绳、杆、弹簧模型在临界和突变问题的归类解析

绳、杆、弹簧模型在临界和突变成绩的归类解析之杨若
古兰创作
【内容摘要】：三种模型弹力发生的机理分歧，分歧物理场景下力和活动情况的分析，特别是由一种形态突变到另一种物理形态时，数学上称为"拐点"突变点的分析；和临界形态对应的临界条件.
【关键词】：临界、突变
绳、杆和弹簧作为中学物理罕见的理想模型，在解决力和活动，特别在曲线活动成绩中经常出现，因为较多涉及带电粒子在复合场中的活动，关于临界和突变成绩成为失分较大的考点，是以历年成为频繁出现的热点.而成绩的关键是：不太清楚这三种模型弹力发生的机理；不清晰物理过程的分析，特别是由一种形态突变到另一种物理形态时，数学上称为"拐点"突变点的分析；和临界形态对应的临界条件，故而成为进修中的一个妨碍.结合复习实际，总结如下：
一、发生的机理：
１、形变的分类和弹力发生的机理：物体在外力感化下的形变可分为：拉伸、紧缩形变、剪切形变、扭转和曲折形变，但从根本上讲，形变分为：拉伸紧缩和剪切形变．
拉伸紧缩形变的程度用线应变描述；剪切形变是指用平行截面间绝对滑动的位移与截面垂直距离之比来描述称为剪切形变；曲折形变：以中性层为界，越近上缘发生紧缩形变的程度添加，靠近下沿拉伸越甚，即上下边沿贡献最大，中性层无贡献，实际利用中典型的就是钢筋混凝土梁，下部钢筋多利用其抗拉能力，上部利用混凝土抗压能力，工业中的工字钢．空心钢管等构件既平安又节省材
料；扭转形变实质上是由剪切形变构成，内外层剪切应变分歧，是以应力也分歧.靠外层应力较大，抵抗扭转形变的感化次要由外层承担，靠近中间轴线的材料几乎不大起感化，工业中的空心柱体就是典型的利用.
２、区别：
细绳只能发生拉伸形变，即只能提供因收缩而沿轴向里的弹力，但弹力的发生依附于细绳受到的外力和本身的活动形态.由一种形态突变到另一种形态时，受力和活动形态将发生突变，将此点称为“拐点”；弹簧能发生拉伸和紧缩形变，能提供向里和向外的弹力，弹力的发生是因为外力感化下而惹起的形变，形变不发生变更，弹力不变；轻杆：拉伸、紧缩、剪切形变、曲折、扭转形变均能发生，既能发生沿轴向方向上的弹力，又能发生沿截面方向上的弹力，取决于外力感化的情况.以上模型均不计本身的重力而惹起的形变.
二、成绩归类解析
（一）：平衡态发生在瞬时突变时的成绩
1：弹簧与细绳模型
如图1所示，一条轻弹簧和一根细绳共同拉住一个质量为m的小球，平衡时细线是水平的，弹簧与竖直方向的夹角是
，若突然剪断细线瞬间，弹簧拉力大小是多少？将
弹簧改为细绳，剪断的瞬间BO上张力如何变更？
解析：绳未断时处于平衡态，即
θθθθmgtg T mg T mg
T T T A B B A B ===
=　解得 cos cos sin
剪断OA 的瞬间，A T 瞬时消逝，但弹簧上的形变没有改变，所以
弹力B T 不变，则B T 和mg 的合力与A T 相平衡 ，即：
A A T mg T -=+22)( O
B 换为细绳，张力随外界条件的变更发生瞬时突变，
如图2所示，则沿绳OB 方向瞬态平衡θcos 1mg F T B ==；重
力的分力2F 使物体向最低地位活动，即：22sin ma mg F ==θ
从而使物体沿圆周活动，遵守机械能守恒定律：
θcos mg T B =
２：细绳和杆的平衡类成绩：
例2：如图3所示：一块长木板长为m 12，N G 200=，距A 端m 3处由一个固定的轴o ，
（1）：若另一端B 用轻绳拉住，使木板呈水平形态，绳和木板的夹角030，轻绳能承受的最大拉力N 200，如果一个重为N W
600=的人在
该木板上行走，求活动范围为多少？
（2）：若其它条件都不变，B 端用轻杆拉住，且轻杆
承受的最大拉力也为N 200，求人的活动范围是多少？
解析：从O 向B 行走，人对地板的压力和板本身的
重力发生的力矩与绳拉力发生的力矩相平衡，设人距A
端为x ，
030sin )2(OB T W OA AB G M X =+-代入数据解得：m x 5.0= 向A 活动，在OA 之间，临界形态是绳中张力为零，即：
∴人的活动范围O 点右边m 5.0，左边m 1
换成细杆，人向B 点活动和绳不异，向左边活动有别与绳模型，因为杆可提供斜向下的压力，从而使人的活动范围添加：
∴人的活动范围O 点右边m 5.0, 左边m 5.2
（二）绳、杆模型在曲线活动中的利用
受思维定势的影响，解决力和活动成绩时，常常是已知受力情况解决活动形态，但杆模型的本身的特点，决定由活动形态判断物体的受力情况，从而判断出弹力的方向.
例3：如图4所示，杆AB 和AC 相结于A 处，夹角为030，
AB 竖直放置，杆AC 的C 端连接一个质量为Kg 1的小球，A
点到球心的距离m L 8.0=，现觉得AB 轴s rad 5=ω匀速动
弹，求：杆AC 受到的弹力？ 解析：球C 觉得O 圆心，θsin L r =为半径做匀速圆周
活动（弹力T 是否沿杆取决于活动形态）
N r m F F n 102==ω＝合 竖直方向上弹力T 的分力与mg 相平衡，则：N 210)(22＝合F mg T +=
转化为已知合力n ma 和一分力mg 求另一分力的成绩， T 与竖直方向的夹角4π
β=，张力不再沿轻杆.
引伸：1：求ω为什么值时，弹力沿此杆？
2：换用细绳，夹角为045时ω为多大？
此成绩的关键是：动弹半径由杆长和杆与轴之间的夹
角确定，弹力随活动形态而发生变更，绳模型的活动平
面和半径及其与轴之间的夹角由活动形态而决定.
原型启发是：如图5所示，小车上固定一个弯成α角
的轻杆，杆的另一端固定一个质量为m 的小球，试分析以下形态下杆
上的弹力？
(1)、小车静止或向右匀速直线活动？
(2)、小车以加速度a 水平向右活动？
解析：球处与平衡态，则：mg T =；弹力与竖直方向的夹角为β，则： g a mg F tg a g m ma mg T ma F ==+=+=合合 ； ；＝β2222)()( 即弹力随加速度的变更而发生改变.
１、绳模型在匀速圆周活动中的利用：
根据实际物理场景，分为束缚与非束缚两类成绩：
思路：根据活动形态确定受力情况；
技巧：首先三个确定（确定轨道平面、圆心、圆周半径），其次分析向心力的来源；
解决成绩的关键：确定临界形态，分析临界条件，以此作为分界点加以讨论，并研讨已知形态所处的活动范围，从而分析受力情况.典型的成绩就是圆锥摆，
即：0v v <受到束缚， 受到3个力：;T mg N 、、；
0v v =处于临界形态，受到2个力：m g T 、
0v v >飘离圆锥体，受到：m g T 、，在新的活动形态下与轴向的夹角发生改变
例5、长为L 的绳子，下端连接质量为m 的小球，
上端悬于天花板上，当把绳子拉直时，绳子与轴向的
夹角成060=θ，此时小球静止于光滑的水平桌面上，
当小球以以下情况下做圆锥摆活动时，求绳子上的弹力T 和对桌面的压力N ？
（1）：l g =ω 做圆锥摆活动;（2）：l g
4=ω做圆锥摆活动；
解析：初始处于平衡形态，地面对物体竖直向上的感化力mg N =；当球觉得1o 圆心，觉得θsin L r =半径在光滑地板上做圆周活动时，受N T mg 、、感化，设角速度为0ω时地面对球的弹力
0=N ，则：l
g r m T mg T 2sin cos 02
0＝ 解得：ωωθθ== (1)
04ωω>=l g 受力如图所示r m F T mg N T n 2sin cos ωθθ===+ 解得mg T mg N ==　；4
3 （2）：04ωω>=l g 球将飘离桌面做匀速圆周活动，设与轴线的夹
角为β，受力如图所示：
解得：mg T r m F T mg T n 4sin cos 2====ωββ （区
别于杆模型是半径不变） 引伸练习：1、长为l 2的轻绳，两端分别固定于一
根竖直棒上，相距为l 的AB 两点，一个质量为m 的光滑
小圆环套在绳子上，当竖直棒以必定的角速度动弹时，
圆环觉得B 圆心在水平面内做匀速圆周活动，求此绳上的弹力？
（解析：设半径为r ，　＝则：　解得：0222374
3)2(θl r l r r l =+=-， ） （）
　（2sin 1cos 2r m T T F mg T n ωθθ=+==解得：l
g mg T 3845＝　；ω= 此题的关键是圆环与绳光滑相套连接，随活动形态的分歧，而使活动的平面、圆心、半径而发生变更，如图所示的场景是特定条
件下的临界情况.
2、两绳系一个kg m 1.0=的小球，两绳另两端分别固定于轴上AB 两处，上面绳长m l 2=，两绳都拉直时与轴之间的夹角分
别是,45,3000问球的角速度在什么范围内两绳始终张紧？当角速度为s rad 3时，上下两绳的拉力分别为多少？
（解析：半径不变时，临界条件是BC 刚好拉直，
张力为零，AC 上的张力的分力提供向心力，ω最小；AC 刚好拉直，张力为零，BC 上的张力的分力提供向心力，ω最大.）
２、绳、杆模型在非匀速圆周活动中的利用：
活动学特征：v 的大小随地位而发生改变，a 包含Γa a n 和两部分，
合a 合不再指向圆心； 动力学特征：合F 包含两部分：ΓF n 和F ，合外力不再指向圆心，弹
力不做功，全部过程遵守机械能守恒定律；根据活动情况分为临界极值和突变两类成绩：
（１）、临界极值成绩：
物体在竖直平面内做变速圆周活动，中学物理仅研讨通过最高点和最低点的两类情况.
A 、没有物体支持的圆周活动，有绳模型和沿光滑内轨道活动的两类场景：实质上都是本身的重力和指向圆心的弹力之和提供向心力，如图9所示：
临界条件：R m v m g F n 20== 解得：Rg v =0称为保持圆周活动的临界
速度； 讨论：R mv mg T F v v n 20=+=>　，绳和光滑轨道内侧提供指向圆心，
沿径向里的弹力；
0v v < 没法到达最高处，未到之前就开始做斜上抛活动.
B 、有物体支持的非匀速圆周活动：典型成绩是：杆和沿光滑弯管内部活动的模型：
如图10所示：因为硬杆和弯管内壁的支持，最高处的临界速度可觉得0，处于亚稳平衡，受到空气的扰动，便会偏离平衡地位，因为机械能守恒，仍能做完好的圆周活动，球在0v v <的条件下仍能到
达最高点的缘由是发生了扭转形变，弹性势能向球的动能转化， 讨论：N mg F v n -===00；　
R mv T mg F v v n 2
0=+=> T 沿径向向里，挤压外
壁或拉伸细杆.
例6、把一内壁光滑的细钢管弯成43圆弧外形，竖直放置，一个小球从管口的正上方1h 处自在着落，小球恰好到达弯管的管口c 处；若小球从2h 处自在着落，则它能从管口的A 活动到C ，
又飞回管口A ，求：2
1h h
解析：在全部过程中机械能守恒，取过管口A 和
圆心O 的平面为零势能面，因为小球恰能到达C 处，速
度刚好为0，R h mgR
mgh ==11 则：，小球从C 到A 过程中，做平抛活动，2
:20gt R y t v R s x ===　；
机械能守恒5:4:212122=+=h h mgR mv mgh c 解得： 例7、如图12所示，水平光滑绝缘轨道AB 与半径为R 的光滑绝缘轨道BCD 平滑连接，匀强电场的场强为E ，方向
水平向左，一个质量为m 的带电滑块所受的电场
力等与重力，在A 点由静止释放，它能沿圆轨道
活动到与圆心等高的D 点，
求AB 至多多长方能满足条件？
分析：原型启发：绳模型；
关键：等效重力场中的最高点；
隐含条件；AB 最短，意味着带点体到达等效最高点时，对轨道的压力恰好为o ，向心力由等效重力来提供.
解：在轨道圆心处做mg 与qE 的合力，对角线的反向耽误线与轨道订交于P 处，则P 点为等效重力场的最高点，由题意分析可得：)1()()(2
22R mv qE mg F p
n =+=qE mg = (2)
222
mg
mv p
=∴由动能定理可得：)4(02)sin 1(sin 2
-=
+--p
AB mv mgR qER qEs θθ 联立解得：R s AB )23
1(min += （２）、突变成绩：
在某一瞬间，物体由一种形态变更到另一种形态，从而惹起活动和受力在短时间内发生急剧的变更，物理学上称之为突变成绩.在突变过程中常常陪伴着能量的转移或损耗，绳模型在沿径向张紧瞬间，将其方向上的能量损耗掉；杆模型常常将其能量发生转移.
例8、轻杆长为L ，一端用光滑轴o 固定，另一端系一个可视为质点，质量为m 的小球，把小球拉至图13所示的地
位，无初速度地自在释放到最低处B 的过程中，
小球做什么活动？到最低处时速度多大？弹力
多少？若其它条件不变，把轻杆换为细绳，则释
放后小球做什么活动？到最低处时速度多大？
弹力为多少？
解析：杆与球相连，做非匀速圆周活动，其轨迹为圆的一部分，只要重力做功，故而机械能守恒，拔取最低处为零势能面，则：l mv mg T mv mgl 212112)sin 1(=-=+） （θ (2)
)sin 23()sin 1(2θθ+=++=mg mg mg T ，
即只要重力势能向动能的转化，能干量损耗.
绳连接时，球由A 到C 做自在落体活动，设C 处的速度为c v ，且方向竖直向下，拔取C 点为零能面，
C A 、关于水平线对称：2sin 22c m v m gl =θ (3) 所以在C 处 c v 按图示的方向分解，在绳猛然拉
紧的瞬间，将径向的动能222m v 损耗掉，由C 到B 的过程中，只要重力
做功，机械能守恒，拔取B 点为零能面则：
)3(cos )2(2
1)sin 1(211221 θθc B v v mv mgL mv ==-+∴ 解得：mg T l
mv mg T gl v B B 5.325/2/==-=解得： 则C 处是绳子张紧的突变点.
练习：1、如图14所示，长为2米不成伸长的轻绳，一端系于固定点o ，另一端系一个质量为g m 100=的小球，将小球从o 点正下方m h 4.0=处水平向右抛出，经一段时间绳被拉直，拉直时绳与竖直方向的夹角成053=α，当前小球以o 点为悬点，在竖直平面内摆动，试求在绳被拉直的过程中，沿绳方向上的合力给小球的冲量？(8.053sin 6.053cos 00==　；) 解析：球先做平抛活动，则：s m v s t gt h l s t v l s y x 84.02
153cos ;53sin 02000===-===　；　解得：　s m v v v s m v gs v y x y y y 17222222=+===；　解得：从A 开始向最低点做圆周活动，把v 沿径向和圆弧的切向分解为：21v v 和；径向的动量为0，且：
nNs mv t F 76.002=-=合
2、带电小球用绝缘轻绳吊挂在匀强电场中，电场强度为E ，且mg qE =，将小球拉到图示的地位自在释放，060=θ,求到达最低点时的速度？
关键：（1）清楚各物理过程，和活动的特点和遵守的物理规律，由
A 到C ，做初速度为0的匀加速直线活动，即：g m
mg a 22==gl as v l s AC c AC 222==∴=(1) c v 按图示的方向分解，22212
1mv v v ，则：、能量损耗掉.
是以，区别各模型的特点，分析发生的物理
过程，根据分歧的物理场景，掌控其活动形态，
分析其临界形态下的条件或突变成绩中的“拐
点”，弄清变更和不变的物理量，这是解决此类成绩的关键.
参考书目：《力学基础》漆安慎杜婵英人民教育出版社
《物理思维方法论》阎金铎。