四边形学案02-平行四边形定义及性质同步练习08
平行四边形的性质与判定经典例题练习
平行四边形的性质与判定经典例题练习一、平行四边形的性质1. 定义：平行四边形是一种具有两对对边平行的四边形。
定义：平行四边形是一种具有两对对边平行的四边形。
2. 性质1：平行四边形的对边相等。
性质1：平行四边形的对边相等。
3. 性质2：平行四边形的对角线相等。
性质2：平行四边形的对角线相等。
4. 性质3：平行四边形的内角和为180度（即任意两个相邻内角之和为180度）。
性质3：平行四边形的内角和为180度（即任意两个相邻内角之和为180度）。
5. 性质4：平行四边形的两组对边分别互相平行并且相互等长。
性质4：平行四边形的两组对边分别互相平行并且相互等长。
二、平行四边形的判定1. 判定方法1：若一个四边形的对边分别平行且相等，则它是一个平行四边形。
判定方法1：若一个四边形的对边分别平行且相等，则它是一个平行四边形。
2. 判定方法2：若一个四边形的对角线互相相等，则它是一个平行四边形。
判定方法2：若一个四边形的对角线互相相等，则它是一个平行四边形。
三、经典例题练1. 例题1：已知四边形ABCD，AB = BC，且AD与BC互相平行，证明四边形ABCD是平行四边形。
例题1：已知四边形ABCD，AB = BC，且AD与BC互相平行，证明四边形ABCD是平行四边形。
2. 例题2：已知四边形EFGH，EF = GH，且EG与FH互相垂直，证明四边形EFGH是平行四边形。
例题2：已知四边形EFGH，EF = GH，且EG与FH互相垂直，证明四边形EFGH是平行四边形。
3. 例题3：判定以下四边形是否为平行四边形：（a）四边形ABCD，AB = CD，且AD与BC互相垂直；（b）四边形PQRS，PQ = SR，且PS与QR互相平行。
例题3：判定以下四边形是否为平行四边形：（a）四边形ABCD，AB = CD，且AD与BC互相垂直；（b）四边形PQRS，PQ = SR，且PS与QR互相平行。
- （a）根据对边平行和相等的判定方法，若AB = CD且AD与BC互相垂直，则四边形ABCD是平行四边形。
平行四边形性质与判定专题教案
第四讲平行四边形的性质及判定【知识要点】（1）平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
记作“□ABCD”。
（2）平行四边形的性质：边：对边平行且相等。
角：对角相等，邻角互补。
对角线：对角线互相平分。
（3）两平行线间距离处处相等。
（4）平行四边形的判定：边：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
角：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
对角线：对角线互相平分的四边形是平行四边形。
、（5）菱形和矩形的联系：【典型例题】例1 如图， ABCD的对角线AC，BD交于点O，E、F是AC上的两点，并且AE=CF．求证：四边形BFDE是平行四边形．ACBO FED例2 如图， ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足为E、F、G、H分别为AD、BC的中点，求证：EF和GH互相平分．（请用两种不同的证法）．例3 已知，在□ABCD中，点E、F分别在AD、CB的延长线上，且∠1=∠2，DF交AB于G，BE交CD于H。
求证：EH=FG。
FCD例4 如图，已知□ABCD 中，P 是∠B 、∠C 的平分线的交点，PM ⊥BC 于M ，若BP=4+4CP =求PM 的长。
例5 已知，如图□ABCD 中，AE ⊥BC 于E 交DC 延长线于G ，AF ⊥CD 于F 交BC 的延长线于H 。
若AB=6，AD=8，∠B=60°，求GC+CH 的长。
例6 已知：如图，△ABD 、△BCE 、△ACF 都是等边三角形，求证：四边形ADEF•是平行四边形．例7 如图，已知E 为平行四边形ABCD 中DC 边的延长线上一点，且CE=DC ，连结AE ，分别交BC 、BD 于点F 、G ，连接AC 交BD 于O ，连结OF ．求证：AB=2OF ．D。
平行四边形知识点及同步练习、含答案3
平行四边形的特征【学习目标】1．探索并掌握平行四边形的特征．2．灵活运用平行四边形的特征解决问题．3．平行四边形一般转化成三角形的问题来解决．【基础知识概述】 1．平行四边形：(1)平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形． (2)平行四边形的表示：平行四边形用符号“”表示． 平行四边形ABCD 记作，读作平行四边形ABCD ． (3)平行四边形定义的作用：①由定义知平行四边形的两组对边分别平行．②由定义可以得出只要四边形中两组对边分别平行，那么这个四边形是平行四边形． 2．平行四边形的特征：(1)平行四边形的邻角互补，对角相等． (2)平行四边形的对边平行且相等． (3)平行四边形的对角线互相平分．(4)平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心．(5)若一条直线过平行四边形两对角线的交点，则这直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，且这条直线二等分平行四边形的面积．注意：①特征：都是通过连对角线把四边形问题转化成三角形问题来处理的，即通过平移或旋转，利用重合来证明的．②夹在两条平行线间的平行线段是指端点分别在两条平行线上的平行线段． ③互相平分指两条线段有公共的中点． 3．平行四边形特征的作用：可以用来证明线段相等、角相等及两直线平行等．如图12-1-1，有如下结论：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==∠=∠∠=∠==(对角线互相平分)，(对角相等)，(对边相等)，(对边平行)，是平行四边形，则如果四边形DO BO CO AO D B C A ADBC CD AB AD//BC CD //AB ABCD 4．两条平行线间的距离：(1)定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离．(2)两平行线间的距离处处相等．注意：距离是指垂线段的长度，是大于0的．①平行线的位置确定后，它们的距离是定值，不随垂线段的位置改变．②平行线间的距离处处相等，因此在作平行四边形的高时，可根据需要灵活选择位置．5．平行四边形的面积：(1)如图12-1-2①，．也就是(a是平行四边形任何一边长，h必须是a边与其对边的距离)．(2)同底(等底)同高(等高)的平行四边形面积相等．如图12-1-2②，有公共边BC，则．注意：这里的底是相对而言的，也就是高所在的边，平行四边形任意一边都可以作底，底确定后，高也就确定了．【例题精讲】例1如图12-1-3，已知的对角线相交于点O，过O作直线交AB于E，交CD 于F，可得OE＝OF．为什么？分析：要得到OE＝OF，可先证得它们所在△AEO与△CFO(△BEO与△DFO)重合．解：在中，∵AB∥CD，OD＝OB，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴将△BOE绕点O旋转180度后与△DOF重合．∴OE＝OF．注意：把线段与角归结为平行四边形的边，对角线或对角，利用平行四边形的特征证明．例2(1)在中，∠A︰∠B＝2︰3，求各角的度数．(2)已知的周长为28cm，AB︰BC＝3︰4，求它的各边的长．分析：(1)在平行四边形中，邻角是互补的，而对角是相等的，所以∠A与∠B必是邻角，其和为180°，可据此列式求出角度．(2)平行四边形的对边相等，所以周长为邻边之和的2倍，可以据此列式求出各边长．解：(1)由于∠A、∠B是平行四边形的两个邻角，所以∠A＋∠B＝180°．又因为∠A︰∠B＝2︰3，不妨可设∠A＝2k，∠B＝3k，那么2k＋3k＝180°，可以解得k＝36°，则∠A＝∠C＝72°，∠B＝∠D＝108°．(2)由于在中，AB＝CD，BC＝AD．所以AB＋BC＋CD＋AD＝28，即AB＋BC ＝14．由题意得AB︰BC＝3︰4，因此可设AB＝3k，BC＝4k，那么有3k＋4k＝14，解得k ＝2，则AB＝CD＝6cm，BC＝AD＝8cm．例3如图12-1-4，已知的周长为60 cm，对角线AC、BD相交于点O，△AOB 的周长比△BOC的周长长8cm，求这个四边形各边长．分析：由平行四边形对边相等知AB＋BC＝平行四边形周长的一半＝30cm，又由△AOB 的周长比△BOC的周长长8 cm知AB—BC＝8cm，由此两式，可得各边长．解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB＝CD，AD＝CB，AO＝CO．∵AB＋CD＋AD＋CB＝60，AO＋AB＋OB－(OB＋BC＋OC)＝8，∴AB十BC＝30，AB－BC＝8，∴AB＝CD＝19，BC＝AD＝11．答：这个四边形各边长分别为19 cm，11 cm，19 cm，11 cm．注意：①平行四边形的邻边之和等于平行四边形周长的一半．②平行四边形被对角线分成四个小三角形，相邻两个三角形周长之差等于邻边之差．思考：如图12-1-4，如果△AOB与△AOD的周长之差为8，而AB∶AD＝3∶2，那么的周长为多少？提示：周长为80．设AB＝3x，则AD＝2x，依题意有3x－2x＝8，∴x＝8，∴AB＝3x＝3×8＝24，AD＝2x＝2×8＝16．∴周长＝2(24＋16)＝80．例4 如图12-1-5，在中，∠B＝120°，DE⊥AB，垂足为E，DF⊥BC，垂足为F．求∠ADE，∠EDF，∠FDC的度数．分析：由平行四边形对角相等、邻角互补得∠A＝∠C，∠A＋∠B＝180°，再由垂直得到角为90°即可．解：在中，∵∠A＝∠C，AD∥BC，∴∠A＋∠B＝180°．∴∠A＝180°－∠B＝60°．∴∠C＝60°．∵DE⊥AB，DF⊥BC，∴∠ADE＝∠FDC＝90°－∠A＝90°－60°＝30°．注意：在平行四边形中求角的度数时，一般运用平行四边形的特征，即对角相等、邻角互补来进行求解．【中考考点】会利用平行四边形证明角相等，线段相等及直线平行．【命题方向】多以中档题型出现，填空、选择、计算、证明等各种形式都会涉及．【常见错误分析】例7如图12-1-7，中，AC和BD交于O，OE⊥AD于E，OF⊥BC于F，则OE＝OF．为什么？错解：∵，∴OA＝OC，∵OE⊥AD，OF⊥BC，∴∠AOE＝∠COF．又∠1＝∠2，∴△AOE旋转180°后与△COF重合，∴OE＝OF．误区分析：错误出于∠AOE＝∠COF这一步骤，原因在于默认了E，O，F三点共线，而已知条件中并没有这个结论，其实E，O，F三点共线在证题过程中应该加以证明，否则就犯了推理没有根据，理由不充足的逻辑错误．正解：解法一：∵，∴AD∥BC，∴∠3＝∠4．又OA＝OC，∠AEO＝∠CFO＝90°，∴△AOE旋转180°后与△COF重合，∴OE＝OF．解法二：∵AD∥BC，OE⊥AD∴OE⊥BC．又OF⊥BC，∴直线OE与OF重合，即E，O，F三点共线，∴∠1＝∠2．又∵OA＝OC，∠AEO＝∠CFO＝90°，∴△AOE旋转180°后与△COF重合，∴OE＝OF．此命题可推广如下：已知中，AC 和BD 交于O ，过点O 作直线EF 交AD 于F ，交BC 于F ，则OE ＝OF ．求解(略)．这个推广后的命题，是平行四边形中一个十分重要的基本命题，利用它的结果可以证明很多问题成立．【学习方法指导】1．学习平行四边形的特征时，按照对角、对边、对角线的顺序去理解，便于记忆和应用．2．本节主要内容是平行四边形的定义及特征，并且要重点理解两条平行线间的距离的概念．【同步达纲练习】 一、填空题1．若一个平行四边形相邻的两内角之比为2︰3，则此平行四边形四个内角的度数分别为____________．2．在中，周长为28，两邻边之比为3︰4，则各边长为____________． 3．在中，∠A ＝30°，AB ＝7 cm ，AD ＝6 cm ，则＝____________． 4．一个平行四边形的一边长是8，一条对角线长是6，则它的另一条对角线x 的取值范围为____________．5．中，周长为20cm ，对角线AC 交BD 于点O ，△OAB 比△OBC 的周长多4，则边AB ＝____________，BC ＝____________．6．平行四边形的边长等于5和7，这个平行四边形锐角的平分线把长边分成两条线段长各是____________．7．已知等腰△ABC 的一腰AB ＝9 cm ，过底边上任一点P 作两腰平行线分别交AB 于M ，交AC 于N ，则AN 十PN ＝____________．8．平行四边形两邻边分别是4和6，其中一边上的高是3，则平行四边形的面积是____________．9．平行四边形邻边长是 4 cm 和8cm ，一边上的高是 5 cm ，则另一边上的高是____________．10．如图12-1-8，中，E 是AD 的中点，BD 与EC 相交于F ，若2S EFD =∆，则BFC S ∆＝____________．11．已知P 为内一点，，则PCD PAB S S ∆∆+＝____________．12．已知的对角线相交于点O ，它的周长为10 cm ，△BCO 的周长比△AOB 的周长多2cm ，则AB ＝____________．二、解答题13．已知，如图12-1-9，在△ABC中，BD是∠ABC的平分线，DE∥BC交AB于E，EF ∥AC交BC于F，则BE＝FC，为什么？14．如图12-1-10，中，E，F是对角线BD上两点，且BE＝FD，连结AE，FC，则AE＝FC，试说明理由．15．如图12-1-11，中，对角线AC长为10 cm，∠CAB＝30°，AB长为6 cm，求的面积．16．如图12-1-12，在等边△ABC中，P为△ABC内一点，PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，D，E，F分别在AC，AB和BC上，试说明PD＋PF＋PE＝AB．17．从平行四边形的一个锐角顶点作两条高，如果这两条高的夹角是135°，求此平行四边形的各角的度数．三、思考题18．如图12-1-13，EF 过对角线的交点O ，交AD 于E ，交BC 于F ，若AB ＝4，BC ＝5，OE ＝1.5，求四边形EFCD 的周长．19．以平行四边形ABCD 两邻边BC 、CD 为边向外作正△BCP 和正△CDQ ，则△APQ 为正三角形，请说明理由．参考答案【同步达纲练习】 一、1．72°，108°，72°，108° 2．6，8，6，83．2cm 21 4．10<x<22 5．7cm ，3 cm 6．5，2 7．9 cm 8．12或189．cm 2510．8 11．50 12．1.5cm 二、13．提示：由△BED 是等腰三角形得到BE ＝ED ，由四边形DEFC 是平行四边形得到ED ＝FC 即可．14．提示：通过△ABE 与△DCF 重合可以得出．15．2cm 30．16．延长FP 交AB 于G ，延长DP 交BC 于H ，四边形AGPD ，EBHD 为平行四边形，PD ＝AG ，PH ＝BE ，△GEP ，△PHF 为等边三角形，PE ＝EG ，PH ＝PF ＝BE ，PD ＋PF ＋PE ＝AG ＋GE ＋EB ＝AB ．17．45°，135°，45°，135°． 三、18．OE ＝OF ＝1.5，AE ＝CF ，DE ＝BF ，ED ＋CF ＝BF ＋FC ＝5，CD ＝AB ＝4，四边形EFCD 的周长为2×1.5＋5＋4＝12．19．提示：证明△ABP 、△QDA 、△QCP 三个三角形重合，可得出AP ＝AQ ＝PQ 即可．。
初二数学：平行四边形知识点总结及压轴题练习(附答案解析)
A C BD 初二平行四边形所有知识点总结和常考题知识点：1、平行四边形定义：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
2、平行四边形的性质：⑴平行四边形的对边相等；⑵平行四边形的对角相等：⑶平行四边形的对角线互相平分。
3平行四边形的判定：⑴.两组对边分别相等的四边形是平行四边形； ⑵对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑶两组对角分别相等的四边形是平行四边形； ⑷一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
4、矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形。
5、矩形的性质：⑴矩形的四个角都是直角；⑵矩形的对角线相等。
6、矩形判定定理：⑴ 有三个角是直角的四边形是矩形；⑵对角线相等的平行四边形是矩形。
7、中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
（连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
）8、菱形的定义 ：有一组邻边相等的平行四边形。
9、菱形的性质：⑴菱形的四条边都相等；⑵菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。
S 菱形=1/2×ab （a 、b 为两条对角线长）10、菱形的判定定理：⑴四条边相等的四边形是菱形。
⑵对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
11、正方形定义：一个角是直角的菱形或邻边相等的矩形。
12正方形判定定理：⑴ 邻边相等的矩形是正方形。
⑵有一个角是直角的菱形是正方形。
（矩形+菱形=正方形）常考题：一．选择题（共14小题）1．矩形具有而菱形不具有的性质是（ ）A ．两组对边分别平行B ．对角线相等C ．对角线互相平分D ．两组对角分别相等2．平行四边形ABCD 中，AC 、BD 是两条对角线，如果添加一个条件，即可推出平行四边形ABCD 是矩形，那么这个条件是（ ）A．AB=BC B．AC=BD C．AC⊥BD D．AB⊥BD3．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（）A．当AB=BC时，它是菱形B．当AC⊥BD时，它是菱形C．当∠ABC=90°时，它是矩形D．当AC=BD时，它是正方形4．顺次连接任意四边形四边中点所得的四边形一定是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形5．在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A，B，D的坐标分别是（0，0），（5，0），（2，3），则顶点C的坐标是（）A．（3，7） B．（5，3） C．（7，3） D．（8，2）6．如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC，若AB=4，AC=6，则BD的长是（）A．8 B．9 C．10 D．117．如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE=2，DE=6，∠EFB=60°，则矩形ABCD的面积是（）A．12 B．24 C．12D．168．如图，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，连接DF，则∠CDF等于（）A．50°B．60°C．70°D．80°9．如图，在▱ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E．若BF=6，AB=5，则AE的长为（）A．4 B．6 C．8 D．1010．如图，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为（）A．14 B．15 C．16 D．1711．如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F，且点F为边DC的中点，DG⊥AE，垂足为G，若DG=1，则AE的边长为（）A．2 B．4 C．4 D．812．如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1，S2，则S1+S2的值为（）A．16 B．17 C．18 D．1913．如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且∠BAE=22.5°，EF ⊥AB，垂足为F，则EF的长为（）A．1 B．C．4﹣2D．3﹣414．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC、BE相交于点F，则∠BFC为（）A．45°B．55°C．60°D．75°二．填空题（共13小题）15．已知菱形的两对角线长分别为6cm和8cm，则菱形的面积为cm2．16．如图，在▱ABCD中，BE平分∠ABC，BC=6，DE=2，则▱ABCD的周长等于．17．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO 的中点，若AC+BD=24厘米，△OAB的周长是18厘米，则EF=厘米．18．如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交AD 和BC于点E、F，AB=2，BC=3，则图中阴影部分的面积为．19．如图，在平面直角坐标系xOy中，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是．20．如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E．若∠CBF=20°，则∠AED等于度．21．如图，▱ABCD中，∠ABC=60°，E、F分别在CD和BC的延长线上，AE∥BD，EF⊥BC，EF=，则AB的长是．22．如图所示，菱形ABCD的边长为4，且AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∠B=60°，则菱形的面积为．23．如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD=6，BD=4，CD=3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是．24．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，矩形OABC中，A（10，0），C （0，4），D为OA的中点，P为BC边上一点．若△POD为等腰三角形，则所有满足条件的点P的坐标为．25．如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，0），B（﹣1，2），C（2，0）．请直接写出以A，B，C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标．26．如图，在菱形ABCD中，AB=4cm，∠ADC=120°，点E、F同时由A、C两点出发，分别沿AB、CB方向向点B匀速移动（到点B为止），点E的速度为1cm/s，点F的速度为2cm/s，经过t秒△DEF为等边三角形，则t的值为．27．如图，四边形ABCD中，∠A=90°，AB=3，AD=3，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为．三．解答题（共13小题）28．如图，已知：AB∥CD，BE⊥AD，垂足为点E，CF⊥AD，垂足为点F，并且AE=DF．求证：四边形BECF是平行四边形．29．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E，（1）求证：四边形ADCE为矩形；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明．30．如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD及等边△ABE．已知∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF．（1）试说明AC=EF；（2）求证：四边形ADFE是平行四边形．31．如图，矩形ABCD中，AC与BD交于点O，BE⊥AC，CF⊥BD，垂足分别为E，F．求证：BE=CF．32．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF．（1）线段BD与CD有什么数量关系，并说明理由；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由．33．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE=2DE，延长DE到点F，使得EF=BE，连接CF．（1）求证：四边形BCFE是菱形；（2）若CE=4，∠BCF=120°，求菱形BCFE的面积．34．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．（1）求证：CE=CF；（2）若点G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？为什么？35．如图，在△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的角平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．（1）求证：EO=FO；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论．36．如图，已知：在平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上，AE=CG，AH=CF，且EG平分∠HEF．求证：（1）△AEH≌△CGF；（2）四边形EFGH是菱形．37．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，BA⊥AD，BC=DC，BE⊥CD于点E．（1）求证：△ABD≌△EBD；（2）过点E作EF∥DA，交BD于点F，连接AF．求证：四边形AFED是菱形．38．如图①，在正方形ABCD中，P是对角线AC上的一点，点E在BC的延长线上，且PE=PB．（1）求证：△BCP≌△DCP；（2）求证：∠DPE=∠ABC；（3）把正方形ABCD改为菱形，其它条件不变（如图②），若∠ABC=58°，则∠DPE=度．39．在数学活动课中，小辉将边长为和3的两个正方形放置在直线l上，如图1，他连结AD、CF，经测量发现AD=CF．（1）他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转一定的角度，如图2，试判断AD与CF还相等吗？说明你的理由；（2）他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转，使点E旋转至直线l上，如图3，请你求出CF的长．40．数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点．∠AEF=90°，且EF交正方形外角∠DCG的平分线CF于点F，求证：AE=EF．经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证△AME≌△ECF，所以AE=EF．在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；（2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．初二平行四边形所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练习(含答案解析)参考答案与试题解析一．选择题（共14小题）1．（2013•宜宾）矩形具有而菱形不具有的性质是（）A．两组对边分别平行B．对角线相等C．对角线互相平分 D．两组对角分别相等【分析】根据矩形与菱形的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、矩形与菱形的两组对边都分别平行，故本选项错误；B、矩形的对角线相等，菱形的对角线不相等，故本选项正确；C、矩形与菱形的对角线都互相平分，故本选项错误；D、矩形与菱形的两组对角都分别相等，故本选项错误．故选B．【点评】本题考查了矩形的性质，菱形的性质，熟记两图形的性质是解题的关键．2．（2014•河池）平行四边形ABCD中，AC、BD是两条对角线，如果添加一个条件，即可推出平行四边形ABCD是矩形，那么这个条件是（）A．AB=BC B．AC=BD C．AC⊥BD D．AB⊥BD【分析】根据对角线相等的平行四边形是矩形判断．【解答】解：A、是邻边相等，可得到平行四边形ABCD是菱形，故不正确；B、是对角线相等，可推出平行四边形ABCD是矩形，故正确；C、是对角线互相垂直，可得到平行四边形ABCD是菱形，故不正确；D、无法判断．故选B．【点评】本题主要考查的是矩形的判定定理．但需要注意的是本题的知识点是关于各个图形的性质以及判定．3．（2008•扬州）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（）A．当AB=BC时，它是菱形B．当AC⊥BD时，它是菱形C．当∠ABC=90°时，它是矩形D．当AC=BD时，它是正方形【分析】根据邻边相等的平行四边形是菱形；根据所给条件可以证出邻边相等；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形；根据对角线相等的平行四边形是矩形．【解答】解：A、根据邻边相等的平行四边形是菱形可知：四边形ABCD是平行四边形，当AB=BC时，它是菱形，故A选项正确；B、∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO=OD，∵AC⊥BD，∴AB2=BO2+AO2，AD2=DO2+AO2，∴AB=AD，∴四边形ABCD是菱形，故B选项正确；C、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故C选项正确；D、根据对角线相等的平行四边形是矩形可知当AC=BD时，它是矩形，不是正方形，故D选项错误；综上所述，符合题意是D选项；故选：D．【点评】此题主要考查学生对正方形的判定、平行四边形的性质、菱形的判定和矩形的判定的理解和掌握，此题涉及到的知识点较多，学生答题时容易出错．4．（2011•张家界）顺次连接任意四边形四边中点所得的四边形一定是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形【分析】顺次连接任意四边形四边中点所得的四边形，一组对边平行并且等于原来四边形某一对角线的一半，说明新四边形的对边平行且相等．所以是平行四边形．【解答】解：连接BD，已知任意四边形ABCD，E、F、G、H分别是各边中点．∵在△ABD中，E、H是AB、AD中点，∴EH∥BD，EH=BD．∵在△BCD中，G、F是DC、BC中点，∴GF∥BD，GF=BD，∴EH=GF，EH∥GF，∴四边形EFGH为平行四边形．故选：A．【点评】本题三角形的中位线的性质考查了平行四边形的判定：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．5．（2006•南京）在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A，B，D的坐标分别是（0，0），（5，0），（2，3），则顶点C的坐标是（）A．（3，7） B．（5，3） C．（7，3） D．（8，2）【分析】因为D点坐标为（2，3），由平行四边形的性质，可知C点的纵坐标一定是3，又由D点相对于A点横坐标移动了2，故可得C点横坐标为2+5=7，即顶点C的坐标（7，3）．【解答】解：已知A，B，D三点的坐标分别是（0，0），（5，0），（2，3），∵AB在x轴上，∴点C与点D的纵坐标相等，都为3，又∵D点相对于A点横坐标移动了2﹣0=2，∴C点横坐标为2+5=7，∴即顶点C的坐标（7，3）．故选：C．【点评】本题主要是对平行四边形的性质与点的坐标的表示及平行线的性质和互为余（补）角的等知识的直接考查．同时考查了数形结合思想，题目的条件既有数又有形，解决问题的方法也要既依托数也依托形，体现了数形的紧密结合，但本题对学生能力的要求并不高．6．（2014•河南）如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC，若AB=4，AC=6，则BD的长是（）A．8 B．9 C．10 D．11【分析】利用平行四边形的性质和勾股定理易求BO的长，进而可求出BD的长．【解答】解：∵▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∴BO=DO，AO=CO，∵AB⊥AC，AB=4，AC=6，∴BO==5，∴BD=2BO=10，故选：C．【点评】本题考查了平行四边形的性质以及勾股定理的运用，是中考常见题型，比较简单．7．（2013•南充）如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE=2，DE=6，∠EFB=60°，则矩形ABCD的面积是（）A．12 B．24 C．12D．16【分析】在矩形ABCD中根据AD∥BC得出∠DEF=∠EFB=60°，由于把矩形ABCD 沿EF翻折点B恰好落在AD边的B′处，所以∠EFB=∠DEF=60°，∠B=∠A′B′F=90°，∠A=∠A′=90°，AE=A′E=2，AB=A′B′，在△EFB′中可知∠DEF=∠EFB=∠EB′F=60°故△EFB′是等边三角形，由此可得出∠A′B′E=90°﹣60°=30°，根据直角三角形的性质得出A′B′=AB=2，然后根据矩形的面积公式列式计算即可得解．【解答】解：在矩形ABCD中，∵AD∥BC，∴∠DEF=∠EFB=60°，∵把矩形ABCD沿EF翻折点B恰好落在AD边的B′处，∴∠DEF=∠EFB=60°，∠B=∠A′B′F=90°，∠A=∠A′=90°，AE=A′E=2，AB=A′B′，在△EFB′中，∵∠DEF=∠EFB=∠EB′F=60°∴△EFB′是等边三角形，Rt△A′EB′中，∵∠A′B′E=90°﹣60°=30°，∴B′E=2A′E，而A′E=2，∴B′E=4，∴A′B′=2，即AB=2，∵AE=2，DE=6，∴AD=AE+DE=2+6=8，∴矩形ABCD的面积=AB•AD=2×8=16．故选D．【点评】本题考查了矩形的性质，翻折变换的性质，两直线平行，同旁内角互补，两直线平行，内错角相等的性质，解直角三角形，作辅助线构造直角三角形并熟记性质是解题的关键．8．（2013•扬州）如图，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，连接DF，则∠CDF等于（）A．50°B．60°C．70°D．80°【分析】连接BF，根据菱形的对角线平分一组对角求出∠BAC，∠BCF=∠DCF，四条边都相等可得BC=DC，再根据菱形的邻角互补求出∠ABC，然后根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AF=BF，根据等边对等角求出∠ABF=∠BAC，从而求出∠CBF，再利用“边角边”证明△BCF和△DCF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠CDF=∠CBF．【解答】解：如图，连接BF，在菱形ABCD中，∠BAC=∠BAD=×80°=40°，∠BCF=∠DCF，BC=DC，∠ABC=180°﹣∠BAD=180°﹣80°=100°，∵EF是线段AB的垂直平分线，∴AF=BF，∠ABF=∠BAC=40°，∴∠CBF=∠ABC﹣∠ABF=100°﹣40°=60°，∵在△BCF和△DCF中，，∴△BCF≌△DCF（SAS），∴∠CDF=∠CBF=60°．故选：B．【点评】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，综合性强，但难度不大，熟记各性质是解题的关键．9．（2015•河南）如图，在▱ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC 于点E．若BF=6，AB=5，则AE的长为（）A．4 B．6 C．8 D．10【分析】由基本作图得到AB=AF，加上AO平分∠BAD，则根据等腰三角形的性质得到AO⊥BF，BO=FO=BF=3，再根据平行四边形的性质得AF∥BE，所以∠1=∠3，于是得到∠2=∠3，根据等腰三角形的判定得AB=EB，然后再根据等腰三角形的性质得到AO=OE，最后利用勾股定理计算出AO，从而得到AE的长．【解答】解：连结EF，AE与BF交于点O，如图，∵AB=AF，AO平分∠BAD，∴AO⊥BF，BO=FO=BF=3，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AF∥BE，∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴AB=EB，而BO⊥AE，∴AO=OE，在Rt△AOB中，AO===4，∴AE=2AO=8．故选C．【点评】本题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等；平行四边形的对角线互相平分．也考查了等腰三角形的判定与性质和基本作图．10．（2013•凉山州）如图，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为（）A．14 B．15 C．16 D．17【分析】根据菱形得出AB=BC，得出等边三角形ABC，求出AC，长，根据正方形的性质得出AF=EF=EC=AC=4，求出即可．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC，∵∠B=60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC=AB=4，∴正方形ACEF的周长是AC+CE+EF+AF=4×4=16，故选C．【点评】本题考查了菱形性质，正方形性质，等边三角形的性质和判定的应用，关键是求出AC的长．11．（2013•泰安）如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，∠BAD的平分线与BC 的延长线交于点E，与DC交于点F，且点F为边DC的中点，DG⊥AE，垂足为G，若DG=1，则AE的边长为（）A．2 B．4 C．4 D．8【分析】由AE为角平分线，得到一对角相等，再由ABCD为平行四边形，得到AD与BE平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，等量代换及等角对等边得到AD=DF，由F为DC中点，AB=CD，求出AD与DF的长，得出三角形ADF 为等腰三角形，根据三线合一得到G为AF中点，在直角三角形ADG中，由AD 与DG的长，利用勾股定理求出AG的长，进而求出AF的长，再由三角形ADF 与三角形ECF全等，得出AF=EF，即可求出AE的长．【解答】解：∵AE为∠DAB的平分线，∴∠DAE=∠BAE，∵DC∥AB，∴∠BAE=∠DFA，∴∠DAE=∠DFA，∴AD=FD，又F为DC的中点，∴DF=CF，∴AD=DF=DC=AB=2，在Rt△ADG中，根据勾股定理得：AG=，则AF=2AG=2，∵平行四边形ABCD，∴AD∥BC，∴∠DAF=∠E，∠ADF=∠ECF，在△ADF和△ECF中，，∴△ADF≌△ECF（AAS），∴AF=EF，则AE=2AF=4．故选：B【点评】此题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解本题的关键．12．（2013•菏泽）如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1，S2，则S1+S2的值为（）A．16 B．17 C．18 D．19【分析】由图可得，S1的边长为3，由AC=BC，BC=CE=CD，可得AC=2CD，CD=2，EC=；然后，分别算出S1、S2的面积，即可解答．【解答】解：如图，设正方形S2的边长为x，根据等腰直角三角形的性质知，AC=x，x=CD，∴AC=2CD，CD==2，∴EC2=22+22，即EC=；∴S2的面积为EC2==8；∵S1的边长为3，S1的面积为3×3=9，∴S1+S2=8+9=17．故选：B．【点评】本题考查了正方形的性质和等腰直角三角形的性质，考查了学生的读图能力．13．（2013•连云港）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且∠BAE=22.5°，EF⊥AB，垂足为F，则EF的长为（）A．1 B．C．4﹣2D．3﹣4【分析】根据正方形的对角线平分一组对角可得∠ABD=∠ADB=45°，再求出∠DAE 的度数，根据三角形的内角和定理求∠AED，从而得到∠DAE=∠AED，再根据等角对等边的性质得到AD=DE，然后求出正方形的对角线BD，再求出BE，最后根据等腰直角三角形的直角边等于斜边的倍计算即可得解．【解答】解：在正方形ABCD中，∠ABD=∠ADB=45°，∵∠BAE=22.5°，∴∠DAE=90°﹣∠BAE=90°﹣22.5°=67.5°，在△ADE中，∠AED=180°﹣45°﹣67.5°=67.5°，∴∠DAE=∠AED，∴AD=DE=4，∵正方形的边长为4，∴BD=4，∴BE=BD﹣DE=4﹣4，∵EF⊥AB，∠ABD=45°，∴△BEF是等腰直角三角形，∴EF=BE=×（4﹣4）=4﹣2．故选：C．【点评】本题考查了正方形的性质，主要利用了正方形的对角线平分一组对角，等角对等边的性质，正方形的对角线与边长的关系，等腰直角三角形的判定与性质，根据角的度数的相等求出相等的角，再求出DE=AD是解题的关键，也是本题的难点．14．（2014•福州）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC、BE 相交于点F，则∠BFC为（）A．45°B．55°C．60°D．75°【分析】根据正方形的性质及全等三角形的性质求出∠ABE=15°，∠BAC=45°，再求∠BFC．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，又∵△ADE是等边三角形，∴AE=AD=DE，∠DAE=60°，∴AB=AE，∴∠ABE=∠AEB，∠BAE=90°+60°=150°，∴∠ABE=（180°﹣150°）÷2=15°，又∵∠BAC=45°，∴∠BFC=45°+15°=60°．故选：C．【点评】本题主要是考查正方形的性质和等边三角形的性质，本题的关键是求出∠ABE=15°．二．填空题（共13小题）15．（2008•恩施州）已知菱形的两对角线长分别为6cm和8cm，则菱形的面积为24cm2．【分析】根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半求得其面积即可．【解答】解：由已知得，菱形的面积等于两对角线乘积的一半即：6×8÷2=24cm2．故答案为：24．【点评】此题主要考查菱形的面积等于两条对角线的积的一半．16．（2015•梅州）如图，在▱ABCD中，BE平分∠ABC，BC=6，DE=2，则▱ABCD 的周长等于20．【分析】根据四边形ABCD为平行四边形可得AE∥BC，根据平行线的性质和角平分线的性质可得出∠ABE=∠AEB，继而可得AB=AE，然后根据已知可求得结果．【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AE∥BC，AD=BC，AB=CD，∴∠AEB=∠EBC，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠EBC，∴∠ABE=∠AEB，∴AB=AE，∴AE+DE=AD=BC=6，∴AE+2=6，∴AE=4，∴AB=CD=4，∴▱ABCD的周长=4+4+6+6=20，故答案为：20．【点评】本题考查了平行四边形的性质，解答本题的关键是根据平行线的性质和角平分线的性质得出∠ABE=∠AEB．17．（2013•厦门）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点，若AC+BD=24厘米，△OAB的周长是18厘米，则EF=3厘米．【分析】根据AC+BD=24厘米，可得出出OA+OB=12cm，继而求出AB，判断EF 是△OAB的中位线即可得出EF的长度．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，又∵AC+BD=24厘米，∴OA+OB=12cm，∵△OAB的周长是18厘米，∴AB=6cm，∵点E，F分别是线段AO，BO的中点，∴EF是△OAB的中位线，∴EF=AB=3cm．故答案为：3．【点评】本题考查了三角形的中位线定理，解答本题需要用到：平行四边形的对角线互相平分，三角形中位线的判定定理及性质．18．（2007•临夏州）如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O 的直线分别交AD和BC于点E、F，AB=2，BC=3，则图中阴影部分的面积为3．【分析】根据矩形是中心对称图形寻找思路：△AOE≌△COF，图中阴影部分的面积就是△BCD的面积．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OC，∠AEO=∠CFO；又∵∠AOE=∠COF，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF，∴S△AOE =S△COF，∴图中阴影部分的面积就是△BCD的面积．S△BCD=BC×CD=×2×3=3．故答案为：3．【点评】此题主要考查了矩形的性质以及全等三角形的判定和性质，能够根据三角形全等，从而将阴影部分的面积转化为矩形面积的一半，是解决问题的关键．19．（2014•宿迁）如图，在平面直角坐标系xOy中，若菱形ABCD的顶点A，B 的坐标分别为（﹣3，0），（2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是（5，4）．【分析】利用菱形的性质以及勾股定理得出DO的长，进而求出C点坐标．【解答】解：∵菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（2，0），点D 在y轴上，∴AB=5，∴DO=4，∴点C的坐标是：（5，4）．故答案为：（5，4）．【点评】此题主要考查了菱形的性质以及坐标与图形的性质，得出DO的长是解题关键．20．（2015•黄冈）如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E．若∠CBF=20°，则∠AED等于65度．【分析】根据正方形的性质得出∠BAE=∠DAE，再利用SAS证明△ABE与△ADE 全等，再利用三角形的内角和解答即可．【解答】解：∵正方形ABCD，∴AB=AD，∠BAE=∠DAE，在△ABE与△ADE中，，∴△ABE≌△ADE（SAS），∴∠AEB=∠AED，∠ABE=∠ADE，∵∠CBF=20°，∴∠ABE=70°，∴∠AED=∠AEB=180°﹣45°﹣70°=65°，故答案为：65【点评】此题考查正方形的性质，关键是根据正方形的性质得出∠BAE=∠DAE，再利用全等三角形的判定和性质解答．21．（2013•十堰）如图，▱ABCD中，∠ABC=60°，E、F分别在CD和BC的延长线上，AE∥BD，EF⊥BC，EF=，则AB的长是1．【分析】根据平行四边形性质推出AB=CD，AB∥CD，得出平行四边形ABDE，推出DE=DC=AB，根据直角三角形性质求出CE长，即可求出AB的长．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AB=CD，∵AE∥BD，∴四边形ABDE是平行四边形，∴AB=DE=CD，即D为CE中点，∵EF⊥BC，∴∠EFC=90°，∵AB∥CD，∴∠DCF=∠ABC=60°，∴∠CEF=30°，∵EF=，∴CE==2，∴AB=1，故答案为：1．【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定，平行线性质，勾股定理，直角三角形斜边上中线性质，含30度角的直角三角形性质等知识点的应用，此题综合性比较强，是一道比较好的题目．22．（2013•黔西南州）如图所示，菱形ABCD的边长为4，且AE⊥BC于E，AF ⊥CD于F，∠B=60°，则菱形的面积为．【分析】根据已知条件解直角三角形ABE可求出AE的长，再由菱形的面积等于底×高计算即可．【解答】解：∵菱形ABCD的边长为4，∴AB=BC=4，∵AE⊥BC于E，∠B=60°，∴sinB==，∴AE=2，∴菱形的面积=4×2=8，故答案为8．【点评】本题考查了菱形的性质：四边相等以及特殊角的三角函数值和菱形面积公式的运用．23．（2013•鞍山）如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD=6，BD=4，CD=3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是11．【分析】利用勾股定理列式求出BC的长，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出EH=FG=AD，EF=GH=BC，然后代入数据进行计算即可得解．【解答】解：∵BD⊥CD，BD=4，CD=3，∴BC===5，∵E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，∴EH=FG=AD，EF=GH=BC，∴四边形EFGH的周长=EH+GH+FG+EF=AD+BC，又∵AD=6，∴四边形EFGH的周长=6+5=11．故答案为：11．【点评】本题考查了三角形的中位线定理，勾股定理的应用，熟记三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半是解题的关键．24．（2015•攀枝花）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，矩形OABC中，A（10，0），C（0，4），D为OA的中点，P为BC边上一点．若△POD为等腰三角形，则所有满足条件的点P的坐标为（2.5，4），或（3，4），或（2，4），或（8，4）．【分析】由矩形的性质得出∠OCB=90°，OC=4，BC=OA=10，求出OD=AD=5，分情况讨论：①当PO=PD时；②当OP=OD时；③当DP=DO时；根据线段垂直平分线的性质或勾股定理即可求出点P的坐标．【解答】解：∵四边形OABC是矩形，∴∠OCB=90°，OC=4，BC=OA=10，∵D为OA的中点，∴OD=AD=5，①当PO=PD时，点P在OD得垂直平分线上，∴点P的坐标为：（2.5，4）；②当OP=OD时，如图1所示：则OP=OD=5，PC==3，∴点P的坐标为：（3，4）；③当DP=DO时，作PE⊥OA于E，则∠PED=90°，DE==3；分两种情况：当E在D的左侧时，如图2所示：OE=5﹣3=2，∴点P的坐标为：（2，4）；当E在D的右侧时，如图3所示：OE=5+3=8，∴点P的坐标为：（8，4）；综上所述：点P的坐标为：（2.5，4），或（3，4），或（2，4），或（8，4）；故答案为：（2.5，4），或（3，4），或（2，4），或（8，4）．【点评】本题考查了矩形的性质、坐标与图形性质、等腰三角形的判定、勾股定理；本题有一定难度，需要进行分类讨论才能得出结果．25．（2013•阜新）如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，0），B（﹣1，2），C（2，0）．请直接写出以A，B，C为顶点的平行四边形的第四个顶点D 的坐标（3，2），（﹣5，2），（1，﹣2）．【分析】首先根据题意画出图形，分别以BC，AB，AC为对角线作平行四边形，即可求得答案．【解答】解：如图：以A，B，C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标分别为：（3，2），（﹣5，2），（1，﹣2）．故答案为：（3，2），（﹣5，2），（1，﹣2）．【点评】此题考查了平行四边形的性质．注意坐标与图形的关系．26．（2014•丹东）如图，在菱形ABCD中，AB=4cm，∠ADC=120°，点E、F同时由A、C两点出发，分别沿AB、CB方向向点B匀速移动（到点B为止），点E的速度为1cm/s，点F的速度为2cm/s，经过t秒△DEF为等边三角形，则t的值为．【分析】延长AB至M，使BM=AE，连接FM，证出△DAE≌EMF，得到△BMF 是等边三角形，再利用菱形的边长为4求出时间t的值．。
初二数学八下平行四边形所有知识点总结和常考题型练习题
平行四边形知识点一、四边形相关1、四边形的内角和定理及外角和定理四边形的内角和定理：四边形的外角和定理：。
推论：多边形的内角和定理：多边形的外角和定理：。
2、多边形的对角线条数的计算公式设多边形的边数为n ，则多边形的对角线条数为___________。
二、平行四边形1．定义： 2．平行四边形的性质： 平行四边形的有关性质和判定都是从 边、角、对角线 三个方面的特征进行简述的．（1）角：（2）边：（3）对角线：（4）面积：①_________________； ②平行四边形的对角线将四边形分成_____个面积相等的三角形．3．平行四边形的判别方法三、矩形1. 矩形定义：2. 矩形性质3. 矩形的判定：4. 矩形的面积四、菱形 1. 菱形定义：2. 菱形性质3. 菱形的判定：．4. 菱形的面积五、正方形1. 正方形定义：它是最特殊的平行四边形，它既是平行四边形，还是菱形，也是矩形。
2. 正方形性质3. 正方形的判定：4. 正方形的面积平行四边形练习2．一只因损坏而倾斜的椅子,从背后看到的形状如图,其中两组对边的平行关系没有发生变化,若∠1=75°,则∠2的大小是（ ）A ．75º B．115º C．65º D．105ºA BDO C C DB A O 12(第2题图) 第3题图 第4题图B (第7题图)3．如图3，在□ABCD 中，BM 是∠ABC 的平分线交CD 于点M ，且MC=2，▱ABCD 的周长是在14，则DM 等于）是（ ）6．过□ABCD 对角线交点O 作直线m ，分别交直线AB 于点E ，交直线CD 于点F ，若AB=4，AE=6，则DF 的长是 ．7. 如图7，□ABCD 中，∠ABC=60°，E 、F 分别在CD 、BC 的延长线上，AE∥BD，EF⊥BC ，DF=2，则EF= ．8. 在□ABCD 中，AD=BD ，BE 是AD 边上的高，∠EBD=20°，则∠A 的度数为 ．9. 在□ABCD 中，AB ＜BC ，已知∠B=30°，AB=2，将△ABC 沿AC 翻折至△AB ′C ，使点B ′落在□ABCD 所在的平面内，连接B ′D ．若△AB ′D 是直角三角形，则BC 的长为．10．如图，已知：□ABCD 中，∠BCD 的平分线CE 交AD 于点E ，∠ABC 的平分线BG 交CE 于点F ，交AD 于点G ．求证：AE=DG ．11．如图，四边形ABCD 中，BD 垂直平分AC ，垂足为点F ，E 为四边形ABCD 外一点，且∠ADE=∠BAD ，AE ⊥AC ．（1）求证：四边形ABDE 是平行四边形；（2）如果DA 平分∠BDE ，AB=5，AD=6，求AC 的长．C ． 36D ． 3613．如图，将矩形纸带ABCD ，沿EF 折叠后，C 、D 两点分别落在C ′、D′的位置，经测量得∠EFB=65°，第12题图 第14题图 第5题图 第13题图 第15题图A B C DEF G14．如图，点O 是矩形ABCD 的中心，E 是AB 上的点，沿CE 折叠后，点B 恰好与点O 重合，若BC=3，则的16．如图，已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BC=2AD ，如果对角线AC 与BD 相交于点O ，△AOB 、△BOC 、△COD 、△DOA 的面积分别记作S 1、S 2、S 3、S 4，那么下列结论中，不正确的是（ ）A ．S 1=S 3B ．S 2=2S 4C ．S 2=2S 1 D．S 1•S 3=S 2•S 417．如图，正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 上一点，BE=1，F 为AB 上一点，AF=2，P 为AC 上一点，则PF+PE 的最小值为 ．18．已知：如图，在长方形ABCD 中，AB=4，AD=6．延长BC 到点E ，使CE=2，连接DE ，动点P 从点B 出发，以每秒2个单位的速度沿BC ﹣CD ﹣DA 向终点A 运动，设点P 的运动时间为t 秒，当t 的值为 或 秒时．△ABP 和△DCE 全等．19．已知，如图，在四边形ABCD 中，AB∥CD，E ，F 为对角线AC 上两点，且AE=CF ，DF∥BE，AC平分∠BAD．求证：四边形ABCD 为菱形．20．我们把两组邻边相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形ABCD 是一个筝形，其中AB=CB ，AD=CD ．对角线AC ，BD 相交于点O ，OE⊥AB，OF⊥CB，垂足分别是E ，F ．求证OE=OF ．21. 如图1，点O 是正方形ABCD 两对角线的交点，分别延长OD 到点G ，OC 到点E ，使OG =2OD ，OE =2OC ，第17题图 第16题图 第18题图然后以OG、OE为邻边作正方形OEFG，连接AG，DE．（1）求证：DE⊥AG；（2）正方形ABCD固定，将正方形OEFG绕点O逆时针旋转α角（0°＜α＜360°）得到正方形OE′F′G′，如图2．①在旋转过程中，当∠OAG′是直角时，求α的度数；②若正方形ABCD的边长为1，在旋转过程中，求AF′长的最大值和此时α的度数，直接写出结果不必说明理由．22. 如图，在矩形ABCD中，E是AB边的中点，沿EC对折矩形ABCD，使B点落在点P处，折痕为EC，连结AP并延长AP交CD于F点，（1）求证：四边形AECF为平行四边形；（2）若△AEP是等边三角形，连结BP，求证：△APB≌△EPC；（3）若矩形ABCD的边AB=6，BC=4，求△CPF的面积．。
初中数学特殊的平行四边形学案练习题
第六章 特殊的平行四边形1.能说出菱形的定义，会判断是否为菱形2.能说出菱形的性质，并能灵活应用菱形的性质解题1. 平行四边形的定义：2. 平行四边形的性质 边 ：① ② 角 ：① ② 对角线：情景一：将一张长方形的纸横对折，再竖对折，然后沿图中的虚线剪下；情景二：两张等宽的纸条交叉重叠在一起，得到重叠的部分四边形ABCD；学习目标复习回顾新课引入情景三：将一张长方形纸对折，再在折痕上取任意长为底边，剪一个等腰三角形，然后打开；知识点一 菱形的定义 平行四边形叫做菱形.知识点二 菱形的性质1.定理1：菱形的四条边都2.定理2：菱形的对角线3.对称性：菱形既是 图形，又是 图形，对称轴是两条对角线所 在的直线知识点三 菱形的面积重点1 利用菱形的性质求线段长例1 如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC 与BD 相交于O ，菱形ABCD的周长是20，BD=6（1）求AC 的长（2）求菱形ABCD 的高DE 的长变式1 已知一个菱形的面积为cm 2 ,且两条对角线的长度比为1：，则菱形的边长为变式2 如图，菱形的周长为20cm ，相邻两内角的度数之比为1:2，求菱形的两条对角线的长及面积。
新知探究巩固新知重点2 利用菱形的性质求角度例2 在菱形ABCD中，E,F分别是边BC,CD上的点，且AE=EF=AF=AB, 则∠C 的度数为（）A 120ºB 100ºC 80ºD 60º变式3 如图，在菱形ABCD中，∠BAD=100º，AB的垂直平分线交对角线AC于点E,F为垂足，连接DF，∠CDF等于变式4 如图，在菱形ABCD中，点E,F分别是BC,CD上的点，且∠B=EAF=60º∠（1）求证：△AEF是等边三角形（2）若∠BAF=37º,求∠CEF的度数重点3 利用菱形的性质求面积例3 如图，在菱形ABCD中，∠ABC与∠BAD的度数比为1：2，周长是40cm,求：（1）两条对角线AC,BD的长度（2）菱形ABCD的面积变式5 已知菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠BAD=120º，AC=4，则该菱形的面积是（ ）A B C D 8重点4 利用菱形的性质进行证明例4 如图所示，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O，点E,F分别是边AB,AD 的中点（1）请判断△OEF的形状，并证明你的结论（2）若AB=13，AC=10，请求出线段EF的长变式6 如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB的延长线于点E,CF⊥AD交AD的延长线于点F，求证：DF=BE达标测评1.下列性质中，菱形对角线不具有的是（ ）A 对角线互相垂直B 对角线所在的直线是对称轴C 对角线相等D 对角线互相平分2.如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O，有下列结论：①OA=OD;AC BD;②⊥③∠∠④菱形ABCD =AC BD1=2;S，其中正确的序号是（ ）ArrayA ①②B ③④C ②④D ②③3.菱形OACB在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C的坐标是（6,0），点A的纵坐标是的坐标为（ ）1，则点B ArrayA (3，1)B (3,-1)C (1,-3)D (1,3)4.菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O，E,F分别是AD,CD边上的中点，连接EF.若FE=， BD=2，则菱形ABCD的面积为（ ） A B C D如图1所示，四边形ABCD 为菱形，E 为对角线AC 上的一个动点，连接DE 并延长交射线AB 于点F ，连接BE.（1）求证：∠F=EBC∠（2）若，当△BEF 为等腰三角形时，求的度数（如图2所示）创新培养菱形的判定学习目标1. 能说出菱形的判定定理2. 能利用菱形的判定定理证明菱形课前诊断1.菱形的性质菱形的四条边都 ，菱形的对角线 ，菱形既是 图形，又是 图形，对称轴是 .2.如图所示，菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6cm，8cm，则这个菱形的周长为（）A. 5cmB. 10cmC. 14cmD. 20cm3.在菱形ABCD 中，，AB=2，则菱形ABCD的面积为新知探究活动一 定义法问题: 如果一个四边形是一个平行四边形，只要再添加一个什么条件就可以判定它是一个菱形？依据是什么？【归纳定理】小试牛刀如图所示，在Rt△ABC中，，点E是AC的中点，AC=2AB，∠BAC的平分线AD 交BC于点D，作AF∥BC，连接DE并延长交AF于点F，连接FC.求证：四边形ADCF是菱形.活动二 菱形的第二个判定方法【操作探究】用一长一短两根细木条,在它们的中点处固定一个小钉子，做成一个可转动的十字架，四周围上一根橡皮筋，做成一个四边形。
数学教案-平行四边形及其性质 第二课时
数学教案－平行四边形及其性质第二课时一、教学目标1.理解平行四边形的定义及其性质。
2.掌握平行四边形判定定理的应用。
3.培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。
二、教学重难点1.重点：平行四边形的性质及其判定定理。
2.难点：运用平行四边形的性质和判定定理解决实际问题。
三、教学过程1.导入新课师：同学们，上一节课我们学习了平行四边形的定义和性质，那么如何判定一个四边形是平行四边形呢？这节课我们就来学习平行四边形的判定定理。
2.学习平行四边形的判定定理（1）引导学生回顾平行四边形的定义和性质。
师：请同学们回忆一下，平行四边形有哪些性质？生：平行四边形的对边平行且相等，对角相等，邻角互补。
（2）讲解平行四边形的判定定理。
①两组对边分别平行；②两组对边分别相等；③一组对边平行且相等；④对角线互相平分。
（3）举例说明判定定理的应用。
师：下面我们来看几个例子，运用平行四边形的判定定理来解决问题。
例1：已知四边形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，求证：ABCD是平行四边形。
例2：已知四边形ABCD中，AC⊥BD，AC=BD，求证：ABCD是平行四边形。
3.练习师：同学们，下面我们来做一些练习题，巩固一下平行四边形的判定定理。
（1）练习题1：已知四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，求证：ABCD是平行四边形。
（2）练习题2：已知四边形ABCD中，AC⊥BD，AC=BD，求证：ABCD 是平行四边形。
4.课堂小结师：通过这节课的学习，我们掌握了平行四边形的判定定理，可以运用这些定理来解决实际问题。
在今后的学习中，我们要熟练运用这些定理，提高解题能力。
5.作业布置（1）课后作业1：完成教材P页的练习题。
四、教学反思本节课通过讲解平行四边形的判定定理，让学生掌握了判定一个四边形是平行四边形的方法。
在教学过程中，注重引导学生回顾已学的知识，充分发挥学生的主体作用，让学生在练习中巩固所学知识。
但在教学过程中，发现部分学生对判定定理的应用还不够熟练，需要在今后的教学中加强训练。
八年级数学下册《平行四边形的性质》导学案2 新人教版
八年级数学下册《平行四边形的性质》导学案2 新人教版生活动预习笔记（关键点、知识点、切入点及纠错）预习目标1、掌握平行四边形的定义及边、角的性质，会用平行四边形的性质进行论证与计算。
2、经历观察、操作、推理、归纳探索平行四边形性质的过程，提高自己的动手和归纳能力，发展逻辑推理和合情推理能力。
（二）探索平行四边形的性质由平行四边形的定义可知，平行四边形具有两组对边分别平行这一性质，（即∵四边形ABCD是平行四边形∴AB∥CD，AD∥BC）。
根据对边平行，我们又可得到平行四边形邻角互补的性质，那么平行四边形还有其它的性质吗？让我们动手去探索发现吧。
1、量一量：用直尺、量角器测量如图 ABCD的边、角。
AB= ____；DC=____；AD=____ ；BC= ____ ；∠A= ____；∠C=____；∠B=____；∠D=____；2、猜一猜：仔细分析上面的测量结果，你能发现平行四边形的对边与对角有什么数量关系?想：。
ABCD3、证一证：猜想不一定正确，我们很难通过测量所有平行四边形来验证猜想，因而，我们需推理证明猜想的正确性，你能完成证明吗？已知：如图，在 ABCD中求证：AB=CD,AD=BC, ∠A=∠C, ∠B=∠D证明：4、理一理：请用图形、文字、符号三种语言整理平行四边形的性质。
文字语言：平行四边形的对边_____________、对角_________、邻角________。
符号语言：∵ 四边形ABCD是平行四边形∴AD∥ BC, _________（对边平行）；AD=BC ,__________（对边相等）；∠ A=∠ C，_________（对角相等）；∠ A+∠B=180…（邻角互补）。
（三）运用平行四边形的性质如图,小明用一根36m长的绳子围成了一个平行四边形的场地,其中AB边长为8m,其他三条边的长各是多少? 达标测评：1、一个平行四边形的一个外角是380，这个平行四边形的每个内角的度数分别是多少？2、如图若已知平行四边形ABCD的周长为３０cm，BC－AＢ=3,求平行四边形的各边长。
人教版八年级数学下册18.1平行四边形学案（含答案）
人教版八年级数学下册18.1平行四边形学案（含答案）同步知识梳理（大脑放电影~）知识点一：平行四边形定义及性质1.平行四边形的概念平行四边形的定义既是性质也是判定。
（1）由定义知平行四边形的两组对边分别平行；（2）由定义可以得出只要四边形中的两组对边分别平行，那么这个四边形就是平行四边形。
2.平行四边形的性质知识点二：两条平行线之间的距离ab ☆三种距离之间的区别与联系：知识点三：平行四边形的判定方式【注意】（1）一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，有可能是等腰梯形；（2）一组对边相等，一组对角相等的四边形也不一定是平行四边形。
反例如图：知识点四：三角形的中位线及其定理（热个身先~~~）题型一：平行四边形的性质1.在?ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，AC=8，BD=10，那么BC 的取值范围是（） A.8<bc<bc<bc<bc<=""></bc 【考点】三角形三边关系，平行四边形的性质同步题型分析【解析】【解答】解：如图∵?ABCD，AC=8，BD=10，∴OB=BD=5，OC=AC=4∴5-4＜BC＜5+4，即1＜BC＜9故答案为：D2.如图，在?ABCD中，AE平分∠DAB，AB=5，DE=2．则?ABCD的周长是（）A. 7B. 10C. 14D. 16【答案】C【考点】等腰三角形的判定，平行四边形的性质【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB=5，AB∥CD，BC=AD，∴∠AED=∠BAE，又∵AE平分∠DAB，∴∠DAE=∠BAE．∴∠DAE=∠AED．∴AD=DE=2．∴?ABCD的周长=2×（2+5）=14；故答案为：C．3.如图，□ABCD的对角线交于点O，且AB=5，△OCD的周长为23，△OAD的周长是26 ，则平行四边形ABCD的周长是（）A. 49B. 28C. 30D.26【答案】D【考点】平行四边形的性质【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD=5，OA=OC∵△OCD的周长为23，△OAD的周长是26∴AD=26-23+5=8，∵平行四边形的对边相等∴平行四边形ABCD的周长=2（AB+AD）=26，故答案为：D．3.如图，在□ABCD中，E为边CD上一点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，AD′与CE 交于点F．若∠B＝52°，∠DAE＝20°，则∠FED′的大小为（）A. 36°B. 52°C. 48°D. 3 0°【答案】A【考点】平行四边形的性质，翻折变换（折叠问题）【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠D＝∠B ＝52°，由折叠的性质得：∠EAD，＝∠DAE＝20°，∠AED，＝∠AED ＝180°－∠DAE－∠D＝180°－20°－52°＝108°，∴∠AEF＝∠D＋∠DAE＝52°＋20°＝72°，∴∠FED′＝108°－72°＝36°．故答案为：A。
人教版八年级数学下册 平行四边形学案 (含答案)
第十八章平行四边形18.1 平行四边形（基础巩固）【要点梳理】要点一、平行四边形的定义平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 平行四边形ABCD记作“ABCD”,读作“平行四边形ABCD”.要点诠释：平行四边形的基本元素：边、角、对角线.相邻的两边为邻边,有四对；相对的边为对边,有两对；相邻的两角为邻角,有四对；相对的角为对角,有两对；对角线有两条.要点二、平行四边形的性质1．边的性质：平行四边形两组对边平行且相等；2．角的性质：平行四边形邻角互补,对角相等；3．对角线性质：平行四边形的对角线互相平分；4．平行四边形是中心对称图形,对角线的交点为对称中心.要点诠释：（1）平行四边形的性质中边的性质可以证明两边平行或两边相等；角的性质可以证明两角相等或两角互补；对角线的性质可以证明线段的相等关系或倍半关系.（2）由于平行四边形的性质内容较多,在使用时根据需要进行选择.（3）利用对角线互相平分可解决对角线或边的取值范围的问题,在解答时应联系三角形三边的不等关系来解决.要点三、平行四边形的判定1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形；2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形；3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形；5.对角线互相平分的四边形是平行四边形.要点诠释：（1）这些判定方法是学习本章的基础,必须牢固掌握,当几种方法都能判定同一个平行四边形时,应选择较简单的方法.（2）这些判定方法既可作为判定平行四边形的依据,也可作为“画平行四边形”的依据.要点四、三角形的中位线1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.2．定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边,且等于第三边的一半.要点诠释：（1）三角形有三条中位线,每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系. （2）三角形的三条中位线把原三角形分成可重合的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的12,每个小三角形的面积为原三角形面积的14.（3）三角形的中位线不同于三角形的中线.要点五、平行线间的距离1.两条平行线间的距离：（1）定义：两条平行线中,一条直线上的任意一点到另一条直线的距离,叫做这两条平行线间的距离.注：距离是指垂线段的长度,是正值.（2）平行线间的距离处处相等任何两平行线间的距离都是存在的、唯一的,都是夹在这两条平行线间最短的线段的长度.两条平行线间的任何两条平行线段都是相等的.2.平行四边形的面积：平行四边形的面积＝底×高；等底等高的平行四边形面积相等.【典型例题】类型一、平行四边形的性质例1、如图所示,已知四边形ABCD是平行四边形,若AF、BE分别为∠DAB、∠CBA的平分线．求证：DF＝EC．【答案与解析】证明：∵在ABCD中,CD∥AB,∠DFA＝∠FAB．又∵ AF是∠DAB的平分线,∴∠DAF＝∠FAB,∴∠DAF＝∠DFA,∴ AD＝DF．同理可得EC ＝BC ．∵ 在ABCD 中,AD ＝BC,∴ DF ＝EC ．【总结升华】利用平行四边形的性质可以得到对角相等,对边平行且相等,为证明线段相等提供了条件．举一反三：【变式】如图,E 、F 是平行四边形ABCD 的对角线AC 上的点,CE ＝AF,请你猜想：线段BE与线段DF 有怎样的关系？并对你的猜想加以证明.【答案】证明：猜想：BE ∥DF 且BE ＝DF.∵四边形ABCD 是平行四边形∴CB=AD,CB ∥AD∴∠BCE ＝∠DAF在△BCE 和△DAF 中 CB AD BCE DAFCE AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BCE ≌△DAF∴BE ＝DF,∠BEC ＝∠DFA∴BE ∥DF即 BE ∥DF 且BE ＝DF.类型二、平行四边形的判定例2、如图所示,E 、F 分别为四边形ABCD 的边AD 、BC 上的点,且四边形AECF 和DEBF都是平行四边形,AF 和BE 相交于点G,DF 和CE 相交于点H ．求证：四边形EGFH 为平行四边形．【思路点拨】欲证四边形EGFH为平行四边形,只需证明它的两组对边分别平行,即EG∥FH,FG∥HE可用来证明四边形EGFH为平行四边形．【答案与解析】证明：∵四边形AECF为平行四边形,∴ AF∥CE．∵四边形DEBF为平行四边形,∴ BE∥DF．∴四边形EGFH为平行四边形．【总结升华】平行四边形的定义既包含平行四边形的性质,又可以用来判定一个四边形是平行四边形,即平行四边形的两组对边分别平行,两组对边分别平行的四边形是平行四边形．举一反三：【变式】如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,∠BAD的平分线交直线BC于点E,交直线DC 于点F,若CE=CF,求证：四边形ABCD是平行四边形．【答案】证明：∵∠BAD的平分线交直线BC于点E,∴∠1=∠2,∵AB∥CD,∴∠1=∠F,∵CE=CF,∴∠F=∠3,∴∠1=∠3,∴∠2=∠3,∴AD ∥BC,∵AB ∥CD,∴四边形ABCD 是平行四边形．类型三、平行四边形与面积有关的计算例3、如图所示,在ABCD 中,AE ⊥BC 于点E,AF ⊥CD 于点F ．若∠EAF ＝60°,BE ＝2cm ,DF ＝3cm ,求AB,BC 的长及ABCD 的面积．【思路点拨】在四边形AECF 中,由已知条件∠EAF ＝60°,可求出∠C ＝120°,进而求出∠B ＝60°．由于BE ＝2cm ,在Rt △ABE 中,可求出AB ．同理,在Rt △AFD 中求出AD ．要求ABCD 的面积,需求出AE 或AF 的长．【答案与解析】解：在四边形AECF 中,∵ ∠EAF ＝60°,AE ⊥BC,AF ⊥CD,∴ ∠C ＝360°－∠EAF －∠AEC －∠AFC ＝360°－60°－90°－90°＝120°．在ABCD 中,∵ AB ∥CD,∴ ∠B ＋∠C ＝180°．∠C ＋∠D ＝180°,∴ ∠B ＝∠D ＝60°．在Rt △ABE 中,∠B ＝60°,BE ＝2cm ,∴ AB ＝4cm ,CD ＝AB ＝4cm ．(平行四边形的对边相等)同理,在Rt △ADF 中,AD ＝6cm ,∴ BC ＝AD ＝6cm ,∴ 22226333AF AD DF --=(cm )． ∴ ABCD S =CD ·AF ＝433⨯1232cm )．【总结升华】本题除了应用平行四边形的性质及勾股定理外,还应用了“直角三角形中,30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半”这个直角三角形的性质．举一反三：【变式】如图,已知ABCD中,M是BC的中点,且AM＝9,BD＝12,AD＝10, 求该平行四边形的面积.【答案】解：平移线段AM至BE,连EA,则四边形BEAM为平行四边形∴BE＝AM＝9,ED＝AE＋AD＝15,又∵BD＝12222BE BD DE+=∴∴∠EBD＝90°,BE⊥BD,∴△EBD面积＝12BE BD=54又∵2AE＝AD∴△ABD面积＝2543⨯＝36∴ABCD的面积＝72.类型四、三角形的中位线例4、如图,在四边形ABCD中,AD=BC,P是对角线BD的中点,M是DC的中点,N是AB的中点．求证：∠PMN=∠PNM．【思路点拨】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得PM= BC,PN=AD,然后求出PM=PN,再根据等边对等角证明即可．【答案与解析】证明：∵P是对角线BD的中点,M是DC的中点,N是AB的中点,∴PM、PN分别是△BCD和△ABD的中位线,∴PM=BC,PN=AD,∵AD=BC,∴PM=PN,∴∠PMN=∠PNM．【总结升华】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半,等边对等角的性质,熟记定理与性质是解题的关键．【巩固练习】一.选择题1. 如图所示,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,且AB≠AD,则下列式子不正确的是（）.A.AC⊥BDB.AB＝CDC. BO＝ODD.∠BAD＝∠BCD2. 四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,给出下列四组条件：①AB∥CD,AD∥BC；②AB＝CD,AD＝BC；③AO＝CO,BO＝DO；④AB∥CD,AD＝BC．其中一定能判定这个四边形是平行四边形的条件有( ).A．1组 B．2组 C．3组 D．4组3.点P、Q、R是平面内不在同一条直线上的三个定点,点M是平面内任意一点,若P、Q、R、M四点恰能构成一个平行四边形,则在平面内符合这样条件的点M有（）A．1个B．2个C．3个D．4个4. 如图所示,在ABCD中,AC与BD相交于点O,E是边BC的中点,AB＝4,则OE的长是( )．A．2 B2 C．1 D．1 25. 平行四边形的一边长是10cm,那么它的两条对角线的长可以是（）.A.4cm和6cmB.6cm和8cmC.8cm和10cmD.10cm和12cm6. 如图,ABCD 中,∠DAB 的平分线AE 交CD 于E,AB ＝5,BC ＝3,则EC 的长（ ）.A ．1B ．1.5C ．2D ．3二.填空题7. 如图所示,在ABCD 中,对角线相交于点O,已知AB ＝24 cm ,BC ＝18 cm ,△AOB 的周长为54 cm ,则△AOD 的周长为________cm ．8. 已知ABCD,如图所示,AB ＝8cm ,BC ＝10cm ,∠B ＝30°,ABCD 的面积为____2cm ．9．在ABCD 中,CA ⊥AB,∠BAD ＝120°,若BC ＝10cm ,则AC ＝______,AB ＝______． 10. 在ABCD 中,AE ⊥BC 于E,若AB ＝10cm ,BC ＝15cm ,BE ＝6cm ,则ABCD 的面积为______．11．已知：如图,四边形AEFD 和EBCF 都是平行四边形,则四边形ABCD 是______．12．如图,在△A 1B 1C 1中,已知A 1B 1=7,B 1C 1=4,A 1C 1=5,依次连接△A 1B 1C 1三边中点,得△A 2B 2C 2,再依次连接△A 2B 2C 2的三边中点得△A 3B 3C 3,…,则△A 5B 5C 5的周长为______．三.解答题 13．如图：工人师傅要把一块三角形的钢板,通过切割焊接成一个与其面积相等的平行四边形．请你设计一种方案并在图中标出焊接线,然后证明你的结论．14.如图,在口ABCD中,E、F是对角线BD上的两点,BE=DF,点G、H分别在BA和DC的延长线上,且AG=CH,连接GE、EH、HF、FG．求证：（1）△BEG≌△DFH；（2）四边形GEHF是平行四边形．15.如图,在△ABC中,∠ACB＝90°,D是BC的中点,DE⊥BC,CE∥AD,若AC＝2,CE＝4,求四边形ACEB的周长.答案与解析一.选择题1.【答案】A；2.【答案】C；【解析】①②③能判定平行四边形.3.【答案】C；【解析】解：如图,连接PQ、QR、PR,分别过P、Q、R三点作直线l∥QR、m∥PR、n ∥PQ,分别交于点D、E、F,∵DP ∥QR,DQ ∥PR,∴四边形PDQR 为平行四边形, 同理可知四边形PQRF 、四边形PQER 也为平行四边形,故D 、E 、F 三点为满足条件的M 点,故选C ．4.【答案】A ；【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AO ＝OC ．又∵BE ＝EC,∴OE 是△ABC 的中位线,∴OE ＝12AB ＝2． 5.【答案】D ；【解析】设两条对角线的长为22a b ，.所以10a b +>,2220a b +>,所以选D.6.【答案】C ；【解析】因为∠DAE ＝∠BAE,∠BAE ＝∠DEA,所以AD ＝DE ＝BC ＝3,EC ＝DC －DE ＝5－3＝2.二.填空题7.【答案】48；【解析】因为四边形ABCD 是平行四边形,所以OD ＝OB,AD ＝BC ＝18cm ．又因为△AOB 的周长为54cm ,所以OA ＋OB ＋AB ＝54cm ,因为AB ＝24cm ,所以OA ＋OB ＝54－24＝30(cm ),所以OA ＋OD ＝30(cm ),所以OA ＋OD ＋AD ＝30＋18＝48(cm )．即△AOD 的周长为48cm ．8.【答案】40；【解析】过点A 作AH ⊥BC 于H ．在Rt △ABH 中,∠B ＝30°,AB ＝8cm ,∴AH ＝12AB ＝4(cm )．∴ABCD S =BC ·AH ＝10×4＝40(2cm )．9.【答案】53cm ,5cm ；【解析】由题意,∠DAC ＝∠BCA ＝30°,AB ＝152AB =,2210553AC =-=. 10．【答案】1202cm ； 【解析】221068AE =-=,所以ABCD 的面积为15×8＝1202cm ． 11．【答案】平行四边形；12.【答案】1；【解析】解：∵A 2B 2、B 2C 2、C 2A 2分别等于A 1B 1、B 1C 1、C 1A 1的一半,∴以此类推：△A 5B 5C 5的周长为△A 1B 1C 1的周长的, ∴则△A 5B 5C 5的周长为（7+4+5）÷16=1．故答案为：1三.解答题13.【解析】解：沿中位线将三角形分割开,将得到的小三角形绕AC 的中点旋转180度再与梯形拼接即可,如图所示：14.【解析】证明：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AB=CD,AB ∥DC,∴∠ABE=∠CDF,∵AG=CH,∴BG=DH,在△BEG 和△DFH 中,,∴△BEG ≌△DFH （SAS ）；（2）∵△BEG ≌△DFH （SAS ）,∴∠BEG=∠DFH,EG=FH,∴∠GEF=∠HFB,∴GE ∥FH,∴四边形GEHF 是平行四边形．15.【解析】解：∵∠ACB＝90°,DE⊥BC ,∴AC∥DE．又∵CE∥AD ,∴四边形ACED 是平行四边形．∴DE＝AC ＝2 在Rt△CDE 中,由勾股定理2223CD CE DE =-= ∵D 是BC 的中点,∴BC＝2CD ＝3在Rt△ABC 中,由勾股定理22213AB AC BC =+=． ∵D 是BC 的中点,DE⊥BC ,∴EB＝EC ＝4∴四边形ACEB 的周长＝AC ＋CE ＋BE ＋BA ＝10＋213。
18.1.1 平行四边形及其性质(第二课时)学案：2022-2023学年 人教版八年级下册数学
18.1.1 平行四边形及其性质(第二课时)学案：2022-2023学年人教版八年级下册数学本课时的学习目标在本课时中，我们将学习平行四边形及其性质的相关知识点。
具体目标如下：1.理解平行四边形的定义和基本性质；2.掌握平行四边形的判定方法；3.运用平行四边形的性质解决实际问题。
学习重点与难点学习重点1.平行四边形的定义和基本性质；2.平行四边形的判定方法。
学习难点1.运用平行四边形的性质解决实际问题。
学习内容平行四边形的定义与性质平行四边形是指有四条边且两两平行的四边形。
下面是平行四边形的基本性质：1.对角线互相平分。
2.对角线等长。
3.相邻角互补，即相邻角的和为180度。
4.任意一对相邻边互补。
平行四边形的判定方法判定一个四边形是否为平行四边形有以下几种方法：1.如果一个四边形的对边对顶，那么这个四边形是平行四边形。
2.如果一个四边形的两组对角线互相平分，那么这个四边形是平行四边形。
平行四边形的示例问题1.如图所示，在平行四边形ABCD中，已知∠A=60°，求∠C的大小。
Problem 1解题思路：由于平行四边形的相邻角互补，即∠A+∠C=180°，所以∠C=180°-∠A=180°-60°=120°。
2.如图所示，已知平行四边形ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，求AD的长度。
Problem 2解题思路：由于平行四边形的对边等长，所以AD=BC=5cm。
总结在本课时中，我们学习了平行四边形的定义和基本性质。
我们知道平行四边形的对角线互相平分，对角线等长以及相邻角互补。
我们还学习了平行四边形的判定方法，即通过对边对顶或对角线互相平分来判断一个四边形是否为平行四边形。
最后，我们通过示例问题运用了平行四边形的性质解决实际问题。
通过这些学习，我们对平行四边形的性质有了更深入的理解，并能够灵活运用这些性质解决问题。
希望通过今天的学习，同学们能够掌握平行四边形的定义和基本性质，并能够运用这些知识解决实际问题。
数学：22.1《平行四边形的性质》学案(冀教版八年级下)
22.1平行四边形的性质(1)学习目标：平行四边形的定义、表示法、性质及性质的应用。
学习重点：平行四边形的性质及应用学习难点：利用转化思想把四边形转化为三角形解决问题一、自主学习1、阅读教材了解平行四边形的定义并自己画一个平行四边形把它表示出来。
（教师强调平行四边形的正确表示法）2、尽量多地举出生活中常见的平行四边形3、如图：已知在△ABC中，点D、E、F分别在边AB、BC、CA上且DE∥CA、EF∥AB、FD∥BC。
请找出图中所有的平行四边形二、合作交流，相互鼓励，共同探究平行四边形的性质1、小组成员各规范地画一个平行四边形ABCD，观察平行四边形的两组对边的位置与大小、两组对角的大小、相邻两角的关系，再用刻度尺和量角器度量，验证与你观察的结果是否一致，同时与小组成员交流你获得的成果。
2、小组分工合作：根据以上的感性认识选择你喜欢的一个结果从理论上加以证明(提示：怎样把四边形转化为三角形)3、小组成员集体交流，形成共识，得出平行四边形的性质：平行四边形两组对边分别且；两组对角分别；相邻两内角三、学以致用，展示自我1、在平行四边形ABCD中，AB=5，BC=3，则周长为2、平行四边形的一个内角是50°，则其它三个角分别是、、3、平行四边形相邻两内角的角平分线相互4、如果四边形ABCD 是平行四边形，且AB=6cm ，AB 的长是平行四边形周长的163，那么BC 的长是多少？5如图：在平行四边形ABCD 中，AE ⊥BD ，CF ⊥BD ，垂足分别为E 、F.求证：BE=FC四、巩固加深，挑战自我1、在平行四边形ABCD 中，∠A ∶∠B ∶∠C ∶∠D 的值可以是（ ）A 1∶2∶3∶4B 3∶4∶4∶3C 3∶3∶4∶4D 3∶4∶3∶42、若平行四边形相邻两内角的差是30°，求这个平行四边形的各内角。
3、 如图：平行四边形的周长是36，DE ⊥AB ，DF ⊥BC ，且DE=34，DF=34，求这个平行四边形的面积。
人教版-数学-八年级下册-学案：平行四边形的性质
【学习目标】1理解平行四边形的概念。
2 掌握平行四边形性质1、2。
3 能运用它解决有关问题。
【学习重、难点】1.平行四边形的概念和性质1、22.利用添加铺助线把平行四边形的问题转化成三角形的问题。
【学习过程】一、【创设情景】（2分钟）同学们看过关于红军长征时的电视剧吗？看过请回答红军的上衣领徽是什么形状？菜园、花园子的周围的篱笆呢？引出课题—平行四边形1.同学们预习（13分钟）：课本P85—P87页，回答黑板上的问题。
（1）平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫平行四边形。
（2）平行四边形的表示符号。
用“”表示。
如平行四边形ABCD 记作“ABCD”（3）对平行四边形的理解。
①在四边形ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥BC，ＡＢ∥ＣＤ②若ＡＤ∥ＢＣ，ＡＢ∥ＣＤ，则四边形ＡＢＣＤ为平行四边形。
③平行四边形的对边、对角、邻角。
2.平行四边形的性质：（1）两组对边分平行（2）两组对边分别相等（3）两组对角相等（4）邻角互补根据学生回答，教师点评。
3.（5分钟）再让学生把平行四边形的一条对角线连起来，用剪刀沿平行四边形的对角线把它剪成两个三角形。
如图△ＡＢＣ和△ＡＤＣ，让△ABC的顶点A、顶点B、顶点C分别和△ADC的顶点C顶点D、顶点A重合放置。
你会发现这两个三角形完全重合在一起，也可以验证平行四边形的对边相等、对角相等（一条对角线平行四边形的面积分成面积相等的两部分）二、【展示】（15分钟）1.平行四边形邻角的比为8：7，求并外两个角的大小。
（96°84°）2.如图1，在平行四边形ABCD中，DC=5cm，DE=3cm，BE是∠ABC的角平线，求BC的长？（BC的长为8cm）三试一试1．在平行四边形ABCD中，AE⊥BC，于E，AF⊥CD于F，∠EAD=60°，求各内角的度数？∠A=∠C=120°，∠B=∠D=60°步骤老师指导ABC D图1AB CDEF图22. 如图3，将平行四边形沿AE翻折，使点B恰好落在AD上的F处，则下列结论不一定是（）A.AF=EFB.AB=EFC.AE=AFD.AF=BE三．【整理学案】通过本节的学习，我们知道了什么是平行四边形，了解了有个关它的概念，重点研究平行四边形部分性质：（1）平行四边形对边相等（2）平行四边形对角相等（3）平行四边形对边平行（4）邻角互补四、【布置作业】1.课本P80页习题第1、2题；2.选用课时作业设计（1）如图4所示，平行四边形ABCD的周长是28cm,△ABC的周长是22cm,则AC 的长为（ C ）A.6cmB.12cmC.8cmD.4cm(2) 平行四边形ABCD中，∠A:∠B:∠C:∠D的值可以是（ C ）A.1:2:3:4B.2:2:1:1C.2:1:2:1D.1:2:2:1(3) 如图5,在△MBN中，BM=6，点A、C、D分别在MB、NB、MN上，四边形ABCD 为平行四边形∠NDC=∠MDA,则平行四边形的周长为（ D ）A.24B.18C.16D.12AB C DAM BNCD图4 图5。
人教版八年级数学下导学案平行四边形的性质(第2课)教案教学设计课时作业试卷同步练习含答案解析
平行四边形的性质(第2课)【目标导航】1．探索平行四边形的对角线互相平分的性质．2．会应用平行四边形的三个性质．【要点梳理】归纳：平行四边形的性质：平行四边形的对角线.例1已知：如图，平行四边形ABCD的周长为28cm，对角线AC，BD相交于点O，且OAB的周长比OBC 的周长大4cm，求平行四边形的边长．例2在下列给定的条件中，能画出平行四边形的是( )A．以60cm为一条对角线，20cm、34cm为两条邻边B．以6cm、10cm为对角线，8cm为一边C．以6cm为一条对角线，3cm、10cm为两条邻边D．以20cm、36cm为对角线，22cm为一边【课堂操练】1．已知在平行四边形ABCD中，BC=10cm，AC=8cm，BD=14cm，AOD的周长是_____，ABC比DBC 的周长短．2．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O与A B、CD分别相交于点E、F．求证：OE=OF．3．一平行四边形两条对角线的长度分别为5cm和7cm，一边长为x cm，则x的取值范围是___________．4．若平行四边形ABCD的一边AB=8cm，一条对角线AC=6cm，那么另一条对角线BD的取值范围是____________．5．已知平行四边形的一条边长为14，下列各组数中能分别作为它的两条对角线的长的是( )A．10与16 B．12与16C．20 与22 D．10与406．如图，平行四边形ABCD的对角线交于O，AE BD于E，CF BD于F，则图中全等三角形共有( ) A．5对B．6对C．7对D．8对7．下列说法正确的是( )A．平行四边形对角线相等B．平行四边形对角线的交点到一组对边的距离相等C．四边形具有平行四边形的所有性质D．沿平行四边形一条对角线对折，这条对角线两旁的图形能互相重合8．如图，延长平行四边形ABCD的边BC至E，DA至F，使CE=AF，EF与BD交于O，求证：EF与BD 互相平分．9．如图，平行四边形ABCD中∠A=60E、F分别为AB、CD的中点，且AB=2AD，找出BD与EF之间的关系，并说明理由．10．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于O点，且AD CD，过O作OM AC交AD于M，如果CDM的周长等于a，求平行四边形ABCD的周长．11．如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，AB AC，DAC=45，AC=2，求BD长．【课后盘点】1．平行四边形ABCD中，A的余角与B的和是120，则A=________，B=__________．2．平行四边形的周长等于56cm，两邻边的长的比为3：1，那么这个平行四边形较长的边长为_________．3．平行四边形的周长为60cm，对角线交于O，AOB的周长比BOC的周长大8cm，则AB、BC的长分别为_______________．4．平行四边形ABCD中，周长为50cm，AB=15cm，A=30，则此平行四边形的面积为___________．5．如图，在平行四边形ABCD中，A的平分线交BC于点E．若AB=10cm，AD=14cm，则BE=______，EC=_____．6．已知：平行四边形ABCD中，O为对角线AC、BD的交点，EF是过O的一条直线，交BC于E交AD于F，BE=2，AF=2.8，求BC和AD的长．7．如图，在平行四边形ABCD中，AE BC，AF CD，EAF=30，AE=4cm，AF=3cm，求平行四边形ABCD 的周长．8．如图，O为平行四边形ABCD的对角线AC的中点，过点O作一条直线分别与AB、CD交于点M、N，点E、F在直线MN上，且OE=OF．(1)图中共有几对全等三角形，请把它们都写出来；(2)求证：MAE=NCF．【要点梳理】答案例1:解：∵在▱ABCD中∴OA=OC，AD=BC，AB=CD∵▱ABCD的周长是28∴AB+BC=14∵△OAB的周长比△OBC的周长多4即：AB+OC+OB-（BC+OB+OC）=AB-BC=4∴{AB+BC=14AB-BC=4，解得：AB=9，BC=5．故答案为9，5．例2:解：A、以60cm为一条对角线，20cm，34cm为两邻边，即三边为30，20，34，构成的不是一个三角形，故无法画出．B、以6cm，10cm为对角线，8cm为一边，即三边为3，5，8，不能满足两边之和大于第三边．C、以6cm为一条对角线，3cm和10cm为两邻边，即三边为3，3，10，构成的不是一个三角形．也不能满足两边之和大于第三边．D、20cm，36cm为对角线，则它们的一半10cm，18cm和22cm．能满足两边之和大于第三边．因而可以画出平行四边形．故选D．【课堂操练】1.答案21,62.答案证明：∵ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，OA=OC，∴∠BAO=∠ACD，∠AEO=∠CFO，∴△AEO≌△CFO，∴OE=OF．3.答案解：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，AC=5，BD=7，∴OC=2.5，OB=3.5，在△BOC中，设BC=x，则OB-OC＜x＜OB+OC，即3.5-2.5＜x＜3.5+2.5故1＜x＜6．∴它的一条边长x的取值范围是1＜x＜6．故答案为1＜x＜6．4.答案6＜BD＜185.答案C6.答案C7答案B8答案证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∴∠F=∠E，∠FDO=∠EBO，又∵AF=CE，∴FD=BE，∴△FOD≌△EOB．∴OD=OB，OF=OE．即EF与BD互相平分．9答案解，连接DE,BF,∵AB=2AD，E、F分别为AB、CD的中点，∴DF∥BE,DF=BE,∴四边形DEBF是平行四边形，∴BD与EF互相平分10答案解：在▱ABCD中，AD=BC，AB=CD，∵点O为AC的中点，∴MO为AC的垂直平分线，∴MC=MA，∴△CDM的周长=MC+MD+CD=MA+MD+CD=AD+CD=a，∴平行四边形ABCD的周长=2（AD+CD）=2a．故答案为2a．11.答案解：∵AB⊥AC，∠DAC=45°，∴AB=AC=2，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=12AC=1，在直角三角形AOB中，根据勾股定理得OB= 5，∴BD=2BO=25．【课后盘点】1答案75°105°2答案解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD=BC，∵平行四边形的周长等于56 cm，∴AB+CD+AD+BC=56cm，∴AB+BC=28cm，∵BC：AB=3：1，∴BC=21cm，AB=7cm，∴这个平行四边形较长的边长为21cm．故答案为21．3答案解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD=BC，OA=OC，OB=OD，又平行四边形ABCD的周长为60cm，△AOB的周长比△BOC的周长长8cm，∴AB BC3 AB BC8+=⎧⎨-=⎩，两个方程相加，得AB=19（cm）．故选D．4答案75cm²5答案解：∵AE平分∠A，∴∠BAE=∠EAD，又AD∥BC，∴∠BEA=∠EAD，∴∠BAE=∠BEA，∴BE=AB=10cm，根据平行四边形的性质可知，BC=AD=14，∴EC=BC-BE=14-10=4cm．故答案为4．6答案解，∵AO=CO,∠1=∠2，∠3=∠4，∴△FOA≌△EOC，∴AF=EC,BE=2，AF=2.8∴BC=AD=4.87答案解∵∠EAF=30°，∴∠ECD=∠B=∠D=30°，AE=4cm，AF=3cm，∴AB=8cm，AF=6cm 周长8+8+6+6=28cm8答案解：（1）有4对全等三角形．分别为△AMO≌△CNO，△OCF≌△OAE，△AME≌△CNF，△ABC≌△CDA；（2）证明：∵OA=OC，∠1=∠2，OE=OF，∴△OCF≌△OAE．∴∠EAO=∠FCO．在平行四边形ABCD中，AB∥CD，∴∠BAO=∠DCO．∴∠EAM=∠NCF．。
八年级数学上册 平行四边形的性质学案 北师大版
课时
第 1 课时
学习 目标
1、 能说出平行四边形的定义及其性质，会用平行四边形的性质解决有关的边角计算 问题。
2、 经历其探索过程，体会解决问题策略的多样性，体验探索成功后的快乐。
学习流程： 一、 温故互查： 两人一组组员向组长说：1、平行线的特征和判定平行线的方法。
通过拼图得结论：
叫平行四边形。
自学课本 98 页，如右图：记作
读作：
A
D
平行四边形 ABCD。
叫对角线。
如图
是对角线。
2、 活动二：做一做
B
C
（1）任意画一个平行四边形，并标上字母。你能从中找出哪些相等的线段，哪些相等的角？你
有什么方法验证？与同伴交流。
经过实践得结论：平行四边形的
相等；平行四边形的
相等。
（2）你能将平行四边形的性质进行归类梳理吗？试着完成下列表格。
性质
边
角
图形名称
对边
对角
邻角
对角线平行四边形来自……三、自我检测，你会算了吗？
学校准备修建一个平行四边形的花坛，如图想使其中一个角为56°，一边长30m，另一边
长25m。
求：（1）∠ADC，∠BCD的度数。 （2）边AB，BC的长度及花坛的周长。
30
A
D
并说出你的理由。
四、当堂检测，你最棒！
56° B
25 C
1、 ABCD中，已知∠A=50°，则∠B= ,∠C=
,∠D=
。
2、平行四边形ABCD中, ∠A +∠C=140 °,则∠B=
。
3、 ABCD中，∠A:∠B:∠C:∠D的值可能是（ ）。
最新北师大版八年级下册数学 第15讲：平行四边形的性质-学案
第3讲：平行四边形的性质知识讲解：1．平行四边形：(1)平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．平行四边形用符号“”表示．平行四边形ABCD记作，读作平行四边形ABCD．2．平行四边形的性质：(1) 平行四边形的对边平行且相等．(2)．平行四边形的对角相等，邻角互补。
(3)平行四边形的对角线互相平分．(4)若一条直线过平行四边形两对角线的交点，则这直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，且这条直线二等分平行四边形的面积．3．两条平行线间的距离：(1)定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离．(2)两平行线间的距离处处相等．4．平行四边形的面积：(1)如图①，．(2)同底(等底)同高(等高)的平行四边形面积相等．如图②，有公共边BC，则．5．平行四边形的判别方法：(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形．(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形．(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形．(5)对角线互相平分的四边形是平行四边形．6．平行四边形知识的运用：(1)直接运用平行四边形特征解决某些问题，如求角的度数，线段的长度，证明角相等或互补，证明线段相等或倍分等．(2)识别一个四边形为平行四边形，从而得到两直线平行．(3)先识别—个四边形是平行四边形，然后再用平行四边形的特征去解决某些问题课堂练习：考点一：平行四边形的定义和对称性【例题】1.如图，在□ABCD 中，EF ∥BC ，GH ∥AB ，EF ，GH 相交于点O ，那么图中共有平行四边形（）A. 6 个B. 7 个C. 8 个D. 9 个【习题】1.某人准备设计平行四边形图案，拟以长为4cm ，5cm ，7cm ） 的三条线段中的两条为边，另一条为对角线画不同形状的平行四边形，他可以画出形状不同的平行四边形的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 42.如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，转动其中的一张，重合部分构成一个四边形，这个四边形是____；理由是_____________。