高中数学第一章计数原理1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理1学案

1．1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理(一)
[学习目标]
1．理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理．
2．会用这两个原理分析和解决一些简单的实际计数问题．
[知识链接]
1．用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能编出多少种不同的号码？答因为英文字母共有26个，阿拉伯数字共有10个，所以总共可以编出26＋10＝36(种)不同的号码．2．用前6个大写英文字母和1～9九个阿拉伯数字，以A1，A2，…，B1，B2，…的方式给教室里的座位编号，总共能编出多少个不同的号码？
答编写一个号码要先确定一个英文字母，后确定一个阿拉伯数字，我们可以用树形图列出所有可能的号码．如图：
由于前6个英文字母中的任意一个都能与9个数字中的任何一个组成一个号码，而且它们各不相同，因此共有6×9＝54(个)不同的号码．
[预习导引]
1．分类加法计数原理
完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法．
2．分步乘法计数原理
完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件
事共有N＝m×n种不同的方法．
要点一分类加法计数原理的应用
例1 高二·一班有学生50人，男30人；高二·二班有学生60人，女30人；高二·三班有学生55人，男35人．
(1)从中选一名学生任学生会主席，有多少种不同选法？
(2)从一班、二班男生中，或从三班女生中选一名学生任学生会体育部长，有多少种不同的选法？
解(1)要完成“选一名学生任学生会主席”这件事有三类不同的选法：
第一类：从高二·一班选一名，有50种不同的方法；
第二类：从高二·二班选一名，有60种不同的方法；
第三类，从高二·三班选一名，有55种不同的方法；
故任选一名学生任学生会主席的选法共有50＋60＋55＝165种不同的方法．
(2)要完成“选一名学生任学生会体育部长”这件事有3类不同的选法：
第一类，从高二·一班男生中选有30种不同的方法；
第二类，从高二·二班男生中选有30种不同的方法；
第三类，从高二·三班女生中选有20种不同的方法．
故任选一名学生任学生会体育部长有30＋30＋20＝80种不同的方法．
规律方法应用分类加法计数原理应注意如下问题：
(1)明确题目中所指的“完成一件事”是什么事，完成这件事可以有哪些方法，怎样才算是完成这件事．
(2)无论哪类方案中的哪种方法都可以独立完成这件事，而不需要再用到其他的方法．即各类方法之间是互斥的，并列的，独立的．
(3)不同方案的任意两种方法是不同的方法，也就是分类时必须做到既“不重复”也“不遗漏”．
跟踪演练1 书架上层放有15本不同的数学书，中层放有16本不同的语文书，下层放有14本不同的
化学书，某人从中取出一本书，有多少种不同的取法？
解要完成“取一本书”这件事有三类不同的取法：
第1类，从上层取一本数学书有15种不同的取法；
第2类，从中层取一本语文书有16种不同取法；
第3类，从下层取一本化学书有14种不同方法．故从中取一本书的方法种数为15＋16＋14＝45. 要点二分步乘法计数原理的应用
例2 已知集合M＝{－3，－2，－1，0，1，2}，P(a，b)(a，b∈M)表示平面上的点，问：
(1)点P可表示平面上多少个不同的点？
(2)点P可表示平面上多少个第二象限内的点？
解(1)确定平面上的点P(a，b)，可分两步完成：第一步确定a的值，有6种不同方法；第二步确定b 的值，也有6种不同方法．根据分步乘法计数原理，得到平面上点P的个数为6×6＝36.
(2)确定平面上第二象限内的点P，可分两步完成：第一步确定a的值，由于a＜0，所以有3种不同方法；第二步确定b的值，由于b＞0，所以有2种不同方法．由分步乘法计数原理，得到平面上第二象限内的点P的个数为3×2＝6.
规律方法应用分步乘法计数原理应注意如下问题：
(1)明确题目中所指的“完成一件事”是什么事，单独用题目中所给的某种方法是不是能完成这件事，也就是说要经过几步才能完成这件事．
(2)完成这件事要分若干个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事，缺少哪一步，这件事都不可能完成．即各步之间是关联的，相互依存的，只有前步完成后步才能进行．
(3)根据题意正确分步，要求各步之间必须连续，只有按照这几步逐步地去做，才能完成这件事，缺少任何一步也不能完成这件事，即分步要做到步骤完整．
跟踪演练2 若乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，求不同的出场安排共有多少种？
解按出场位置顺序逐一安排．第一位置队员的安排有3种方法；第二位置队员的安排有7种方法；
第三位置队员的安排有2种方法；第四位置队员的安排有6种方法；第五位置队员的安排只有1种方法．
由分步乘法计数原理知，不同的出场安排方法有3×7×2×6×1＝252(种)．
要点三两个原理的综合应用
例3 现有高一年级的四个班的学生34人，其中一、二、三、四班各7人、8人、9人、10人，他们自愿组成数学课外小组．
(1)选其中一人为负责人，有多少种不同的选法？
(2)每班选一名组长，有多少种不同的选法？
(3)推选两人做中心发言，这两人需来自不同的班级，有多少种不同的选法？
解(1)分四类：第一类，从一班学生中选1人，有7种选法；第二类，从二班学生中选1人，有8种选法；第三类，从三班学生中选1人，有9种选法；第四类，从四班学生中选1人，有10种选法．所以，共有不同的选法N＝7＋8＋9＋10＝34(种)
(2)分四步：第一、二、三、四步分别从一、二、三、四班学生中选一人任组长．
所以，共有不同的选法N＝7×8×9×10＝5 040(种)．
(3)分六类，每类又分两步：从一、二班学生中各选1人，有7×8种不同的选法；从一、三班学生中各选1人，有7×9种不同的选法；从一、四班学生中各选1人，有7×10种不同的选法；从二、三班学生中各选1人，有8×9种不同的选法；从二、四班学生中各选1人，有8×10种不同的选法；从三、四班学生中各选1人，有9×10种不同的选法．
所以，共有不同的选法N＝7×8＋7×9＋7×10＋8×9＋8×10＋9×10＝431(种)．
规律方法(1)在处理具体的应用题时，首先必须弄清是“分类”还是“分步”，其次要搞清“分类”或“分步”的具体标准是什么，选择合理的标准处理事件，关键是看能否独立完成这件事，避免计数的重复或遗漏．
(2)对于一些比较复杂的既要运用分类加法计数原理又要运用分步乘法计数原理的问题，我们可以恰当地画出示意图或列出表格，使问题更加直观、清晰．
跟踪演练3 在7名学生中，有3名会下象棋但不会下围棋，有2名会下围棋但不会下象棋，另2名既会下象棋又会下围棋，现从这7人中选2人分别参加象棋比赛和围棋比赛，共有多少种不同的选法？解分四类求解：(1)从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛，同时从2名只会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛有3×2＝6种选法；
(2)从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛，同时从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛有3×2＝6种选法；
(3)从2名只会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛，同时从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加象棋比赛有2×2＝4种选法；
(4)从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加象棋比赛，剩下的一名参加围棋比赛，有2×1＝2种选法．
根据分类加法计数原理，一共有6＋6＋4＋2＝18种不同的选法.
1．现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数为( )
A．7 B．12 C．64 D．81
答案 B
解析要完成配套，分两步：第1步，选上衣，从4件上衣中任选一件，有4种不同选法；第2步，选长裤，从3条长裤中任选一条，有3种不同选法．故共有4×3＝12(种)不同的配法．
2．从A地到B地，可乘汽车、火车、轮船三种交通工具，如果一天内汽车发3次，火车发4次，轮船发2次，那么一天内乘坐这三种交通工具的不同走法为( )
A．1＋1＋1＝3 B．3＋4＋2＝9
C．3×4×2＝24 D．以上都不对
答案 B
解析分三类：第一类，乘汽车，从3次中选1次有3种走法；第二类，乘火车，从4次中选1次有4种走法；第三类，乘轮船，从2次中选1次有2种走法．所以，共有3＋4＋2＝9种不同的走法．3．从集合{0，1，2，3，4，5，6}中任取两个互不相等的数a，b组成复数a＋b i，其中虚数有________个．
答案36
解析第一步取b的数，有6种方法，第二步取a的数，也有6种方法，根据分步乘法计数原理，共有6×6＝36(种)方法．
4．将3封信投入6个信箱内，不同的投法有________种．
答案216
解析分三步，每一步投一封信．每封信都有6种投法，共有6×6×6＝216(种)不同的投法．
1．应用两个原理时，要仔细区分原理的不同，加法原理关键在于分类，不同类之间互相排斥，互相独立；乘法原理关键在于分步，各步之间互相依存，互相联系．
2．通过对这两个原理的学习，要进一步体会分类讨论思想及等价转化思想在解题中的应用.
一、基础达标
1．某班有男生26人，女生24人，从中选一位同学为数学课代表，则不同选法的种数有
( )
A．50 B．26 C．24 D．616
答案 A
解析根据分类加法计数原理，因数学科代表可为男生，也可为女生，因此选法共有26＋24＝50(种)．故选A.
2．已知x∈{2，3，7}，y∈{－3，－4，8}，则x·y可表示不同的值的个数为( )
A．8 B．12 C．10 D．9
答案 D
解析分两步：
第一步，在集合{2，3，7}中任取一个值，有3种不同的取法；
第二步，在集合{－3，－4，8}中任取一个值，有3种不同取法．
故x·y可表示3×3＝9(个)不同的值．
3．某班小张等4位同学报名参加A，B，C三个课外活动小组，每位同学限报其中一个小组，且小张不能报A小组，则不同的报名方法有( )
A．27种B．36种C．54种D．81种
答案 C
解析小张的报名方法有2种，其他3位同学各有3种，所以由分步乘法计数原理知共有2×3×3×3＝54(种)不同的报名方法，选C.
4．如图，一条电路从A处到B处接通时，可构成线路的条数为( )
A．8 B．6 C．5 D．3
答案 B
解析从A处到B处的电路接通可分两步：
第一步：前一个并联电路接通有2条线路；
第二步：后一个并联电路接通有3条线路．
由分步乘法计数原理知电路从A处到B处接通时，可构成线路的条数为2×3＝6，故选B.
5．张华去书店，发现3本好书，决定至少买其中1本，则购买方式共有____种．
答案7
解析分3类：买1本书、买2本书、买3本书．各类的购买方式依次有3种、3种和1种，故购买方式共有3＋3＋1＝7(种)．
6．4名学生参加跳高、跳远、游泳比赛，4人都来争夺这三项冠军，则冠军分配的种数有________．答案64
解析本题中要完成的一件事：“将比赛的各项冠军逐一分配给4名参赛学生”．
∵跳高冠军的分配有4种不同的方法．
跳远冠军的分配有4种不同的方法．
游泳冠军的分配有4种不同的方法．
∴根据分步乘法计数原理，冠军的分配方法有4×4×4＝64(种)．
7．如图是某校的校园设施平面图，现用不同的颜色作为各区域的底色，为了便于区分，要求相邻区域不能使用同一种颜色．若有6种不同的颜色可选，问有多少种不同的着色方案？
解操场可从6种颜色中任选1种着色；餐厅可从剩下的5种颜色中任选1种着色；宿舍区和操场、餐厅颜色都不能相同，故可从剩下的4种颜色中任选1种着色；教学区和宿舍区、餐厅的颜色都不能相同，故可从剩下的4种颜色中任选1种着色．根据分步乘法计数原理，知共有6×5×4×4＝480(种)着色方案．
二、能力提升
8．植树节那天，四位同学植树，现有3棵不同的树，若一棵树限1人完成，则不同的植树方法种数有
( )
A．1×2×3 B．1×3
C．34D．43
答案 D
解析完成这件事分三步：
第一步，植第一棵树，有4种不同的方法；
第二步，植第二棵树，有4种不同的方法；
第三步，植第三棵树，也有4种不同的方法．
由分步乘法计数原理得：N ＝4×4×4＝43，故选D.
9．现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是
( )
A ．56
B ．65
C.5×6×5×4×3×22
D ．6×5×4×3×2
答案 A
解析 每位同学都有5种选择，共5×5×5×5×5×5＝56(种)． 10．如图所示，在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中与正八边形有公
共边的三角形有________个． 答案 40
解析 满足条件的有两类：
第一类：与正八边形有两条公共边的三角形有m 1＝8(个)； 第二类：与正八边形有一条公共边的三角形有m 2＝8×4＝32(个)， 所以满足条件的三角形共有8＋32＝40(个)．
11．已知集合A ＝{2，4，6，8，10}，B ＝{1，3，5，7，9}，在A 中任取一元素m 和在B 中任取一元素n ，组成数对(m ，n )，问：(1)有多少个不同的数对？(2)其中所取两数m ＞n 的数对有多少个？ 解 (1)∵集合A ＝{2，4，6，8，10}，B ＝{1，3，5，7，9}，在A 中任取一元素m 和在B 中任取一元素n ，组成数对(m ，n )，先选出m 有5种结果，再选出n 有5种结果，根据分步乘法计数原理知共有5×5＝25个不同的数对．
(2)在(1)中的25个数对中所取两数m ＞n 的数对可以分类来解，当m ＝2时，n ＝1，有1种结果，当
m ＝4时，n ＝1，3有2种结果，当m ＝6时，n ＝1，3，5有3种结果，当m ＝8时，n ＝1，3，5，
7有4种结果，当m ＝10时，n ＝
1，3，5，7，9有5种结果．综上所述共有1＋2＋3＋4＋5＝15种结果．
12．设椭圆的方程为x2
a2＋y2
b2＝1(
a>b>0)，a∈{1，2，3，4，5，6，7}，b∈{1，2，3，4，5}，这样
的椭圆共有多少个？
解依题意按a，b的取值分为6类，
第一类：a＝2，b＝1；
第二类：a＝3，b＝1，2；
第三类：a＝4，b＝1，2，3；
第四类：a＝5，b＝1，2，3，4；
第五类：a＝6，b＝1，2，3，4，5；
第六类：a＝7，b＝1，2，3，4，5.
由分类加法计数原理得：
这样的椭圆共有1＋2＋3＋4＋5＋5＝20(个)．
三、探究与创新
13．某艺术小组有9人，每人至少会钢琴和小号中的一种乐器，其中7人会钢琴，3人会小号，从中选出会钢琴与会小号的各1人，有多少种不同的选法？
解由题意可知，在艺术小组9人中，有且仅有1人既会钢琴又会小号(把该人称为“多面手”)，只会钢琴的有6人，只会小号的有2人，把选出会钢琴、小号各1人的方法分为两类：
第一类：多面手入选，另1人只需从其他8人中任选一个，故这类选法共有8种；
第二类：多面手不入选，则会钢琴者只能从6个只会钢琴的人中选出，会小号者也只能从只会小号的2人中选出，故这类选法共有6×2＝12(种)．
因此共有8＋12＝20(种)不同的选法．。