【百强市校】安徽省合肥一中、马鞍山二中等六校教育研究会2019届高三第二次联考数学(文)试题

安徽六校教育研究会2019届高三第二次联考数学试题（文）命题：安徽师范大学附属中学考试时间：120 分钟；试卷分值：150 分注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上；2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合{M x =∈R 2||}x x =，{1,0,1}N =-，则MN =( )A ．{}0B ．{}1C ．{}0,1D ．{}1,0,1-2．设z =1i1i+-，z 是z 的共轭复数，则z z ⋅=( ) A ．1-B ．iC ．1D ．43． 钝角三角形ABC 的面积是1，且AB =AC = 2，则BC =( )A B C ．1 D 14．《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著．在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌” 就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，记这位公公的第n 个儿子的年龄为n a ，则1a =( )A ．23B ．32C ．35D ． 385．将函数x y cos =的图象向左平移ϕ(0 ≤ϕ＜2π)的单位后，得到函数y =sin ()6x π-的图象，则ϕ等于( )A ．6π B ．56πC ． 34πD ．35π6．两个非零向量,a b 满足||||2||+=-=a b a b a ，则向量b 与-a b 夹角为( )A. 56πB. 6πC. 23π D. 3π7．某个微信群某次进行的抢红包活动中，群主所发红包的总金额为10元，被随机分配为2.49元、1.32元、2.19元、0.63元、3.37元，共5份，供甲、乙等5人抢，每人只能抢一次，则 甲、乙二人抢到的金额之和不低于4元的概率是( )A ．25 B ．12 C ．34 D ．56 8．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．38π B ．4π C ．524π D ．724π（第8题图） （第10题图）9．已知双曲线22221(0)x y a b a b-=,＞的左焦点1F ，过点1F 作倾斜角为30︒的直线与圆222x y b +=相交的弦长为a 3，则双曲线的离心率为( )A ．3B ．73C D ．55 10．执行如图所示的程序框图，若输出的p 的值等于11，那么输入的N 的值可以是( )A ．121B ．120C ．11D ．10 11．下列命题是假命题．．．的是( ) A ．某企业有职工150人，其中高级职称15人，中级职称45人，一般职员90人，若用分层抽样的方法抽出一个容量为30的样本，则一般职员应抽出18人B ．用独立性检验（2×2列联表法）来考察两个分类变量是否有关系时，算出的随机变量K 2的值越大，说明“X 与Y 有关系”成立的可能性越大C ．已知向量a (1,2)x =-，b (2,1)=，则2->x 是0⋅>a b 的必要条件D ．若()()12321-222++=++y x y x ，则点),(y x M 的轨迹为抛物线12．若对于函数()()2ln 1f x x x =++图象上任意一点处的切线1l ，在函数x xx a x g -=2cos 2sin 2)(的图象上总存在一条切线2l ，使得12l l ⊥，则实数a 的取值范围为( )A ．(,[2,)-∞+∞B ．1⎡-⎢⎣⎦C ．12122⎛⎡⎤---∞+∞ ⎢⎥ ⎝⎦⎣⎦，，D ．112⎤⎥⎣⎦，二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．设,x y 满足不等式组1030,x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪∈⎩N ，则2x y -的所有值构成的集合中元素个数为____个．14．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出．今有抛物线22y px =（0p >），如图，一平行x 轴的光线射向抛物线上的点P ，反射后又射向抛物线上的点Q ，再反射后又沿平行x 轴方向射出，且两平行光线间的最小距离为3，则抛物线的方程为 ．（第14题图） （第16题图）15．已知等比数列{}n a 的首项为32，公比为12-，前n 项和为n S ，且对任意的n ∈N *，都有12n nA SB S ≤-≤恒成立，则B A -的最小值为______________． 16．如图，在侧棱长为3的正三棱锥A-BCD 中，每个侧面都是等腰直角三角形，在该三棱锥的表面上有一个动点P ，且点P 到点B 的距离始终等于则动点P 在三棱锥表面形成的曲线的长度为_____________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．17．(本小题满分12分)已知在锐角ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin cos 0a B b A -=．（Ⅰ）求角A 的大小； （Ⅱ）已知函数tx x f -=1)(，且方程0)cos 3()(sin =+B f B f 有解，求实数t 的取值范围．18．(本小题满分12分)詹姆斯·哈登（James Harden ）是美国NBA 当红球星，自2012年10月加盟休斯顿火箭队以来，逐渐成长为球队的领袖．2017-18赛季哈登当选常规赛MVP(最有（Ⅰ）根据表中数据，求y 关于t 的线性回归方程a t b y ˆˆ+=（110t ≤≤，t ∈N *）；（Ⅱ）根据线性回归方程预测哈登在2019-20赛季常规赛场均得分．【附】对于一组数据1122(,),(,),(,)n n t y t y t y ，其回归直线a t b yˆˆˆ+=的斜率和截距的最小二DA乘估计分别为：∑∑==---=ni ini i it ty y t tb121)())((ˆ，t b y aˆˆ-=． (参考数据:6.17))((61=--∑=i i iy y t t，计算结果保留小数点后一位）19、(本小题满分12分)如图，ABCD 为矩形，点A 、E 、B 、F 共面，且ABE ∆和ABF ∆均为等腰直角三角形，且BAE AFB ∠=∠=90°．（Ⅰ）若平面ABCD ⊥平面AEBF ，证明平面 BCF ⊥平面ADF ；（Ⅱ）问在线段EC 上是否存在一点G ，使得 BG ∥平面CDF ，若存在，求出此时三棱锥G-ABE 与三棱锥G-ADF 的体积之比．20．(本小题满分12分)已知函数()21x f x e x ax =---． （Ⅰ）若f (x )在定义域内单调递增，求实数a 的范围；（Ⅱ）设函数()()3x g x xf x e x x =-++，若()g x 至多有一个极值点，求a 的取值集合．21．(本小题满分12分)如图，C 、D 是离心率为12的椭圆的左、右顶点，1F 、2F 是该椭圆的左、右焦点， A 、B 是直线x =-4上两个动点，连接AD 和BD ，它们分别与椭圆交于点E 、F 两点，且线段EF 恰好过椭圆的左焦点1F . 当EF CD ⊥时，点E 恰为线段AD 的中点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求证：以AB 为直径的圆始终与直线EF 相切．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为cos 1sin x t y t αα=⎧⎨=-⎩（t 为参数，0απ<<）. 以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系（且两种坐标系取相同的长度单位），曲线C 的极坐标方程为24sin cos θρθ=． （Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，若AB ≥16，求角α的取值范围．23．已知关于x 的函数()f x =|1|||x x m ++-．（Ⅰ）若()3f x ≥对所有的x ∈R 恒成立，求实数m 的取值范围；（Ⅱ）若关于x 的不等式2()2f m m x x -≥-的解集非空，求实数m 的取值范围．安徽六校教育研究会2019届高三第二次联考数学试题（文）参考答案13、7 14、23y x =15、136 162 17、解：（1）在ABC △中，由正弦定理得sin sin sin cos 0A B B A -=．……………（2分） 即()sin sin cos 0B A A -=，又角B 为三角形内角，sin 0B ≠，所以sin cos 0A A -=，tan （4分）又因为A ………………………………（6分）（2）)(x f 的图像关于)0,(t 对称，由0)cos 3()(sin =+B f B f ，可得t B B 2cos 3sin =+，)3sin(π+=B t ，……………（9分）又ABC △为锐角三角形，所以24ππ<<B ，……………（10分）653127πππ<+<B ，426)3sin(21+<+<πB ，所以)426,21(+∈t ．………………………………（12分）18、解：（1）由题意可知：5.3=t ，……………（1分）9.27=y ，……………（2分）622222221()( 2.5)( 1.5)(0.5)0.5 1.5 2.517.5i i t t =-=-+-+-+++=∑，……………（4分）∴0.15.176.17^==b ，………………………………（6分） 又4.245.30.19.27^^=⨯-=-=t b y a， ∴y 关于t 的线性回归方程为 1.024.4y t =+. （010t ≤≤，*t ∈N ）………（8分） （2）由（1)可得，年份代码8t =，……………（9分）此时 1.0824.432.4y =⨯+=，所以，可预测哈登在2019-20赛季常规赛场均得分为32.4. ………………………………（12分）19、证明：（1）∵ABCD 为矩形，∴BC ⊥AB ，又∵平面ABCD ⊥平面AEBF ，BC ⊂平面ABCD ，平面ABCD∩平面AEBF=AB ， ∴BC ⊥平面AEBF ， ……………（2分）又∵AF ⊂平面AEBF ，∴BC ⊥AF. ……………（3分）∵∠AFB=90°，即AF ⊥BF ，且BC 、BF ⊂平面BCF ，BC∩BF=B ， ∴AF ⊥平面BCF. ……………（5分）又∵AF ⊂平面ADF ，∴平面ADF ⊥平面BCF. ………………………………（6分） （2）∵BC ∥AD ，AD ⊂平面ADF ，∴BC ∥平面ADF.∵ABE ∆和ABF ∆均为等腰直角三角形，且BAE AFB ∠=∠=90°， ∴∠FAB=∠ABE=45°，∴AF ∥BE ，又AF ⊂平面ADF ，∴BE ∥平面ADF ， ∵BC∩BE=B ，∴平面BCE ∥平面ADF.延长EB 到点H ，使得BH =AF ，又BC //AD ，连CH 、HF ，易证ABHF 是平行四边形， ∴HF //AB //CD ，∴HFDC 是平行四边形，∴CH ∥DF.过点B 作CH 的平行线，交EC 于点G ，即BG ∥CH ∥DF ，（DF ⊂平面CDF ） ∴BG ∥平面CDF ，即此点G 为所求的G 点. ………………………………（9分） 又22AF BH ==，∴EG=23EC ，又2ABE ABF S S ∆∆=，2444433333G ABE C ABE C ABFD ABF B ADF G ADF V V V V V V ------=====， 故43G ABE G ADF V V --=..………………………………（12分） 20、解：(1)由02)('≥--=a x e x f x ，……………（1分）得x e a x2-≤， 令x e x h x 2)(-=，02)('=-=x e x h .……………（3分）得2ln =x ，当2ln <x 时，0)('<x h ，当2ln >x 时，0)('>x h ．故当2ln =x 时，2ln 22)2(ln )(min -==h x h ．2ln 22-≤∴a ．………………………………（6分）(2) xxe ax xe x g --=2)(，)2()('a e x x g x-=．……………（7分）当0≤a 时，由0)(',0>>x g x 且0)(',0<<x g x ，故0是)(x g 唯一的极小值点；……………（9分）令,0)('=x g 得)2ln(,021a x x ==. 当21=a 时，21x x =，0)('≥x g 恒成立，)(x g 无极值点．故⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤∈210或a a a ．………………………………（12分）21. 解（1）∵当EF CD ⊥时，点E 恰为线段AD 的中点，∴4a c c +=-，又12c e a ==，联立解得：1c =，2a =，b =……………（3分）∴椭圆的方程为22143x y +=.………………………………（4分） （2）设EF 的方程为：1x my =-，E （11,x y ）、F （22,x y ）， 221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩联立得：22(34)690m y my +--= ∴22(6)36(34)0m m ∆=-++>，∴122122634934m y y m y y m ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩……（*） ………………………………（6分） 又设(4,)A A y -，由A 、E 、D 三点共线得11116623A y y y x my --==--，同理可得2263B y y my -=-. ……………（8分）∴22121212221212122296236623()34346()6()696333()9393434A B mmy y my y y y m m y y m m my my m y y m y y m m m m -----++++=+=-=-=----++-+++∴1212221212122266||||18()333()9393434A B y y y y y y my my m y y m y y m m m m ----=-===---++-+++. ………………………………（10分）设AB 中点为M ，则M 坐标为（4,2A By y +-）即（4,-3m ）， ∴点M 到直线EF的距离211||||22A B d y y AB ===-=.故以AB 为直径的圆始终与直线EF 相切. ………………………………（12分）22. 解：（1）∵24sin cos θρθ=，∴2cos 4sin ρθθ=，∴22cos 4sin ρθρθ=，……………（2分） 即24x y =. 故曲线C 的直角坐标方程为24x y =. ………………………………（4分） （2）将直线l 的参数方程代入曲线C 中得 22cos 4(1sin )t t αα=-，∴22cos 4sin 40t t αα⋅+⋅-=，由题意cos 0α≠，2212212216sin 16cos 164sin cos 4cos t t t t ααααα⎧⎪∆=+=⎪-⎪+=⎨⎪-⎪=⎪⎩……………（6分）∴1224||||16cos AB t t α=-===≥，……………（7分）∴21cos 4α≤，∴11cos 22α-≤≤且cos 0α≠，又0απ<<， ∴角α的取值范围为{|32ππαα≤<或2}23ππα<≤. ………………………………（10分）23. 解：（1）()|1||||1|3f x x x m m =++-≥+≥，∴13m +≥或13m +≤-，∴2m ≥或4m ≤-.故m 的取值范围为(,4][2,)-∞-+∞. ………………………………（5分） （2）∵2()2f m m x x -≥-的解集非空，∴2min |1|2()m m x x +-≥-，∴1|1|24m m +≥-，……………（7分） ①当18m <时，1204m -<，1|1|24m m +≥-恒成立，即18m <均符合题意；②当18m ≥时，1204m -≥，10m +>，∴不等式1|1|24m m +≥-可化为1124m m +≥-，解之得1584m ≤≤.由①②得，实数m 的取值范围为5(,]4-∞. ………………………………（10分）。