2020年北师大版八年级下册数学《期末检测卷》(带答案)

2020年北师大版数学八年级下册期末测试
学校________ 班级________ 姓名________ 成绩________
一、选择题：本大题共10小题，每小题2分，计20分．在每小题给出的四个选项中，只一项是符合题目要求， 请在答题卡的相应位置填涂．
1.若x ＞y ，则下列式子中错误的是（ ）
A. ﹣3x ＞﹣3y
B. 3x ＞3y
C. x ﹣3＞y ﹣3
D. x +3＞y +3 2.下列图形中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3.下列各式中，从左到右的变形，属于分解因式的是（ ）
A. 10x 2－5x ＝5x (2x －1)
B. a 2－b 2－c 2＝(a －b )(a ＋b )－c 2
C. a (m ＋n )＝am ＋an
D. 2x 2－4y +2＝2(x 2-2y ) 4.如图， Y OABC 的顶点O ，A ，C 的坐标分别是（0，0），（2，0），（
12，1），则点B 的坐标是（ ） A. （1，2） B. （
12，2） C. （52，1） D. （3，1）
5.如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，下列条件不能判定四边形ABCD 为平行四边形的是（ ）
A. AB ∥CD ，AD ∥BC
B. OA ＝OC ，OB ＝OD
C. AD ＝BC ，AB ∥CD
D. AB ＝CD ，AD ＝BC
6.如图，△ABC 是等边三角形，D 为BC 边上的点，∠BAD ＝15°，△ABD 经旋转后到达△ACE 的位置，那么旋转了( )
A. 75°
B. 45°
C. 60°
D. 15°
7.已知A、C两地相距40千米，B、C两地相距50千米，甲乙两车分别从A、B两地同时出发到C地．若乙车每小时比甲车多行驶12千米，则两车同时到达C地．设乙车的速度为x千米/小时，依题意列方程正确的是（）
A. 4050
12 x x
=
-
B.
4050
12
x x
=
-
C.
4050
12
x x
=
+
D.
4050
12
x x
=
+
8.如图，ABCD
Y的对角线相交于点O，且AB AD
≠，过点O作OE BD
⊥交BC于点E，若ABCD
Y的周长为20，则CDE
∆的周长为（）
A. 7
B. 8
C. 9
D. 10
9.已知一次函数y＝kx﹣b（k≠0）图象如图所示，则kx﹣1＜b的解集为（）
A. x＞2
B. x＜2
C. x＞0
D. x＜0
10.如图，△ABC的周长为28，点D，E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC＝12，则PQ的长为（）
A 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，计18分，请将答案填在答题卡
．．．的相应位置．11.分解因式：24
x-=__________．
12.若正多边形的一个外角等于36°，那么这个正多边形的边数是________．
13.如果关于x 的分式方程2
133
m x x =-
--有增根，则增根x 的值为_____． 14.关于x 的一元一次不等式组2152
x x m ->⎧⎪⎨+≤⎪⎩中两个不等式的解集在同一数轴上的表示如图所示，则m 的值是_______．
15.如图所示的分式化简，对于所列的每一步运算，依据错误的是_______．（填序号）
①：同分母分式的加法法则
②：合并同类项法则
③：乘法分配律
④：等式的基本性质
16.如图所示，已知AB ＝ 6，点C ，D 在线段AB 上，AC ＝DB ＝ 1，P 是线段CD 上的动点，分别以AP ，PB 为边在线段AB 的同侧作等边△AEP 和等边△PFB ，连接EF ，设EF 的中点为G ，当点P 从点C 运动到点D 时，则点G 移动路径的长是_________．
三、解答题：本大题共9小题，计62分．解答题应写出文字说明、说理过程或演算步骤， 请将答案写在答题卡的相应位置．
17.（1）分解因式： x (a -b )+y (a -b )
（2）解分式方程：341x x
=-
18.解不等式组
26,?
{
3(1)25,?
x
x x
-<
+≤+
①
②
并将解集在数轴上表示出来．
19.化简求值：
2
121
(1)
m m
m m
--
+÷，从-1，0，1，2中选一个你认为合适的m值代入求值．
20.求证：等腰三角形的底角必为锐角．（请根据题意画出图形，写出已知、求证，并证明）
已知：
求证：
证明：
21.如图所示，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，3），B（﹣6，0），C（﹣1，0）．
（1）请直接写出点A关于原点O对称的点坐标；
（2）将△ABC向右平移6个单位，再向上平移3个单位，得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；
（3）将△ABC绕点O逆时针转90°，得到△A2B2 C2，画出△A2B2 C2．
22. 如图，在▱ABCD中，点E是BC边中点，连接AE并延长与DC的延长线交于F．
（1）求证：CF=CD；
（2）若AF平分∠BAD，连接DE，试判断DE与AF的位置关系，并说明理由．
23.某校“六一”活动购买了一批A，B两种型号跳绳，其中A型号跳绳的单价比B型号跳绳的单价少9元，
已知该校用2600元购买A型号跳绳的条数与用3500元购买B型号跳绳的条数相等．
（1）求该校购买的A，B两种型号跳绳的单价各是多少元？
（2）若两种跳绳共购买了200条，且购买的总费用不超过6300元，求A型号跳绳至少购买多少条？
24.已知△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，以AC，AB为边向外作等边三角形ACD和等边三角形ABE，点F在AB上，且到AE，BE的距离相等．
（1）用尺规作出点F；(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)
（2）连接EF，DF，证明四边形ADFE为平行四边形．
25.如图，△ABC中AC=BC，点D，E AB边上，连接CD，CE．
(1)如图1，如果∠ACB=90°，把线段CD逆时针旋转90°，得到线段CF，连接BF，
①求证：△ACD≌△BCF；
②若∠DCE=45°，求证：DE2=AD2+BE2；
(2)如图2，如果∠ACB=60°，∠DCE=30°，用等式表示AD，DE，BE三条线段的数量关系，说明理由．
答案与解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题2分，计20分．在每小题给出的四个选项中，只一项是符合题目要求，请在答题卡的相应位置填涂．
1.若x＞y，则下列式子中错误的是（）
A. ﹣3x＞﹣3y
B. 3x＞3y
C. x﹣3＞y﹣3
D. x+3＞y+3
【答案】A
【解析】
【分析】
根据不等式的基本性质逐一判断即可．
【详解】解：∵x>y，
∴A、﹣3x<﹣3y，故A错误，
B、3x>3y，正确，
C、x﹣3>y﹣3，正确，
D、x+3>y+3，正确，
故答案为：A．
【点睛】本题考查了不等式的基本性质，解题的关键是熟知当不等式两边同时乘以一个负数，不等号的方向要改变．
2.下列图形中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
A. 不是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B. 是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C. 不是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意；
D. 是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意．
故选C.
3.下列各式中，从左到右的变形，属于分解因式的是（）
A. 10x2－5x＝5x(2x－1)
B. a2－b2－c2＝(a－b)(a＋b)－c2
C. a(m＋n)＝am＋an
D. 2x2－4y+2＝2(x2-2y)
【答案】A
【解析】
【分析】
根据因式分解的定义：将一个多项式化为几个整式乘积的形式叫做因式分解，也叫分解因式，对每个选项逐一判断即可．
【详解】解：A. 10x2－5x＝5x(2x－1)，符合定义，属于分解因式，故A正确
B. a2－b2－c2＝(a－b)(a＋b)－c2，不符合定义，故B错误；
C. a(m＋n)＝am＋an，属于整式的乘法，故C错误；
D. 2x2－4y+2＝2(x2-2y+1)，故D错误，
故答案为：A．
【点睛】本题考查了因式分解的概念，判断是否为因式分解的问题，解题的关键是掌握因式分解的概念．
4.如图，Y OABC的顶点O，A，C的坐标分别是（0，0），（2，0），（1
2
，1），则点B的坐标是（）
A. （1，2）
B. （1
2
，2） C. （
5
2
，1） D. （3，1）
【答案】C
【解析】
【分析】
根据平行四边形的性质可证△CDO≌△BEA，得出CD=BE，OD=AE，再由已知条件计算得出BE，OE的长度即可．
【详解】解：过点C作CD⊥OA于点D，过点B作BE⊥OA于点E，
∴∠CDO=∠BEA=90°，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴OC=AB，OC∥AB，
∴∠COD=∠BAE
∴在△CDO与△BEA中，
CO=AB，∠COD=∠BAE，∠CDO=∠BEA=90°，
∴△CDO≌△BEA（AAS），∴CD=BE，OD=AE，
又∵O，A，C的坐标分别是（0，0），（2，0），（1
2
，1）
∴OD=1
2
，CD=1，OA=2，
∴BE=CD=1，AE=OD=1
2
，
∴OE=2+1
2
=
5
2
，
∴点B坐标为：（5
2
，1），
故答案为：C
【点睛】本题考查了平行四边形的性质及全等三角形的判定，解题的关键是熟悉平行四边形的性质．
5.如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（）
A. AB∥CD，AD∥BC
B. OA＝OC，OB＝OD
C. AD＝BC，AB∥CD
D. AB＝CD，AD＝BC
【答案】C
【解析】
【分析】
根据平行四边形的判定定理分别进行分析即可．
【详解】A、根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不合题意；
B、根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不合题意；
C、不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项符合题意；
D、根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不合题意；故选：C．
【点睛】此题考查平行四边形的判定，关键是掌握（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．
6.如图，△ABC是等边三角形，D为BC边上的点，∠BAD＝15°，△ABD经旋转后到达△ACE的位置，那么旋转了( )
A. 75°
B. 45°
C. 60°
D. 15°
【答案】C
【解析】
【分析】
首先根据题意寻找旋转后的重合点，根据重合点来找到旋转角.
【详解】根据题意△ABC是等边三角形
AB AC
∴=
∴可得B点旋转后的点为C
∴旋转角为60
BAC︒
∠=
故选C.
【点睛】本题主要考查旋转角的计算，关键在于根据重合点来确定旋转角.
7.已知A、C两地相距40千米，B、C两地相距50千米，甲乙两车分别从A、B两地同时出发到C地．若乙车每小时比甲车多行驶12千米，则两车同时到达C地．设乙车的速度为x千米/小时，依题意列方程正确的是（）
A. 4050
12
x x
=
-
B.
4050
12
x x
=
-
C.
4050
12
x x
=
+
D.
4050
12
x x
=
+
【答案】B
【解析】
试题解析：设乙车的速度为x千米/小时，则甲车的速度为（x-12）千米/小时，
由题意得，405012x x
=-． 故选B ． 8.如图，ABCD Y 的对角线相交于点O ，且AB AD ≠，过点O 作OE BD ⊥交BC 于点E ，若ABCD Y 的周长为20，则CDE ∆的周长为（ ）
A. 7
B. 8
C. 9
D. 10
【答案】D
【解析】
【分析】 由四边形ABCD 是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分、对边相等，即可得OB=OD ，AB=CD ，AD=BC ，又由OE ⊥BD ，即可得OE 是BD 的垂直平分线，然后根据线段垂直平分线的性质，即可得BE=DE ，由行四边形ABCD 的周长为20可得BC+CD=10，然后可求△CDE 的周长.
【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴OB=OD ，AB=CD ，AD=BC ，
∵OE ⊥BD ，
∴BE=DE ，
∵平行四边形ABCD 的周长为20，
∴BC+CD=10，
∴△CDE 的周长为CD+DE+EC=CD+BC=10.
故选D ．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质与线段垂直平分线的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．
9.已知一次函数y ＝kx ﹣b （k≠0）图象如图所示，则kx ﹣1＜b 的解集为（ ）
A. x ＞2
B. x ＜2
C. x ＞0
D. x ＜0 【答案】C
【解析】
【分析】
将kx -1＜b 转换为kx-b ＜1，再根据函数图像求解.
【详解】由kx-1＜b 得到：kx-b ＜1．
∵从图象可知：直线与y 轴交点的坐标为（0，1），
∴不等式kx-b ＜1的解集是x ＞0，
∴kx-1＜b 的解集为x ＞0．
故选C ．
【点睛】本题考查的是一次函数的图像，熟练掌握函数图像是解题的关键.
10.如图，△ABC 的周长为28，点D ，E 都在边BC 上，∠ABC 的平分线垂直于AE ，垂足为Q ，∠ACB 的平分线垂直于AD ，垂足为P ，若BC ＝12，则PQ 的长为（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】
根据已知条件证明△AQB ≌△EQB 及△APC ≌△DPC ，再得出PQ 是△ADE 的中位线，根据题中数据，根据DE=BE+CD-BC 求出DE 的长度，最后由中位线的性质即可求出PQ 的长度．
【详解】解：∵BQ 平分∠ABC ，
∴∠ABQ=∠EBQ ，
∵BQ ⊥AE ，
∴∠AQB=∠EQB=90°， 在△AQB 与△EQB 中BQ=BQ
ABQ EBQ AQB EQB ∠=∠⎧⎪⎨⎪∠=∠⎩
∴△AQB ≌△EQB （ASA ）
∴AQ=EQ ，AB=BE
同理可得：△APC ≌△DPC （ASA ）
∴AP=DP ，AC=DC ，
∴P ，Q 分别为AD ，AE 的中点，
∴PQ 是△ADE 的中位线，
∴PQ=12
DE ， ∵△ABC 的周长为28，BC=12，
∴AB+AC=28-12=16，即BE+CD=16，
∴DE=BE+CD-BC=16-12=4
∴PQ=2
故答案：B ．
【点睛】本题主要考查了中位线的性质，涉及全等三角形的判定及三角形周长计算的问题，解题的关键是根据全等三角形的性质得出中位线．
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，计18分， 请将答案填在答题卡．．．
的相应位置． 11.分解因式：24x -=__________．
【答案】()(x 2)2x +-
【解析】
【分析】
利用平方差公式进行分解即可；
【详解】解：24x -=()(x 2)2x +-
故答案为()(x 2)2x +-
【点睛】本题考查了用公式法进行因式分解，因式分解时要根据式子的特点选择合适的分解方法． 12.若正多边形的一个外角等于36°，那么这个正多边形的边数是________．
【答案】十
【解析】
【分析】
根据正多边形的外角和为360°，除以每个外角的度数即可知．
【详解】解：∵正多边形的外角和为360°， ∴正多边形的边数为
360=1036
， 故答案为：十．
【点睛】本题考查了正多边形的外角与边数的关系，解题的关键是熟知正多边形外角和等于每个外角的度
数与边数的乘积．
13.如果关于x的分式方程2
1 3
3
m
x x
=-
--
有增根，则增根x的值为_____．
【答案】x=3
【解析】
【分析】
根据增根的概念即可知．
【详解】解：∵关于x的分式方程
2
1
33
m
x x
=-
--
有增根，
∴增根x的值为x=3，
故答案为：x=3．
【点睛】本题考查了增根的概念，解题的关键是熟知增根是使得分式方程的最简公分母为零的x的值．14.关于x的一元一次不等式组
21
5
2
x
x
m
->
⎧
⎪
⎨+
≤
⎪⎩
中两个不等式的解集在同一数轴上的表示如图所示，则m的值是_______．
【答案】m=2
【解析】
【分析】
解不等式
21
5
2
x
x
m
->
⎧
⎪
⎨+
≤
⎪⎩
，表达出解集，根据数轴得出251
m-=-即可．
【详解】解：不等式
21
5
2
x
x
m
->
⎧
⎪
⎨+
≤
⎪⎩
①
②
，
解不等式①得：1
x<
解不等式②得：25
x m
≤-，
由数轴可知，251
m-=-，解得m=2，
故答案为：m=2．
【点睛】本题考查了根据不等式的解集求不等式中的参数问题，解题的关键是正确解出不等式组，根据解
集表达出含参数的方程．
15.如图所示的分式化简，对于所列的每一步运算，依据错误的是_______．（填序号）
①：同分母分式的加法法则
②：合并同类项法则
③：乘法分配律
④：等式的基本性质
【答案】④
【解析】
【分析】
根据分式的基本性质可知．
【详解】解：4()
4
a b
a b
+
=
+
根据的是分式的基本性质，而不是等式的性质，所以④错误，
故答案为：④．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，解题的关键是熟知分式的基本性质是分子分母同时乘以或除以一个不为零的整式，分式的值不变．
16.如图所示，已知AB＝6，点C，D在线段AB上，AC ＝DB ＝1，P是线段CD上的动点，分别以AP，PB为边在线段AB的同侧作等边△AEP和等边△PFB，连接EF，设EF的中点为G，当点P从点C运动到点D时，则点G移动路径的长是_________．
【答案】2
【解析】
【分析】
分别延长AE，BF交于点H，易证四边形EPFH为平行四边形，得出点G为PH的中点，则G的运动轨迹
为△HCD的中位线MN，再求出CD的长度，运用中位线的性质求出MN的长度即可．【详解】解：如图，分别延长AE，BF交于点H，
∵∠A=∠FPB=60°，
∴AH∥PF，
∵∠B=∠EPA=60°，
∴BH∥PE
∴四边形EPFH为平行四边形，
∴EF与HP互相平分，
∵点G为EF的中点，
∴点G为PH的中点，即在P运动的过程中，G始终为PH的中点，
∴G的运动轨迹为△HCD的中位线MN，
∵CD=6-1-1=4，
∴MN=1
2
CD=2，
∴点G移动路径的长是2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了等边三角形及中位线的性质，以及动点的问题，是中考热点，解题的关键是得出G的运动轨迹为△HCD的中位线MN．
三、解答题：本大题共9小题，计62分．解答题应写出文字说明、说理过程或演算步骤，请将答案写在答题卡的相应位置．
17.（1）分解因式：x(a-b)+y(a-b)
（2）解分式方程：
34
1
x x
= -
【答案】（1）(a-b)(x+y)；（2）4
x=【解析】
（1）提出公因式（a-b ）即可；
（2）根据分式方程的解法，去分母，即可解出．
【详解】（1）分解因式： ()()x a b y a b -+-
解：原式=()()a b x y -+
(2)解分式方程：341x x
=- 解：去分母得，34(1)x x =-
解这个方程，得4x =
经检验：4x =是原方程的解．
【点睛】本题考查了因式分解及分式方程的解法，解题的关键是掌握提公因式法及分式方程的解法． 18.解不等式组26,? {3(1)25,? x x x -<+≤+①
②并将解集在数轴上表示出来．
【答案】32x -<≤．
【解析】
试题分析：首先分别求出不等式组中两个不等式的解，然后在数轴上表示出来，得出不等式组的解. 试题解析：由①，得x ＞－3， 由②，得x≤2，
解集在数轴上表示为：
所以原不等式的解集为：－3＜x≤2．
考点：解不等式组
19.化简求值：2121(1)m m m m
--+÷，从-1，0， 1，2中选一个你认为合适的m 值代入求值． 【答案】11m +，13
【解析】
根据分式
的混合运算法则运算即可，注意m的值只能取2．【详解】解：原式=2121()m m m m m-+-÷=1(1)(1)m m m m m-⎛⎫⋅ ⎪-+⎝⎭=11m+把m=2代入得，原式=13．【点睛】本题考查了分式的化简求值问题，解题的关键是掌握分式的运算法则．
20.求证：等腰三角形的底角必为锐角．（请根据题意画出图形，写出已知、求证，并证明）
已知：
求证：
证明：
【答案】详见解析
【解析】
【分析】
根据题意写出已知、求证，假设∠B=∠C≥90°，计算得出∠A+∠B+∠C>180°，与三角形内角和定理矛盾，从而得出假设不成立即可．
【详解】解：求证：等腰三角形的底角必为锐角．
已知：如图所示，△ABC中，AB=AC．
求证：∠B=∠C<90°．
证明：∵AB=AC
∴∠B=∠C
假设∠B=∠C≥90°
∴∠B+∠C≥180°
∴∠A+∠B+∠C>180°
与三角形内角和定理∠A+∠B+∠C=180°矛盾
∴假设不成立
∴等腰△ABC中∠B=∠C<90°，即等腰三角形的底角必为锐角．
【点睛】本题考查了命题的证明，等腰三角形的性质，解题的关键是根据题意写出已知求证，并提出假设，推翻假设．
21.如图所示，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，3），B（﹣6，0），C（﹣1，0）．
（1）请直接写出点A关于原点O对称的点坐标；
（2）将△ABC向右平移6个单位，再向上平移3个单位，得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；
（3）将△ABC绕点O逆时针转90°，得到△A2B2 C2，画出△A2B2 C2．
【答案】（1）（2，-3）；（2）详见解析；（3）详见解析
【解析】
【分析】
（1）根据关于原点对称的点的特征即可；
（2）根据平移方向画出图形即可；
（3）根据旋转角度及旋转方向画出图形即可．
【详解】（1）点A关于原点对称的点坐标为（2，-3）
（2）如下图所示，
（3）如下图所示，
【点睛】本题考查了关于原点对称的点的特征及平移画图，旋转画图问题，解题的关键是明确平移方向或旋转方向．
22. 如图，在▱ABCD 中，点E 是BC 边的中点，连接AE 并延长与DC 的延长线交于F ．
（1）求证：CF=CD ；
（2）若AF 平分∠BAD，连接DE ，试判断DE 与AF 的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）见解析（2）DE ⊥AF
【解析】
试题分析：（1）根据平行四边形的
性质可得到AB ∥CD ，从而可得到AB ∥DF ，根据平行线的性质可得到两组角相等，已知点E 是BC 的中点，从而可根据AAS 来判定△BAE ≌△CFE ，根据全等三角形的对应边相等可证得AB=CF ，进而得出CF=CD ；
（2）利用全等三角形的判定与性质得出AE=EF ，再利用角平分线的性质以及等角对等边求出DA=DF ，利用等腰三角形的性质求出即可．
（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB ∥CD ，
∵点F 为DC 的延长线上的一点，
∴AB ∥DF ，
∴∠BAE=∠CFE ，∠ECF=∠EBA ，
∵E 为BC 中点，
∴BE=CE ，
则在△BAE 和△CFE 中，
，
∴△BAE≌△CFE（AAS），
∴AB=CF，
∴CF=CD；
（2）解：DE⊥AF，
理由：∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF=∠DAF，
∵∠BAF=∠F，
∴∠DAF=∠F，
∴DA=DF，
又由（1）知△BAE≌△CFE，
∴AE=EF，
∴DE⊥AF．
【点评】此题主要考查学生对平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质，证明线段相等的常用方法是证明三角形全等．
23.某校“六一”活动购买了一批A，B两种型号跳绳，其中A型号跳绳的单价比B型号跳绳的单价少9元，已知该校用2600元购买A型号跳绳的条数与用3500元购买B型号跳绳的条数相等．
（1）求该校购买的A，B两种型号跳绳的单价各是多少元？
（2）若两种跳绳共购买了200条，且购买的总费用不超过6300元，求A型号跳绳至少购买多少条？
【答案】（1）A型跳绳的单价为26元/条，B型跳绳的单价为35元/条；（2）A型跳绳至少购买78条．
【解析】
【分析】
（1）设B型跳绳的单价为x元/条，则A型跳绳的单价为（x﹣9）元/条，根据“用2600元购买A型号跳绳的条数与用3500元购买B型号跳绳的条数相等”列出方程求解即可；
（2）设购买a条A型跳绳，则购买（200﹣a）条B型跳绳，根据题意列出不等式求解即可．
【详解】（1）设B型跳绳的单价为x元/条，则A型跳绳的单价为（x﹣9）元/条，
根据题意得：26003500
9
x x
=
-
，
解得：x＝35，
经检验，x＝35是原方程的解，且符合题意，
∴x﹣9＝26．
答：A型跳绳的单价为26元/条，B型跳绳的单价为35元/条．（2）设购买a条A型跳绳，则购买（200﹣a）条B型跳绳，根据题意得：26a+35（200﹣a）≤6300，
解得：a≥700
9
．
∵这里的a是整数
∴a的最小值为78
答：A型跳绳至少购买78条．
【点睛】本题考查了分式方程的实际问题，以及不等式与方案选择问题，解题的关键是读懂题意，抓住等量关系，列出方程或不等式．
24.已知△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，以AC，AB为边向外作等边三角形ACD和等边三角形ABE，点F在AB上，且到AE，BE的距离相等．
（1）用尺规作出点F；(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)
（2）连接EF，DF，证明四边形ADFE为平行四边形．
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析
【解析】
【分析】
（1）由“点F在AB上，且到AE，BE的距离相等”可知作∠AEB的角平分线与AB的交点即为点F；（2）先证明△ACB≌△AFE，再由全等三角形的性质得出AD∥EF，AD =EF，即可判定四边形ADFE为平行四边形．
【详解】解：（1）如图，作∠AEB的角平分线，交AB于F点
∴F为所求作的点
（2）如图，连接EF，DF，
∵△ABE和△ACD都是等边三角形，∠ACB=90°，∠CAB=30°，EF平分∠AEB，
∴∠DAE=150°，∠AEF=30°，
∴△ACB≌△AFE
∴∠DAE+∠AEF=180°，EF=AC
∴AD∥EF，AD=AC=EF
∴四边形ADFE为平行四边形
【点睛】本题考查了角平分线的尺规作图、全等三角形的判定及性质、平行四边形的判定，解题的关键张熟练掌握上述知识点．
25.如图，△ABC中AC=BC，点D，E在AB边上，连接CD，CE．
(1)如图1，如果∠ACB=90°，把线段CD逆时针旋转90°，得到线段CF，连接BF，
①求证：△ACD≌△BCF；
②若∠DCE=45°，求证：DE2=AD2+BE2；
(2)如图2，如果∠ACB=60°，∠DCE=30°，用等式表示AD，DE，BE三条线段的数量关系，说明理由．
【答案】（1）①详见解析；②详见解析；（2）DE2=EB2+AD2+EB·AD，证明详见解析
【解析】【分析】（1）①根据旋转的性质可得CF=CD，∠DCF=90°，再根据已知条件即可证明△ACD≌△BCF；
②连接EF，根据①中全等三角形的性质可得∠EBF=90°，再证明△DCE≌△FCE得到EF=DE即可证明；
（2）根据（1）中的思路作出辅助线，通过全等三角形的判定及性质得出相等的边，再由勾股定理得出AD，
DE，BE之间的关系．
【详解】解：（1）①证明：由旋转可得CF=CD，∠DCF=90°
∵∠ACD=90°
∴∠ACD=∠BCF
又∵AC=BC
∴△ACD≌△BCF
②证明：连接EF，
由①知△ACD≌△BCF
∴∠CBF=∠CAD=∠CBA=45°，∠BCF=∠ACD，BF=AD
∴∠EBF=90°
∴EF2=BE2+BF2，
∴EF2=BE2+AD2
又∵∠ACB=∠DCF=90°，∠CDE=45°
∴∠FCE=∠DCE=45°
又∵CD=CF，CE=CE
∴△DCE≌△FCE
∴EF=DE
∴DE2= AD2+BE2
⑵DE2=EB2+AD2+EB·AD
理由：如图2，将△ADC绕点C逆时针旋转60°，得到△CBF，过点F作FG⊥AB，交AB的延长线于点
G，连接EF，
∴∠CBE=∠CAD，∠BCF=∠ACD，BF=AD ∵AC=BC，∠ACB=60°
∴∠CAB=∠CBA =60°
∴∠ABE=120°，∠EBF=60°，∠BFG=30°
∴BG=1
2
BF，FG=
3
BF
∵∠ACB=60°，∠DCE=30°，∴∠ACD+∠BCE=30°，
∴∠ECF=∠FCB+∠BCE=30°∵CD=CF，CE=CE
∴△ECF≌△ECD
∴EF=ED
在Rt△EFG中，EF2=FG2+EG2又∵EG=EB+BG
∴EG=EB+1
2 BF，
∴EF2=（EB+1
2
BF）2+（
3
2
BF）2
∴DE2=（EB+1
2
AD）2+（
3
AD）2
∴DE2=EB2+AD2+EB·AD
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与旋转模型，解题的关键是找出全等三角形，转换线段，并通过勾股定理的计算得出线段之间的关系．。