2015年浙江省六校联考高考数学模拟试卷(文科)

2015年浙江省六校联考高考数学模拟试卷（文科）一、选择题（本题共有8小题，每小题5分，共40分）1．（5分）（2015•浙江模拟）已知集合M={x|≥1}，N={y|y=}，则M∩N=（）A．（0，1）B．[0，1]C．[0，1）D．（0，1]2．（5分）（2015•浙江模拟）若a是实数，则“a2≠4”是“a≠2”的（）A．充要条件 B．既不充分也不必要条件C．充分不必要条件D．必要不充分条件3．（5分）（2015•浙江模拟）将函数y=cos（x+）的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位，所得函数图象的一个对称中心为（）A．（0，0）B．（）C．（）D．（π，0）4．（5分）（2011•浙江）下列命题中错误的是（）A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β5．（5分）（2015•浙江模拟）设实数列{a n}和{b n}分别为等差数列与等比数列，且a1=b1=8，a4=b4=1，则以下结论正确的是（）A．a2＞b2B．a3＜b3C．a5＞b5D．a6＞b66．（5分）（2015•南昌校级二模）设A1，A2分别为椭圆=1（a＞b＞0）的左、右顶点，若在椭圆上存在点P，使得＞﹣，则该椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C．D．7．（5分）（2015•浙江模拟）定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）=，则函数F（x）=f（x）﹣的所有零点之和为（）A．B．C．D．8．（5分）（2015•浙江模拟）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S．①当0＜CQ＜时，S为四边形②截面在底面上投影面积恒为定值③存在某个位置，使得截面S与平面A1BD垂直④当CQ=时，S与C1D1的交点R满足C1R=其中正确命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（第9题至第12题，每小题6分；第13题至第15题每小题6分，共36分）9．（6分）（2015•浙江模拟）函数f（x）=sinx+cosx的最小正周期为，单调增区间为，=．10．（6分）（2015•浙江模拟）已知点M（2，1）及圆x2+y2=4，则过M点的圆的切线方程为，若直线ax﹣y+4=0与圆相交于A、B两点，且|AB|=2，则a=．11．（6分）（2015•浙江模拟）某空间几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则其体积是cm3，表面积是cm 2．12．（6分）（2015•浙江模拟）设实数x，y满足，则动点P（x，y）所形成区域的面积为，z=|x﹣2y+2|的取值范围是．13．（4分）（2015•浙江模拟）已知点P是双曲线y2﹣=1上任意一点，过点P分别作两渐近线的垂线，垂足分别为A、B，则线段|AB|的最小值为．14．（4分）（2015•浙江模拟）已知实数x、y满足4x2+y2﹣xy=1，且不等式2x+y+c＞0恒成立，则c的取值范围是．15．（4分）（2015•浙江模拟）如图，圆O为Rt△ABC的内切圆，已AC=3，BC=4，AB=5，过圆心O的直线l交圆O于P、Q两点，则•的取值范围是．三、解答题（第16题至第19题，每题15分；第20题14分，共74分）16．（15分）（2015•邯郸二模）如图，在△ABC中，D为AB边上一点，DA=DC，已知B=，BC=1．（Ⅰ）若△ABC是锐角三角形，DC=，求角A的大小；（Ⅱ）若△BCD的面积为，求边AB的长．17．（15分）（2015•浙江模拟）已知数列{a n}的前n项和为S n，满足S n+2=2a n（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）令b n=log2a n，T n=+…+，求满足T n≤的最大正整数n的值．18．（15分）（2015•浙江模拟）等腰梯形ABCD，AB∥CD，DE⊥AB，CF⊥AB，AE=2，沿DE，CF将梯形折叠使A，B重合于A点（如图），G为AC上一点，FG⊥平面ACE．（Ⅰ）求证：AE⊥AF；（Ⅱ）求DG与平面ACE所成角的正弦值．19．（15分）（2015•浙江模拟）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）上的点M到直线l：y=x+1的最小距离为．点N在直线l上，过点N作直线与抛物线相切，切点分别为A、B．（Ⅰ）求抛物线方程；（Ⅱ）当原点O到直线AB的距离最大时，求三角形OAB的面积．20．（14分）（2015•浙江模拟）已知函数f（x）=x2﹣（a+1）x﹣4（a+5），g（x）=ax2﹣x+5，其中a∈R（1）若函数f（x），g（x）存在相同的零点，求a的值（2）若存在两个正整数m，n，当x0∈（m，n）时，有f（x0）＜0与g（x0）＜0同时成立，求n的最大值及n取最大值时a的取值范围．2015年浙江省六校联考高考数学模拟试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共有8小题，每小题5分，共40分）1．（5分）（2015•浙江模拟）已知集合M={x|≥1}，N={y|y=}，则M∩N=（）A．（0，1）B．[0，1]C．[0，1）D．（0，1]考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出M中不等式的解集确定出M，求出N中y的范围确定出N，找出M与N的交集即可．解答：解：由M中不等式变形得：﹣1≥0，即≤0，解得：0＜x≤1，即A=（0，1]，由N中y=，得到0≤y≤1，即N=[0，1]，则M∩N=（0，1]，故选：D．点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）（2015•浙江模拟）若a是实数，则“a2≠4”是“a≠2”的（）A．充要条件 B．既不充分也不必要条件C．充分不必要条件D．必要不充分条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据充分必要条件的定义进行判断即可．解答：解：若“a2≠4”，则“a≠2”，是充分条件，若“a≠2”，则推不出“a2≠4”，不是必要条件，故选：C．点评：本题考查了充分必要条件，考查了不等式问题，是一道基础题．3．（5分）（2015•浙江模拟）将函数y=cos（x+）的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位，所得函数图象的一个对称中心为（）A．（0，0）B．（）C．（）D．（π，0）考点：余弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：根据三角函数的图象变换求出函数的解析式即可得到结论．解答：解：将函数y=cos（x+）的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到y=cos（x+），再向左平移个单位，得到y=cos[（x+）+]=cos（x+）=﹣sin x，由x=kπ，解得x=2kπ，即函数对称中心为（2kπ，0），当k=0时，函数的对称中心为（0，0），故选：A点评：本题主要考查三角函数对称中心的求解，根据函数图象变换关系求出函数的解析式是解决本题的关键．4．（5分）（2011•浙江）下列命题中错误的是（）A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β考点：平面与平面垂直的性质．专题：空间位置关系与距离；简易逻辑．分析：本题考查的是平面与平面垂直的性质问题．在解答时：A注意线面平行的定义再结合实物即可获得解答；B反证法即可获得解答；C利用面面垂直的性质通过在一个面内作交线的垂线，然后用线面垂直的判定定理即可获得解答；D结合实物举反例即可．解答：解：由题意可知：A、结合实物：教室的门面与地面垂直，门面的上棱对应的直线就与地面平行，故此命题成立；B、假若平面α内存在直线垂直于平面β，根据面面垂直的判定定理可知两平面垂直．故此命题成立；C、结合面面垂直的性质可以分别在α、β内作异于l的直线垂直于交线，再由线面垂直的性质定理可知所作的垂线平行，进而得到线面平行再由线面平行的性质可知所作的直线与l平行，又∵两条平行线中的一条垂直于平面那么另一条也垂直于平面，故命题成立；D、举反例：教室内侧墙面与地面垂直，而侧墙面内有很多直线是不垂直与地面的．故此命题错误．故选D．点评：本题考查的是平面与平面垂直的性质问题．在解答的过程当中充分体现了面面垂直、线面垂直、线面平行的定义判定定理以及性质定理的应用．值得同学们体会和反思．5．（5分）（2015•浙江模拟）设实数列{a n}和{b n}分别为等差数列与等比数列，且a1=b1=8，a4=b4=1，则以下结论正确的是（）A．a2＞b2B．a3＜b3C．a5＞b5D．a6＞b6考点：等差数列的通项公式；等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意可得数列的公差和公比，进而可得选项中的各个值，比较可得．解答：解：∵a1=8，a4=1，∴d==﹣，∵b1=8，b4=1，∴q3==，∴q=，∴b2=4＜a2=，∴b3=2＜a3=，∴b5=＞a5=﹣，∴b6=＞a6=﹣，故选：A点评：本题考查等差数列和等比数列的通项公式，属基础题．6．（5分）（2015•南昌校级二模）设A1，A2分别为椭圆=1（a＞b＞0）的左、右顶点，若在椭圆上存在点P，使得＞﹣，则该椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C．D．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据题意设P（asinα，bcosα），所以根据条件可得到，b2换上a2﹣c2从而可得到，再根据a，c＞0，即可解出离心率的取值范围．解答：解：设P（asinα，bcosα），A1（﹣a，0），A2（a，0）；∴，；∴；∴；∴，a，c＞0；∴解得；∴该椭圆的离心率的范围是（）．故选：C．点评：考查椭圆的标准方程，椭圆的顶点的定义，顶点的坐标，由点的坐标求直线的斜率，以及b2=a2﹣c2，椭圆斜率的概念及计算公式，设出P点坐标是求解本题的关键．7．（5分）（2015•浙江模拟）定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）=，则函数F（x）=f（x）﹣的所有零点之和为（）A．B．C．D．考点：函数零点的判定定理；分段函数的应用．专题：数形结合；函数的性质及应用．分析：得出x＜0时，f（x）=画出R上的图象，构造f（x）与y=交点问题，利用对称性求解，注意确定交点坐标求解．解答：解：∵定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）=，∴x＜0时，f（x）=画出图象：∵函数F（x）=f（x）﹣，∴f（x）与y=交点的横坐标，根据图象可设交点的横坐标从左到右为x1，2，x3，x4，x5，根据图象的对性可知；x1+x2=﹣6，x4+x5=6，∴x1+x2=x3=x4=x5=x3，∵=，x x=，故函数F（x）=f（x）﹣的所有零点之和为：．故选：B点评：本题考查了函数的奇偶性，图象的对称性，函数的零点与构造函数交点的问题，属于中档题，关键是确定函数解析式，画图象．8．（5分）（2015•浙江模拟）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S．①当0＜CQ＜时，S为四边形②截面在底面上投影面积恒为定值③存在某个位置，使得截面S与平面A1BD垂直④当CQ=时，S与C1D1的交点R满足C1R=其中正确命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4考点：棱柱的结构特征．专题：空间位置关系与距离．分析：对选项逐个进行检验即可，对于①：得到0＜DT＜1，可以容易得到S为四边形；对于②则找其投影三角形即可；对于③，则需要找线面垂直关系即可；对于④，则需补图完成．解答：解：设截面与DD1相交于T，则AT∥PQ，且AT=2PQ⇒DT=2CQ．对于①，当0＜CQ＜时，则0＜DT＜1，所以截面S为四边形，且S为梯形，故①正确；对于②，截面在底面上投影为△APC，其面积为，故②错误；对于③，存在某个位置，使得截面S与平面A1BD垂直，故③正确；对于④，右补充一个正方体后，得到S与C1D1的交点R满足C1R=，故④正确；故选：C．点评：本题重点考查了空间几何体的结构特征、空间中点线面的位置关系等知识，对于中点问题的处理思路是：无中点，取中点，相连得到中位线．属于中档题．二、填空题（第9题至第12题，每小题6分；第13题至第15题每小题6分，共36分）9．（6分）（2015•浙江模拟）函数f（x）=sinx+cosx的最小正周期为2π，单调增区间为[2kπ﹣，2kπ+]，=．考点：正弦函数的图象；三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像与性质．分析：利用辅助角公式将三角函数进行化简即可得到结论．解答：解：f（x）=sinx+cosx=sin（x+），则函数的周期T==2π，由2kπ﹣≤x+≤2kπ+，k∈Z，解得2kπ﹣≤x≤2kπ+，k∈Z，故函数的递增区间为[2kπ﹣，2kπ+]，f（）=sin（+）=sin==，故答案为：2π，[2kπ﹣，2kπ+]，．点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，利用辅助角公式进行化简是解决本题的关键．10．（6分）（2015•浙江模拟）已知点M（2，1）及圆x2+y2=4，则过M点的圆的切线方程为x=2或3x+4y﹣10=0，若直线ax﹣y+4=0与圆相交于A、B两点，且|AB|=2，则a=．考点：圆的切线方程．专题：计算题；直线与圆．分析：当切线方程的斜率不存在时，显然x=2满足题意，当切线方程的斜率存在时，设斜率为k，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，根据d=r列出关于k的方程，解之即可求出所求；由题意易知圆心到直线的距离等于1（勾股定理），然后可求a的值．解答：解：由圆x2+y2=4，得到圆心坐标为（0，0），半径r=2，当过P的切线方程斜率不存在时，显然x=2为圆的切线；当过P的切线方程斜率存在时，设斜率为k，P（2，1），∴切线方程为y﹣1=k（x﹣2），即kx﹣y﹣2k+1=0，∵圆心到切线的距离d==r=2，解得：k=﹣，此时切线方程为3x+4y﹣10=0，综上，切线方程为x=2或3x+4y﹣10=0．∵直线ax﹣y+4=0与圆相交于A、B两点，且|AB|=2，∴圆心（0，0）到直线的距离等于1，∴=1，∴a=．故答案为：x=2或3x+4y﹣10=0；．点评：本题主要考查了直线圆的位置关系，以及切线的求解方法，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．11．（6分）（2015•浙江模拟）某空间几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则其体积是cm3，表面积是2cm 2．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由三视图可得该几何体是正方体的内接正四棱锥，由三视图中的数据和间接法求出几何体的体积，再由三角形的面积公式求出表面积．解答：解：由三视图可得，该几何体是棱长为1的正方体的内接正四棱锥，所以此正四棱锥的体积V=1﹣4×=cm3，由图可得正四面体的棱长是，所以表面积S=4××=2cm 2．故答案为：；2．点评：本题考查了正方体的内接正四棱锥的体积、表面积，解题的关键是由三视图正确还原几何体，并求出几何体中几何元素的长度，考查空间想象能力．12．（6分）（2015•浙江模拟）设实数x，y满足，则动点P（x，y）所形成区域的面积为12，z=|x﹣2y+2|的取值范围是[0，18]．考点：简单线性规划．专题：计算题；作图题；不等式的解法及应用．分析：由题意作出其平面区域，从而利用三角形的面积公式求面积，再由z=|x﹣2y+2|的几何意义是阴影内的点到直线x﹣2y+2=0的距离的倍求其取值范围，从而解得．解答：解：由题意作出其平面区域，可知A（﹣4，8），B（2，2）；故动点P（x，y）所形成区域的面积S=×4×（4+2）=12；z=|x﹣2y+2|的几何意义是阴影内的点到直线x﹣2y+2=0的距离的倍；故0≤|x﹣2y+2|≤|﹣4﹣2×8+2|=18；即0≤z≤18；故答案为：12，[0，18]．点评：本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，用到了表达式的几何意义的转化，属于中档题．13．（4分）（2015•浙江模拟）已知点P是双曲线y2﹣=1上任意一点，过点P分别作两渐近线的垂线，垂足分别为A、B，则线段|AB|的最小值为．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设P（m，n），则n2﹣=1，求出双曲线的渐近线方程，求得P到渐近线的距离，由渐近线的倾斜角结合条件可得∠APB=180°﹣120°=60°，运用余弦定理，可得|AB|的表达式，化简整理，再由双曲线的性质，即可得到最小值．解答：解：设P（m，n），则n2﹣=1，双曲线y2﹣=1的渐近线方程为y=±x设|PA|==，|PB|=，由于∠AOB=120°，则∠APB=180°﹣120°=60°，由余弦定理可得|AB|2=|PA|2+|PB|2﹣2|PA|•|PB|cos60°，即有|AB|2=+﹣2×××=﹣===（1+m2）≥（当m=0时取得等号），则有|AB|的最小值为．故答案为：．点评：本题考查双曲线的方程和性质，主要考查渐近线方程的运用，同时考查点到直线的距离公式和余弦定理的运用，属于中档题．14．（4分）（2015•浙江模拟）已知实数x、y满足4x2+y2﹣xy=1，且不等式2x+y+c＞0恒成立，则c的取值范围是（，+∞）．考点：一元二次不等式的解法．专题：综合题；不等式的解法及应用．分析：由4x2+y2﹣xy=1，得出2x+y=±，再根据不等式2x+y+c＞0恒成立，得出c＞﹣（2x+y）=；利用基本不等式4x2+y2≥2•2x•y，求出xy≤，代入上式，求出c的取值范围．解答：解：∵4x2+y2﹣xy=1，∴（2x+y）2=1+5xy，∴2x+y=±；又∵不等式2x+y+c＞0恒成立，∴2x+y＞﹣c；令﹣＞﹣c，得c＞；又∵4x2+y2≥2•2x•y=4xy，当且仅当2x=y时“=”成立，∴4xy﹣xy≤1，即xy≤；∴c＞≥=；∴c的取值范围是（，+∞）．故答案为：（，+∞）．点评：本题考查了基本不等式的应用问题，也考查了不等式的解法与应用问题，是综合性题目．15．（4分）（2015•浙江模拟）如图，圆O为Rt△ABC的内切圆，已AC=3，BC=4，AB=5，过圆心O的直线l交圆O于P、Q两点，则•的取值范围是[﹣7，1]．考点：向量在几何中的应用；平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用；直线与圆．分析：以O为坐标原点，与直线BC平行的直线为x轴，与直线AC平行的直线为y轴，建立直角坐标系，设△ABC的内切圆的半径为r，运用面积相等可得r=1，设出圆的方程，求得交点P，Q，讨论直线的斜率k不存在和大于0，小于0的情况，运用向量的坐标运算，结合数量积的坐标表示和不等式的性质，计算即可得到范围．解答：解：以O为坐标原点，与直线BC平行的直线为x轴，与直线AC平行的直线为y轴，建立直角坐标系，设△ABC的内切圆的半径为r，运用面积相等可得，=r（3+4+5），解得r=1，则B（﹣3，﹣1），C（1，﹣1），即有圆O：x2+y2=1，当直线PQ的斜率不存在时，即有P（0，1），Q（0，﹣1），=（3，3），=（﹣1，0），即有=﹣3．当直线PQ的斜率存在时，设直线l：y=kx，（k＜0），代入圆的方程可得P（﹣，﹣），Q（，），即有=（3﹣，1﹣），=（﹣1，+1），则有=（3﹣）（﹣1）+（1﹣）（+1）=﹣3+，由1+k2≥1可得0＜≤4，则有﹣3＜﹣3+≤1．同理当k＞0时，求得P（，），Q（﹣，﹣），有═﹣3﹣，可得﹣7≤﹣3+＜﹣3．．综上可得，•的取值范围是[﹣7，1]．故答案为：[﹣7，1]．点评：本题考查向量的数量积的坐标表示，主要考查向量的坐标运算，同时考查直线和圆联立求交点，考查不等式的性质，属于中档题．三、解答题（第16题至第19题，每题15分；第20题14分，共74分）16．（15分）（2015•邯郸二模）如图，在△ABC中，D为AB边上一点，DA=DC，已知B=，BC=1．（Ⅰ）若△ABC是锐角三角形，DC=，求角A的大小；（Ⅱ）若△BCD的面积为，求边AB的长．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）在△BCD中，由正弦定理得到∠BDC，又由DA=DC，即可得到∠A；（Ⅱ）由于△BCD面积为，得到•BC•BD•sin =，得到BD，再由余弦定理得到CD2=BC2+BD2﹣2BC•BD•cos ，再由DA=DC，即可得到边AB的长．解答：解：（Ⅰ）在△BCD中，B=，BC=1，DC=，由正弦定理得到：，解得sin∠BDC==，则∠BDC=或．△ABC是锐角三角形，可得∠BDC=．又由DA=DC，则∠A=．（Ⅱ）由于B=，BC=1，△BCD面积为，则•BC•BD•sin=，解得BD=．再由余弦定理得到CD2=BC2+BD2﹣2BC•BD•cos=1+﹣2××=，故CD=，又由AB=AD+BD=CD+BD=，故边AB的长为：．点评：本题考查了正弦定理和余弦定理结合去解三角形，属于中档题．17．（15分）（2015•浙江模拟）已知数列{a n}的前n项和为S n，满足S n+2=2a n（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）令b n=log2a n，T n=+…+，求满足T n≤的最大正整数n的值．考点：数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）由数列递推式求得首项，取n=n﹣1得另一递推式，作差后可得数列{a n}是以2为首项，2为公比的等比数列，由等比数列的通项公式得答案；（Ⅱ）由b n=log2a n求得b n，然后利用错位相减法求得T n，作差判断出T n为递增数列，再由数列的函数特性求得满足T n≤的最大正整数n的值为6．解答：解：（Ⅰ）由S n+2=2a n（n∈N*）．当n=1时，求得a1=2，当n≥2时，S n﹣1=2a n﹣1﹣2，两式作差得：a n=2a n﹣2a n﹣1，即a n=2a n（n≥2），﹣1∴数列{a n}是以2为首项，2为公比的等比数列，则；（Ⅱ）b n=log2a n=，∴T n=+…+=①，②，①﹣②得：=．∴．令f（n）=，则f（n+1）﹣f（n）==，∴f（n）为增函数，又∵f（6）=2﹣，∴满足T n≤的最大正整数n的值为6．点评：本题考查了等比关系的确定，考查了错位相减法求数列的和，考查了数列的函数特性，是中档题．18．（15分）（2015•浙江模拟）等腰梯形ABCD，AB∥CD，DE⊥AB，CF⊥AB，AE=2，沿DE，CF将梯形折叠使A，B重合于A点（如图），G为AC上一点，FG⊥平面ACE．（Ⅰ）求证：AE⊥AF；（Ⅱ）求DG与平面ACE所成角的正弦值．考点：直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：（I）由FG⊥平面ACE，可得FG⊥AE，由CF⊥AF，CF⊥EF，可得CF⊥平面AEF，可得CF⊥AE，AE⊥平面ACF，即可证明；（II）如图所示，建立空间直角坐标系．则E（0，0，0），A，，D（0，0，2），G．设平面EAC的法向量为=（x，y，z），则，设DG与平面ACE所成角为θ，利用sinθ==即可得出．解答：（I）证明：∵FG⊥平面ACE，∴FG⊥AE，∵CF⊥AF，CF⊥EF，AF∩EF=F，∴CF⊥平面AEF，∴CF⊥AE，又FG∩CF=F，∴AE⊥平面ACF，∴AE⊥AF；（II）解：如图所示，建立空间直角坐标系．则E（0，0，0），A，，D（0，0，2），利用三角形中位线定理与等腰直角三角形的性质可得：G．∴=，=，=．设平面EAC的法向量为=（x，y，z），则，令y=﹣1，解得x=1，z=．∴=．设DG与平面ACE所成角为θ．则sinθ====．点评：本题考查了空间线面面面位置关系的判定及其性质、空间角的求法、等腰直角三角形的性质、三角形的中位线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．（15分）（2015•浙江模拟）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）上的点M到直线l：y=x+1的最小距离为．点N在直线l上，过点N作直线与抛物线相切，切点分别为A、B．（Ⅰ）求抛物线方程；（Ⅱ）当原点O到直线AB的距离最大时，求三角形OAB的面积．考点：抛物线的简单性质．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）设y=x+b与抛物线y2=2px（p＞0）相切，且与l：y=x+1的最小距离为，求出b，再将直线方程与抛物线方程联立，利用△=0，即可求抛物线方程；（Ⅱ）当原点O到直线AB的距离最大时，求出直线AB的方程，即可求三角形OAB的面积．解答：解：（Ⅰ）设y=x+b与抛物线y2=2px（p＞0）相切，且与l：y=x+1的最小距离为，则=，∴b=或（舍去），y=x+与抛物线y2=2px联立，可得x2+（1﹣2p）x+=0，∴△=（1﹣2p）2﹣4=0，∴p=1或p=0（舍去），∴抛物线方程为y2=2x；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），N（x0，y0），则过点A的切线方程为yy1=x+x1，点N在直线上，故有y0y1=x0+x1，同理，y0y2=x0+x2，故直线AB的方程为y0y=x0+x，y0=x0+1代入整理可得（y﹣1）x0+1﹣x=0，∴AB恒过（1，1），O到直线AB距离最大，显然直线AB的方程为y=﹣x+2，代入抛物线方程，整理得x2﹣6x+4=0，∴x1+x2=6，x1x2=4，∴|AB|==2，∴原点O到直线AB的距离最大时，三角形OAB的面积为=2．点评：本题考查抛物线方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，确定抛物线的方程是关键．20．（14分）（2015•浙江模拟）已知函数f（x）=x2﹣（a+1）x﹣4（a+5），g（x）=ax2﹣x+5，其中a∈R（1）若函数f（x），g（x）存在相同的零点，求a的值（2）若存在两个正整数m，n，当x0∈（m，n）时，有f（x0）＜0与g（x0）＜0同时成立，求n的最大值及n取最大值时a的取值范围．考点：函数零点的判定定理；数列的求和．专题：分类讨论；函数的性质及应用．分析：（1）解方程x2﹣（a+1）x﹣4（a+5）=0，由函数f（x），g（x）存在相同的零点，代入ax2﹣x+5=0求解即可．（2）根据f（x）＜0，得出a＞﹣5，即N=（0，a+5）分类讨论①当a＜0时，求解得m＜n≤4，当且仅当，②当a=0时，M∩N=∅，不合题意，③当a＞0时故无解，总结可得到答案．解答：解：（1）解方程x2﹣（a+1）x﹣4（a+5）=0得：x=﹣4，或x=a+5，由函数f（x），g（x）存在相同的零点，则﹣4，或a+5为方程ax2﹣x+5=0的根，将﹣4代入ax2﹣x+5=0得：16a+9=0，解得：a=，将a+5代入ax2﹣x+5=0得：a3+10a2+24a=0，解得：a=﹣6，或a=﹣4，或a=0，综上a的值为，或﹣6，或﹣4，或0；（2）令f（x）＜0，则﹣4＜x＜a+5，∵正整数m，n，∴a+5＞0，即a＞﹣5，即N=（0，a+5）令g（x）＜0，即ax2﹣x+5＜0，的解集为M，则由题意得区间（m，n）⊂M∩N．①当a＜0时，因为g（0）=5＞0，故只能g（a+5）=a[（a+5）2﹣1]＜0，即a＞﹣4，或a＜﹣6，又因为a＞﹣5，所以﹣4＜a＜0，此时n≤n+5＜5∵正整数m，n，∴m＜n≤4，当且仅当，即﹣1时，n的最大值为4．②当a=0时，M∩N=∅，不合题意，③当a＞0时，因为g（0）=5＞0，所以只能g（a+5）=a[（a+5）2﹣1]＞0，故无解，综上，n的最大值为4．a的取值范围﹣1．点评：本题考查了函数的零点，不等式，方程的根，分类讨论的思想，综合性较强，属于难题．参与本试卷答题和审题的老师有：sllwyn；1619495736；maths；ying_0011；lincy；wkl197822；sdpyqzh；csyzzhy211-211；刘长柏；gongjy；lgh；双曲线；742048；qiss；sxs123；孙佑中（排名不分先后）菁优网2015年11月4日。