2020年秋新课堂高中数学北师大版选修4-4学业分层测评 第1章 §2 2.1 极坐标系的概念 Word版含解析

学业分层测评(二)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.在极坐标系中，点M ⎝ ⎛
⎭⎪⎫－2，π6的位置 ，可按如下规则确定( )
A.作射线OP ，使∠xOP ＝π
6，再在射线OP 上取点M ，使|OM |＝2 B.作射线OP ，使∠xOP ＝7π
6，再在射线OP 上取点M ，使|OM |＝2 C.作射线OP ，使∠xOP ＝7π
6，再在射线OP 的反向延长线上取点M ，使|OM |＝2
D.作射线OP ，使∠xOP ＝－π
6，再在射线OP 上取点M ，使|OM |＝2 【解析】 当ρ＜0时，点M (ρ，θ)的位置按下列规定确定：作射线OP ，使∠xOP ＝θ，在OP 的反向延长线上取|OM |＝|ρ|，则点M 就是坐标(ρ，θ)的点，故选B.
【答案】 B
2.若ρ1＋ρ2＝0，θ1＋θ2＝π，则点M 1(ρ1，θ1)与点M 2(ρ2，θ2)的位置关系是( ) A.关于极轴所在直线对称 B.关于极点对称
C.关于过极点垂直于极轴的直线对称
D.关于过极点与极轴成π
4角的直线对称
【解析】 因为点(ρ，θ)关于极轴所在直线对称的点为(－ρ，π－θ)，由此可知点(ρ1，θ1)和(ρ2，θ2)满足ρ1＋ρ2＝0，θ1＋θ2＝π，是关于极轴所在直线对称，故选A.
【答案】 A
3.在极坐标系中，已知点P ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2，23π，若P 的极角满足－π<θ<π，ρ∈R ，则
下列点中与点P 重合的是( )
A.⎝ ⎛
⎭⎪⎫2，π3，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，43π，⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，53π B.⎝ ⎛
⎭⎪⎫2，83π，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，43π，⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，53π C.⎝ ⎛
⎭⎪⎫－2，43π，⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，53π，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－43π D.⎝ ⎛
⎭
⎪⎫－2，－π3 【解析】 因为－π<θ<π，故只有⎝ ⎛
⎭⎪⎫－2，－π3与P 点重合.
【答案】 D
4.在极坐标系中，已知A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6，B ⎝ ⎛
⎭⎪⎫6，－π6，则OA ，OB 的夹角为( )
A.π
6 B.0 C.π3
D.5π6
【解析】 如图所示，夹角为π
3.
【答案】 C
5.在极坐标系中与点A ⎝ ⎛
⎭⎪⎫3，－π3关于极轴所在的直线对称的点的极坐标是
( )
A.⎝ ⎛
⎭⎪⎫3，2π3 B.⎝ ⎛
⎭⎪⎫3，π3 C.⎝ ⎛
⎭
⎪⎫3，4π3 D.⎝ ⎛
⎭
⎪⎫3，5π6 【解析】 点⎝ ⎛⎭⎪⎫3，－π3关于极轴的对称点为⎝ ⎛
⎭⎪⎫3，π3.
【答案】 B
二、填空题
6.点M ⎝ ⎛⎭
⎪⎫6，5π6到极轴所在直线的距离为________. 【解析】 依题意，点M ⎝ ⎛
⎭⎪⎫6，5π6到极轴所在的直线的距离为d ＝6×sin 5π6＝
3.
【答案】 3
7.已知两点的极坐标是A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π12，B ⎝ ⎛
⎭⎪⎫－8，π12，则AB 中点的一个极坐标是
________.
【导学号：12990006】
【解析】 3－82＝－52，∴AB 中点的极坐标可以写为⎝ ⎛⎭⎪⎫
－52，π12.
【答案】 ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－52，π12
8.在极坐标系中，已知点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，34π，B ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2，π4，则A ，B 两点间的距离为
________.
【解析】 由条件可知∠AOB ＝90°，即△AOB 为直角三角形，所以AB ＝12＋22＝ 5. 【答案】 5
三、解答题
9.在极坐标系中作下列各点，并说明每组中各点的位置关系.
(1)A (2,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32π，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，54π，G ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2，116π；
(2)A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π4，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，54π，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，54π，E ⎝ ⎛
⎭⎪⎫3，π4.
【解】 (1)所有点都在以极点为圆心，以2为半径的圆上.
(2)所有点都在与极轴的倾斜角为π
4，且过极点的直线上.
10.已知A ，B 两点的极坐标分别是⎝ ⎛
⎭⎪⎫2，π3，⎝ ⎛⎭⎪⎫4，5π6，求A ，B 两点间的距离
和△AOB 的面积.
【解】 求两点间的距离可用如下公式： |AB |＝ρ2
1＋ρ22－2ρ1ρ2cos (θ1－θ2)
＝
4＋16－2×2×4×cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫5π6－π3
＝20＝2 5.
S △AOB ＝1
2|ρ1ρ2sin(θ1－θ2)|
＝12⎪⎪⎪⎪
⎪⎪2×4×sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－π3＝1
2×2×4＝4.
[能力提升]
1.在极坐标系中，若等边△ABC 的两个顶点是A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，B ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2，5π4，那么可
能是顶点C 的坐标的是( )
A.⎝ ⎛
⎭⎪⎫4，3π4 B.⎝ ⎛
⎭⎪⎫23，3π4 C.(23，π)
D.(3，π)
【解析】 如图，由题设，可知A ，B 两点关于极点O 对称，即O 是AB 的中点.
又|AB |＝4，△ABC 为正三角形，
∴|OC |＝23，∠AOC ＝π2，点C 的极角θ＝π4＋π2＝3π
4或5π4＋π2＝7π4，
即点C 的极坐标为⎝ ⎛
⎭⎪⎫23，3π4或⎝ ⎛⎭⎪⎫23，7π4.
【答案】 B
2.已知A ，B 的极坐标分别是⎝ ⎛
⎭⎪⎫3，π4和⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，π12，则A 和B 之间的距离等于
( )
A.32＋6
2
B.
32－6
2 C.
36＋32
2
D.
36－32
2
【解析】 A ，B 在极坐标中的位置，如图，
则由图可知∠AOB ＝13π12－π4＝5π
6. 在△AOB 中，|AO |＝|BO |＝3，
所以，由余弦定理，得|AB |2＝|OB |2＋|OA |2－2|OB |·|OA |·cos 5π
6 ＝9＋9－2×9×⎝ ⎛⎭⎪⎫
－32＝18＋93＝92(4＋23)，
|AB |＝36＋322.
【答案】 C
3.已知极坐标系中，极点为O,0≤θ＜2π，M ⎝ ⎛
⎭⎪⎫3，π3，在直线OM 上与点M 的
距离为4的点的极坐标为______.
【导学号：12990007】
【解析】 如图所示，|OM |＝3，
∠xOM ＝π
3，
在直线OM 上取点P ，Q ， 使|OP |＝7，|OQ |＝1，
显然有|PM |＝|OP |－|OM |＝7－3＝4，
|QM |＝|OM |＋|OQ |＝3＋1＝4.
点P ，Q 都满足条件，且∠xOP ＝π3，∠xOQ ＝4π
3. 【答案】 ⎝ ⎛
⎭⎪⎫7，π3或⎝ ⎛⎭
⎪⎫1，43π
4.在极坐标系中，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π4，D ⎝ ⎛
⎭⎪⎫3，74π，试判断点B ，D 的位置是否具有对称性，并求出B ，D 关于极点的对称点的极坐标(限定ρ>0，θ∈[0,2π)).
【解】 由B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π4，D ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫3，7π4，
知|OB |＝|OD |＝3，极角π4与7π
4的终边关于极轴对称. 所以点B ，D 关于极轴对称.
设点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π4，D ⎝ ⎛
⎭⎪⎫3，7π4关于极点的对称点分别为E (ρ1，θ1)，F (ρ2，θ2)，
且ρ1＝ρ2＝3.当θ∈[0,2π)时，θ1＝5π4，θ2＝3π4， ∴E ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，5π4，F ⎝ ⎛
⎭⎪⎫3，3π4为所求.。