高中数学总结归纳点拨 归纳——猜想——证明

归纳——猜想——证明
数学归纳法可以用来证明与自然数有关的代数恒等式、三角恒等式、不等式、整除性问题及几何问题等。

在学习合情推理时所猜得的结论，其可靠性的证明，常常也需要数学归纳法来解决。

这就形成了数学中的一类典型题目，即：“归纳——猜想——证明”。

例1 数列{}n a 满足()2*n n S n a n N =-∈。

（1）计算1a ，2a ，3a ，4a ，并由此猜想数列{}n a 的通项公式；
（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想。

分析：在用数学归纳法对（1）中的猜想证明时，关键是利用k a 求得1k a +，在此要注意已知条件中等式的应用，由于它适用于所有自然数，因此可将其中的k 换做1k +，然后两式相减，合并同类项即得到表达式。

解析：（1）11a =，232a =，374a =，4158
a =， 由此可猜想1212n n n a --=。

（2）下面用数学归纳法证明：
①当1n =时，左边11a ==，右边1112112
--==，猜想成立。

②假设n k =时猜想成立，即1212
k k k a --=， 那么据已知2k k S k a =-， ①
()1121k k S k a ++=+-， ②
由②- ①可得112k k k a a a ++=-+，
∴()11111212121112222
k k k k k k k k a a ++++----=+=+==，即当1n k =+时猜想也成立。

根据①②可知，猜想对任何*n N ∈都成立。

评注：高考对数学归纳法的考查时隐时现，有时隐蔽在递推数列中考查，应深刻理解与把握“归纳——猜想——证明”的基本方法，注重其应用。

例2 已知11123
n a =+++…()1*n N n +∈，是否存在n 的整式()q n ，使得等式12a a ++…()()11n n a q n a -+=-，对于大于1的一切自然数n 都成立，并证明你的结论。

分析：假设存在()q n ，去探索()q n 等于多少。

解析：当2n =时，由()()1221a q a =-，即()112112q ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭
，解得()22q =； 当3n =时，由()()12331a a q a +=-，即()11111311223q ⎛⎫⎛⎫++=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，解得()33q =；
当4n =时，由()()123441a a a q a ++=-，即111111223⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
= ()111411234q ⎛⎫+++- ⎪⎝⎭
，解得()44q =。

由此猜想()()2,q n n n n N =≥∈。

下面用数学归纳法证明：当2,*n n N ≥∈时，等式12a a ++…()11n n a n a -+=-成立。

①当2n =时，由以上经验可知等式成立。

②假设当n k =()2,*k k N ≥∈时等式成立，即12a a ++…()11k k a k a -+=-，则当1n k =+时，12a a ++…1k k a a -++()()11k k k k a a k a k =-+=+-
()()111k k a k =+-++()()()1111111k k k a k a k +⎛⎫=++-=+- ⎪+⎝
⎭。

∴当1n k =+时，等式也成立。

由①②知，对于大于1的自然数n ，存在整式()q n n =，使得等式12a a ++…()()11n n a q n a -+=-总成立。

评注：这是一个探索性问题，整式()q n 需要用经验归纳法来探求和发现，用观察、归纳、猜想的思维途径去概括，然后用数学归纳法给出严密的证明。

例3 是否存在常数a 、b 、c 使等式
()()()222222421122n n n n n an bn c ⋅-+-++-=++L 对一切正整数n 成立？证明你的结论。

分析：先取n =1、2、3，探求a 、b 、c 的值，然后用数学归纳法证明对一切的*n N ∈，a 、b 、c 所确定的等式成立。

解析：分别用n =1、2、3代入解方程组0164381918a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ ，解得14140a b c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩。

下面用数学归纳法证明：
（1）当1n =时，由上式可知等式成立；
（2）假设当n k =时等式成立，即
()()()222222421122k k k k k ak bk c ⋅-+-++-=++L ，
则当1n k =+时，左端
()()()()()()222222221112121111k k k k k k k k ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⋅+-++-+++-+++-+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
L ()()()()()2222221122121221k k k k k k k =⋅-+-++-+⋅+++L ()21k k +++L ()()()4211212212144k k k k k k ⎛⎫=+-+++++++ ⎪⎝⎭
L ()()42111144
k k =+-+， ∴当1n k =+时，等式也成立。

由（1）、（2）得等式对一切*n N ∈都成立。

评注：本题是探索性命题，它通过观察——归纳——猜想——证明完整的思路过程去探索和发现问题，并证明所得结论的正确性，这是一种非常重要的思维能力。