高三数学简易逻辑知识精讲

高三数学简易逻辑
【本讲主要内容】
简易逻辑
命题（简单命题，复合命题，四种命题）及其真假值，关系；充要条件及其简单应用。

【知识掌握】
【知识点精析】
基本概念：
1. 简单命题与复合命题，均为命题，以是否含有逻辑联结词来区别，这里的逻辑联结词
“或”“且”“非”（即“∨”“∧”“┐”表示）与日常生活中的或、且、非不完全是相同的
意义。

命题——能够判断真假的语句。

（没有附加条件）
简单命题——不含逻辑联结词的命题。

复合命题——用逻辑联结词联结简单命题构成的命题。

基本形式“p ∨q ”“p ∧q ”“┐p ”
2. 四种命题
这是一种特殊的命题，是用一种联系的观点将两个简单判断建立因果关系形成一个新命
题（复杂判断）反应出有条件的联系。

基本形式：
若p 则q ——原命题
若p ⌝则q ⌝——否命题
若q 则p ——逆命题
若q ⌝则p ⌝——否命题
共四种统称为~
注：我们不研究诸如若p ⌝则q ，若q ⌝则p 等形式的命题。

3. 命题的真假判断
对于简单命题、非真即假
对于复合命题
“或”命题——一真即真，全假为假
“且”命题——一假即假，全真为真
“非”命题——真假相反
对于四种命题：
互逆否命题——同真同假为等价
互逆命题、互否命题——不具有必然的真假联系
易混之处：命题的否定即非命题，任何命题都有“非”形式，其真假与命题真假相反，
这是必然，但否命题是一种特殊命题，真假值不必然。

4. 充要条件
建立在四种命题形式上的以研究命题为真时，条件与结论的相互关系，“若p 则q ”为
真，p 为条件，q 为结果，就揭示了p 与q 的必然的逻辑关系，研究和判断条件的充分性
与必然性。

模式：若p 则q 为真，则：
p 为条件——p 是q 的充分条件
q 为条件——q 是p 的必然条件
【解题方法指导】
[例1] 指出下列词语的否定形式
等于——不等于
大于——不大于或“小于等于”
小于——不小于或“大于等于”
是——不是
存在一个是——任意一个都不是（或所有的都是）
所有的都是——至少有一个不是（或存在一个不是）
至多有1个——至少有2个
至多有n 个——至少有1+n 个
至少有1个——一个也没有
至少有n 个——至多有1-n 个
注：“否定”即是全面，全盘否定，相互是完全对立的，思想方法可以凭借集合中“补
集”思想加以指导，例如“至少有一个”亦即“1≥”其对立面便是“1<”个数“1<”也
即没有。

再如，日常生活中，派2人参加活动，指令“你们2个人都去”的反对意见便是“你
们2个人不都去”即“至少有一个不去”，如韦恩图示
[例2] 判断p 是q 的什么条件
（1）已知集合A ，B 满足B A ⊆，p ：A x ∈，q ：B x ∈，则p 是q 的 。

本题旨在建立起集合关系与充分必然条件中的相互对应，更好的理解充分必要条件的逻
辑本质，从而可以进一步解决。

如：
已知实数x ，50:<<x p ，42:<-x q ，则p 是q 的 条件等问题。

q 即
62<<-x
∵（0，5）≠⊂（6,2-） ∴ p 是q 的充分不必要条件
（2）在ABC ∆中，A 、B 、C 是三内角
要证明B A sin sin >，只需证明p ： 即可。

（B A >）
要证明B A cos cos >，只需证明q ： 即可。

（B A <）
要证明B A tan tan >，只需证明r ： 即可。

（02>>>B A π
或
ππ
<<<<B A 20）
分析：q p 、均为对应结论的充要条件
r 若为20π<<<A B 或为ππ
<<<<B A 20中任何一个均是充分不必要的，而r 为A B <<02π<或
ππ<<<
<B A 20为充要条件 本题首先了解三角形内的同名三角函数之间的关系。

【考点突破】 【考点指要】
本节作为思想方法，在高考中出现的题目更多承载其它章节的知识，而作为单纯知识点考查较少，难度属较易为主，若综合则更多表现在知识变通的环节上，充分条件是重点，在命题判断中，命题的否定与否命题是易错点。

【典型例题分析】
[例1]（04辽宁，3）已知βα,是不同的两个平面，直线α⊂a ，直线β⊂b ，命题p ：a 与b 无公共点，命题q ：βα//，则p 是q 的（ ）
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分又不必要条件
分析：p 是q 的必要而不充分条件，选B 。

本题直接考查广泛存在于立体几何中的关于位置关系的命题，从直线的位置关系与平面的位置关系的相互联系，测试学生在本章节知识间构建关联能力——在平面内的直线间位置关系不能左右其所在平面的位置关系，如图示。

[例2]（06山东，16）下列四个命题中，真命题的序号有 （写出所有真命题的序号）
（1）将函数1+=x y 的图象按向量)0,1(-=平移，得到的函数图象对应的函数表达式为x y =。

（2）圆012422=++++y x y x 与直线x y 21=
相交，则得弦长为2。

（3）若21)sin(=+βα，3
1)sin(=-βα，则5cot tan =βα。

（4）已知正方体1111D C B A ABCD -，P 是底面ABCD 内一动点，P 到平面D D AA 11的
距离与到直线1CC 的距离相等，则P 点的轨迹是抛物线的一部分。

分析：本题答案是（3）（4）
知识涉及到函数图象平移、向量、直线与圆的位置关系，三角公式及变形，立体与解析综合等大量的命题判断，纯逻辑知识不典型，但以判断为问题形式信息量便可加大。

（1）即将函数图象左移1个单位，得到的是2+=x y ，故错。

（2）圆4)1()2(2
2=+++y x ，半径长为2，圆心到直线距离为（弦心距）0。

∴ 弦长为4，故错。

（3）展开公式求出βαcos sin 及βαsin cos ，两式作比便得。

（4）将底面上点P 到面D A 1的距离转化为P 到直线AD 距离，将其到直线C C 1的距离转化为P 到C 的距离转化的理由用到面面垂直性质，点线距离定义等，恰合抛物线定义。

【综合测试】
1.
（1）“若1<x ，则2<”的逆命题
（2）“若y x =则y x =”的否命题
（3）“若21,x x 是方程0322=--x x 的两根，则221=+x x ”的逆命题
（4）“若1<m ，则方程022=++m x x 有两个不等的实根”的逆否命题
以上四个命题中，真命题是（ ）
A.（1）
B.（2）
C.（3）
D.（4）
2. 已知条件p ：21>+x ，条件q ：265x x >-，则p ⌝是q ⌝的（ ）
A. 充分不必要
B. 必要不充分
C. 充要
D. 既不充分也不必要
3. 若p 、q R ∈，则n
n q p )(lim ∞→存在的一个充分不必要条件是（ ） A. p q > B. q p = C. 0<<p q D. p q <<0
4. 设非空集合}5312|{-≤≤+=a x a x A ，})3)(22(|{x x y x B --==，则
B A A ⋂⊆的一个充分不必要条件是（ ）
A. 91≤≤a
B. 96<<a
C. 9≤a
D. 96≤≤a
5. 关于双曲线1=xy 有下面4个命题
（1）它的渐近线方程是0=x 和0=y
（2）它的实轴长为22
（3）它的离心率为2
（4）正三角形三顶点),(),,(),,(332211y x R y x Q y x P 在双曲线1=xy 上，则321,,x x x 不可能同号
以上正确命题的序号是 。

6. 设条件134:≤-x p ，条件0)1()12(:2≤+++-a a x a x q ，若p ⌝是q ⌝的必要而不充分条件，则实数a 的取值范围是 。

7. 条件甲：2
2,2,)21
(1x x x -成等比数列，条件乙：)3lg(),1lg(,lg ++x x x 成等差数列，则甲是乙的 。

8. 将下面不完整的命题补充完整，使之成为真命题。

若函数x x f 2log 3)(+=的图象与)(x g 的图象关于 对称。

则函数=)(x g （不必考虑所有情形）
9. 已知条件a x p <-15:和条件01
321:2>+-x x q ，请选择适当的实数a 的值，分别利用所给两个条件作为A 、B 构造命题：“若A 则B ”，并使得构造的原命题为真命题，而其逆命题为假命题，则这样的原命题可以是什么？
10. 已知函数n mx x x f ++=2
2)(，求证)3()2()1(f f f 、、中至少有一个不小于1。

【综合测试答案】
1. D
2. A
3. C
4. B
提示：96125322
53312≤≤⇒⎪⎩
⎪⎨⎧+≥-≤-≥+⇔⊆⇔⋂⊆a a a a a B A B A A 5.（1）（2）（3）（4）
提示：（2）（3）（4）均可以用定形元素（等轴双曲线）而非定位置元素来确定。

6. ]21,0[ 提示：1:,12
1:+≤≤≤≤a x a q x p ，p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，即q 是p 的必要不充分条件，即/,⇒⇒q q p p
∴ ]21,0[]1,[]1,21[∈⇒+≠⊂a a a
7. 必要非充分条件
提示：乙⇒甲但甲/⇒乙
8. x 轴；x 2log 3--
9. 分析：2
1:<x q 或1>x 0≥a 时，5
151:a x a p +<<- 0<a 时，φ∈x p : 若),1()21,()51,51(
+∞⋃-∞⊆+-a a 即]2
3,0[∈a ∴ 只需]23,0[∈a ，则“若A 则B ”为真，而“若B 则A ”为假。

10. 分析：此题首先运用反证法 假设)3()2()1(f f f 、、都小于1，则⎪⎩
⎪⎨⎧<++<-<++<-<++<-131811281121n m n m n m
φ∈⇒⎩⎨⎧-<<--<<-⇒⎪⎩
⎪⎨⎧-<+<--<+<--<+<-⇒m m m n m n m n m 812481731972913 故假设不成立，原命题正确。