北师大版九年级数学下册：3.3 垂径定理 学案1

C
垂径定理
【学习目标】
1．探索圆的对称性及相关性质； 2．结合图形证明并记住垂径定理及推论； 3．能用垂径定理及推论进行计算和简单的证明。

【学习重点】
垂径定理及推论的应用。

【学习过程】
一、学习准备
1．圆的定义：在平面上，到 的距离等于 的所有点组成的图形叫做圆。

2．圆 轴对称图形，它的对称轴有 条。

二、解读教材
3．认识弧与弦
（1） 圆上任意两点间的部分叫做 。

大于半圆的弧叫做 ，小于半圆的弧叫 ，弧AB 记作 ，图中劣弧有
（2） 连接圆上任意两点的线段叫做 ， 经过圆心的弦叫 图中弦有 ， 其中直径是 。

（3） 下列说法正确的有（ ）
A ．直径是圆的对称轴
B ．半圆是弧
C ．半圆既不是优弧也不是劣弧
D ． 直径是弦
E 。

圆中两点间的部分为弦
F 。

过圆上一点有无数条弦
4．垂径定理
如图，AB 是⊙O 的一条弦，作直径CD ，使CD AB 于点M
（1）右图是轴对称图形吗？如果是，对称轴是 ，根据轴对称性质图中相等线段有 ，
相等的劣弧有
⊥⎪
⎩⎪
⎨⎧⇒⎭⎬⎫________________
AB
CD ________（2） 垂径定理：垂直于弦的直径 这条弦，并且
弦所对的弧几何语言表示为：在⊙O 中， ⎭
⎬⎫⊥是直径CD M 于AB CD ⇒
5．垂径定理的推论
如图：AB 是⊙O 的弦（不是直径）作一条平分AB 的直径CD ， 交AB 于点E
（1）图形是轴对称图形吗？
（2）发现的等量关系有：
垂径定理的推论：平分弦( )的直径垂直平分 几何语言表示：在⊙O 中 三、挖掘教材
6．你也能得到下面的结论
（1并平分弦所对的另一条弧。

（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的另一条弧。

（3）还有其它结论吗？事实上，垂径定理及推论是指 （当①③为条件时，要对另一条弦增加它不是 的限制）
7．垂径定理的运用
例1， 在直径650mm 的圆柱形油槽中一些油后，截面如图。

若油面宽AB=600mm ，求油的最大深度。

解：过⊙O 作OF AB ⊥于E ，交⊙O 于F ，连接OA 设EF=xmm
∴OE=
1
2
⨯650-x=325-x
OE ⊥AB
∴AE= AB=
在Rt ∆AOE 中， OA 2= + 即 = + 解得x 1= ， x 2= 答：油槽的最大深度为
例2．本市新建的滴水湖是圆形人工湖。

为测量该湖的半径，小杰和小丽沿湖边选A ，B ，C 三根木柱，使得A ，B 之间的距离A ，C 之间的距离相等。

并测得BC 长为240米，A 到BC 的距离为5米，请帮她们求出滴水湖的半径。

即时练习 :
1，已知圆的半径为5，两平行弦长为6和8，则这两条弦的距离为 。

2．已知AB 是半圆的直径，O 是圆心，C 是半圆上一点，OE 交AC 于D ，AC=8，DE=2，求OD 的长。

【学习小结】
1．圆是 图形，其对称轴是任意一条 。

2．垂直于弦的 平分这条弦，并且平分弦所对的 。

3．垂径定理及推论与勾股定理进行计算是常考内容，一般是在 三角形中研究。

所以常见辅助线 ，常用数学思想有
【达标检测】
1．下列命题正确的是( )
A ．弦的垂线平分弦所对的弧
B ．
平分弦的直径垂直于这条弦
C．过弦的中点的直线必过圆心 D．弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心
2．如图已知⊙Ｏ的半径为30mm，弦AB=36mm，点O到AB的
∠的余弦值为
距离是，OAB
∠
3．如图在⊙Ｏ中，点Ｃ是AB的中点，∠Ａ＝40o，则BOC
等于（）
A。

40o B。

50o C。

70o D。

80o
4. 圆的直径为8cm，弦CD垂直平分半径OA，这弦CD的长为
5. 已知在圆中，弦AB∥CD，求证：弦AB =BD。