广东深圳2023-2024学年上学期九年级数学期末模拟试卷及参考答案

2023-2024学年度第一学期广东省深圳市九年级数学期末模拟试卷
一．选择题（共10小题，每题3分，共30分）
1. 如图所示的几何体的左视图是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
2. 已知23
a b =，则b a b −的值是（ ） A ．2
3 B ．2 C ．13 D ．32
3 . 小明和小华玩“石头、剪子、布”的游戏．若随机出手一次，则小华获胜的概率是（ ）
A ．13
B ．23
C ．29
D ．12
4. 如图，小东用长2米的竹竿CD 做测量工具，测量学校旗杆的高度AB ，
移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点O ．此时，3OD =米，6DB =米， 则旗杆AB 的高为（ ）米．
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
5. 二次函数y ＝kx 2﹣6x +3的图象与x 轴有两个交点，则k 的取值范围是（ ）
A ．k ＜3
B ．k ＜3且k ≠0
C ．k ≤3
D ．k ≤3且k ≠0
6． 如图，△ABC 的顶点都是正方形网格中的格点，则cos ∠ABC 等于（ ）
A B C D．2 3
7 . 在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx﹣k与y＝（k≠0）的图象大致是（）
A． B．C． D．
8. 一件商品标价100元，连续两次降价后的价格为81元，则两次平均降价的百分率是（）
A．10% B．15% C．18% D．20%
9.如图，在A处测得点P在北偏东60°方向上，在B处测得点P在北偏东30°方向上，
若2
AB=米，则点P到直线AB距离PC为（）
A．3米B C．2米D．1米
10．二次函数y＝ax2+bx+c（其中a，b，c是常数，a≠0），对称轴为直线x＝1，
函数图象的一部分如图所示，下列说法中：
①b＜0；②2a+b＝0；③b2﹣4ac＞0；④（a+c）2＜b2；⑤3a+c＝0．
其中正确的结论有（）
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个
二．填空题（共5小题，每题3分，共15分）
11.抛物线2(1)2y x =−+的顶点坐标是_______
12 .如图，在Rt ABC 中，9043C AC BC ∠=°==，，，则sin A 的值是 ；
13 .一个不透明的袋子中装有4个红球和若干个白球，它们除颜色外其余都相同． 现随机从袋中摸出一个球，若颜色是白色的概率为23
，则袋中白球的个数是 _____． 14 .如图，小树AB 在路灯O 的照射下形成的投影为BC ．若树高AB ＝2m ，树影BC ＝3m ，
树与路灯的水平距离BP ＝4.5m ．则路灯的高度OP 为 m ．
15. 如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC OA 边在x 轴的正半轴上，OC 边在y 轴的正半轴上， 反比例函数()0k y x x
=≠的图象与BC 交于点D ，与AB 交于点F ，与OB 交于点G ， 当点G 是OB 的中点时，连接DG ，若DBG △的面积为9，则k
=________
的
三．解答题（共6小题）
16 .（1） 解方程：2670x x −−=
（2）计算：|﹣4|﹣（π﹣3.14）0（
13
）﹣1．
17 . 某中学积极落实国家“双减”教育政策， 决定增设“礼仪”“陶艺”“园艺”“厨艺”及“编程”等五门校本课程以提升课后服务质量，
促进学生全面健康发展．学校面向七年级参与课后服务的部分学生开展了“你选修哪门课程？
（要求必须选修一门且只能选修一门）”的随机问卷调查，
并根据调查数据绘制了如下两幅不完整的统计图：请结合上述信息，解答下列问题：
(1)共有_______名学生参与了本次问卷调查；
(2)“陶艺”在扇形统计图中所对应的圆心角是_______度；
(3)小刚和小强分别从“礼仪”“陶艺”“编程”这三门校本课程中任选一门，
请用列表法或画树状图法求出两人恰好选到同一门课程的概率．
18．折叠矩形ABCD ，使点D 落在BC 边上的点F 处，折痕为AE ．
(1)求证△ABF ∽△FCE ；
(2)若CF ＝4，EC ＝3，求矩形ABCD 的面积．
19 .某商店经销一种健身球，已知这种健身球的成本价为每个20元，市场调查发现，
该种健身球每天的销售量y （个）与销售单价x （元）有如下关系：()2802040y x x =
−+≤≤， 设这种健身球每天的销售利润为w 元．
(1)如果销售单价定为25元，那么健身球每天的销售量是 个；
(2)求w 与x 之间的函数关系式；
(3)该种健身球销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
20．如图，已知()4,A n −，()2,4B −是一次函数y bx b =+的图像和反比例函数m y x
=的图像的两个交点．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)求AOB 的面积；
(3)根据图像直接写出不等式m kx b x
+<时x 的解集．
21 .如图1，是一款手机支架图片，由底座、支撑板和托板构成．图2是其侧面结构示意图，
量得托板长17cm AB =，支撑板长16CD cm =，底座长14cm DE =，
托板AB 连接在支撑板顶端点C 处，且7cm CB =，托板AB 可绕点C 转动，支撑板CD 可绕D 点转动．
如图2，若7060DCB CDE ∠=°∠=°，．
(参考数值sin400.64cos400.77°≈°≈，，tan400.84°≈ 1.73≈)
（1）求点C 到直线DE 的距离(精确到0.1cm)；
（2）求点A 到直线DE 的距离精确到0.1cm)．
22 .如图，在平面直角坐标系中，抛物线24y ax bx +−与x 轴交于点()()2,04,0A B −，，
与y 轴交于点C ，点D 为BC 的中点．
(1)求该抛物线的函数表达式；
+有最小值，求此时点G的坐标；
(2)点G是该抛物线对称轴上的动点，若GA GC
(3)若点P是第四象限内该抛物线上一动点，求BDP
△面积的最大值；
2023-2024学年度第一学期广东省深圳市九年级数学期末模拟试卷解析一．选择题（共10小题，每题3分，共30分）
1. 如图所示的几何体的左视图是（）
A．B． C． D．
【答案】D
【分析】据简单几何体的三视图的画法可得答案．
【详解】解：根据简单几何体的三视图的画法可知，其左视图是中间有一道横虚线的长方形，因此选项D的图形比较符合题意．
故选：D．
2. 已知
2
3
a
b
=，则
b a
b
−
的值是（）
A．2
3
B．2 C．
1
3
D．
3
2
【答案】C
【分析】将b a
b
−
变形为1
a
b
−，再代入求值即可．
【详解】解：∵
2
3
a
b
=，
∴
21
11
33
b a a
b b
−
=−=−=，故C正确．
故选：C．
3 .小明和小华玩“石头、剪子、布”的游戏．若随机出手一次，则小华获胜的概率是（）
A．1
3
B．
2
3
C．
2
9
D．
1
2
【答案】A
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与小华获胜的情况数，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】解：画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，小华获胜的情况数是3种， ∴小华获胜的概率是：39=13
． 故选：A ．
4. 如图，小东用长2米的竹竿CD 做测量工具，测量学校旗杆的高度AB ，
移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点O ．此时，3OD =米，6DB =米， 则旗杆AB 的高为（ ）米．
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
【答案】D 【分析】结合题意，得//CD AB ，则有COD AOB ∽，得
AB OB CD OD
=，通过计算即可得到答案 【详解】 竹竿CD 和旗杆AB 均垂直于地面，
∴//CD AB
∴COD AOB ∽
∴AB OB CD OD
=， ∵3OD =米，6DB =米，2m CD =， ∴3623
AB +=， 6AB ∴=米
故答案为：D
5．二次函数y ＝kx 2﹣6x +3的图象与x 轴有两个交点，则k 的取值范围是（ ）
A ．k ＜3
B ．k ＜3且k ≠0
C ．k ≤3
D ．k ≤3且k ≠0
【答案】B
【分析】根据根的判别式与二次函数的定义列出关于k 的不等式组，求出k 的取值范围即可．
【详解】解：∵二次函数y ＝kx 2﹣6x +3的图象与x 轴有两个交点，
∴03612000k k k =− ≠≠ ＞＞，即， 解得k ＜3且k ≠0．
故选：B ．
6．如图，△ABC 的顶点都是正方形网格中的格点，则cos ∠ABC 等于（ ）
A B C D ．23
【答案】B
【详解】由格点可得∠ABC 所在的直角三角形的两条直角边为2，4，
∴cos∠ABC=
故选：B．
7 . 在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx﹣k与y＝（k≠0）的图象大致是（）
A． B．C． D．
【分析】根据k的取值范围，分别讨论k＞0和k＜0时的情况，然后根据一次函数和反比例函数图象的特点进行选择正确答案．
【解答】解：①当k＞0时，
一次函数y＝kx﹣k经过一、三、四象限，
反比例函数的y＝（k≠0）的图象经过一、三象限，
故B选项的图象符合要求，
②当k＜0时，
一次函数y＝kx﹣k经过一、二、四象限，
反比例函数的y＝（k≠0）的图象经过二、四象限，
没有符合条件的选项．
故选：B．
8.一件商品标价100元，连续两次降价后的价格为81元，则两次平均降价的百分率是（）
A．10% B．15% C．18% D．20%
【分析】设平均每次降价的百分率为x，那么第一次降价后的单价是原来的（1﹣x），
那么第二次降价后的单价是原来的（1﹣x）2，根据题意列方程解答即可．
【解答】解：设平均每次降价的百分率为x，根据题意列方程得：
100×（1﹣x ）2
＝81，
解得x 1＝0.1＝10%，x 2＝1.9（不符合题意，舍去），
故选：A ．
9. 如图，在A 处测得点P 在北偏东60°方向上，在B 处测得点P 在北偏东30°方向上，
若2AB =米，则点P 到直线AB 距离PC 为（ ）
A ．3米
B C ．2米 D ．1米
【答案】B 【分析】设点P 到直线AB 距离PC 为x 米，根据正切的定义用x 表示出AC 、BC ，
根据题意列出方程，解方程即可．
【详解】解：设点P 到直线AB 距离PC 为x 米，
在Rt APC △中，tan PC AC PAC ==∠，
在Rt BPC △中，tan PC BC x PBC ==∠，
2=，
解得，x =)，
故选：B ．
10． 二次函数y ＝ax 2+bx +c （其中a ，b ，c 是常数，a ≠0），对称轴为直线x ＝1，
函数图象的一部分如图所示，下列说法中：
①b ＜0；②2a +b ＝0；③b 2﹣4ac ＞0；④（a +c ）2＜b 2
；⑤3a +c ＝0．
其中正确的结论有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【分析】由抛物线的开口方向判断a，由抛物线与y轴的交点判断c，根据对称轴的位置判断b及a、b 关系，根据抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所有结论进行逐一判断．
【解答】解：①∵开口向下，
∴a＜0．
对称轴在y轴右边，故．
∴b＞0，故①错误．
②由图知：对称轴x＝1，即．
∴2a+b＝0，故②正确．
③抛物线于x轴有两个交点．故2﹣4ac＞0．故③正确．
④由图象可知，抛物线与x轴的左交点位于 0 和﹣1 之间，在两个交点之间时，y＞0，
当x＝﹣1 时，y＜0，即：a﹣b+c＜0．
∴a+c＜b．
∴（a+c）2＜b2．故④正确．
⑤根据当x＝﹣1 时，y＜0，即：a﹣b+c＜0．由②将b＝﹣2a．代入a﹣b+c＜0．
∴3a+c＜0，故⑤错误．
故正确的个数为：3个．
故选：B．
二．填空题（共5小题，每题3分，共15分）
11.抛物线2(1)2y x =−+的顶点坐标是_______
【答案】（1，2）
【答案】D
【分析】根据顶点式2()y a x h k =−+，顶点坐标是（h ，k ），即可求解.
【详解】∵顶点式2()y a x h k =−+，顶点坐标是（h ，k ）
， ∴抛物线2(1)2y x =−+的顶点坐标是（1，2）
． 故答案为：（1，2）
12 .如图，在Rt ABC 中，9043C AC BC ∠=°==，，，则sin A 的值是 ；
【答案】35
/0.6 【分析】先根据勾股定理求出AB ，再根据正弦的定义计算即可．
【详解】解：在Rt ABC 中，9043C AC BC ∠=°==，，
则AB
5， ∴3sin 5BC A AB ==， 故答案为：35
． 13 .一个不透明的袋子中装有4个红球和若干个白球，它们除颜色外其余都相同． 现随机从袋中摸出一个球，若颜色是白色的概率为
23
，则袋中白球的个数是 _____． 【答案】8
【解析】
【分析】设袋中白球的个数为x 个，利用概率=白球数量÷球的总数量，列方程即可解答．
【详解】解：设袋中白球的个数为x 个，
根据概率=白球数量÷球的总数量，可得方程
243
x x =+， 解得8x =，
经检验，8x =是原方程的解，
故答案为：8．
14 .如图，小树AB 在路灯O 的照射下形成的投影为BC ．若树高AB ＝2m ，树影BC ＝3m ，
树与路灯的水平距离BP ＝4.5m ．则路灯的高度OP 为 m ．
【分析】找出相似三角形，利用相似三角形的性质求解即可．
【解答】解：∵AB ∥OP ，
∴△CAB ∽△COP ，
∴＝，
∴＝，
∴OP ＝＝5（m ），
故答案为：5．
15. 如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC OA 边在x 轴的正半轴上，OC 边在y 轴的正半轴上， 反比例函数()0k y x x
=≠的图象与BC 交于点D ，与AB 交于点F ，与OB 交于点G ， 当点G 是OB 的中点时，连接DG ，若DBG △的面积为9，则k
=________
的
【答案】12
【解析】
【分析】连接OD ，根据题意以及反比例函数系数k 的几何意义得到1182BOC
S k ∆=+，从而表示出矩形的面积，设设,k G m m
，则22,k B m m ，最后列出方程2236k m k m ⋅=+求解即可． 【详解】解∶连接OD ，
∵矩形OABC 的OA 边在x 轴的正半轴上，OC 边在y 轴的正半轴上，矩形交反比例函数
()0k y x x =>于点D 、F ， ∴12
COD k S ∆=， ∵点G 是OB 的中点，DBG △的面积为9，
∴9DOG DBG
S S ∆∆==， ∴18BOD S ∆=， ∴1182
BOC S k ∆=+， ∴矩形OABC 的面积为36k +，
设,k G m m
，则22,k B m m
， ∴2236k m k m
⋅=+， 解得12k =，
故答案为∶12．
三．解答题（共6小题）
16 .（1） 解方程：2670x x −−=
（2）计算：|﹣4|﹣（π﹣3.14）0（
13
）﹣1． 【答案】（1）x 1=7，x 2=1−
（2）9
（1）解：原方程可化为：（x-7）（x+1）=0，
x-7=0或x+1=0；
解得：x 1=7，x 2=1−．
(2)解：原式＝4﹣1++3， ＝4﹣1+3+3，
＝9．
17 . 某中学积极落实国家“双减”教育政策，
决定增设“礼仪”“陶艺”“园艺”“厨艺”及“编程”等五门校本课程以提升课后服务质量， 促进学生全面健康发展．学校面向七年级参与课后服务的部分学生开展了“你选修哪门课程？ （要求必须选修一门且只能选修一门）”的随机问卷调查，
并根据调查数据绘制了如下两幅不完整的统计图：请结合上述信息，解答下列问题：
(1)共有_______名学生参与了本次问卷调查；
(2)“陶艺”在扇形统计图中所对应的圆心角是_______度；
(3)小刚和小强分别从“礼仪”“陶艺”“编程”这三门校本课程中任选一门，
请用列表法或画树状图法求出两人恰好选到同一门课程的概率．
【答案】(1)120
(2)99
(3)小刚和小强两人恰好选到同一门课程的概率为1 3
【分析】（1）用“礼仪”的人数除以占比得到总人数；（2）用“陶艺”的人数除以总人数再乘以360°，即可求解；（3）用画树状图法求得概率即可求解．
【详解】（1）解：3025%=120
÷（人）
故答案为：120．
（2）“陶艺”在扇形统计图中所对应的圆心角是
33
360=99 120
×°°，
故答案为：99．
（3）把“礼仪”“陶艺”“编程”三门校本课程分别记为A、B、C
共有9种等可能的结果，其中小刚和小强两人恰好选到同一门课程的结果有3种，
∴小刚和小强两人恰好选到同一门课程的概率为31 93 =．
18．折叠矩形ABCD，使点D落在BC边上的点F处，折痕为AE．
(1)求证△ABF∽△FCE；
(2)若CF＝4，EC＝3，求矩形ABCD的面积．
【答案】(1)见解析
(2)矩形ABCD的面积为80
【分析】（1）根据矩形的性质和翻折的性质即可证明△ABF∽△FCE．
（2）由（1）得△ABF∽△FCE，所以BF AB
EC CF
=，进而可以解决问题．
【详解】（1）证明：由矩形ABCD可得，∠B＝∠C＝∠D＝90°．∴∠BAF+∠AFB＝90°．
由折叠得∠AFE＝∠D＝90°．
∴∠AFB+∠EFC＝90°．
∴∠BAF＝∠EFC．
∴△ABF∽△FCE；
（2）解：∵CF＝4，EC＝3，∠C＝90°
∴EF ＝DE ＝5，
∴AB ＝CD ＝8．
由（1）得△ABF ∽△FCE ， ∴BF AB EC CF
= ∴BF ＝6．
∴BC ＝10．
∴S ＝AB •CB ＝10×8＝80．
19. 某商店经销一种健身球，已知这种健身球的成本价为每个20元，市场调查发现，
该种健身球每天的销售量y （个）与销售单价x （元）有如下关系：()2802040y x x =
−+≤≤， 设这种健身球每天的销售利润为w 元．
(1)如果销售单价定为25元，那么健身球每天的销售量是 个；
(2)求w 与x 之间的函数关系式；
(3)该种健身球销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
【答案】(1)30
(2)221201600w x x =−+−
(3)该种健身球销售单价定为30元时，每天的销售利润最大，最大利润是200元
【分析】（1）在2080y x =
−+中，令25x =，进行计算即可得； （2）根据总利润=每个建生球的利润×销售量即可列出w 与x 之间的函数关系式；
（3）结合（2）的函数关系式，根据二次函数性质即可得．
【详解】（1）解：在280y x =
−+中，令25x =得，2258030y =−×+=， 故答案为：30；
（2）解：根据题意得，2(20)(280)21201600w x x x x =
−−+=−+−，
即w 与x 之间的函数关系式为：221201600w x x =−+−；
（3）解：22212016002(30)200w x x x =
−+−=−−+， ∵20−<，
∴当30x =时，w 取最大值，最大值为200，
即该种健身球销售单价定为30元时，每天的销售利润最大，最大利润是200元．
20．如图，已知()4,A n −，()2,4B −是一次函数y bx b =+的图像和反比例函数m y x
=的图像的两个交点．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)求AOB 的面积；
(3)根据图像直接写出不等式m kx b x
+<时x 的解集． 【答案】(1)8,y x
=− 2.y x =−− (2)6
(3)40x −＜＜或 2.x ＞
【分析】（1）先把()2,4B −代入m y x
=
求解反比例函数解析式，再求解A 的坐标，再利用待定系数法求解一次函数的解析式即可；
（2）先求解C 的坐标，再利用AOB AOC BOC S S S =+△△△，从而可得答案. （3）由m kx b x
+<可得：一次函数的图象在反比例函数图象的下方，结合函数图象可得答案.
【详解】（1）解：把()2,4B −代入m y x
=得： ()248,m xy ==×−=− 所以反比例函数的解析式为：8,y x
=− 把()4,A n −代入8,y x
=−得2,n = ()4,2,A ∴−
把()4,2,A −()2,4B −代入y bx b =
+得： 42,24k b k b −+= +=− 解得：1,2k b =− =−
所以一次函数的解析式为： 2.y x =
−− （2）解：AB 为2,y x =
−− 令0,y = 则2,x =− 即()2,0,C −
AOB AOC BOC S S S ∴=+
112224 6.22
=××+××= （3）解：由m kx b x +<
可得： 一次函数的图象在反比例函数图象的下方，
所以：40x −＜＜或 2.x ＞
21 .如图1，是一款手机支架图片，由底座、支撑板和托板构成．图2是其侧面结构示意图，
量得托板长17cm AB =，支撑板长16CD cm =，底座长14cm DE =，
托板AB 连接在支撑板顶端点C 处，且7cm CB =，托板AB 可绕点C 转动，支撑板CD 可绕D 点转动．
如图2，若7060DCB CDE ∠=°∠=°，．
(参考数值sin400.64cos400.77°≈°≈，，tan400.84°≈ 1.73≈)
（1）求点C 到直线DE 的距离(精确到0.1cm)；
（2）求点A 到直线DE 的距离(精确到0.1cm)．
【答案】（1）点C 到直线DE 的距离约为13.8cm
（2）点A 到直线DE 的距离约为21.5cm
【解析】
【分析】（1）如图2，过点C 作CN DE ⊥，垂足为N ，然后根据三角函数可得sin CN
CDN CD
∠=，即·sin CN CD CDN ∠＝，最后将已知条件代入即可解答；
（2）如图2，过A 作AM DE ⊥，
交DE 的延长线于点M ，过点C 作CF AM ⊥，垂足为F ，再说明Rt ACF 中，9040AFC A ∠=°∠=°，，10cm AC =，然后根据三角函数和线段的和差即可解答．
【小问1详解】
解：如图2，过点C 作CN DE ⊥，垂足为N
由题意可知，16cm 60CD CDE =
∠=°，， 在Rt CDN △中， sin CN
CDN CD
∠=，
∴·sin 1613.8cm CN CD CDN ∠==＝＝． 答：点C 到直线DE 的距离约为13.8cm ．
【小问2详解】
解：如图2，过A 作AM DE ⊥，交DE 的延长线于点M ，过点C 作CF AM ⊥，垂足为F ， ∴CN FM CN FM =，∥
在Rt ACF 中，90703040AFC A BCN ∠=°∠=∠=°−°=°，，17710cm AC AB BC =−=−=， ∴·cos40100.777.7cm AF AC =
°≈×≈， ∴7.713.821.5cm AM AF FM =+=+=．
答：点A 到直线DE 的距离约为21.5cm ．
22 .如图，在平面直角坐标系中，抛物线24y ax bx +−与x 轴交于点()()2,04,0A B −，，
与y 轴交于点C ，点D 为BC 的中点．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)点G 是该抛物线对称轴上的动点，若GA GC +有最小值，求此时点G 的坐标；
(3)若点P 是第四象限内该抛物线上一动点，求BDP △面积的最大值；
【答案】(1)2142
y x x =−− (2)()1,3−
(3)BDP △面积的最大值为2
【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数解析式即可；
（2）根据对称轴得出当点G 正好在直线BC 与抛物线对称轴的交点上时GA GC +最小，求出直线BC 的解析式4y x =−，求出抛物线的对称轴为直线1x =，把1x =代入4y x =−求出点G 的坐标即可；
（3）连接PC ，过点P 作PQ y ∥轴，交BC 于点Q ，根据点D 是BC 的中点，得出12
BDP PBC S S = ，当PBC 面积最大时，BDP △面积最大，设21,42 −−
P m m m ，则(),4Q m m −，用m 表示出PBC S ，求出其最大值，即可得出答案．
【详解】（1）解：把()()2,04,0A B −，代入抛物线24y ax bx +−得：
424016440a b a b −−= +−=
， 解得：121
a b = =− ， ∴抛物线的函数表达式为2142
y x x =−−； （2）解：∵点G 是该抛物线对称轴上的动点，
∴GA GB =，
∴GA GC GB GC +=+，
∴当点G 正好在直线BC 与抛物线对称轴的交点上时GA GC +最小，
把0x =代入2142
y x x =−−得：4y =−， ∴点C 的坐标为：()0,4−，
设直线BC 的解析式为：()40y kx k =
−≠， 把()4,0B 代入得：044k =
−，
解得：1k =，
∴ 直线BC 的解析式为：4y x =−， 抛物线的对称轴为直线11122
x −=−=×， 把1x =代入4y x =−得：143y =−
=−， ∴点G 的坐标为：()1,3−；
（3）解：连接PC ，过点P 作PQ y ∥轴，交BC 于点Q ，如图所示：
∵点D 是BC 的中点， ∴12
BDP PBC S S = ， ∴当PBC 面积最大时，BDP △面积最大， 设()21,4042P m m m m −−<<
，则(),4Q m m −， 221144222
PQ m m m m m =−−++=−+， 142
PBC S PQ =× 21222m m =×−+
24m m =−+
()2
24m =−−+， ∴当2m =时，PBC 面积取最大值4，
∴BDP △面积的最大值为1
422×=．。