陕西西安地区八校2025届高考全国统考预测密卷数学试卷含解析

陕西西安地区八校2025届高考全国统考预测密卷数学试卷
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．函数2
2
()2cos (sin cos )2f x x x x =++-的一个单调递增区间是（ ） A ．,44ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣
⎦ B ．3,88ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣
⎦ C ．5,88ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣
⎦ D ．59,88ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣
⎦ 2．数列{a n }，满足对任意的n ∈N +，均有a n +a n +1+a n +2为定值.若a 7=2，a 9=3，a 98=4，则数列{a n }的前100项的和S 100=( ) A ．132
B ．299
C ．68
D ．99
3．若P 是q ⌝的充分不必要条件，则⌝p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
4．为了进一步提升驾驶人交通安全文明意识，驾考新规要求驾校学员必须到街道路口执勤站岗，协助交警劝导交通.现有甲、乙等5名驾校学员按要求分配到三个不同的路口站岗，每个路口至少一人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有( ) A ．12种
B ．24种
C ．36种
D ．48种
5．已知函数()f x 是R 上的偶函数，且当[)0,x ∈+∞时，函数()f x 是单调递减函数，则()2log 5f ，31log 5f ⎛
⎫ ⎪⎝⎭
，
()5log 3f 的大小关系是（ ）
A ．()()3521log log 3log 55f f f <<⎛⎫ ⎪⎝
⎭
B ．()()3251log log 5log 35f f f <<⎛
⎫ ⎪⎝
⎭
C ．()()53
21log 3log log 55f f f ⎪<⎛
⎫
⎝⎭< D ．()()23
51log 5log log 35f f f ⎪<⎛⎫
⎝⎭
< 6．设过定点(0,2)M 的直线l 与椭圆C ：2
212
x y +=交于不同的两点P ，Q ，若原点O 在以PQ 为直径的圆的外部，
则直线l 的斜率k 的取值范围为（ ）
A ．65,2⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭
B ．66
5,,533⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
C ．6,52⎛⎫
⎪
⎪⎝⎭
D ．665,,522⎛⎫
⎛⎫
--
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
7．已知正四面体A BCD -外接球的体积为86π，则这个四面体的表面积为（ ） A ．183
B ．163
C ．143
D ．123
8．已知数列{}n a 是以1为首项，2为公差的等差数列，{}n b 是以1为首项，2为公比的等比数列，设n n b c a =，
12n n T c c c =++
+()*n ∈N ，则当2020n T <时，n 的最大值是（ ）
A ．8
B ．9
C ．10
D ．11
9．已知向量()()1,3,2a m b ==-，，且()a b b +⊥，则m =( ) A ．−8 B ．−6 C ．6
D ．8
10．中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”，若正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，则记为(mod )N n m =，例如
112(mod3)=．现将该问题以程序框图的算法给出，执行该程序框图，则输出的n 等于（ ）．
A ．21
B ．22
C ．23
D ．24
11．若命题：从有2件正品和2件次品的产品中任选2件得到都是正品的概率为三分之一；命题：在边长
为4的正方形
内任取一点，则
的概率为，则下列命题是真命题的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
12．函数y =2x sin2x 的图象可能是
A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．在矩形ABCD 中，2AB =，1AD =，点E ，F 分别为BC ，CD 边上动点，且满足1EF =，则AE AF ⋅的最大值为________.
14．若函数()()1,f x a nx a R =∈与函数()g x x =a 的值为______．
15．已知单位向量,a b 的夹角为
2π
3
,则|2|a b -=_________. 16．过直线7y kx =+上一动点(,)M x y 向圆22
:20C x y y ++=引两条切线MA ，MB ，切点为A ，B ，若[1,4]k ∈，
则四边形MACB 的最小面积3,7]S ∈的概率为________． 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知函数2
()ln ()f x x x ax a =-+∈R . （1）若()0f x ≤恒成立，求a 的取值范围；
（2）设函数()f x 的极值点为0x ，当a 变化时，点00(,())x f x 构成曲线M ，证明：过原点的任意直线y kx =与曲线M 有且仅有一个公共点.
18．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：()22
2210x y a b a b
+=>>的右焦点为()4,0F m
（0m >，m 为常数），离心率等于0.8，过焦点F 、倾斜角为θ的直线l 交椭圆C 于M 、N 两点． ⑴求椭圆C 的标准方程； ⑵若90θ=︒时，
1152
9
MF NF +=
，求实数m ； ⑶试问
11MF NF
+的值是否与θ的大小无关，并证明你的结论．
19．（12分）已知集合{}1,2,,n A n =，*n N ∈，2n ≥，将n A 的所有子集任意排列，得到一个有序集合组
()12,,,m M M M ，其中2n m =.记集合k M 中元素的个数为k a ，*k N ∈，k m ≤，规定空集中元素的个数为0.
()1当2n =时，求12m a a a ++
+的值；
()2利用数学归纳法证明：不论()2n n ≥为何值，总存在有序集合组()12,,
,m M M M ，满足任意*i N ∈，1i m ≤-，
都有11i i a a +-=.
20．（12分）已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点()()0,0F c c >，关于直线:20l x y --=的对称点为M ，且||32FM =若点P 为C 的准线上的任意一点，过点P 作C 的两条切线PA PB ，，其中A B ，为切点. （1）求抛物线C 的方程；
（2）求证：直线AB 恒过定点，并求PAB △面积的最小值.
21．（12分）P 是圆224x y +=上的动点，P 点在x 轴上的射影是D ，点M 满足1
2
DM DP =
．
（1）求动点M 的轨迹C 的方程，并说明轨迹是什么图形；
（2）过点(3,0)N 的直线l 与动点M 的轨迹C 交于不同的两点A ，B ，求以OA ，OB 为邻边的平行四边形OAEB 的顶点E 的轨迹方程．
22．（10分）选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分） 已知矩阵A ＝01a k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ (k≠0)的一个特征向量为α＝1k ⎡⎤
⎢⎥-⎣⎦
， A 的逆矩阵A
－1
对应的变换将点(3，1)变为点(1，1)．求实数a ，k 的值．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D 【解析】
利用同角三角函数的基本关系式、二倍角公式和辅助角公式化简()f x 表达式，再根据三角函数单调区间的求法，求得()f x 的单调区间，由此确定正确选项. 【详解】
因为2
2
()2cos (sin cos )2f x x x x =++-
1cos 21sin 22224x x x π⎛
⎫=+++-=+ ⎪⎝⎭
，由()f x 单调递增，则222242k x k πππππ-≤+≤+（k ∈Z ），解得
388
k x k ππ
ππ-
≤≤+（k ∈Z ），当1k =时，D 选项正确.C 选项是递减区间，A ，B 选项中有部分增区间部分减区间. 故选：D 【点睛】
本小题考查三角函数的恒等变换，三角函数的图象与性质等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，数形结合
思想，应用意识. 2、B 【解析】
由12n n n a a a ++++为定值，可得3n n a a +=，则{}n a 是以3为周期的数列，求出123,,a a a ，即求100S . 【详解】
对任意的n ∈+N ，均有12n n n a a a ++++为定值，
()()123120n n n n n n a a a a a a +++++∴++-++=，
故3n n a a +=，
{}n a ∴是以3为周期的数列，
故17298392,4,3a a a a a a ======，
()()()100123979899100123133S a a a a a a a a a a a ∴=+++++++=+++
()332432299=+++=.
故选：B . 【点睛】
本题考查周期数列求和，属于中档题. 3、B 【解析】
试题分析：通过逆否命题的同真同假，结合充要条件的判断方法判定即可．
由p 是q ⌝的充分不必要条件知“若p 则q ⌝”为真，“若q ⌝则p”为假，根据互为逆否命题的等价性知，“若q 则p ⌝”为真，“若p ⌝则q”为假，故选B ． 考点：逻辑命题 4、C 【解析】
先将甲、乙两人看作一个整体，当作一个元素，再将这四个元素分成3个部分，每一个部分至少一个，再将这3部分分配到3个不同的路口，根据分步计数原理可得选项. 【详解】
把甲、乙两名交警看作一个整体，5个人变成了4个元素，再把这4个元素分成3部分，每部分至少有1个人，共有2
4C 种方法，再把这3部分分到3个不同的路口，有3
3A 种方法，由分步计数原理，共有23
4336C A ⋅=种方案。

故选：C. 【点睛】
本题主要考查排列与组合,常常运用捆绑法，插空法，先分组后分配等一些基本思想和方法解决问题，属于中档题. 5、D 【解析】
利用对数函数的单调性可得235log 5log 5log 3>>，再根据()f x 的单调性和奇偶性可得正确的选项. 【详解】
因为33log 5log 31>=，5550log 1log 3log 51=<<=， 故35log 5log 30>>.
又2233log 5log 42log 9log 50>==>>，故235log 5log 5log 3>>. 因为当[)0,x ∈+∞时，函数()f x 是单调递减函数， 所以()()()235log 5log 5log 3f f f <<. 因为()f x 为偶函数，故()()3
331log log 5log 55f f f ⎛⎫
== ⎪⎝⎭
-， 所以()()2351log 5log log 35f f f ⎪<⎛⎫
⎝⎭
<. 故选：D. 【点睛】
本题考查抽象函数的奇偶性、单调性以及对数函数的单调性在大小比较中的应用，比较大小时注意选择合适的中间数来传递不等关系，本题属于中档题. 6、D 【解析】
设直线l ：2y kx =+，()11,P x y ，()22,Q x y ，由原点O 在以PQ 为直径的圆的外部，可得0OP OQ ⋅>，联立直线
l 与椭圆C 方程，结合韦达定理，即可求得答案.
【详解】
显然直线0x =不满足条件，故可设直线l ：2y kx =+，
()11,P x y ，()22,Q x y ，由2
2122x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
，得()22
12860k x kx +++=，
()226424120k k ∆=-+>，
∴解得6
2
k >
或62k <-，
∴122812k x x k +=-
+，122
612x x k
=+， 0
2
POQ π
<∠<
，
∴0OP OQ ⋅>，
∴()()1212121222OP OQ x x y y x x kx kx ⋅=+=+++
()()2
12
12124k
x x
k x x =++++()222
2
22611610240121212k k k k k k
+-=
-+=>+++， ∴解得55k -<<，
∴直线l 的斜率k 的取值范围为66
5,,522k ⎛⎫⎛⎫∈-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
. 故选：D. 【点睛】
本题解题关键是掌握椭圆的基础知识和圆锥曲线与直线交点问题时，通常用直线和圆锥曲线联立方程组，通过韦达定理建立起目标的关系式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题． 7、B 【解析】
设正四面体ABCD 的外接球的半径R ，将该正四面体放入一个正方体内，使得每条棱恰好为正方体的面对角线，根据正方体和正四面体的外接球为同一个球计算出正方体的棱长，从而得出正四面体的棱长，最后可求出正四面体的表面积． 【详解】
将正四面体ABCD 放在一个正方体内，设正方体的棱长为a ，如图所示，
设正四面体ABCD 的外接球的半径为R ，则3
43
R π=，得R =ABCD 的外接球和正方体的
R =．而正四面体ABCD 的每条棱长均为正方体的面对角线长，
所以，正四面体ABCD 4=，因此，这个正四面体的表面积为4=
故选：B ． 【点睛】
本题考查球的内接多面体，解决这类问题就是找出合适的模型将球体的半径与几何体的一些几何量联系起来，考查计算能力，属于中档题． 8、B 【解析】
根据题意计算21n a n =-，12n n b -=，122n n T n +=--，解不等式得到答案.
【详解】
∵{}n a 是以1为首项，2为公差的等差数列，∴21n a n =-. ∵{}n b 是以1为首项，2为公比的等比数列，∴12n n
b -=.
∴2112n n n b b b T c c c a a a =++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+11242n a a a a -=+++⋯+
()1
(211)(221)(241)22
1n -=⨯-+⨯-+⨯-+⋅⋅⋅+⨯-()1
21242
n n -=+++⋅⋅⋅+-11222212n
n n n +-=⨯-=---.
∵2020n T <，∴1222020n n +--<，解得9n ≤.则当2020n T <时，n 的最大值是9. 故选：B . 【点睛】
本题考查了等差数列，等比数列，f 分组求和，意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用. 9、D 【解析】
由已知向量的坐标求出a b +的坐标，再由向量垂直的坐标运算得答案． 【详解】
∵(1,),(3,2),(4,2)a m b a b m ==-∴+=-，又()a b b +⊥， ∴3×4+（﹣2）×（m ﹣2）＝0，解得m ＝1．
故选D ． 【点睛】
本题考查平面向量的坐标运算，考查向量垂直的坐标运算，属于基础题． 10、C 【解析】
从21开始，输出的数是除以3余2，除以5余3，满足条件的是23，故选C.
11、B
【解析】因为从有2件正品和2件次品的产品中任选2件得到都是正品的概率为，即命题是错误，
则
是正确的；在边长为4的正方形
内任取一点，若的概率为
，即命题是正确
的，故由符合命题的真假的判定规则可得答案 是正确的，应选答案B 。

点睛：本题将古典型概率公式、几何型概率公式与命题的真假（含或、且、非等连接词）的命题构成的复合命题的真假的判定有机地整合在一起，旨在考查命题真假的判定及古典概型的特征与计算公式的运用、几何概型的特征与计算公式的运用等知识与方法的综合运用，以及分析问题 解决问题的能力。

12、D 【解析】
分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在π
(,π)2上的符号，即可判断选择.
详解：令()2sin 2x
f x x =， 因为,()2
sin 2()2sin 2()x x x R f x x x f x -∈-=-=-=-，所以()2sin 2x
f x x =为奇函数，排除选项A,B;
因为π(,π)2
x ∈时，()0f x <，所以排除选项C ，选D.
点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、4 【解析】
利用平面直角坐标系，设出点E ，F 的坐标，由1EF =可得()()2
2
121a b -+-=，利用数量积运算求得
2AE AF b a ⋅=+，再利用线性规划的知识求出2t a b =+的最大值.
【详解】
建立平面直角坐标系，如图（1）所示： 设()()2,,,1E a F b ，
1EF =，
∴
()()
22
211b a -+-=，
即()()2
2
121a b -+-=， 又2AE AF b a ⋅=+，
令2t a b =+，其中01,02a b ≤≤≤≤， 画出图形，如图（2）所示：
当直线2t a b =+经过点()0,2F 时，t 取得最大值4t =. 故答案为：4 【点睛】
本题考查了向量数量积的坐标运算、简单的线性规划问题，解题的关键是建立恰当的坐标系，属于基础题. 14、
2
e 【解析】
函数()ln f x a x =的定义域为()0,+∞，求出导函数，利用曲线()y f x =与曲线()g x x =
()00,x y 由于在
公共点处有共同的切线，解得2
04x a =，0a >，联立()()00f x g x =解得a 的值．
【详解】
解：函数()ln f x a x =的定义域为()0,+∞，()a
f x x
'=，(
)g x '=，
设曲线()ln f x a x =与曲线(
)g x ()00,x y ，
由于在公共点处有共同的切线，∴0a x =，解得204x a =，0a >．
由()()00f x g x =
，可得0ln a x =
联立2
004x a alnx ⎧=⎪⎨=⎪⎩2e a =．
故答案为：2
e
．
【点睛】
本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题． 15
【解析】
因为单位向量,a b 的夹角为
2π3
，所以2π1
||||cos 32⋅=⋅=-a b a b ，所以|2|a b -
=
.
16
【解析】
先求圆的半径, 四边形MACB
的最小面积S ∈,转化为MBC S △
的最小值为MBC S ∈△，求出切线长的
最小值min MB ∈,再求MC 的距离也就是圆心到直线的距离,可解得k 的取值范围,利用几何概型即可求得概率． 【详解】
由圆的方程得22
(1)1x y ++=，所以圆心为(0,1)-，半径为1r =，四边形的面积2MBC S S =△，若四边形MACB 的
最小面积S ∈，所以MBC S △
的最小值为MBC S ∈△，而12MBC
S r MB =△，即MB 的最小值
min MB ∈，此时MC 最小为圆心到直线的距离，
此时d =
，因为0k >，
所以k ∈，所以[1,4]k ∈
的概率为3
． 【点睛】
本题考查直线与圆的位置关系,及与长度有关的几何概型,考查了学生分析问题的能力,难度一般.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）1a ≤；（2）证明见解析 【解析】
（1）由()0f x ≤恒成立，可得ln x a x x
≤-
恒成立，进而构造函数ln ()x
g x x x =-，求导可判断出()g x 的单调性，
进而可求出()g x 的最小值min ()g x ，令min ()a g x ≤即可；
（2）由221()x ax f x x -++'=，可知存在唯一的0(0,)x ∈+∞，使得0()0f x '=，则2
00210x ax -++=，00
12a x x =-，
进而可得2000()ln 1f x x x =+-，即曲线M 的方程为2
ln 1y x x =+-，进而只需证明对任意k ∈R ，方程
2ln 1x x kx +-=有唯一解，然后构造函数2
()ln 1F x x x kx =+--，分0k ≤
、0k <≤
k >三种情况，
分别证明函数()F x 在(0,)+∞上有唯一的零点，即可证明结论成立. 【详解】
（1）由题意，可知0x >，由()0f x ≤恒成立，可得ln x
a x x
≤-
恒成立. 令ln ()x g x x x =-，则22
1ln ()x x
g x x
-+'=. 令2
()1ln h x x x =-+，则1
()2h x x x
'=+
， 0x
，()0h x '∴>，
2()1ln h x x x ∴=-+在(0,)+∞上单调递增，又(1)0h =， (0,1)x ∴∈时，()0h x <；(1,)x ∈+∞时，()0h x >，
即(0,1)x ∈时，()0g x '<；(1,)x ∈+∞时，()0g x '>，
(0,1)x ∴∈时，()g x 单调递减；(1,)x ∈+∞时，()g x 单调递增，
1x ∴=时，()g x 取最小值(1)1g =，
1a ∴≤.
（2）证明：由2121()2x ax f x x a x x
-++'=-+=，令2
2(1)x a T x x -=++，
由1(0)0T =>，结合二次函数性质可知，存在唯一的0(0,)x ∈+∞，使得0()0f x '=，故()f x 存在唯一的极值点0x ，
则2
00210x ax -++=，00
12a x x =-
， 22000000()ln ln 1f x x x ax x x ∴=-+=+-， ∴曲线M 的方程为2ln 1y x x =+-.
故只需证明对任意k ∈R ，方程2ln 1x x kx +-=有唯一解.
令2
()ln 1F x x x kx =+--，则2121
()2x kx F x x k x x
-+'=+-=，
①当0k ≤时，()0F x '>恒成立，()F x ∴在(0,)+∞上单调递增.
21,e e 1k k ≤≤，22(e )e e 1(1e )e 10k k k k k F k k k ∴=+--=-+-≤，
(1)0F k =-≥，∴存在t 满足e 1k t ≤≤时，使得()0F t =.
又
()F x 单调递增，所以x t =为唯一解.
②当0k <≤221x x y k -+=，满足280k ∆=-≤， 则()0F x '≥恒成立，()F x ∴在(0,)+∞上单调递增.
(1)0F k =-<
，333263(e )3e e 1(e e )0k F k =+--=+>，
∴存在3(1,e )t ∈使得()0F t =，
又
()F x 在(0,)+∞上单调递增，x t ∴=为唯一解.
③当k >2
21x x y k -+=，满足280k ∆=->， 此时()0F x '=有两个不同的解12,x x ，不妨设12x x <，
1212x x =
⋅
，1202
x x ∴<<<， 列表如下：
由表可知，当1x x =时，()F x 的极大值为2
1111()ln 1F x x x kx =+--.
211210x kx -+=，2111()ln 2F x x x ∴=--，
102
x <<
<，2
11ln 2x x ∴<+， 2111()ln 20F x x x ∴=--<，21()()0F x F x ∴<<.
22222
222(e )e e 1(e )e 1k k k k k F k k k k =+--=-+-.
下面来证明2
e 0k k ->，
构造函数2
()ln (m x x x x =->，则2121
()2x m x x x x
-'=-=，
∴当)x ∈+∞时，()0m x '>，此时()m x 单调递增，
∴3
()8ln 202
m x m >=->，
∴)x ∈+∞时，2ln x x >，∴2ln e e x x x >=，
故2
e 0k k ->成立.
∴222
2(e )(e )e 10k k k F k k =-+->， ∴存在2
2(,e )k t x ∈，使得()0F t =.
又
()F x 在2(,)x +∞单调递增，x t ∴=为唯一解.
所以，对任意k ∈R ，方程2ln 1x x kx +-=有唯一解，即过原点任意的直线y kx =与曲线M 有且仅有一个公共点. 【点睛】
本题考查利用导数研究函数单调性的应用，考查不等式恒成立问题，考查利用单调性研究图象交点问题，考查学生的计算求解能力与推理论证能力，属于难题.
18、（1）22
22
1259x y m m
+=（2）m =（3）11109NF MF m +=为定值
试题分析：（1）利用待定系数法可得，椭圆方程为22
22
1259x y m m +=；
（2）我们要知道θ=90的条件应用，在于直线l 交椭圆两交点M ，N 的横坐标为4x m =，这样代入椭圆方程，容易得到
，从而解得2m =
；
（3） 需讨论斜率是否存在．一方面斜率不存在即θ=90时，由（2）得
11109NF MF m
+=；另一方面，当斜率存在即90θ≠时，可设直线的斜率为k ，得直线MN ：(4)y k x m =-，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理和焦半径公式，
就能得到
11109NF MF m +=，所以11109NF MF m
+=为定值，与直线l 的倾斜角θ的大小无关 试题解析：（1）4c m =，45e =得：5a m =，椭圆方程为22
221259x y m m +=
（2）当4x m =时，2
2
8125
m y =，得：95m y =，
于是当θ=90时，95m NF MF ==
，于是111052
99
NF MF m +==， 得到2m =（3）①当θ=90时，由（2）知
1110
9NF MF m
+= ②当90θ≠时，设直线的斜率为k ，11(,)M x y ，22(,)N x y 则直线MN ：(4)y k x m =- 联立椭圆方程有2
2
2
2
2
(925)20025(169)0k x k mx m k +-+-=，
2122200(925)k m
x x k +=+，22122
25(169)·(925)
m k x x k -=+， 11MF NF +=11
455m x -+21
455m x -=12212124
10()
516254(?25
m x x m m x x x x -+-++）=222
90(1)81(1)?m k m k ++ 得
11109NF MF m
+= 综上，11109NF MF m
+=为定值，与直线l 的倾斜角θ的大小无关 考点：（1）待定系数求椭圆方程；（2）椭圆简单的几何性质；（3）直线与圆锥曲线 19、()14；()2证明见解析.
()1当2n =时，集合n A 共有224=个子集，即可求出结果； ()2分类讨论，利用数学归纳法证明.
【详解】
()1当2n =时，集合n A 共有224=个子集，所以124m a a a +++=；
()2①当2n =时，224m ==，由()1可知，1244a a a ++
+=，
此时令11a =，22a =，31a =，40a =， 满足对任意(
)*
3i i N
≤∈，都有1
1i
i a a
+-=，且40a =；
②假设当()2n k k =≥时，存在有序集合组(
)122,,
,k M M M 满足题意，且20k a =，
则当1n k =+时，集合n A 的子集个数为1222k k +=⋅个，
因为22k ⋅是4的整数倍，所以令211k a +=，222k a +=，231k a +=，240k a +=， 且(
)
224124k k k
j j a a j +++=≤≤-恒成立，
即满足对任意121k i +≤-，都有11i i a a +-=，且210k a +=， 综上，原命题得证. 【点睛】
本题考查集合的自己个数的研究，结合数学归纳法的应用，属于难题. 20、（1）2
4x y =（2）见解析，最小值为4 【解析】
（1）根据焦点F 到直线l 的距离列方程，求得c 的值，由此求得抛物线的方程.
（2）设出,,A B P 的坐标，利用导数求得切线,PA PB 的方程，由此判断出直线AB 恒过抛物线焦点F .求得三角形PAB 面积的表达式，进而求得面积的最小值. 【详解】
（1）依题意
d =
，解得1c = （负根舍去） ∴抛物线C 的方程为24x y =
（2）设点()()1122,,,,(,1)A x y B x y P t -，由2
4x y =，
即214y x =
，得12
y x '= ∴抛物线C 在点A 处的切线PA 的方程为()1
112
x y y x x -=-， 即2111122
x y x y x =
+- ∵21114
y x =
，∴112x
y x y =-∵点(,1)P t -在切线PA 上，
1112x t y -=
-①，同理，2212
x
t y -=-② 综合①、②得，点()()1122,,,A x y B x y 的坐标都满足方程12
x
t y -=-.
即直线:12
t
AB y x =+恒过抛物线焦点()0,1F
当0t =时，此时()0,1P -，可知：PF AB ⊥
当0t ≠，此时直线PF 直线的斜率为2
PF k t
=-，得PF AB ⊥
于是1
||||2PAB S PF AB =⋅△，而||PF
把直线12
t y x =+代入2
4x y =中消去x 得()
22210y t y -++=
2
1224AB y y t =++=+，即：(()3
22211442
2
S t t =+=+
当0t =时，PAB
S 最小，且最小值为4
【点睛】
本小题主要考查点到直线的距离公式，考查抛物线方程的求法，考查抛物线的切线方程的求法，考查直线过定点问题，考查抛物线中三角形面积的最值的求法，考查运算求解能力，属于难题.
21、（1）点M 的轨迹C 的方程为2
214
x y +=，轨迹C 是以(，为焦点，长轴长为4的椭圆（2）
22846003x y x x ⎛
⎫+-=<< ⎪⎝
⎭
【解析】
（1）设(),M x y ，根据1
2
DM DP =可求得(),2P x y ，代入圆的方程可得所求轨迹方程；根据轨迹方程可知轨迹是
以(
)，
)
为焦点，长轴长为4的椭圆；
（2）设():3l y k x =-，与椭圆方程联立，利用>0∆求得2
1
5
k <
；利用韦达定理表示出12x x +与12y y +，根据平
行四边形和向量的坐标运算求得OE ，消去k 后得到轨迹方程；根据2
1
5
k <求得x 的取值范围，进而得到最终结果. 【详解】
（1）设(),M x y ，则(),0D x 由1
2
DM DP =
知：(),2P x y 点P 在圆2
2
4x y +=上 2
2
44x y ∴+=
∴点M 的轨迹C 的方程为：2214
x y += 轨迹C
是以(
)
，
)
为焦点，长轴长为4的椭圆
（2）设(),E x y ，由题意知l 的斜率存在
设():3l y k x =-，代入2214
x y +=得：()2222
14243640k x k x k +-+-=
则()
()()2
2
22244143640k k k ∆=--+->，解得：21
5
k <
设()11,A x y ，()22,B x y ，则2
122
2414k x x k +=
+ ∴()()()312121222
24633661414k k
y y k x k x k x x k k k k
-+=-+-=+-=-=++ 四边形OAEB 为平行四边形
∴()2121222246,,,1414k k OE OA OB x x y y k k ⎛⎫
-=+=++= ⎪++⎝⎭
又(),OE x y = ∴2
222414614k x k k y k ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩
，消去k 得：22
460x y x +-=
2
15k < ()222226146246860,1414143k k x k k k +-⎛⎫∴===-∈ ⎪+++⎝⎭ ∴顶点E 的轨迹方程为22846003x y x x ⎛
⎫+-=<< ⎪⎝
⎭
【点睛】
本题考查圆锥曲线中的轨迹方程的求解问题，关键是能够利用已知中所给的等量关系建立起动点横纵坐标满足的关系
式，进而通过化简整理得到结果；易错点是求得轨迹方程后，忽略x 的取值范围. 22、解：设特征向量为α＝1k ⎡⎤⎢
⎥-⎣⎦对应的特征值为λ，则01a k ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦ 1k ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦＝λ1k ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，即1
ak k k
λλ-=⎧⎨=⎩ 因为k≠0，所以a ＝2． 5分
因为13111A -⎡⎤⎡⎤
=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
，所以A 11⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝31⎡⎤⎢⎥⎣⎦，即201k ⎡⎤⎢⎥
⎣⎦11⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝31⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
， 所以2＋k ＝3，解得 k ＝2．综上，a ＝2，k ＝2． 20分 【解析】
试题分析：由 特征向量求矩阵A, 由逆矩阵求k 考点：特征向量, 逆矩阵
点评：本题主要考查了二阶矩阵，以及特征值与特征向量的计算，考查逆矩阵．。