变异系数的统计推断及其应用

1、总体变异系数的置信区间
令σ 2 =
⎛ ⎛ x ⎞ ⎛ α1 ⎞ ⎞ L ⎛ ⎛ 0 ⎞ ⎛ α 2 − α12 α 3 − α1α 2 ⎞ ⎞ ⎟⎯ ⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎟ n⎜ ⎜ 2 ⎟ − ⎜ N ⎯→ 2 ⎜ ⎟ ,⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎝ 0 ⎠ α 3 − α1α 2 α 4 − α 2 2 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜x ⎟ ⎜ α 2 ⎠ ⎝ ⎠⎠ ⎝ ⎝ ⎝⎝ ⎠ ⎠
L ˆ 2 是由将 σ 2 中 α k 替换 ⎯ ⎯→ N (0,1) ，其中 σ
其中 θ =
α 2 − α 12 α1
是总体变异系数。 140
吴
1 = n
2
媚
顾赛赛：变异系数的统计推断及其应用
（可通过改变总体参数 σ 或 a 来得到）从两总体中分别抽取
成 X
2
k
∑X
i =1
n
k i
得到的统计量，由大数定律知：
[4]
⎛ ⎛ 0 ⎞ ⎛ α 2 − α 12 α 3 − α 1 α 2 ⎞ ⎞ ⎛ ⎛ x ⎞ ⎛ α1 ⎞ ⎞ L ⎜ ⎟⎯ ⎜ ⎟⎟ ⎟ −⎜ ⎟ ⎯→ n⎜ ⎜ N 2 ⎜ 2 ⎟ ⎜0⎟ ⎟ , ⎜ α −α α ⎟⎟ ⎜ ⎜ x2 ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ α − α α 1 2 4 2 ⎠ ⎠ ⎝⎝ ⎠ ⎝ 2 ⎠⎠ ⎝⎝ ⎠ ⎝ 3
95%的置信区间为 [ 0.1500 , 0.2061 ] 。同时对假设检验问题
H 0 : θ ≤ 0.20 、 H1 : θ > 0.20 的检验统计量的值为1.267，可以
伽马分布 Γ ( 3 , 3 ) 中抽取容量分别为 50、100、200 个样本， 取置信度为 95%，从而得到总体变异系数的置信区间，然后 循环 1000 次，可以得到该置信区间的置信概率的模拟值，见 表 1。
结论 2：若总体 X 的四阶矩 α 1 、 α 2 、 α 3 、 α 4 存在，则有：
α 2 2 α 2 (α 3 − α1α 2 ) α 4 − α 22 − 3 + ，即 4 2 2 2 α1 α1 α 2 − α1 4α1 α 2 − α1
(
)
(
)
L n (CV − θ ) ⎯ ⎯→ N 0 ,σ
认为本次考试成绩的变异系数不超过20%。
参考文献：
[1] 杨运清，张宏．变异系数差异的显著性检验[J]．东北农业大学学报， 1994，25（1）：27-31．
表 1 置信概率的模拟
N=50 Normal(2,1) Gamma(3,3) 0.9460 0.9580 N=100 0.9530 0.9600 N=200 0.9500 0.9490
⎛1 n ⎞ 2 = E⎜ ∑ X i ⎟ −α1 ⎝ n i=1 ⎠ 1 ⎛ n 2 = 2 E⎜ xi + ∑ xi x j ⎜∑ n i≠ j ⎝ i=1
2
⎞ 2 ⎟ ⎟ −α1 ⎠
1．样本变异系数的渐近分布
由于 X 、 S 的渐近分布已解决，即
2
又因为 x 1 、 x 2 是独立同分布，所以
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
)
再根据文后参考文献[6]， 通过对 delta 方法主要结果进行 变形，可以得到：
⎞ ⎟ −α 1α 2 −α 1α 2 +α 1α 2 ⎟ ⎠ ⎞ ⎟ −α 1α 2 ⎟ ⎠
2 j
= =
⎛ n 1 ⎜∑ X i E n2 ⎜ ⎝ i =1
n
∑X
j =1
n
⎛ α 2 − α 12 ⎜ S n⎜ − α1 ⎜ x ⎝
[5]
⎛ α 22 α 2 (α 3 − α1α 2 ) α 4 − α 22 L 0 , n (CV − θ ) ⎯ N⎜ + ⎯→ − 4 3 2 ⎜ α1 α1 α 2 − α1 4α12 α 2 − α12 ⎝
(
)
(
)⎟ ⎠
⎞ ⎟
下面利用定理 1 构造变异系数的置信区间和检验统计量。 得：
最后由多元中心极限定理和 delta 方法
图 1 检验的模拟功效图
2．2．实例分析
调查某校86位同学某门功课未规格化的成绩，应用前面 的方法可计算出变异系数
s 的值为0.1818，相应的置信度为 x
n (CV − θ 0 ) >z α 。 1− ˆ σ 2
2．数值模拟及应用实例
2．1． 数值模拟
为了说明文中得到的结果， 现分别从正态分布 N ( 2 ,1 ) 和
证明：由数学期望的性质易得：
数的抽样分布；谢锋和周飞跃 异系数的区间估计；王文森
[5]
异系数的假设检验方法；高洪忠
利用非参数方法构造了变
VarX
从经济统计的角度概括了变异
= EX 2 − EX
( )
2
系数的作用。本文的第一部分给出了样本变异系数的渐近分 布，并进一步给出置信区间和假设检验，第二部分给出了模 拟结果，并以实际的考试成绩为例来说明此方法的实用性。
的分位点。
2、总体变异系数的假设检验
同样利用结论 2，可以得到 θ 的检验统计量。例如单边 假设检验 H 0 : θ ≤ θ 0 、 H1 : θ > θ 0 ，则显著性水平为 1 − α 的此 假设检验的拒绝域是
n (CV − θ 0 ) > z1−α 。 ˆ σ
同理，对双边假设检验 H 0 : θ = θ 0 、 H1 : θ ≠ θ 0 ，则显著 性 水 平 为 1−α 的 此 假 设 检 验 的 拒 绝 域 是
变异系数，就是标准差系数，也称差异系数、离散系数， 它分为总体变异系数和样本变异系数。样本变异系数是衡量 样本资料中各观测值变异程度的重要统计量。当进行两个或 多个资料变异程度的比较时，如果度量单位与平均数相同， 可以直接利用标准差来比较。如果单位和（或）平均数不同 时，比较其变异程度就不能采用标准差，而需采用标准差与 平均数的比值（相对值）来比较。样本变异系数（Coefficient of Variance，简称为 CV ）定义为标准差与均值的比率：
⎞ ⎟ ⎯→ N 0,φ ′ α 1 ,α 2 D φ ′ α 1 ,α 2 ⎟⎯ ⎟ ⎠
( (
) ( (
)) )
T
2 j
将 φ ′ α 1 ,α 2 ， D 代入上式得：
(
)
⎛ 1 E ⎜ ∑ X i3 + ∑ X i X n2 ⎜ i≠ j ⎝ i =1 =α 3 −α 1α 2
⎞ ⎟ −α 1α 2 ⎟ ⎠
第 12 卷 第 1 期 2010 年 1 月
铜仁学院学报
Journal of Tongren University
变异系数的统计推断及其应用
吴 媚 1，2 顾赛赛 1
（ 1．东南大学 数学系，江苏 南京 210096；2．南京化工职业技术学院 基础部，江苏 南京 210048 ）
摘 要：变异系数是反映总体离散程度的重要指标。应用 delta 方法研究了样本变异系数的渐近分布，进一
ˆ ⎯ σ ⎯→σ 。于是可得 θ 的水平为 α 的置信区间可由下式得
P
到： n (CV − θ ) ≤z α ，即 θ 的水平为 α 的置信区间为 1− ˆ σ 2
∧ ∧ ⎡ ⎢ − σ z α + CV , σ z α + CV ⎢ n 1− 2 n 1− 2 ⎣
⎤ ⎥ ，其中 z α 为标准正态分布 1− ⎥ 2 ⎦
容量为 400 个的样本，可以计算出检验统计量的值，通过与 给定的临界值比较，即可得到拒绝或不拒绝原假设的结论， 重复上述过程 1000 次，拒绝原假设的比例，即为参数 θ 下的 模拟功效。图 1 给出了两个总体下对应的模拟功效曲线，它 们具有类似的性质， 即在原假设附近， 功效接近 0.05， 而当 θ 离 θ 0 越远时，模拟功效接近于 1。
(
2
) ，可对上述的正态分布标
⎛ α 22 α 2 (α 3 − α1α 2 ) α 4 − α 22 L 0 , n (CV − θ ) ⎯ N⎜ + ⎯→ − ⎜ α14 α13 α 2 − α12 4α12 α 2 − α12 ⎝
(
)
(
)
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
准化，得：
n (CV − θ ) ˆ2 σ
步构造了其置信区间及检验统计量， 并用 Monte Carlo 方法给出了置信区间的模拟覆盖概率和检验的模拟功效， 最后分析了一组实际考试成绩。 关键词： 变异系数； delta 方法； 区间估计； 假设检验 中图分类号：O212 文献标识码：A 文章编号：1673-9639 (2010) 01-0139-04
CV = S X
X=
1 n 1 n X i ，S 2 = ∑ X i − X ∑ n i=1 n i=1
(
)
2
[2]
， 现在考察
S 的渐 X
k
近分布，构造置信区间。设总体
X
的 四 阶 矩 α k = EX
2
（ k = 1, 2, 3, 4 ） 存在， 显然 EX = α 1 ， σ 2 = Var ( X ) = α 2 − α 1 。
( (
) ( (
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
)) )
T
EX
2
= E
2 2
1 n
∑X
i =1
2
n
2 i
=
1 n
∑EX
i =1
n
2 i
=α
其中：
2
Var X =E X2
φ ′( x , y ) = ⎜ −
⎜ ⎝
⎛
y
( ) − (E X )
2
x 2 y − x 2 2x y − x 2
,
1
2
⎛1 n 2 ⎞ 2 = E⎜ ∑ Xi ⎟ −α 2 n ⎝ i =1 ⎠ 1 ⎛ n 4 2 2 = 2 E⎜ xi − ∑ x i x j ∑ ⎜ n i≠ j ⎝ i =1 ⎞ 2 ⎟ −α 2 ⎟ ⎠