高中数学高一上册复习资料

第一章集合与简易逻辑一、集合： 1. 集合的定义： 集合的表示方法：数集：*,,,,,N N Z Q R C (复数集)集合的特性：2. 元素与集合的关系： 集合与集合的关系：空集是任何集合的__________，是任何非空集合的_______________。

任何一个集合都是他自身的____________。

集合{123,,,,n a a a a L }的子集个数有____个，真子集有____个，非空真子集有____个。

当A B ⊆时，一般要分A =∅与A ≠∅两种情况。

3. 交集是指A 与B 中公共元素构成的集合，A ∩B={x|}并集是指所有属于集合A 或属于集合B 的元素构成的集合，A ∪B={x|} 一般采用画出数轴来求两个集合的交集或并集。

有关系式：①若A ∩B=A ，则____________；②若A ∪B=A ，则_____________； ③()()U U C A C B =∩__________、()()U U C A C B =∪____________。

二、不等式解法：①||(0)ax b m m m ax b m +<>⇔-<+< ②||(0)ax b m m ax b m ax b m +>>⇔+>+<-或 ③||||||ax b nn ax b m ax b m +>⎧<+<⇔⎨+<⎩2. 二次不等式：220(0)ax bx c ax bx c ++>++<与二次函数2y ax bx c =++20ax bx c ++<的解形如x ac x b+>+类型的可移项0x a c x b +->+化简来解。

4. 简单高次不等式：利用数轴标根法求解集。

5. 指数不等式：()()f x g x a a >⇒01,__________1,___________a a <<>①时②时6. 对数不等式：log ()log ()a a f x g x <可转化为不等式组 ①当01a <<时，______________________⎧⎨⎩；当1a >时，______________________⎧⎨⎩。

解指数不等式，对数不等式时，必须考察函数的单调性问题，特别注意不能忽视了对数的真数必须大于0，不等式的解集必须用集合或区间表示出来。

三、逻辑联结词：或（并集）、且（交集）、非（补集）1. 命题可分为真命题、假命题，也可以分为简单命题、复合命题。

复合命题形式有“p 或q ”，“p 且q ”，“非p ”三种形式。

2. 复合命题的真值表。

P q p 或q p 且q 非p 真 真 真 假 假 真 假 假 ① 原命题为真，则其逆命题与否命题不一定为真，而其逆否命题一定为真。

② 互为逆否命题的真假相同，逆命题与否命题的真假相同。

4. 充要条件：①若A B ⇒但B A ，则A 是B 的___________条件。

②若A B 但B A ⇒，则A 是B 的___________条件。

③若A B ⇔，则A 是B 的___________条件。

④若A B 且B A ，则A 是B 的___________条件。

四、恒成立问题：1. 20ax bx c ++>恒成立，可令2()f x ax bx c =++，函数图象恒在x 轴上方。

等价于：000a b c =⎧⎪=⎨⎪>⎩①00a >⎧⎨∆<⎩②2. 20ax bx c ++<恒成立，等价于：000a b c =⎧⎪=⎨⎪<⎩①0a <⎧⎨∆<⎩②例：已知不等式22(1)2(1)30a x a x ----<恒成立（或解集为R ），求a 的取值范围。

互为逆否 互否互否原命题，若p 则q 逆命题，若q 则p逆否命题，若⌝q 则⌝p否命题，若⌝p 则⌝q ←−−−−−→ 互 逆 ←−−−−−→ 互 逆第二章函数一、函数()y f x =及有关性质。

1. 函数定义：()y f x =中，自变量x 的取值范围为函数的定义域。

当x a =时，()y f a =叫函数值。

所有函数值的集合叫做函数的值域。

2. 映射的定义：两个允许： 两个不允许：3. 同一函数：①_______相同。

②_________相同。

③值域相同。

（可由①②得③）4. 函数定义域求法：使函数有意义的条件。

①整式函数（一次函数、二次函数）定义域为R 。

②分式函数的分母不为0。

③偶次根式函数，被开放数大于或等于0()0f x >） ④对数函数的底数大于0且不等于1，真数大于0。

有多个限制条件的转化为不等式组求定义域。

5.函数的单调性：①定义： ②逆运用：当()y f x =在区间[m ，n]上为增函数时，若[()][()]f x f g x ϕ>则有：()()()()x g x x n g x m ϕϕ>⎧⎪≤⎨⎪≥⎩当()y f x =在区间[m ，n]上为减函数时，若[()][()]f x f g x ϕ>则有：()()()()x g x x m g x n ϕϕ<⎧⎪≥⎨⎪≤⎩③常用函数的单调性：Ⅰ.一次函数y kx b =+，当0k >时为增函数；当0k <时为减函数。

Ⅱ.二次函数2y ax bx c =++，当0a >时在(,]2b a -∞-为减函数；在[,)2ba-+∞为增函数。

当0a >时在(,]2b a -∞-为增函数；在[,)2ba-+∞为减函数。

与开口方向和对称轴有关。

Ⅲ.反比例函数1y x =在()(),00-∞+∞与，上均为减函数；1y x=-在()(),00-∞+∞与，上均为增函数。

Ⅳ.x y a =()01a a >≠且，当01a <<时为减函数；当1a >时为增函数。

Ⅴ.log a y x =()01a a >≠且，01a <<时，在()0,+∞上为减函数；当1a >时，在()0,+∞上为增函数。

6.反函数：求函数()y f x =的反函数的方法：（1）先根据原函数的定义域求出其值域 （2）由()y f x =解出()x y ϕ=（3）将()x y ϕ=中的,x y 互换，即得反函数1()y f x -=标明定义域有关性质：（1）原函数()y f x =与反函数1()y f x -=的定义域和值域正好互换，原函数过点(),a b ，则反函数过点(),b a 。

（2）互为反函数的图象关于y x =成轴对称图形。

（3）原函数与反函数的单调性相同。

7.函数得奇偶性：存在奇偶性得条件时定义域必须关于原点对称，在定义域内，将x x -换成后（1）若()()f x f x -=，则()y f x =为偶函数。

（2）若()()f x f x -=-，则()y f x =为奇函数。

有关性质：（1）偶函数得图象关于y 轴对称，在对称区间上的单调性相反。

（2）奇函数得图象关于原点对称，在对称区间上的单调性相同。

8.求函数值域的基本方法（1）利用函数的单调性求值域：若()y f x =在[],m n 上为增函数则其值域为[](),()f m f n 若()y f x =在[],m n 上为减函数则其值域为[](),()f n f m 。

（2）配方法：二次函数2224()24b ac b y ax bx c a x a a-=++=++()x R ∈当0a >时，有最小值244ac b a -，值域为244ac b a ⎡⎤-+∞⎢⎥⎣⎦，； 当0a <时，有最大值244ac b a -，24,4ac b a ⎡⎤--∞⎢⎥⎣⎦。

（3）反表示法：即利用反函数的定义域既为原函数的值域。

例如：求2121x x y +=-的值域。

（4）换原法：还原注意新元素的范围。

例如：求y x =+（5）判别式法：形如：21112a xb xc y ax bx c++=++类型，可转化为关于x 的一元二次方程有解，0∆≥求值域。

（6）图象法。

9.周期性：若函数()y f x =对于最小正周期T ，使()()f x T f x +=，则称T 为函数()y f x =的最小正周期。

10.对称性：若()()f t x f t x +=-则称x t =为()y f x =的对称轴二、指数函数与对数函数 （一） 指数 1==pa-==1pa ⎛⎫⎪⎝⎭运算法则：mna a ⋅=m n a a=()n m a =()mab =2指数函数的图象和性质：x y a =()01a a >≠且3指数方程：（1）()()()()f x g x a a f x g x =⇔=（化成底数相等） （2）2()0x x a ma n ++=可换元后求解，令x t a =(0)t > 4指数复合函数的单调性：()u x y a =（1）01a <<时，()()u x y a u x =与的单调性相反 （2）1a >时，()()u x y a u x =与的单调性相同（一致） （二） 对数函数1对数式与指数式互化：log b a a N N b =⇔=；log 1a =log a a =log n a a = 2对数的运算法则：log log a a M N +=log log a a M N -=对数恒等式：log a N a = 换底公式：()()log log lg c a bb a==log m a b =11log ab= 3对数函数log a y x =()01a a >≠且的图象和性质（1） 当a 与b 都大于1或都小于1时，log 0a b > （2） 当a 与b 一个大于1另一个小于1时，log 0a b <4对数方程：()()log ()log ()()0()0a a f x g x f x g x f x g x =⎧⎪=⇔>⎨⎪>⎩5对数函数复合形式的单调性：log ()()0a y u x u x =>在的定义域内 （1）01a <<时，log ()()a y u x u x =与的单调性相反， （2）1a >时，log ()()a y u x u x =与的单调性相同。

三二次函数2y ax bx c =++()0a ≠，判别式24b ac ∆=-12y ax bx c =++与x 轴的交点个数：（1）0∆>，有个交点（2）0∆=，有个交点，（3）0∆<，无交点。

当0∆≥时，方程20ax bx c ++=有两个实根：12,x x 。