数学史周亚翔09211154

浅谈历史上三次数学危机
数学科学学院09（1）班周亚翔09211154
中华民族是一个具有灿烂文化和悠久历史的民族，在灿烂的文化瑰宝中数学在世界也同样具有许多耀眼的光环。

中国古代算术的许多研究成果里面就早已孕育了后来西方数学才涉及的思想方法，近代也有不少世界领先的数学研究成果就是以华人数学家命名的。

提到数学，我有一种感觉，数学是自然中最基础的学科，它是所有科学之父，没有数学，就不可能有其他科学的产生。

就人类发展史而言，数学在其中起的作用是巨大的，难怪有人说数学是人类科学中最美的科学。

但在数学的发展史中，并不是那么一帆风顺的，其中历史上曾发生过三大危机，危机的发生促使了数学本质的发展，因此我们应该辨证地看待这三大危机。

第一次危机无理数的产生
第一次危机发生在公元前580～568年之间的古希腊，数学家毕达哥拉斯建立了毕达哥拉斯学派。

毕达哥拉斯是公元前五世纪古希腊的著名数学家与哲学家。

他曾创立了一个合政治、学术、宗教三位一体的神秘主义派别：毕达哥拉斯学派。

由毕达哥拉斯提出的著名命题“万物皆数”是该学派的哲学基石。

而“一切数均可表成整数或整数之比”则是这一学派的数学信仰。

然而，具有戏剧性的是由毕达哥拉斯建立的毕达哥拉斯定理却成了毕达哥拉斯学派数学信仰的“掘墓人”。

毕达哥拉斯定理提出后，其学派中的一个成员希帕索斯约在公元前400年考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数表示，而只能用一个新数来表示。

希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数√2 的诞生。

小小√2的出现，却在当时的数学界掀起了一场巨大风暴。

它直接动摇了毕达哥拉斯学派的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌。

实际上，这一伟大发现不但是对毕达哥拉斯学派的致命打击。

对于当时所有古希腊人的观念这都是一个极大的冲击。

这一结论的悖论性表现在它与常识的冲突上：任何量，在任何精确度的范围内都可以表示成有理数。

这不但在希腊当时是人们普遍接受的信仰，就是在今天，测量技术已经高度发展时，这个断言也毫无例外是正确的！可是为我们的经验所确信的，完全符合常识的论断居然被小小的√2的存在而推翻了！这应该是多么违反常识，多么荒谬的事！它简直把以前所知道的事情根本推翻了。

更糟糕的是，面对这一荒谬人们竟然毫无办法。

这就在当时直接导致了人们认识上的危机，从而导致了西方数学史上一场大的风波，史称“第一次数学危机”。

这个学派集宗教、科学和哲学于一体，该学派人数固定，知识保密，所有发明创造
都归于学派领袖。

当时人们对有理数的认识还很有限，对于无理数的概念更是一无所知，毕达哥拉斯学派所说的数，原来是指整数，他们不把分数看成一种数，而仅看作两个整数之比，他们错误地认为，宇宙间的一切现象都归结为整数或整数之比。

该学派的成员希伯索斯根据勾股定理（西方称为毕达哥拉斯定理）通过逻辑推理发现，边长为1的正方形的对角线长度既不是整数，也不是整数的比所能表示。

希伯索斯的发现被认为是“荒谬”和违反常识的事。

它不仅严重地违背了毕达哥拉斯学派的信条，也冲击了当时希腊人的传统见解。

使当时希腊数学家们深感不安，相传希伯索斯因这一发现被投入海中淹死，这就是第一次数学危机。

最后，这场危机通过在几何学中引进不可通约量概念而得到解决。

两个几何线段，如果存在一个第三线段能同时量尽它们，就称这两个线段是可通约的，否则称为不可通约的。

正方形的一边与对角线，就不存在能同时量尽它们的第三线段，因此它们是不可通约的。

很显然，只要承认不可通约量的存在使几何量不再受整数的限制，所谓的数学危机也就不复存在了。

我认为第一次危机的产生最大的意义导致了无理数地产生，比如说我们现在说的，都无法用来表示，那么我们必须引入新的数来刻画这个问题，这样无理数便产生了，正是有这种思想，当我们将负数开方时，人们引入了虚数i（虚数的产生导致复变函数等学科的产生，并在现代工程技术上得到广泛应用），这使我不得不佩服人类的智慧。

但我个人认为第一次危机的真正解决在1872年德国数学家对无理数的严格定义，因为数学是很强调其严格的逻辑与推证性的。

第二次危机微积分工具（无穷大，无穷小）
第二次数学危机发生在十七世纪。

十七世纪微积分诞生后，由于推敲微积分的理论基础问题，数学界出现混乱局面，即第二次数学危机。

其实我翻了一下有关数学史的资料，微积分的雏形早在古希腊时期就形成了，阿基米德的逼近法实际上已经掌握了无限小分析的基本要素，直到2100年后，牛顿和莱布尼兹开辟了新的天地——微积分。

微积分的主要创始人牛顿在一些典型的推导过程中，第一步用了无穷小量作分母进行除法，当然无穷小量不能为零；第二步牛顿又把无穷小量看作零，去掉那些包含它的项，从而得到所要的公式，在力学和几何学的应用证明了这些公式是正确的，但它的数学推导过程却在逻辑上自相矛盾。

焦点是：无穷小量是零还是非零？如果是零，怎么能用它做除数？如果不是零，又怎么能把包含着无穷小量的那些项去掉呢？
直到19世纪，柯西详细而有系统地发展了极限理论。

柯西认为把无穷小量作为确定的量，即使是零，都说不过去，它会与极限的定义发生矛盾。

无穷小量应该是要怎样
小就怎样小的量，因此本质上它是变量，而且是以零为极限的量，至此柯西澄清了前人的无穷小的概念，另外Weistrass创立了极限理论，加上实数理论，集合论的建立，从而把无穷小量从形而上学的束缚中解放出来，第二次数学危机基本解决。

而我自己的理解是一个无穷小量，是不是零要看它是运动的还是静止的，如果是静止的，我们当然认为它可以看为零；如果是运动的，比如说1/n，我们说是无穷小量，但n个1/n相乘就为1，这就不是无穷小量了，当我们遇到等情况时，我们可以用洛比达法则反复求导来考查极限，也可以用Taylor展式展开后，一阶一阶的比，我们总会在有限阶比出大小。

罗素悖论与第三次数学危机
第三次数学危机发生在1902年。

罗素悖论的产生震撼了整个数学界，号称天衣无缝，绝对正确的数学出现了自相矛盾。

我从很早以前就读过“理发师悖论”，就是一位理发师给不给自己理发的人理发。

那么理发师该不该给自己理发呢？还有大家熟悉的“说谎者悖论”，其大体内容是：一个克里特人说：“所有克里特人说的每一句话都是谎话。

”试问这句话是真还是假？从数学上来说，这就是罗素悖论的一个具体例子。

罗素在该悖论中所定义的集合R，被几乎所有集合论研究者都认为是在朴素集合论中可以合法存在的集合。

事实虽是这样但原因却又是什么呢？这是由于R是集合，若R 含有自身作为元素，就有R R，那么从集合的角度就有R R.一个集合真包含它自己，这样的集合显然是不存在的。

因为既要R有异于R的元素，又要R与R是相同的，这显然是不可能的。

因此，任何集合都必须遵循R R的基本原则，否则就是不合法的集合。

这样看来，罗素悖论中所定义的一切R R的集合，就应该是一切合法集合的集合，也就是所有集合的集合，这就是同类事物包含所有的同类事物，必会引出最大的这类事物。

归根结底，R也就是包含一切集合的“最大的集合”了。

因此可以明确了，实质上，罗素悖论就是一个以否定形式陈述的最大集合悖论。

从此，数学家们就开始为这场危机寻找解决的办法，其中之一是把集合论建立在一组公理之上，以回避悖论。

首先进行这个工作的是德国数学家策梅罗，他提出七条公理，建立了一种不会产生悖论的集合论，又经过德国的另一位数学家弗芝克尔的改进，形成了一个无矛盾的集合论公理系统（即所谓ZF公理系统），这场数学危机到此缓和下来。

通过数学的发展史和这三次数学危机，我越来越感到M 克莱因教授著的一本书，是关于确定性的丧失，其中书中说道：数学需要绝对的确定性来证实自身吗？特别是，我们有必要确保某一理论是相容的或确保其在使用之前是通过非经验论时期绝对可靠的直觉得到的吗？在其他科学中，我们并没要求这样做。

在物理学中所有的定理都是假
设的，一个定理，只要能够作出有用的预告我们就采用它。

而一旦它不再适用，我们就修改或丢弃它。

过去，我们常这样对待数学定理，那时矛盾的发现将导致数学原则的变更，尽管这些数学原则在矛盾发现前还是为人们所接受的。

因此我们看问题的观念应该改变一下，数学是不确定性的。

不管数学以后向何处发展，但就数学仍然是可用的最好知识的典范。

数学的成就是人类思想的成就，作为人类可以达到何种成就的证据，它给予人类勇气和信心，去解决那些一度看上去不可测知的宇宙秘密，去制服那些人类易于感染的致命疾病，去质疑去改善那些人们生活中的政治体系，因此我们说数学在这个大自然中是无处不在的，数学在人类发展中的作用也是不可估量的。