with a problem, and the finite difference scheme is a common and effective method for solving partial differential equations. Therefore, it is very important to study the character of the finite difference scheme. We have followed the teacher to learn the use of Fourier method of finite difference scheme stability, but in a lot of research on the stability of finite difference scheme is only used Fourier method is not enough, so in this paper, will introduce the other three kinds of commonly used in the study of finite difference scheme stability method, respectively is: Hirt enlightenment method, direct method (or matrix method) and energy inequality method.Key words: partial differential equation; finite difference scheme; stability1 前言微分方程的定解问题就是在满足某些定解条件下求微分方程的解。
在空间区域的边界上要满足的定解条件称为边值条件。
如果问题与时间有关,在初始时刻所要满足的定解条件,称为初值条件。
不含时间而只带边值条件的定解问题,称为边值问题。
与时间有关而只带初值条件的定解问题,称为初值问题。
同时带有两种定解条件的问题,称为初值边值混合问题。
定解问题往往不具有解析解,或者其解析解不易计算。
所以要采用可行的数值解法。
有限差分方法就是一种数值解法,它的基本思想是先把问题的定义域进行网格剖分,然后在网格点上,按适当的数值微分公式把定解问题中的微商换成差商,从而把原问题离散化为差分格式,进而求出数值解。
此外,还要研究差分格式的解的存在性和唯一性、解的求法、解法的数值稳定性、差分格式的解与原定解问题的真解的误差估计、差分格式的解当网格大小趋于零时是否趋于真解(即收敛性),等等。
有限差分方法具有简单、灵活以及通用性强等特点,容易在计算机上实现。
在课上我们已经跟着老师学习了运用Fourier方法研究有限差分格式的稳定性,但是在很多研究有限差分格式稳定性的问题中仅仅会用Fourier 方法是不够的,所以在本篇论文中,将会介绍其他三种常用的研究有限差分格式稳定性的方法,分别是:Hirt 启示型方法、直接方法和能量不等式方法。
2 Hirt 启示性方法2.1 方法概述Hirt 启示性方法是一种近似分析方法。
主要是把差分格式在某确定点上作泰勒级数近似展开,把高阶误差略去,只留下最低阶的误差项。
如果差分格式是相容的,那么这样得到的新的微分方程(称之为第一微分近似或修正微分方程)与原来的微分方程相比只增加了一些含小参数的较高阶导数的附加项。
Hirt 方法就是利用第一微分近似的适应性来研究差分格式的稳定性。
Hirt 方法的判别准则是这样的:如果第一微分近似是适定的,那么原来微分方程的差分格式是稳定的,否则不稳定。
其实所述的微分格式是原来微分方程问题的相容的差分格式,那么也可以看作第一微分近似问题的相容的差分格式。
如果第一微分近似问题是不适定的,那么它的差分格式将不稳定[1]。
2.2 操作方法先给出几个方程0,,0,0>∈>=∂∂+∂∂t R x a x u a t u (2.1),2,1,0,,2,1,0,011=±±==-+-++n j h u u a u u n jnj njn j τ (2.2)11=-+--+h u u a u u n j n j n jn j τ (2.3)考虑对流方程(2.1)的差分格式(2.3),在点),(n j t x 进行Taylor 技术展开,有 )(][2][),(),(2221h O x u h x u ht u u t x u n j n j n j n j +∂∂-∂∂=-- )(][2][),(),(2221ττO t u h t u t u u t x u n j n j n j n j +∂∂-∂∂=-+ 利用对流方程(2.1),有22222)(x u a x u a t t u ∂∂=∂∂-∂∂=∂∂因此,在点),(n j t x 上,有差分方程(2.3)可以得到)(2222222h O x u a ah x u a t u ++∂∂-=∂∂+∂∂ττ)(略去高阶误差项,得出第一微分方程近似22222x u a ah x u a t u ∂∂-=∂∂+∂∂)(τ要使上面的抛物型方程有意义,必须有0222>-τa ah而上面的不等号改为等号,则就化为原来的对流方程。
在这两种情况下,相应的问题是适定的。
即第一微分近似适定的条件是0222≥-τa ah由此得出差分格式(2.3)的稳定性条件是1≤λa ,其中h τλ=。
此结论与Fourier 方法分析得到的结论是一致的。
下面我们再来分析逼近对流方程(2.1)(仍设0>a )的差分格式(2.2)的稳定性。
模仿上面的推导可以得到它的第一微分近似是 22222x u a ah x u a t u ∂∂+-=∂∂+∂∂)(τ 可以看出22x u∂∂的系数小于0,因此第一微分近似是不适定的,从而推出差分格式(2.2)是不稳定的。
3 直接方法关于抛物型方程初值问题的差分格式的稳定性问题,可以用直接方法(或称矩阵方法)来研究。
下面用具体例子来说明这个方法的基本思想及使用方法。
考虑常系数扩散方程的初值问题⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>==∈=>∈>∂∂=∂∂0,0),(),0(),0(),()0,(0),,0(,0,022t t l u t u l x x u x u t l x a x u a t u (3.1)采用显示差分格式来逼近,即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>==-==-=>+-=--++0,01,2,1),(1,2,1,0,200002111n u u J j x u u J j n h u u u a u u J n j j n j n j nj n j n j τ (3.2)其中l Jh =。
先把差分格式(3.2)写成1,2,1,)21(111-=+-+=-++J j u a u a u a u n j n j n j n j λλλ (3.3) 其中2h τλ=。
可以把(3.3)写成向量形式,即]00[]][21212121[][00122111121211J n n J n J n n n J n J n n u u a u u u u a a a a a a a a a a u u u u λλλλλλλλλλλ+----=--+-+-++(3.4)如果令T n J n n n u u u u ),,,(121-=并考虑到00==n J n u u ,则(3.4)式可以写成 n n Au u =+1 (3.5)其中]21212121[λλλλλλλλλλa a a a a a a a a a A ----= (3.6)从显示格式出发,得到方程组(3.5)式,也可以理解为较为一般的形式,即对于逼近初值问题(3.2)的其他二层格式也可以化为(3.5)式的形式。
当然此时A 不是(3.6)式所表示的形式。
如果差分格式是二层隐式格式。
则A 为C B 1-这种形式。
因此(3.5)式这种形式可理解为既包含二层显示格式又包含二层隐士格式的较为一般的形式。
引入误差向量~n n n u u z -=,其中n u 是差分方程(3.5)的精确值(理论值),~nu 是差分方程(3.5)经数值求解得到的值(包括了舍入误差等)。
显然,n z 满足 n n Az z =+1 (3.7)从而推出0z A z n n = (3.8)差分格式(3.5)的稳定性就要求,≥≤n K z n (3.9) 其中•为向量的2-范数。
由于2z A z n n •≤因此(3.9)式成立的充分必要条件为M A n≤2 (3.10)上述采用2-范数,当然也可以采用其他类型的范数。
对于稳定性条件(3.10),可以仿Fourier 方法中的推导,得到一些结论:(1)谱半径条件τρM A +≤1)( (3.11)是差分格式稳定的一个必要条件,其中M 为常数。
(2)如果矩阵A 是一个正规矩阵,则(3.11)式也是格式稳定的一个充分条件。
下面讨论差分格式(3.5),(3.6)的稳定性。
矩阵(3.6)是对称矩阵,所以只要使条件(3.11)成立即可。
现在来计算A 的特征值。
令)1(-J 阶方阵]0110110110[=S 则A 可以表示为S a I a A λλ+-=)21(其中I 为)1(-J 阶单位矩阵。
由此可知,关键是求出S 的特征值和特征向量。
设γ和T J w w w w ),,,(121-= 分别为S 的特征值和特征向量,w Sw γ=写成分量的形式有⎩⎨⎧==-==+-++02,,1,0,0021J j j j w w J j w w w γ (3.12)先求出j w ,再求出S 的特征值γ。