人教版高中数学必修二模块综合测评(二)

模块综合测试
（满分 120 分 ,测试时间100 分钟）
一、选择题（本大题共 12 小题，每题 4 分，共 48 分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪
一项切合题目要求的）
1.给出以下命题：①底面多边形内接于一个圆的棱锥的侧棱长相等，②棱台的各侧棱不必定
订交于一点，③假如不在同一平面内的两个相像的直角三角形的对应边相互平行，则连接它们的对应极点所围成的多面体是三棱台，④圆台上底圆周上任一点与下底圆周上任一点的连
线都是圆台的母线.此中正确的个数为()
A.3
B.2
C.1
D.0
分析 :命题①中：底面多边形内接于一个圆，但其实不可以推断棱长相等；命题②中：由棱台的
性质可知，棱台的各侧棱延伸后订交于一点；命题③中 :因两个直角三角形相像且对应边平行，
可推出连接对应极点后延伸线交于一点，即此几何体可由一个平行于底面的平面所截，故命题③
正确；命题④中 :上底的圆周上一点与下底圆周上任一点连线有三种可能：在圆周
上的曲线、侧面上的曲线或不在侧面上的线段.
答案： C
2.图 1 是一个物体的三视图，则此三视图所描绘的物体是以下几何体中的()
图 1
分析 :从三个角度看都是切合的，应选 D.
答案： D
3.已知各极点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是()
图 2
A.16 π
B.20 π
C.24 π
D.32π
分析 :由题意可得该正四棱柱的底面面积为4,边长为 2.因正四棱柱属于长方体,所以所求球的球心在该长方体的中心,即球的直径为26,依据球的表面积公式可得球的表面积为24π.
答案： C
4.木星的体积约是地球体积的240 30倍，则它的表面积约是地球表面积的()
A.60 倍
B. 6030 倍
C.120 倍
D. 120 30倍
分析 :设木星的半径为r1,地球的半径为r2,由题意 ,得r
1
3
240 30 ,则木星的表面积∶地球r 23
的表面积
r12r13r213
2402302120. =240 30
r22r23r13 24030
答案： C
5.已知水平搁置的△ABC是按“斜二测画法”获得如图3所示的直观图，此中
3
)
B′ O′ =C′ O′ =1,A ′,O那′=么原△ ABC 是一个 (
2
图 3
A. 等边三角形
B.直角三角形
C.三边中有两边相等的等腰三角形
D. 三边互不相等的三角形
分析 :依据“斜二测画法”可得BC=B′C′=2,AO=2A′O′=3.故原△ABC是一个等边三角形 .
答案： A
6.已知直线 m、n 与平面α、β，给出以下三个命题：
①若 m∥ α， n∥ α，则 m∥ n；②若 m∥α， n⊥ α，则 n⊥m；
③若 m⊥ α， m∥ β，则α⊥ β其.中正确命题的个数是
()
A.0
B.1
C.2
D.3
分析 :经过举例可证明①错误,可知②③命题为正确命题 .
答案： C
7.点 P(2,5)对于直线 x+y+1=0的对称点的坐标为 ()
A.(6,-3)
B.(3,-6)
C.(-6,-3)
D.(-6,3)
分析 :依据两点对于直线对称的特色：两点的连线与对称轴垂直以及两点的中点在对称轴上,
可得对称点为 (-6,-3).
答案： D
8.点 P 在正方形 ABCD 所在平面外， PD⊥平面 ABCD ， PD=AD ，则 PA 与 BD 所成角的度
数为 ()
A.30 °
B.45 °
C.60 °
D.90 °
分析 :将图形补成一个正方体如图，则PA 与 BD 所成角等于 BC′与 BD 所成角即∠ DBC′.在
等边三角形 DBC′中，∠ DBC′=60°，即 PA 与 BD 所成角为 60°.
答案： C
9.若 l 为一条直线，α、β、γ为三个互不重合的平面，给出下边三个命题：
①α⊥γ，β⊥ γα⊥β;②α⊥γ,∥βγα⊥ β；③ l∥ α,l⊥βα⊥ β．
此中正确的命题有 ( ) A.0 个
B.1 个
C.2 个
D.3 个
分析 :①中可由长方体的一角证明是错误的；②③易证明是正确的
.
答案： C
10.已知实数 x 、 y 知足 2x+y+5=0 ，那么 x 2 y 2 的最小值为 (
)
A. 5
B. 10
C. 2
5
D. 2 10
分析 : x 2
y 2 表示点 P(x,y) 到原点的距离 . 依据数形联合得 x 2
y 2 的最小值为原点到
直线 2x+y+5=0 的距离，即 d=
5
5 .
5
答案： A
11.在座标平面内，与点
A(1,2) 距离为 1，且与点 B(3,1) 距离为 2 的直线共有 ()
A.1 条
B.2 条
C.3 条
D.4 条
分析 :与点 A （1,2）的距离为 1 的直线即为以点 A(1,2) 为圆心，以 1 为半径的圆的切线 .与点
B （ 3,1）的距离为 2 的直线即为以点 B(3,1) 为圆心，以 2 为半径的圆的切线
.所以到 A 、B 两
点距离为
1 和
2 的直线即为两圆的公切线，因｜
AB ｜= (1
3)2 ( 2 1) 2
5 ，且
5 2 1，所以两圆订交，故有两条公切线 .
答案：
B
12.矩形 ABCD 中， AB=4 ， BC=3 ，沿 AC 将矩形 ABCD
折成一个直二面角
BACD
，则四周
体 ABCD 的四个极点所在球的体积为 (
)
125 125
C.
125
125
A.
B.
6
D.
12
9
3
分析 :连接矩形 ABCD 的对角线 AC 、 BD 交于 O ，则 AO=BO=CO=DO ，翻折后仍旧
，则 O 为四周体 ABCD 四个极点所在球的圆心，所以四周体
ABCD 四
个极点所在球的半径为 5
，故球的体积为
4 ( 5)3 12
5 . 答案： C
2
3 2 6
二、填空题（本大题共 6 小题，每题 4 分，共 24 分）
13.圆台上、下底半径为
2 和 3，则中截面面积为 ________________.
分析 :由圆台的性质可知中截面是一个圆，圆的直径为轴截面梯形的中位线，设中截面圆的
5 25 .
半径为 x ，故有 4x=4+6 ，解得 x= , S
4
答案：
25
2
4
14.经过直线 2x+3y-7=0 与 7x+15y+1=0
的交点，且平行于直线
x+2y-3=0 的直线方程是
____________.
解 析 : 由 已 知 可 设 经 过 直 线 2x+3y-7=0 与
的交点的直线方程为
2x+3y- 7+λ (7x+15y+1)=0，整理得 (2+7 λ )x+(3+15 -λ7+)y λ =0根.据两直线平行关系得 λ =1，代入
得 3x+6y-2=0.
答案： 3x+6y-2=0
15.过 A(-3,0) 、 B(3,0) 两点的全部圆中面积最小的圆的方程是 ___________________ ．
分析 :依据圆的性质，圆的半径最小时，面积最小 ,即以 AB 为直径端点的圆知足条件 ,所求方
程为 x 2+y 2=9. 答案： x 2+y 2=9
16. 已知圆锥的侧面积是底面积的
2 倍，它的轴截面的面积为
Q ，则圆锥的体积为
___________.
2
2
分析 :设圆锥的高为
h,半径为 r,母线为 l,则 S 侧 =πr l ，S 底=πr，∵ S 侧 =2S 底 ,∴ πr l=2πr，即 l =2r.
又 l 2=r 2+h 2，解得 h= 3r .
又∵ S 轴截面 =rh=Q, ∴ r 2
= Q
Q ,即 r=.
3
4
3
∴h=
3r
3Q
1
2 Q Q
.故 V
=
h=
.
4
3
圆锥
3
πr
34 3
答案：
Q Q
34 3
17.已知圆柱的高为 h ，底面半径为 R ，轴截面为矩形 A 1ABB 1，在母线 AA 1 上有一点 P ，且
PA=a ，在母线 BB 1 上取一点 Q ，使 B 1Q=b ，则圆柱侧面上
P 、 Q 两点的最短距离为
____________.
分析 :如图甲，沿圆柱的母线
AA 1 剪开得矩形
（如图乙），过 P 作 PE ∥AB 交 BB 1 于 E ，
则 PE=AB= 1
· 2π R=πR，QE=h-a-b.
2
∴PQ=
PE 2 QE 2 ( R) 2 ( h a b) 2 .
答案：
( R)2
(h a b)
2
18.过圆 x 2+y 2=4 外的一点 A(4,0) 作圆的割线，则割线被圆截得的弦的中点的轨迹方程为 ________________.
分析 :设弦的中点是 P(x 0,y 0)，依据圆的几何性质得 OP ⊥ AP ，即点 P(x 0,y 0)在以 OA 为直径的圆上，即(x 0-2)2+y 02=4.因 P(x 0,y 0)在圆 x 2+y 2=4 内，故弦的中点的轨迹方程为 (x-2) 2+y 2 =4，x ∈ ［ 0,1).
答案： (x-2) 2+y 2=4， x ∈［ 0,1) 三、解答题（本大题共
4 小题，共 48 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19.（本小题满分 10 分）已知直线 l 垂直于直线 3x-4y-7=0 ，直线 l 与两坐标轴围成的三角形
的周长为10，求直线l 的方程 .
解：设直线 l 方程为 4x+3y+b=0 ，则 l 与轴、 y 轴的交点为 A(b b
,0),B(0,). 43
∴｜ AB ｜ = 5
b .由｜ OA ｜ +｜ OB｜ +｜AB ｜ =10,得
| b |
| b |
5 | b |
=10. ∴ b=±10.
124312
∴l 方程为 4x+3y+10=0,4x+3y-10=0.
20.（本小题满分 12 分）圆锥底面半径为 1 cm，高为2cm，其有一个内接正方体，求这
个内接正方体的棱长 .
解：过圆锥的极点和正方体底面的一条对角线CD 作圆锥的截面，得圆锥的轴截面SEF，正方体对角面 CDD 1C1，如图，设正方体棱长为x，
则 CC1 =x,C 1D1 = 2 x.作SO⊥EF于O，则SO= 2 ,OE=1,
∵△ ECC1∽△ ESO,∴CC
1
EC
1 . SO EO
x 1 2 x
∴2.
21
∴x=
2 (cm). 2
∴正方体棱长为
2
cm. 2
21.（本小题满分12 分） (2005 江苏高考 ,19)如图 4,圆 O1与圆 O2的半径都是1O2=4,过动点 P 分别作圆 O1、圆 O2的切线 PM、PN （M 、N 分别为切点），使得 PM=2PN, 试成立适当的坐标系，并求动点P 的轨迹方程 .
图 4
解：如图，以直线O1O2为 x 轴，线段 O1O2的垂直均分线为y 轴，成立平面直角坐标系，
则两圆心分别为 O1 (-2,0),O 2(2,0).
22222222
设 P(x,y) ，则 PM =O 1P -O1M =(x+2)+y -1.同理 ,PN =(x-2) +y -1．∵PM= 2 PN，
∴(x+2)22222222
．这就是动点 P 的轨迹+y -1=2［(x-2) +y -1］，即 x -12x+y+3=0 ，即-6) +y =33
方程．
22.（本小题满分14 分）如图5，正方体 ABCD — A 1B1 C1D 1中， P、 M 、N 分别为棱 DD 1、AB 、BC 的中点 .
图 5
（1）求二面角 B 1MNB 的正切值；
（2）求证： PB⊥平面 MNB 1.
（3）画出一个正方体表面睁开图，使其知足“有 4 个正方形面相连成一个长方形”的条件，并求出睁开图中 P、B 两点间的距离 .
（1）解：连接 BD 交 MN 于 F，连接 B1F.
∵平面 DD 1B1B⊥平面 ABCD, 交线为 BD ， AC ⊥BD,
∴AC ⊥平面 DD 1B 1B. 又∵ AC//MN ，
∴MN ⊥平面 DD 1B 1B.
∵B 1F,BF平面DD1B1B，
∴B 1F⊥ MN,BF ⊥ MN.
∵B1F平面B1MN，
BF 平面 BMN ，则∠ B1FB 为二面角 B 1-MN-B 的平面角 .
在 Rt△ B 1FB 中，设 B1B=1 ，则 FB= 2，4
∴tan∠B 1FB= 2 2 .
（2）证明：过点 P 作 PE⊥AA 1，则又 DA ⊥平面 ABB 1A 1，∴ PE⊥平面又 BE⊥ B 1M ，∴ B 1M ⊥平面 PEB. ∴PB ⊥MB 1.PE∥ DA ，连接 BE. ABB 1A 1,即 PE⊥ B1 M.
由（ 1）中 MN ⊥平面 DD 1B 1B,得 PB⊥ MN ，所以 PB⊥平面 MNB 1.
（3）解： PB=13
，切合条件的正方体表面睁开图能够是以下 6 种之一：2。