一次函数综合应用(一)
2023年数学中考试题精选：一次函数应用(一)
2023年数学中考试题精选（一）1.(2023.大连22题)为了增强学生身体素质，学校要求男女同学练习跑步，开始时男生跑了50m，女生跑了80m，然后男生女生都开始匀速跑步.已知男生的跑步速度为 4.5m/s，当到达终点时男、女均停止跑步，女生从开始匀速跑到停止跑步共用时120s。
已知x轴表示从开始匀速跑步到停止跑步的时间，y轴代表跑过的路程，则：（1）男女跑步的总路程为________.（2）当男、女相遇时，求此时男、女同学距离终点的距离。
2.（2023.江苏省无锡市26题）某景区旅游商店以20元/kg的价格采购一款旅游食品加工后出售，销售价格不低于22元/kg，不高于45元/kg，经市场调查发现每天的销售量y（kg）与销售价格x（元/kg）之间的函数关系如图所示.（1）求y关于x的函数表达式；（2）当销售价格定为多少时，该商店销售这款食品每天获得的销售利润最大？最大销售利润是多少？【销售利润=（销售价格-采购价格）•销售量】3.(2023.锦州市23题)端午节前夕，某批发部购入一批进价为8元/袋的粽子，销售过程中发现：日销量y（袋）与售价x（元/袋）满足如图所示的一次函数关系。
（1）求y与x之间的函数关系式；（2）每袋粽子的售价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大日销售利润是多少元？3.(2023.湖北黄冈市22题)加强劳动教育，落实五育并举，孝礼中学在当地政府的支持下，建成了一处劳动实践基地. 2023年计划将其中1000m2的土地全部种植甲乙两种蔬菜. 经调查发现：甲种蔬菜种植成本y（单位：元/m2）与其种植面积x（单位：m2）的函数关系如图所示，其中200≤x≤700; 乙种蔬菜的种植成本为50元/m2.（1）当x=____m2时，y=35元/m2；（2）设2023年甲乙两种蔬菜总种植成本为w元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使w最小？（3）学校计划今后每年在这1000m2土地上，均按（2）中方案种植蔬菜，因技术改进，预计种植成本逐年下降，若甲种蔬菜种植成本平均每年下降10%，乙种蔬菜种植成本平均每年下降a%，当a为何值时，2025年的总种植成本为28920元？4.(2023.牡丹江25题)在一条高速公路上依次有A，B，C三地，甲车从A地出发匀速驶向C地，到达C地休息1h后调头（调头时间忽略不计）按原路原速驶向B地，甲车从A地出发1.5h后，乙车从C地出发匀速驶向A地，两车同时到达目的地，两车距A地路程ykm与甲车行驶时间xh之间的函数关系如图所示，请结合图象信息，解答下列问题：（1）甲车行驶的速度是___km/h，乙车行驶的速度是______km/h; （2）求图中线段MN所表示的y与x之间的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围；（3）乙车出发多少小时，两车距各自出发地路程的差是160km？请直接写出答案。
一次函数应用题(选择方案)(一)
一次函数应用题（选择方案）（一）1类型一: 利用函数值的大小选择方案例1 紧俏商品，经过市场调查发现，如果月初出售，可获得15%的利润，并可用本和利再投资其他商品，到月末又可获利10%；如果月末出售可获利30%，但要付存储费700元，请根据商场的资金情况，判断一下选择哪种销售方式获利较多，并说明商场投资25000元时，哪种销售方式获利较多。
2 类型二选择购买方案例2 甲乙两家体育器材商店出售同样地乒乓球拍和乒乓球，球拍每幅定价60元，乒乓求每盒定价10元。
今年世界乒乓球锦标赛期间，两家商店都搞促销活动：甲商店规定每买1副乒乓球拍赠2盒乒乓球；乙商店规定所有商品9折优惠。
某校乒乓球队需要2副乒乓球拍，乒乓球若干盒（不少于4盒）设该校要买乒乓求x盒，所需商品在甲商店购买需用y1元，在乙商店购买需要用y2元。
（1）请分别写出y1、y2与之间的函数解析式（不注明自变量x的取值范围）；（2）对x的取值情况进行分析，试说明在哪一家商店购买所需商品比较便宜；（3）若该校要买2副乒乓球拍和20盒乒乓球，在不考虑其他因素的情况下，请你设计一个最省钱的购买方案。
例3、商店出售茶壶和茶杯，茶壶每只定价为20元，茶杯每只定价为5元，该店制定了两种优惠办法：(1)买一只茶壶送一只茶杯；（2）按总价的92%付款。
某顾客需购茶壶4只，茶杯若干只（不少于4只），若设购买茶杯数为x（只），付款数为y(元)，试分别写出两种优惠办法中y(元)与x（只）之间的函数解析式，并讨论两种办法中哪种更省钱。
3类型三选择生产方案问题例4、某工厂生产某种产品，每件产品出厂价为1万元，其原材料成本价（含其他损耗）为0.55万元，同时在生产过程中平均每生产一件产品有1吨的废渣产出，为达到国家环保要求，需要对废渣进行处理，现有两种方案可供选择：方案一：由工厂对废渣直接处理，每处理1吨废渣所用的原料费为0.05万元，并且每月设备维护及损耗费为20万元。
方案二：工厂将废渣集中到废渣厂处理，每处理一吨需付0.1万元的处理费。
一次函数的综合应用
一次函数的综合应用一、求一次函数解析式及与坐标轴围成的面积1、直线b kx y +=过点A （－1，5）和点)5,(-m B 且平行于直线x y -=，O 为坐标原点，求AOB ∆的面积.2、 如图，所示，一次函数b kx y +=的图像经过A ，B 两点，与x 轴交于C 求：（1）一次函数的解析式； （2）AOC ∆的面积3、已知:直线42-=x y 与直线3+=x y ,它们的交点C 的坐标是________,设两直线与x 轴分别交于A,B,则S ΔABC=_______,设两直线与y 轴交于P,Q,则S ΔPCQ=_________.4、一次函数411-=x k y 与正比例函数x k y 22=的图象都经过(2,-1),则这两个函数的图象与x 轴围成的三角形面积是________.5、已知直线y kx b =+经过点A （0，6），且平行于直线2y x =-.（1）求该函数的解析式，并画出它的图象； （2）如果这条直线经过点P （m ，2），求m 的值； （3）若O 为坐标原点，求直线OP 解析式；（4）求直线y kx b =+和直线OP 与坐标轴所围成的图形的面积。
6、6、如图，直线y ＝-34x+4与y 轴交于点A ，与直线y ＝54x+54交于点B ，且直线y ＝54x+54与x 轴交于点C ，求△ABC 的面积。
7、如图，在平面直角坐标系xoy 中，已知一次函数4y x =-+的图象与过点()0,2A 、()3,0B -的直线交于点P ，与x 轴、y 轴分别相交于点C 和点D 。
（1）求直线AB 的函数解析式及点P 的坐标。
（2）连接AC ，求PAC ∆的面积。
OxyPD CBA二、已知直线与坐标轴围成的面积，求相关字母的值和函数解析式8、直线b x y +=2与坐标轴围成的三角形的面积是9,求函数解析式。
9、已知直线y kx b =+经过点5,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，且与坐标轴所围成的三角形面积为254，求该直线的解析式。
一次函数综合应用(习题及解析)精选全文
精选全文完整版（可编辑修改）一次函数综合应用（习题及解析）例题示范例 1：一次函数 y=kx+b 的图象经过点 A(0，3)，且与正比例函数y=-x 的图象相交于点 B，点 B 的横坐标为-1，求一次函数的表达式．思路分析：从完整的表达式入手，由正比例函数过点 B，可得 B 点坐标，然后由一次函数 y=kx+b 的图象经过点 A，B，待定系数法求解．解：∵点 B 在正比例函数 y=-x 的图象上，且点 B 的横坐标为-1∴B(-1，1)将 A(0，3)，B(-1，1)代入 y=kx+b，得b 3k b 1k 2b 3∴一次函数的表达式为 y=2x+3．巩固练习一次函数 y=2x+a 和 y=-x+b 的图象都经过点 A(-2，0)，且与 y 轴分别交于点 B，C，那么△ABC 的面积为．直线 y=kx+b 和直线 y 1 x 3 与 y 轴的交点相同，且经2过点(2，-1)，那么这个一次函数的表达式是．一次函数 y=kx-3 经过点 M，那么此直线与 x 轴、y 轴围成的三角形的面积为．在平面直角坐标系中，O 为原点，直线 y=kx+b 交 x 轴于点A(-2，0)，交 y 轴于点 B、假设△AOB 的面积为 8，那么 k 的值为直线 y=kx+1，y 随 x 的增大而增大，且与直线 x=1，x=3以及 x 轴围成的四边形的面积为 10，那么 k 的值为．一次函数 y=kx+b 的图象经过点(0，2)，且与坐标轴围成的三角形的面积为 2，那么这个一次函数的表达式是如图，在平面直角坐标系中，一次函数 y 1 x 6 的图象与2x 轴、y 轴分别交于点 A，B，与正比例函数 y=x 的图象交于第一象限内的点 C、〔1〕求 A，B，C 三点的坐标；〔2〕S△AOC= ．如图，直线 y=2x+3 与直线 y=-2x-1 相交于 C 点，并且与 y 轴分别交于 A，B 两点．〔1〕求两直线与 y 轴交点 A，B 的坐标及交点 C 的坐标；〔2〕求△ABC 的面积．一次函数 y=2x-3 的图象与 y 轴交于点 A，另一个一次函数图象与 y 轴交于点 B，两条直线交于点 C，C 点的纵坐标为 1，且 S△ABC=5，求另一条直线的解析式．一次函数 y=kx+b 的图象经过点(0，10)，且与正比例函数y 1 x 的图象相交于点(4，a)．2〔1〕求一次函数 y=kx+b 的解析式；〔2〕求这两个函数图象与 y 轴所围成的三角形的面积．如图，直线 y=kx+4 与 x 轴、y 轴分别交于点 A，B，点 A的坐标为(-3，0)，点 C 的坐标为(-2，0)．〔1〕求 k 的值；〔2〕假设 P 是直线 y=kx+4 上的一个动点，当点 P 运动到什么位置时，△OPC 的面积为 3？请说明理由．【参考答案】巩固练习1.6 2.y=-2x+3 3.9 44.4 或-4 5.2 6. y x 2或y ﹣x 2 7.〔1〕A(12，0)，B(0，6)，C(4，4) 〔2〕24 8.〔1〕A(0，3) B(0，-1) C(-1，1)；〔2〕2 9. y 1 x 2 或 y 9 x 8 2 210. 〔1〕 y 2x 10 〔2〕2011. 〔1〕 k 在这一学年中，不仅在业务能力上，还是在教育教学上都有了一定的提高。
一次函数的综合应用分段函数
0.5 2.5
1 5
1.5 7.5
2 10
2.5 12
3 14
3.5 16
4 18
… …
（2）写出购买种子数量与付款金额之间的函数解析式，并画出函数图象。 解：设购买种子数量为x千克，付款金额为y元。
当0≤x ≤2时，y=5x。 当x ＞2时，y=4（x-2）+10=4x+2
y（元）
14 10
y=4x+2
则他在该月份的上网时间__________．
解：（1）由图像得当0≤x≤30时，y=60 所以4月份上网20小时，应付上网费60元
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(2) 当x≥30时，设函数解析式为y=kx+b，
k=3 b= -30
∵函数图像经过 A(30，60), C(40，90)两点， 30k+b=60 40k+b=90
20k+b =1000 30k+b =4000 (2)设函数解析式为y=kx+b,由图像知 4000 3000 2000
解得:
k=300 b=-5000
1000
10 20 30 x(t)
0 ∴当x≥20时，y与x之间的函数解析式是y=300x-5000.
(3)由图知 当 y=7000 时，在函数 y=300x-5000 上，所以将
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例2.某农户种植种经济作物，总用水量y(m3)与种植时间x(天）之间的函数 关系式如图所示。
（1）第20天的总用水量为多少米3？
（2）当x≥20时，求y与x之间的函数解析式； （3）种植时间为多少天时，总用水量达到7000米3 。 y(m3) 3 解：(1) 由图像可知，第20天的总用水量为1000米 当 x≥20 时函数经过点 （20,1000） 及 点 （30,4000），将两点代入 y=kx+b 得
一次函数的综合应用含答案
∙某服装店老板到厂家选购A、B两种型号的服装，它们的进价及获利如表所示．型号 A B进价(元/件) 90 120获利(元/件) 20 22∙(1)根据市场需求，服装店老板决定，购进B型服装的数量要比购进A型服装数量的2倍少3件，且A型服装最多可购进28件，这样服装全部售出后，可使总的获利不少于1534元．问有几种进货方案？请求出所有的进货方案．(2)采用哪种方案时，可获得最大利润，最大利润为多少？解：（1）设购进A型服装a件，则购进B型服装（2a-3）件．由题意，得，解之得25≤a≤28．故有4种进货方案：①购进A型服装25件，B型服装47件；②购进A型服装26件，B型服装49件；③购进A型服装27件，B型服装51件；④购进A型服装28件，B型服装53件；（2）设购进A型服装a件时，所获利润为y元，则y=20a+22（2a-3）=64a-66，∵y随a的增大而增大，∴当a=28时，y=64×28-66=1726元．最大故购进A型服装28件，B型服装53件时，可获得最大利润，最大利润为1726元．解析：（1）设购进A型服装a件，则购进B型服装（2a-3）件，根据A型服装最多可购进28件，可以得到不等式a≤28，根据总的获利不少于1534元可以列出不等式20a+22（2a-3）≥1534，联立两个不等式组成不等式组，解不等式组就可以求出进货方案；（2）设购进A型服装a件时，所获利润为y元．先根据利润=出售A型服装的利润+出售B型服装的利润，列出y关于a的函数关系式，再根据函数的性质求解．∙某牛奶公司计划在三栋楼之间建一个取奶站，三栋楼在一条直线上，顺次为A楼、B楼、C楼，其中A楼与B楼之间的距离为40米，B楼与C楼之间的距离为60米、已知A楼每天有20人取奶，B楼每天有70人取奶，C 楼每天有60人取奶，公司提出两种建站方案：方案一：让每天所有取奶的人到奶站的距离最小；方案二：让每天A楼与C楼所有取奶的人到奶站的距离之和等于B楼所有取奶的人到奶站的距离之和，(1)若按第一种方案建站，取奶站应建在什么位置？(2)若按方案二建站，取奶站应建在什么位置？(3)在(2)的情况下，若A楼每天取奶的人数增加，增加的人数不超过22人，那么取奶站将离B楼越来越远，还是越来越近？请说明理由．解：（1）设取奶站建在距A楼x米处，所有取奶的人到奶站的距离总和为y米．①当0≤x≤40时，y=20x+70（40-x）+60（100-x）=-110x+8800∴当x=40时，y的最小值为4400，②当40＜x≤100，y=20x+70（x-40）+60（100-x）=30x+3200此时，y的值大于4400因此按方案一建奶站，取奶站应建在B处；（2）设取奶站建在距A楼米处，①0≤x≤40时，20x+60（100-x）=70（40-x）解得x=-＜0（舍去）②当40＜x≤100时，20x+60（100-x）=70（x-40）解得：x=80因此按方案二建奶站，取奶站建在距A楼80米处．（3）设A楼取奶人数增加a人①当0≤x≤40时，（20+a）x+60（100-x）=70（40-x）解得x=-（舍去）．②当40＜x≤100时，（20+a）x+60（100-x）=70（x-40），解得x=．∴当a增大时，x增大．∴当A楼取奶的人数增加时，按照方案二建奶站，取奶站建在B、C两楼之间，且随着人数的增加，离B楼越来越远解析：（1）设取奶站建在距A楼x米处，所有取奶的人到奶站的距离总和为y米，求出在各函数在自变量下的最小值，（2）设取奶站建在距A米处，列出等量关系式，解得x．（3）设A楼取奶人数增加a人，在各个自变量下，解得x与a的关系∙一手机经销商计划购进某品牌的A型、B型、C型三款手机共60部，每款手机至少要购进8部，且恰好用完购机款61000元．设购进A型手机x部，B型手机y部．三款手机的进价和预售价如下表：手机型号A型B型C型进价(单位：元/部) 900 1200 1100预售价(单位：元/部) 1200 1600 1300∙(1)用含x，y的式子表示购进C型手机的部数；(2)求出y与x之间的函数关系式；(3)假设所购进手机全部售出，综合考虑各种因素，该手机经销商在购销这批手机过程中需另外支出各种费用共1500元．①求出预估利润P(元)与x(部)的函数关系式；(注：预估利润P=预售总额-购机款-各种费用)②求出预估利润的最大值，并写出此时购进三款手机各多少部．分析：（1）关键描述语：A型、B型、C型三款手机共60部，由A、B型手机的部数可表示出C型手机的部数．（2）根据购机款列出等式可表示出x、y之间的关系．（3）①由预估利润P=预售总额-购机款-各种费用，列出等式即可．②根据题意列出不等式组，求出购买方案的种数，预估利润最大值即为合理的方案．解答：解：（1）60-x-y；（2）由题意，得900x+1200y+1100（60-x-y）=61000，整理得y=2x-50．（3）①由题意，得P=1200x+1600y+1300（60-x-y）-61000-1500，P=1200x+1600y+78000-1300x-1300y-61000-1500，P=-100x+300y+15500，P=-100x+300（2x-50）+15500，整理得P=500x+500．②购进C型手机部数为：60-x-y=110-3x．根据题意列不等式组，得，解得29≤x≤34．∴x范围为29≤x≤34，且x为整数．∵P是x的一次函数，k=500＞0，∴P随x的增大而增大．∴当x取最大值34时，P有最大值，最大值为17500元．此时购进A型手机34部，B型手机18部，C型手机8部．点评：此题结合图表，以手机销售为载体，考查了根据实际问题列函数解析式的问题．（1）、（2）两题较简单，容易列出表达式和一次函数解析式，主旨是为（3）提供思路；（3）根据前两题的关系式及“每款手机至少要购进8部”的条件，列出不等式组，求出x的取值范围，然后根据一次函数的增减性求出利润最大值．为了扶持大学生自主创业，市政府提供了80万元无息贷款，用于某大学生开办公司生产并销售自主研发的一种电子产品，并约定用该公司经营的利润逐步偿还无息贷款．已知该产品的生产成本为每件40元，员工每人每月的工资为2500元，公司每月需支付其它费用15万元．该产品每月销售量y(万件)与销售单价x(元)之间的函数关系如图所示．(1)求月销售量y(万件)与销售单价x(元)之间的函数关系式；(2)当销售单价定为50元时，为保证公司月利润达到5万元(利润=销售额-生产成本-员工工资-其它费用)，该公司可安排员工多少人？(3)若该公司有80名员工，则该公司最早可在几个月后还清无息贷款？分析：（1）从图中看，这是一个分段一次函数，40≤x≤60和60＜x≤80时，函数的表达式不同，每段函数都经过两点，使用待定系数法即可求出函数关系式；（2）利用（1）中的函数关系，当销售单价定为50元时，可计算出月销售量，设可安排员工m人，利润=销售额一生产成本-员工工资-其它费用，列出方程即可解；（3）先分情况讨论出利润的最大值，即可求解．解答：解：（1）当40≤x≤60时，令y=kx+b，则，解得，故，同理，当60＜x≤80时，．故y=；（2）设公司可安排员工a人，定价50元时，由5=（-×50+8）（50-40）-15-0.25a，得30-15-0.25a=5，解得a=40，所以公司可安排员工40人；（3）当40≤x≤60时，利润w=（-x+8）（x-40）-15-20=-（x-60）2+5，1=5万元；则当x=60时，wmax当60＜x≤80时，=（-x+5）（x-40）-15-0.25×80w2=-（x-70）2+10，=10万元，∴x=70时，wmax∴要尽早还清贷款，只有当单价x=70元时，获得最大月利润10万元，设该公司n个月后还清贷款，则10n≥80，∴n≥8，即n=8为所求．点评：本题主要考查学生利用待定系数法求解一次函数关系式，一次函数与一次不等式的应用，是一道综合性较强的代数应用题，能力要求比较高．∙根据题意设解析式y=kx+b，把（5，12），（8，15.6）代入即可求出k，b 的值，即得到解析式y=1.2x+6，把x=0代入即可求出答案．∙宾馆厨房的桌子上整齐叠放着若干只形状一样的碗，它的主视图如图，请你画出它的俯视图．设叠放这种碗x只叠放高度为y厘米，经实验发现，当叠放这种碗5只时，叠放高度为12厘米；当叠放这种碗8只时，叠放高度为15.6厘米．求y(厘米)与x(只)之间的函数关系，并指出这种碗的深度是多少？∙解答：解：它的俯视图是：设y=kx+b，把（5，12），（8，15.6）代入得：，解得：k=1.2，b=6，∴y=1.2x+6，当x=0时，y=6，所以y与x之间的函数关系是y=1.2x+6，这种碗的深度是6厘米．点评：本题主要考查了一次函数的性质，解此题的关键是把实际问题转化成数学问题．用到的数学思想是转化思想某电信公司开设了甲、乙两种市内移动通信业务．甲种使用者每月需缴15元月租费，然后每通话1分钟，再付话费0.3元；乙种使用者不缴月租费，每通话1分钟，付话费0.6元．若一个月内通话时间为x分钟，甲、乙两种的费用分别为y1和y2元．(1)试求一个人要打电话30分钟，他应该选择那种通信业务？(2)根据一个月通话时间，你认为选用哪种通信业务更优惠？解：（1）甲：15+0.3×30=24（元），乙：0.6×30=18（元），∵18＜24，∴选择乙种通信业务；（2）y1=15+0.3x，y2=0.6x，当y1＞y2即15+0.3x＞0.6x时，x＜50，当y1=y2即15+0.3x=0.6x时，x=50，当y1＜y2即15+0.3x＜0.6x时，x＞50，所以，当通话时间小于50分钟时，选择乙种通信业务更优惠，当通话时间等于50分钟时，选择两种通信业务一样，当通话时间大于50分钟时，选择甲种通信业务更优惠．∙(2008•陕西)生态公园计划在园内的坡地上造一片有A，B两种树的混合林，需要购买这两种树苗2000棵，种植A，B两种树苗的相关信息如表．品种项目单价(元/棵) 成活率劳务费(元/棵)A 15 95% 3B 20 99% 4∙设购买A种树苗x棵，造这片林的总费用为y元，解答下列问题：(1)写出y(元)与x(棵)之间的函数关系式；(2)假设这批树苗种植后成活1960棵，则造成这片林的总费用需多少元？分析：（1）A种树苗为x棵时，B种树苗为2000-x棵，根据题意容易写出函数关系式；（2）根据题意，成活1960棵，即0.95x+0.99（2000-x）=1960，可计算出此时x的值，再代入（1）中的函数关系式中就可计算出总费用．解答：解：（1）y=（15+3）x+（20+4）（2000-x），=18x+48000-24x，=-6x+48000；（2）由题意，可得0.95x+0.99（2000-x）=1960，∴x=500．当x=500时，y=-6×500+48000=45000，∴造这片林的总费用需45000元．点评：此题不难，关键要仔细审题，懂得把B种树苗用A种树苗为x表示出来，即（2000-x）∙∙(2003•武汉)小强在劳动技术课中要制作一个周长为80cm的等腰三角形，请你写出底边长y(cm)与一腰长x(cm)的函数关系式，并求出自变量x的取值范围．分析：我们知道等腰三角形的周长=腰长×2+底长．据此可得出函数关系式．求自变量的取值范围时可根据三角形的三边关系来解（三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边）．解答：解：由题意，函数关系式为：y=80-2x∵x+x=2x＞y∴0＜y=80-2x＜2x，解得20＜x＜40∴y=80-2x（20＜x＜40）．点评：本题考查了一次函数的应用，本题中求自变量的取值范围时要注意三角形三边关系的运用．∙∙(2001•河北)甲乙两辆汽车在一条公路上匀速行驶．为了确定汽车的位置，我们用数轴Ox表示这条公路，原点O为零千米路标(如图)，并作如下约定：①速度v＞0．表示汽车向数轴正方向行驶；速度v＜0，表示汽车向数轴负方向行驶；速度v=0，表示汽车静止．②汽车位置在数轴上的坐标s＞0，表示汽车位于零千米路标的右侧；汽车位置在数轴上的坐标s＜0，表示汽车位于零千米路标的左侧；汽车位置在数轴上的坐标s=0，表示汽车恰好位于零千米路标处．遵照上述约定，将这两辆汽车在公路上匀速行驶的情况，以一次函数图象的形式画在了同一直角坐标系中，如图请解答下列问题：(1)就这两个一次函数图象所反映的两汽车在这条公路上行驶的状况填写如下的表格．行驶方向速度的大小(km/h) 出发前的位置甲车乙车(2)甲乙两车能否相遇如能相遇，求相遇时的时刻及在公路上的位置；如不能相遇，）已知甲乙两车的函数解析式，列方程组求出t，s的值即可．解答：解：（1）甲车：x轴的负方向（向左），零千米路标右侧190千米；乙车：x轴的正方向（向右），零千米路标左侧80千米处．行驶方向速度的大小（km/h）出发前的位置甲车向左40 零千米路标右侧190千米乙车向右50 零千米路标左侧80千米处（2）甲乙两车相遇．设甲乙两车经过t小时相遇，则可得所以经过3小时两车相遇，相遇在零千米路标右侧70千米处．点评：本题通过考查一次函数的应用来考查从图象上获取信息的能力．请说理由．甲、乙两地相距300km，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地，如图，线段OA 表示货车离甲地距离y(km)与时间x(h)之间的函数关系，折线BCDE表示轿车离甲地距离y(km)与时间x(h)之间的函数关系，请根据图象，解答下列问题：(1)线段CD表示轿车在途中停留了 h；(2)求线段DE对应的函数解析式；(3)求轿车从甲地出发后经过多长时间追上货车．解：（1）利用图象可得：线段CD表示轿车在途中停留了：2.5-2=0.5小时；（2）根据D点坐标为：（2.5，80），E点坐标为：（4.5，300），代入y=kx+b，得：80=2.5k+b 300=4.5k+b ，解得：k=110 b=-195 ，故线段DE对应的函数解析式为：y=110x-195；（3）∵A点坐标为：（5，300），代入解析式y=ax得，300=5a，解得：a=60，故y=60x，当60x=110x-195，解得：x=3.9小时，答：轿车从甲地出发后经过3.9小时追上货车．托盘秤是日常生活中一种常见的称重仪器(如图)．小华同学发现刻度盘上的顺时针指针偏离0刻度的角度与托盘上物体重量符合一次函数关系，并制作了下表．请你帮助小华同学解决下列问题：(1)在横线上的单元格中填上适当数或代数式：(2)利用上表发现的规律计算：①当托盘上的物体的重量是7.5kg时，指针顺时针偏离0刻度多少度？②当指针从0刻度顺时针旋转306度时，托盘上物体的重量是多少？托盘上物体的重量/kg 0 1 ...5 ...10 (x)刻度盘上指针顺时针偏离0刻度的角度/度0 _____ …90 …180 …_____答案：18 18x解析：（1）根据表格中的数据，利用待定系数法求得一次函数解析式，然后把x=1代入函数解析式，求得相应的y值；（2）①把x=7.5代入（1）中的函数解析式，求得相应的y的值；②把y=306代入（1）中的函数解析式，求得相应的x的值．解：（1）设刻度盘上的顺时针指针偏离0刻度的角度与托盘上物体重量的一次函数关系式为y=kx+b（k≠0），则，解得，则该一次函数解析式为：y=18x．所以当x=1时，y=18．故答案是：18；18x；（2）由（1）知，y=18x．①当x=18时，y═18×7.5=135（度）．即当托盘上的物体的重量是7.5 kg时，指针顺时针偏离0刻度的角度是135度；②当y=306时，x═306÷18=17．即当指针从0刻度顺时针旋转306度时，托盘上物体的重量是17kg．某工厂2010年、2011年、2012年的产值连续三年呈直线上升，具体数据如表：年份2010 2011 2012产值则2011年的产值为()．答案：解：设这个一次函数解析式为y=kx+a，∵（2，2a）在它上面，∴2k+a=2a，解得k=a，∴y=ax+a，当x=1时，y=a．故答案为a．解析：设一次函数解析式为y=kx+a，然后把（2，2a）代入求得k的值，进而把x=1代入可得2011年的产值某化妆公司每月付给销售人员的工资有两种方案．方案一：没有底薪，只拿销售提成；方案二：底薪加销售提成．为方案设x(件)是销售商品的数量，y(元)是销售人员的月工资．如图所示，y1为方案二的函数图象．已知每件商品的销售提成方案二比方案一的函数图象，y2一少7元．从图中信息解答如下问题(注：销售提成是指从销售每件商品得到的销售费中提取一定数量的费用)：的函数解析式；(1)求y1(2)请问方案二中每月付给销售人员的底薪是多少元？(3)如果该公司销售人员小丽的月工资要超过1000元，那么小丽选用哪种方案最好，至少要销售商品多少件？答案：分析：（1）因为该函数图象过点（0，0），（30，720），所以该函数是正比例函数，利用待定系数法即可求解．（2）因为每件商品的销售提成方案二比方案一少7元，所以设y的函数解析式2为y=ax+b（x≥0），则a=24-7=17，又因该图象过点（30，960），把该点的坐标代入，即可求出b的值，从而求出答案．（3）利用（1）、（2）中求出的两函数的解析式，利用不等式求出即可，即可写出选择的最好方案，并利用该方案涉及的函数解析式，利用不等式即可求出至少要销售多少商品．的函数解析式为y=kx（x≥0）．（1分）解答：解：（1）设y1∵y经过点（30，720），1∴30k=720．∴k=24．（2分）的函数解析式为y=24x（x≥0）．（3分）∴y1（2）设y的函数解析式为y=ax+b（x≥0），它经过点（30，960），2∴960=30a+b．（4分）∵每件商品的销售提成方案二比方案一少7元，∴a=24-7=17．（5分）∴960=30×17+b．∴b=450，即方案二中每月付给销售人员的底薪为450元．（6分）（3）由（2），得y的函数解析式为y=17x+450（x≥0）．2当17x+450＞1000，∴x＞，=24x，由y1当24x＞1000，得x＞41，当17x+450＞24x，解得：x＜64，则当33＜x＜65时，小丽选择方案二较好，小丽至少要销售商品33件；当销量超过65件时，小丽选择方案一比较好，小丽至少销售商品65件．点评：本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及一次函数与一元一次不等式关系的知识，充分利用图象中数据信息，正确应用待定系数法求解析式以及构造不等式是解题关键甲、乙两人沿相同的路线由A到B匀速行进，A、B两地间的距离为20km．他们行进的路程s(km)与甲出发后的时间t(h)之间的函数图象如图所示．(1)甲走完全程所用的时间为______小时；(2)乙行走的速度为______；(3)当乙行走了多少时间，他们两人在途中相遇？答案：4；20km/h．解析：分析：（1）由于A、B两地间的距离为20km，由图象可知，当s=20时，甲中对应的t值为4，即甲走完全程需要用4小时；（2）由图象可知，乙1小时走了20千米，从而求出乙行走的速度；（3）分别写出甲乙所走路线的函数关系式，求出交点的横坐标即为答案．解答：解：（1）由图象可知，甲走完全程所用的时间为4小时；（2）由图象可知，乙行走的速度为：=20（km/h）；=kx，由图知：4k=20，k=5，（3）设y甲=5x；∴y甲=mx+n，由图知：设y乙，解得=20x-20．∴y乙两人在途中相遇，则5x=20x-20，解得x=．-1=h．答：当乙行走了h，他们两人在途中相遇．某市是重要石油生产基地，该市甲公司只负责向乙市管道输送石油，且乙市全部石油只由甲公司提供．2010年甲公司的石油日生产量保持不变，乙市的石油日消耗量也保持不变，如图是2010年10月初甲公司又一次启动向乙市输送石油开始统计，得到的甲公司与乙市各自的石油储备总量y(吨)与时间x(天)之间的函数关系图象．通过分析图象回答下列问题：(1)甲公司的石油日生产量为多少吨？(2)乙市的石油日消耗量为多少吨？甲公司向乙市的石油日输出量为多少吨？(3)请直接写出射线AB的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围)．答案：分析：（1）利用第15天甲公司石油储备总量为：8200吨，第5天时，甲公司石油储备总量为：5000吨，得出甲公司的石油日生产量即可；（2）利用第10天乙公司石油储备总量为：3000吨，开始时，乙公司石油储备总量为：6000吨，得出乙公司的石油日消耗量，进而得出甲公司向乙市的石油日输出量；（3）利用D点坐标为：（0，6000），C点坐标为：（10，3000）得出直线CD 的解析式，进而得出A点坐标为，求出射线AB的解析式即可．解答：解：（1）根据图象可以得出：第15天甲公司石油储备总量为：8200吨，第5天时，甲公司石油储备总量为：5000吨，得出甲公司的石油日生产量为（8200-5000）÷10=320吨；（2）根据图象可以得出：第10天乙公司石油储备总量为：3000吨，开始时，乙公司石油储备总量为：6000吨，得出乙公司的石油日消耗量为：（6000-3000）÷10=300吨；根据前5天甲公司输出石油：20000-5000+320×5=16600（吨），则甲公司向乙市的石油日输出量为16600÷5=3320吨；（3）根据已知得出15天后，直线AB与直线CD平行，∵D点坐标为：（0，6000），C点坐标为：（10，3000），设解析式为：y=kx+b，得：，解得：，故CD直线解析式为：y=-300x+6000，则射线AB解析式为：y=-300x+h，∵C点坐标为（10，3000），A点纵坐标为：16600+3000-5×300=18100，∴A点坐标为：（15，18100），代入y=-300x+h，得：18100=-300×15+b，解得：b=22600，故射线AB的函数解析式为：y=-300x+22600．点评：此题主要考查了一次函数的应用中函数图象与实际结合的问题，根据已知利用图象得出甲公司日生产量与乙市日消耗量是解题关键．。
一次函数综合应用(讲义及解析)
一次函数综合应用（讲义及解析）课前预习如图，直线 l1 的表达式为 y=-3x+3，且 l1 与 x 轴相交于点 D，直线 l 2 经过 A，B 两点，直线 l1，l2 相交于点 C、〔1〕点 D 的坐标为；〔2〕直线 l2 的表达式为；〔3〕点 C 的坐标为．如图，在平面直角坐标系中，点 A(2，0)，点 B(0，4)．〔1〕△AOB 的面积为；〔2〕点 P 是 y 轴上一点，假设S为．△AOP 1S2△AOB，那么点 P的坐标知识点睛一次函数综合题，往往涉及到多个函数及坐标间的相互转化，梳理信息，理解题意是其关键：理解题意：①确定坐标与表达式间的对应关系；②函数图象不确定时，考虑分类讨论．具体操作：从完整表达式或坐标入手，利用代入或联立的方式进行相互转化．精讲精练直线 l1 与 l2 相交于点 P，直线 l1 的表达式 y=2x+3，点 P 的横坐标为-1，且 l2 交 y 轴于点 A(0，-1)．那么直线 l2 的表达式为．函数 y 1 x b 的图象与 x 轴、y 轴分别交与点 A，B，3与函数 y=x 的图象交于点 M，点 M 的横坐标为 3，那么点 A 的坐标为．一次函数 y=kx+b 的图象经过点(-2，5)，且与 y 轴相交于点 P，直线与 y 轴相交于点 Q，点 Q 恰与点 P 关于 x 轴对称，那么这个一次函数的表达式为．如图，直线 l1：y=2x+3，直线 l2：y=-x+5，直线 l1，l2 与x 轴分别交于点 B，C，l1，l2 相交于点 A、那么 S△ABC= ．如图，直线 y=2x+m〔m>0〕与 x 轴交于点 A(-2，0)，直线y=-x+n 〔n>0〕与 x 轴、y 轴分别交于点 B，C 两点，并与直线 y=2x+m〔m>0〕相交于点 D，假设 AB=4．〔1〕求点 D 的坐标；〔2〕求出四边形 AOCD 的面积．直线 y mx 3 中，y 随 x 的增大而减小，且与直线 x=1，x=3 和 x 轴围成的四边形的面积为 8，那么 m=_ ．直线 y kx 6 经过第【一】【三】四象限，且与直线 x=-1， x=-3 和 x 轴围成的四边形的面积为 16，那么 k=_ ．如图，直线 y=x+2 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B、〔1〕求 A，B 两点的坐标；〔2〕过点 B 作直线 BP，与 x 轴交于点 P，且使 PO=2AO，求直线 B P 的表达式．直线 y=kx+b 经过点(5，0)，且与坐标轴所围成的三角形的面积为 2 0，那么该直线的表达式为．假设一次函数 y=kx+3 的图象与坐标轴的两个交点间的距离为5，那么 k 的值为．正比例函数和一次函数的图象都经过点 M(3，4)，且正比例函数和一次函数的图象与 y 轴围成的面积为15 ，求此正比2例函数和一次函数的解析式．如图，直线 y=kx+6 与 x 轴、y 轴分别交于点 E，F，点 E的坐标为(8，0)，点 A 的坐标为(6，0)．〔1〕求 k 的值；〔2〕假设 P 是直线 y=kx+6 上的一个动点，当点 P 运动到什么位置时，△OPA 的面积为 9？请说明理由．如图，在平面直角坐标系中，直线 y x 1与 y 3 x 3相交4于点 A，两直线与 x 轴分别交于点 B 和点 C，D 是直线 AC 上的一个动点．〔1〕求点 A，B，C 的坐标；〔2〕当 BD=CD 时，求点 D 的坐标；〔3〕假设△BDC 的面积是△ABC 面积的 2 倍，求点 D 的坐标．。
初二数学一次函数综合运用(含答案)
一次函数综合应用例题精讲一、一次函数的实际应用【例1】 2007年5月，第五届中国宜昌长江三峡国际龙舟拉力赛在黄陵庙揭开比赛帷幕．20日上午9时，参赛龙舟从黄陵庙同时出发．其中甲、乙两队在比赛时，路程y （千米）与时间x （小时）的函数关系如图所示．甲队在上午11时30分到达终点黄柏河港． ⑴哪个队先到达终点？乙队何时追上甲队？ ⑵在比赛过程中，甲、乙两队何时相距最远？【答案】⑴乙队先达到终点，对于乙队，1x =时，16y =，所以16y x =，对于甲队，出发1小时后，设y 与x 关系为y kx b =＋将1x =，20y =和 2.5x =，35y =分别代入上式得： 2035 2.5k bk b =+⎧⎨=+⎩解得：1010y x =＋解方程组161010y x y x =⎧⎨=+⎩ 得：53x =，即：出发1小时40分钟后（或者上午10点40分）乙队追上甲队． ⑵1小时之内，两队相距最远距离是4千米，乙队追上甲队后，两队的距离是16(1010)610x x x -+=-，当x 为最大，即3516x =时，610x -最大，此时最大距离为35610 3.125416⨯-=<，（也可以求出AD CE 、的长度，比较其大小）所以比赛过程中，甲、乙两队在出发后1小时（或者上午10时）相距最远【例2】 如图表示甲、乙两名选手在一次自行车越野赛中，路程y （km ）随时间x （min ）的变化的图像（全程），根据图像回答以下问题：⑴求比赛开始多少分钟时，两人第一次相遇？ ⑵求这次比赛的全程是多少？⑶求比赛开始多少分钟时，两人第二次相遇？【答案】⑴由图可知，线段OD 过点481200（，）（，，）可知其解析式为14y x =，他们相遇时6y =，此时x 故比赛开始24分钟时，两人第一次相遇．时间/时⑵由图可知，这次比赛的全程为12km ．⑶点B （33，7）、点C （43，12），故线段BC 的解析式为：()1192y x =-，而线段OD 的解析式为()10484y x =<<，故它们的交点坐标为（38，192），即比赛开始38分钟时，两人第二次相遇． 【例3】 为了保护环境，某企业决定购买10台污水处理设备，现有A B ，两种型号的设备，其中每台的价格、月处理污水量及年消耗费如下表：⑴求购买设备的资金y 万元与购买A 型x 台的函数关系，并设计该企业有几种购买方案； ⑵若企业每月产生的污水量为2040吨，利用函数的知识说明，应选择哪种购买方案；⑶在第⑵问的条件下，若每台设备的使用年限为10年，污水厂处理污水费为每吨10元，请你计算，该企业自己处理污水与将污水排到污水厂处理相比较，10年节约资金多少万元？（注：企业处理污水的费用包括购买设备的资金和消耗费）【答案】⑴购买污水处理设备A 型x 台，则B 型()10x -台，由题意知：()121010y x x =+-，即2100y x =+，2100105y x =+≤，∴ 2.5x ≤ 又∵x 是非负整数，∴x 可取0,1,2 ∴有三种购买方案：①购A 型D 台，B 型10台；②购A 型1台，B 型9台；③购A 型2台，B 型8台； ⑵由题意得()240200102040x x +-≥，解得1x ≥∴x 为1或2，∵由2100y x =+得20k =>，y 随x 的增大而增大． 为了节约资金，应选购A 型1台，B 型9台．⑶10年企业自己处理污水的总资金为：1021010202+⨯=（万元） 若将污水排到污水厂处理，10年所需费用为： 20401210102448000⨯⨯⨯＝（元）244.8=（万元）∵244.820242.8-=（万元），∴能节约资金42.8万元．【例4】 某汽车运输公司根据实际需要计划购买大、中型两种客车共20辆，已知大型客车每辆62万元，中型客车每辆40万元，设购买大型客车x （辆），购车总费用为y （万元）． ⑴求y 与x 的函数关系式（不要求写出自变量x 的取值范围）；⑵若购买中型客车的数量少于大型客车的数量，请你给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用．【答案】⑴因为购买大型客车x 辆，所以购买中型客车()20x -辆．()62402022800y x x x =+-=+⑵依题意得()20x x -<.解得10x >．∵ 22800y x =+，y 随着x 的增大而增大，x 为整数， ∴ 当11x =时，购车费用最省，为22×11+800=1 042（万元）． 此时需购买大型客车11辆，中型客车9辆．答：购买大型客车11辆，中型客车9辆时，购车费用最省，为1042万元．二、一次函数与几何综合【例5】 已知直线3y x =+的图象与x y 、轴交于A B 、两点，直线l 经过原点，与线段AB 交于点C ，把AOB ∆的面积分为2:1的两部分，求直线l 的解析式。
一次函数综合应用
初三年级数学第一讲二次函数与三角形综合2月1-2日一、知识要点1.与等腰三角形、直角三角形结合（1）问题：已知点A、B和直线l，在l上求点P，使△PAB为等腰三角形作图：万能法：分别表示出A,B,P的坐标，再分别表示出AB,BP,AP的长度，由①AB=AP ②AB=BP ③BP=AP 列方程解坐标BAL（2）问题：已知点A、B和直线l，在l上求点P，使△PAB为直角三角形作图：万能法：分别表示出A,B,P的坐标，再分别表示出AB,BP,AP的长度，由①AB2=BP2+AP2②BP2=AB2+AP2③AP2=AB2+BP2列方程解坐标BAL2.有相似三角形，全等三角形综合三角形ABC与三角形DEF相似或全等在没指名对应点的情况下，理论上应分六种情况讨论，但实际问题中通常不超过四种，比如相似常见有如以下两种类型，每类分两种情况讨论就可以了二、考点练习考点一：与等腰三角形结合1.如图所示，在梯形ABCD 中，已知AB ∥CD ，AD ⊥DB ，AD=DC=CB ，AB=4．以AB 所在直线为x 轴，过D 且垂直于AB 的直线为y 轴建立平面直角坐标系． （1）求∠DAB 的度数及A 、D 、C 三点的坐标；（2）求过A 、D 、C 三点的抛物线的解析式及其对称轴L ；（3）若P 是抛物线的对称轴L 上的点，那么使△PDB 为等腰三角形的点P 有几个？（不必求点P 的坐标，只需说明理由）2.在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点A（0，2），点C（-1，0），如图所示：抛物线y=ax2+ax-2经过点B．（1）求点B的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．考点二：与直角三角形结合3.如图，已知直线y=21x+1与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线y=21x 2+bx+c 与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为（1，0）． （1）求该抛物线的解析式；（2）动点P 在x 轴上移动，当△PAE 是直角三角形时，求点P 的坐标P ； （3）在抛物线的对称轴上找一点M ，使|A M-MC|的值最大/小，求出点M 的坐标． （4）若点Q 在抛物线上，且三角形CEQ 为直角三角形，请直接写出点Q 的坐标.4.如图（1），在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=ax2+8ax+16a+6经过点B（0，4）．（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为D，过点D、B作直线交x轴于点A，点C在抛物线的对称轴上，且C点的纵坐标为-4，连接BC、AC．求证：△ABC是等腰直角三角形；（3）在（2）的条件下，将直线DB沿y轴向下平移，平移后的直线记为l，直线l与x轴、y轴分别交于点A′、B′，是否存在直线l，使△A′B′C是直角三角形，若存在求出l的解析式，若不存在，请说明理由．5．如图，抛物线y=与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．（1）求点A 、B 的坐标；（2）设D 为y 轴上的一点，当△ACD 的面积等于△ACB 的面积时，求D 点的坐标；（3）已知：直线y=k k x k(4+->0)交x 轴于点E ，M 为直线上的动点，当以A 、B 、M 为顶点所作的直角三角形有且只有四个时，求k 的取值范围．6.已知：如图，二次函数图象的顶点坐标为C （1，-2），直线y=kx+m 的图象与该二次函数的图象交于A 、B 两点，其中A 点坐标为（3，0），B 点在y 轴上．点P 为线段AB 上的一个动点（点P 与点A 、B 不重合），过点P 且垂直于x 轴的直线与这个二次函数的图象交于点E ． （1）求这个二次函数的解析式；（2）设点P 的横坐标为x ，求线段PE 的长（用含x 的代数式表示）；（3）点D 为直线AB 与这个二次函数图象对称轴的交点，若以点P 、E 、D 为顶点的三角形与△A O B 相似，请求出P 点的坐标．xyCBA O7.已知:如图,抛物线y=ax2+bx-2交x 轴于A,B 两点交y 轴于点C,OC=OA,△ABC 的面积为2. （1）求抛物线的解析式；（2）若平行于x 轴的动直线DE 从点C 开始，以每秒1个单位的速度沿y 轴正方向平移，且分别交y 轴、线段BC 于点E 、点D ，同时动点P 从点B 出发，在线段OB 上以每秒2个单位的速度向原点O 运动．当点P 运动到点O 时，直线DE 与点P 都停止运动．连接DP ，设点P 的运动时间为t 秒． ①当t 为何值时，ED 1+OP1的值最小，并求出最小值； ②是否存在t 的值，使以P ，B ，D 为顶点的三角形与△ABC 相似．若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．5．第二讲二次函数与距离角度综合2月3-4日一、知识要点1、最短路径问题问题（1）已知直线l及点A,B,在直线l上作点P，使得AP+BP最小问题（2）分别在直线l1，l2上作点A,B使PA+PB+AB最小问题（3）分别在直线l1，l2上作点A,B使PA+AB+BQ最小问题（4) 分别在直线l1，l2上作点A,B使PA+AB+BQ最小问题（5）已知直线l及A,B两点，在l上求作点P,Q,使线段PQ=d，并且使AP+PQ+QB最小问题（6）已知直线l1∥l2，且距离为d，分别在l1，l2上做点P，Q且PQ⊥l1，使AP+PQ+QB最小问题（7）在直线l上求作一点P，使|BP-AP|最大或最小问题（8）分别在直线l1，l2上求作一点A,B,使PA+PB最小2、角度问题（1)角度想等：①由角相等构造相似三角形②角相等则其三角函数值相等③构造辅助圆④由特殊位置构造等腰三角形，平行线等（2)角度和差OCBA求∠AOB+∠BOC，求∠AOC-∠BOCOBCA将OB关于OC对称到OB、，∠AOB、即为所求（3）特殊角45°BEF CAFBECD A构造等腰直角三角形ABC ，可得 构造正方形的半角模型，利用旋转及其 △ACF ≌△CBE 结论BC=BF+CD 解决问题AEBCFCDBA构造等腰直角三角形AFE 中的半角模型， 构造以45°角为圆周角的辅助圆○D利用旋转及其结论BC 2=BE 2+CF 2解决 利用∠D=90°解决问题 问题ABC若tan α=21，tan β=31，则α+β=45°二、考点练习考点一：二次函数与距离问题的综合1.在平面直角坐标系中，抛物线y=x 2+bx+c 经过点A(2,0),B(4,0)两点，直线y=21x+2交y 轴雨点C ，且过点D （8，m ） （1）求抛物线的解析式（2）在x 轴上找一点P ，使得CP+DP 的值最小，求点P 的坐标（3）将抛物线y=x 2+bx+c 左右平移，记平移后的点A 对应为A 1，点B 的对应点为B 1，点四边形A 1B 1DC 周长最小时，求平移后抛物线的解析式及此时四边形A 1B 1DC 周长的最小值（4）设抛物线的顶点为Q ，过点C 作x 轴的平行线l ，点M 在直线l 上，且MN ⊥x 轴，垂足为N ，若DM+MN+NQ 最小，直接写出此时M,N 的坐标。
初二数学一次函数与综合应用(含答案)
一次函数与综合应用例题精讲一、一次函数的应用【例1】小高从家门口骑车去单位上班，先走平路到达点A，再走上坡路到达点B，最后走下坡路到达工作单位，所用的时间与路程的关系如图所示．下班后，如果他沿原路返回，且走平路、上坡路、下坡路的速度分别保持和去上班时一致，那么他从单位到家门口需要的时间是（）B．15分钟C．25分钟D．27分钟【答案】B【例2】有一个装有进、出水管的容器，单位时间内进、出的水量都是一定的，已知容器的容积为600升，又知单开进水管10分钟可把空容器注满，若同时打开进、出水管，20分钟可把满容器的水放完。
现已知水池内有水200升，先打开进水管5分钟，再打开出水管，两管同时开放直至把容器的水放完。
则能正确反映这一过程中容器的水量Q（升）随时间t(分钟)变化的图象是（）【答案】B【例3】甲、乙两同学从A地出发，骑自行车在同一条路上行驶到B地，他们离出发地的距离s(千米)和行驶时间t(小时)之间的函数关系的图象如图所示，根据图中提供的信息，有下列说法：①他们都行驶了18千米；②甲在途中停留了0.5小时；③乙比甲晚出发0.5小时；④相遇后，甲的速度小于乙的速度；⑤甲、乙两人同时到达目的地。
其中符合图象描述的说法有（）A.2个B.3个C.4个 D.5个Array(小时)【答案】C【例4】 某工厂用一种自动控制加工机制作一批工件，该机器运行过程分为加油过程和加工过程：加工过程中，当油箱中油量为10升时，机器自动停止加工进入加油过程，将油箱加满后继续加工，如此往复。
已知机器运行需运行185分钟才能将这批工件加工完。
如图是油箱中油量y (升)与机器运行时间x (分)之间的函数图象。
根据图象回答下列问题：⑴求在第一个加工过程中，油箱中油量y (升)与机器运行时间x (分)之间的函数关系式(不必写出自变量的取值范围)⑵机器运行多少分钟时，第一个加工过程停止？ ⑶加工完这批工件，机器耗油多少升？【答案】⑴110y x =-+⑵100分钟 ⑶175升【例5】 东风商场文具部的某种毛笔每枝售价25元，书法练习本每本售价5元，该商场为促销制定了两种优惠办法．甲：买一枝毛笔就赠送一本书法练习本． 乙：按购买金额打九折付款．某校欲为校书法兴趣小组购买这种毛笔10枝，书法练习本(10)x x ≥本．⑴写出每种优惠办法实际的金额y 甲（元），y 乙（元）与x （本）之间的函数关系式； ⑵比较购买同样多的书法练习本时，按哪种优惠办法付款更省钱；⑶如果商场允许可以任意选择一种优惠办法购买，也可以同时选两种优惠办法购买，请你就购买这种毛笔10枝和书法练习本60本设计一种最省钱的购买方案．【答案】⑴25105(10)5200(10)y x x x =⨯+-=+≥甲，(25105)90% 4.5225(0)y x x x =⨯+⨯=+≥乙；⑵当购买50本书法练习本时，两种优惠办法的实际付款一样，即可任选一种办法付款；当购买本数在10～50本之间，选择的优惠办法甲付款更省钱；当购买本数大于50本时，选择优惠办法乙付款更省钱．⑶选用优惠办法甲购买10枝毛笔和10本书法练习本，再用优惠办法乙购买50本书法练习本的方案最省钱．【例6】 一次时装表演会预算中票价定位每张100元，容纳观众人数不超过2000人，毛利润y （百元）关于观众人数x （百人）之间的函数图象如图所示，当观众人数超过1000人时，表演会组织者需向保险公司交纳定额平安保险费5000元（不列入成本费用）请解答下列问题：⑴求当观众人数不超过1000人时，毛利润y （百元）关于观众人数x （百人）的函数解析式和成本费用s （百元）关于观众人数x （百人）的函数解析式；⑵若要使这次表演会获得36000元的毛利润，那么要售出多少张门票？需支付成本费用多少元？（注：当观众人数不超过1000人时，表演会的毛利润=门票收入—成本费用；当观众人数超过1000人时，表演会的毛利润=门票收入—成本费用—平安保险费）【答案】⑴由图象可知：当010x ≤≤时，设y 关于x 的函数解析100y kx =-，∵(10,400)在100y kx =-上，∴40010100k =-，解得50k = ∴50100y x =-，100(50100)s x x =--），∴50100s x =+ ⑵当1020x <≤时，设y 关于x 的函数解析式为y mx b =+， ∵(10,350)，(20,850)在y mx b =+上， 1035020580m b m b +=⎧⎨+=⎩，解得50150m b =⎧⎨=-⎩∴50150y x =-，∴()100501505050100s x x s x ∴=---∴=+ ∴()()50100010501501020x x y x x ⎧-⎪=⎨-<⎪⎩≤≤≤令360y =当010x ≤≤时，50100360x -= 解得9.2x = 50100509.2100560s x =+=⨯+=当1020x <≤时，50150360x -=解得10.2x = 501005010.2100610s x =+=⨯+=．要使这次表演会获得36000元的毛利润． 要售出920张或1020张门票，相应支付的成本费用分别为56000元或61000元．二、一次函数与几何综合【例7】 如图所示，已知正比例函数y x =和3y x =，过点()20A ，作x 轴的垂线，与这两个正比例函数的图象分别交与B C ，两点，求三角形OBC 的面积（其中O 【答案】由题意，∵20A （，），AC x ⊥轴 ∴将2x =分别代入3y x y x ==、得，()()2226B C ，，，∴624BC =-=∴1142422OBC S BC OA ∆=⋅⋅=⨯⨯=【例8】 如图,直线6y kx =+与x 轴y 轴分别相交于点E F 、. 点E 的坐标为 8, 0-（）, 点A 的坐标为()60-，. 点,P x y （）是第二象限内的直线上的一个动点。
2020-2021学年八年级数学人教版下册 期末复习：一次函数实际应用(一)
2020-2021学年八年级数学人教版下册期末复习：一次函数实际应用（一）1．小明骑单车上学，当他骑了一段路时，想起要买某本书，于是又折回到刚经过的某书店，买到书后继续去学校．以下是他本次上学所用的时间与离家距离的关系示意图．根据图中提供的信息回答下列问题：（1）小明家到学校的路程是米．（2）本次上学途中，小明一共行驶了米．一共用了分钟．（3）在整个上学的途中最快的速度是米/分．（4）小明当出发分钟离家1200米．2．一辆轿车和一辆货车同时从甲地出发驶往乙地，轿车到达乙地后立即以另一速度原路返回甲地，货车到达乙地后停止．如图所示的图象分别表示货车、轿车离甲地的距离y（千米）与轿车行驶时间x（小时）的关系．（1）求轿车在返回甲地过程中的速度；（2）当轿车从乙地返回甲地的途中与货车相遇时，求相遇处离甲地的距离；（3）请求出两车出发多久后相距10千米．3．小明家距离学校8千米．一天早晨，小明骑车上学途中自行车出现故障，他于原地修车，车修好后，立即在确保安全的前提下以更快的速度匀速骑行到达学校．如图反映的是小明上学过程中骑行的路程（千米）与他所用的时间（分钟）之间的关系，请根据图象，解答下列问题：（1）小明骑行了千米时，自行车出现故障；修车用了分钟；（2）自行车出现故障前小明骑行的平均速度为千米/分，修好车后骑行的平均速度为千米/分；（3）若自行车不发生故障，小明一直按故障前的速度匀速骑行，与他实际所用时间相比，将早到或晚到学校多少分钟？4．小明从家里跑步去体育场，在那里锻炼了一会儿后，又走到文具店去买笔，然后走回家，小明的家、体育场、文具店在同一条直线上．如图是小明离家的距离与时间的关系图象．根据图象回答下列问题：（1）体育场离小明家千米．（2）小明在文具店逗留了分钟．（3）求小明从文具店到家的速度是千米/时．5．如图反映的过程是：小明从家出发去菜地浇水，又去玉米地锄草，然后回家．其中x表示时间，y表示小明离他家的距离，小明家，菜地，玉米地在同一直线上．根据图象回答下列问题：（1）菜地离小明家多远？小明走到菜地用了多长时间？小明给菜地浇水用了多长时间？（2）菜地离玉米地多远？小明草菜地到玉米地用了多长时间？（3）小明给玉米地锄草用了多长时间？（4）玉米地离小明家多远？小明从玉米地走回家的平均速度是多少？6．深圳校服已成为城市的一张名片，也成了在外游子“认亲”的凭证．夏季来临，深圳某校服生产厂为提高生产效益引进了新的设备来生产夏季校服，其中甲表示新设备的产量y （万套）与生产时间x（天）的关系，乙表示旧设备的产量y（万套）与生产时间x（天）的关系．（1）由图象可知，新设备因工人操作不当停止生产了天；（2）旧设备每天生产万套夏季校服，新设备正常生产每天生产万套夏季校服．（3）在生产过程中，x＝时，新旧设备所生产的校服数量相同．7．小明和小华是姐弟俩，某日早晨，小明7：40先从家出发去学校，走了一段后，在途中广场看到志愿者们在向过往行人讲解卫生防疫常识，小明想起自己在学校学到的卫生防疫常识，于是停下来加入了志愿者队伍，后来发现上课时间快到了，就开始跑步上学，恰好在8：00赶到学校；小华离家后沿着与小明同一条道路前往学校，速度一直保持不变，也恰好在8：00赶到学校，他们从家到学校已走的路程s（米）和所用时间t（分钟）的关系图如图所示，请结合图中信息解答下列问题：（1）小明家和学校的距离是米；小明在广场向行人讲解卫生防疫常识所用的时间是分钟；（2）分别求小华的速度和小明从广场跑去学校的速度；（3）求小华在广场看到小明时是几点几分？（4）如果小明在广场进行卫生防疫常识讲解后，继续以之前的速度去往学校，假设讲解1次卫生防疫常识需要1分钟，在保证不迟到（不超过8：00）的情况下，通过计算求小明最多可以讲解几次？（结果保留整数）8．新冠病毒防疫期间，草莓摊主小钱为避免交叉感染的风险，建议顾客选择微信支付，尽量不使用现金，早上开始营业前，他查看了自己的微信零钱；销售完20kg后，他又一次查看了微信零钱，由于草莓所剩不多，他想早点卖完回家，于是每千克降价10元销售，很快销售一空，小钱弟弟根据小钱的微信零钱（元）与销售草莓数量（kg）之间的关系绘制了下列图象，请你根据以上信息回答下列问题：（1）图象中A点表示的意义是什么？（2）降价前草莓每千克售价多少元？（3）小钱卖完所有草莓微信零钱应有多少元？9．某长途客运公司规定旅客可免费携带一定质量的行李，当行李的质量超过规定时，需支付相应的行李费．设x表示行李的质量（kg），y表示行李费（元），y与x的函数关系如图所示，请写出x，y变化过程中的实际意义．10．A，B，C三地在同一条公路上，C地在A，B两地之间，且到A，B两地的路程相等．甲、乙两车分别从A，B两地出发，匀速行驶．甲车到达C地并停留1小时后以原速继续前往B地，到达B地后立即调头（调头时间忽略不计），并按原路原速返回C地停止行驶，乙车经C地到达A地停止行驶．在两车行驶的过程中，甲、乙两车距C地的路程y（单位：千米）与所用的时间x（单位：小时）之间的函数图象如图所示，请结合图象信息解答下列问题：（1）直接写出A，B两地的路程和甲车的速度；（2）求乙车从C地到A地的过程中y与x的函数关系式（不用写自变量的取值范围）；（3）出发后几小时，两车在途中距C地的路程之和为180千米？请直接写出答案．11．甲、乙两人同时从相距90千米的A地前往B地，甲乘汽车，乙骑电动车，甲到达B 地停留半个小时后返回A地，如图是他们离A地的距离y（千米）与经过时间x（小时）之间的函数关系图象．（1）甲从B地返回A地的过程中，直接写出y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围；（2）若乙出发后108分钟和甲相遇，求乙从A地到B地用了多少分钟？（3）甲与乙同时出发后，直接写出经过多长时间他们相距20千米？12．某天，甲组工人为灾区加工棉衣，工作中有一次停产检修机器，然后继续加工，由于任务紧急，乙组工人加入与甲组工人一起加工棉衣，甲停产前后各保持匀速生产，乙在工作时间内保持匀速生产，两组各自加工棉衣的数量y（件）与甲组工人加工时间x（小时）的函数图象如图所示．（1）求乙组加工棉衣的数量y与时间x之间的函数关系式；（2）直接写出甲组加工棉衣总量a的值．（3）如果要求x＝8时，加工棉衣的总数量为480件，求乙组工人应提前多长时间加工棉衣．13．四名同学两两一队，从学校集合进行徒步活动，目的地是距学校10千米的前海公园．由于乙队一名同学迟到，因此甲队两名同学先出发．24分钟后，乙队两名同学出发．甲队出发后第30分钟，一名同学受伤，处理伤口，稍作休息后，甲队由一名同学骑单车载受伤的同学继续赶往目的地．若两队距学校的距离s（千米）与时间t（小时）之间的函数关系如图所示，请结合图象，解答下列问题：（1）甲队在队员受伤前的速度是千米/时，甲队骑上自行车后的速度为千米/时；（2）当t＝时，甲乙两队第一次相遇；（3）当t≥1时，什么时候甲乙两队相距1千米？14．明明的家与书店、学校依次在同一直线上，明明骑自行车从家出发去学校上学，当他骑了一段路时，想起要买某本书，于是又返回到刚经过的书店，买到书后继续去学校．下面图象反映了明明本次上学离家距离y（单位：m）与所用时间x（单位：min）之间的对应关系．请根据相关信息，解决下列问题：（Ⅰ）填表：离开家的时间/min 2 5 8 11离家的距离/m400 600（Ⅱ）填空：①明明家与书店的距离是m；②明明在书店停留的时间是min；③明明与家距离900m时，明明离开家的时间是min．（Ⅲ）当6≤x≤14时，请直接写出y与x的函数关系．15．A，B，C三地在同一条公路上，C地在A，B两地之间，且与A，B两地的路程相等．甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，匀速行驶．甲车到达C地停留1小时后以原速度继续前往B地，到达B地后立即调头（调头时间忽略不计），并按原路原速返回A地停止；乙车经C地到达A地停止，且比甲车早1小时到达A地．两车距B地的路程y（km）与所用时间x（h）的函数关系如图所示．请结合图象信息解答下列问题：（1）A，B两地的路程为km，乙车的速度为km/h；（2）求图象中线段GH所表示的y与x的函数解析式（不需要写出自变量x的取值范围）；（3）两车出发后经过多长时间相距120km的路程？请直接写出答案．参考答案1．解：（1）由图象可得，小明家到学校的路程是1500米，故答案为：1500；（2）本次上学途中，小明一共行驶了：1500+（1200﹣600）×2＝2700（米），一共用了14（分钟），故答案为：2700，14；（3）由图象可知，在整个上学的途中，12分钟至14分钟小明骑车速度最快，最快的速度为：（1500﹣600）÷（14﹣12）＝450米/分钟，故答案为：450；（4）设t分钟时，小明离家1200米，则t＝6或t﹣12＝（1200﹣600）÷450，得t＝13，即小明出发6分钟或13分钟离家1200米．故6或13．2．解：（1）根据图象可得当x＝1.5小时时，离甲地的距离是90千米，当x＝2.5小时时，离甲地的距离是0千米，∴轿车在返回甲地过程中的速度为：90÷（2.5﹣1.5）＝90（千米/小时），答：轿车在返回甲地过程中的速度为90千米/小时；（2）设货车离甲地的距离y（千米）与轿车行驶时间x（小时）的的函数解析式是y＝kx+b，则2k＝90，解得：k＝45，则函数解析式是y＝45x（0≤x≤2）；设轿车在返回甲地过程中离甲地的距离y（千米）与轿车行驶时间x（小时）的的解析式是y＝mx+b，则，解得：，则函数解析式是y＝﹣90x+225．根据题意得：﹣90x+225＝45x，解得：x＝，则轿车从乙地返回甲地的途中与货车相遇时，相遇处到甲地的距离是45×＝75（千米）．答：当轿车从乙地返回甲地的途中与货车相遇时，相遇处离甲地的距离是75千米；（3）设两车出发a小时相距10千米轿车到达乙地前，（90÷1.5﹣45）a＝10，解得：a＝；轿车到达乙地后与货车相遇前：﹣90a+225﹣45a＝10，解得：a＝；轿车到达乙地后与货车相遇后：45a﹣（﹣90a+225）＝10，解得：a＝；答：两车出发小时或小时或小时后相距10千米．3．解：（1）由图可知，小明行了3千米时，自行车出现故障，修车用了15﹣10＝5（分钟）；故答案为：3；5；（2）修车前速度：3÷10＝0.3（千米/分），修车后速度：5÷15＝（千米/分）；故答案为：0.3；；（3）8÷（分钟），30﹣＝（分钟），故他比实际情况早到分钟．4．解：（1）由图象可知，体育场离小明家2.5千米．故答案为：2.5；（2）由图象可知，小明在文具店逗留了：65﹣45＝20（分钟）．故答案为：20；（3）1.5÷＝（km/h），即小明从文具店到家的速度为km/h．故答案为：．5．解：由图象得：（1）菜地离小明家1.1千米，小明从家到菜地用了15分钟，小明给菜地浇水用了25﹣15＝10（分钟）；（2）菜地离玉米地2﹣1.1＝0.9（千米），小明从菜地到地用了37﹣25＝12（分钟）；（3）小明给玉米地锄草用了55﹣37＝18（分钟）；（4）玉米地离小明家2千米，小明从玉米地走回家的平均速度＝2÷＝4.8（千米/小时）．6．解：（1）由图象知，新设备因工人操作不当停止生产了2天，故答案为：2．（2）旧设备每天生产：1.4÷7＝0.2（万套），新设备每天生产：0.4÷1＝0.4（万套），故答案为：0.2，0.4；（3）①0.2x＝0.4，解得x＝2；②0.2x＝0.4（x﹣2），解得x＝4；故答案为：2或4．7．解：（1）由图象可知，小明家和学校的距离是1280米；小明在广场向行人讲解卫生防疫常识所用的时间是：14﹣8＝6（分钟）；故答案为：1280；6；（2）小华的速度为：1280÷（20﹣4）＝80（米/分），小明从广场跑去学校的速度为：（1280﹣560）÷（20﹣14）＝120（米/分）；（3）560÷80＝7（分），40+4+7＝51（分），答：小华在广场看到小明时是7：51；（4）1280÷（560÷8）＝（分），20﹣＝（分），，答：在保证不迟到的情况下，小明最多可以讲解1次．8．解：（1）由图象可知，小钱开始营业前微信零钱有50元；（2）由图象可知，销售草莓20kg后，小钱的微信零钱为650元，∴销售草莓20kg，销售收入为650﹣50＝600元，∴降价前草莓每千克售价为：600÷20＝30（元）；（3）降价后草莓每千克售价为：30﹣10＝20元，∴小钱卖完所有草莓微信零钱为：650+5×20＝750（元），答：小钱卖完所有草莓微信零钱应该有750元．9．解：∵y是x的一次函数，∴设y＝kx+b（k≠0）由图可知，函数图象经过点（40，6），（60，10），，∴函数表达式为y＝0.2x﹣2，将y＝0代入y＝0.2x﹣2，得0＝0.2x﹣2，∴x＝10，所以，旅客最多可免费携带行李的质量为10kg；当x＞10，即当行李质量超过10kg时，超出部分的行李每千克需要加收0.2元．10．解：（1）当0h时，甲车和乙车距C地为180km，∴两地的路程为：180+180＝360km，设甲车经过180km用了xh，则：x+x+x+1＝5.5，∴x＝1.5，则甲车速度为：180÷1.5＝120（km/h）；（2）设乙车从C地到A地的过程中y与x的函数关系式为：y＝kx+b（k≠0），将（3，0），（6，180）代入y＝kx+b（k≠0），得：，解得：，∴乙车从C地到A地的过程中y与x的函数关系式为：y＝60x﹣180；（3）由图可知，分别在3个时间段可能两车在途中距C地路程之和为180km，①甲车从A地到C地，乙车从B到C，﹣120x+180+60x+180＝180，解得：x＝1；②甲车从C到B，乙车从C到A，﹣120x﹣300+60x﹣180＝180，记得：x＝；③甲车从B到C，乙车从C到A，﹣120x+660+60x﹣180＝180，解得：x＝5．总上所述：分别在1h，h，5h这三个时间点，两车在途中距C地的路程之和为180km．11．解：（1）设甲从B地返回A地的过程中，y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，根据题意得：，解得，所以y＝﹣60x+180（1.5≤x≤3）；（2）∵当x＝时，y＝﹣60×1.8+180＝72，∴骑电动车的速度为72÷1.8＝40（千米/时），∴乙从A地到B地用时为90÷40＝2.25（小时）＝135分钟．答：乙从A地到B地用了135分钟．（3）根据题意得：90x﹣40x＝20或60（x﹣1.5）+40x＝90﹣20或60（x﹣1.5）+40x ＝90+20，解得x＝或x＝或x＝2，答：经过时或时或2时，他们相距20千米．12．解：（1）设y乙＝kx+b（k≠0），将（4.5，0），（8，252）代入得：，解得，∴y乙＝72x﹣324；（2）把x＝7代入y乙＝72x﹣324，得y乙＝72×7﹣324＝180，当4≤x≤8时，设甲组加工棉衣的数量y与时间x之间的函数关系式为y甲＝mx+n，将（7，180），（4，90）代入得：，解得，∴y甲＝30x﹣30（4≤x≤8），将x＝8代入，得y甲＝30×8﹣30＝210，即a＝210；（3）由图象可知，乙组工人加工252件棉衣所用时间为：8﹣4.5＝3.5（小时），∴乙的加工速度为：252÷3.5＝72（件/小时），∵480﹣210＝270（件），270÷72＝3.75（小时），∴3.75﹣3.5＝0.25（小时），即乙组工人应提前0.25小时加工棉衣．13．解：（1）由图象可得，甲队在队员受伤前的速度是：2÷＝4（千米/时），甲队骑上自行车后的速度为：（10﹣2）÷（2﹣1）＝8（千米/时），故答案为：4，8；（2）由图象可得，乙队的速度为：10÷（2.4﹣）＝5（千米/时），令5×（t﹣）＝2，解得t＝0.8，即当t＝0.8时，甲乙两队第一次相遇，故答案为：0.8；（3）由题意可得，[5×（t﹣）]﹣[2+8（t﹣1）]＝1或[2+8（t﹣1）]﹣[5×（t﹣）]＝1或[5×（t ﹣）]＝10﹣1，解得t＝1或t＝或t＝，即当t≥1时，1小时、小时或小时时，甲乙两队相距1千米．14．解：有图象可知，明明从家到学校分四段，当0≤x≤6时，图象经过（0，0）和（6，1200），∴解析式为：y1＝200x；当6＜x≤8时，设函数解析式为：y2＝kx+b，∵图象经过（6，1200）和（8，600），∴，解得：，∴函数解析式为：y2＝﹣300x+3000；当8＜x≤12时路程没有变化说明明明在书店停留，∴y3＝600；当12＜x≤14时，设函数解析式为：y4＝ax+m，∵图象经过（12，600）和（14，1500），∴，解得：，∴函数解析式为：y4＝450x﹣4800；Ⅰ∵x＝5时属于第①钟情况，∴y＝1000（m），∵x＝11时属于第③种情况，∴y＝600（m）；Ⅱ①由图象知明明家书店的距离是600m；②明明在书店停留的时间为：12﹣8＝4（min）；③从图象上可知x在0～6，6～8，12～14时可以距家900m，当0≤x≤6时，当y＝900时，即200x＝900，∴x＝（min），当6＜x≤8时，当y＝900时，即﹣300x+3000＝900，∴x＝7（min），当12＜x≤14时，当y＝900时，即450x﹣4800＝900，∴x＝（min），∴明明与家距离900m时，明明离开家的时间为min或7min或min；Ⅲ由上面解法知：y＝．故答案为：Ⅰ、1000，600；Ⅱ、①600，②4，③或7或．15．解：（1）∵C地在A，B两地之间，且与A，B两地的路程相等，且E、F纵坐标为180，∴A、B两地距离为180×2＝360（km），又P横坐标为6，∴乙车速度为360÷6＝60（km/h），故答案为：360，60；（2）∵乙车经C地到达A地停止，且比甲车早1小时到达A地，∴H（7，360），∵甲车到达C地停留1小时后以原速度继续前往B地，∴甲车行驶的时间一共6小时，即甲车行驶360km需要3小时，∴甲车速度为120km/h，G（4，0），设GH的解析式为y＝kx+b，将H（7，360）、G（4，0）代入得：，解得：，∴GH的解析式为y＝120x﹣480；（3）有三个时刻两车距120km，①刚出发t小时两车距120km，则360﹣（120t+60t）＝120，解得：t＝（h），②甲车停1小时后重新出发，设经过的时间是x小时两车相距120km，则120（x﹣1）+60x﹣120＝360，解得：x＝（h），③甲4小时达到B地，此时乙所行路程为4×60＝240（千米），即两车此时距240千米，设再过y小时二车相距120千米，则120y﹣60y＝240﹣120，解得y＝2，∴两车第三次相距120千米，经过的时间是4+y＝6（h），综上所述，两车出发后相距120km的路程，时间分别是小时、小时、6 小时．。
一次函数与反比例函数的综合运用
一次函数与反比例函数的综合运用一次函数和反比例函数是数学中常见的两种函数类型。
它们在生活中有许多实际应用，本文将探讨一次函数和反比例函数的综合运用。
首先，我们来介绍一次函数。
一次函数的一般形式是y = ax + b，其中a和b为常数。
一次函数的图像是一条直线，可以表示许多与线性关系有关的问题。
一次函数的应用之一是在经济学中的成本和收益分析。
假设一个公司的固定成本为2000元，每生产一个单位产品的变动成本为50元。
我们可以用一次函数来表示总成本与生产量之间的关系。
令x表示生产量，y表示总成本，则一次函数的表达式为y=50x+2000。
通过这个函数，我们可以计算出生产不同数量产品时的总成本，并选择最佳的生产数量。
另一个应用一次函数的例子是物理学中的运动学问题。
假设一个物体在t秒内以恒定的速度v移动，我们可以用一次函数来表示物体的位移和时间之间的关系。
令x表示位移，y表示时间，则一次函数的表达式为x= vt。
通过这个函数，我们可以根据已知的速度和时间，计算出物体在不同的时间点上的位移。
接下来，我们来介绍反比例函数。
反比例函数的一般形式是y=k/x，其中k为常数，x和y为变量。
反比例函数的图像是一条双曲线，可以表示许多与反比关系有关的问题。
反比例函数的应用之一是在物理学中的弹簧力和伸长关系问题。
弹簧的力与其伸长的关系通常是反比关系。
假设一个弹簧的弹性常数为k，伸长的长度为x，力为y，则反比例函数的表达式为y=k/x。
通过这个函数，我们可以计算出不同伸长长度下的力，并分析弹簧的弹性特性。
另一个应用反比例函数的例子是电路中的电阻和电流关系问题。
根据欧姆定律，电阻与电流成反比关系。
假设一个电路中的电阻为R，流过的电流为I，则反比例函数的表达式为I=k/R。
通过这个函数，我们可以计算出不同电阻下的电流，并分析电路的特性。
除了以上的例子，一次函数和反比例函数还可以在许多其他领域的问题中得到应用。
例如，在金融学中，可以使用一次函数来分析股票价格的变动趋势；在地理学中，可以使用反比例函数来研究人口密度和土地面积的关系。
专题01 一次函数综合运用(原卷版)
专题01 一次函数综合运用1．直线1:l y kx b =+与直线2:l y bx k =+在同一坐标系中的大致位置是( )A ．B ．C ．D ．2．如图，已知A 点坐标为(5,0)，直线(0)y x b b =+>与y 轴交于点B ，连接AB ，75a Ð=°，则b 的值为( )A ．3BC ．4D 3．如图， 直线y x m =-+与4(0)y nx n n =+¹的交点的横坐标为2-，则关于x 的不等式40x m nx n -+>+>的整数解为( )A ．1-B ．5-C ．4-D ．3-4．已知过点(2,3)-的直线(0)y ax b a=+¹不经过第一象限，设2s a b=+，则s的取值范围是( )A．352s--……B．362s-<-…C．362s--……D．372s-<-…5．已知四条直线3y kx=-，1y=-，3y=和1x=所围成的四边形的面积是12，则k的值为( )A．1或2-B．2或1-C．3D．46．若整数a使得关于x的分式方程1222x ax x++=--的解为非负数，且一次函数(3)2y a x a=-+++的图象经过一、二、四象限，则所有符合条件的a的和为( )A．3-B．2C．1D．47．一辆轿车和一辆货车分别从甲、乙两地同时出发，匀速相向而行，相遇后继续前行，已知两车相遇时轿车比货车多行驶了90千米，设行驶的时间为x（小时），两车之间的距离为y（千米），图中的折线表示从两车出发至轿车到达乙地这一过程中y与x之间的函数关系．根据图象提供的信息，下列说法正确的是( )①甲乙两地的距离为450千米；②轿车的速度为90千米/小时；③货车的速度为60千米/小时；④点C的实际意义是轿车出发5小时后到达乙地，此时两车间的距离为300千米．A．①②B．①③C．①②③D．①②③④8．如图所示，已知直线1y x =+与x 、y 轴交于B 、C 两点，(0,0)A ，在ABC D 内依次作等边三角形，使一边在x 轴上，另一个顶点在BC 边上，作出的等边三角形分别是第1个△11AA B ，第2个△122B A B ，第3个△233B A B ，¼则第n 个等边三角形的边长等于( )ABC ．12n D9．若实数a ，b ，c 满足0a b c ++=，且a b c <<，则函数y cx a =--的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．10．如图，直线11y k x b =+和直线22y k x b =+分别与x 轴交于(1,0)A -和(3,0)B 两点，则不等式组1200k x b k x b +>ìí+>î的解集为( )A ．13x -<<B ．03x <<C ．10x -<<D ．3x >或1x <-11．八个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，经过P 点的一条直线l 将这八个正方形分成面积相等的两部分，则该直线l 的解析式为( )A ．5182y x =+B ．7182y x =+C ．7162y x =+D ．3142y x =+12．如图，点A 的坐标为(1,0)-，点B 在直线y x =上运动，当线段AB 最短时，点B 的坐标为( )A ．(0,0)B ．11(,)22--C ．D ．(13．如图，已知直线:l y =，过点(0,1)A 作y 轴的垂线交直线l 于点B ，过点B 作直线l 的垂线交y 轴于点1A ；过点1A 作y 轴的垂线交直线l 于点1B ，过点1B 作直线l 的垂线交y 轴于点2A ；¼；按此作法继续下去，则点4A 的坐标为( )A ．(0,128)B ．(0,256)C ．(0,512)D ．(0,1024)=+x轴、y轴分别交于点A，B，把直线AB绕点B 14．如图，一次函数y x顺时针旋转30°交x轴于点C，则线段AC长为( )A B．C．2+D=-+与坐标轴交于A，B两点，OC ABy x15．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线4^于点C，P是线段OC上的一个动点，连接AP，将线段AP绕点A逆时针旋转45°，得到线段AP¢，连接CP¢，则线段CP¢的最小值为( )A．2B．1C．1-D．2y cx=-的图象如图所示，则a，y dx=+，316．如图，四个一次函数y ax=，y bx=，1b，c，d的大小关系是( )A．b a d c>>>>>>D．b a c d>>>C．a b d c>>>B．a b c d17．如图，已知一次函数2y kx =+的图象与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，与正比例函数13y x =交于点C ，已知点C 的横坐标为2，下列结论：①关于x 的方程20kx +=的解为3x =；②对于直线2y kx =+，当3x <时，0y >；③对于直线2y kx =+，当0x >时，2y >；④方程组302y x y kx -=ìí-=î的解为2,23x y =ìïí=×ïî，其中正确的是( )A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④18．如图，直线334y x =-+与x 轴，y 轴交于A ，B 两点．点P 是线段OB 上的一动点（能与点O ，B 重合），若能在斜边AB 上找到一点C ，使90OCP Ð=°．设点P 的坐标为(,0)m ，则m 的取值范围是( )A ．34m ……B ．24m ……C ．502m ……D ．03m ……19．如图，直线2y =+与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，把AOB D 绕点A 顺时针旋转60°后得到△AO B ¢¢，则点B ¢的坐标是( )A．(4，B．4)C．，3)D．2+，20．如图，在平面直角坐标系中，已知(3,2)A--，(0,2)B-，(3,0)C-，M是线段AB上的一个动点，连接CM，过点M作MN MC^交y轴于点N，若点M、N在直线y kx b=+上，则b的最大值是( )A．78-B．34-C．1-D．0。
5.5 一次函数的简单应用(1)
V/万米3
它方法解答本题吗？ （1）设v=kt+1200
（2）将t=10，V=1000代 V=kt+1200中求的k= -20
V= -20 t+1200
（3）再代入各组 t 或 V 的
值对应的求V 与 t 的值
t/天
探索四：蓝鲸是现存动物中体形最大的一种，
体长的最高记录是３２００cm.根据生物学家对 成熟的雄性鲸的测量，其全长和吻尖到喷水孔
全长Y(m)
10.00 10.25 10.72 11.52 12.50 13.16 13.90 全长，并判断能否 超过已知的体长记
录.
x
1） 是否也能用一次函数
刻画两个变量x和y的关系？
蓝鲸
描点
2）请求出这个一次函数的解析式。
解：建立直角坐标系，画出以表中的用x这值样为的横方坐法标获，得y的
值为纵坐标的7个点。
把点（1.91，10.25），（2.59，12.50）代入
20 18 16 14
y kx b 得 10.25 1.91k b
12.50 2.59k b
12 10
8 6
解得 k 3.31 b 3.93
4 2
X（m）所以所求的函数解析式为：
o 1 2 34 5
y 3.31x 3.93
800
因变量的值------------数
体现在图象上就是找一个点，使点的横
600
坐标是10，对应在图象上找到此点纵坐
400
标的值（10，V）--------形
200
0
10
20
30
40
50 t/天
探索二：由于持续高温和连日无雨,某水库的蓄水量随着时间的增加而 3 V/万米3 减少.干旱持续时间 t( 天)与蓄水量V(万米 ) 的关系如图所示, 回答下列问题: (1).连续干旱23天，储水量为：750 万米 1200
一次函数的实际应用
一次函数应用（一）1.某饮料厂生产一种饮料，经测算，用1吨水生产的饮料所获利润y（元）是1吨水的价格x（元）的一次函数．（l）根据下表提供的数据，求y与x的函数关系式；当水价为每吨10元时，l吨水生产出的饮料所获的利润是多少？（2）为节约用水，这个市规定：该厂日用水量不超过20吨时，水价为每吨4元；日用水量超过20吨时，超过部分按每吨40元收费．已知该厂日用水量不少于20吨，设该厂日用水量为t吨，当日所获利润为W元．求W与t的函数关系式；该厂加强管理，积极节水，使日用水量不超过25吨，但仍不少于20吨，求该厂的日利润的取值范围．2.某公司在甲、乙两座仓库分别有农用车12辆和6辆。
现在需要调往A县10辆，需要调往B县8辆，已知从甲仓库调运一辆农用车到A县和B县的运费分别为40元和80元；从乙仓库调运一辆农用车到A县和B县的运费分别为30元和50元。
（1）设乙仓库调往A县农用车x辆，求总运费y关于x的函数关系式；（2）若要求总运费不超过900元，问共有几种调运方案？（3）求出总运费最低的调运方案，最低运费是多少元3.如图1，在直角梯形ABCD 中，动点P 从点B 出发，沿BC ，CD 运动至点D 停止．设点P 运动的路程为 ，△ABP 的面积为y ，如果y 关于x 的函数图象如图2所示，求△BCD 的面积。
4.甲乙两名同学进行登山比赛，图中表示甲乙沿相同的路线同时从山脚出发到达山顶过程中，两人行进的路程随时间变化的图象，根据图像解决下面的问题。
⑴分别求出表示甲、乙两同学登山过程中路程s （千米）与时间t （时）的函数解析式； ⑵当甲到达山顶时，乙行进到山路上的某点A 处，求A 点距山顶的距离；⑶在⑵的条件下，设乙同学从A 点继续登山，甲同学到达山顶后休息1小时，沿原路下山，在点B 处与乙同学相遇，此时点B 与山顶距离为1.5千米，相遇后甲、乙各自沿原路下山和上山，求乙到大山顶时，甲离山脚的距离是多少千米？ 12623S（千米）t（小时）CD EF B甲乙图1 AB C P D 图2一次函数应用（二）1. 托运行李P千克(P为整数)的费用为C，已知托运第一个1千克需付2元，以后每增加1千克(不足1千克按1千克计)需增加费用5角。
中考数学专题复习------一次函数的综合运用
一．选择题（共 8 小题）
1．如图，已知：函数 y=3x+b 和 y=ax﹣ 3 的图象交于点 P（﹣ 2，﹣ 5），则根据
Байду номын сангаас
图象可得不等式 3x+b＞ ax﹣3 的解集是（
）
A．x＞﹣ 5 B．x＞﹣ 2 C．x＞﹣ 3 D．x＜﹣ 2
2．在一次函数 y=﹣x+3 的图象上取一点 P，作 PA⊥x 轴，垂足为 A，作 PB⊥y
B．第 10 天销售一件产品的利润是 15 元
C．第 12 天与第 30 天这两天的日销售利润相等
D．第 30 天的日销售利润是 750 元
7．A、B 两地相距 20 千米，甲、乙两人都从 A 地去 B 地，图中 l1 和 l2 分别表示
甲、乙两人所走路程 s（千米）与时间 t（小时）之间的关系，下列说法：①乙
车在行驶过程中的平均速度为 千米 / 小时；④汽车自出发后 3 小时至 4.5 小时
之间行驶的速度在逐渐减小．其中正确的说法共有（
）
A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个 4．已知直线 y=2x+b 与坐标轴围成的三角形的面积是 4，则 b 的值是（ ） A．4 B．2 C．± 4 D．± 2 5．小亮家与姥姥家相距 24km，小亮 8：00 从家出发，骑自行车去姥姥家．妈妈
8：30 从家出发，乘车沿相同路线去姥姥家．在同一直角坐标系中，小亮和妈妈
的行进路程 S（km）与北京时间 t（时）的函数图象如图所示．根据图象得到小
亮结论，其中错误的是（
）
A．小亮骑自行车的平均速度是 12km/h
B．妈妈比小亮提前 0.5 小时到达姥姥家
C．妈妈在距家 12km 处追上小亮
一次函数的简单应用综合
一次函数的简单应用综合一次函数的应用-耗油量问题1.张师傅驾车从甲地到乙地，两地相距500千米，汽车出发前邮箱有油25升，已知汽车以100千米/小时的速度匀速行驶，两小时后，油箱还有9升油。
则油箱中剩余油量y(升)与行驶时间t(小时)的函数关系式是y=______（不要求写出自变量的取值范围）2.暑假期间，小明和父母一起开车到距家250千米的某景点旅游、出发前，汽车油箱内储油45升；当行驶150千米时，发现油箱剩余油量为30升（汽车行使过程中，每千米的耗油量不变）则油箱余油量y与行驶路程x之间的函数关系式为y=______（不要求写出自变量的取值范围）3．如图中的折线ABC表示某汽车的耗油量y（单位：L/km）与速度x（单位：km/h）之间的函数关系(30≤x≤120)，已知线段BC表示的函数关系中，该汽车的速度每增加1km/h，耗油量增加0.002L/km．则当速度为50km/h时，该汽车的耗油量为______L/km4.某汽车生产厂对其生产的A型汽车进行耗油量实验，实验中汽车视为匀速行驶，已知油箱中的余油量y（升）与行驶时间t（小时）的关系如下表：则y与t之间的函数关系式为y=______（不要求写出自变量的取值范围）5. 汽车在行驶过程中，油箱中剩余油量Q（升）与行驶路程s（千米）之间存在函数关系Q=a-ks．其中a，k为常数．小明乘坐爸爸驾驶的汽车外出（出发前刚加满油），他注意到行驶了200千米时，油箱中还有25升油，行驶了300千米时，油箱中仅剩下15升油，试问：（1）Q与s之间函数解析式为Q=______（不要求写出自变量的取值范围）（2）这辆车加满油后，最多能行驶_____千米（3）邮箱中最多能装______升油6. 一辆机动车行驶在路途中．出发时，油箱内存油40L．行驶若干小时后司机停车吃饭，饭后继续行驶一段时间后到达某加油站准备加油，图中表示的是该过程中油箱里剩余油量Q(L)与行驶时间t(h)之间的函数关系．（1）司机行驶______小时停车吃饭；吃饭用了______小时;（2）则饭前行驶过程中的函数解析式为Q=______；（不要求写出自变量的取值范围）（3）6小时后，邮箱内还有______升油．7. 拖拉机的油箱有油100升，每工作1小时耗油8升，则油箱的剩余油量y（升)与工作时间x（时)间的函数关系式为y=______．（不要求写出自变量的取值范围）8. 货车在公路A处加满油后，以每小时60千米的速度匀速行驶，前往与A处相距360千米的B处．下表记录的是货车一次加满油后油箱剩余油量y（升)与行驶时间x（时)之间的关系：则这个函数解析式y=______．（不要求写出自变量的取值范围）一次函数的应用-弹簧问题1.若弹簧的总长度y(cm)是所挂重物质量x(kg)的一次函数;已知不挂重物时,弹簧的长度是10cm,挂20千克质量的重物时,弹簧的长度是20cm,则这个一次函数的解析式为______(写成y=kx+b,k≠0形式，不要求写出自变量的取值范围)2.一根弹簧的原长是3.5cm,且每挂重2kg就伸长1.8 cm,则重后弹簧的长度y(cm)与挂重x(kg)之间的函数关系式为______(写成y=kx+b,k≠0形式，不要求写出自变量的取值范围)3. 根据下面的研究弹簧长度与所挂物体重量关系的实验表格,不挂物体时,弹簧原长______cm;当所挂物体重量为3.5kg时,弹簧比原来伸长______cm。
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一次函数综合应用（一）
单选题(本大题共 8 小题， 共 100 分)
1.(本小题 12 分) 已知一次函数 y=kx+b 的图象经过点 A（0，6），且与正比例函数 的图象相交于点 B（-4，a），则这个一次函数的表达式是( )
A.
B.
C.
D. 核心考点: 待定系数法求一次函数解析式 坐标表达式互转 2.(本小题 12 分) 已知一次函数 y=kx+b 的图象经过点（-3，4），并且与 y 轴相交于点 P，直
线 式是( )
与 y 轴相交于点 Q，点 Q 恰与点 P 关于 x 轴对称，则这个一次函数的表达
A.
B.
C.
D.
核心考点: 待定系数法求一次函数解析式 坐标表达式互转 3.(本小题 12 分) 已知，一次函数 y=kx+b 过点 P，且与正比例函数 y=2x 的图象相交于 A（1， a）．若点 Q 的坐标为（1，4），且点 P 与点 Q 关于原点对称，则这个一次函数的解析式为 ( )
A.
B.
C.
D. 核心考点: 待定系数法求一次函数解析式 坐标表达式互转 4.(本小题 12 分) 已知一次函数的图象交 x 轴于点 A（-4，0），交正比例函数的图象于点 B， 且点 B 在第四象限， 它的横坐标为 1． 若△AOB 的面积为 3， 则这个一次函数的解析式为( )
A.
B.
C.
D.
核心考点: 待定系数法求一次函数解析式 坐标表达式互转
5.(本小题 13 分) 已知 A（-4，3），B（2，3），C（3，2），直线 经过点 C 和点 P，点 P 是 x 轴上一点，且使 AP+BP 最短，则直线 的解析式为( )
A.
B.
C.
D. 核心考点: 待定系数法求一次函数解析式 坐标表达式互转 6.(本小题 13 分) 如图，已知一条直线经过 A（0，2），B（1，0）两点，将这条直线向下平 移与 x 轴，y 轴分别交于点 C，点 D．若 DB=DC，则直线 CD 的表达式为( )
A.
B.
C.
D.
核心考点: 待定系数法求一次函数表达式 一次函数、坐标、几何三角通道互转 7.(本小题 13 分) 如图，直线 与 x 轴和 y 轴分别交于点 A 和点 B，直线 交直线 于点 C， 且与 x 轴交于点 D，则直线 的表达式为( )
A.
B.
C.
D. 核心考点: 待定系数法求一次函数解析式 坐标表达式互转 8.(本小题 13 分) （上接试题 7）在直线 上存在异于 C 的一点 P，使得△ADP 与△ADC 的 面积相等，则点 P 的坐标为( )
A. （7，-6） B. （-9，-6）
C. D. （-10，-6） 核心考点: 待定系数法求一次函数解析式
。