2023届四川省德阳市罗江中学高一数学第一学期期末学业质量监测试题含解析
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一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的， 请将正确答案涂在答题卡上.） 1．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是
.20
A.
B.8
3
C.20
D.24
2．设集合 A x | 3 2x 1 3 ， B x | x 2k 1, k Z ，则 A B （）
【详解】由题意，集合 A R， B y | y 1，∴ A B x | x 1 .
故选：B 6、D 【解析】推导出 A1C1⊥BD，A1C1⊥DD1，从而 D1O⊂平面 BDD1，由此得到 A1C1⊥D1O
【详解】
∵O 为正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 底面 ABCD 的中心， ∴A1C1⊥BD，A1C1⊥DD1， ∵BD∩DD1＝D， ∴A1C1⊥平面 BDD1， ∵D1O⊂平面 BDD1， ∴A1C1⊥D1O 故答案为：D 【点睛】本题考查与已知直线垂直的直线的判断，是中档题，做题时要认真审题，注意线面垂直的性 质的合理运用
A. 4
B. 2
C.2
D.4
5．已知集合 A x y x2 1 ，集合 B y y x2 1 ，则 A B （）
A.0
B.x | x 1
C.x | x 1
D. R
6．O 为正方体 ABCD A1B1C1D1 底面 ABCD 的中心，则直线 D1O 与 A1C1 的夹角为 (
)
A.
故选：D. 8、A 【解析】
判断出三个函数的单调性，可求出
x1
1 3
，
x3
0
，并判断
x2
0
，进而可得到答案
【详解】因为
f
(x)
log3
x
3x
在
0,
上递增，当
x
1 3
时，
f
1 3
log3
1 3
1
0 ，所以
x1
1 3
；
因为 g(x) 3x 3x 在 , 上递增，当 x 0 时， g(x) 3x 3x 1 0 恒成立，故 g(x) 的零点小于 0，即 x2 0 ； 因为 h(x) x3 3x 在 , 上递增，当 x 0 时， h(0) 0 ，故 x3 0 ，
所以 sin 1 1 ， cos 2 2 ，
22 12 5
22 12 5
所以 sin 2 2sin cos 2 1 2 4 5 55
故选：D 4、D 【解析】根据图象求得正确答案.
【详解】由图象可知 a e1 3e2, 1, 3, 4 .
故选：D
.5、B
【解析】由集合的表示方法以及交集的概念求解.
【详解】因为集合 A x | 3 2x 1 3 x | 1 x 2 ， B x | x 2k 1, k Z ，
所以 A B 1,1 ，
故选：C 3、D
【解析】根据任意角的三角函数的定义即可求出 sin, cos 的值，根据二倍角的正弦公式，即可求出 sin 2 的值
【详解】由题意，角 的顶点在坐标原点，始边在 x 轴非负半轴上，且角 的终边上一点 P 2,1 ，
A x | 1 x 2
B.x | 1 x 2
C.1,1
D. 1, 0,1
3．已知角 的顶点在坐标原点，始边在 x 轴非负半轴上，且角 的终边上一点 P 2,1 ，则 sin 2 （）
A. 4 5
B. 2 5 5
C. 2 5
4
D.
5
5
4．如图，向量 e1 ， e2 ， a 的起点与终点均在正方形网格的格点上，若 a e1 e2 ，则 （）
（）
A. x2 x3 x1
B. x1 x2 x3
C. x2 x1 x3
D. x3 x2 x1
9．若函数 f(x)＝|x|＋x3，则 f(lg 2)＋ f (lg 1 ) ＋f(lg 5)＋ f (lg 1) ＝()
2
5
A.2
B.4
C.6
D.8
10．已知集合U 1, 2,3, 4,5,6，A 1, 2,3 ，集合 A 与 B 的关系如图所示，则集合 B 可能是（ ）
因为 f (x) 为[0, ) 上的减函数， log3 a 0,1 0 ，所以 log3 a 1，
解得
1
log3
a
1
，所以
1 3
a
3
，
a
的范围为
1 3
,
3
.
【点睛】1.函数值不等式的求法：（1）利用函数的奇偶性、特殊点函数值等性质将函数值不等式转化为 f (x1) 与 f (x2 )
大小比较的形式： f (x1) f (x2 ) ；
故 x2 x3 x1 ．
故选：A．
9、A
【解析】利用 f(x)解析式的特征和对数的计算法则运算即可﹒
【详解】由于 f(x)＝|x|＋x3，得 f(－x)＋f(x)＝2|x|，
又 lg 1 ＝－lg 2，lg 1 ＝－lg 5
2
5
∴原式＝2|lg 2|＋2|lg 5|＝2(lg 2＋lg 5)＝2
B.
6
4
C.
D.
3
2
7．下列函数是奇函数，且在 0， 上单调递增的是( )
A. y 1 x
C. y x
B. y x2 D. y x
8．已知函数 f (x) log3 x 3x ， g(x) 3x 3x ， h(x) x3 3x 的零点分别 x1 ， x2 ， x3 ，则 x1 ， x2 ， x3 的大小关系为
A.2, 4,5
B.1, 2,5
C. 1, 6
D. 1, 3
11．下列函数是偶函数且在区间
上为减函数的是（）
A.
B.
C.
D.
12．“角 A 小于 ”是“角 A 是第一象限角”的（） 2
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
二、选择题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分,将答案写在答题卡上.）
2022-2023 学年高一上数学期末模拟试卷
考生请注意： 1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。 2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的 位置上。 3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
15．若
，且 α 为第一象限角，则
___________.
16．若直线 l 在 x 轴上的截距为 1,点 A2, 1，B4,5 到 l 的距离相等，则 l 的方程为______.
三、解答题（本大题共 6 个小题，共 70 分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．设函数 f (x) x 1 ， x (1, ) . x
7、D 【解析】利用幂函数的单调性和奇函数的定义即可求解.
【详解】当 0 时，幂函数 y x 为增函数；当 0时，幂函数 y x 为减函数，
故 y 1 x1 在 (0, ) 上单调递减， y
x 从而 A 错误；
x2 、 y
x
1
x2
和
y
x 在0， 上单调递增，
由奇函数定义可知， y x2 和 y x 不是奇函数， y x 为奇函数，从而 BC 错误，D 正确.
是二次函数，是偶函数，且在
上是增函数，
故选：C.
12、D
【解析】利用特殊值法结合充分、必要条件的定义判断可得出结论.
【详解】若角 A 小于 ，取 A ，此时，角 A 不是第一象限角，
2
4
即“角 A 小于 ” “角 A 是第一象限角”； 2
若角 A 是第一象限角，取 A 2 ，此时， A ，
（1）求 k1 ， a1 与 k2 ， a2 的值；
（2）该厂商现筹集到资金 20 万元，如何分配生产甲、乙商品的投资，可使总利润最大？并求出总利润的最大值
21．在 ABO 中， OA 6, OB 3 ，且 OA 与 OB 的夹角为 60 ， BP 2PA . （1）求 OP AB 的值； （2）若 OQ 3QA ， PQ x OA yOB ，求 x, y 的值.
4
2
即“角 A 小于 ” “角 A 是第一象限角”. 2
因此，“角 A 小于 ”是“角 A 是第一象限角”的既不充分也不必要条件. 2
故选：D.
二、选择题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分,将答案写在答题卡上.）
13、
1 3
,
3
【解析】先利用偶函数的性质将不等式化简为 f ( log3 a ) f (1) ，再利用函数在[0, ) 上的单调性即可转化为
log3 a 1，然后求得 a 的范围.
【详解】因为 f (x) 为 R 上偶函数，则 f (x) f (x) f ( x ) ，
所以 f (log1 a) f (log3 a) f (log3 a) f ( log3 a ) ，
3
所以 f (log3 a) f (log1 a) 2 f ( log3 a ) 2 f (1) ，即 f ( log3 a ) f (1) ， 3
其体积为： V 4 2 2 1 21 4 20 . 2
故选 C 点睛：三视图问题的常见类型及解题策略 (1)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能看到的 部分用虚线表示 (2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找 其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择题 (3)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将 三视图还原为实物图 2、C 【解析】利用集合的交集运算求解.
故选：A﹒
10、D
【解析】由图可得 B A ，由选项即可判断.
【详解】解：由图可知： B A ，
A 1, 2,3 ，
由选项可知：1,3 A ，
故选：D.
11、C
【解析】根据解析式判断各个选项中函数的奇偶性和单调性可得答案.
【详解】
不是偶函数；
不是偶函数；
是偶函数，且函数在
上是减函数，所以该项正确；
22．化简与计算
（1） 4a－1b (12a－4b－2 ) ； （2） log3 9 log2 6 log2 3 log4 3 log3 16 .
参考答案
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的， 请将正确答案涂在答题卡上.） 1、C 【解析】由三视图可知，该几何体为长方体上方放了一个直三棱柱，
19．已知角 的终边与单位圆交于点 P( 4 , 3) 55
（1）写出 sin 、 cos 、 tan 值；
（2）求
sin(
)
2 sin( 2
)
的值
2 cos( )
20．某厂商计划投资生产甲、乙两种商品，经市场调研发现，如图所示，甲、乙商品的投资 x 与利润 y（单位：万元）
分别满足函数关系 y k1xa1 与 y k2 xa2
（2）利用函数单调性将 f (x1) f (x2 ) 转化为自变量大小比较的形式，再求解不等式即可.
偶函数的性质： f (x) f (x) f ( x ) ；奇函数性质： f (x) f (x) ；
（1）判断函数 f x 的单调性，并用定义证明；
（2）若关于 x 的方程 x2 ax 1 0 在2,3 上有解，求实数 a 的取值范围.
18．2021 年秋季学期，某省在高一推进新教材，为此该省某市教育部门组织该市全体高中教师在暑假期间进行相关学 科培训，培训后举行测试（满分 100 分），从该市参加测试的数学老师中抽取了 100 名老师并统计他们的测试分数，将 成绩分成五组，第一组[65，70），第二组[70，75），第三组[75，80），第四组[80，85），第五组[85，90]，得到如图所 示的频率分布直方图
13．已知函数 f (x) 是定义在 R 的偶函数，且在区间[0, ) 上单调递减，若实数 a 满足 f (log3 a) f log1 a 2 f (1) ，
3
则实数 a 的取值范围是__________
14．若 a 0 ， b 0 ， a 2b 1 ，则1 2 1 的最小值为____________. ab
（1）求 a 的值以及这 100 人中测试成绩在[80，85）同组中的每个数据都用该组区间中点值代替）和第 50%分数位（保留两位小 数）； （3）若要从第三、四、五组老师中用分层抽样的方法抽取 6 人作学习心得交流分享，并在这 6 人中再抽取 2 人担当分 享交流活动的主持人，求第四组至少有 1 名老师被抽到的概率
.20
A.
B.8
3
C.20
D.24
2．设集合 A x | 3 2x 1 3 ， B x | x 2k 1, k Z ，则 A B （）
【详解】由题意，集合 A R， B y | y 1，∴ A B x | x 1 .
故选：B 6、D 【解析】推导出 A1C1⊥BD，A1C1⊥DD1，从而 D1O⊂平面 BDD1，由此得到 A1C1⊥D1O
【详解】
∵O 为正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 底面 ABCD 的中心， ∴A1C1⊥BD，A1C1⊥DD1， ∵BD∩DD1＝D， ∴A1C1⊥平面 BDD1， ∵D1O⊂平面 BDD1， ∴A1C1⊥D1O 故答案为：D 【点睛】本题考查与已知直线垂直的直线的判断，是中档题，做题时要认真审题，注意线面垂直的性 质的合理运用
A. 4
B. 2
C.2
D.4
5．已知集合 A x y x2 1 ，集合 B y y x2 1 ，则 A B （）
A.0
B.x | x 1
C.x | x 1
D. R
6．O 为正方体 ABCD A1B1C1D1 底面 ABCD 的中心，则直线 D1O 与 A1C1 的夹角为 (
)
A.
故选：D. 8、A 【解析】
判断出三个函数的单调性，可求出
x1
1 3
，
x3
0
，并判断
x2
0
，进而可得到答案
【详解】因为
f
(x)
log3
x
3x
在
0,
上递增，当
x
1 3
时，
f
1 3
log3
1 3
1
0 ，所以
x1
1 3
；
因为 g(x) 3x 3x 在 , 上递增，当 x 0 时， g(x) 3x 3x 1 0 恒成立，故 g(x) 的零点小于 0，即 x2 0 ； 因为 h(x) x3 3x 在 , 上递增，当 x 0 时， h(0) 0 ，故 x3 0 ，
所以 sin 1 1 ， cos 2 2 ，
22 12 5
22 12 5
所以 sin 2 2sin cos 2 1 2 4 5 55
故选：D 4、D 【解析】根据图象求得正确答案.
【详解】由图象可知 a e1 3e2, 1, 3, 4 .
故选：D
.5、B
【解析】由集合的表示方法以及交集的概念求解.
【详解】因为集合 A x | 3 2x 1 3 x | 1 x 2 ， B x | x 2k 1, k Z ，
所以 A B 1,1 ，
故选：C 3、D
【解析】根据任意角的三角函数的定义即可求出 sin, cos 的值，根据二倍角的正弦公式，即可求出 sin 2 的值
【详解】由题意，角 的顶点在坐标原点，始边在 x 轴非负半轴上，且角 的终边上一点 P 2,1 ，
A x | 1 x 2
B.x | 1 x 2
C.1,1
D. 1, 0,1
3．已知角 的顶点在坐标原点，始边在 x 轴非负半轴上，且角 的终边上一点 P 2,1 ，则 sin 2 （）
A. 4 5
B. 2 5 5
C. 2 5
4
D.
5
5
4．如图，向量 e1 ， e2 ， a 的起点与终点均在正方形网格的格点上，若 a e1 e2 ，则 （）
（）
A. x2 x3 x1
B. x1 x2 x3
C. x2 x1 x3
D. x3 x2 x1
9．若函数 f(x)＝|x|＋x3，则 f(lg 2)＋ f (lg 1 ) ＋f(lg 5)＋ f (lg 1) ＝()
2
5
A.2
B.4
C.6
D.8
10．已知集合U 1, 2,3, 4,5,6，A 1, 2,3 ，集合 A 与 B 的关系如图所示，则集合 B 可能是（ ）
因为 f (x) 为[0, ) 上的减函数， log3 a 0,1 0 ，所以 log3 a 1，
解得
1
log3
a
1
，所以
1 3
a
3
，
a
的范围为
1 3
,
3
.
【点睛】1.函数值不等式的求法：（1）利用函数的奇偶性、特殊点函数值等性质将函数值不等式转化为 f (x1) 与 f (x2 )
大小比较的形式： f (x1) f (x2 ) ；
故 x2 x3 x1 ．
故选：A．
9、A
【解析】利用 f(x)解析式的特征和对数的计算法则运算即可﹒
【详解】由于 f(x)＝|x|＋x3，得 f(－x)＋f(x)＝2|x|，
又 lg 1 ＝－lg 2，lg 1 ＝－lg 5
2
5
∴原式＝2|lg 2|＋2|lg 5|＝2(lg 2＋lg 5)＝2
B.
6
4
C.
D.
3
2
7．下列函数是奇函数，且在 0， 上单调递增的是( )
A. y 1 x
C. y x
B. y x2 D. y x
8．已知函数 f (x) log3 x 3x ， g(x) 3x 3x ， h(x) x3 3x 的零点分别 x1 ， x2 ， x3 ，则 x1 ， x2 ， x3 的大小关系为
A.2, 4,5
B.1, 2,5
C. 1, 6
D. 1, 3
11．下列函数是偶函数且在区间
上为减函数的是（）
A.
B.
C.
D.
12．“角 A 小于 ”是“角 A 是第一象限角”的（） 2
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
二、选择题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分,将答案写在答题卡上.）
2022-2023 学年高一上数学期末模拟试卷
考生请注意： 1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。 2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的 位置上。 3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
15．若
，且 α 为第一象限角，则
___________.
16．若直线 l 在 x 轴上的截距为 1,点 A2, 1，B4,5 到 l 的距离相等，则 l 的方程为______.
三、解答题（本大题共 6 个小题，共 70 分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．设函数 f (x) x 1 ， x (1, ) . x
7、D 【解析】利用幂函数的单调性和奇函数的定义即可求解.
【详解】当 0 时，幂函数 y x 为增函数；当 0时，幂函数 y x 为减函数，
故 y 1 x1 在 (0, ) 上单调递减， y
x 从而 A 错误；
x2 、 y
x
1
x2
和
y
x 在0， 上单调递增，
由奇函数定义可知， y x2 和 y x 不是奇函数， y x 为奇函数，从而 BC 错误，D 正确.
是二次函数，是偶函数，且在
上是增函数，
故选：C.
12、D
【解析】利用特殊值法结合充分、必要条件的定义判断可得出结论.
【详解】若角 A 小于 ，取 A ，此时，角 A 不是第一象限角，
2
4
即“角 A 小于 ” “角 A 是第一象限角”； 2
若角 A 是第一象限角，取 A 2 ，此时， A ，
（1）求 k1 ， a1 与 k2 ， a2 的值；
（2）该厂商现筹集到资金 20 万元，如何分配生产甲、乙商品的投资，可使总利润最大？并求出总利润的最大值
21．在 ABO 中， OA 6, OB 3 ，且 OA 与 OB 的夹角为 60 ， BP 2PA . （1）求 OP AB 的值； （2）若 OQ 3QA ， PQ x OA yOB ，求 x, y 的值.
4
2
即“角 A 小于 ” “角 A 是第一象限角”. 2
因此，“角 A 小于 ”是“角 A 是第一象限角”的既不充分也不必要条件. 2
故选：D.
二、选择题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分,将答案写在答题卡上.）
13、
1 3
,
3
【解析】先利用偶函数的性质将不等式化简为 f ( log3 a ) f (1) ，再利用函数在[0, ) 上的单调性即可转化为
log3 a 1，然后求得 a 的范围.
【详解】因为 f (x) 为 R 上偶函数，则 f (x) f (x) f ( x ) ，
所以 f (log1 a) f (log3 a) f (log3 a) f ( log3 a ) ，
3
所以 f (log3 a) f (log1 a) 2 f ( log3 a ) 2 f (1) ，即 f ( log3 a ) f (1) ， 3
其体积为： V 4 2 2 1 21 4 20 . 2
故选 C 点睛：三视图问题的常见类型及解题策略 (1)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能看到的 部分用虚线表示 (2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找 其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择题 (3)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将 三视图还原为实物图 2、C 【解析】利用集合的交集运算求解.
故选：A﹒
10、D
【解析】由图可得 B A ，由选项即可判断.
【详解】解：由图可知： B A ，
A 1, 2,3 ，
由选项可知：1,3 A ，
故选：D.
11、C
【解析】根据解析式判断各个选项中函数的奇偶性和单调性可得答案.
【详解】
不是偶函数；
不是偶函数；
是偶函数，且函数在
上是减函数，所以该项正确；
22．化简与计算
（1） 4a－1b (12a－4b－2 ) ； （2） log3 9 log2 6 log2 3 log4 3 log3 16 .
参考答案
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的， 请将正确答案涂在答题卡上.） 1、C 【解析】由三视图可知，该几何体为长方体上方放了一个直三棱柱，
19．已知角 的终边与单位圆交于点 P( 4 , 3) 55
（1）写出 sin 、 cos 、 tan 值；
（2）求
sin(
)
2 sin( 2
)
的值
2 cos( )
20．某厂商计划投资生产甲、乙两种商品，经市场调研发现，如图所示，甲、乙商品的投资 x 与利润 y（单位：万元）
分别满足函数关系 y k1xa1 与 y k2 xa2
（2）利用函数单调性将 f (x1) f (x2 ) 转化为自变量大小比较的形式，再求解不等式即可.
偶函数的性质： f (x) f (x) f ( x ) ；奇函数性质： f (x) f (x) ；
（1）判断函数 f x 的单调性，并用定义证明；
（2）若关于 x 的方程 x2 ax 1 0 在2,3 上有解，求实数 a 的取值范围.
18．2021 年秋季学期，某省在高一推进新教材，为此该省某市教育部门组织该市全体高中教师在暑假期间进行相关学 科培训，培训后举行测试（满分 100 分），从该市参加测试的数学老师中抽取了 100 名老师并统计他们的测试分数，将 成绩分成五组，第一组[65，70），第二组[70，75），第三组[75，80），第四组[80，85），第五组[85，90]，得到如图所 示的频率分布直方图
13．已知函数 f (x) 是定义在 R 的偶函数，且在区间[0, ) 上单调递减，若实数 a 满足 f (log3 a) f log1 a 2 f (1) ，
3
则实数 a 的取值范围是__________
14．若 a 0 ， b 0 ， a 2b 1 ，则1 2 1 的最小值为____________. ab
（1）求 a 的值以及这 100 人中测试成绩在[80，85）同组中的每个数据都用该组区间中点值代替）和第 50%分数位（保留两位小 数）； （3）若要从第三、四、五组老师中用分层抽样的方法抽取 6 人作学习心得交流分享，并在这 6 人中再抽取 2 人担当分 享交流活动的主持人，求第四组至少有 1 名老师被抽到的概率