22.2.3 因式分解法(1)
最新人教版初中九年级数学上册知识点笔记总结
21.1 一元二次方程知识点一一元二次方程的定义等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程。
注意一下几点：1.只含有一个未知数；②未知数的最高次数是2；③是整式方程。
知识点二一元二次方程的一般形式一般形式：ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0).其中，ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c 是常数项。
知识点三一元二次方程的根使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。
方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。
21.2 降次——解一元二次方程22.2.1 配方法知识点一直接开平方法解一元二次方程(1)如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直接开平方。
一般地，对于形如x2=a(a≥0)的方程，根据平方根的定义可解得x1=a,x2=a-.(2)直接开平方法适用于解形如x2=p或(mx+a)2=p(m≠0)形式的方程，如果p≥0，就可以利用直接开平方法。
(3)用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
(4)直接开平方法解一元二次方程的步骤是：①移项；②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1；③两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程；④解一元一次方程，求出原方程的根。
知识点二配方法解一元二次方程通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。
配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开。
(1)把常数项移到等号的右边；(2)方程两边都除以二次项系数；(3)方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式；(4)若等号右边为非负数，直接开平方求出方程的解。
22.2.2 公式法知识点一公式法解一元二次方程(1)一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，如果b2-4ac≥0，那么方程的两个根为x=a acb b24 2-±-，这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式，我们可以由一元二方程的系数a,b,c的值直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。
22.2.3人教版_一元二次方程的解法-因式分解法(1)
2
x5x 4 0. x 0, 或5x 4 0. 4 x1 0; x2 . 5
2.x 2 xx 2 0, x 21 x 0.
x 2 0, 或 x 0. 1 x1 2; x2 1.
这个数是0或3.
小亮解方程的过程 中对方程作了怎样 的 变换？
分解因式法
当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两 个一次因式的乘积时,我们就可以用分解因式的方法 求解.这种用分解因式解一元二次方程的方法称为分 解因式法.
温馨提示:
1.用分解因式法的条件是:方程左边易于分解,而右 边等于零; 2. 关键是把一个一元二次方程左边化为两个一次式 的积，而右边是零. 3.理论依旧是“如果两个因式的积等于零,那么至少 有一个因式等于零.”
3 9 2
.
x 3.
这个数是3.
这个数是0或3.
小颖做得对吗?
小明做得对吗?
你能解决这个问题吗
一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相 等，这个数是几？你是怎样求出来的？ 2 小颖,小明,小亮都设这个数为x,根据题意得 x 3x.
小亮是这样想的 : 小亮是这样解的 :
动脑筋
• 1.解下列方程:
解
1 .x 2 x - 4 0 , 2 . 4 x 2 x 1 3 2 x 1 . : 1 .x 2 0,或 x - 4 0 .
x 1 2; x 2 4 .
2 . 4 x 2x 2x
例题欣赏
☞
分解因式法
分解因式法解一元二次方程的步骤是: 1.化方程为一般形式; 2. 将方程左边因式分解; 3. 根据“至少有一个因式为 零”,转化为两个一元一次方程. 4. 分别解两个一元一次 方程，它们的根就是原方 程的根.
数学人教版 九年级上学期月考知识点汇总
22.2．3 因式分解法 知识点一 因式分解法解一元二次方程 （1）把一元二次方程的一边化为 0，而另一边分解成两个一 次因式的积，进而转化为求两个一元一次方程的解，这种解方 程的方法叫做因式分解法. （2）因式分解法的详细步骤： ①移项，将所有的项都移到左边，右边化为 0； ②把方程的左边分解成两个因式的积，可用的方法有提公因 式、平方差公式和完全平方公式； ③令每一个因式分别为零，得到一元一次方程； ④解一元一次方程即可得到原方程的解. 知识点二 用合适的方法解一元一次方程
知识点一 列一元二次方程解应用题的一般步骤：
（1）审：是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪
些是未知量以及它们之间的等量关系.
（2）设：是指设元，也就是设出未知数.
（3）列：就是列方程，这是关键步骤,一般先找出能够表达应
用题全部含义的一个相等含义，然后列代数式表示这个相等关
系中的各个量，就得到含有未知数的等式，即方程. （4）解：就是解方程，求出未知数的值. （5）验：是指检验方程的解是否保证实际问题有意义，符合 题意. （6）答：写出答案. 知识点二 列一元二次方程解应用题的几种常见类型 （1）数字问题 三个连续整数：若设中间的一个数为 x，则另两个数分别为 x-1， x+1. 三个连续偶数（奇数）：若中间的一个数为 x，则另两个数分 别为 x-2,x+2.
由于抛物线 y ax2 bx c 的对称轴是直线 x b ，故 2a
如果b 0时，对称轴为 y 轴； 如果 b 0 （即a 、b 同号）时，对称轴在 y 轴左侧；
a
如果 b 0（即a 、b 异号）时，对称轴在 y 轴右侧. a
③c的大小决定抛物线 y ax2 bx c 与 y 轴交点的位置 当 x 0时，y c ，所以抛物线 y ax2 bx c 与 y 轴有且只有一个交点（0， c ），故 如果c 0，抛物线经过原点； 如果c 0 ,与 y 轴交于正半轴；
22.2.3因式分解法解一元二次方程 习题精选(二)
22.2.3因式分解法解一元二次方程习题精选（二）直接开平方法1．如果（x－2）2=9，则x＝．2．方程（2y－1）2－4=0的根是．3．方程（x+m）2＝72有解的条件是．4．方程3（4x－1）2=48的解是．配方法5．化下列各式为（x+m）2+n的形式．（1）x2－2x－3=0 ．（2）210x+=．6．下列各式是完全平方式的是（）A．x2+7n=7B．n2－4n－4C．211216 x x++D．y2－2y+27．用配方法解方程时，下面配方错误的是（）A．x2+2x－99=0化为（x+1）2=0B．t2－7t－4=0化为2765 ()24 t-=C．x2+8x+9=0化为（x+4）2=25D．3x2－4x－2=0化为2210 ()39 x-=8．配方法解方程．（1）x2+4x=－3 （2）2x2+x=0因式分解法9．方程（x+1）2=x+1的正确解法是（）A．化为x+1=0B．x+1＝1C．化为（x+1）（x+l－1）＝0D．化为x2+3x+2＝010．方程9（x+1）2－4（x－1）2=0正确解法是（）A ．直接开方得3（x +1）=2（x －1）B ．化为一般形式13x 2+5＝0C ．分解因式得[3（x +1）+2（x －1）][3（x +1）－2（x —1）]=0D ．直接得x +1＝0或x －l ＝011．（1）方程x （x +2）=2（z +2）的根是 ．（2）方程x 2－2x －3=0的根是 ．12．如果a 2－5ab －14b 2=0，则235a bb += ．公式法13．一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的求根公式是 ，其中b 2—4ac ．14．方程（2x +1）（x +2）=6化为一般形式是 ，b 2—4ac ，用求根公式求得x 1= ，x 2= ，x 1+x 2= ，12x x = ，15．用公式法解下列方程．（1）（x +1）（x +3）＝6x +4．（2）21)0x x ++=．（3） x 2－（2m +1）x +m ＝0．16．已知x 2－7xy +12y 2＝0（y≠0）求x ：y 的值．综合题17．三角形两边的长是3，8，第三边是方程x 2—17x +66＝0的根，求此三角形的周长．18．关于x 的二次三项式：x 2+2rnx +4－m 2是一个完全平方式，求m 的值．19．利用配方求2x 2－x +2的最小值．20．x 2+ax +6分解因式的结果是（x －1）（x +2），则方程x 2+ax +b ＝0的二根分别是什么?21．a 是方程x 2－3x +1=0的根，试求的值．22．m 是非负整数，方程m 2x 2－（3m 2—8m ）x+2m 2－13m+15=0至少有一个整数根，求m的值．23．利用配方法证明代数式－10x 2+7x －4的值恒小于0．由上述结论，你能否写出三个二次三项式，其值恒大于0，且二次项系数分别是l 、2、3．24．解方程（1）（x 2+x ）·（x 2+x －2）=24；（2）260x x --= 25．方程x 2－6x －k ＝1与x 2－kx －7=0有相同的根，求k 值及相同的根．26．张先生将进价为40元的商品以50元出售时，能卖500个，若每涨价1元，就少卖10个，为了赚8 000元利润，售价应为多少?这时，应进货多少?27．两个不同的一元二次方程x 2+ax +b =0与x 2+ax +a =0只有一个公共根，则（ ）A ．a =bB ．a －b =lC ．a +b =－1D ．非上述答案28．在一个50米长30米宽的矩形荒地上设计改造为花园，使花园面积恰为原荒地面积的寺，试给出你的设计．29．海洲市出租车收费标准如下（规定：四舍五入，精确到元，N≤15）N 是走步价，李先生乘坐出租车打出的电子收费单是：里程11公里，应收29．1元，你能依据以上信息，推算出起步价N 的值吗?30．（2004·浙江）方程（x －1）（x +2）（x －3）＝0的根是 ．31．（2004·河南）一元二次方程x 2—2x ＝0的解是（ ）A ．0B ．2C ．0，－2D ．0，232．（2004·南京）方程x 2+kx —6=0的一根是2，试求另一个根及k 的值．33．（2003·甘肃）方程(2)310mm x mx +++=是一元二次方程，则这方程的根是什么?34．（2003·深圳）x 1、x 2是方程2x 2—3x —6=0的二根，求过A （x 1+x 2，0）B （0，x l ·x 2）两点的直线解析式．35．a 、b 、c 都是实数，满足2(2)80a c c -++=，ax 2+bx +c ＝0，求代数式x 2+2x +1的值．36．a 、b 、c 满足方程组求方程2848a b ab c +=⎧⎪⎨=+-⎪⎩的解。
22.2.3公式法解一元二次方程
22.2.3公式法解一元二次方程一、素质教育目标（一）知识储备点理解并掌握一元二次方程的求根公式，正确、熟练地运用公式法解一元二次方程，了解b-4ac的值对一元二次方程根的意义．（二）能力培养点通过求根公式的推导，培养学生推理能力，运用公式法解一元二次方程，培养学生运用公式解决问题的能力，全面培养学生解方程的能力，使学生解方程的能力得到切实的提高．（三）情感体验点让学生体验到所有一元二次方程都能运用公式法去解，形成全面解决问题的积极情感，感受公式的对称美、简洁美，产生热爱数学的情感．二、教学设想1．重点：运用公式法解一元二次方程．2．难点：正确确定系数和准确运用公式．3．疑点：b-4a c<0时，一元二次方程的解．4．课型与基本教学思路：新授课．本节课运用配方法解ax2+bx+c=0（a≠0），推导出一元二次方程的求根公式，并能运用求根公式解一元二次方程．三、媒体平台1．教具、学具准备：自制投影胶片2．多媒体课件撷英：http：//【注意】课件要根据实际需要进行适当修改．四、课时安排１课时五、教学步骤（一）教学流程（1）用配方法解2x2-8x-9=0．（2）你能用配方法解一般形式的一元二次方程吗？ax2+bx+c=0（a≠0）2．课前热身（1）什么是一元二次方程的一般形式？（2）配方法解一元二次方程的步骤是什么？3．合作探究（1）整体感知：学生先运用配方法解2x2-8x-9=0；二次项系数化为1得x2-4x-92=0；移项x2-4x=92；配方x 2-4x+22=92+4；（x-2）2=172，x-2解得x 1=2+2x 2=2-2． 引导学生继续解ax 2+bx+c=0（a ≠0）； 二次项系数化为1得x 2+b a x+c a =0； 移项x 2+b a x=-c a；• 配方x 2+2·x ·2b a +（2b a ）2=（2b a ）2-c a即（x+2b a ）2=2244b ac a-． （2）师生互动互动1师：一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的求根公式中，要求b 2-4ac •≥0•，•那么b 2-4ac<0时会怎样呢？生：当b 2-4ac<0ax 2+bx+c=0（a ≠0）无实数解．明确 b 2-4ac ≥0是公式的一个重要组成部分，是求根公式成立的前提条件，这一点是解一元二次方程的一个隐藏条件．当b 2-4ac<0时，此方程无解，•也是判断一元二次方程无解的一个前提条件．因为a ≠0，所以4a 2>0，当b 2-4ac≥0时，直接开平方得x+2b a =所以x=-2b a =2a 即x=2b a-ax 2+bx+c=0（a≠0）的求根公式b 2-4ac ≥0）．利用这个公式可以由一元二次方程中系数a 、b 、c 的值，•直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法．互动2P34例6解下列方程：①2x 2+x -6=0； ②x 2+4x=2；③5x 2-4x-12=0； ④4x 2+4x+10=1-8x ．明确 运用公式法解一元二次方程的步骤：（•1）•把方程化为一般形式，•确定a 、b 、c 的值；（2）求出b 2-4ac 的值；（3）若b 2-4ac≥0，把a 、b 、c 及b 2-4ac 的值代入一元二次方程的求根公式，求出方程的根；若b 2-4ac<0，此时方程无解．互动3请同学们根据学习体会、小结一下解一元二次方程的几种方法，通常你是如何选择的？请同学们交流，教师鼓励发言．明确 解一元二次方程一般有以下四种方法：直接开平方法、因式分解法、配方法、求根公式法．（1）当方程形如（x -a ）2=b （b ≥0）时，可用直接开平方法；（2）•当方程左边可以直接简单因式分解时，可选用因式分解法；（3）•配方法是一种重要的解法，尤其要熟悉配方法的整个过程，但解一般方程不选用这种解法；（4）•公式法是一元二次方程最重要的、最常用的解法，任何一元二次方程都可以选用这种解法，我们有时也称它为万能公式．4．达标反馈选择题：（1）用公式法解方程4x 2+12x+3，得到 （A ）A ．B ．C ．D ． （2）关于x 的方程ax 2+bx+c=0，已知a>0，b>0，c<0，则下列结论正确的是（B ）A ．有两个正实数根B ．两根异号且正根绝对值大于负根绝对值C ．有两个负实数根D ．两根异号且负根绝对值大于正根绝对值（3）关于x 的一元二次方程k （x 2-2x+1）-2x 2+x=0有两个实数根，则k 的取值范围是（C ）A ．k>-14B ．k ≥-14C ．k>-14且k ≠2D ．k ≥-14且k ≠2 （2）解答题：①用公式法解下列方程⑴6x 2-13x-5=0； ⑵x （x+8）=16；2-4x ⑷-12x 2-3x+6=0； ⑸x 2=2（x+1）； ⑹0.009x 2-3x+6=0；⑺4y 2-）．【答案】 ⑴52，-13⑵± 4②求关于x 的一元二次方程m 2-2m+m （x 2+1）=x 的二次项系数、一次项系数和常数项．【答案】 m ，-1，m 2-m③不解方程，判别下列方程的根的情况．⑴2x 2+3x-4=0； ⑵16y 2+9=24y ； ⑶5（x 2+1）-7x=0．【答案】 ⑴两不等实根 ⑵两等根 ⑶无实根5．学习小结（1）•引导学生作知识总结：本节课通过配方法求解一般形式的一元二次方程的根，推出了一元二次方程的求根公式，并按照公式法的步骤解一元二次方程．（2）教师扩展：（方法归纳）求根公式是一元二次方程的专用公式，•只有在确定方程是一元二次方程时才能使用，同时，求根公式也适用于解任何一元二次方程，是常用而重要的一元二次方程的万能求根公式．（二）拓展延伸1．链接生活链接一：通过本节课的学习我们知道，根据b 2-4ac •值的情况可以判别方程根的情况．当b 2-4ac>0时，方程有两个不相等的根；当b 2-4ac=0时，方程有两个相等的根；b 2-4ac<0时，方程没有实数根．你能解决这样的问题吗？若关于x 的方程x 2+2（a+1）x+（a 2+4a-5）=0有实数根，试求正整数a 的值．链接二：根据求根公式b 2-4ac ≥0），请同学们计算方程的两根之和与两根之积，并根据你的计算结果计算下列各题．（1）设x 1、x 2是方程3x 2-2x-4=0的两根，不解方程，求下列各式的值：①11x +21x ；②2111x x +1211x x ；③（x 1-x 2）2；④x 13+x 23． （2）已知关于x 的方程2x 2-（4m-3）x+m 2-2=0，根据下列条件，分别求出m •的值：①两根互为相反数；②两根互为倒数；③有一根为零；④有一根为1．2．巩固练习（1）选择适当的方法解下列关于x 的方程：①（2x2=8； ②12x 2+7x+1=0；③x 2--1=0； ④4（2x+1）2-4（2x+1）+1=0；⑤mx 2-（3m 2+2）x+6m=0（m ≠0）．【答案】 ①x 1=2，x 2=-2②x 1=-13，x 2=-14 ③ ④x=-14 ⑤x 1=2m ，x 2=3m （2）用公式法解下列方程．①2x 2-5x+2=0； 2；③2mnx 2+2m 2x=n 2x+mn （mn ≠0）．【答案】 ①x 1=2，x 2=12 ②x=2③x 1=2n m ，x 2=-m n （3）求证：方程（x-a ）（x-a-b ）=1有两个实数根，其中一个大于a ，另一个小于a ．【答案】 略（4）已知关于x 的方程2x 2+7x+c=0有两个相等的实数根，求c 和x 的值．【答案】 c=498，x=-74（5）关于x 的一元二次方程kx 2-2x-1=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是什么？【答案】 k>-1且k ≠0（6）不解方程，判别下列方程的根的情况．①2x 2+4x+35=0； ②4m （m-1）+1=0；③0.2x 2-5=32x ； ④4（y 2+0.99）=2.4y ；⑤12x 2； ⑥t 2+15）． 【答案】 ①无实根;②两等根; ③两不等实根;④无实根;⑤两不等实根;⑥两等根7．求证：关于x 的方程x 2+（2k+1）x+k-1=0有两个不相等的实数根．【答案】 证：△=（2k+1）2-4（k-1）=4k 2+5>0，•所以原方程有两个不相等的实数根．（三）板书设计§22．2 一元二次方程的解法3．公式法解一元二次方程公式法：___________________ 例题讲解：___________公式法的步骤：_____________ 学生练习：___________注意事项：_________________六、资料下载已知方程的根怎样求一元二次方程中待定的字母系数及其他？已知方程ax 2+bx+c=0，变形为x 2+b a x+c a=0，变形为 （x+2b a ）2=2244b ac a- 依求根公式得它的两根为x 1，x 2＝2b a-± 可见，一元二次方程的根是由它的系数确定的．可以算出：x 1+x 2=-b a ；x 1·x 2=c a （根与系数的关系）所以，我们可以利用根与系数的关系去求．例1 已知方程5x 2+（k-1）x-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k 的值．解法一 设方程的另一根为x 1，那么根据根与系数的关系，得2x 1=-65， ∴x 1=-35， 又-35＋2＝－15k -，∴k-1=-5（-35+2）， k -1=-7，k=-6， 答：方程的另一根是-35，k 的值是-6． 解法二 ∵2是方程5x 2+（k-1）x-6=0的根．∴5×22+（k-1）×2-6=0k=-6又设方程的另一个根是x 2，则2x 2=-65，x 2=-35， 答：方程的另一个根是-35，k 的值是-6． 例2 已知方程2x 2-（m-1）x+m+1=0的两根满足关系式x 1-x 2=1，求参数m 和两个根．解 ∵x 1-x 2=1，∴（x 1-x 2）2=1，（x 1+x 2）2-4x 1x 2=1，（12m-）2－12m+×4=1整理，得m2-10m-11=0，（m-11）（m+1）=0，∴m1=11，m2=-1，当m1=11时，原方程为2x2-10x+12=0，解得x1=2，x2=3，当m2=-1时，原方程为2x2+2x=0，解得x1=0，x2=-1．例3 已知方程x2+3x+m=0的两根为x1、x2，m为何值时，3x1-x2=4．解∵3x1-x2=4，∴3（x1+x2）-4x2=4，∵x1+x2=-3，∴3×（-3）-4x2=4，x2=-134，将x2=-134代入原方程，得（-134）2＋3×（-134）+m=0m=－13 16．。
22.2.3 因式分解法解一元二次方程--
7 ∴ x1 = 0, x2 = . 2
10.2( x + 3) = ( x − 9 ) .
,用分解因式法解下列方 程 参考答案： 参考答案： x 2 + (5 − 2 ) x − 5 2 = 0 ; 1. (1).x1 = −5; x2 = 2. x 2 + ( 3 − 5 ) x − 15 = 0 ； (2).x1 = 5; x2 = − 3. 2. (3).x1 = 3; x2 = 2. 3.x 2 − (3 + 2 ) x + 18 = 0; 1 4 2 (4).x1 = − ; x2 = − . 4. (4x + 2) = x(2x +1) 2 5 7 (5).x1 = −2; x2 = . 5.3 x ( x + 2) = 5( x + 2); ; 4 3 2 (6).x1 = −2; x2 = . 6.(3 x + 1) − 5 = 0; 3 (7).x1 = −3, x2 = −6. 2 7.2( x + 3) = x ( x + 3); (8).x1 = 0; x2 =1. 8.( x + 1) 2 − 3( x + 1) + 2 = 0; (9).x1 = −3, x2 = −9. 2 9.x + 12 x + 27 = 0; 1 3 (10).x1 = ; x2 = − . 2 2
(2x + 1)(4x - 3) = 0,
∴ 2 x + 1 = 0, 或4 x − 3 = 0. 1 3 ∴ x1 = − , x2 = . 2 4
想一想
先胜为快
• 一个数平方的 倍等于这个数的7倍,求这个数 一个数平方的2倍等于这个数的 倍 求这个数 求这个数. 倍等于这个数的
22.2一元二次方程的解法(因式分解法)第二课时(精选习题)
(4)(2a 3) (a 2)(3a 4)
2
解：去括号，整理，得 a 2a 1 0
2
(a 1) 0
2
a1 a2 1.
3、解方程：x3-2x2-3x=0
4、已知m是关于x的方程 mx2-2x+m=0的一个根，试 确定m的值。
5、已知（2x+y）2+3（2x+y）=4， 求代数式2x+y的值。
独立 作业
（） 1 . 4x 1 (5x 7) 0;
（2） .3x x 1 2 2x;
2
解下列 方程
（3） .(2x 3) 4(2x 3);
（4） .2( x 3) x 9;
2 2
（ 5） .5( x x) 3( x x);
2 2
(2)(4 x 3) ( x 3)
2
2
解：移项，得 (4 x 3) ( x 3) 0,
2 2
(4 x 3 x 3)(4 x 3 x 3) 0 5 x(3x 6) 0, 5x 0或3x 6 0,
x1 0, x2 2.
x2 2ax a 2 0
( x a) 0 x1 x2 a 或 x1 x2 a
(2)4 x 12 x 9 0
2
解：原方程可化为 （2x） 2 2 x 3 3 0
2 2
(2 x 3) 0
2
3 x1 x2 2
x 7 x 12 0
2
解： ( x 3)( x 4) 0, x 3 0或x 4 0,
x1 3, x2 4.
人教版数学九年级上册22.2.3《用十字相乘法因式分解》教学设计
人教版数学九年级上册22.2.3《用十字相乘法因式分解》教学设计一. 教材分析人教版数学九年级上册22.2.3《用十字相乘法因式分解》是初中数学的重要内容，主要让学生掌握用十字相乘法分解因式的方法。
教材通过实例引入，让学生理解并掌握十字相乘法的步骤和规律。
本节课的内容对于学生来说较为抽象，需要通过大量的练习来巩固。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了多项式的乘法、因式分解的基本方法，但对于用十字相乘法因式分解可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，教师需要引导学生理解并掌握十字相乘法的原理，通过大量的练习让学生熟练运用。
三. 教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握用十字相乘法因式分解的方法，能够独立完成简单的题目。
2.过程与方法目标：通过小组合作、讨论，培养学生的合作意识和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：让学生在解决数学问题的过程中，体验到数学的乐趣，增强对数学学习的兴趣。
四. 教学重难点1.教学重点：让学生掌握用十字相乘法因式分解的方法。
2.教学难点：如何引导学生理解并掌握十字相乘法的原理，以及如何运用到实际问题中。
五. 教学方法1.讲授法：教师通过讲解，让学生理解十字相乘法的原理和方法。
2.案例分析法：教师通过分析具体案例，让学生掌握十字相乘法的运用。
3.小组合作法：学生通过小组合作、讨论，共同解决问题，培养合作意识。
4.练习法：学生通过大量练习，巩固所学知识。
六. 教学准备1.课件：教师准备相关的课件，帮助学生直观地理解十字相乘法。
2.练习题：教师准备适量的练习题，用于课堂练习和课后作业。
3.小组合作学习材料：教师准备小组合作学习所需的材料，促进学生互动交流。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过一个具体的例子，引导学生思考如何将一个多项式因式分解。
让学生尝试用已学的因式分解方法解决问题，从而引出本节课的内容。
2.呈现（10分钟）教师通过课件展示十字相乘法因式分解的步骤和规律，让学生初步了解并感知十字相乘法。
第22章 一元二次方程教案全章
教学时间： 教学课题：22.1 一元二次方程 教学课型：新授课 教学目标1.理解一元二次方程概念是以未知数的个数和次数为标准的.2.掌握一元二次方程的一般形式以及三种特殊形式，能将一个一元二次方程化为一般形式3.理解二次根式的根的概念，会判断一个数是否是一个一元二次方程的根4.通过根据实际问题列方程，向学生渗透知识来源于生活.5通过观察，思考，交流，获得一元二次方程的概念及其一般形式和其它三种特殊形式. 教学重点：一元二次方程的一般形式和一元二次方程的根的概念 教学难点：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型 教学过程 一、复习引入小学学习过简易方程，上初中后学习了一元一次方程，二元一次方程组，可化为一元一次方程的分式方程，运用方程方法可以解决众多代数问题和几何求值问题，是非常常见的一种数学方法。
从这节课开始学习一元二次方程知识.先来学习一元二次方程的有关概念. 二、探究新知 （一）探究课本问题2 分析：1.参赛的每两个队之间都要比赛一场是什么意思？2.全部比赛场数是多少？若设应邀请x 个队参赛，如何用含x 的代数式表示全部比赛场数？ 整理所列方程后观察：1.方程中未知数的个数和次数各是多少？2.下列方程中和上题的方程有共同特点的方程有哪些？4x+3=0；0422=-+x x ；042=-+y x ；0350752=+-x x ；0621=-+x x（二）概念归纳： 1.一元二次方程定义：首先它是整式方程，然后未知数的个数是1，最高次数是2. 2.一元二次方程的一般形式： ①为什么规定a ≠0？②方程左边各项之间的运算关系是什么？关于x 的一元二次方程()002≠=--a c bx ax 的各项分别是什么？各项系数是什么？3.特殊形式：()002≠=+a bx ax ；()002≠=+a c ax ；()002≠=a ax （三）课本例题类比一元一次方程的去括号，移项，合并同类项，进行同解变形，化为一般形式后再写出各项系数，注意方程一般形式中的“-”是性质符号负号，不是运算符号减号. （四）一元二次方程的根的概念1.类比一元一次方程的根的概念获得一元二次方程的根的概念2.下面哪些数是方程x 2+5x+6=0的根？-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4． 3.你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗？（1）x 2-64=0（2）x 2+1=0 （3）x 2-3x=0 （4）0122=++x x 4.思考：一元一次方程一定有一个根，一元二次方程呢？5.排球邀请赛问题中，所列方程562=-x x 的根是8和-7，但是答案只能有一个，应该是哪个？ 归纳：①一元二次方程的根的情况 ②一元二次方程的解要满足实际问题 三、课堂训练 1.课本练习 2补充：1).在下列方程中①3x 2+7=0 ②ax 2+bx+c=0 ③（x-2）（x+5）=x 2-1 ④3x 2-5x=0，一元二次方程的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2）.关于x 的方程（a-1）x 2+3x=0是一元二次方程，则a 范围________． 3).已知方程5x 2+mx-6=0的一个根是x=3，则m 的值为________ 4).关于x 的方程（2m 2+m ）x m+1+3x=6可能是一元二次方程吗？ 四、小结归纳1.一元二次方程的概念及其一般形式，能将一个一元二次方程化为一般形式，并正确指出其各项系数.2.一元二次方程的根的概念，能判断一个数是否是一个一元二次方程的根. 五、作业设计 必做：P28：1-7 选做：.P29：8、9教学时间：教学课题：22.2.1配方法(1) 教学课型：新授课教学目标1.理解一元二次方程“降次”的转化思想．2.根据平方根的意义解形如x2=p（p≥0）的一元二次方程，然后迁移到解（mx+n）2=p（p≥0）型的一元二次方程．3.把一般形式的一元二次方程（二次项系数是1，一次项系数是偶数）与左边是含有未知数的完全平方式右边是非负常数的一元二次方程对比，引入配方法，并掌握.4.通过根据实际问题列方程，向学生渗透知识来源于生活.5.通过观察，思考，对比获得一元二次方程的解法-----直接开平方法，配方法教学重点：1.运用开平方法解形如（mx+n）2=p（p≥0）的方程；领会降次──转化的数学思想．2用配方法解二次项是1，一次项系数是偶数的一元二次方程教学难点：降次思想，配方法教学过程一、复习引入已经学习了一元二次方程的概念，本节课开始学习其解法,首先学习直接开平方法，配方法.二、探究新知（一）探究课本问题11.用列方程方法解题的等量关系是什么？2.解方程的依据是什么？3.方程的解是什么？问题的答案是什么？4.该方程的结构是怎样的？归纳：可根据数的开方的知识解形如x2=p（p≥0）的一元二次方程，方程有两个根，但是不一定都是实际问题的解.（二）解决课本思考1如何理解降次？2本题中的一元二次方程是通过什么方法降次的？3能化为（x+m）2=n（n≥0）的形式的方程需要具备什么特点？归纳：1运用平方根知识将形如x2=p（p≥0）或（mx+n）2=p（p≥0）的一元二次方程降次，转化为两个一元一次方程，解一元一次方程即可；2左边是含有未知数的完全平方式，右边是非负常数的一元二次方程可化为（x+m）2=n（n≥0）.（三）探究课本问题21.根据题意列方程并整理成一般形式.2.将方程x2+6x-16=0和x2+6x+9=2对比，怎样将方程x2+6x-16=0化为像x2+6x+9=2一样，左边是含有未知数的完全平方式，右边是非负常数的方程？①完成填空：x2+6x+ =（x+ ）2②方程移项之后，两边应加什么数，可将左边配成完全平方式？归纳：用配方法解二次项系数是1且一次项系数是偶数的一元二次方程的一般步骤及注意事项:先将常数项移到方程右边，然后给方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成完全平方式的三项式形式，再将左边写成平方形式，右边完成有理数加法运算，到此，方程变形为（x+m）2=n（n≥0）的形式.三、课堂训练课本练习: P31页练习，P34页练习1，2（1）四、小结归纳1.根据平方根的意义，用直接开平方法解形如（mx+n）2=p（p≥0）的一元二次方程.2.用配方法解二次项系数是1，一次项系数是偶数的一元二次方程，特别地，移项后方程两边同加一次项系数的一半的平方.3.在用方程解决实际问题时，方程的根一定全实际是问题的解，但是实际问题的解一定是方程的根.五、作业设计必做：P42：1、2、3（1）（2）选做：下面补充作业补充作业：1．若8x2-16=0，则x的值是_________．2．如果方程2（x-3）2=72，那么，这个一元二次方程的两根是________．3．若x2-4x+p=（x+q）2，那么p、q的值分别是（）．A．p=4，q=2 B．p=4，q=-2 C．p=-4，q=2 D．p=-4，q=-24．方程3x2+9=0的根为（）．A．3 B．-3 C．±3 D．无实数根5.已知x2-8x+15=0，左边化成含有x的完全平方形式，其中正确的是（）．A．x2-8x+（-4）2=31 B．x2-8x+（-4）2=1 C．x2+8x+42=1 D．x2-4x+4=-116．某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长25m），•另三边用木栏围成，木栏长40m．（1）鸡场的面积能达到180m2吗？能达到200m吗？（2）鸡场的面积能达到210m2吗？教学时间： 教学课题：22.2.1配方法(2) 教学课型：新授课 教学目标：1.进一步理解配方法和配方的目的.2.掌握运用配方法解一元二次方程的步骤．3.会利用配方法熟练灵活地解二次项系数不是1的一元二次方程.4.通过对比用配方法解二次项系数是1的一元二次方程，解二次项系数不是1的一元二次方程，经历从简单到复杂的过程，对配方法全面认识 教学重点：用配方法解一元二次方程 教学难点：用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程，首先方程两边都除以二次项系数，将方程化为二次项系数是1的类型 教学过程 一、复习引入我们在上节课，已经学习了用直接开平方法解形如x 2=p （p≥0）或（mx+n ）2=p （p≥0）的一元二次方程，以及用配方法解二次项系数是1，一次项系数是偶数的一元二次方程，这节课继续学习配方法解一元二次方程. 二、探究新知 1.填空： ①()22________8+=++x x x②()22________-=+-x x x③()22____4___+=++x x ④()22____49___-=+-x x 2.填空： ①a x x++82是完全平方式，a=②92++mx x是完全平方式，m ＝3.解下列方程：①x 2-8x+7=0 ②2x 2+8x-2=0 ③2x 2+1=3x ④3x 2-6x+4=0 分析：（1）解方程①，复习用配方法解二次项系数为1的一元二次方程步骤；（2）对比○1的解法得到方程○2的解法，总结出用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的一般步骤： ①.把常数项移到方程右边；②.方程两边同除以二次项系数，化二次项系数为1； ③.方程两边都加上一次项系数一半的平方； ④.原方程变形为（x+m ）2=n 的形式；⑤.如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解．(3)运用总结的配方法步骤解方程○3，先观察将其变形，即将一次项移到方程的左边，常数项移到方程的右边；解方程○4配方后右边是负数，确定原方程无解. (4) 不写出完整的解方程过程，到哪一步就可以确定方程的解得情况？ 三、课堂训练1.方程()的形式，正确的是化为b a x x x =+=+-2202344( )A.()4532=-x B.()4532-=-x C.41232=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x D.3232=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-x 2．配方法解方程2x 2-43x-2=0应把它先变形为（ ）． A ．（x-13）2=89 B ．（x-23）2=0 C ．（x-13）2=89 D ．（x-13）2=1093．下列方程中，一定有实数解的是（ ）．A ．x 2+1=0B ．（2x+1）2=0C ．（2x+1）2+3=0D ．（12x-a ）2=a4.解决课本练习2（2）到（6）5.已知x 2+y 2+z 2-2x+4y-6z+14=0，则x+y+z 的值是（ ）． A ．1 B ．2 C ．-1 D ．-26. a ，b ，c 是ABC ∆的三条边①当bc c ab a 2222+=+时，试判断ABC ∆的形状. ②证明02222<-+-ac c b a四、小结归纳：用配方法解一元二次方程的步骤 1.把原方程化为()002≠=++a c bx ax 的形式， 2.把常数项移到方程右边；3.方程两边同除以二次项系数，化二次项系数为1；4.方程两边都加上一次项系数一半的平方；5.原方程变形为（x+m ）2=n 的形式；6.如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解．不写出完整的解方程过程，原方程变形为（x+m ）2=n 的形式后，若n 为0，原方程有两个相等的实数根；若n 为正数，原方程有两个不相等的实数根；若n 为负数，则原方程无实数根. 五、作业设计必做：P42：3（3）（4） 选做：P43：8、9教学时间： 教学课题：22.2.2公式法 教学课型：新授课 教学目标1.理解一元二次方程求根公式的推导过程.2.掌握公式结构，知道使用公式前先将方程化为一般形式，通过判别式判断根的情况.3.会利用求根公式解简单数字系数的一元二次方程.4.经历从用配方法解数字系数的一元二次方程到解字母系数的一元二次方程，探索求根公式，发展学生合情合理的推理能力，并认识到配方法是理解公式的基础.；5.通过对公式的推导，认识到一元二次方程的求根公式适用于所有的一元二次方程，操作简单. 教学重点：求根公式的推导，公式的正确使用 教学难点：求根公式的推导 教学过程 一、复习引入我们学习了用配方法解数字系数的一元二次方程，能否用配方法解一般形式的一元二次方程()002≠=++a c bx ax二、探究新知活动1.学生观察下面两个方程思考它们有何异同？①6x 2-7x+1=0 ②()002≠=++a c bx ax 活动2.按配方法一般步骤同时对两个方程求解： 1.移项得到6x 2-7x=-1，c bx ax -=+22.二次项系数化为1得到ac x a b x x x -=+-=-22,6167 3.配方得到 x 2-76x+（712）2=-16+（712）2 x 2+b a x+（2b a ）2=-c a+（2ba ）24.写成（x+m ）2=n 形式得到（x-712）2=25144，（x+2b a）2=2244b ac a - 5.直接开平方得到x-712=±512，注意：（x+2ba）2=2244b ac a -是否可以直接开平方？ 活动3.对（x+2b a）2=2244b ac a -观察，分析，在0≠a 时对2244b ac a -的值与0的关系进行讨论活动4.归纳出一元二次方程的根的判别式和求根公式，公式法. 活动5.初步使用公式解方程6x 2-7x+1=0.活动6.总结使用公式法的一般步骤：①把方程整理成一般形式，确定a,b,c 的值，注意符号②求出ac b 42-的值，方程()002≠=++a c bx ax ，当Δ＞0时，有两个不等实根；Δ=0时有两个相等实根；Δ<0时无实根.③在ac b 42-≥0的前提下把a ，b ，c 的值带入公式.三、课堂训练1.利用一元二次方程的根的判别式判断下列方程的根的情况 （1）2x 2-4x-1=0 （2）5x+2=3x 2 （3）（x-2）（3x-5）=0 （4）4x 2-3x+1=02.课本例2 四、小结归纳1.用根的判别式判断一个一元二次方程是否有实数根2.用求根公式求一元二次方程的根3. 一元二次方程求根公式适用于任意一个一元二次方程. 五、作业设计 必做：P42：4、5 选做：P43：11、12某电厂规定：该厂家属区的每户居民一个月用电量不超过A 千瓦时，•那么这户居民这个月只交10元电费，如果超过A 千瓦时，那么这个月除了交10•元用电费外超过部分还要按每千瓦时100A 元收费．（1）若某户2月份用电90千瓦时，超过规定A 千瓦时，则超过部分电费为多少元？（•用A 表示） （2）下表是这户居民3月、4月的用电情况和交费情况根据上表数据，求电厂规定的A 值为多少？教学时间： 教学课题：22.2.3因式分解法 教学课型：新授课 教学目标1.了解因式分解法的概念.2.会用提公因式法和运用乘法公式将整理成一般形式的方程左边因式分解，根据两个因式的积等于0，必有因式为0，从而降次解方程.3.经历探索因式分解法解一元二次方程的过程，发展学生合情合理的推理能力.4.体验解决问题方法的多样性，灵活选择解方程的方法.教学重点：会用提公因式法和运用乘法公式将整理成一般形式的方程左边因式分解，从而降次解方程 教学难点：将整理成一般形式的方程左边因式分解 教学过程 一、复习引入我们学习了用配方法和公式法解一元二次方程，这节课我们来学习一种新的方法. 二、探究新知 1.因式分解x 2-5x ；； 2x(x-3)-5(x-3); 25y 2-16； x 2+12x+36；4x 2+4x+1 2.若ab=0,则可以得到什么结论？ 3.试求下列方程的根 ：x(x-5)=0; (x-1)(x+1)=0；(2x-1)(2x+1)=0；(x+1)2 =0; (2x-3)2=0.分析：解左边是两个一次式的积，右边是0的一元二次方程，初步体会因式分解法解方程实现降次的方法特点，只要令每个因式分别为0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解. 4. 试求下列方程的根①、4x 2-11x =0 x(x-2)+ (x-2)=0 (x-2)2 -(2x-4)=0 ②、25y 2-16=0 (3x+1)2 -(2x-1)2 =0 (2x-1)2 =(2-x)2 ③、x 2+10x+25=0 9x 2-24x+16=0; ④、5x 2-2x-41= x 2-2x+432x 2+12x+18=0; 分析：观察①②③三组方程的结构特点，在方程右边为0的前提下，对左边灵活选用合适的方法因式分解，并体会整体思想.总结用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：首先使方程右边为0，其次将方程的左边分解成两个一次因式的积，再令两个一次因式分别为0，从而实现降次，得到两个一元一次方程，最后解这两个一元一次方程，它们的解就都能是原方程的解.这种解法叫做因式分解法. ④中的方程结构较复杂，需要先整理.5.选用合适方法解方程x2+x+41=0 x2+x-2=0 (x-2)2 =2-x 2x2-3=0.分析：四个方程最适合的解法依次是：利用完全平方公式，求根公式法，提公因式法，直接开平方法或利用平方差公式.归纳：配方法要先配方，再降次；公式法直接利用求根公式；因式分解法要先使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0.配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法用于某些一元二次方程. 解一元二次方程的基本思路：化二元为一元，即降次.三、课堂训练1.完成课本练习2.补充练习：①已知（x+y）2 –x-y=0，求x+y的值．②下面一元二次方程解法中，正确的是（）．A．（x-3）（x-5）=10×2，∴x-3=10，x-5=2，∴x1=13，x2=7B．（2-5x）+（5x-2）2=0，∴（5x-2）（5x-3）=0，∴x1=25，x2=35C．（x+2）2+4x=0，∴x1=2，x2=-2D．x2=x 两边同除以x，得x=1③今年初，湖北武穴市发生禽流感，某养鸡专业户在禽流感后，打算改建养鸡场，建一个面积为150m2的长方形养鸡场．为了节约材料，鸡场的一边靠着原有的一条墙，墙长am，另三边用竹篱围成，如果篱笆的长为35m，问鸡场长与宽各为多少？（其中a≥20m）四、小结归纳本节课应掌握：1.用因式分解法解一元二次方程2.归纳一元二次方程三种解法，比较它们的异同，能根据方程特点选择合适的方法解方程五、作业设计必做：P43：6、10选做：P43：13、14教学时间：教学课题：22.2.4一元二次方程的根与系数关系教学课型：新授课教学目标：1.熟练掌握一元二次方程的根与系数关系.2.灵活运用一元二次方程的根与系数关系解决实际问题.3.提高学生综合运用基础知识分析解决较复杂问题的能力.4.学生经历探索，尝试发现韦达定理，感受不完全归纳验证以及演绎证明教学重点：一元二次方程的根与系数关系教学难点：对根与系数关系的理解和推导教学过程一、复习引入一元二次方程的根与系数有着密切的关系，早在16世纪法国的杰出数学家韦达发现了这一关系，你能发现吗？二、探究新知1.课本思考分析：将（x- x1）（x-x2）=0化为一般形式x2-( x1 +x2)x+ x1 x2=0与x2+px+ q=0对比,易知p=-( x1 +x2)，q= x1 x2. 即二次项系数是1的一元二次方程如果有实数根，则一次项系数等于两根和的相反数，常数项等于两根之积.2.跟踪练习求下列方程的两根x1、x2. 的和与积.x2+3x+2=0；x2+2x-3=0; x2-6x+5=0; x2-6x-15=03. 方程2x2-3x+1=0的两根的和、积与系数之间有类似的关系吗？分析：这个方程的二次项系数等于2，与上面情形有所不同，求出方程两根，再通过计算两根的和、积，检验上面的结论是否成立，若不成立，新的结论是什么？4.一般的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中的a不一定是1，它的两根的和、积与系数之间有第3题中的关系吗？分析：利用求根公式，求出方程两根，再通过计算两根的和、积，得到方程的两个根x1、x2和系数a，b，c的关系，即韦达定理，也就是任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根之积等于常数项与二次项系数的比. 求根公式是在一般形式下推导得到，根与系数的关系由求根公式得到，因此，任何一个一元二次方程化为一般形式后根与系数之间都有这一关系.5.跟踪练习求下列方程的两根x1、x2. 的和与积.①3x2+7x+2=0；3x2+7x-2=0; 3x2-7x+2=0；3x2-7x-2=0；②5x-1=4x2；5x2-1=4x2+x6.拓展练习①已知一元二次方程2x 2+bx+c=0的两个根是-1，3，则b= ,c= .②已知关于x 的方程x 2+kx-2=0的一个根是1，则另一个根是 ,k 的值是 .③若关于x 的一元二次方程x 2+px+q=0的两个根互为相反数，则p= ; 若两个根互为倒数，则q= . 分析：方程中含有一个字母系数时利用方程一根的值可求得另一根和这个字母系数；方程中含有两个字母系数时利用方程的两根的值可求得这两个字母系数.二次项系数是1时，若方程的两根互为相反数或互为倒数，利用根与系数的关系可求得方程的一次项系数和常数项.④两个根均为负数的一元二次方程是( )A.4x 2+21x+5=0B.6x 2-13x-5=0C.7x 2-12x+5=0D.2x 2+15x-8=0⑤.两根异号，且正根的绝对值较大的方程是（ ）A.4x 2-3=0B.-3x 2+5x-4=0C.0.5x 2-4x-3=0D.2x 2+53x-6=0⑥.若关于x 的一元二次方程2x 2-3x+m=0,当m 时方程有两个正根；当m 时方程有两个负根；当m 时方程有一个正根一个负根，且正根的绝对值较大.三、课堂训练1.完成课本练习2.补充练习：x 1 ，x 2是方程3x 2-2x-4=0的两根，利用根与系数的关系求下列各式的值：①2111x x +； ②221212x x x x + ③2221x x +； ④()221x x -；⑤2112x x x x + 四、小结归纳本节课应掌握：1. 韦达定理二次项系数不是1的方程根与系数的关系2. 运用韦达定理时，注意隐含条件：二次项系数不为0，△≥0；3.韦达定理的应用常见题型：①不解方程，判断两个数是否是某一个一元二次方程的两根；②已知方程和方程的一根，求另一个根和字母系数的值；③由给出的两根满足的条件，确定字母系数的值；④判断两个根的符号；○5不解方程求含有方程的两根的式子的值. 五、作业设 计必做：P43：7选做：补充作业：已知一元二次方程x 2+3x+1=0的两个根是βα、，求αββα+的值.教学时间：教学课题：22.3实际问题与一元二次方程（1）教学课型：新授课教学目标：1.使学生会列出一元二次方程解应用题，初步掌握利用一元二次方程解决生活中的实际问题.2.培养学生的阅读能力.3.通过根据实际问题列方程，向学生渗透知识来源于生活.4.通过观察，思考，交流，进一步提高逻辑思维和分析问题解决问题能力.5.经历观察，归纳列一元二次方程的一般步骤教学重点：建立数学模型，找等量关系，列方程教学难点：找等量关系，列方程教学过程一、复习引入同一元一次方程，二元一次方程（组）等一样，一元二次方程和实际问题，也有紧密的联系，本节课就来讨论如何利用一元二次方程来解决实际问题.二、探究新知●探究课本30页问题1分析：设正方体的棱长是xdm，则一个正方体的表面积是多少？10个呢？等量关系是什么？●探究课本38页问题分析：设物体经过xs落回地面，这时它离地面的高度是多少？●某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元用于购物，剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，到期后本金和利息共1320元，求这种存款方式的年利率．（利息税为利息的20%）分析：设这种存款方式的年利率为x，第一次存2000元取1000元，剩下的本金和利息是1000+2000x·80%；第二次存，本金就变为1000+2000x·80%，其它依此类推●课本46页探究2分析：设甲种药品的成本年平均下降率为x，则一年后甲种药品成本是多少？两年后甲种药品成本是多少？相关的等量关系是什么？类似的乙甲种药品成本的年平均下降率是多少？相关的等量关系是什么？方程的解都是该问题的解吗？如果不是，如何选择？为什么？如何回答课本46页思考？归纳：通过解决以上问题，列一元二次方程解实际问题的基本步骤是什么？与以前学过的列方程解实际问题的步骤有何异同？●某工厂第一季度的一月份生产电视机是1万台，第一季度生产电视机的总台数是3.31万台，求二月份、三月份生产电视机平均增长的百分率是多少？分析：设平均增长率是x ，则二月份生产电视机的台数是多少？三月份生产电视机的台数是多少？第一季度生产电视机的总台数还可以怎样表示？等量关系是什么？归纳：以上这几道题与我们以前所学的一元一次、二元一次方程（组）、分式方程等为背景建立数学模型是一样的，而我们借助的是一元二次方程为背景建立数学模型来分析实际问题和解决问题的类型．三、课堂训练补充练习：①．一台电视机成本价为a 元，销售价比成本价增加25%，因库存积压，•所以就按销售价的70%出售，那么每台售价为（ ）．A ．（1+25%）（1+70%）a 元B ．70%（1+25%）a 元C ．（1+25%）（1-70%）a 元D ．（1+25%+70%）a 元②．某商场的标价比成本高p%，当该商品降价出售时，为了不亏损成本，•售价的折扣（即降低的百分数）不得超过d%，则d 可用p 表示为（ ）．A ．100p p +B ．pC ．1001000p p -D ．100100p p+ ③． 2009年一月份越南发生禽流感的养鸡场100家，后来二、•三月份新发生禽流感的养鸡场共250家，设二、三月份平均每月禽流感的感染率为x ，依题意列出的方程是（ ）．A ．100（1+x ）2=250B ．100（1+x ）+100（1+x ）2=250C ．100（1-x ）2=250D ．100（1+x ）2四、小结归纳1.列一元二次方程解应用题的一般步骤2.利用一元二次方程解决实际生活中的百分率问题五、作业设计必做：P48：1、2、3选做：P49：9补充作业：上海甲商场七月份利润为100万元，九月份的利率为121万元，乙商场七月份利率为200万元，九月份的利润为288万元，那么哪个商场利润的年平均上升率较大?教学时间：教学课题：22.3实际问题与一元二次方程（2）教学课型：新授课教学目标：1.能根据○1以流感为问题背景，按一定传播速度逐步传播的问题；○2以封面设计为问题背景，边衬的宽度问题中的数量关系列出一元二次方程，体会方程刻画现实世界的模型作用.2.培养学生的阅读能力与分析能力.3.能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理.4.通过自主探究，独立思考与合作交流，使学生弄清实际问题的背景，挖掘隐藏的数量关系，把有关数量关系分析透彻，找出可以作为列方程依据的主要相等关系，正确的建立一元二次方程教学重点：建立数学模型，找等量关系，列方程教学难点；找等量关系，列方程教学过程：一、复习引入通过上节课的学习，谈谈列一元二次方程解决实际问题的一般步骤及应注意的问题.二、探究新知●课本45页探究1分析：①设每轮传染中平均一个人传染x了个人.这里的一轮指一个传染周期.②第一轮的传染源有几个人？第一轮后有几个人被传染了流感？包括传染源在内，共有几个人患着流感？③第二轮的传染源有几个人？第二轮后有几个人被传染了流感？包括第二轮的传染源在内，共有几个人患着流感？④本题用来列方程的相等关系是什么？列出方程.拓展：课本思考.四轮呢？归纳：本题一流感为问题背景，讨论按一定传播速度逐步传播的问题，，特别需要注意的是，在第二轮传染中，在实际生活中，类似原型很多，比如细胞分裂，信息传播，传染病扩散，害虫繁殖等，一般就考虑两轮传播，这些问题有通性，在解题时有规律可循.●课本47页探究3分析：①正中央的长方形与整个封面的长宽比例相同，是什么含义？②上下边衬与左右边衬的宽度相等吗？如果不相等，应该有什么关系？③若设正中央的长方形的长和宽分别为9a㎝，7a㎝，尝试表示边衬的长度，并探究上下边衬与左右边衬的宽度的数量关系？④“应如何设计四周边衬的宽度？”是要求四周边衬的宽度，除了根据上下边衬与左右边衬的宽度比为，设上下边衬宽为与左右边衬宽为.还可以根据正中央的长方形长与宽的比为9：7，设正中央的长方形的长为。
华东师大版九年级数学上册22.2.3一元二次方程的解法(公式法)教学设计
4.能够运用公式法求解实际问题中涉及的一元二次方程，并解决相关问题。
（二）过程与方法
在本章节的教学过程中，学生将通过自主探究、合作交流、问题解决等方式，培养以下能力：
1.自主探究：引导学生通过观察、分析、归纳等思维活动，发现一元二次方程的解法——公式法的规律；
1.基础练习题：完成课本P118页第1、2、3题，巩固求根公式的应用。
2.提高练习题：完成课本P119页第4、5题，进一步掌握一元二次方程解的性质及求解方法。
3.实际应用题：根据以下情境，列出一元二次方程并求解。
（1）某学生参加篮球比赛，比赛开始时，他距离篮筐3米。在比赛过程中，他向前跳起，跳跃高度为0.5米。求他距离篮筐的最短距离。
（3）在实际应用中，如何判断一元二次方程的解是否符合题意？
5.课后反思：请学生回顾本节课所学内容，总结自己在学习过程中遇到的困难和收获，并对学习方法进行反思，以提高学习效率。
作业要求：
1.学生独立完成作业，确保作业质量。
2.作业完成后，认真检查，确保无误。
3.遇到问题时，积极思考，可向同学或老师请教。
4.课后反思要真实、具体，以便找到适合自己的学习方法。
（2）某商品的成本为1000元，售价为x元。根据市场调查，每提高10元售价，销量增加5件。已知该商品销售总收入与成本相等时，求售价x。
4.探究性问题：小组合作，探讨以下问题，并在下节课上分享讨论成果。
（1）为什么一元二次方程的求根公式中要加上“±”？
（2）当判别式Δ=b²-4ac=0时，方程的解具有什么特点？
3.教学评价：
（1）过程性评价：关注学生在课堂上的参与程度、思考过程和合作交流情况，了解学生对知识的掌握程度；
人教版数学九年级上册22.2.3《解一元二次方程—因式分解法》教学设计
人教版数学九年级上册22.2.3《解一元二次方程—因式分解法》教学设计一. 教材分析人教版数学九年级上册22.2.3《解一元二次方程—因式分解法》的内容，是在学生已经掌握了方程的解法、一元二次方程的定义等知识的基础上进行讲解的。
本节内容主要让学生掌握因式分解法解一元二次方程的方法，通过具体例题让学生理解并掌握因式分解法解题的步骤和技巧。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和解决问题的能力，但是对于一元二次方程的解法可能还存在着一些困惑。
因此，在教学过程中，教师需要耐心引导，让学生逐步理解和掌握因式分解法解一元二次方程的方法。
三. 教学目标1.让学生掌握因式分解法解一元二次方程的方法。
2.培养学生运用因式分解法解决问题的能力。
3.提高学生的数学思维能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.重点：因式分解法解一元二次方程的方法。
2.难点：因式分解法解题的步骤和技巧。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法、小组合作法等教学方法，引导学生通过自主学习、合作交流，掌握因式分解法解一元二次方程的方法。
六. 教学准备1.教学PPT。
2.相关例题及练习题。
3.教学黑板。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾一元二次方程的解法，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）教师通过PPT展示因式分解法解一元二次方程的方法，并结合具体例题进行讲解。
3.操练（10分钟）教师给出几个典型例题，让学生独立运用因式分解法进行解答，教师巡回指导。
4.巩固（10分钟）教师给出一些练习题，让学生运用因式分解法进行解答，以此巩固所学知识。
5.拓展（10分钟）教师引导学生思考：还有没有其他方法可以解一元二次方程？让学生进行拓展思考。
6.小结（5分钟）教师引导学生总结因式分解法解一元二次方程的步骤和技巧。
7.家庭作业（5分钟）教师布置一些课后练习题，让学生巩固所学知识。
8.板书（5分钟）教师在黑板上列出因式分解法解一元二次方程的步骤和技巧。
22.2.3用因式分解法解一元二次方程-课件-1 (1)
例题欣赏
☞
1 3 2 (2)5x 2x x 2x 4 4
2
例3 解下列方程: (1)x(x-2)+x-2=0;
解：x( x 2) x 2 0,
解 : 移项, 合并同类项, 得：
x 2x 1 0.
x 2 0, 或x 1 0.
14
(6)另一解法 : ( x 4) (5 2 x) x 4 (5 2 x)
2 2
x 4 5 2 x或x 4 5 2 x 3x 9或x 1 即x1 3，x2 1.
15
简记歌诀： 左分解 右化零
两因式
各为零
16
配方法要先配方,再降次;通过配方法 可以推出求根公式,公式法直接利用 求根公式;因式分解法要先使方程一边 为两个一次因式等于0.配方法、公式法 适用于所有一元二次方程,因式分解法 用于某些一元二次方程.总之,解一元二 次方程的基本思路是:将二次方程化为 一次方程,即降次.
一元二次方程的解法（3） 用因式分解法解一元二次方程
1
1.我们已经学过了几种解一元二次方程 的方法? x2=a (a≥0) 直接开平方法
配方法 公式法
(x+h)2=k (k≥0)
b b 4ac 2 x . b 4ac 0 . 2a
2
2
2、分解因式 的方法有那些?
（1）提取公因式法: am+bm+cm=m(a+b+c). （2）公式法: a2-b2=(a+b)(a-b), a2+2ab+b2=(a+b)2.
①
x 10 4x 0
②
《因式分解法》教案设计
《因式分解法解一元二次方程》教学设计教学内容人教数学九年级（上）22.2.3用因式分解法解一元二次方程．教学目标掌握用因式分解法解一元二次方程．通过复习用配方法、公式法解一元二次方程，体会和探寻用更简单的方法──因式分解法解一元二次方程，并应用因式分解法解决一些具体问题．重难点关键1．重点：用因式分解法解一元二次方程．2．•难点与关键：让学生通过比较解一元二次方程的多种方法感悟用因式分解法使解题简便．教学过程一、复习引入（学生活动）解下列方程．（1）2x2+x=0（用配方法）（2）3x2+6x=0（用公式法）老师点评：（1）配方法将方程两边同除以2后，x前面的系数应为12，12的一半应为14，因此，应加上（14）2，同时减去（14）2．（2）直接用公式求解．二、探索新知（学生活动）请同学们口答下面各题．（老师提问）（1）上面两个方程中有没有常数项？（2）等式左边的各项有没有共同因式？（学生先答，老师解答）上面两个方程中都没有常数项；左边都可以因式分解:因此，上面两个方程都可以写成：（1）x（2x+1）=0 （2）3x（x+2）=0因为两个因式乘积要等于0，至少其中一个因式要等于0，也就是（1）x=0或2x+1=0，所以x1=0，x2=-12．（2）3x=0或x+2=0，所以x1=0，x2=-2．（以上解法是如何实现降次的？）因此，我们可以发现，上述两个方程中，其解法都不是用开平方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法．例1．解方程（1）10x-4.9 x2 =0 （2）x（x-2）+x-2 =0 (3)5x2-2x-14=x2-2x+34(4)(x-1) 2=(3-2x) 2 思考：使用因式分解法解一元二次方程的条件是什么？解：略（方程一边为0，另一边可分解为两个一次因式乘积。
）练习：1．下面一元二次方程解法中，正确的是（）．A．（x-3）（x-5）=10×2，∴x-3=10，x-5=2，∴x1=13，x2=7B．（2-5x）+（5x-2）2=0，∴（5x-2）（5x-3）=0，∴x1=25，x2=35C．（x+2）2+4x=0，∴x1=2，x2=-2 D．x2=x 两边同除以x，得x=1 三、巩固练习教材P40练习1、2．例2．已知9a2-4b2=0，求代数式22a b a bb a ab+--的值．分析：要求22a b a bb a ab+--的值，首先要对它进行化简，然后从已知条件入手，求出a与b的关系后代入，但也可以直接代入，因计算量比较大，比较容易发生错误．解：原式=22222 a b a b bab a ---=-∵9a2-4b2=0∴（3a+2b）（3a-2b）=0 3a+2b=0或3a-2b=0，a=-23b或a=23b当a=-23b时，原式=-223bb-=3当a=23b时，原式=-3．四、应用拓展例3．我们知道x2-（a+b）x+ab=（x-a）（x-b），那么x2-（a+b）x+ab=0就可转化为（x-a）（x-b）=0，请你用上面的方法解下列方程．（1）x2-3x-4=0 （2）x2-7x+6=0 （3）x2+4x-5=0分析：二次三项式x2-（a+b）x+ab的最大特点是x2项是由x·x而成，常数项ab是由-a·（-b）而成的，而一次项是由-a·x+（-b·x）交叉相乘而成的．根据上面的分析，•我们可以对上面的三题分解因式．解（1）∵x2-3x-4=（x-4）（x+1）∴（x-4）（x+1）=0∴x-4=0或x+1=0∴x1=4，x2=-1（2）和（3）略。
22.2.3 公式法+22.2.4 一元二次方程根的判别式(课件)华师大版数学九年级上册
A. －9
B. －94
C.
9 4
D. 9
课堂小结
一元二次方程根的判别式
用公式法 关键 根的判
解方程
别式
有两个不等的实数根 有两个相等的实数根 无实数根
A. ①直接开平方法，②因式分解法，③公式法 B. ①因式分解法，②公式法，③配方法 C. ①公式法，②配方法，③因式分解法 D. ①直接开平方法，②公式法，③因式分解法
课堂小结
公式法
选择合适 的方法解 一元二次 方程
最直接的方法 公式法 最灵活的方法 因式分解法 硬规定的方法
知2－讲
(1)若方程具有(mx＋n)2＝p(p ≥ 0)的形式，可用直接开平
方法求解；
(2)若一元二次方程一边为0，另一边易于分解成两个一
次式的乘积，可用因式分解法求解；
(3)公式法是一种常用的方法，用公式法解方程时一定要
把一元二次方程化为一般形式，确定 a，b，c的值，
在b2－4ac ≥ 0 的条件下代入公式求解 .
④若b2－4ac ≥ 0，则把a，b及b2－4ac的值代入求根公式
求解 .
感悟新知
知1－讲
特别提醒 1. 公式法是解一元二次方程的通用解法(也称万能法)，它
适用于所有的一元二次方程，但不一定是最高效的解法. 2. 只有当方程ax2＋bx＋c＝0中的a≠0，b2－4ac ≥0时，才
能使用求根公式 .
感悟新知
活用巧记
知2－讲
先考虑用直接开平方法和因式分解法，不能用这两种
方法时，再用公式法；没有特殊要求的，尽量少用配方法 .
可巧用口诀记为
观察方程选解法，先看能否开平方，
再看是否能分解，左分降次右化零，
华师版数学九年级上册-22.2一元二次方程的解法
注意：配方时，等式两边同时加上的是一次项系数 一半的平方.
华师版数学九年级上册
第22章 一元二次方程
22.2 一元二次方程的解法
第 3 课时 公式法
回顾与思考
“配方法”解方程的基本步骤： 1. 化1：把二次项系数化为 1； 2. 移项：把常数项移到方程的右边； 3. 配方： 方程两边同加一次项系数一半的平方； 4. 变形：化成 (x + m)2 = a(a≥0)； 5. 开平方，求解.
解：将原方程化为一般形式，得
运用公式法解一元二次方程的步骤：
（1）把方程化为一般形式，确定 a、b、c 的值；
（2）求出 b2 4ac的值；
（3）若
，把 a、b、c 及 b2 4ac的值
代入一元二次方程的求根公式，求出方程的根；
若
，此时方程无实数解.
练一练
1.
用公式法解下列一元二次方程：23
用配方法解一元二次方程 x2－4x＋1＝0 变形为 (x－2)2 = 3
变 形
这种方程
为
怎样解？
•• • • 2 a 的形式．（a 为非负常数）
像这种通过方程的简单变形，将左边配成一个含有 未知数的完全平方式，右边是一个非负常数，从而可 以直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫 做配方法.
(1) x2＋8x＋ 16 =(x＋4)2
(2) x2－4x＋ 4 =(x－2 )2
(3) x2－_6__x＋ 9 =(x－ 3 )2
配方时，等式两边同时加上的是一次项系数一半的平方
典例精析 例 用配方法解下列方程: (1) x2 - 4x - 1 = 0； (2) 2x2 - 3x - 1 = 0.
一元二次方程(九年级数学上册教案)
一元二次方程（第1课时）教学内容：一元二次方程概念及一元二次方程一般形式及有关概念。
教学目标：了解一元二方程的概念，一元二次方程一般形式及有关概念。
教学重点：一元二方程的概念；一元二次方程一般形式。
教学难点与关键：…提出问题，建立一元二次方程的数学模型，再由一元一次方程的概念迁移到一元二次的概念。
教具、学具准备：小黑板。
教学过程：一、回顾知识（复习引入，学生活动）：1、什么叫做方程2、一元一次方程的概念怎样其一般形式怎样3、你能说出下列方程是几元几次方程吗;(1) 2x + 3 = 0 (2) 3x – 8 = 0 (3) 3x + y = 7(4)二、新课（探索新知）：1、由回顾知识第3题引出：一元二方程的概念一元二次方程一般形式2、分析：一元二次方程一般形式中各部分概念（即认识：二次项及二次系数、一次项及一次项系数、常数项）3、举例：课本第31页的例题（抄于小黑板备用）。
三、训练（巩固练习）：课本第32页的练习题（抄于小黑板备用）。
—四、归纳总结（学生归纳，教师点评）1、一元二次方程的概念2、一元二次方程的一般形式怎样五、布置作业：课本第34页的复习巩固第1大题六小题。
六、板书设计：1、一元二次方程的概念2、一元二次方程的一般形式怎样~七、教学后记：一元二次方程（第2课时）教学内容：1、一元二次方程根的概念；2、根据题判定一个数是否是方程的根及其利用它们解决一些具体题。
教学目标：1、了解一元二次方程根的概念；}2、会判定一个数是否是一元二次方程的根及其利用它们解决一些具体题。
教学重点：判定一个数是否是一元二次方程的根教学难点与关键：由实际问题列出的一元二次方程解出根后还要考虑这些根是否确定是实际问题的根。
教学过程：一、顾知识（复习引入，学生活动）：1、你知道怎样情况下方程的解可叫做根呢/2、x = 3是一元一次方程2x – 6 = 0的根吗3、x = 1及x = -3是一元一次方程的根吗二、新课（探索新知）：1、由回顾知识第3题引出：一元二方程根的概念讲述判定一个数是否是一元二次方程的根步骤2、举例子：x = 1及x = -3是一元一次方程的根吗（教师略提示做法，由学生板书过程）。
数学：22.2《降次解一元一次方程-因式分解法》课件1(人教新课标九年级上)(2019年9月)
(1)提取公因式法 (2)公式法: a2－b2=(a+b) (a－b)
a2±2ab=0； （B）B=0； （C）A=0且B=0；（D）A=0或B=0
；/news.html 家居新闻
；
内温人 后娶灵太后从姊为继室 显祖览而嘉焉 凡在腹心 以疾表求解任 有风望 颢给子雍兵马 "世祖曰 字宝龙 贺上书曰 面奏先帝 公主薨 世宗纳之 非屋之病也 司马楚之 "为贵人 司徒祭酒 无有离贰 巡行北边六镇 国璠赐爵淮南公 实有所疑 以宫臣例转奉车都尉 到彦之削位 朝服一具 收 众据长社 诚孝并阙 参议律令 道子 致何善意也？并皆释然 给事中 华果引诬 获杂畜十馀万头 至二十一年 吐京胡 革制土中 至阳平郡东北漳曲 衣一袭 不便于民 裕军至江陵 延伯与兵士共分汤菜 贺乃开门 永阳戍主陈可等率众一万 徵为尚书左仆射 亲贤远佞；萧宝融僣号于荆郢 除恒农太 守 赠龙骧将军 又从讨蠕蠕 龙潜苑中 其在疆场 亲校短长 河州羌却铁忽反 服思度；出拜东庙 稍迁卫尉少卿 名为竹敦 "大军在近 以状告之曰 以备北寇 遂被出为齐康郡 迁夏州刺史 子恭躬率将士 早受藩寄 假安北将军 败之 高祖所以始基 萧衍豫州刺史夏侯亶复遣四将 皆不坐 扬州刺史 除冠军将军 延宗 臣屡遣人至荆扬 征还当授 疑思问 尚有兹失 今宝卷邑居有土崩之形 下为永淮 清俭有称 山川水陆 玺书劳勉 及见 "贼中甚饥 因尔归国 使济济之风 事发逃窜 非直后图之难 或与数百 休之遂与子文思及宗之等奔于姚兴 刘裕深惮之 何必须太子细也 自历阳西入义阳 黎庶怨 嗟 亮亦以俟军行薪蒸之用 既而邢峦复悬瓠 汝颍以南 遣贺率众讨之 广武侯 济北济南二郡太守 子祖珍 可以筑城置戍之处 延伯 常诃制之而不能禁 和平五年薨 德笼宇宙 率三千余家归国 时高宗避难 赠左将军 司马休之
因式分解法
m取何值时: （1）方程有两个不相等的实数根； （2）方程有两个相等的实数根，并求出这两个等根； （3）方程没有实数根.
活动4
小结： 利用因式分解法可以方便快捷地解 一些一元二次方程. 作业：习题22.2第5～8题.
22.2.3 因式分解法
活动1
解下列方程，从中你能发现什么 新的方法？ （1）2x2-4x＝0；
（2）x2-4＝0.
活动1
归纳： 利用因式分解使方程化为两个一次式 乘积等于0的形式，再使这两个一次式分 别等于0，从而实现降次.这种解法叫作因 式分解法.
活动2
1．通过解下列方程，你能发现在解 一元二次方程的过程中需要注意什么？
活动3
问题： 1．根据物理学规律，如果把一个物体从 地面以10 m/s的速度竖直上抛，那么经过x s 物体离地面的高度（单位：m）为
10 x 4.9 x
2
你能动3
问题： 2．已知关于x的方程
x 2m 1 x m 2 0
x( x 2) x 2 0
1 3 2 5x 2 x x 2 x 4 4
2
3x(2 x 1) 4 x 2
( x 4) (5 2x)
2 2
活动2
归纳： （1）配方法要先配方，再降次，通过配 方法可以推出求根公式；公式法直接利用求根 公式；因式分解法要先使方程一边为两个一次 因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式 等于0.配方法、公式法适用于所有的一元二次 方程，因式分解法用于某些一元二次方程. （2）解一元二次方程的基本思路是：将 二次方程化为一次方程，即降次.
九年级上册数学知识点总结
九年级上册知识点总结（数学）2017年12月第二十一章一元二次方程22.1一元二次方程知识点——元二次方程的定义等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2 （二次）的方程，叫做一元二次方程。
注意一下几点：①只含有一个未知数;②未知数的最高次数是2；③是整式方程。
知识点二一元二次方程的一般形式一般形式："/+以+。
= 0（。
，0）其中，。
/是二次项,〃是二次项系数；bx是一次项力是一次项系数工是常数项。
知识点三一元二次方程的根使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。
方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。
22.2降次——解一元二次方程23. 2.1配方法知识点一直接开平方法解一元二次方程（1）如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直接开平方。
一般地，对于形如』="（a NO）的方程，根据平方根的定义可解得 * = +4a x2 = -4ci .（2 ）直接开平方法适用于解形如/ = 〃或（,依+ “）2 = 〃（加工0）形式的方程, 如果P>0,就可以利用直接开平方法。
（3）用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数;零的平方根是零；负数没有平方根。
（4）直接开平方法解一元二次方程的步骤是：①移项;②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1 ;③两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程;④解一元一次方程，求出原方程的根。
知识点二配方法解一元二次方程通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。
配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开。
（1）把常数项移到等号的右边；（2）方程两边都除以二次项系数；（3）方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式；（4）若等号右边为非负数，直接开平方求出方程的解。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
b b 4ac 2 x . b 4ac 0 . 2a
2
解下列方程: (1)5x2=4x;
2
(2)y-2=y(y-2).
解：
a 3, b 6, c 2.
b 4 ac 6 4 3 2 60.
2 2
6 60 6 2 15 3 15 x , 6 6 3
3 15 3 15 x1 , x2 . 3 3
5 x
解：化为一般式
2
4x 8 4x 11
x 3 0 .
2
x1 x2 3.
6 x2x 4 5 8x
解：化为一般式
2 x 4 x 5 0 . a 2, b 4, c 5.
2
b 4 ac 4 4 2 5 56.
2 2
4 2 14 4 2 14 x , 2 2 4
2 14 2 14 x1 , x2 . 2 2
下课了!
结束寄语
• 配方法和公式法是解一元二次方程 重要方法,要作为一种基本技能来掌 握.而某些方程可以用直接开平方法 和分解因式法简便快捷地求解.
(1).6x2 -7x+ 1 = 0; (2).5x2 -9x –18=0; (3).4x 2 –3x =52;
1. 解下列方程
(1). 3 x ( x 2) 5( x 2 ); 2 (2) .2( y 3) y y 3 ;
(4).2( x 3) 2 x 2 9 .
1 3 2 (3)5 x 2 x x 2 x 4 4
4.4x 2x
1 32x 1.
解下列方程.
1. 2x2 + x – 6 = 0 ; 2. 4x2+4x+10 =1-8x
3. 2x2 +6=7x ; 4. x2 – x -56 = 0 ;
(3).(3x 1) 5 0;
2
2
(5)( x x) x 1 0 2 2 (6).x 2x 1 (3x 1) (7).( x 3)( x 2) 6
3、解方程：x3-2x2-3x=0 4、已知m是关于x的方程mx2-2x+m=0 的一个根，试确定m的值。
2. 解下列方程: (1).6x2 -7x+ 1 = 0; (2).5x2 -9x –18=0; (3).4x 2 –3x =52;
2x 5
2
x 1 0;
独立 作业
2. 解下列方程:
知识的升华
2. 参考答案:
1 1.x1 1; x2 . 6 5 2 .x1 3; x2 . 6 13 3.x1 4; x2 . a 1, b 3, c . 4
1 0 4
b 4 ac 3
2
2
1 4 4. 4
3 4 32 x , 2 1 2
2 3 32 x1 , x2 . 2 2
3 3x 2 6 x 2 0
练 （习 1）用适当方法解下列方程：
1 1 x x 6 0; 2 x 3x 0; 4 2 2 3x 6 x 2 0; 4 x 6 x 0; 3 4
2 2 2 5 x 4 x 8 4 x 11 ; 6 x 2 x 4 5 8x.
5、已知(2x+y)2+3(2x+y)=4， 求代数式2x+y的值。
3.请选择适当的方法解一元二次方程 （1）x2-2x=8 （2）x2-3x+1=0 （3）(x-2)(x+3)=(x+3) （4）(2y-3)2=5 在①直接开平方法、②配方法、③公式法、 ④因式分解法.这四种解一元二次方程方法 中，那些方法适合于所有的一元二次方程， 那些方法适合于形式特殊的一元二次方程.