高中数学 1.3 算法案例课件 新人教A版必修3

例2：已知一个五次多项式为 f (x) 1+x+0.5x2 0.16667x3 0.04167x4 0.00833x5 用秦九韶算法求这个多项式当x=-0.2的值。
解答： 将多项式变形：
f (x) ((((0.00833x 0.04167)x 0.16667)x 0.5)x 1)x 1
=3125＋625＋125＋25＋5＋１
=3906
算法2： ｆ(5)=55＋54＋53＋52＋5＋１
=5×(54＋53＋52＋5＋１)＋１ =5×(5×(5３＋52＋5＋１)＋１)＋１ =5×(5×(5×(52+5+１)+１)+１)+１ =5×(5×(5×(5×(5+１)+１)+１)+１)+１
思考2 两种算法各用了几次乘法运算和几次加法运算？
用秦九韶算法求f(5)的值.
解：f(x)=((((5x+2)x+3.5)x-2.6)x+1.7)x-0.8 v1=5×5+2=27； v2=27×5+3.5=138.5； v3=138.5×5-2.6=689.9； v4=689.9×5+1.7=3451.2； v5=3451.2×5-0.8=17255.2.
a1x a0
对该多项式按下面的方式进行改写：
f ( x) an xn an1xn1
(an xn1 an1xn2
a1x a0
a1)x a0
((an a0
( (an x an1)x an2 )x a1)x a0
解答： 算法一共做了1+2+3+4=10次乘法运算，5次加法运算。 算法二共做了4次乘法运算，5次加法运算。 通过对比，很明显，算法二比算法一优越，这种算法就是秦九 韶算法。
思考3 秦九韶算法的概念和特点是怎样的呢？
解答： 设 f (x) 是一个n 次多项式
f ( x) an xn an1xn1
v0 a5 0.00833 v1 v0 x a4 0.04 v2 v1x a3 0.15867 v3 v2 x a2 0.46827 v4 v3x a1 0.90635 v5 v4 x a0 0.81873 所以，当x=-0.2时，多项式的值等于0.81873
end end print(%io(2), a, b)
算法案例二
秦九韶算法
思考1 想想怎样求多项式f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1当x=5时 的值呢？ 解答： 算法1： 计算多项式ｆ(ｘ)=x５+x４+x３+x２+x+1 当x=5的值的算法： 因为ｆ(ｘ)=x５+x４+x３+x２+x+1 所以ｆ(5)=5５+5４+5３+5２+5+１
思考3 什么是更相减损之术？有什么具体作用呢？
解答：所谓更相减损之术，就是对给定的两个数，用较大的数 减去较小的数，然后将差和较小的数构成新的一对数，再用较 大的数减去较小的数，反复执行此步骤直到差数和较小的数相 等，此时相等的两数便为原来两个数的最大公约数。
更相减损之术，是我国古代数学算法的叫法，现代数学中 称作等值算法，主要的作用是求两个正整数的最大公约数。
所以f(5)=17255.2.
1、近三年各地的高考中，对算法案例都不作考查. 高考虽然没 有考查，但在平时的考试中通常以选择或填空的形式出现，且 难度适中； 2、我们学习算法案例，主要是为了进一步理解算法的思想，能 够用程序来解决生活中常见的数学问题.所以应该认真学习.
这种将求一个n次多项式f(x)的值转化成求n个一次多项式的值 的方法，称为秦九韶算法。 秦九韶算法的特点： 通过一次式的反复计算，逐步得出高次多项式的值，对于一个 n次多项式，只需做n次乘法和n次加法即可。另外这种算法还 避免了对自变量x单独做幂的计算，而是与系数一起逐次增长 幂次，从而可提高计算的精度。
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所以，25和35的最大公约数为5；所以，49和63的最大公约数为7.
思考2 如何算出98与63的最大公约数？除了用这种方法
外还有没有其他方法？(辗转相除法）
解答：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减 98－63＝35 63－35＝28 35－28＝7 28－7＝21 21－7＝14 14－7＝7 所以，98和63的最大公约数等于7.
程序
思考4 你能根据更相减损之术设计程序，求两个正
整数的最大公约数吗？
a=input（“please give the first number”); b=input(“please give the second number”); While a<>b
ifa>b a=a-b;
else b=b-a;
思考1 小学学过的求两个数的最大公约数的方法是怎样呢？
解答： 先用两个公有的质因数连续去除，一直除到所得
的商是互质数为止，然后把所有的除数连乘起来.
例1：求下面两个正整数的最大公约数： （1）求25和35的最大公约数; （2）求49和63的最大公约数. 解答：
（1） 5 25 35
（2） 7 49 63
1、在对16和12求最大公约数时，整个操作如下：
（16，12）→（4，12）→（4，8）→（4，4），由此
可以看出12和16的最大公约数是（ A ）
A.4
B.12
C.16
D.8
2、已知一个5次多项式为
f (x) = 5x 5 + 2x 4 + 3.5x 3 - 2.6x 2 + 1.7x - 0.8
1.3 中国古代数学中的算法案例
1．理解算法案例的算法步骤和程序框图. 2．引导学生得出自己设计的算法程序.
新课讲授部分，讲解两种算法的应用与优点； 例题部分，通过典例讲解让学生熟悉两种中国 古代算法。复习巩固部分通过练习对知识巩固， 让学生更系统掌握本节课的所学知识。
算法案例一
更相减损之术（等值算法）