高等数学竞赛讲座(一元积分学)
高等数学 第三章 一元函数微积分学及其应用
存在且相等.
现在，我们可回答函数 y | x | 在 x 0 处不可导的原因: f0 f0
27
四、左、右导数
第三章 一元函数微分学及其应用
例10
已知
f
x
sin
x
x
x0
x 0 ，求 f0, f0 及 f 0 .
9
二、导数的定义
第三章 一元函数微分学及其应用
定义
设函数 y f x 在 x0 的某个邻域内有定义，当 x 在 x0 处增量为 x （ x0 x 在该邻域内）时，相应地， 函数有增量 y f x0 x f x0 .
如果
lim y lim f x0 x f x0 lim f (x) f (x0)
例6 求 f x x2 的导数.
解 x2 lim x+x2 x lim x 2x 2x
x0
x
x0
一般地，当 x 0 ， y x 有定义时，
x lim x x x x1
x0
x
当 x 0 时, y x 有定义时也有上式成立.
例如，取 1 ，则有 2
x
8
一、 割线与切线
练习
第三章 一元函数微分学及其应用
1.求单位圆 x2 y2 1上过点 (1, 0) 的切线方程. 2. 求抛物线 y x2 上过点 (1,1) 和 (2, 4) 的割线方程. 3.求抛物线 y x2 上过点 (1,1) 的切线方程.
4.求函数 y ex 在点 x 1处的切线斜率.
30
五、切线与法线方程
第三章 一元函数微分学及其应用
例11
求曲线
y1 x
高等数学 第三章 一元函数微积分学及其应用
x x0
x0
x
xx0
x x0
存在，则称该极限为 y f x 在点 x0 处的导数，记为
dy
df (x)
f x0 ， y xx0 ， dx xx0 或
dx xx0
10
二、导数的定义
第三章 一元函数微分学及其应用
这时也称函数 y f x 在点 x0 处可导.
如果该极限不存在，称函数 y f x 在点 x0处不可导 .
例1 求函数 y ln x 在点 x e 处的切线斜率.
解
k lim f (x) f (x0 ) = lim ln x ln e
x x0
x x0
xe x e
ln x = lim e
xe x e
lim
ln 1
xe e
xe
xe
所以
xe lim e 1
xe x e e
第三章 一元函数微分学及其应用
y
此刻切线的斜率即为 k lim y y0 lim f (x) f (x0 )
x x xx0
0
x x0
x x0
y f x
N Δy T
从上面的例子可以看出， 在求切线斜率的过
程中， 需要用到极限
lim f (x) f (x0 )
x x0
x x0
M C
α
Δx
O
x0
xx
7
二、导数的定义
故 y x2
在 x=0处导数为零，即
dy dx
x x0
0.
O
x
图 3-7
12
二、导数的定义
第三章 一元函数微分学及其应用
例3 求函数 y | x |,在点 x 0 处（见图2-8）的导数.
高等数学第四讲一元函数积分的概念性质与基本定理
一、一元函数积分的概念、性质与基本定理1、原函数、不定积分在区间Ⅰ上，如()()x f x F /=，称()x f 为()x F 的导函数，称()x F 为()x f 的原函数，原函数与导函数是一种互逆关系。
如()x F 为()x f 的一个原函数，则()C x F +为()x f 的全体原函数。
记为⎰f(x)dx ，即⎰f(x)dx =()C x F + 不定积积分性质 (1) f(x))f(x)dx (/=⎰或 ()dx x f f(x)dx d =⎰(2) C F(x)(x)dx F /+=⎰ (3) ⎰⎰=f(x)dx k f(x)dx k(4) ⎰⎰⎰±=±g(x)dx f(x)dx g(x))dx f(x) (∵原函数与导函数有互逆关系,∴由导数表可得积分表。
例、P98 例3.1 已知()x F 是xxln 的一个原函数，求：()x sin dF 解：xlnx(x)F /=cosxdx sinxlnsinxdsinx dsinx dF(sinx)dF(sin x)==例、()x f 的导函数是x sin ，则()x f 的原函数21c x c x sin ++-，(1c 、2c 为任意常数)例、在下列等式中，正确的结果是 C A 、()⎰=x f (x)dx f /B 、⎰=f(x)df(x)C 、⎰=f(x)(x)dx f dxdD 、⎰=f(x)(x)dx f d 例、)dx x1(1x x )dx x 1(1x x 241212-⋅=-⎰⎰dx )x -(x 4543⎰-=C 4x x 744147++=-2、计算方法 10 换元法第一类换元法（凑微分法）常用凑微分形式kdx dkx = ()dx c x d =+xxde dx e = dlnx dx x1=x sin d x cos = x1d dx x 12=-x d dx x 21= x tan d xdx sec 2=sin x arc d dx x -112=22x 1d dx x 1x +=+22x 1d dx x -1x --= x sin d dx x 2sin 2=x cos d dx x 2sin 2-=-例、⎰⎰+--=---=-c 2x 3ln 212x)d(32x 3121dx 2x 317、⎰⎰+==c (lnx)32ln x d lnx dx x ln x 238、⎰⎰+==c x sin 41sin x d x sin xdx sin x cos 4339、⎰⎰+-=-=c x 1x -1d 21 x d x-1x22210、⎰⎰+-=-=c e 31d(-x)e 31dx e x 3x -33x -3x -211、⎰⎰+=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+c a x tan arc a1a x d a x 11a1dx x a 1222 12、⎰⎰+=+=+c a2xarctan 61d2x (2x)3121 x d 4x 91222 13、⎰⎰+++=++c 1)d(x 41)(x 1x d 5x 2x 122 c 21x arctan 21++=14、⎰+=c a xarcsin x d x-a 122 15、⎰⎰--=+223x)(25dx 9x -2x 11dx 31-=c 53x 2sin arc +- 16、c 1tanx 21)d(tanx 1tan x 11tan x x sec 2++=++=+⎰⎰17、⎰⎰-=dx )1x (sec x tan xdx tan 224dx )1x (sec x tan xd tan 22⎰⎰--=C x x tan x tan 313++-=18、x arcsin d x arcsin dx x 1x arcsin 424⎰⎰=-C x arcsin 515+= 19、⎰⎰++=+)1e (d )1e sin(dx )1e sin(e xxxxC )1e cos(x ++-=20、⎰⎰=x d x cos 2ds xx cosC x sin 2+=21、x d x 1xarctan 2dx x)x 1(x arctan ⎰⎰+=+ ⎰=x arctan d x arctan 2 C x arctan 2+=22、dx e1e e 1dx e 11xxx x ⎰⎰+-+=+⎰+-=dx e1e 1xx()⎰++-=x x e1e 1d x ()C e1ln x x++-=23、⎰⎰⎰+-+=+-)4e (e de 4e de dx 4e 1e x 2x xx 2x x 2xxx 2x x x de 4e e e 1412e arctan 21⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=C )4e ln(814x 2e arctan 21x 2x +++-=P100, (9),(10), (14)21x -除了凑微分法外其它常用变量代换 (1)被积函数中含有二次根式22x a -，令t sin a x = 22x a +，令t tan a x = 22a x -，令t sec a x =如是C bx ax 2++配方221212212u a ,a u ,a u --+→例1、dx xx 122⎰- 令tdt cos dx ,t sin x ==解：原式 ⎰⋅=tdt cos tsin tcos 2⎰⎰-==dt )1t (csc tdt cot 22C t t cot +--=C x arcsin xx 12+---=例2、dx 4x x122⎰- P105例4 二种解法（2）被积函数中含一般根式例3、⎰++32x 1dxP106 （6）解：令dt t 3dx 2t x t2x 233=-==+原式⎰⎰++-=+=dt )t111t (3dt t 1t 32()C 2x 1ln 32x 32x 233332+++++-+=例4、⎰+dx x x 132令 dt t 6dx t x 56==原式⎰⎰⎰++-=+=+=dt )t111t (6dt t 1t 6dt t t t 62435 C t 1ln t 2t 62+⎪⎭⎫⎝⎛++-= C x 1ln 6x 6x 3663+++-=例5、⎰+dx 1e x解：令 1t e t1e 2x x-==+dt 1t t2dx )1t ln(x 22-=-= 原式 ⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-⋅=dt 1t 112dt 1t t 2t 22 C 1t 1t lnt 2++-+=C)11e ln()11e ln(1e 2x x x +++--+++=20分部积分<定理> 如()x u 、()x v 均具有连续的导函数，则⎰⎰-=vdu uv dv u例1、⎰⎰=xdsin x dx x xcos⎰=dx sin x -sin x xc x cos sin x x ++=例2、⎰⎰---=xxxde dx xe⎰--+-=dx e xe x xC e xe x x+--=--例3、()⎰⎰⋅-=dx x-11sin x 2arc x sinx arc x dx sin x) (arc 222()⎰+=22x -1sinxd arc 2sinx arc x()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅-+=⎰dx x 11x -1-sinx arc x 12sinx arc x 2222()C 2x -sinx arc x 12sinx arc x 22+-+=例4、⎰⎰⎪⎭⎫⎝⎛-=x 1d ln x dx x ln x 2 ⎰+-=dx x 1x lnx 2c x1-x lnx +-=例5、⎰⎰=ln x d ln x ln dx xlnxln ⎰⋅⋅⋅=dx x1ln x 1ln x -ln x ln ln xc ln x -ln x ln ln x +=例6、⎰⎰-=dx )1x (sec x xdx xtan 22⎰-=2x xdtanx 22x dx tan x xtanx 2--=⎰c 2x - x cos ln x tan x 2++=例7、⎰⎰+-+=+xdx arctan x111x dx x 1x arctan x 2222⎰+-=dx )x1xarctan x (arctan 2⎰⎰-=x arctan xd arctan xdx arctan22)x (arctan 21dx x 1x x arctan x -+-=⎰c )x (arctan 21)x 1ln(21x arctan x 22+-+-=例8、⎰⎰++-++=++c x 1dx )x 1xln(x )dx x 1ln(x 222 c x 1)x 1xln(x 22++-++=例9、⎰⎰=x x x 2x dsine e dx cose e⎰-=x x x x de sine sine ec cose sine e x x x ++=例10、⎰⎰-=dx )x 2cos 1(21x xdx sin x 222 ⎰-=dsin2x x 416x 23 ⎰+-=dx 2x xsin 21sin2x x 416x 23 ⎰--=x 2cos xd 41x 2sin 4x 6x 23c x 2sin 81x 2cos x 41sin2x x 416x 23++--=例11、⎰⎰--=-22x 1arcsinxd dx x 1xarcsinxc x arcsinx x 12++--=例12、P109 例3.5友情提示：方案范本是经验性极强的领域，本范文无法思考和涵盖全面，供参考!最好找专业人士起草或审核后使用。
高中数学竞赛《一元积分学》专题练习
一元积分学一 不定积分（一） 换元法1 凑微分法，一些常见的凑微分：1()d ()d()f ax b x f ax b ax b a +=++⎰⎰11()d ()d n n n nf x x x f x x n-=⎰⎰ 11111()d ()d ()d n n n n nn nf x x f x x x f x x x x n x -==⎰⎰⎰ (sin )cos d (sin )dsin f x x x f x x =⎰⎰ (cos )sin d (cos )dcos f x x x f x x =-⎰⎰ 2(tan )sec d (tan )dtan f x x x f x x =⎰⎰()d ()d xxxxf e e x f e e=⎰⎰1(ln )d (ln )d ln f x x f x x x=⎰⎰例1 （1）2x （2）()1d 1xx x x xe ++⎰（3）d ln ln ln xx x x⎰ （4）x ⎰ （5）d sin 22sin xx x +⎰（6）()d sin 2cos x x x •⎰（7）3d sin 3sin x x x +⎰ （8）1ln d x xxx x x-++⎰ 提示（1）2211x x +=⎰1d x ⎛⎫- ⎪=（类似地224441111d d 1211x x x x x x x ⎛⎫+-=- ⎪+++⎝⎭⎰⎰⎰22222211111d 112x x x x x x x ⎛⎫+- ⎪=- ⎪ ⎪++⎝⎭⎰⎰ 2211d d 1d 21122x x x xx x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪=- ⎪⎛⎫⎛⎫-++- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰⎰（2）提示：()()()11d d 11x x x xe x x x x x xe xe xe ++=++⎰⎰ ()d 1xx x xe xe xe =+⎰ （3）d d ln ln ln ln ln ln ln x xx x x x=⎰⎰（4）2d x x x =⎰x =- 14cot dcot x x -=-⎰（5）()d d sin 22sin 2sin 1cos x xx x x x =++⎰⎰31d 8sin cos 22x x x =⎰3sec d 128sin2x x x =⎰4sec d 128sin 2cos2xx x x =⎰ 221tan dtan sec dtan 11222244tan tan22x x x x x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭==⎰⎰ （6）()2d 1d sin 2cos 2sin cos x x x x x x =•⎰⎰2221sin cos d 2sin cos x xx x x +=⎰21sin 11d d 2cos 2sin x x x x x =+⎰⎰22111sin d cos d 2cos 2sin x x x x x=-+⎰⎰ 22111d cos d cos 2cos 21cos xx x x=---⎰⎰ （7）3d sin 3sin x x x +⎰42sin d sin 3sin x xx x=+⎰()()222d cos 1cos 31cos xx x =--+-⎰（8）1ln d xx xx x x -++⎰()()21ln d 1x x x x x x+=+⎰ ()2d 1x x x x=+⎰2第二换元法：常见的换元(f x x ⎰，令t =；(f x x ⎰，令t(f x x ⎰，令sin x a t =；(f x x ⎰，令tan x a t =或sh x a t =；(f x x ⎰，令sec x a t =或ch x a t =；可以通过配方转化为中某一形式。
《大学数学课件一元函数微积分学》
曲线长度与曲率
曲线长度公式
曲线长度的计算需要对曲线进行参数化，然 后对其微分求和。实数的曲线长度困难，函 数的曲线长度一般参数化之后再求积分。
计算曲率
曲率定义为在曲线某一点处曲线凝聚程度的 量，凡是具有确定的曲率的曲线上的点组成 的集合，成为曲线的曲率线。
微积分的实际应用举例
金融领域应用
微积分在金融等经济学领域中有广泛的应用，能 够帮助我们更好地理解时间价值、股市价格、股 息、衍生证券等。
龙虾曲线
一种分段光滑的曲线，通过迭代形成，是高阶 导数比较经典的应用之一。
复分析
复函数又叫做复变量函数，它是一个变量为一 个复数的函数。复分析是以复函数为研究对象 的数学分支。
不定积分的概念与求法
基本积分法
通过多种方法计算不定积 分：代换法、分部积分法、 三角函数积分法、有理函 数积分法、分式分解。
应用于牛顿第二定律
在物理领域中，微积分的应用非常广泛，牛顿第 二定律是牛顿—莱布尼茨公式的一个重要应用例 子。
定积分的概念与性质
定积分概念
在一定区间内，用先进（上）的近似值与落后（下）的近似值的平均数来逐 渐缩小误差范围的整个过程，那么最后这个误差的范围越来越小。
牛顿—莱布尼茨公式
定积分的本质意义就是计算曲线下对应的面积，和物理中的质量、体积密度、 功力密度有关，是牛顿—莱布尼茨公式的重要应用场景。
极限概念
当自变量趋近于某个值时，函数值趋近于一个限的极限。
高阶导数及其应用
高阶导数的定义
高阶导数指的是对导数的导数（即二阶导数、三阶导数……）
泰勒展开式
泰勒公式是一个非常重要的工具.利用泰勒公式，可以把函数转化成为一些比较简单的多项式的和的 形式，从而来研究一些不易计算的函数。
电子教案-高等数学(工科类)(魏寒柏 骈俊生)ppt-第四章一元函数积分学及其应用-电子课件
计
算
A
1 x2dx
0
1x3 3
1 0
1 3
0
1 3
例 计算下列定积分
41
第 二
(1)
1
dx x
(2) 2 cosxdx 0
节
解：先运用相应的积分公式求出原函数，再
定 积
利用牛顿-莱布尼兹公式计算它在上、下限处
分 的
函数值的差。
计 算
(1)
4 1
1 dx 2 x
x
4 1
4
2
2
(2)
2
2 cosxdx sin x 1 0 1
第
点x1 x2 , , xn1 ，如果记x0 a, xn b，这样就把区
一 节
间[a,b] 任意分成了n 个小区间[xi1, xi ], i 1,2, , n，其长
度对应记为xi xi xi1 ，且将所有小区间长度的最
定 积 分 的 概
大值记为 max{ xi}。在每个小区间[xi1, xi ]上任取一
一 节
“取极限”四个步骤.
定
(1) “分割”
积 分
在区间[0,1]内均匀地插入n 1个分点：
的 概 念
x1
1 n , x2
2 , n
, xn1
n 1 n
得到n个等分小区间，记
小区间对应的小曲边形
面积为si (i 1,2, , n) ，于
是有：A
n
si
i 1
(2) “近似”
第 一 节
以 点每xi 个ni 处小的区函间数的值长度f (xi)x作i 1n高作，底就，可区得间到的n右个端小 矩形，如果把它们的面积分别记作Ai ,(i 1,2, ,n)
专升本高等数学(一)-一元函数积分学(五)-2
专升本高等数学(一)-一元函数积分学(五)-2(总分：100.12，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.下列等式成立的是______A．∫f"(x)dx=f(x)B．C．d∫f"(x)dx=f"(x)dxD．d∫f"(x)dx=f"(x)dx+c（分数：2.00）A.B.C. √D.解析：2.下列函数对中是同一函数的原函数的是______（分数：2.00）A.lnx2与ln2xB.sin2x与sin2xC.2cos2x与cos2x √D.arcsinx与arccosx解析：3.设F(x)______（分数：2.00）A.F(x)=ln(cx)(c≠0)B.F(x)=lnx+ecC.F(x)=ln3x+cD.F(x)=3lnx+c √解析：4.∫ln(2x)dx等于______A．2xln(2x)-2x+cB．2xln2+lnx+cC．xln(2x)-x+cD．（分数：2.00）A.B.C. √D.解析：5.设∫f"(x 3 )dx=x 3 +c，则f(x)等于______A．B．C．D．（分数：2.00）A.B. √C.D.解析：二、填空题(总题数：9，分数：9.00)6.通过点(1，2)的积分曲线y=∫3x 2 dx如的方程是 1．（分数：1.00）解析：y=x 3 +17.设∫f(x)dx=2 x +cosx+c，则f(x)= 1．（分数：1.00）解析：2 x ln2-sinx8.设∫f(x)dx=x 2 +c，则∫xf(1-x 2 )dx= 1．（分数：1.00）．（分数：1.00）10.∫xdf"(x)= 1．（分数：1.00）解析：xf"(x)-f(x)+c11.∫cot 2 xdx= 1．（分数：1.00）解析：-x-cotx+c．（分数：1.00）．（分数：1.00）＞0)．（分数：1.00）三、解答题(总题数：1，分数：81.00)求下列不定积分（分数：81.12）2.08）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()2.08）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()2.08）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()2.08）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()2.08）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()2.08）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()2.08）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()2.08）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()2.08）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()2.08）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()2.08）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()2.08）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()2.08）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()(14).∫cos 2 xdx．（分数：2.08）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()(15).∫sin2xcos4xdx．（分数：2.08）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()2.08）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()2.08）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()2.08）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()2.08）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()2.08）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()2.08）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()2.08）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()2.08）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()2.08）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()2.08）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()(26).∫xln(x-1)dx．（分数：2.08）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()(27).∫(lnx) 2 dx．（分数：2.08）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：x(lnx) 2 -2xlnx+2x+c(28).∫x 2 e -x dx．（分数：2.08）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：-(x 2 +2x+2)e -x +c(29).∫xsin 2 xdx．（分数：2.08）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()2.08）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()(31).∫sin(lnx)dx．（分数：2.08）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()(32).∫arct anxdx．（分数：2.08）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()2.08）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()(34).∫xsinxcosxdx．（分数：2.08）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()(35).∫e ax coxbxdx．（分数：2.08）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()2.08）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()2.08）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()2.08）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()2.08）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()。
一元函数积分学
一元函数积分学
一元函数积分学是高等数学中的一个重要分支，它研究了一个实
数变量的函数的积分。
在我们日常生活中，积分被广泛应用于各个领域，如经济学、物理学、工程学等等。
在微积分中，积分是求解面积、体积、概率、质量等量的重要工具之一。
一元函数积分学的主要内容包括定积分、不定积分、变限积分、
换元积分、分部积分等。
其中，定积分是一种重要的积分，它求解的
是在一定区间内的函数曲线下方的面积。
不定积分则不限制求解的区间，可以得到一个函数的原函数。
变限积分和换元积分是定积分的推
广和扩展，能够更加灵活地求解积分问题。
分部积分则是一种将积分
转化为乘积的方法，对于某些复杂的积分问题可以起到关键作用。
在学习一元函数积分学时，我们需要掌握函数积分的基本性质、
定理和方法，并能够熟练地运用它们求解各种积分问题。
此外，我们
还需要了解积分的应用，以便将它们运用到实际问题中解决实际问题。
总的来说，一元函数积分学是高等数学学习中非常重要的一个分支，它具有广泛的应用价值，是我们学习数学的必备知识点之一。
一元函数积分学精讲
一元函数积分学精讲在微积分学中，积分是导数的逆运算。
一元函数积分学是微积分学中的一个重要内容，它研究的是单变量函数的积分。
通过学习一元函数积分学，我们可以更好地理解函数与曲线的关系，解决曲线下面积等实际问题。
本文将系统介绍一元函数积分学的基本概念、性质和计算方法。
一、不定积分1. 定义不定积分是对函数的积分常见形式之一，表示为$\\int f(x)dx$，其中f(x)是被积函数，dx表示积分变量。
不定积分的本质是求函数的一个原函数。
具体地，若F(x)是f(x)的原函数，则$\\int f(x)dx = F(x) + C$，其中C为常数。
2. 基本积分公式常数积分公式： $\\int kdx = kx + C$，其中k为常数。
幂函数积分公式： $\\int x^n dx = \\frac{1}{n+1}x^{n+1} + C$，其中n eq−1，n为常数。
二、定积分1. 定义定积分是积分学另一重要形式，表示为$\\int_{a}^{b} f(x)dx$，表示对f(x)从a到b的积分。
定积分可以看做是曲线下面积的计算，是实际问题中常用的工具。
2. 定积分性质•定积分线性性质：$\\int_{a}^{b} [f(x) + g(x)]dx = \\int_{a}^{b} f(x)dx + \\int_{a}^{b} g(x)dx$•定积分区域性质：$\\int_{a}^{b} f(x)dx = -\\int_{b}^{a} f(x)dx$三、积分的应用一元函数积分学在各个领域有着广泛的应用，主要包括但不限于以下几个方面：•曲线下面积的计算•物理学中的功与能量计算•统计学中的概率密度函数与累积分布函数•工程学中的中心质心和惯性矩计算四、积分计算技巧与方法积分计算是一门深奥的学问，有许多技巧和方法可以简化计算过程，常见的包括：•换元积分法•分部积分法•三角代换法•分式分解法细致理解这些计算方法对提高积分计算效率至关重要。
高等数学课件第4章 一元函数微分学
要
熟
(1)1cs xcco xtd x csx cC ;
记
(12)
1 dxarcsinxC;
1 x2
(13)
2020/3/22
11x2dx微积分a--r不c定t积a分n 概念x 与性 质 C.
12
例1 求积分 (3x22x1)dx
3x2dx 2xdx 1dx
x3x2xC 注:最后结果
x
2
dx
21a(a1xa1x)dx
21a(d(aaxx)d(aaxx))
1(lnaxlnax)C 1 ln a x C公式!
或
2a1 x2
a2
dx
1 ln 2a
xa xa
2a C
ax
2020/3/22
微积分--不定积分概念与性质
29
例6
1
dx
116x x2
1 d(x3)
20(x3)2
arcsin(x3)C 20
1 a)(x
dx b)
提示：拆项
[注 : 1 1( 1 1)] (xa)(xb) baxa xb
2020/3/22
微积分--不定积分概念与性质
23
作业：
P164： 4-1 (2)(3)(7)(8) 4-3
预习4.2 换元积分法
2020/3/22
微积分--不定积分概念与性质
24
复习: F(x)dx F d(xF)(xC) F(x)C
如果函数 f ( x)在区间 I 内连续， 那 么 在 区 间 I内 存 在 可 导 函 数 F (x )， 使 x I ， 都 有 F ( x ) f ( x ) .
简言之：连续函数一定有原函数. 问题：(1) 原函数是否唯一？
一元函数积分学
第三章 一元函数积分学（28学时）微积分是微分学与积分学的总称。
一元函数积分学将研究两个基本问题――不定积分与定积分。
由于许多实际问题需要解决和求导问题相反的问题，即某个函数的导数已知，要求这个函数，由此引出了原函数和不定积分的概念；同时，在许多实际问题中，一些量的计算，往往可以归结为其微小量的无穷累加问题，由此引出定积分的概念。
本章先介绍不定积分的概念及计算方法，然后介绍定积分的概念、计算方法及其在几何学和物理学中的一些应用。
具体的要求如下： 1．理解不定积分和定积分的概念及性质。
2．掌握不定积分的基本公式，不定积分、定积分的换元法与分部积分法。
3．会求简单的有理函数的积分。
4．理解变上限的积分作为其上限的函数及其求导定理，掌握牛顿（Newton ）-莱布尼兹（Leibniz ）公式。
5．了解广义积分的概念。
6．了解定积分的近似计算法（梯形法和抛物线法）。
7．掌握用定积分表达一些几何量与物理量（如面积、体积、弧长、功、引力等）的方法。
§3-1 不定积分的概念及其计算法概述定义1：若在区间I 内，F ’(x)=f (x)，或()()dF x f x dx =，则称F(x)为f (x)的原函数。
如：x x cos )'(sin =，则sin x 是cos x 的原函数34)'41(x x =，则441x 是3x 的原函数关于原函数的三个问题：1． 原函数的存在定理；2． 原函数有无限多个（某些函数原函数存在的话） 3．任意两个原函数只差一个常数定义2：函数f (x)的全体原函数，称为f (x)的不定积分，记为⎰dx x f )(。
其中，“⎰”称为积分号，f (x)称为被积函数，f (x)dx 称为被积表达式，C 称为积分常数——它是任意常数。
性质1：常量因子可以提到积分号的外面；性质2：求导运算与求不定积分运算是互逆运算。
证：设)()('x f x F =。
中国大学生数学竞赛(非数学专业类)竞赛内容
1. 常数项级数的收敛与发散、收敛级数的和、级数的基本性质与收敛的必要条件
2. 几何级数与p级数及其收敛性、正项级数收敛性的判别法、交错级数与莱布尼茨(Leibniz)判别法
3. 任意项级数的绝对收敛与条件收敛
4.
函数项级数的收敛域与和函数的概念
5. 幂级数及其收敛半径、收敛区间（指开区间）、收敛域与和函数
2. 两类曲线积分的概念、性质及计算、两类曲线积分的关系
.
3. 格林(Green)公式、平面曲线积分与路径无关的条件、已知二元函数全微分求原函数
4. 两类曲面积分的概念、性质及计算、两类曲面积分的关系
5. 高斯(Gauss)公式、斯托克斯(Stokes)公式、散度和旋度的概念及计算
6. 重积分、曲线积分和曲面积分的应用(平面图形的面积、立体图形的体积、曲面面积、弧长、质量、质心、转动惯量、引力、功及流量等)
4. 不定积分和定积分的换元积分法与分部积分.
5. 有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分.
6. 广义积分
7. 定积分的应用：平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积
及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力及函数的平均值．
四 常微分方程
1. 常微分方程的基本概念：微分方程及其解、阶、通解、初始条件和特解等.
4. 高阶导数的概念、分段函数的二阶导数、某些简单函数的n阶导数
5. 微分中值定理，包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理
6. 洛必达(L'Hospital)法则与求未定式极限
7. 函数的极值、函数单调性、函数图形的凹凸性、拐点及渐近线(水平、铅直和斜渐近线)、函数图形的描绘
竞赛数学讲座PPT课件
或参观游览，第五天闭幕式，宣布考试成绩和颁奖。
成绩最好的约30名选手（现改为约60名）以及中国
女子数学奥林匹克和中国西部数学奥林匹克的前两
名（现已无参加集训队资格）组成参加当年IMO的
中国国家集训队。3月中旬至4月初，进行参加IMO
的中国代表队的选拔工作。每年7月份参加IMO。
全国中学生数学冬令营是在全国高中数学联赛的基
2.广东省历届国际数学奥林匹克竞赛获奖情 况：13人14次，其中华南师范大学附中7人8 次，深圳中学4人，深圳高级中学1人，深圳 第三高级中学1人。9人就读北京大学，3人就 读清华大学，1人就读中国科技大学。
.
13
三、IMO——中国队获奖情况
2013年获奖的饶家鼎，深圳市第三高级中学 高二年级学生 (7岁从加拿大回国读书)。 2010年，12岁的高一学生饶家鼎参加全国高 中数学联赛，与高三顶尖学生同台竞技，获 得全国三等奖。当同龄人还在读初一、初二 的时候，他已经被北京大学数学科学学院和 清华大学数学科学系提前预录取，并入选 2012年中国数学奥林匹克广东省数学代表队， 在2013年以一分之差，遗憾地摘取了国际奥 林匹克数学竞赛银牌，而此前他被寄予得满 分的厚望。
四个方面。前两道题每题40分，后两道 题每题50分。
.
26
七、全国高中学联赛题型与 考试大纲
考试大纲：一试完全按照全日制中学 《数学教学大纲》中所规定的教学要求
和内容，即高考所规定的知识范围和方 法，在方法的要求上略有提高。 二试：超过高考大纲（有具体的规定）
.
27
二试
1、平面几何 基本要求：掌握初中数学竞赛大纲所确定的所有内容。 补充要求：面积和面积方法。 几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。 几个重要的极值：到三角形三顶点距离之和最小的点--费马点。到三角
2014.11高数第五章 一元函数的积分学1-2节
x[ a ,b ]
x[a,b]
b
m(b a) ≤
f (x)dx ≤ M (b a)
a
估值定理
证：由于 m≤ f (x)≤M
则
b
b
b
mdx≤ f (x)dx ≤ Mdx
a
a
a
故
m(b a) ≤
b
f (x)dx ≤ M (b a)
a
y
y
y
M
m
x
0a
b x 0a
b x 0a
b
例3. 估计 1 e x2 dx的值. 1
于是，若F(x)是 f (x)的一个原函数则 {F(x)+C|CR}
为f (x) 的全体原函数.
设 f (x)R( [a, b] ), 有
x
a f ( tx)d xt (a≤ x≤b)
称为积分上限函数. 记为
y
Φ (x)
x
f (t)d t
a
0a
x bx
定理1. 若f (x)R([a, b])，则
x0 x x0
x
' (x)=f (x)
推论1. (原函数存在定理). 若 f (x)C( [a, b] ), 则
f (x)在[a, b]上存在原函数，且Φ (x)
x
f (t)d t
a
为 f(x)的一个原函数.
例1.
d x sin t
sin x
[
d t] .
dx 1 t
x
d [ x2 et d t] x2 u d [ u et d t] du
从而 x0, x[a, b]有
|Φ (x) Φ (x0 ) |
x
2014.12高数第五章 一元函数的积分学4节
2
a2
a 2 x 2 ]0a
a2 a2
22 4
数
学
高
等
例1. a a 2 x 2 dx (a 0) 0
解：作变换 x=asint, dx=acostdt, a2 x2 a cost
x 0 t 0, x a t
a
a 2 x 2 dx a 2
2c os2 tdt
2
4
数
学
高
等
x2, x≥0
例6. 设 f (x)=
x , x<0
计算
4
1
f (x 2)dx
解：设 x2=t, 则 dx=d t ,
x=1 t= 1, x=4 t=2
于是
4
1
f
(x 2)dx
2
1
f
(t)dt
0
tdt＋
2
t
2dt
13
1
0
6
数
学
高
等
二、分部积分法
设 u=u(x), v=v(x)在[a, b]上可导，且u'v, uv'R([a, b])
a
2
2
2(1
cos 2t)dt
0
0
20
a2 2
[t
1 2
s
in
2t
]02
C
4
a
2
数
学
高
等
一般地，我们有
定理1. 设
(1) f (x)C([a, b]),
(2) x= ( t ) 在 [, ]上单值，可导，
(3) 当 ≤ t ≤ 时, a ≤ ( t )≤b , 且()=a,
( )=b, 则
一元函数积分(定积分的几何应用)
选x为积分变量, x [2, 3] x [2, 0], dA1 ( x3 6x x2 )dx
x [0,3], dA2 ( x2 x3 6x)dx
A
0 (x3 2
6x
x2 )dx
3(x2 0
x3
6x)dx
253 . 12
例2 计算由曲线 y2 2x 和直线 y x 4 所围成的
y f1( x)
b
x
A( x) f22( x) f12( x)
dV [ f22( x) f12( x)]dx
V ab [ f22( x) f12( x)]dx.
计算立体体积习例
2
2
2
例8 求星形线 x 3 y 3 a 3 (a 0)绕 x 轴旋转
构成旋转体的体积.
例9
求椭圆
例11 求由曲线 y 4 x2及 y 0所围成的图形绕 直线 x 3旋转构成旋转体的体积.
取积分变量为y , y [0,4]
解 体积元素为 dV [PM 2 QM 2 ]dy
P
dy Q
M
[(3 4 y)2 (3 4 y)2]dy
3
12 4 ydy,
4
V 120 4 ydy 64.
(1)求总体量, 先求部分量(以不变代变). (2)对部分量求和取极限.
若所求量U须满足条件：
(1) U是与一个变量x的变化区间[a,b]有关的量.
(2) U对于区间[a,b]具有可加性, 就是说, 如果把区间 [a,b]分成许多部分区间, 则U相应地分成许多部 分量, 而U等于所有部分量之和.
(3)部分量Ui的近似值可表示为f (i )xi .
例3
求椭圆 x2 a2
高数竞赛俞亚娟-积分学.ppt
内 有 定 义 且 可 导 ， g(0)=1,当 x>0时 ，
f ( x ) + g ( x）=3 x + 2 f ( x ) - g ( x ) = 1
f(2x)-g(-2x)=-12x 2 1 求 f ( x )与 g(x)的 表 达 式 。
4
二、求不定积分
1、 ln x d x
3 、
x5 x x8 1
t2
0
sin(tx)2dx（2008
竞赛题）
5、已知 g(x)是以 T 为周期的连续函数，
g(0) 1, f (x) 02x x t g(t)dt,求 f (T )
12
6、设 f (x)在[a,b]上连续，(a 0), ab f (x)dx 0, 求证存
在 a,b, a f (x)dx f ( )
7.计算曲线的弧长
8.计算体积、旋转体的体积
9.计算变力做功、压力和引力问题
10.积分的比较和积分不等式证明
3
部分考研或竞赛题
一、求原函数
1、 已 知 定 义 域 R的 函 数 f ( x )满 足
f
(ln
x)
1, x (0,1], x, x (1, ),
f
(0)
1
求f (x)
2、 设 f ( x )在 [0,+ )上 连 续 ， 在 （ 0,+ )内 可 导 ， g(x)在 (- , )
Байду номын сангаас
1 x
dx
9、 已 知 f ( x )连 续 ， f ( x ) 0 , 求
[ f (x)
f ( x )
f 2 ( x ) f ( x ) ( f ( x ))3 ]dx
一元函数积分的基本概念及解析方法
一元函数积分的基本概念及解析方法积分是微积分学中的重要概念之一，它广泛应用于各个领域中的计算和解决问题。
而其中一元函数积分是最基础也是最常见的类型之一。
在本篇回答中，我们将介绍一元函数积分的基本概念和解析方法。
一、一元函数积分的基本概念1. 定义：一元函数的积分是对给定函数在某一区间上进行求和的一种运算。
通常用∫f(x)dx表示，其中∫是积分符号，f(x)是被积函数，dx表示自变量。
2. 不定积分与定积分：一元函数积分可以分为不定积分和定积分两种形式。
- 不定积分：表示对被积函数进行积分得到的一类函数。
不定积分的结果常常带有一个不确定的常数C，称为积分常数。
不定积分通常表示为F(x) + C的形式。
- 定积分：表示对被积函数在某一区间上进行积分得到的一个具体的数值。
定积分的结果是一个确定的数值。
3. 基本性质：一元函数积分具有以下基本性质：- 线性性质：若f(x)和g(x)是连续函数，a和b是常数，则有∫(af(x)+bg(x))dx = a∫f(x)dx + b∫g(x)dx。
- 区间可加性：若f(x)在区间[a, b]上连续，则有∫[a, b]f(x)dx = ∫[a, c]f(x)dx + ∫[c, b]f(x)dx。
- 基本运算法则：常见函数的不定积分有一些基本的运算法则，如幂函数积分、三角函数积分等，可以通过表格或特定的公式进行求解。
二、一元函数积分的解析方法1. 基本积分公式：一些基本的不定积分可以通过积分表格中的基本积分公式进行求解。
例如：- ∫x^ndx = x^(n+1)/(n+1) + C，其中n≠-1。
- ∫1/xdx = ln|x| + C。
2. 埃尔米特法则：该方法适用于只有有限个特殊点的函数。
根据积分的线性性质和区间可加性，将被积函数划分为若干个小区间，然后对每个小区间使用基本积分公式求解。
3. 分部积分法：对于两个函数相乘，可以通过分部积分法求解。
该方法得到的结果通常需要通过多次应用分部积分法得到。
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1
2
1 d x x
1 1 x 2 x
1
2
1 d x x
x2 2x 1 ln 2 C2 , 2 2 x 2x 1
两式相加后得
1 1 1 1 1 x4 dx 2 2 arctan 2 x x
解3
e x sin xdx e x sin x e x cos xdx e x cos xdx e x cos e x sin xdx,
两式相减, 整理后即有
1 x e sin xdx 2 e sin x cos x C.
x
注
积化和差公式
1 sin sin cos cos , 2 1 cos cos cos cos , 2 1 sin cos sin sin , 2 1 cos sin sin sin . 2
b a
积分中值定理的几何解释:
y
f
y f x
o a
b x
例 解
n! . 求极限lim n n
令
n
n
n! 1 1 n i xn , Sn ln xn ln n! n ln n ln , n n n n i 1
lim Sn ln xdx x ln x 1 0 1.
2
所以
f x 2x ln x x 2ln x 3.
例 解
sin x 设 f x 有原函数 , x
求
xf 2 x dx.
1 xf 2 x dx 2 xf 2 x d2x 1 1 xf 2 x f 2 x dx 2 2 1 1 xf 2 x f 2 x d2x 2 4
1 9 x 2 dx
1 1 2 x 1 9 x ln 3x 1 9 x 2 C. 2 6
例 解
1 x 1 e ln x dx e dx e x ln xdx x x x dx e x ln xdx e ln x
x
1 求 e ln x dx. x
x
e x ln x e x ln xdx e x ln xdx
e x ln x C.
例 解1
求
e
x
sin xdx.
e x sin xdx e x sin x e x cos xdx
e x sin x e x cos x e x sin xdx,
解 令
1 x2 1 x2 F x dx, G x dx, 4 4 1 x 1 x
则
1 x2 F x dx 4 1 x
1 1 2 x dx 1 2 x 2 x
1 x 2 x 1 1 1 arctan x C1 , x 2 2 1 1 2 2 1 x G x dx x dx 4 1 1 x 2 x 2 x
M b x dx M ,
2 x a ,b
b
a
f x
b a dx
4
max
f x .
例
设f
x 是区间 a, b 上的单调增加连续函数,
证明
证
b
b
a
ab b xf x dx a f x dx. 2
由积分中值定理
2.不定积分的基本方法 ⑴第一类换元积分法——凑微分法 ⑵第二类换元积分法——变量替换法
f x dx
x t
f t t dt.
使用变量替换时应注意的几个问题: ①对根式问题处理的有效方法; ②替换表达式必须是个单调函数;
③最终的形式必须写成关于 x 的函数. ⑶分部积分法
3
1 1 9 x dx sec3 tdt 3
2
1 sec t tan t ln sec t tan t C 6 1 1 2 2 x 1 9 x ln 3x 1 9 x C. 2 6
解2 用分部积分法
1 9 x dx x 1 9 x x
2 2
2
9x 1 9x
2
dx
x 1 9x
9x 1 1
2
1 9x
2
dx
x 1 9 x 1 9 x dx
2 2
1 1 9x
2
dx
x 1 9 x 2 1 9 x 2 dx
1 ln 3x 1 9 x 2 , 3
所以
uvdx uv uvdx.
分部积分法使用的几个要点:
①函数 u, v的选择;
②换元积分法和分部积分法的交替使用; ③积分表达式的重复出现.
⑷有理函数的积分——高斯分解 ⑸三角函数的积分——万能代换 尤其注意三种特殊形式下的代换形式
⑴若 f sin x,cos x f sin x,cos x , 则可用代换:
2 14 1 max , 2 1 7 x0, 2 x x 1 2
故由积分性质得
1 2
1 2 0
14 dx . 7 2x2 x 1
1
例
f a f b 0, 证明 2 b b a max f x . a f x dx 4 xa,b
小值, 则
m b a f x dx M b a .
b a
y
M
y f x
m
O a b x
性质（定积分中值定理） 如果函数 f x 在 a, b 上连 续, 则在区间 a, b 上至少存在点 使得下式成立:
f x dx f b a .
1 x e sin xdx 2 e sin x cos x C.
x
解2 令
e x sin xdx Ae x sin x Be x cos x,
两边求导后有
e sin x Ae sin x Ae cos x
x x x
Be x cos x Be x sin x, 1 1 由此得 A , B . 即 2 2 1 x x e sin xdx 2 e sin x cos x C.
2
sec t tan t sec t tan 2 tdt
sec t tan t sec3 tdt sec tdt sec t tan t sec tdt ln sec t tan t C ,
3
所以
从而
1 sec tdt 2 sec t tan t ln sec t tan t C,
注意: 涉及到原函数的问题是 若F
x 是 f x 的原函数
f x F x;
f x dx F x C.
例 解
若 x 2 ln x 是函数 f 由定义得
x 的原函数, 则 f x
2 x ln x x, f x x ln x
设 f x 是区间
a, b 上的连续函数, 且
证
对任意的 x
a, b ,
在区间
a, x , x, b 使用
中值定理.
f x f a f 1 x a , f b f x f 2 b x ,
1 sin 2 x xf 2 x C, 2 8x
因
sin x x cos x sin x f x , 2 x x
所以
2 x cos 2 x sin 2 x f 2x , 2 4x
从而
xf 2 x dx
1 sin 2 x xf 2 x C 2 8x cos 2 x sin 2 x C. 4 4x
记M
max f x ,
xa ,b
则有
f x f a f x f 1 x a M x a , f b f x f x f 2 b x M b x ,
一元函数积分学
一、不定积分
1.原函数 定义 对函数
f x,
若存在函数 F
则称函数 F 体 称为函数 f
x 是函数 f x 的原函数; 原函数的全 x 的不定积分, 记为 f x dx,
F x f x,
x , 使得
即:
f x dx F x C.
ab a x 2 f x dx a b b ab ab 2 x f x dx a b x f x dx a 2 2 2
再由积分性质得
b a
2
4
b
a
f x dx
b a
2
4
a b 2 a
a b 2 af x dx 源自 a 24b
a b 2
f x dx
b a
2
4
M x a dx
即
b a
2
4
b a b 2
x2 2 x 1 ln 2 C. 4 2 x 2x 1 1